積分の演習をやっているうちにわからないものがいくつかあったので教えてください.
次の関数の不定積分を求めよ.
(1)4(x+1)/(x^2+2)^2
(2)8/(x^4+4)
(1)部分分数分解を試みましたが,できませんでした.
4(x+1)/(x^2+2)^2=(ax+b)/(x^2+2)+(cx+d)/(x^2+2)^2
両辺に(x^2+2)^2をかけて
4(x+1)=(ax+b)(x^2+2)+cx+d
両辺の係数を比較して,
(x^3の係数) a=0
(x^2の係数) b=0
(xの係数) 2a+c=4
(定数) 2b+d=4
よって(a,b,c,d)=(0,0,4,4)となり元に戻ってしまいました.
部分分数分解の最初の置き方は授業でやった通りにしました.
(2)手がつけられませんでした.
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No.37972 - 2016/07/15(Fri) 19:58:46
| ☆ Re: 有利関数の積分 / IT | | | (2) の途中まで
8/(x^4+4) = 8/{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}
=2/{x(x^2-2x+2)}-2/{x(x^2+2x+2)}
2/{x(x^2-2x+2)}={(x^2-2x+2)-(x^2-2x)}/{x(x^2-2x+2)}
=1/x-(x-2)/(x^2-2x+2)
=1/x-(x-1)/(x^2-2x+2)+1/(x^2-2x+2)
=1/x-(1/2)(2x-2)/(x^2-2x+2)+1/{(x-1)^2+1}
2/{x(x^2+2x+2)} も同様にできるのではないでしょうか？
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No.37975 - 2016/07/15(Fri) 21:07:18 |
| ☆ Re: 有利関数の積分 / らぐ | | | ご回答ありがとうございます.
そのようなコツがあるのですね.
(2)については理解できました.
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No.37982 - 2016/07/15(Fri) 23:40:31 |
| ☆ Re: 有利関数の積分 / らぐ | | | (1)4x/(x^2+2)+4/(x^2+2)
?怒4x/(x^2+2)^2+4/(x^2+2)^2}dx=-2/(x^2+2)+??4/(x^2+2)^2dx
ここまではなんとか積分できました.
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No.37983 - 2016/07/15(Fri) 23:56:31 |
| ☆ Re: 有理関数の積分 / IT | | | ∫4/(x^2+2)^2 dx = 2∫((x^2+2)-x^2)/(x^2+2)^2 dx
=2∫1/(x^2+2) dx -2∫x・x/(x^2+2)^2 dx
2∫x・x/(x^2+2)^2 dx
=∫x・2x/(x^2+2)^2 dx 部分積分法
=x(-1)/(x^2+2)-∫-1/(x^2+2) dx
係数や符号は確認してください。
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No.37987 - 2016/07/16(Sat) 00:26:27 |
| ☆ Re: 有利関数の積分 / らぐ | | | No.37999 - 2016/07/17(Sun) 02:17:26 |
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