ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 中一　分配法則 / エナハフ

初めて利用させていただきます。
中一の数学の問題で、分配法則を使うと良いとかかれているのですが、最初の(-5分の2)の3乗と、(5分の2）の３乗が、符号が違うのに分配法則はできるのでしょうか？あと累乗の計算のとき、3は5と2両方にかけるのでしょうか？

あと、累乗から先に計算するのに途中で乗法をして符号だけ変えて数字がそのままなのはなぜなんでしょうか？
わかりづらくてすみません；；
調べても調べてもわからなかったので教えて下さい。

No.38062 - 2016/07/21(Thu) 03:13:19

☆ Re: 中一　分配法則 / X

>>符号が違うのに分配法則はできるのでしょうか？
○×□-○×△=○×□+○×(-△)
=○×{□+(-△)}
=○×(□-△)
となりますのでできます。

>>3は5と2両方にかけるのでしょうか？
5と2両方が3乗になるのか？、という意味であれば
その通りです。

>>あと、累乗から先に計算するのに～
(-○)^3={(-1)×○}^3
={(-1)^3}×○^3 (交換法則を使っています)
=(-1)×○^3
=-○^3
となります。

No.38065 - 2016/07/21(Thu) 06:22:59

★ 式変形 / さくらもち

いつもお世話になってます

積分の計算問題なのですが、解答を見ても途中計算がよくわかりません
四角で囲ったところ(因数分解?と部分分数分解?のやり方)を教えてください

よろしくお願いします

No.38057 - 2016/07/20(Wed) 17:57:33

☆ 式変形 / さくらもち

一応問題も載せておきます

No.38058 - 2016/07/20(Wed) 18:01:37

☆ Re: 式変形 / X

部分分数分解をするにはまず分母を因数分解
しなければなりませんね。
分母である
x^3-3x-2
は三次式ですので
f(x)=x^3-3x-2
と置いて、適当なxの値aについて
f(a)=0
となるようなものを見つけて、因数定理を
使うのが基本です。
ただ、この問題については
x^3-3x-2=x^3+(-1)^3+(-1)^3-3・(-1)(-1)x
と変形すれば、公式
a^3+b^3+c-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
が適用できます。

次に分母が因数分解できた後の部分分数分解について。
分母に(x+1)^2というように()^2の形の因数がありますので
(6x+5)/{(x-2)(x+1)^2}=a/(x-2)+b/(x+1)+c/(x+1)^2
の形に部分分数分解できると仮定します。
ここから右辺を通分して分子を展開し、左辺の分子と
係数を比較します。
そこからa,b,cについての連立方程式を立てて解きます。

No.38059 - 2016/07/20(Wed) 19:25:27

☆ Re: 式変形 / さくらもち

Xさん

丁寧に教えてくださりありがとうございます!!
因数定理の存在をすっかり忘れていたので本当に助かりました

質問を重ねてしまって申し訳ないんですが、部分分数分解後の1/(3(x+1)^2)の積分は何をしているのでしょうか

積分区間が変わっているから置換積分かなと一瞬思ったのですが、そうでもないし
部分積分では区間は変わらないはずだし…

もしよろしければ最後まで教えていただきたいです
お時間あったらよろしくお願いします!!

No.38060 - 2016/07/20(Wed) 22:18:16

☆ Re: 式変形 / ast

> 部分分数分解後の1/(3(x+1)^2)の積分は何をしているのでしょうか

それはコピペミスの類いで付いたただのゴミだと思います (丸括弧も対応取れてないし). ついでに積分後の第二項も誤植で log が抜けてると思います.

根本的には模範解答を誤植した人が悪いという話ではあるとは思うんですが, しかし解答の記述を理解しようとすることと同じかそれ以上に, 自分で実際に解き進めたらどうなるかというのは常に意識してみるべきことであるように思います. 本件でいうと, 部分分数分解まで終わってしまえば, 1/(x-2) や 1/(x+1) や 1/(x+1)^2 は普通に原始函数が求まるので, 自分で計算してみればそんな余分なものが吐き出される余地があるかどうかも, それなりに見当がつくのではないでしょうか.

No.38061 - 2016/07/21(Thu) 00:51:59

★ 累次積分と、複素数 / sansunigate

この二つの問題の解き方がわかりません。
解き方や考え方をご指導くださいませ

No.38048 - 2016/07/20(Wed) 00:19:35

☆ Re: 累次積分と、複素数 / X

問5
問題の重積分の積分範囲は
0≦x≦y≦1
これを元に積分順序の入れ替えをすると
(与式)=∫[y:0→1]{∫[x:0→y]{e^(y^2)}dy}dx
=(1/2)(e-1)

問6
これは単に5つの値の絶対値を計算して大小関係を
比較するだけです。
複素数の絶対値の定義が分からないのであれば、
教科書で該当項目を調べましょう。

No.38052 - 2016/07/20(Wed) 06:08:58

☆ Re: 累次積分と、複素数 / sansunigate

解けました、ありがとうございます！

No.38141 - 2016/07/23(Sat) 09:43:41

★ 収束半径 / sansunigate

いつもおせわになっています

収束半径の問題です、解き方を教えてください。よろしくお願いいたします

No.38046 - 2016/07/20(Wed) 00:18:05

☆ Re: 収束半径 / sansunigate

同じような問題がもう一つあります、これも解き方を教えてくださいませ

No.38047 - 2016/07/20(Wed) 00:18:34

☆ Re: 収束半径 / math++;

http://mathtrain.jp/syusokuhankei
これを参考に1番目の問題を解かせていただきます
冪級数の基本形?納n:0~n] a[n]*(z^n)
に当てはめると、a[n]=e^n となります
ダランベールの判定法を利用すると、
lim[n→∞] a[n+1]/a[n]= e;
つまり,収束半径は1/eとなり
?Bとなります;
間違いがありましたら、よろしくお願いします

No.38056 - 2016/07/20(Wed) 17:03:25

★ 収束判定 / らぐ

コーシーの収束判定法を用いて,次の正項級数の収束,発散を調べよ.ただし,k>0,l>0は定数である.

Σ(n=1→∞){n^k/(n^k+1)}^n^(k+l+1)

以下が僕の解答です.

a_n={n^k/(n^k+1)}^n^(k+l+1)とおく

lim(n→∞)(a_n)^(1/n)=lim(n→∞){n^k/(n^k+1)}^n^(k+l)

lim(n→∞)(a_n)^(1/n)=lim(n→∞){1/(1+1/n^k)}^n^(k+l)

ここでお手上げです.厄介なのはn^lの部分なのですがどうすればいいでしょうか?

ちなみに模範解答ではρ=1/e^lとなり収束する
となっています.

No.38043 - 2016/07/20(Wed) 00:00:29

☆ Re: 収束判定 / IT

最初の式は、{n^k/(n^k+1)}^{n^(k+l+1)} ですか？

粗く、上から押さえれば良いのでは？

No.38053 - 2016/07/20(Wed) 07:28:30

☆ Re: 収束判定 / らぐ

数式が分かりづらくて申し訳ないです
(4)です

上から押さえる…ですか
参考になります

ρの値も求めたいのでなるべくこの式でやりたいです

No.38064 - 2016/07/21(Thu) 04:41:03

☆ Re: 収束判定 / IT

> ちなみに模範解答ではρ=1/e^lとなり収束する
これ以外に　解説・解答はないのですか？

1/e^l　より　はるかに小さくなる（０に近づく）と思いますけど

No.38067 - 2016/07/21(Thu) 15:15:43

☆ Re: 収束判定 / らぐ

解答,解説の部分をそのまま書きます.
(4) ρ=1/e^l,収束
とだけしか記載されていません.
もしかして誤植とかでしょうか？
今,サイトを見てきましたがそれらしいことは書かれていませんでした.

No.38069 - 2016/07/21(Thu) 17:51:11

☆ Re: 収束判定 / IT

出典はなんですか？
どのサイトに載っているのですか？

その模範解答のρが何者か明確でないので確実ではないですが
例えば　k=l=1 とすると、その模範解答ではおかしいことが分かる気がしますが　どうでしょうか？

No.38070 - 2016/07/21(Thu) 18:12:12

☆ Re: 収束判定 / らぐ

これは大学で使っている教科書です

「入門講義微分積分」裳華房吉村岩下著

ρ＝lim(n→∞)(a_n)1/n のことです

No.38100 - 2016/07/22(Fri) 14:35:10

☆ Re: 収束判定 / らぐ

ρ＝lim(n→∞)(a_n)^1/n です

No.38101 - 2016/07/22(Fri) 14:36:10

☆ Re: 収束判定 / らぐ

解答が思いつきましたが,やはり1/e^lはでませんでした.

級数の収束発散を調べる問題は必ずρの値を求めないといけないのですか？
それとも1より大きいかどうかがわかればそれでいいのですか？

それと僕の解答に不備はありますか？

No.38103 - 2016/07/22(Fri) 19:06:49

☆ Re: 収束判定 / IT

> 解答が思いつきましたが,やはり1/e^lはでませんでした.
問題か解答の誤植ではないかと思います。
>
> それとも1より大きいかどうかがわかればそれでいいのですか？
それでいいのでは？

> それと僕の解答に不備はありますか？

４行目に「両辺正より」とありますが
n√a[n] ＞0　であっても
lim[n→∞]n√a[n] は＝0となる可能性があります。

No.38123 - 2016/07/22(Fri) 21:33:23

☆ Re: 収束判定 / らぐ

そうですか.
長々とお付き合いいただきどうもありがとうございました.

No.38124 - 2016/07/22(Fri) 21:42:59

☆ Re: 収束判定 / らぐ

ちなみに先にlogつけてそのあとに極限とればいいのですよね？

No.38125 - 2016/07/22(Fri) 21:53:17

☆ Re: 収束判定 / IT

そうですね。

このテキストは私も持っていますが、演習問題の解答の途中がまったくなしで困りますね。　教師は詳細解答がダウンロードできるようですが。

No.38126 - 2016/07/22(Fri) 22:15:26

☆ Re: 収束判定 / らぐ

もしかしてこの大学の学生さんか教授ですか！？

No.38130 - 2016/07/22(Fri) 23:23:27

★ 四角形の面積比 / りん　中3

凸四角形の各辺の中点を結んでできる四角形はどのようなものか。まあその面積は元の四角形の何倍か。

中点連結定理を利用して、四角形が平行四辺形になることは分かったのですが、面積が1/2になるそうですが、理由がわからないです。よろしくお願いします。

No.38041 - 2016/07/19(Tue) 21:29:37

☆ Re: 四角形の面積比 / X

四角形ABCDの辺AB,BC,CD,DAの中点をそれぞれE,F,G,H
とします。
例えば△ABCの面積をS[△ABC]と表すことにすると
相似比により
S[△AEH]=(1/4)S[ABD]
S[△BEF]=(1/4)S[ABC]
S[△CFG]=(1/4)S[BCD]
S[△DGH]=(1/4)S[ACD]
(図を描きましょう)
これらを足すと
S[△AEH]+S[△BEF]+S[△CFG]+S[△DGH]
=(1/4)S[ABD]+(1/4)S[ABC]+(1/4)S[BCD]+(1/4)S[ACD]
これより
S[△AEH]+S[△BEF]+S[△CFG]+S[△DGH]
=(1/4)(S[ABD]+S[BCD])+(1/4)(S[ABC]+(1/4)+S[ACD])
S[△AEH]+S[△BEF]+S[△CFG]+S[△DGH]
=(1/4)S[四角形ABCD]+(1/4)S[四角形ABCD]
S[△AEH]+S[△BEF]+S[△CFG]+S[△DGH]
=(1/2)S[四角形ABCD]
よって
S[平行四辺形EFGH]=S[四角形ABCD]-(S[△AEH]+S[△BEF]+S[△CFG]+S[△DGH])
=(1/2)S[四角形ABCD]

No.38042 - 2016/07/19(Tue) 21:49:09

★ 通過算 / 前進

計算の過程がわかりません。

No.38030 - 2016/07/19(Tue) 13:21:01

☆ Re: 通過算 / 前進

三番です

No.38031 - 2016/07/19(Tue) 13:21:47

☆ Re: 通過算 / 前進

×1000÷60÷60がなぜ3.6になるかがわかりません
宜しくお願い致します

No.38032 - 2016/07/19(Tue) 13:23:35

☆ Re: 通過算 / ヨッシー

×1000÷60÷60 が ×3.6 になっていたらビックリですが、
÷3.6 なので一安心です。
つまり
72×1000÷60÷60＝72÷60÷60×1000
　　＝72÷(60×60÷1000)
　　＝72÷3.6

Ａ÷Ｂ÷Ｃ＝Ａ÷（Ｂ×Ｃ）
Ａ÷Ｂ×Ｃ＝Ａ÷（Ｂ÷Ｃ）
をふんだんに使います。

No.38035 - 2016/07/19(Tue) 17:29:26

☆ Re: 通過算 / 前進

Ａ÷Ｂ×Ｃ＝Ａ÷（Ｂ÷Ｃ）の証明が分かりません。数字を入れると理解できますが。
×1000÷60÷60と÷60÷60×1000は交換法則ですか？
数学の掛け算と割り算は順番を入れ替えてもＯＫですか？

No.38072 - 2016/07/21(Thu) 18:50:50

★ 包含関係問題 / アイリ

こんにちは。

No.1～13の三語の包含関係を示したベン図を選択する問題を教えて頂けますでしょうか？

ちなみに、選択肢となるベン図はこれら（A～H）以外にもあり得るかもしれなく、
その場合はこれらに限らずご教示頂ければ幸いです。

No.38029 - 2016/07/19(Tue) 12:07:52

☆ Re: 包含関係問題 / アイリ

どなたか教えて下されば、大変助かります><
解説も必要ないので、どのベン図が該当するかをお願いします！
個人的に5,7,9,12が迷っています。

No.38040 - 2016/07/19(Tue) 20:19:47

☆ Re: 包含関係問題 / ヨッシー

３つの語句を、左から順にＡ，Ｂ，Ｃとすると、
５．
ＡとＢは分離（共通部分なし）
ＢとＣは共通部分があるが包含関係はなし
ＣとＡは　Ａ⊂Ｃ　よってベン図はＥ

７．
ＡとＢは共通部分があるが包含関係はなし
ＢとＣは分離
ＣとＡは　Ｃ⊂Ａ　よってベン図はＥ

９．
ＡとＢは共通部分があるが包含関係はなし
ＢとＣは共通部分があるが包含関係はなし
ＣとＡは共通部分があるが包含関係はなし
また、Ａ∩Ｂ∩Ｃも存在する　よって、ベン図はＡ

１２．
学生を文字通り「大学生」に限るのか、中高生も含めるかによって変わってきます。
「大学生」に限るなら、ベン図はＢ
中高生も含めるなら、
ＡとＢは共通部分があるが包含関係はなし
ＢとＣは分離
ＣとＡは共通部分があるが包含関係はなし　よって、ベン図はＧ

No.38049 - 2016/07/20(Wed) 00:45:37

☆ Re: 包含関係問題 / アイリ

ヨッシーさん
夜分遅くにありがとうございます！
大変よく分かりました。

もし宜しければ他問題Noについて自分で解いてみたのを
チェックして頂けますでしょうかm(__)m

1. ベン図 E
2. ベン図 D（迷いましたがBはAやCに含まれず？）
3. ベン図 E
4. ベン図 C
6. ベン図 C
8. ベン図 C
10. ベン図 E
11. ベン図 B
13. ベン図 H？？（あれ分かりません）

以上、毎回お願いばかりですみませんが添削頂けますと幸いです。

No.38050 - 2016/07/20(Wed) 01:12:22

☆ Re: 包含関係問題 / ヨッシー

1.この中から選ぶならＥでしょうが、「積み木で作った滑り台」の存在を
　認めるなら、別のベン図（Ｅで左の円と小円が交わる）になるでしょう。

13.順当に考えるなら、Ｈでしょう。
　「人工雨」または「人工の山」の１つを認めるならＥ、
　両方認めるならＧとなります。

その他は、書かれたとおりで良いと思います。

No.38051 - 2016/07/20(Wed) 05:52:55

☆ Re: 包含関係問題 / アイリ

ヨッシーさん

いつもありがとうございます！
大変よくわかりました！！
どうもありがとうございました！

No.38054 - 2016/07/20(Wed) 07:45:50

★ 連続、不連続 / sansunigate

お世話になっております。

こちらの問題も、解き方を教えていただきたいです。
なにから始めればよいのかわからなくて。。。
(1)-(4)までそれぞれ、正しいかまちがいかどう判定すればいいのでしょうか？

いつもありがとうございますとっても助かっています！

上の問題の答えは(2)です、下の答えは(3)です。

No.38028 - 2016/07/19(Tue) 10:58:57

☆ Re: 連続、不連続 / X

大問１問目
(1)
x=2yを問題の関数に代入して
z=sin(5y^2)
∴例えば
5y^2=4π/3
のとき
z=-1/2＜0
ですので×です。
(2)
条件より
x^2+y^2=r^2
(rは正の定数)
∴z=sin(r^2)=一定
なので○です。
(3)
x^2+y^2=u
と置くと
lim[(x,y)→(0,0)]z=lim[u→+0]sinu=0
∴zは(x,y)=(0,0)で連続ですので×です。
(4)
極座標変換をすると
z=sin(r^2)
∴(x,y)=(0,0)では極小になりますので×です。

No.38038 - 2016/07/19(Tue) 18:30:44

☆ Re: 連続、不連続 / X

(1)
問題の関数を極座標に変換すると
z=(sinθ)^2
∴lim[(x,y)→(0,0)]z=lim[r→0](sinθ)^2
これはθの値により異なりますので
問題の関数は(x,y)=(0,0)で連続ではありません。
よって×
(2)
y=xを問題の関数に代入することにより
g(x)=1/2(x≠0)
g(0)=0
∴g(x)はx=0で連続ではありません。
(3)(4)
(2)と同じ方針で考えましょう。

No.38039 - 2016/07/19(Tue) 18:37:03

☆ Re: 連続、不連続 / sansunigate

どうもありがとうございました

No.38044 - 2016/07/20(Wed) 00:13:52

★ 複素関数 / sansunigate

いつもお世話になっております

この２つの問題の解き方手順を教えてください！
よろしくおねがいします

ちなみに回答は、上の問題が(1)、下の問題が(3)です。

いつもありがとうございます！

No.38026 - 2016/07/19(Tue) 10:54:00

☆ Re: 複素関数 / sansunigate

すみません添付忘れました

No.38027 - 2016/07/19(Tue) 10:54:28

☆ Re: 複素関数 / X

問8
問題の関数は積分路、及び積分路に囲まれた領域内で
正則ですのでコーシーの積分定理により0です。

問9
問題の関数の極は
z=i,-i
ですが、この内
z=i
が問題の積分路に囲まれた領域に含まれる
ことが分かります。
そこで
f(z)=(3z+2)/(z+i)
と置くと、f(z)は問題の積分路、及び積分路
に囲まれた領域で正則ですので、コーシーの
積分公式により
(与式)=∫[C]{f(z)/(z-i)}dz
(C:問題の積分路)
=2πif(i)
=2πi(3i+2)/(2i)
=(3i+2)π

No.38037 - 2016/07/19(Tue) 18:19:44

☆ Re: 複素関数 / sansunigate

ありがとうございます！

No.38045 - 2016/07/20(Wed) 00:14:17

★ 積分 / おまる

いつもお世話になっております。
問題の解説でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の⑴の解答で、「f(a)はa≦0で減少し」とあるのですが、これは増加ではないのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.38014 - 2016/07/18(Mon) 09:24:39

☆ Re: 積分 / おまる

解説です

No.38015 - 2016/07/18(Mon) 09:25:11

☆ Re: 積分 / ＿

f(-100)とf(-1)、どっちが大きいですか？

No.38017 - 2016/07/18(Mon) 09:48:04

☆ Re: 積分 / X

a≦0においてf(a)はaの一次関数であり
aの係数である1-eについて
1-e＜0
∴f(a)はa≦0において単調減少します。

No.38020 - 2016/07/18(Mon) 14:16:09

☆ Re: 積分 / おまる

返信が遅くてすいません。
どうもありがとうございました。

No.38066 - 2016/07/21(Thu) 13:50:03

★ 数3 / アカシロトモ

このサイトのおかげさまで微分方程式、関数方程式
もずいぶん分かるようになり、
下の問題も(1)がf(0)=0 のときは（2）（3）とも解答できました。
しかし、x=y=0を与式に代入して解くと、f(0)=0、+1、-1となるのですが、
f(0)=+1、-1のときの証明(式変形)がわかりません。
何度も申し訳ありません。教えてください。

f(x)はf(x+y)= (f(x) +f(y))/(1+ f(x)f(y))を満たしx=0で微分可能であり、f’(0)=1である。このとき
（1）f(0)を求めよ
（2）f(x)は微分可能であることを証明せよ
（3）f(x)を求めよ

No.38009 - 2016/07/17(Sun) 21:37:13

☆ Re: 数3 / アカシロトモ

補足です。
f(0)＝0のときは　lim[x→0]f(x)/x= lim[x→0](f(x)-f(0))/(x-0)=f’(0) を使って解きました。
f(0)＝+1、-1のときの式変形を考えていますがわかりません。

No.38010 - 2016/07/17(Sun) 21:47:04

☆ Re: 数3 / X

(1)において得られたf(0)の値が
f(x)が微分可能である
ことと
f'(0)=1
を満たすかどうかの
チェックが抜けています。

f(x+y)={f(x)+f(y)}/{1+ f(x)f(y)}
にy=0を代入すると
f(x)={f(x)+f(0)}/{1+ f(x)f(0)} (A)
∴
(i)f(0)=0のとき
(A)は
f(x)=f(x)
となり、問題ありません。
(i)f(0)=1のとき
(A)より
f(x)={f(x)+1}/{1+f(x)}=1
これはf'(0)=1≠0と矛盾し不適。
(ii)f(0)=-1のとき
(A)より
f(x)={f(x)-1}/{1-f(x)}=-1
これはf'(0)=1≠0と矛盾し不適。

以上からf'(0)の値は0のみです。

No.38011 - 2016/07/17(Sun) 22:08:50

☆ Re: 数3 / アカシロトモ

X さん

ありがとうございます。
おかげさまでよく理解できました。
問題の条件の意味もよくわかりました。

No.38012 - 2016/07/17(Sun) 22:20:24