△ABCの頂点を表す複素数α、β、γが次の3条件を満たしている
(a)△ABCは辺の長さ√3の正三角形である。
(b)α+β+γ=3
(c)αβγは絶対値1，虚数部分は正である
(1)z=α-1とおいて、βとγをzを用いて表せ
(2)α、β、γの偏角を求めよ。ただし0≦argα≦argβ≦argγ＜2π
答えは(1)β=1+(−1/2＋√3/2i)z β=1＋(-1/2-√3/2i)z
(2)orgα=π/9 orgβ=4/9π orgγ=16/9π
なのですが、そこに至るまでの考え方がさっぱりわからなくて困っています
助言いただけるとありがたいです
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No.37715 - 2016/06/27(Mon) 19:16:35
| ☆ Re: 複素数平面 / ！(高3) | | | あっすみません
(1)の答えがβが2つになっちゃってますが、β=… とγ=…です
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No.37716 - 2016/06/27(Mon) 19:26:59 |
| ☆ Re: 複素数平面 / 黄桃 | | | 多くの図を描きながら説明しないと分かりにくいので、誰も答えないのでしょう。
分かりにくい説明かもしれませんが、一応述べておきます。
複素数平面での回転は複素数を掛けることで表せる、ということが基本です。
△ABCの中心（重心でも外心でも内心でも一致）をOとすれば、
OAを120度回転したものがOB
OBを120度回転したものがOC
(あるいは、OAを-120度回転したもの(OAを240度回転したもの)がOC)
であり、120度回転することは
cos(120度)+i*sin(120度)=cos(2π/3)+i*sin(2π/3) =(-1/2)+(√3/2)i (=ωとおきます）
を掛けることに対応します。
△ABC の中心は重心と一致し (α+β+γ)/3=1 ですから、
z=α-1 とおく、ということは、(1が0に移るわけですから）
△ABCの中心が原点となるように平行移動した座標系で考える、
ということです。
この座標系では、上で述べたようにAに対応する複素数z にωをかけることで
Bに対応する複素数が得られ、ω^2=1/ω=ω~(ωの共役複素数）=(-1/2)-(√3/2)i をかけることで
Cに対応する複素数が得られます。
△ABC の中心が0(原点)となった座標系で x という複素数に対応する点は、
元の座標系(△ABCの中心が１の座標系)では x+1 になりますから、(1)の答を得ます。
ここまでで使ったのは(b)だけでした。
(2)では残りの(a),(c)について考えましょう。
(a)はAB=√3 ということは図をかけばわかるように、OA=1 ということです。
つまり、|z|=1 ということです。したがってα,β,γは複素数平面上で1を中心とする半径1の円周上にあります。
あとは(c)について考えます。
|αβγ|=1 ということは、α≠0 です。arg(α)=t とおけば、αは1を中心とする半径1の円周上にあり、
0≦argα≦argβ≦argγ＜2π より、0≦arg(α)≦arg(1+cos(2π/3)+isin(2π/3))=π/3
です。すると、図をかけばわかるように、0,1, αで2等辺三角形となりますから
arg(z)=2t , z=cos(2t)+isin(2t)
となります。
一方(1)の結果よりαβγをzで表すと
αβγ=(z+1)(ωz+1)(ω^2z+1)
=(z+1)(ω^3z^2+(ω+ω^2)z+1)
=(z+1)(z^2-z+1)
=z^3+1
となり、z=cos(2t)+isin(2t)より、これは
=1+cos(6t)+isin(6t)
となります。
|αβγ|=1 より、
1=(1+cos(6t))^2+sin^2(6t)
=2+2cos(6t)
すなわち、cos(6t)=-1/2 となります。αβγの虚数部分は正より、
sin(6t)>0 なので、6t=(2/3)π+2nπ (nは整数),
よって、t=(2/18)π+n(π/3)です。
さらに、0≦arg(α)≦π/3 だったから、
t=(2/18)π＝π/9=arg(α)
だけです。
あとは、arg(z)=2π/9 がわかったので、arg(β-1)=2π/9+2π/3=8π/9, arg(γ-1)=2π/9+4π/3=14π/9
となり、0,1,βがなす2等辺三角形と0,1,γがなす2等辺三角形を考えれば、8π/9<πより
arg(β)=4π/9, 14π/9=2π-4π/9より、arg(γ)=-2π/9=16π/9 と出てきます。
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No.37747 - 2016/07/01(Fri) 07:59:59 |
| ☆ Re: 複素数平面 / ！(高3) | | | 図が必要なんでした 考え無しな質問でごめんなさい
丁寧に教えていただけたおかげで理解できました
説明が難しそうなのに答えてくださってありがとうございます
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No.37814 - 2016/07/04(Mon) 12:53:55 |
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