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★ 範囲指定の三角関数の積分 / ます
度々すいません。写真の上の問題で、答えは出て、解が-2という疑わしい数字だったのですがあり得るのでしょうか？置換積分を使ってu=2θとして解きました。よろしくお願いします。
No.37234 - 2016/05/31(Tue) 17:27:44
☆ Re: 範囲指定の三角関数の積分 / らすかる
正しくないようです。
↓答え合わせはこちらのサイトで出来ます。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+xsin%282x%29dx,x%3D0,pi%2F4
No.37241 - 2016/05/31(Tue) 19:10:46
☆ Re: 範囲指定の三角関数の積分 / X
検算という観点から、一言。

0≦θ≦π/4において
0≦θ
0≦sin2θ
ですので
0≦θsin2θ
よって問題の定積分の値はは少なくとも正
でなければならないことから、誤りである
ことは明白です。
No.37244 - 2016/05/31(Tue) 20:19:41
☆ Re: 範囲指定の三角関数の積分 / ます
部分積分を使って解くことが出来ました。
ご指摘感謝します。
No.37251 - 2016/06/01(Wed) 12:58:36
★ (No Subject) / パラドックス
画像の問題の解き方がどうしても分からないので教えて頂けると助かります。
No.37233 - 2016/05/31(Tue) 17:27:26
☆ Re: / パラドックス
すみません。解決しました。
No.37237 - 2016/05/31(Tue) 18:02:30
★ 複雑な積分 / ます
写真のdとeで、数式を積分せよという問題なのですが詰まっていまいます。お知恵をお貸し下さい。よろしくお願いします。
No.37228 - 2016/05/31(Tue) 14:34:31
☆ Re: 複雑な積分 / X
(d)
2x^2+1の部分を微分して消すような感じで
部分積分を二回実行しましょう。

(e)
lnx=t
と置いて置換積分しましょう。
No.37230 - 2016/05/31(Tue) 15:15:50
☆ Re: 複雑な積分 / ます
Xさんご回答有り難うございます。
その方法で解を出した所、
dは (2x^2+1)e^x-4xe^x+4e^x+C
eは 1/3(ln[lnx])+C
となりました。
カギカッコは絶対値記号です。
No.37231 - 2016/05/31(Tue) 15:48:46
☆ Re: 複雑な積分 / X
d)についてはそれで問題ありません。
e)についてですが
(1/3)ln|lnx|+C
の意味であれば、それで問題ありません。
No.37243 - 2016/05/31(Tue) 20:14:03
☆ Re: 複雑な積分 / ます
Xさん
ありがとうございます。
両方共解くことが出来ました。
感謝します。
No.37252 - 2016/06/01(Wed) 12:59:29
★ 大学数学 / 鮎
次の関数の第n次導関数を求め,x=0での第n次微分係数を求めよ
√(2+x^2)
これの第n次導関数の漸化式を作りたいのですがうまくできません
教えてください
No.37227 - 2016/05/31(Tue) 01:29:48
☆ Re: 大学数学 / 関数電卓
　f(x)＝√(x22＋2) …(1) とおくと
　f2＝x2＋2 …(2)

df/dx＝f(1)，d2f/dx2＝f(2)，等と略記すると，(2)の両辺を微分して，

　f･f(1)＝x …(3)

前式を微分して整理すると，

　{f(1)}2＋f･f(2)＝1 …(4)
　3f(1)･f(2)＋f･f(3)＝0 …(5)
　3{f(2)}2＋4f(1)･f(3)＋f･f(4)＝0 …(6)
　10f(2)･f(3)＋5f(1)･f(4)＋f･f(5)＝0 …(7)
　10{f(3)}2＋15f(2)･f(4)＋6f(1)･f(5)＋f･f(6)＝0 …(8)

となり，大変煩わしいですが，順次求めることはできます。しかしこれは，ご所望の「漸化式」とはほど遠いですね。問題の出典は何ですか？
　
No.37258 - 2016/06/03(Fri) 15:53:04
☆ Re: 大学数学 / IT
下記のようにするとどうでしょうか？
気持ち悪いですが複素数を使って無理に因数分解します。
（n階導関数の表記がうまく出来ないので　f(n) などとしています)
f(x)=√(2+x^2)とおきi√2=aと書くと
f(x)=(x-a^2)^(1/2)
={(x+a)^(1/2)}{(x-a)^(1/2)}
g(x)=(x+a)^(1/2),h(x)=(x-a)^(1/2) とおくと

f(x)=g(x)h(x)

ライプニッツの公式より
f(n)=Σ[k=0,n](n,k)g(k)h(n-k)
あとはg(x),h(x)のk階導関数を計算します。
No.37262 - 2016/06/03(Fri) 21:16:13
☆ Re: 大学数学 / IT
y=√(2+x^2),y'=x/√(2+x^2)
よって (2+x^2)y'=xy

ライプニッツの公式を使い両辺をn回微分する。
(2+x^2)y(n+1)+(n,1)2xy(n)+(n,2)2y(n-1)=xy(n)+(n,1)y(n-1)
移項して
(2+x^2)y(n+1)+(2n-1)xy(n)+n(n-2)y(n-1)=0

x=0での第n次微分係数を求めるには
x=0を代入 2y(n+1)+n(n-2)y(n-1)=0

こんな感じでできるのでは？　（途中計算は確認してください）
＃(n,1),(n,2) などはコンビネーションです。普通は縦に数字を並べます。
No.37264 - 2016/06/03(Fri) 23:11:05
★ 複雑な微分 / ます
写真の(d)で、数式を微分せよという問題なのですがどこから手をつけていいか分かりません。お知恵をお借りできたら幸いです。よろしくお願いします。
No.37223 - 2016/05/30(Mon) 19:37:43
☆ Re: 複雑な微分 / ヨッシー
sec(x)＝1/cos(x) より
　(sec(5x+3))'＝5sin(5x+3)/cos^2(5x+3)
tan^2(x)＝sin^2(x)/cos^2(x) より
　(tan^2(x))'＝{2sin(x)cos^3(x)＋2cos(x)sin^3(x)}/cos^4(x)
　　＝2sin(x)/cos^3(x)
よって、
　{tan^2(sec(5x+3))}'＝2sin(sec(5x+3))/cos^3(sec(5x+3))×5sin(5x+3)/cos^2(5x+3)

よって、
　ｙ’＝10sin(5x+3)sin(sec(5x+3))/cos^2(5x+3)cos^3(sec(5x+3))・ｅ^(tan^2(sec(5x+3)))

検算はしてください。
No.37226 - 2016/05/30(Mon) 21:12:41
☆ Re: 複雑な微分 / ます
確認しました！
ありがとうございます！
No.37229 - 2016/05/31(Tue) 14:35:14
★ (No Subject) / パラドックス
画像の問題の(2)と(3)の答えはこれで合ってますか？
No.37221 - 2016/05/30(Mon) 19:21:59
☆ Re: / パラドックス
すみません。画像を忘れていました。
No.37222 - 2016/05/30(Mon) 19:23:02
☆ Re: / ヨッシー
(2)
合っているように見えます。
(3)
明らかに違う箇所が見えます。
途中の式がないと、どこで間違えたのかわかりません。
No.37224 - 2016/05/30(Mon) 20:40:57
★ (No Subject) / アガリクス
授業でやったところの画像の問題の計算過程ですが、なぜここで2bで割っているのでしょう？筆算のところのx＋2bのところです。(4)です。
No.37220 - 2016/05/30(Mon) 19:06:29
☆ Re: / ヨッシー
2b で割るというのは、正しい言い方ではありません。
１÷４ を筆算でやるとき、答えの部分に ０．２ と書きますが、
これを２で割るとは言いませんね。
正しくは 2b を立てると言います。

筆算するときに、ちゃんと
　ｘ^3　　　＋ａｘ−２０
のように、ｘ^2 の部分を空けて書かないと、
ｘ^2 の項と ｘ の項がごっちゃになっています。
このところに注意して、筆算をやり直せば、なぜ 2b が立つかは分かるでしょう。
No.37225 - 2016/05/30(Mon) 20:50:44
☆ Re: / アガリクス
すみません。やっぱり分かりません。
なぜ2bで2aとかがダメなのかが分かりません。
また、別のやり方とかあれば教えてください。お願いします。
No.37232 - 2016/05/31(Tue) 17:02:59
☆ Re: / ヨッシー
そもそも除数が違います。

×　ｘ^2−2b＋b^2＋1
○　ｘ^2−2bx＋b^2＋1
No.37242 - 2016/05/31(Tue) 20:03:01
★ 確率について / 奮闘中
0.25と 0.5を足しても
0.4になりません。和の法則ではありませんか？
No.37217 - 2016/05/30(Mon) 13:26:18
☆ Re: 確率について / X
条件付き確率を考慮に入れていません。

添付された写真において
1/4とは
Aが当たりという条件の下で
Bが当たりであるという条件付き確率
1/2とは
Aが外れという条件の下で
Bが当たりであるという条件付き確率

よって(1)の結果により、Bが当たる確率は
(2/5)(1/4)+(1-2/5)(1/2)=2/5
となります。
(1/4+1/2ではありません)
No.37219 - 2016/05/30(Mon) 18:04:24
★ (No Subject) / ばすけ
↓の者です
No.37213 - 2016/05/29(Sun) 22:13:21
☆ Re: / IT
朱書き部分の疑問の回答なら

等式の左辺の「ＡＢ」は「線分ＡＢの長さ」を表しており
点Ａ、点Ｂともにｘ軸上の点なので
等式の右辺では、「点Ａのｘ座標と点Ｂのｘ座標の差」を計算しているのです。
No.37215 - 2016/05/29(Sun) 22:26:12
☆ Re: / ヨッシー

図のような数直線で、Ａが３、Ｂが７の位置の点であるとき、
ＡからＢまでの長さＡＢは、
　ＡＢ＝３×７＝２１
ですか？それとも
　ＡＢ＝７−３＝４
ですか？
No.37216 - 2016/05/29(Sun) 22:29:30
★ (No Subject) / ばすけ
よろしくです。
No.37212 - 2016/05/29(Sun) 22:12:06
★ 順列 / かんたごん
この問題の答えを見てもよくわかりません。
詳しく解説していただけませんでしょうか。
よろしくお願いします。
No.37211 - 2016/05/29(Sun) 22:07:22
☆ Re: 順列 / ヨッシー
(1)
ＡからＢに行くには上に４区画、右に５区画進む必要があり、
上と右をどの順番で進むかが、進み方の場合の数となります。
　□□□□□□□□□
上の９つの□から４つを選んで「上」とし、残りを「右」とすると考えるとその方法は
　9Ｃ4＝126(通り)
(2)
ＡからＰが　2Ｃ1＝2(通り)
ＰからＢが　7Ｃ3＝35(通り)
よって、2×35＝70(通り)
(3)
同様に、ＡからＰ、ＰからＱ、ＱからＢで考えます。
(4)
（ＰまたはＱ）＝（Ｐを通る進み方）＋（Ｑを通る進み方）−（ＰもＱも通る進み方）
で求めます。
No.37214 - 2016/05/29(Sun) 22:20:50
★ (No Subject) / じゅうじょう
解答の一行目で+2•2^x•2^-xではなく+4•2^x•2^-xなんですか？
No.37205 - 2016/05/29(Sun) 18:50:45
☆ Re: / IT
+4•2^x•2^-xの前が(2^x-2^(-x))^2 だからです。

(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2
(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2

よって(a+b)^2=(a-b)^2 + 4ab です。
No.37206 - 2016/05/29(Sun) 19:00:06
☆ Re: / じゅうじょう
ありがとうございます。
もうひとつ質問で、
2^x+2^-x>0となるのはなぜですか？
No.37207 - 2016/05/29(Sun) 19:45:13
☆ Re: / IT
> 2^x+2^-x>0となるのはなぜですか？

任意の実数xについて、2^x ＞　0　です。(したがって　2^(-x) ＞　0　です）
　x＝0　のとき 2^x ＝　1
　x＞0　のとき 2^x ＞　1 ＞　0 　は納得できますか？
　x＜0　のとき 2^x ＝ 1/2^(-x) ＞　0　です。
No.37208 - 2016/05/29(Sun) 19:53:48
★ 二次関数 / モノクロ
この問題が分からないというわけではないのですが、数学?T教科書を見て気になったことがあります。
最初に、y=f(x)という表記を習いました。しかし、その直後の値を求める問題ではf(x)=2x+6という表記だったのですが、それ以降はf(x)=ではなく、全てがy=2x+6という表記になっています。何のためにf(x)という表記について学習したのでしょうか。
No.37198 - 2016/05/29(Sun) 17:01:25
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
２ｘ＋６のｘにいろんな値を代入したときの値を表現するとき
（例えば、ｘ＝１，ｘ＝２，ｘ＝３ のときの２ｘ＋６の値）
ｙ＝２ｘ＋６ だけだと、
　ｘ＝１ のとき ｙ＝８
　ｘ＝２ のとき ｙ＝１０
　ｘ＝３ のとき ｙ＝１２
のように書かないといけませんが、f(x)＝２ｘ＋６ と定義しておくと
　f(1)＝８、f(2)＝１０、f(3)＝１２
のように簡単に表現できます。

また、この式はｘの関数ですよという宣言にもなります。
　f(x)＝ax＋b
と書くと、a, b をまず決めて、ｘをいろんな数に変化させるという意味が含まれます。
No.37201 - 2016/05/29(Sun) 17:39:14
☆ Re: 二次関数 / モノクロ
丁寧なご解説をありがとうございます。
それでは、数学?Tの2次関数の分野の全ての式をf(x)=の式に変えても問題ないのでしょうか。
No.37204 - 2016/05/29(Sun) 17:58:19
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
「ｙ＝」 を 「f(x)＝」 に変えても良いかということでしょうか？
グラフは、ｘとｙとの関係で描くことが多いので、
　f(x)＝x^2＋2x−3
を、ｙ＝x^2＋2x−3 または ｙ＝f(x) と書き直さないといけない場面があるでしょう。
No.37209 - 2016/05/29(Sun) 20:32:26
★ 平均について / to Harvard
30÷2で必然的に左から１５番目が平均の値なるのでないのでしょうか？
ここでは31÷2＝15.5をしているように思えます。なぜ1を足すのでしょうか？
No.37197 - 2016/05/29(Sun) 16:55:29
☆ Re: 平均について / らすかる
いきなり30÷2と書かれても状況がよくわかりませんが、
30個ならば
左半分が15個
右半分が15個
ですから、「15番目」は左側の右端、
「16番目」は右側の左端であり、
中央はその間の15.5です。
30でなく2で考えればわかると思います。
No.37199 - 2016/05/29(Sun) 17:10:36
★ 命題と条件の問題です。 / プリン
わからない問題があるので教えていただきたいです！

x-a≦1 が x≦2 の必要条件となる定数aの値を求めよ。また-1≦x-a≦1が-2≦x≦3の十分条件となる定数aの値の範囲を求めよ。

わかる方がいたらおねがいします。
No.37195 - 2016/05/29(Sun) 14:03:08
☆ Re: 命題と条件の問題です。 / ヨッシー
ｘ−ａ≦１　は　ｘ≦ａ＋１ のことですが、
この範囲が、ｘ≦２ を完全に含むいるとき
ｘ−ａ≦１はｘ≦２ の必要条件となります。

同じく −１＋ａ≦ｘ≦１＋ａ が −２≦ｘ≦３ に
完全に含まれるとき、-1≦x-a≦1は-2≦x≦3の十分条件となります。

いずれも、数直線を描いて考えるとわかりやすいと思います。
No.37202 - 2016/05/29(Sun) 17:45:07
★ 事象と確率 / ノア
2枚の硬貨を同時に投げる試行における全事象は、
(表,表)(表,裏)(裏,表)(裏,裏)
なのに、なぜ白玉2個赤玉3個が入っている袋から同時に玉を2個取り出すときの全事象は
(白1,白2)(白1,赤1)(白1,赤2)(白1,赤3)(白2,赤1)(白2,赤2)(白2,赤3)(赤1,赤2)(赤1,赤3)(赤2,赤3)
なのでしょうか。例えば(白2,白1)や(赤1,白1)といった事象は上の10通りの他には考えられないのでしょうか。分かる方、教えてください。
No.37193 - 2016/05/29(Sun) 12:52:20
☆ Re: 事象と確率 / ヨッシー
前半も、起こり方の種類だけを問うのなら
(表,表)(表,裏)(裏,裏)
で十分です。ただ、全事象の数を数えると言うことは、それを分母にして確率を求めるということが、その先に控えており、事象のひとつひとつが起こる確率がすべて確からしい状態にしておくのが便利なので、
(表,表)(表,裏)(裏,表)(裏,裏)
とします。
赤白の方は、10個の事象がすべて確からしいので、順番まで区別する必要がありませんので、書いていません。
No.37194 - 2016/05/29(Sun) 13:44:18
☆ Re: 事象と確率 / ノア
お返事いただきありがとうございます。
基礎的な質問かもしれませんが...赤白の方はなぜ10個の事象が全て確からしいといえるのでしょう？
硬貨は、1枚目は表が出て2枚目で裏が出てという事象が(表,裏)、1枚目は裏が出て2枚目で表が出てという事象が(裏、表)で、違う事象ですよね。それならば、なぜ玉を2個取り出す時は、1つ目を白玉1を引き、2つ目を白玉2を引くという事象(白1,白2)と、1つ目を白玉2を引き、2つ目を白玉1を引くという事象(白2,白1)は、違う事象ではないのでしょうか。
No.37196 - 2016/05/29(Sun) 15:52:32
☆ Re: 事象と確率 / ヨッシー
>なぜ10個の事象が全て確からしいといえるのでしょう？
５個の玉から２個を取る組合せが 5Ｃ2＝10 であり、どの玉が特に取り出されやすい等の要素がないためです。
サイコロの目が６つともすべて同じ確からしさ（で振っている）なのと同じです。

>違う事象ではないのでしょうか。
事象とは「試行」の結果なので、「試行」により、事象の数え方も変わってきます。
「試行」が玉を２個取りだし、机の上に左右並べて置く
という場合は左の玉、右の玉は区別するので（白１、白２）と（白２，白１）は違う事象となり、事象の数は２０通りとなります。
この場合、「白が２個取り出される確率は？」と聞かれたら、
２０通りのうちの２通り（白１、白２）と（白２，白１）なので、確率は１／１０　です。
御質問の問題は、「同時に」２個なので、（白１、白２）と（白２，白１）は同じ事象として認識します。
この場合、事象の数は１０通りで、、「白が２個取り出される確率」は、１０通りのうちの１通り（白１，白２）なので、確率は同じく１／１０です。
No.37200 - 2016/05/29(Sun) 17:33:42
☆ Re: 事象と確率 / ノア
おかげさまで、全て確からしいについては理解できました。
解釈の確認をさせていただきたいのですが、
「同時」に硬貨を2枚「振る」ということは、100円玉と500円玉を振っても同時に2枚振ったことになる。「同時」に玉を2個「取り出す」ということは(白1,白2)でも(白2,白1)でも変わらない。
また、硬貨を2枚別々に振った時の出る事象も4通り
ということでよろしいでしょうか。
No.37203 - 2016/05/29(Sun) 17:55:36
☆ Re: 事象と確率 / ヨッシー
「同時に」の意味合いが、硬貨と玉では違います。

硬貨の方は
　100円と500円を同時に投げる
　2枚の100円を同時に投げる
　100円を投げてから500円を投げる
　2枚の100円を1枚ずつ時間をおいて投げる
　1枚の100円を投げて、同じ100円をもう一度投げる
いずれも、大して変わりません。
同時に投げたつもりでも、地面に付く瞬間は異なるはずですから、
それによって順序づけすることも出来ますし、逆に別々に投げても
後の方を投げ終わってから結果を見に行っても同じですから、
「同時に」やることにさほど意味はありません。
いくつか確率の問題を作ったとしても全部同じになるはずです。

玉の場合は、１個取って色を確認してから元に戻す、ことを
排除する意味で、「同時に」と書いています。

上で質問された元の問題は「事象の数を答えよ」なのでしょうか？
普通はそういう問題は不確定すぎて出されません。
むしろ、確率を求める問題の過程で、「全事象が４通りなので・・・」などの形で出てきたのではないですか？
No.37210 - 2016/05/29(Sun) 20:48:52
★ 中２文字式の利用 / 一男
（２）囲まれる３つの数の和が９の倍数になるような囲み方は何通りあるか。よくわからないので解説お願いします。答え６３通り
No.37185 - 2016/05/28(Sat) 10:28:21
☆ Re: 中２文字式の利用 / IT
囲まれる３つの数のうち、もっとも小さい数をnとして

A　この３つの数の和はｎでどう表せますか？
B　ｎがどういう条件をみたす場合、３つの数の和が９の倍数になりますか？
C　ｎの最小値は１です、最大値はいくらか分りますか？
D　Cの最小値から最大値の間で、条件Bをみたすｎの個数が答えです。
No.37186 - 2016/05/28(Sat) 10:33:39
☆ Re: 中２文字式の利用 / 一男
3(n＋3) nが３の倍数のとき　１９１　
No.37187 - 2016/05/28(Sat) 17:18:09
☆ Re: 中２文字式の利用 / IT
> 3(n＋3) nが３の倍数のとき　１９１
　合ってます。
１から１９１までの自然数のうちで３の倍数の個数が答えです。← 誤りです
# Xさんのご指摘のとおりnが表の右端に来る場合を除く必要があります。
No.37189 - 2016/05/28(Sat) 17:30:42
☆ Re: 中２文字式の利用 / X
横から失礼します。
>>ITさんへ
3の倍数のうち、表の右端にあるもの
つまり24の倍数となるものは
除かなくてはいけないのでは？。
No.37191 - 2016/05/28(Sat) 21:06:27
☆ Re: 中２文字式の利用 / IT
>> X さん　ご指摘のとおりです。ありがとうございます。
No.37192 - 2016/05/28(Sat) 21:14:21
★ εーＮ方式の極限値の求め方 / ブラッドマミ
お世話になります。ブラッドマミと申します。今回は前回に引き続き、εーＮ方式の問題です。前回より難易度が低くなりますが、自力では無理なので、分かる所から、質問します。
（問題３）a>０ならばlim[n→∞][n]√a＝１を示せ。
εーＮ方式を使って、｜[n]√aー１｜＝[n]√aー１＜ε
ここまでは理解できているのですが、その続きが分からないので、どなたか分かるかたアドバイスよろしくおねがいします。

[n]√aとはa∧1/nの事を意味しています。分かりにくくて申し訳ありませんでした。
No.37183 - 2016/05/28(Sat) 00:08:08
★ (No Subject) / たろー
これはどのようにしたら良いですか？
185(3)です
187(1) は↑ができればできると思います
よろしくお願いします
No.37182 - 2016/05/27(Fri) 23:03:07
☆ Re: / X
＞＞185(3)について
最小値が-1であることから、求める二次関数は
y=a(x-b)^2-1 (A)
(但しa＞0 (B))
と置くことができます。
後は(A)が点(1,1),(3,1)を通ることから
a,bについての連立方程式を導き、それを
解いて(B)を満たすa,bの値の組を求めます。
No.37184 - 2016/05/28(Sat) 10:09:04
★ 微分積分 / Mic
こんにちは。
微積の数式の問題で、分からなくて教えて頂きたいのは(2)以降です。
よろしくお願いします
No.37180 - 2016/05/27(Fri) 12:22:03
☆ Re: 微分積分 / ペンギン
2)は1)式の両辺を0〜xまで積分すれば得ることができます。
3)は任意のεに対して2)が成り立つので、f(x)=0となります。
No.37181 - 2016/05/27(Fri) 17:26:56
☆ Re: 微分積分 / Mic
ありがとうございます
No.37188 - 2016/05/28(Sat) 17:19:45
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