ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ベクトル / ゆーしろー

度々失礼します

質問
方べきの定理はベクトルがついた式でも使うことができるのでしょうか？
それとも線分の長さ（絶対値）に戻して使わなければならないのでしょうか
お願いします

No.37919 - 2016/07/12(Tue) 16:43:53

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

「使うことができるのでしょうか」は
「表すことができるのでしょうか」の意味でしょうか？

線分の長さの積になっている部分を、ベクトルの内積にする。
内積を取る２つのベクトルのなす角は（πではなく）０とする。
と決めれば、表すことは出来ます。
あえて、ベクトルで表す意味があるかは分かりません。

No.37954 - 2016/07/14(Thu) 08:00:43

★ (No Subject) / わさび

(2)はどのように解けばいいですか？
解説よろしくお願いしますm(__)m

No.37912 - 2016/07/11(Mon) 14:20:51

☆ Re: / わさび

写真横になってしまいました！

No.37913 - 2016/07/11(Mon) 14:22:30

☆ Re: / X

P,Qのx座標をα、β(α＜β)とすると
M((α+β)/2,(α^2+β^2)/2) (A)
一方α、βはxの二次方程式
2x^2-2ax-a+4=0
の解ですので解と係数の関係から
α+β=a (B)
αβ=(-a+4)/2 (C)
(B)(C)より(A)は
M(a/2,(a^2+a-4)/2)
よってMのx,y座標をX,Yとすると
X=a/2 (D)
Y=(a^2+a-4)/2 (E)
(D)(E)よりaを消去して
Y=2X^2-X+2
更に
2＜a＜4
と(D)から
4＜X＜8
∴放物線Dの方程式は
y=2x^2+x-2 (F)
であり、Mの軌跡はDの
4＜x＜8
の部分となります。
後はDとC[1]を図示して面積を求めることを
考えましょう。

No.37916 - 2016/07/11(Mon) 20:16:01

★ 還元算 / 前進

この3の問題ですが

No.37909 - 2016/07/11(Mon) 02:31:29

☆ Re: 還元算 / 前進

?@じゃないと駄目ですか？これは割合ですか？
?Bや?Hでもなんで問題ですが構いませんか？
X以外の説明でお願い致します。

No.37910 - 2016/07/11(Mon) 02:33:45

☆ Re: 還元算 / ヨッシー

このような図が描けていますか？
（上の水や本の問題でも）

慣れてくれば、図を描く代わりに、?@である数１つ分、?Cである数４つ分を、表すなどして、式だけで考えることも出来ますが、基本はこういう線分図です。

それ以前に、投稿する前に、質問文を読み返しましょう。

No.37911 - 2016/07/11(Mon) 09:14:24

★ (No Subject) / 濱さん

いつもお世話になっております。次の問題で質問があるので、長くなりますがよろしくお願いいたします。

Q 二枚目二列目下から二行目の「x=/（ノットイコール）yのときは（１）で調べてある」の部分なのですが、「1'かつ3かつ(*)」(「2'かつ3かつ(*)」)のうち「３」からでてきた、「x=y」という条件だけで、（２）の冒頭の連立方程式に還元して済ませていいのですか。(*)の条件などは加味しなくてもいいのですか？

No.37905 - 2016/07/10(Sun) 22:55:10

☆ Re: / 濱さん

２枚目です。

No.37906 - 2016/07/10(Sun) 22:57:14

☆ Re: / 濱さん

３枚目です。

No.37907 - 2016/07/10(Sun) 22:59:07

☆ Re: / 濱さん

二枚目の方向修正版です。

No.37908 - 2016/07/10(Sun) 23:00:15

☆ Re: / IT

答案全体は、細かく見ていませんが、ご質問の部分について

> Q 二枚目二列目下から二行目の「x=/（ノットイコール）yのときは（１）で調べてある」の部分なのですが
「x=y のときは（１）で調べてある」　では？

x=y のとき　それだけでf(f(x))=x　となることは
y=f(x)=x なので　f(f(x))=f(x)=x で簡単に分ると思いますが。

(2)の冒頭で「f(x)=x のときは・・・,f(x)≠xのときを考える。」としてもいいかも知れませんね。

私が質問の趣旨を勘違いしているなら御指摘ください。

No.37914 - 2016/07/11(Mon) 19:04:10

☆ Re: / 濱さん

お返事ありがとうございます。

「x=y のときは（１）で調べてある」では？→その通りです。申し訳ありません。

よろしくお願いいたします。

No.37917 - 2016/07/11(Mon) 22:16:25

☆ Re: / IT

x=y がどこから導かれたかとは関係なしに

x=y のときと　x≠y のとき　に分けて考えると、すべての場合を調べていますので、
正しい推論になっています。

No.37918 - 2016/07/12(Tue) 07:49:11

☆ Re: / 濱さん

わかりました。ありがとうございます。

No.37927 - 2016/07/12(Tue) 20:05:50

★ (No Subject) / SY

この問題の(2)を答えを予想して数学的帰納法で証明するとき、予想した答えの必要性を示すにはどうしたらいいでしょうか？

No.37898 - 2016/07/10(Sun) 16:25:13

☆ Re: / IT

予想した答え　・・・・
n=0のとき　・・・・成立を示す(このときは特殊かも）
n=1のとき　・・・・成立を示す
n=2のとき　・・・・成立を示す
　
1以上の整数kについて
n=kのとき　・・・・成立を仮定する(数学的帰納法の仮定）

n=k+2のとき
　a,bが方程式(*)を満たすとする。
　(1)より　a,bは偶数なのでa=2c,b=2d(c,dは0以上の整数）とおける.
　よって(2c)^2+(2d)^2=2^(k+2)
　4で割って c^2+d^2=2^k
　(c,d)はn=kのときの方程式(*)を満たすので帰納法の仮定から(c,d)=・・・・

　よって(a,b)=・・・・

以上から、・・・・

こんな感じでしょうか？

#予想の答えは、
n=0のとき(a,b)=(1,0),(0,1)
nが1以上の整数のとき(a,b)=(2^(n-1),2^(n-1)),(2^n,0),(0,2^n) ですか？

No.37899 - 2016/07/10(Sun) 17:31:08

☆ Re: / SY

nの偶奇によって分けて書いてたのですが予想した答えはそのとおりです！

No.37901 - 2016/07/10(Sun) 19:56:22

☆ Re: / IT

> nの偶奇によって分けて書いてたのですが予想した答えはそのとおりです！
それで良いと思います。

私のも同じことですが、SYさんのように偶奇によって分けたことを明記した方がわかりやすくて良いかもしれませんね。
n=1→3→5→　ｎが任意の正奇数のとき成立
n=2→4→6→　ｎが任意の正偶数のとき成立

No.37902 - 2016/07/10(Sun) 20:15:29

★ (No Subject) / as

画像の問題の解き方が分かりません。教えてください。お願いします‼

No.37894 - 2016/07/10(Sun) 15:01:28

☆ Re: / X

sinθ+cosθ=1/2
の両辺を二乗して
(sinθ+cosθ)^2=1/4
左辺を展開すると
1+2sinθcosθ=1/4
∴2sinθcosθ=-3/4 (A)
となるので
(sinθ-cosθ)^2=1-2sinθcosθ
=7/4 (B)
ここで0°≦θ≦180°と(A)により
sinθ＞0かつcosθ＜0
となるので
sinθ-cosθ＞0
よって(B)より
sinθ-cosθ=(√7)/2
となります。
(解答の値が間違っていますね。)

No.37896 - 2016/07/10(Sun) 15:15:15

★ 三角比 / 石

いつもお世話になります。
添付写真の問題についてで、解法に誤りがあるか、確認お願いします。
Rをこの三角形の外接円の半径とする。
a+1/sin150=2Rより、a+1=R(A)
また、(a+1)^2=a^2+(a-1)^2-2a(a-1)cos150
0=a^2-4a+√3a^2-√3a
=a^2(√3+1)-a(4+√3)
解の公式より、
a=4+√3±4+√3/2(√3+1)
aは0とはならないので、 a=8+2√3/2(√3+1)
a=4+√3/1+√3
=(4+√3)(√3-1)/2
=3√3-1/2
よって、(A)より、a=Rなので、
R=3√3-1/2(終)
ちなみに、模範解答は、√3+1/2 で若干違います。
では、ご指摘お願いします。

No.37891 - 2016/07/10(Sun) 14:44:54

☆ Re: 三角比 / 石

写真の中にミスがありました。
外接円の半径を求めよです。

No.37892 - 2016/07/10(Sun) 14:46:28

☆ Re: 三角比 / X

間違いを指摘する前に気になった点を。

まず、この類の掲示板にアップするときは
分子がどこまでか分かるように
括弧をつけましょう。

次に導かれた二次方程式ですが
わざわざ解の公式を使わなくても
因数分解で解けます。

分子に必要な括弧をこちらで補った上で
誤りを。
(A)より
>>a=R
ではなくて
R=a+1
です。
よって
R=(3√3+1)/2
となります。
(模範解答の値とは異なりますが
恐らく模範解答の値が間違っていると思います。)

No.37895 - 2016/07/10(Sun) 15:07:38

☆ Re: 三角比 / 石

ありがとうございました。

No.37900 - 2016/07/10(Sun) 17:49:41

★ (No Subject) / アリス

こちらはどのように解くのですか？

No.37890 - 2016/07/10(Sun) 14:42:16

☆ Re: / X

まずaを具体的な値で表しましょう。

分母の有理化により
(√3+√2)/(√3-√2)=(√3+√2)^2
=5+2√6
ここで
2.38=1.4・1.7＜√6＜1.42・1.74=2.4708
により
4＜2√6＜5
に注意すると
a=2√6-4 (A)
よって

前半)
(A)より
a+4=2√6
(a+4)^2=24
a^2+8a-8=0 (B)
となるのでaはxの二次方程式
x^2+8x-8=0
の解となります。

後半)
問題の式を(B)の左辺である
a^2+8a-8
で割って次数を落とした上で(A)を代入しましょう。

No.37893 - 2016/07/10(Sun) 14:50:21

☆ Re: / アリス

その式を割るとはどのようになるのですか？

No.37903 - 2016/07/10(Sun) 22:49:11

☆ Re: / アリス

訂正; 割るとどのようになるのですか？

No.37904 - 2016/07/10(Sun) 22:52:28

☆ Re: / X

a^3+6a^2-21a+23をa^2+8a-8で割る
ということが理解できないのであれば
数学Iの教科書で多項式の割り算を
復習しましょう。

ここからは多項式の割り算が理解できている
ことを前提にして書きます。
a^3+6a^2-21a+23をa^2+8a-8で割ったときの
商をg(a),余りをh(a)とすると
(g(a),h(a)の具体的な中身は実際に割り算を
実行して求めましょう)
a^3+6a^2-21a+23=(a^2+8a-8)g(a)+h(a)
これの右辺に(B)を代入すると
a^3+6a^2-21a+23=h(a)
となります。
h(a)は三次式を二次式で割った余りですので
次数は最大で1です。
これが「割って次数を落とす」という意味です。

後はこのh(a)に
a=5+2√6
を代入します。

No.37915 - 2016/07/11(Mon) 19:59:23

★ 計算式 / ゆう

こんにちは。お願いします。

27年度5月の参加人数500人売上1万円
28年度5月の参加人数1800人売上47万円

この2年の売上を参加人数300人だと
したときの比較をしたいんですが
計算式がわかりません。
早急に教えて頂きたいです

23歳です。

No.37888 - 2016/07/10(Sun) 12:24:41

☆ Re: 計算式 / X

各年度の参加者一人当たりの売上高をまず計算してみましょう。

No.37889 - 2016/07/10(Sun) 13:02:59

☆ Re: 計算式 / ゆう

回答ありがとうございました。
購入人数を出し一人あたりと購入率を出しました。
その後はどのようにしたらよいでしょうか？

No.37897 - 2016/07/10(Sun) 16:00:35

★ 線形代数 / らぐ

次の三平面が一直線Lを共有するとき,定数a,bの値とLの方程式を求めよ.
x+ay+z=5
x+3y+bz=0
3x+6y=5

僕は掃き出し法を使ったのですが途中から式が複雑になってるので求めることができませんでした.
これはどうやって求めることができますか？(僕の計算力不足かもしれませんが)

No.37884 - 2016/07/10(Sun) 01:08:59

☆ Re: 線形代数 / X

高校数学流の方針だと以下のようになります。

x+ay+z=5 (A)
x+3y+bz=0 (B)
3x+6y=5 (C)
とします。
まず(B)(C)をx,yの連立方程式とみて解き、
x,yをzを用いて表します。
その結果を(A)に代入して整理したものを
zの恒等式とみて両辺を比較し、
a,bについての連立方程式を立てます。

No.37885 - 2016/07/10(Sun) 07:01:08

☆ Re: 線形代数 / らぐ

ご回答ありがとうございます.
なるべく線形代数の知識を利用して解きたいのですが…
僕が思いついたのは共有する部分が直線なので係数行列のランクが2であるから係数行列の3次小行列式が0になるということですが,これ１つではまだ決まらないようです.

No.37887 - 2016/07/10(Sun) 12:01:06

★ ベクトル / ゆーしろー

(1)は分かったのですが、(2)(3)がわかりません。
解き方をお願いします

No.37881 - 2016/07/09(Sat) 20:01:19

☆ Re: ベクトル / ゆーしろー

画像があがっていませんでした...
こちらです
わかる方お願いします

No.37882 - 2016/07/09(Sat) 20:03:23

☆ Re: ベクトル / X

(2)
条件から
↑OE=t↑b (A)
(1＜t)
と置くことができます。
一方↑EP⊥↑OAにより
↑EP・↑OA=0
∴(↑OP-↑OE)・↑a=0 (B)
(B)に(1)の結果と(A)を代入して左辺を展開し、
必要な値を代入してtの方程式を立てます。

(3)
点Qは直線OP上、つまり直線OC上にあるので
↑OQ=k(↑a+↑b)/2
(kは実数)
と置くことができます。
みにくいのでk/2を改めてkと置いて
↑OQ=k(↑a+↑b) (C)
(kは実数)
とします。
さて、条件から
∠PBE、∠OPEが鈍角である (P)
ことと
点B,P,Q,Eが同一円周上にある (Q)
ことから
点B,P,Q,Eはこの順に反時計回りに四角形を作る
ことに注意します。
このことを踏まえて四角形BPQEが円に内接
していることを考えると
∠BPQ+∠BEQ=π
∴cos∠BPQ=cos(π-∠BEQ)
=-cos∠BEQ
となるので
↑PB・↑PQ/(|↑PB||↑PQ|)=↑EB・↑EQ/(|↑EB||↑EQ|) (D)
(D)に(2)の結果や(C)などを使い、kについての方程式を
立てます。

蛇足ですが、(P)(Q)より点Qは点Pに関して
点Cの側になりますので、少なくとも
k＞3/10
となること考えておくと、計算結果が
正しいか否かの判断材料の一つにはなります。

No.37883 - 2016/07/09(Sat) 20:56:08

★ 連立方程式 / 石

わかる方、解き方と答えを教えてください。
お願いします。

No.37875 - 2016/07/09(Sat) 15:11:23

☆ Re: 連立方程式 / IT

２式の各辺の差をとってみると、見えてくると思います。

No.37877 - 2016/07/09(Sat) 15:28:59

☆ Re: 連立方程式 / 石

差をとってやってみましたが、うまくいきません。

No.37878 - 2016/07/09(Sat) 17:03:06

☆ Re: 連立方程式 / X

横から失礼します。

では実際に差をとってみましょうか。
x^2=4x+2y (A)
y^2=2x+4y (B)
とします。
(A)-(B)より
x^2-y^2=2x-2y
(x-y)(x+y)=2(x-y)
(x-y)(x+y-2)=0
∴
y=x (C)
又は
x+y=2 (D)
(C)(D)それぞれの場合について
場合分けをして(A)(B)と
連立して解きます。
(代入法を使って一文字消去をしましょう。)

No.37879 - 2016/07/09(Sat) 17:56:48

☆ Re: 連立方程式 / 石

私もそれを思いついていましたが、CとDで場合わけする方法は思いつきませんでした。
丁寧にご説明してくださり、ありがとうございました。

No.37880 - 2016/07/09(Sat) 18:05:20

★ 順列と組み合わせ / ブラッドマミ

お世話になります。ブラッドマミともうします。今回は重複順列の問題です。「問題」数字1,1,1,2,2,3,3,4,5の９個の数字使って６桁の数を何通り作れるか求めよ。
以上解ける方どなたか分かる方、教えて下さい。よろしくお願いします。

No.37874 - 2016/07/09(Sat) 12:56:19

☆ Re: 順列と組み合わせ / IT

同じ数字を何個使うかで分類して数え上げます
(3,2,1)
(3,1,1,1)
(2,2,2)
(2,2,1,1)
(2,1,1,1)

No.37876 - 2016/07/09(Sat) 15:20:25

☆ Re: 順列と組み合わせ / ブラッドマミ

回答ありがとうございます。参考に致します。

No.37992 - 2016/07/16(Sat) 13:48:17

★ 極限 / たゆ2

lim[n→∞] (1/4)^n ×(n+4/3)を求めよ。という問題ですが解き方を教えてください。

No.37870 - 2016/07/08(Fri) 14:51:38

☆ Re: 極限 / X

二項定理により
4^n=(3+1)^n=Σ[k=0～n](nCk)3^k
n→∞を考えるのでn＞3としてもよく
4^n＞nC0+(nC1)・3+(nC2)・3^2
∴4^n＞1+3n+(9/2)n(n-1)={1/n^2+3/n+(9/2)(1-1/n)}n^2
よって
0＜{(1/4)^n}(n+4/3)＜(n+4/3)/{{1/n^2+3/n+(9/2)(1-1/n)}n^2}
∴
0＜{(1/4)^n}(n+4/3)＜(1+4/(3n))/{{1/n^2+3/n+(9/2)(1-1/n)}n}
となるので、はさみうちの原理により
lim[n→∞]{(1/4)^n}(n+4/3)=0

No.37871 - 2016/07/08(Fri) 17:07:32

☆ Re: 極限 / たゆ2

わかりました。ありがとうございました。

No.37872 - 2016/07/08(Fri) 17:22:34

★ (No Subject) / SY

ここから先どのように解いていくのかがわかりません。

No.37867 - 2016/07/08(Fri) 01:58:46

☆ Re: / IT

下から２行目は
ｎ≧2　のとき　
　(n+1)a[n+1]=(n-1)a[n] ですね。
よって
　a[n+1]={(n-1)/(n+1)}a[n]
　　　　={(n-1)/(n+1)}{(n-2)/n}a[n-1]
　　　　.....
　　　　={(n-1)/(n+1)}{(n-2)/n}...{1/3}a[2]
　　　　=[{(n-1)(n-2)...1}/{(n+1)n...3}]1　＃この行はなくても分れば不要
　　　　=2/{(n+1)n}

よって　n ≧2のとき a[n]=2/{n(n-1)}、a[1]=0

＃念のためn=2,3 のとき　で確認してみるのと
(n+1)a[n+1]=(n-1)a[n] をみたすか確認するといいと思います。
　

No.37868 - 2016/07/08(Fri) 03:22:05

☆ Re: / IT

同じことですが、
ｎ≧２　でa[n]≠0を確認して

a[n+1]/a[n]=(n-1)/(n+1)
a[n]/a[n-1]=(n-2)/n
a[n-1]/a[n-2]=(n-3)/(n-1)
.....
a[4]/a[3]=2/4
a[3]/a[2]=1/3
辺辺掛け合わせるとa[n+1]/a[2]=(2*1)/{(n+1)n}
としてもできます。

No.37869 - 2016/07/08(Fri) 03:48:03

★ 数学的帰納法整数の性質の証明 / kk

n=1のときと、n=kのときまでの証明はできたのですがn=k+1のとき以降の証明のやり方が分かりません。

No.37864 - 2016/07/07(Thu) 23:03:46

☆ Re: 数学的帰納法整数の性質の証明 / ヨッシー

５^(k+1)－1＝５(５^k－1)＋４
ですね。

No.37865 - 2016/07/08(Fri) 00:42:47

☆ Re: 数学的帰納法整数の性質の証明 / IT

> n=kのときまでの証明はできたのですが
というのは、少し変ですが
(略解)
ｎ=1のとき　･･･成立
n=ｋのとき成立を仮定すると　5^k-1=4a (aは整数)とおける
　このとき　5^k=4a+1 …（１）
n=ｋ+１のとき
　5^(k+1)-1 =5(5^k)-1＝5(4a+1)-1=4(5a+1)+1-1=4(5a+1)
　4の倍数となり成立。

よって任意の自然数ｎについて　5^n-1 は４の倍数となる。

No.37866 - 2016/07/08(Fri) 00:47:01

☆ Re: 数学的帰納法整数の性質の証明 / kk

お二方ありがとうございます

No.37873 - 2016/07/08(Fri) 19:36:55