ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 整数問題 / アカシロトモ

「正の整数nでn^n+1が3で割り切れるものをすべて求めよ」
の問題で、n≡2(mod3)のとき、nをすべて2にかえて、
n^n+1≡2^2+1(mod3)としてはいけない、理由がわかりません。
指数部分も同じnなのにどうしてダメなのでしょうか？
　よろしくお願いいたします。

No.37848 - 2016/07/06(Wed) 21:17:00

☆ Re: 整数問題 / IT

具体例で確認するとダメなことが分かると思います。
2^0=1≡1(mod3)
2^1=2≡2(mod3)
2^2=4≡1(mod3)
2^3=8≡2(mod3) ,3≡0(mod3) ですが・・・
2^4=16≡1(mod3)

No.37849 - 2016/07/06(Wed) 22:16:25

☆ Re: 整数問題 / アカシロトモ

IT さん

ありがとうございました。
理由もなんとなくわかりました。
この具体例で復習してみます。

No.37850 - 2016/07/06(Wed) 23:23:51

★ 数A / なーり

次の等式を満たす整数X,Yの組を1つ求めよ、という問題です。最大公約数は1(互いに素)と赤ペンで書いてある所から下の部分が意味不明です。やり方を教えて下さい。

No.37845 - 2016/07/06(Wed) 18:31:50

☆ Re: 数A / ヨッシー

まずは、「ユークリッドの互除法」、「不定方程式」で検索して、調べられることをお勧めします。

で、本問ですが、目標は
　１＝（１７と２４の式）
にすることです。ここで、（１７と２４の式）とは２４ｘ＋１７ｙの形の式を指します。

２４＝１７・１＋７　を変形して
　７＝（１７と２４の式）　にします。
１７＝７・２＋３　を変形し、７＝（１７と２４の式）を代入して、
　３＝（１７と２４の式）　にします。
７＝３・２＋１　を変形し、７＝（１７と２４の式）、３＝（１７と２４の式）を代入して、
　１＝（１７と２４の式）　にします。
これで目標達成です。

私は、このように、上から代入していく方が分かり良いと思いますが、上の画像のように、下から代入していくのでも、結果は同じです。

No.37852 - 2016/07/07(Thu) 16:13:22

★ (No Subject) / 進研模試

続けてすいませんこれは1,2,3ともわかりません。

No.37841 - 2016/07/06(Wed) 17:56:36

☆ Re: / X

(1)
条件から、入場料金の合計について
500x＞500・40・0.8 (A)
これを解いて
x＞32
∴求める最小値は33です。

(2)
これは引っ掛け問題でしょうか。
xに対して(1)のような条件が付いていないことに
注意して下さい。
条件から、入場料金の合計について
500x≧500(x-1)・0.8+5000 (B)
((A)とは異なり、不等号の下に等号が付きます。)
これより
x≧46
ということで求める最小値は46です。
(3)
条件から、「支払金額」の合計について
300x+4000＜500(x-1)・0.8 (C)
300x+4000＜500x (D)
(C)(D)を連立して解き
44＜x
よってxが整数であることから
45≦x
となります。

No.37844 - 2016/07/06(Wed) 18:25:42

★ 複素数平面 / たゆゆ

3点P(z1),Q(z2),R(z3)において、z3-z1/z2-z1=1+√3iが成り立つとき
角PQRの大きさを求めなさい。
という問題なんですが、角QPRは60°でPR=2PQまでわかったのですがここからの解き方を教えてください。お願いします。

No.37839 - 2016/07/06(Wed) 17:17:16

☆ Re: 複素数平面 / X

PR=2PQ=t
と置き、△PQRにおいて余弦定理を使い
QRをtで表してみましょう。
すると辺の比から何か見えてきます。

No.37842 - 2016/07/06(Wed) 17:59:24

☆ Re: 複素数平面 / たゆゆ

理解できました。ありがとうございます。

No.37847 - 2016/07/06(Wed) 21:13:41

★ (No Subject) / きあら

(2)の模範解答の解説がなぜこのような式（赤線）になるのかが分かりません（これとは別の解き方で解けたのですが…）。詳しい解説をお願いします。

No.37832 - 2016/07/06(Wed) 12:04:27

☆ Re: / きあら

これが問題になります。

No.37833 - 2016/07/06(Wed) 12:07:50

☆ Re: / ヨッシー

図において、△ＡＢＣを
　台形ＤＡＣＦ－台形ＤＡＢＥ－台形ＥＢＣＦ
で求めた式です。

No.37834 - 2016/07/06(Wed) 13:00:58

☆ Re: / きあら

なるほど！理解できました。ありがとうございます(^^)/

No.37846 - 2016/07/06(Wed) 20:26:43

★ 場合の数 / 前進

２で３人以上になるとなぜ全体から引くことができませんか？
7！－720のように

No.37826 - 2016/07/05(Tue) 23:36:44

☆ Re: 場合の数 / 前進

追加です

No.37827 - 2016/07/05(Tue) 23:37:27

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

「２で」ではなく「(3)で」ですね？

２人の場合は、
　２人が隣り合わない　⇔　２人が離れている
ですが、３人では
　３人が隣り合わない　⇔　３人が離れている
ではないからです。
（女男男女女女男　のような場合）

No.37829 - 2016/07/06(Wed) 06:31:25

★ (No Subject) / ベクトル

この問題の解答の「kと異なる任意のmに対して」というのはm=1の時も含んでいますよね？
m=1以外の時は上の部分で決めたことから成り立つのがわかるのですが、
m=1のときにはなぜ成り立つと言えるのかがわかりません。

No.37825 - 2016/07/05(Tue) 23:04:37

☆ Re: / ヨッシー

解答はそれで全部ですか？
前後に何もありませんか？

Ｐ1Ｐk・ｖ＞０
であれば、ｍ＝１のときでも、
　ＰkＰm・ｖ＜０
は成り立ち、Ｐk が求める点となります。
Ｐ1Ｐk・ｖ＜０であれば、
　Ｐ1Ｐ2・ｖ、Ｐ1Ｐ3・ｖ、Ｐ1Ｐ4・ｖ
のすべてが負ということですので、Ｐ1 が求める点となります。

とここまで解答で言及しているはずですが。

No.37830 - 2016/07/06(Wed) 07:20:11

☆ Re: / ベクトル

解答の前後確認したんですが、何も書かれてないです。
これだけでは解答として不十分だということですよね？

No.37831 - 2016/07/06(Wed) 11:14:40

☆ Re: / ヨッシー

ダメでしょう。
「存在することを示せ」に対して答えられていませんし、
上のように、式で終わるような答案は考えられません。

教科書や市販の参考書ではないですよね？

No.37835 - 2016/07/06(Wed) 13:11:41

☆ Re: / ベクトル

実は市販の問題集です…
市販のものでもこういうことがあるんですね…

よし良ければヨッシーさんの考える模範解答を教えて頂きたいです！

No.37836 - 2016/07/06(Wed) 14:06:53

☆ Re: / ヨッシー

じゃ、略解とか、指針とかいう感じでしょうかね？

だいたい上に書いた通りですが、
「ただひとつ存在する」のあとに、
ここで、
Ｐ1Ｐk・ｖ＞０ならば
ｋと異なる任意のｍに対して、
　ＰkＰm・ｖ＜０
が成り立ち、Ｐk が求める点となる。

Ｐ1Ｐk・ｖ＜０ならば、
　Ｐ1Ｐ2・ｖ、Ｐ1Ｐ3・ｖ、Ｐ1Ｐ4・ｖ
のすべてが負であるので、Ｐ1 が求める点となる。

以上より、題意は証明された。

のような感じです。

何という問題集か気になりますが。

No.37837 - 2016/07/06(Wed) 14:39:30

☆ Re: / ベクトル

ありがとうございます！

京大の文系数学25カ年という問題集です。

No.37838 - 2016/07/06(Wed) 17:11:14

★ (No Subject) / 二次関数

(2) (3) のやり方がわかりません

No.37820 - 2016/07/04(Mon) 22:16:47

☆ Re: / X

(2)
前半)
(1)の結果より
a=-1-√3＜0
b=(1-√3)/2＜0
∴
x=|a|=-a=1+√3
y=|b|=-b=(-1+√3)/2

後半)
前半の結果を問題の式に代入するわけですが
直接代入すると計算が煩雑です。そこで
x^2+2xy+4y^2=(x+2y)^2-x・(2y)
と変形したうえで代入しましょう。

(3)
問題の式の第一項、第二項を通分して整理すると
{√x+√(2y)}/{√x-√(2y)}+{√x-√(2y)}/{√x+√(2y)}
=[{√x+√(2y)}^2+[{√x-√(2y)}^2]/[{√x-√(2y)}{√x+√(2y)}]
=2(x+2y)/(x-2y) (A)
(A)に(2)の前半の結果を代入しても計算できますが
ここではそれを使わない方針で計算してみます。
(2)の前半の過程から
(x,y)=(-a,-b)
∴(a,b)=(-x,-y)
これを、条件式である。
x+2y=-2√3
x-2y=-2
に代入すると
-a-2b=-2√3
-a+2b=-2
∴
a+2b=2√3
a-2b=2
これらを(A)に代入して
{√x+√(2y)}/{√x-√(2y)}+{√x-√(2y)}/{√x+√(2y)}
=2√3
となります。

No.37822 - 2016/07/05(Tue) 06:18:00

★ 数的推理問題？ / アイリ

立て続けにすみませんが、こちらも教えて頂けますでしょうか？

問
スキーゲレンデに750人の客がいる。一人乗りのリフトが8m間隔で1200mを上っている。
今、リフト速度が4m/sで乗り場には200人が待つ列がある。

待っている人数を半数にするには、リフト速度を何m/sにすれば良いか？

No.37816 - 2016/07/04(Mon) 15:43:49

☆ Re: 数的推理問題？ / ヨッシー

リフトに乗っている人は、
　1200÷8＝150(人)
です。
並んでる人も、リフトと同じペースで進むので、
最初の状態は、
　4m/s で進む動く歩道に、350人が乗っていて、残り400人は
　動く歩道を降りるとすぐに、一定の速さで、動く歩道外を逆走するとします。
　動く歩道は、(8÷4＝)2 秒ごとに、人が降ります。
　降りてから、400人分進むと、動く歩道のスタート地点（列の最後尾）に着きます。
　その間の時間は 400×2＝800(秒)　です。

待ち行列が 100人になったときの状態は
　ある速さで進む動く歩道に、250人が乗っていて、残り500人は
　動く歩道を降りるとすぐに、一定の速さで、動く歩道外を逆走するとします。
　動く歩道は、一定の間隔で人が降ります。
　降りてから、500人分進むと、動く歩道のスタート地点（列の最後尾）に着きます。
　その間の時間は、やはり 800(秒)　です。

よって、後半の、人の降りる間隔は
　800÷500＝1.6（秒）であり、リフトの速度は
　4×2/1.6＝5(m/s)
となります。

No.37817 - 2016/07/04(Mon) 16:21:24

☆ Re: 数的推理問題？ / アイリ

ヨッシーさん

またしても見事な解答と解説をありがとうございました！

No.37818 - 2016/07/04(Mon) 16:59:19

★ 代数問題？ / アイリ

こんにちは。以下の問題の解き方がどうしても分からず困っています。

　・Xを1~100の実数からランダムに抽出
　・Yを1~200の実数からランダムに抽出
　・Zを1~300の実数からランダムに抽出

ここで、X²+ Y²+ Z²<10,000となることを「OK」とするとき、
X,Y,Zのランダム抽出を1,000回試行したときに「OK」となる期待値は？

また、下記説明書きがあります。
　・球の体積の公式は「 V=4/3πr³ 」
　・この問題がX、Yだけの場合は、1辺が100、もう1辺が200の長方形の中に100の辺に接する形で描かれた半径100の四分円（円の1/4の形）の面積が解答イメージとなる

私のバカな頭でもわかるようにどなたかご説明頂けたら幸いです。

No.37812 - 2016/07/04(Mon) 10:42:03

☆ Re: 代数問題？ / ヨッシー

ＸとＹだけの時は、抽出結果をＸＹ平面上に取ると、その点は
図の長方形状に配置されます。
一方、図の円内にあるときだけ　X^2＋Y^2＜10000 を満たします。
X^2＋Y^2＜10000 を満たす確率を、長方形と円の面積比で表そうと言うのが
上で書かれている「解答イメージ」です。

X,Y,Z だと、ＸＹＺの座標系において、抽出結果は図の直方体状に配置され、
そのうち、球内にあるときは、X^2＋Y^2＋Z^2＜10000 を満たすと考えます。
球（八分球）の体積は　500000π/3、直方体の体積は 6000000
なので、確率は
　5π/180
期待値は、1000を掛けて
　250π/9≒87.26≒87
というのが想定された解答でしょう。

ただし、実際は、ひとつひとつの点は離れていますので、
確率と体積比は、厳密には一致しません。
試しに、正確に数えると、
　100×200×300＝6000000
のXYZの組み合わせのうち、X^2＋Y^2＋Z^2＜10000 を満たすのは
511764 通りで、1000回中の期待値にすると 85.29 とちょっと
誤差が出てしまいます。

問題の流れからして、後者の解き方は求めていないと思われますので、
前者の通りで良いと思います。

No.37813 - 2016/07/04(Mon) 12:37:35

☆ Re: 代数問題？ / アイリ

ヨッシーさん

どうもご丁寧な解説を頂きありがとうございます。
お陰様でスッキリしました。

ありがとうございましたm(_ _"m)

No.37815 - 2016/07/04(Mon) 14:48:59

☆ Re: 代数問題？ / チン

ヨッシーへ
その図はX^ 2+Y^ 2+Z^ 2≦10000の時であって
しかもxが1から100、Yが1から200、Zが1から300なので
Xが100の時、Yが100の時、Zが100のときはX、Y、Zともに≠0より引かなければいけないと思うんですが
そりゃズレるわ

No.37824 - 2016/07/05(Tue) 19:02:13

★ 不定積分 / なにゃら

{e^(-x)｝(sinx)^2の不定積分を求めよ
部分積分を使うと思うのですがなかなかうまくいきません
教えてください

No.37802 - 2016/07/03(Sun) 23:38:06

☆ Re: 不定積分 / らすかる

I=∫e^(-x)cos2xdx とおくと
I=-e^(-x)cos2x-2∫e^(-x)sin2xdx
=-e^(-x)cos2x+2e^(-x)sin2x-4∫e^(-x)cos2xdx
=-e^(-x)cos2x+2e^(-x)sin2x-4I
なので
I=e^(-x)(2sin2x-cos2x)/5+C'
よって
∫e^(-x)(sinx)^2dx=∫e^(-x)(1-cos2x)/2dx
=(1/2)∫e^(-x)-e^(-x)cos2xdx
=(1/2){-e^(-x)-e^(-x)(2sin2x-cos2x)/5}+C
=-e^(-x)(2sin2x-cos2x+5)/10+C

No.37805 - 2016/07/04(Mon) 00:48:43

☆ Re: 不定積分 / なにゃら

なるほど.
先に一部を計算するのですね.
とても参考になりました.
ありがとうございます！

No.37853 - 2016/07/07(Thu) 17:29:08

★ 濃度 / 前進

最後の２の問題ですが確かに答は12％ですが、はじめから何かのバケツにAとBを混ぜるのと、過程を経て、同じになるのに、感覚的に納得できません。例えばAから20g Bから100gでしても最後は同じになるかなどお願いいたします

No.37799 - 2016/07/03(Sun) 22:09:55

☆ Re: 濃度 / 前進

追加です

No.37800 - 2016/07/03(Sun) 22:10:49

☆ Re: 濃度 / ヨッシー

同じ濃度の食塩水を、どんな割合で混ぜても、濃度は同じである。
ということが理解できれば、過程に関係なく、全部の食塩水を混ぜたときの濃度を求めればよいと分かると思います。

全体の食塩水は増えも減りもしていないので。

No.37810 - 2016/07/04(Mon) 07:16:46

☆ Re: 濃度 / 前進

合点しました。ありがとうございました。

No.37828 - 2016/07/06(Wed) 00:54:23

★ (No Subject) / 遠野

直前に関して対称な点の求め方が分かりません
例)直線a(x+y+1=0)に関して(3.2)と対称な点Bの座標を求めよ

No.37798 - 2016/07/03(Sun) 22:07:09

☆ Re: / なにゃら

求める点をB(a,b)とおきます.そしてA(3,2)とおく.
条件はABの傾きが直線の傾きと直交こととABの中点が直線上にあることです.
この２つの条件からa,bの値を求めましょう.

No.37803 - 2016/07/03(Sun) 23:40:59

☆ Re: / なにゃら

直交ことと→直交することですね

No.37804 - 2016/07/03(Sun) 23:41:50