ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 極限の問題につきまして / ブラッドマミ

お世話になります。ブラッドマミと申します。以下の２問について考えております。しかし、今の段階では手が出せません。もしわかる方ヒントでも、良いでも教えてください。

【１】次の問に答えよ。
（１）lim[n→∞]a[n]＝αのときlim[n→∞](a[1]+a[2]+…a[n])/n＝αが成り立つ事を示せ。

（２）lim[x→a]f(x)＝α、lim[x→a]f(x)＝βのときα＝βであることを背理法によって示せ。

以上よろしくお願いします。

No.37174 - 2016/05/26(Thu) 19:03:07

☆ Re: 極限の問題につきまして / IT

> （１）lim[n→∞]a[n]＝αのときlim[n→∞](a[1]+a[2]+…a[n])/n＝αが成り立つ事を示せ。

ε-Ｎ方式で示すのですよね？
ヒントはε-Ｎを使わずに書きますので、ε-Ｎ方式に置き換えてください。

(a[1]+a[2]+…a[n])/n を各a[i]がαに十分近い後方部分と残りの前方部分とに分けて、２段階評価するとできると思います。

前方部分はｎが大きくなるといくらでも０に近づきます。

(2) α≠β　と仮定すると|α-β｜＞0なので
ε-Ｎ方式で　ε＝|α-β｜/2 などとすれば矛盾が示せるのでは

No.37175 - 2016/05/26(Thu) 19:46:02

☆ Re: 極限の問題につきまして / ブラッドマミ

ありがとうございます。まだ飲み込めませんが参考にさせて頂きます。ありがとうございました。

No.37179 - 2016/05/27(Fri) 09:49:11

★ (No Subject) / 高校生文系３年

以下の答えが出ません。恐らく特殊解がm,-mの「整数の性質」の問題だと思います。

ｘ、ｙ自然数とする。６ｘ＋５ｙで表すことのできない最大の整数は？？である。

No.37159 - 2016/05/25(Wed) 22:27:29

☆ Re: / 高校生文系３年

宜しくお願いします。

No.37160 - 2016/05/25(Wed) 22:30:02

☆ Re: / IT

x,y で表をつくって規則性を調べるのが早道だと思います。

11,16,21,26,31,36
17,22,27,32,37,42
23,28,33,38,43,48
29,34,39,44,49,54
35,40,45,50,55,60
41,46
47

No.37162 - 2016/05/25(Wed) 22:39:36

☆ Re: / 高校生文系３年

有り難うございます。
ちなみに６ｘ＋５ｙ=ｍから６（ｍ）＋５（-ｍ）=ｍを引き、ｋを使う等をして求めていくやり方は外れでしょうか･･･？
もし可能ならば、その回答を簡単で構いませんので書いていただけると幸いです。

No.37164 - 2016/05/25(Wed) 23:04:51

☆ Re: / IT

上記質問の前に用意していた説明を書きます。

6(x+1)+5(y-1)=6x+5y+1　ですので、

x=1,y=5のときすなわち(6×1)+(5×5)＝31 からは
yを1減らしてxを1増やすと1増えます。
yを2減らしてxを2増やすと2増えます。
yを3減らしてxを3増やすと3増えます。
yを4減らしてxを4増やすと4増えます。
yを1増やすと5増えます。
こうやって順次１ずつ増やせます。

No.37167 - 2016/05/25(Wed) 23:09:03

☆ Re: / 質問者

分かりやすい解説、解答有り難うございました!!解決しました!

No.37171 - 2016/05/26(Thu) 17:43:46

★ (No Subject) / 関数電卓

以下の通りです。

与式＝a(b＋c)²＋b(c²＋2ca＋a²)＋c(a²＋2ab＋b²)－4abc
　　＝(b＋c)a²＋(b＋c)²a＋bc(b＋c)
　　＝(b＋c){a²＋(b＋c)a＋bc}
　　＝(b＋c)(c＋a)(a＋b)
　

No.37152 - 2016/05/25(Wed) 20:24:25

☆ Re: / 関数電卓

すみません。
No.37149 に対する返信でした。
　

No.37153 - 2016/05/25(Wed) 20:26:47

☆ Re: / 関数電卓

> すみません。
> No.37149 に対する返信でした。
> 管理人さん，できたらこのスレを No.37149 のレスに移動して下さい。
　

No.37154 - 2016/05/25(Wed) 20:30:57

☆ Re: / あおこ

わかりました！ありがとうございました！

No.37190 - 2016/05/28(Sat) 20:22:07

★ 極限の求め方 / だい

こんばんは
いろいろと調べたのですが、
次の問題が解けなかったので
どなたか教えて下さい。
以下の極限の求め方です
a_1=1 , a_n=(1+a_(n-1))^-1

No.37151 - 2016/05/25(Wed) 20:16:05

☆ Re: 極限の求め方 / IT

a[1]=1,a[n]=1/(1+a[n-1]) より、任意の自然数nについてa[n]＞0（数学的帰納法）

x=1/(1+x) の２解のうち正の解をαとおくと　α=1/(1+α)
a[n]はαに収束することを示す。
a[n]-α={1/(1+a[n-1])} - {1/(1+α)}
=(α-a[n-1])/{(1+a[n-1])(1+α)}

よって|a[n]-α|＜{1/(1+α)}|a[n-1]-α|
よって|a[n]-α|→0(n→∞)

No.37155 - 2016/05/25(Wed) 20:39:48

☆ Re: / だい

すいません。
答えを載せるのを忘れていました。

答えは｛(√5)-1}/2となってました。

No.37156 - 2016/05/25(Wed) 21:04:14

☆ Re: 極限の求め方 / IT

α =｛(√5)-1}/2 になると思います。

No.37157 - 2016/05/25(Wed) 21:06:23

☆ Re: / だい

結局αをどうやって求めるかわかりませんでした。

No.37163 - 2016/05/25(Wed) 22:49:57

☆ Re: 極限の求め方 / らすかる

x=1/(1+x) という方程式は解けませんか？

No.37166 - 2016/05/25(Wed) 23:08:40

☆ Re: / だい

その方程式を解けば良かったんですね...
すみませんいろいろと勘違いしてました。

丁寧に教えて頂いてありがとうございました。

No.37169 - 2016/05/25(Wed) 23:31:07

★ (No Subject) / 桜夢

次の問題がわかりません…。
授業の小テストだったんですが、時間内に誰も解けませんでした。

実数aがa＾3+a+1=0を満たすとき、aが無理数であることを示せ。

解き方と答えをお願いします。

No.37146 - 2016/05/25(Wed) 17:46:58

☆ Re: / らすかる

a=p/q　（p,qは互いに素で0でない整数）とおいて代入・整理すると
p^3+pq^2+q^3=0 … (1)
(1)からp^3=-q^2(p+q)であり、pとqは互いに素なのでq=±1
また(1)からq^3=-p(p^2+q^2)であり、pとqは互いに素なのでp=±1
よってa=±1となるが、a=1もa=-1もa^3+a+1=0を満たさず矛盾。
従ってaは無理数。

No.37148 - 2016/05/25(Wed) 18:41:06

☆ Re: / 桜夢

なぜpとqは互いに素ならばq=±1となるのですか？？

No.37161 - 2016/05/25(Wed) 22:32:06

☆ Re: / らすかる

pとqの素因数で一致するものがなくて
p^3=-q^2(p+q)なのですから、
qは±1しかあり得ません。
qが±1以外の場合、qは必ずある素数sを素因数に持ち、
右辺はsで割り切れますが左辺はsで割り切れませんので
等式が成り立ちません。

No.37165 - 2016/05/25(Wed) 23:06:08

☆ Re: / 桜夢

らすかるさん、ありがとうございました！
とても分かりやすかったです。

No.37168 - 2016/05/25(Wed) 23:21:06

☆ Re: / 桜夢

え、やっぱり待ってください

互いに素なのに、±１でもいいのですか？？

No.37172 - 2016/05/26(Thu) 18:40:29

☆ Re: / ヨッシー

Wikipedia によると、
>互いに素（たがいにそ、英: coprime）は、2つの整数が 1
>と −1 以外に公約数を持たない場合の2数の関係である。
だから良いのです。

No.37173 - 2016/05/26(Thu) 18:48:19

☆ Re: / らすかる

「互いに素」
＝「共通の素因数を持たない」
＝「最大公約数が1」
ですから、例えば1と3は互いに素です。

# 1と任意の自然数は互いに素ということになります。
# 1と1ももちろん互いに素です。

No.37176 - 2016/05/26(Thu) 21:34:25

★ 導関数の定義に従って分数を微分 / くま

件名通り、導関数の定義　f(x) = lim(h→0) (f(x-h) - f(x)) / h に従って 1 / (2x -7) はどのように微分されるのでしょうか？

No.37145 - 2016/05/25(Wed) 15:10:41

☆ Re: 導関数の定義に従って分数を微分 / X

問題文の微分の定義式が違っていますが、
定義式通りに計算するのであれば
以下のようになります。
f'(x)=lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
=lim[h→0]1/{2(x+h)-7}-1/(2x-7)}/h
=lim[h→0](2x-7)-{2(x+h)-7}}/{h{2(x+h)-7}(2x-7)}
=lim[h→0](-2h)/{h{2(x+h)-7}(2x-7)}
=lim[h→0](-2)/{{2(x+h)-7}(2x-7)}
=-2/(2x-7)^2

No.37147 - 2016/05/25(Wed) 17:52:23

☆ Re: 導関数の定義に従って分数を微分 / くま

定義式の間違えが全ての元凶でした…
ご指摘感謝します。

No.37218 - 2016/05/30(Mon) 18:01:04

★ (No Subject) / きあら

この問題の解き方についてご意見をください。

No.37138 - 2016/05/24(Tue) 20:49:29

☆ Re: / きあら

これが、模範解答です。

No.37139 - 2016/05/24(Tue) 20:50:11

☆ Re: / きあら

これが、自分の解き方です。条件などに不備などがあればご指摘ください。

No.37142 - 2016/05/24(Tue) 21:00:45

☆ Re: / ヨッシー

「・・・代入して」の次の行の「Ｓ＝」を取れば、
それなりに筋の通った解答にはなります。
「Ｓ＝」が付いていると、これから示そうという等式が
正しい前提で変形しているように見えます。

No.37143 - 2016/05/24(Tue) 22:01:29

☆ Re: / ast

この場合, 問題文の最後に書かれている式は「与式」(仮定として使っていいと与えられているところの式) ではなく (結論として)「示すべき式」なので, 言葉づかいとしてもまずいですね. 実際にやっているのは「示すべき式の右辺を変形すると既知の式 S=(1/2)|a||b|sin(θ) の右辺に (したがって左辺 S に) 等しい」という論理なので, ヨッシーさんのアドヴァイス通り最初の S= はマズイということになります.

No.37144 - 2016/05/24(Tue) 22:30:07

★ 三角関数 / アリス

0≦θ≦πとし、y=sinθ+ルート3cosθとおく。yの取り得る値の範囲を求めよ。でπ/3≦θ+π/3≦4π/3がどうやって－ルート3/2≦sin(θ+π/3)≦1になるのかわかりません。詳しく教えてください。

No.37133 - 2016/05/24(Tue) 17:44:04

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

グラフを描けば一目瞭然です。

上はｙ＝sinθ (π/3≦θ≦4π/3) のグラフ
下はｙ＝sin(θ＋π/3)　(０≦θ≦π) のグラフです。

No.37134 - 2016/05/24(Tue) 17:55:49

☆ Re: 三角関数 / アリス

計算式とかはないんですか？

No.37136 - 2016/05/24(Tue) 19:03:14

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

ありません。

しいて言うなら
　sin(π/2)＝１
　sin(4π/3)＝－√3/2
ですが、どこで最大・最小になるかはグラフなり
単位円なりで調べるしかありません。

No.37137 - 2016/05/24(Tue) 20:22:12

★ 半円におけるタンジェントの定義 / アリクブケ

数学I、三角比について、単位円において、tanθの値は、動径(であっているのかな？)を伸ばした線と直線x=1の交点のy座標になりますが、単位円じゃなくても大丈夫ですよね？

たとえば、半径2の半円において、動径を伸ばした線と直線x=2の交点のy座標をtanθ←正しいのでしょうか。

No.37128 - 2016/05/24(Tue) 00:32:04

☆ Re: 半円におけるタンジェントの定義 / らすかる

正しくありません。値が2倍になってしまいます。

No.37129 - 2016/05/24(Tue) 02:47:23

★ 積分 / あん

a＞b＞0とする。座標空間において、不等式(√(x^2+y^2)-a)^2+z^2≦b^2で表される部分の体積を求めよ

という問題です。場合によっては二重積分を用いて頂いても結構です。
よろしくお願いします

No.37124 - 2016/05/23(Mon) 21:30:35

☆ Re: 積分 / 関数電卓

所与の立体を z 軸に垂直な平面 z＝k (－b≦k≦b) で切ると，

　(√(x^2＋y^2)－a)^2＋k^2≦b^2
より
　a－√(b^2－k^2)≦√(x^2＋y^2)≦a＋√(b^2－k^2) …(#)

(#)は，原点を中心とし半径が a－√(b^2－k^2) 以上 a＋√(b^2－k^2) 以下のドーナツ領域ですから，面積はすぐに求まります。
あとは，その面積を－b≦k≦b で積分したものが求める体積です。
　

No.37126 - 2016/05/24(Tue) 00:07:40

☆ Re: 積分 / あん

よくわかりました
ありがとうございます

No.37131 - 2016/05/24(Tue) 12:39:18

★ ベクトルについて / あむ

写真の1番は解けましたが、2番が理解できません。
解説をみても25でくくったりとよく分からなかったので誰か解説お願いします😥

No.37119 - 2016/05/23(Mon) 17:35:59

☆ Re: ベクトルについて / ヨッシー

ベクトルの大きさ（の２乗）を成分から計算して、
二次関数の最小に持って行きます。
　ｃ＝(2+3t, 1+4t)
なので、
　|ｃ|^2＝(2+3t)^2＋(1+4t)^2
　　＝25t^2＋20t＋5
　　＝25(t+2/5)^2＋1
よって、ｔ＝-2/5 のとき、|ｃ|^2 の最小値は１で、
|ｃ|≧０　より　|ｃ| の最小値は１。

25(t+2/5)^2＋1 の (t+2/5)^2 の部分は２乗なので、負になることはなく、
０が最小です。よって、この部分が０になる時のｔにおいて、
25(t+2/5)^2＋1 は最小になります。

25t^2＋20t＋5＝25(t+2/5)^2＋1 の変形を平方完成と言って、
二次関数の最小・最大を求めるときによく使います。
　x^2＋6x＋10＝(x+3)^2＋1
のような感じです。（これだと、ｘ＝－３のとき、最小値１）

No.37120 - 2016/05/23(Mon) 18:01:00

☆ Re: ベクトルについて / あむ

//ヨッシーさん//
平方完成するとこうなりませんか？？？
(計算間違えてたらすみません)
5分の2とはどこから出てくるのでしょうか？？