ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ブリュースター角の導出 / ブリュースター

n2cosθi-n1cosθt=0
n1sinθi=n2sinθt　　

この２式をからθtを消去し
θi＝arctan(n2/n1)
を導出する方法を教えて頂きたいです.

No.82821 - 2022/07/20(Wed) 17:04:14

☆ Re: ブリュースター角の導出 / X

問題の二つの等式を
(cosθ[t])^2+(sinθ[t])^2=1
に使うと
{(n[2]/n[1])^2}(cosθ[i])^2+{(n[1]/n[2])^2}(sinθ[i])^2=1
これより
(n[2]/n[1])^2+{(n[1]/n[2])^2}(tanθ[i])^2=1/(cosθ[i])^2
(n[2]/n[1])^2+{(n[1]/n[2])^2}(tanθ[i])^2=1+(tanθ[i])^2
∴…

No.82822 - 2022/07/20(Wed) 17:48:34

☆ Re: ブリュースター角の導出 / ブリュースター

ありがとうございます

No.82823 - 2022/07/20(Wed) 17:54:54

☆ Re: ブリュースター角の導出 / ブリュースター

すいません。
その先が分かりません。
(tanθ[i])^2=(n[2]/n[1])^2
に持っていくのでしょうか？

No.82824 - 2022/07/20(Wed) 18:10:18

☆ Re: ブリュースター角の導出 / X

その通りです。

No.82825 - 2022/07/20(Wed) 19:06:34

☆ Re: ブリュースター角の導出 / ブリュースター

すいません。
その手順が分からないです。

No.82826 - 2022/07/20(Wed) 19:11:19

☆ Re: ブリュースター角の導出 / X

(n[2]/n[1])^2+{(n[1]/n[2])^2}(tanθ[i])^2=1+(tanθ[i])^2
において
x=(tanθ[i])^2
と置けば、xの方程式となります。

No.82828 - 2022/07/20(Wed) 20:15:13

☆ Re: ブリュースター角の導出 / ブリュースター

このように考えましたが、どう導けばいいか分かりません。

No.82831 - 2022/07/20(Wed) 20:26:54

☆ Re: ブリュースター角の導出 / IT

４行目の分子、分母　それぞれ共通因子を括りだすとどうですか？

No.82833 - 2022/07/20(Wed) 20:58:44

☆ Re: ブリュースター角の導出 / ブリュースター

なるほど！出来ました。ありがとうございました。

No.82836 - 2022/07/20(Wed) 21:35:30

★ 右微分係数、左微分係数の存在の証明 / マメ

画像の関数の右微分係数、左微分係数が存在することの証明がどうしても分からないままです。
わかる方教えて頂けますでしょうか。遅くても今週中です。

No.82815 - 2022/07/20(Wed) 16:03:23

☆ Re: 右微分係数、左微分係数の存在の証明 / IT

f(π/2)、f(3π/2)はいくらになりますか？
（出題ミスでは？レベルや分野にもよりますが関数といえば一価関数を想定していると思うのですが,問題文をすべてアップしてください。）

No.82820 - 2022/07/20(Wed) 16:58:21

☆ Re: 右微分係数、左微分係数の存在の証明 / マメ

すみません、今になって何とか解決しました。
因みに関数はそれのみ表示されて件名が問題文です。いくつか問題があり、証明せよの部分は3問目で別紙にある為写真に入れることができませんでした。

No.82829 - 2022/07/20(Wed) 20:15:31

☆ Re: 右微分係数、左微分係数の存在の証明 / ast

以前から不審な質問が続いてるんですよねぇ, この問題.
https://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=82069
https://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=81880

No.82832 - 2022/07/20(Wed) 20:29:59

☆ Re: 右微分係数、左微分係数の存在の証明 / IT

誤植はよくあることとは言え、学校の課題だとすると生徒は迷惑ですね。

No.82835 - 2022/07/20(Wed) 21:11:21

★ 線形代数学行列について / Bio

線形代数学の行列の分野についての質問です。この例題2.3.1において、rank(A|b)というのは、最初の拡大係数行列の階数ではないのでしょうか？だとすればこの場合
rank(A|b)は3となるのではないのですか？
なぜ2になるのか教えてください。お願いします。

No.82814 - 2022/07/20(Wed) 16:00:17

☆ Re: 線形代数学行列について / ast

例えば一本目と三本目の式を足すと二本目の式になるので, rank(A|b) が2以下なのは明らかです.
# 方程式の本数を数えるなら, 階数は「独立な」方程式の本数を数えなければいけない.

No.82830 - 2022/07/20(Wed) 20:19:42

★ 場合の数 / 名無し

問
7名を3つの部屋に宿泊させる。なお、各部屋には4名まで宿泊できる。
部屋の区別ができない時、各部屋に1人以上宿泊するような場合の数は何通りか。

についてです。以下の手順で考えましたが、どうも数えすぎなようです。どこが間違っているのでしょうか？

No.82801 - 2022/07/19(Tue) 13:04:34

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

人を ABCDEFG とします。
最初に
　[A][B][C]
を入れて、次に
　[DE][F][G]
と入れるのと、最初に
　[D][F][G]
を入れて、次に
　[AE][B][C]
と入れるのとは同じです。
こういうのがいっぱい出来るので、大きい数になります。

人数を
　(4人,2人,1人) (3人,3人,1人) (3人,2人,2人)
にした場合それぞれで場合の数を出すのが良いと思います。

No.82804 - 2022/07/19(Tue) 17:53:42

☆ Re: 場合の数 / 名無し

なるほど、理解しました。ありがとうございます！

No.82809 - 2022/07/20(Wed) 12:05:44

★ 回転体の体積 / 大西

aを正の定数とし、y=x^2とy=a^2で囲まれる部分の図形をx軸の周りに回転させたものをy軸の周りに回転させて得られる回転体の体積を求めたいのです。

回転体をy=t(0≦t≦a^2)で切ったときの断面積をS(t)とすると、

S(t)=π(a^4-t^2-t)なので、V=2∫S(t)dt(t=0..a^2)
で計算すると、
V=πa^4(4a^2+3)/3

となったのですが、tの値のよって断面の形が変わっていきそうな気がするので間違っていると思います。
上記はtがa^2に近いところの時で
tが0に近いところではa^4-t^2になってその間はまた違いそうな気がします。

解答を教えてください。

No.82800 - 2022/07/19(Tue) 12:11:48

☆ Re: 回転体の体積 / X

問題の座標平面を3次元に拡張して考えます。

まず、問題の平面図形をx軸の周りに回転してできる
回転体について
x^2≦r≦a^2 (A)
y^2+z^2=r^2 (B)
(A)(B)より
x^2≦√(y^2+z^2)≦a^2
∴これを平面y=t(0≦t≦a^2)で切った断面について
x^2≦√(t^2+z^2)≦a^2
これより
x^4-t^2≦z^2≦a^4-t^2
∴
(i)-a≦x≦-√t,√t≦x≦aのとき
√(x^4-t^2)≦z≦√(a^4-t^2)
,-√(a^4-t^2)≦z≦-√(x^4-t^2)
(ii)-√t＜x＜√tのとき
-√(a^4-t^2)≦z≦√(a^4-t^2)

(i)(ii)から、断面上の点で点P(0,t,0)から
最も遠い位置にある点の座標は
(±a,t,±√(a^4-t^2)) (複号任意)
これらの点の点Pに関する対称性から
Q(a,t,√(a^4-t^2))
のみについて考えていきます。

さて、
線分PQの方程式は
y=t,z=(x/a)√(a^4-t^2) (0≦x≦a)
又
(x/a)√(a^4-t^2)-√(x^4-t^2)
={(a^4-t^2)(x/a)^2-(x^4-t^2)}/{(x/a)√(a^4-t^2)+√(x^4-t^2)}
={{a^2-(t/a)^2}x^2-x^4+t^2}/{(x/a)√(a^4-t^2)+√(x^4-t^2)} (C)
ここで(C)の分子でx^2=uと置いたものを
f(u)(0≦u≦a^2)と置いて
f(u)の符号を考えると
f(u)=(a^2-(t/a)^2)u-u^2+t^2
∴横軸にu,縦軸にf(u)を取ったグラフは
上に凸の放物線で
更に
f(0)=t^2≧0
f(a^2)=0
となるので
f(u)≧0
ということで
(C)より
(x/a)√(a^4-t^2)≧√(x^4-t^2) (√t≦x≦a)

以上から
線分PQは断面の領域内に含まれる
ことが分かりますので、体積を求める回転体の断面は
Pを中心とする半径PQの円の周及び内部
となります。
よって、断面積をS(t)とすると
S(t)=πPQ^2=π(a^2+a^4-t^2)
∴求める体積をVとすると
V=2∫[0→a^2]S(t)dt
=2π∫[0→a^2](a^2+a^4-t^2)dt
=2π{(a^2+a^4)a^2-(1/3)a^6}
=2π{a^2+(2/3)a^4}a^2
=(2π/3)(2a^2+3)a^4

注)
計算式を見てお気づきかもしれませんが、
体積を求める回転体の形状は、
半径√(a^2+a^4)の球の両端を平行な平面で削ったもの
となります。

No.82827 - 2022/07/20(Wed) 20:14:22

☆ Re: 回転体の体積 / 大西

Xさんありがとうございます。
半径√(a^2+a^4)の球の両端を平行な平面で削ったもので考えるとわかりやすいですね。
一度自分でも計算してみます。

私は半径a^2の球に突起部分を加えるという考え方からアプローチしていましたが、突起部分の体積をうまく求められずに終わってしまっていました。

以前、No.81823の質問でy=sinx(0≦x≦π)とx軸とで囲まれる部分の図形Dをx軸に回転させたものをさらにy軸に回転させて得られる回転体の体積を求めるときは、Dをy軸周りに回転させて得られる回転体の体積の2倍になるだけだと教えていただいたのですが、今回は単純なものじゃなかったので苦戦していました。

No.82839 - 2022/07/20(Wed) 23:31:15

★ 不等式 / 高三

f(θ)=(π/2-θ)tanθ-θtan(π/2-θ)+1
とします。
正の実数x,yがx+y<π/2を満たせば
f(x+y)<f(x)+f(y)
となることの証明を教えて下さい。

No.82796 - 2022/07/18(Mon) 14:41:23

☆ Re: 不等式 / らすかる

f(x)+f(y)-f(x+y)
={(π/2-x)tanx-xtan(π/2-x)+1}+{(π/2-y)tany-ytan(π/2-y)+1}
　-{(π/2-x-y)tan(x+y)-(x+y)tan(π/2-x-y)+1}
={(π/2-x)tanx-x/tanx+1}+{(π/2-y)tany-y/tany+1}
　-{(π/2-x-y)tan(x+y)-(x+y)/tan(x+y)+1}
=(π/2-x)tanx+(π/2-y)tany-x/tanx-y/tany
　-(π/2-x-y)(tanx+tany)/(1-tanxtany)+(x+y)(1-tanxtany)/(tanx+tany)+1
(ここでu=tanx,v=tanyとおく)
=(π/2-x)u+(π/2-y)v-x/u-y/v-(π/2-x-y)(u+v)/(1-uv)+(x+y)(1-uv)/(u+v)+1
(途中計算は長いので省略)
={(1-uv)/(u+v)-(π/2-x-y)}uv(u+v)/(1-uv)+{(v-y)u^2+(u-x)v^2}(1-uv)/{uv(u+v)}
(ここでu,vを元に戻す)
={tan(π/2-x-y)-(π/2-x-y)}tanxtanytan(x+y)
+{(tany-y)(tanx)^2+(tanx-x)(tany)^2}tan(π/2-x-y)tan(π/2-x)tan(π/2-y)
＞0
なので
f(x+y)＜f(x)+f(y)

No.82799 - 2022/07/19(Tue) 03:26:54

☆ Re: 不等式 / 高三

凄すぎる…。
ありがとうございました。

No.82834 - 2022/07/20(Wed) 21:04:47

★ 微分積分 / math

数学IIの問題です。
どなたかご教授願います。

No.82792 - 2022/07/18(Mon) 06:34:49

☆ Re: 微分積分 / X

方針を。

条件から
f'(x)=6x^2-6ax=6x(x-a)
∴0≦x≦1における増減表により
(i)a≦0のとき
f(x)は
最小値f(0)=b
最大値f(1)=2-3a+b
を取るので
0≦b,2-3a+b≦1
しかし、これらを満たす(a,b)
の組は存在しないので不適。
(ii)0＜a≦2/3のとき
f(x)は
最小値f(a)=-a^3+b
最大値f(1)=2-3a+b
を取るので
0≦-a^3+b,2-3a+b≦1
(iii)2/3＜a≦1のとき
f(x)は
最小値f(a)=-a^3+b
最大値f(0)=b
を取るので
0≦-a^3+b,b≦1
(iv)0＜a≦1のとき
f(x)は
最小値f(1)=2-3a+b
最大値f(0)=b
を取るので
0≦2-3a+b,b≦1
しかし、これらを満たす(a,b)
の組は存在しないので不適。

以上を整理して、条件のとき
0＜a≦2/3かつb≧a^3かつb≦3a-1
又は
2/3＜a≦1かつb≧a^3かつb≦1
そこで横軸にa,縦軸にbを取って
上記を満たす領域(Dとします)
を図示します。

次に
∫[0→1]f(x)dx=k
と置くと
1/2-a+b=k
∴b=a+k-1/2 (A)
これは横軸にa,縦軸にbを取った
座標平面では直線を表します。
後は直線(A)がDと交点を持つような
kの値の範囲を、Dの上に直線(A)を
描いた上で求めていきます。

こちらの計算では
最小値は1/2-(2/9)√3
(このとき(a,b)=((1/3)√3,(1/9)√3))
最大値は5/6
(このとき(a,b)=(2/3,1))
となりました。

No.82794 - 2022/07/18(Mon) 06:59:22

☆ Re: 微分積分 / IT

（別解）
s=∫[0→1]f(x)dx=(1/2)-a+b
t=s-(1/2) とおくとb=a+t

これをf(x) に代入
　f(x)=2x^3-3ax^2+a+t
　f'(x)=6x(x-a)

0≦x≦1で0≦f(x)≦1 なので
　0≦f(0),f(1)≦1
さらに 0≦a≦1 のときは、0≦f(a)≦1

よって
　0≦a+t≦1 ∴　-a≦t≦-a+1 …(ア)
かつ0≦2-2a+t≦1∴2a-2≦t≦2a-1…(イ)
　　さらに 0≦a≦1 のときは、0≦-a^3+a+t≦1∴a^3-a≦t≦a^3-a+1 …(ウ)

(ア)、(イ)、(ウ）の共通範囲を調べればよい。

No.82795 - 2022/07/18(Mon) 10:50:01

☆ Re: 微分積分 / X

＞＞mathさんへ
ごめんなさい。
No.82794において誤りがありましたので、直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.82797 - 2022/07/18(Mon) 18:52:55

★ 不等式で表された立体の体積 / あき

{(x,y,z)|0≦z≦1+x+y-3y(x-y),0≦y≦1,y≦x≦x+1}を満たす領域をDとする
(1)y軸に垂直な面でDを切断した時、Dの断面はどのような図形か。
(2)Dの体積を求めよ

教えてください！

No.82780 - 2022/07/17(Sun) 00:40:51

☆ Re: 不等式で表された立体の体積 / X

問題文にタイプミスはありませんか？

No.82781 - 2022/07/17(Sun) 07:27:53

☆ Re: 不等式で表された立体の体積 / あき

y≦x≦y+1でした申し訳ありません

No.82784 - 2022/07/17(Sun) 12:29:51

☆ Re: 不等式で表された立体の体積 / X

(1)
問題の切断面の方程式は
y=Y (A)
(0≦Y≦1)
と置くことができます。
ここで
0≦z≦1+x+y-3y(x-y)
から
0≦z≦(1-3Y)x+3Y^2+Y+1
これと
Y≦x≦Y+1
により、問題の断面は
直線
z=0,y=Y (B)
z=(1-3Y)x+3Y^2+Y+1,y=Y (C)
x=Y,y=Y (D)
x=Y+1,y=Y (E)
に囲まれた領域です。

ここで(C)と(D)の交点をP、
(C)と(E)の交点とQとすると
P(Y,Y,2Y+1)
Q(Y+1,Y,2-Y)
となり、いずれも
z座標が正
となっています。

∴求める図形は台形です。

注)
もし、P,Qのz座標の符号が異なっていたり、
一方が0であった場合は、図形の形状が台形
ではなくなりますので、その可能性を
排除するためにP,Qのz座標の符号を
確かめています。

(2)
(1)の過程の断面の断面積をSとすると
S=(1/2)(2Y+1)(2-Y)
∴求める体積をVとすると
V=∫[0→1]SdY=∫[0→1](1/2)(2Y+1)(2-Y)dY
=-(1/2)∫[0→1](2Y^2-3Y-2)dY
=-(1/2)[(2/3)Y^3-(3/2)Y^2-2Y][0→1]
=17/12

No.82785 - 2022/07/17(Sun) 13:50:43

☆ Re: 不等式で表された立体の体積 / あき

ありがとうございました！よく理解できました！

No.82786 - 2022/07/17(Sun) 14:11:43

★ 実数解の個数 / よし

arctanx=axにおける正の実数解の個数を求めよ

この問題についてご教授頂けませんでしょうか

No.82779 - 2022/07/17(Sun) 00:19:04

☆ Re: 実数解の個数 / X

f(x)=tanx-ax
と置くと
f'(x)=1/(1+x^2)-a
又
f(0)=0 (A)
に注意します。
(i)a≦0,1≦aのとき
f'(x)の値は0、又は一定の符号になるので
f(x)は単調。
∴(A)より、f(x)=0となるx＞0なる値は無し。
(ii)0＜a＜1のとき
f(x)に関する増減表を書くと
f(x)は
x=-√(1/a-1)で極小
x=√(1/a-1)で極大
-√(1/a-1)≦x≦√(1/a-1)において単調増加
これと(A)により
f(√(1/a-1))＞0 (B)
更に
limf(x)=-∞ (C)
(A)(B)(C)から中間値の定理により
(A)より、f(x)=0となるx＞0なる値は1個。

以上から求める解の個数は
a≦0,1≦aのとき0個
0＜a＜1のとき1個

No.82782 - 2022/07/17(Sun) 07:34:53

☆ Re: 実数解の個数 / IT

Xさん、1行目は、f(x)=arctanx-ax のタイプミスですね？

No.82783 - 2022/07/17(Sun) 11:10:38

☆ Re: 実数解の個数 / X

＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞よしさんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通りです。

No.82787 - 2022/07/17(Sun) 14:31:36

☆ Re: 実数解の個数 / よし

また、(√(1/a-1),π/2a)の間に解をもつという証明はどのように行えばいいですか。

No.82855 - 2022/07/22(Fri) 10:13:56

☆ Re: 実数解の個数 / X

＞＞よしさんへ
もう見ていないかもしれませんが、ごめんなさい。
No.82782において更に誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.82885 - 2022/07/24(Sun) 18:09:51

★ 発散定理 / ガウス

写真のように解いたのですが、合っているでしょうか？特にdzを外に出した所が不安です。

No.82768 - 2022/07/16(Sat) 13:40:28

☆ Re: 発散定理 / X

計算方針、結果は正しいですが、途中計算の表記に
問題があります。

上から5,6行目の
＞＞∫∫(4x+2y)dxdz
ですが、dzはdyの誤記ですか？
それと、二重積分を表記するのであれば
積分範囲をきちんと書く必要があります。
上記の場合だと、例えば
∫∫[S](4x+2y)dxdy
(但しS={(x,y,z)|x^2+y^2≦1,z=0})
というように記述します。

No.82771 - 2022/07/16(Sat) 17:20:33

☆ Re: 発散定理 / ガウス

dzは誤記でした.回答ありがとうございます.

No.82776 - 2022/07/16(Sat) 19:15:50

★ 数学の先生の自信作 / 中学2年生

(x/2022+y/2021)+(x/337+y/47)=51
(x/2022+y/2021)-(x/337+y/47)=-47
の連立方程式です。
ただの加減法等ではなく、閃くととても簡単に
解けるそうです。可能であれば途中式まで教えて頂けると幸いです。
よろしくお願いします。

No.82758 - 2022/07/15(Fri) 21:29:55

☆ Re: 数学の先生の自信作 / らすかる

これは「ただの加減法」ではないと思いますが、
これで良いのかどうかはわかりません。

x/2022=s, y/2021=tとおくとx/337=6s,y/47=43tなので
(s+t)+(6s+43t)=51
(s+t)-(6s+43t)=-47
和から s+t=2
差から 6s+43t=49
6s+6t=12を引いて 37t=37 →t=1,s=1
∴x=2022,y=2021

No.82760 - 2022/07/15(Fri) 21:52:42