ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 解き方を教えてください。答えは分かりません。 / 桜夢（高1）

次の問題です。
3点（0,1）,（-1,-2）,（-2,-1）を通る放物線y=ax^2+bx+c……?@と直線y=2x+6の交点をA,Bとする。
（１）定数a,b,cの値を求めよ。
（２）A,Bのx座標の差を求めよ。
（３）点Pが放物線?@上をAからBまで動くとき、三角形APBの面積の最大値を求めよ。

私は、（２）まで解けました。
（１）がa=2,b=5,c=1
（２）が245/5となりました。

（２）は少し不安です。

（３）はどう解けばいいかわかりませんでした。
直線ABを平行移動しようかとも思ったのですが、接点とかわからなくて…。

お願いします！

No.37263 - 2016/06/03(Fri) 21:23:48

☆ Re: 解き方を教えてください。答えは分かりません。 / IT

> （１）がa=2,b=5,c=1
合っています。

> （２）が245/5となりました。
まちがっています。どうやってだされましたか？

> （３）はどう解けばいいかわかりませんでした。
> 直線ABを平行移動しようかとも思ったのですが、接点とかわからなくて…。
考え方は、良いと思います。

直線ABと平行な直線　y=2x+d…?A が　放物線y=2x^2+5x+1…?@ と接する
　⇔二次方程式　2x^2+5x+1=2x+d　が重解を持つ
　⇔二次方程式　2x^2+3x+1-d=0…?B　が重解を持つ
　⇔?Bの判別式＝0　です。

直線?Aと放物線?@の接点をP、ABの間の放物線上の任意の点をP’
直線?A上の任意の点をQ、とすると
△ABP'≦△ABP であり、
△ABP＝△ABQ　ですので、面積が計算しやすい点Qをとって計算します。(AかBの真下の点が良いです）

No.37266 - 2016/06/04(Sat) 00:16:29

☆ Re: 解き方を教えてください。答えは分かりません。 / 桜夢（高1）

（２）、どうすればよいですか？？
私はA,Bそれぞれの座標を求め、三平方を使って求めました。

No.37271 - 2016/06/04(Sat) 20:18:32

☆ Re: 解き方を教えてください。答えは分かりません。 / IT

（２）A,Bのx座標の差を求めよ。
なので　A,Bそれぞれのx座標を求め、単に引き算するだけです。
答えは７/２になると思います。

＃線分ABの長さを求めるのではないので、三平方の定理は使いません。

No.37272 - 2016/06/04(Sat) 20:42:31

★ 解き方を教えてください。 / 桜夢

この問題がわかりません…。

No.37261 - 2016/06/03(Fri) 20:56:52

☆ Re: 解き方を教えてください。 / ヨッシー

(1)
△ＱＲＨは 1:2:√3 の三角形でＨＲ＝３より
　ＱＲ＝√3、ＱＨ＝2√3
一方、ＯＲ＝3√3 より
　ＯＱ＝2√3
ＰＨは∠ＯＨＱの二等分線なので、角の二等分線の定理より
　ＯＰ：ＰＱ＝ＯＨ：ＱＨ＝3：√3
よって、
　ＰＱ＝ＯＱ×√3/(1＋√3)
で求められます。

(2)

ＣＩが直径となるように点Ｉを取ります。
求める図形を、線分ＣＤと劣弧ＣＤで囲まれた弓形と
△ＣＤＨに分けて考えます。
ＤＨ//ＣＩより、△ＣＤＨ＝△ＤＯＨ
∠ＤＯＨ＝120°より
　△ＤＯＨ＝6√3×3÷2＝9√3
（以下略）

No.37265 - 2016/06/04(Sat) 00:04:05

☆ Re: 解き方を教えてください。 / mo

横から失礼します。別解です

ＡＧが直径で、Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆが弧ＡＧの6等分点なので
弧ＡＢ、ＢＣ，ＣＤ，ＤＥ，ＥＦ，ＦＧに対する中心角は30°となり
∠ＡＨＢ＝∠ＢＨＣ＝∠ＣＨＤ＝∠ＤＨＥ＝∠ＥＨＦ＝15°

(1)
直角三角形ＨＯＲを考え、ＯＨ＝6から、ＨＲ＝3
直角三角形ＨＰＲを考え、ＨＲ＝3から、ＰＲ＝3
直角三角形ＨＰＱを考え、ＨＲ＝3から、ＱＲ＝√3
ＰＱ＝ＰＲ－ＱＲ＝3－√3＝√3(√3－1)

(2)
線分ＣＨ，ＤＨおよび弧ＣＤによって囲まれた面積…?@
線分ＢＨ，ＤＨおよび弧ＢＤによって囲まれた面積…?A
線分ＢＨ，ＣＨおよび弧ＢＣによって囲まれた面積…?B

?A【扇形ＯＢＣ＋二等辺三角形ＯＤＨ】として
扇形ＯＢＣ：(6^2)π×(1/6)＝6π
二等辺三角形ＯＤＨ：6×3√3×(1/2)＝9√3

?B【扇形ＯＢＣ＋二等辺三角形ＯＤＨ】として
扇形ＯＢＣ：(6^2)π×(1/12)＝3π
二等辺三角形ＯＤＨ：6×3×(1/2)＝9

求める面積?@＝?A－?B
＝{6π＋9√3}－{3π＋9}＝3π＋9√3－9

補足：各二等辺三角形の面積は、底辺ＯＨとして
Ｃ，ＤからＢＨに下した垂線の長さを高さとしています。

No.37267 - 2016/06/04(Sat) 01:13:21

☆ Re: 解き方を教えてください。 / 桜夢（高1）

ていねいにありがとうございました。
助かりました。

No.37270 - 2016/06/04(Sat) 20:16:53

★ 呼び方 / hello

反比例なのになぜ比例定数と呼びますか？
Xを１倍、２倍とすると比例はYも１倍、２倍になります。しかし反比例はXを１倍、２倍とするとYは２分の１倍、３分の?T倍となり増加と減少または同じ整数という点で本質的に異なります。

No.37259 - 2016/06/03(Fri) 17:02:31

☆ Re: 呼び方 / らすかる

XとYが比例 → x=ky
X^2とY^3が比例 → x^2=ky^3
XとY^(1/2)が比例 → x=k√y
XとY^(-1)が比例 → x=ky^(-1)　（=反比例）
のように考えればどれも「比例」であり、
どちらかというと「XとY^(-1)が比例」だけを
「反比例」と呼ぶことの方が特殊ですね。

No.37260 - 2016/06/03(Fri) 18:59:42

★ (No Subject) / たろー

(3)がわかりません。教えて下さい

No.37256 - 2016/06/02(Thu) 06:26:36

☆ Re: / ヨッシー

手書きの解答を見る限り(1)も理解されているようには思えません。
というより、なぜ
　f(x)＝－(x-2)^2＋5
という形から最大値を求めることが出来るのか理解されていないのでは？

また、検算の習慣も付いていないようです。せめて、
　f(x)＝－x^2＋4x＋1
に、ｘ＝５を代入してf(x)＝２になるかどうか確認すべきです。
（もちろん、ならないのですけれども）

(1) の f(x)＝－(x-2)^2＋5　も
(2) の f(x)＝－(x-p)^2＋p＋3　も、
式変形は合っています。では、(2) の答えは何ですか？

No.37257 - 2016/06/02(Thu) 07:12:25

★ 展開図 / まるいち

正四面体を展開すると画像のような形になるようですが納得できません。正四面体が展開されて展開図がこの形になる動画を探したのですがでてきません。誰かGIFでも、YouTubeでもニコニコ動画でもいいので、それが展開されるイメージ図(？)を僕に見せてくれませんか？静止画でもいいので展開がイメージできる画像でお願いします。

No.37249 - 2016/06/01(Wed) 00:30:05

☆ Re: 展開図 / IT

紙とはさみがあれば、ご自分で直ぐ出来ますよ。
（１０秒でできましたが、動画は送れません）

No.37250 - 2016/06/01(Wed) 01:00:38

☆ Re: 展開図 / ヨッシー

はい。

No.37255 - 2016/06/01(Wed) 22:50:20

★ 複素数 / たゆゆ

λを1の3乗根とする。α=λ+1/λとするときα^3+α^2 -αの値を求めよ。という問題の解き方を教えてください。お願いします。

No.37245 - 2016/05/31(Tue) 20:38:17

☆ Re: 複素数 / たゆゆ

λは1は5乗根です。

No.37246 - 2016/05/31(Tue) 20:39:12

☆ Re: 複素数 / ヨッシー

λが１の３乗根ではなく、５乗根だと訂正されたのでしょうか？

５乗根だとして
λ^5＝１なので、１/λ＝λ^4
よって、
　α^2＝(λ＋λ^4)^2＝λ^2＋２λ^5＋λ^8
　　　＝λ^3＋λ^2＋２
　α^3＝(λ＋λ^4)^3＝λ^3＋３λ^6＋３λ^9＋λ^12
　　＝λ^3＋３λ＋３λ^4＋λ^2
よって、
　α^3＋α^2－α＝２(λ^4＋λ^3＋λ^2＋λ＋１)
λ＝１のとき　（省略）
λ≠１のとき、λは
　ｘ^5＝１
の解の、ｘ＝１以外の解である。
　ｘ^5－1＝０
は
　(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)＝０
と変形でき、ｘ＝１以外の解は
　x^4+x^3+x^2+x+1＝０
を満たす。つまり
　λ^4＋λ^3＋λ^2＋λ＋１＝０
である。(以下略)

No.37247 - 2016/05/31(Tue) 20:58:14

☆ Re: 複素数 / たゆゆ

その通りです。理解すりことができました。ありがとうございます。

No.37248 - 2016/05/31(Tue) 21:11:54

★ 範囲指定の三角関数の積分 / ます

度々すいません。写真の上の問題で、答えは出て、解が-2という疑わしい数字だったのですがあり得るのでしょうか？置換積分を使ってu=2θとして解きました。よろしくお願いします。

No.37234 - 2016/05/31(Tue) 17:27:44

☆ Re: 範囲指定の三角関数の積分 / らすかる

正しくないようです。
↓答え合わせはこちらのサイトで出来ます。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+xsin%282x%29dx,x%3D0,pi%2F4

No.37241 - 2016/05/31(Tue) 19:10:46

☆ Re: 範囲指定の三角関数の積分 / X

検算という観点から、一言。

0≦θ≦π/4において
0≦θ
0≦sin2θ
ですので
0≦θsin2θ
よって問題の定積分の値はは少なくとも正
でなければならないことから、誤りである
ことは明白です。

No.37244 - 2016/05/31(Tue) 20:19:41

☆ Re: 範囲指定の三角関数の積分 / ます

部分積分を使って解くことが出来ました。
ご指摘感謝します。

No.37251 - 2016/06/01(Wed) 12:58:36

★ 複雑な積分 / ます

写真のdとeで、数式を積分せよという問題なのですが詰まっていまいます。お知恵をお貸し下さい。よろしくお願いします。

No.37228 - 2016/05/31(Tue) 14:34:31

☆ Re: 複雑な積分 / X

(d)
2x^2+1の部分を微分して消すような感じで
部分積分を二回実行しましょう。

(e)
lnx=t
と置いて置換積分しましょう。

No.37230 - 2016/05/31(Tue) 15:15:50

☆ Re: 複雑な積分 / ます

Xさんご回答有り難うございます。
その方法で解を出した所、
dは (2x^2+1)e^x-4xe^x+4e^x+C
eは 1/3(ln[lnx])+C
となりました。
カギカッコは絶対値記号です。

No.37231 - 2016/05/31(Tue) 15:48:46

☆ Re: 複雑な積分 / X

d)についてはそれで問題ありません。
e)についてですが
(1/3)ln|lnx|+C
の意味であれば、それで問題ありません。

No.37243 - 2016/05/31(Tue) 20:14:03

☆ Re: 複雑な積分 / ます

Xさん
ありがとうございます。
両方共解くことが出来ました。
感謝します。

No.37252 - 2016/06/01(Wed) 12:59:29

★ 大学数学 / 鮎

次の関数の第n次導関数を求め,x=0での第n次微分係数を求めよ
√(2+x^2)
これの第n次導関数の漸化式を作りたいのですがうまくできません
教えてください

No.37227 - 2016/05/31(Tue) 01:29:48

☆ Re: 大学数学 / 関数電卓

　f(x)＝√(x²2＋2) …(1) とおくと
　f²＝x²＋2 …(2)

df/dx＝f⁽¹⁾，d²f/dx²＝f⁽²⁾，等と略記すると，(2)の両辺を微分して，

　f･f⁽¹⁾＝x …(3)

前式を微分して整理すると，

　{f⁽¹⁾}²＋f･f⁽²⁾＝1 …(4)
　3f⁽¹⁾･f⁽²⁾＋f･f⁽³⁾＝0 …(5)
　3{f⁽²⁾}²＋4f⁽¹⁾･f⁽³⁾＋f･f⁽⁴⁾＝0 …(6)
　10f⁽²⁾･f⁽³⁾＋5f⁽¹⁾･f⁽⁴⁾＋f･f⁽⁵⁾＝0 …(7)
　10{f⁽³⁾}²＋15f⁽²⁾･f⁽⁴⁾＋6f⁽¹⁾･f⁽⁵⁾＋f･f⁽⁶⁾＝0 …(8)

となり，大変煩わしいですが，順次求めることはできます。しかしこれは，ご所望の「漸化式」とはほど遠いですね。問題の出典は何ですか？
　

No.37258 - 2016/06/03(Fri) 15:53:04

☆ Re: 大学数学 / IT

下記のようにするとどうでしょうか？
気持ち悪いですが複素数を使って無理に因数分解します。
（n階導関数の表記がうまく出来ないので　f(n) などとしています)
f(x)=√(2+x^2)とおきi√2=aと書くと
f(x)=(x-a^2)^(1/2)
={(x+a)^(1/2)}{(x-a)^(1/2)}
g(x)=(x+a)^(1/2),h(x)=(x-a)^(1/2) とおくと

f(x)=g(x)h(x)

ライプニッツの公式より
f(n)=Σ[k=0,n](n,k)g(k)h(n-k)
あとはg(x),h(x)のk階導関数を計算します。

No.37262 - 2016/06/03(Fri) 21:16:13

☆ Re: 大学数学 / IT

y=√(2+x^2),y'=x/√(2+x^2)
よって (2+x^2)y'=xy

ライプニッツの公式を使い両辺をn回微分する。
(2+x^2)y(n+1)+(n,1)2xy(n)+(n,2)2y(n-1)=xy(n)+(n,1)y(n-1)
移項して
(2+x^2)y(n+1)+(2n-1)xy(n)+n(n-2)y(n-1)=0

x=0での第n次微分係数を求めるには
x=0を代入 2y(n+1)+n(n-2)y(n-1)=0

こんな感じでできるのでは？　（途中計算は確認してください）
＃(n,1),(n,2) などはコンビネーションです。普通は縦に数字を並べます。

No.37264 - 2016/06/03(Fri) 23:11:05

★ 複雑な微分 / ます

写真の(d)で、数式を微分せよという問題なのですがどこから手をつけていいか分かりません。お知恵をお借りできたら幸いです。よろしくお願いします。

No.37223 - 2016/05/30(Mon) 19:37:43

☆ Re: 複雑な微分 / ヨッシー

sec(x)＝1/cos(x) より
　(sec(5x+3))'＝5sin(5x+3)/cos^2(5x+3)
tan^2(x)＝sin^2(x)/cos^2(x) より
　(tan^2(x))'＝{2sin(x)cos^3(x)＋2cos(x)sin^3(x)}/cos^4(x)
　　＝2sin(x)/cos^3(x)
よって、
　{tan^2(sec(5x+3))}'＝2sin(sec(5x+3))/cos^3(sec(5x+3))×5sin(5x+3)/cos^2(5x+3)

よって、
　ｙ’＝10sin(5x+3)sin(sec(5x+3))/cos^2(5x+3)cos^3(sec(5x+3))・ｅ^(tan^2(sec(5x+3)))

検算はしてください。

No.37226 - 2016/05/30(Mon) 21:12:41

☆ Re: 複雑な微分 / ます

確認しました！
ありがとうございます！

No.37229 - 2016/05/31(Tue) 14:35:14

★ (No Subject) / アガリクス

授業でやったところの画像の問題の計算過程ですが、なぜここで2bで割っているのでしょう？筆算のところのx＋2bのところです。(4)です。

No.37220 - 2016/05/30(Mon) 19:06:29

☆ Re: / ヨッシー

2b で割るというのは、正しい言い方ではありません。
１÷４を筆算でやるとき、答えの部分に０．２と書きますが、
これを２で割るとは言いませんね。
正しくは 2b を立てると言います。

筆算するときに、ちゃんと
　ｘ^3　　　＋ａｘ－２０
のように、ｘ^2 の部分を空けて書かないと、
ｘ^2 の項とｘの項がごっちゃになっています。
このところに注意して、筆算をやり直せば、なぜ 2b が立つかは分かるでしょう。

No.37225 - 2016/05/30(Mon) 20:50:44

☆ Re: / アガリクス

すみません。やっぱり分かりません。
なぜ2bで2aとかがダメなのかが分かりません。
また、別のやり方とかあれば教えてください。お願いします。

No.37232 - 2016/05/31(Tue) 17:02:59

☆ Re: / ヨッシー

そもそも除数が違います。

×　ｘ^2－2b＋b^2＋1
○　ｘ^2－2bx＋b^2＋1

No.37242 - 2016/05/31(Tue) 20:03:01

★ 確率について / 奮闘中

0.25と 0.5を足しても
0.4になりません。和の法則ではありませんか？

No.37217 - 2016/05/30(Mon) 13:26:18

☆ Re: 確率について / X

条件付き確率を考慮に入れていません。

添付された写真において
1/4とは
Aが当たりという条件の下で
Bが当たりであるという条件付き確率
1/2とは
Aが外れという条件の下で
Bが当たりであるという条件付き確率

よって(1)の結果により、Bが当たる確率は
(2/5)(1/4)+(1-2/5)(1/2)=2/5
となります。
(1/4+1/2ではありません)

No.37219 - 2016/05/30(Mon) 18:04:24

★ (No Subject) / ばすけ

↓の者です

No.37213 - 2016/05/29(Sun) 22:13:21

☆ Re: / IT

朱書き部分の疑問の回答なら

等式の左辺の「ＡＢ」は「線分ＡＢの長さ」を表しており
点Ａ、点Ｂともにｘ軸上の点なので
等式の右辺では、「点Ａのｘ座標と点Ｂのｘ座標の差」を計算しているのです。

No.37215 - 2016/05/29(Sun) 22:26:12

☆ Re: / ヨッシー

図のような数直線で、Ａが３、Ｂが７の位置の点であるとき、
ＡからＢまでの長さＡＢは、
　ＡＢ＝３×７＝２１
ですか？それとも
　ＡＢ＝７－３＝４
ですか？

No.37216 - 2016/05/29(Sun) 22:29:30