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★ 極限 / おまる
いつもお世話になっております。
問題の解説がわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題の解説の赤線部の面積がどこを表しているのかがわかりません。
よろしくお願いします。
No.36974 - 2016/05/15(Sun) 14:18:26
☆ Re: 極限 / おまる
解説です。
No.36975 - 2016/05/15(Sun) 14:18:58
☆ Re: 極限 / X
解説の画像の右上図において羊が動き回る外周は
左側の曲線(C[1]とします)
と
ひもが結ばれた柵の頂点と反対側の頂点とを結ぶ
線分に関してC[1]と対称な曲線(C[2]とします)
及び
C[1]、C[2]の端点のうち、柵に結ばれていない側
を端点とする弧(C[3]とします)
となるのはよろしいですか？

赤波線の行の一つ上の行の式はC[1],C[2]に対応する
図形の面積になるのに対し、赤波線の式は
C[3]に対応する中心角π(1-1/n)の扇形の面積
となっています。
No.36983 - 2016/05/15(Sun) 16:07:25
☆ Re: 極限 / おまる
どうもありがとうございました。
理解することができました。
No.37011 - 2016/05/16(Mon) 18:30:21
★ (No Subject) / 嵐
先生が画像の問題の答えはそうなる、ならどうやって解く？みたいなことを言っていてそれをとっさにメモったものですが、なぜ答えはこうなるのですか？また、このような問題を逆関数の問題で出すみたいなことを言っていたのですが、この問題の逆関数はどうなるのでしょうか？
No.36970 - 2016/05/15(Sun) 11:56:45
☆ Re: / 嵐
すみません、画像をはり忘れました
No.36971 - 2016/05/15(Sun) 11:59:32
☆ Re: / IT
答えが,付いてないようですが？

等式がなりたつような　実数ｘは存在しないと思います。

一つ目の式＝ x^(1/2) です。
No.36973 - 2016/05/15(Sun) 12:45:19
★ (No Subject) / 嵐
画像の問題の答えはそれぞれ
問１１ ３／２
問１２ ３／５
問１３ １／２
問１４ １／３
問１５ ０
で合ってますか？
No.36967 - 2016/05/15(Sun) 09:07:01
☆ Re: / X
答えはいずれもそれで正解です。

但し11の計算過程について。
記述式問題で添付写真のように書くのであれば
最初に
3xを改めてxと置くと
と書いておかないと×になります。
No.36969 - 2016/05/15(Sun) 09:27:45
★ 三角関数？ / 高2
以下の問題がいまいちわかりません。

0<θ<(π/4)とし，mを(π)/(4θ)に最も近い整数とする。ただし，2つある場合はどちらか一方を選ぶ。このとき，cos(θ)<=sin(2mθ)となることを示せ。

という問題です。

自力で考えられたのは以下の通りです。

(π)/(4θ) >1であり，また，
m=1になるとき， π/6 <θ< π/4
m=2になるとき，π/10 <θ<= π/6
m=3になるとき，π/14 <θ<= π/10

など，具体的に計算してみたのですが，いまいち方針が立ちません.
結局，m<=2の時，(∵m=1の時は右端の範囲が条件より(π)/4　になるから)
(π)/(4m+2) <θ<= (π)/(4m-2)の間に，f(θ)=2sin(2mθ)-cos(θ)がf(θ)>=0であることを言えば良いことまでは分かりました。その後，数学的帰納法かとも思ったのですが，θが小さくなればなるほど，cosとsinの値の比は小さくなるので，うまく帰納法の式を作ってやることができませんでした。

何か考え違いをしていると思うのですが，ご教授願えないでしょうか。

宜しくお願いします。
No.36964 - 2016/05/15(Sun) 01:38:13
☆ Re: 三角関数？ / 高2
自己解決しました。申し訳ありません。

(π)/(4θ)の評価を誤っていました。

考えてくださった方がいらっしゃいましたら申し訳ございません。
No.36965 - 2016/05/15(Sun) 01:53:34
★ 確率 / 高３
1から10までの数が１つずつ書かれた10枚の札を1から順に積み重ね、任意に一枚抜き出して一番上に重ねる操作を３回行うとき次の確率を求めなさい。
(1)　すべてのカードが元の位置にある確率。
(2)　すべてのカードが元の位置にない確率。

よろしくお願いします。
No.36962 - 2016/05/14(Sat) 22:45:20
☆ Re: 確率 / IT
> (1)　すべてのカードが元の位置にある確率。
１番目を抜き出すと、0枚が上に0枚が下に移動
２番目を抜き出すと、1枚が上に1枚が下に移動
３番目を抜き出すと、1枚が上に2枚が下に移動

１０番目を抜き出すと、1枚が上に9枚が下に移動

よって３回ですべてのカードが元の位置にあるのは
１番目を３回抜く
1番目を１回、２番目を２回抜く

だけになると思います。この確率を求めればいいです。

(2)　すべてのカードが元の位置にない確率。
10番目は、かならず１度は抜く必要があるので、
何回目に10番目を抜くかで場合分けしてみれば出来るのでは？
（元の1,2,3番目と10番目の動きだけ考えれば良いと思いますが 面倒そうですね）
No.36963 - 2016/05/14(Sat) 23:06:44
☆ Re: 確率 / らすかる
＞ITさん
(1)は「3番目を3回抜く」もあるのでは？
No.36966 - 2016/05/15(Sun) 08:08:53
☆ Re: 確率 / IT
＞らすかるさん
　御指摘ありがとうございます。
そうですね、
元の
1番目は1→2→3→1
2番目は2→3→1→2
3番目は3→1→2→3番目
にそれぞれ元に戻りますね。
No.36968 - 2016/05/15(Sun) 09:11:13
☆ Re: 確率 / 高３
IT様　らすかる様
ありがとうございます。
(1)が1/200
(2)が191/200
となりましたが、合っているでしょうか？
No.36976 - 2016/05/15(Sun) 14:22:13
☆ Re: 確率 / らすかる
(1)は合っていますが、(2)は違いますね。
「10番目を少なくとも1回抜く」もの全てで
1-9^3/10^3=271/1000ですから、
191/200は大きすぎます。
No.36981 - 2016/05/15(Sun) 15:28:34
☆ Re: 確率 / 高３
そうでした。
10を少なくとも１回抜き、かつ少なくとも１枚がもとの位置と等しくなる場合が45通りなので、求める確率は(271-45)/1000=113/500　ですか？
No.36982 - 2016/05/15(Sun) 15:54:43
☆ Re: 確率 / らすかる
「少なくとも１枚がもとの位置と等しくなる場合」は51通りだと思います。
No.36987 - 2016/05/15(Sun) 16:24:58
☆ Re: 確率 / 高３
[1]10が1回目
(1回目,2回目,3回目）=(10,2,2以外) 9通り
(10,2以外,1)=9通り
[2]10が2回目
(1,10,1),(2,10,1),(2,10,2),(3〜9,10,1)　10通り
[3]10が3回目
(1〜9,2,10),(3,2と10以外,10) 17通り

これら以外がわかりません。
No.36993 - 2016/05/15(Sun) 18:16:16
☆ Re: 確率 / 高３
訂正です
[2]10が2回目
(1,10,1),(2,10,1),(2,10,10),(3〜9,10,1)　10通り
No.36994 - 2016/05/15(Sun) 18:21:35
☆ Re: 確率 / IT
１回目に３を抜いて１番上にあげて、
　２回目に１０番目、３回目に３〜１０番目を抜く…８通り
　でも３が元に戻ると思います。
これの一部が漏れているのでは？
No.36996 - 2016/05/15(Sun) 18:36:52
☆ Re: 確率 / らすかる
1回目が10であるものは
高３さんの書かれた通り18通り

1回目が10以外で2回目が10であるものは
高３さんの書かれたものに(3,10,2と4〜9)を加えた17通り

1,2回目が10以外で3回目が10であるものは
高３さんの書かれたものから(3,3,10)を除いて16通り

計51通り
となると思います。
No.36998 - 2016/05/15(Sun) 18:50:58
☆ Re: 確率 / 高３
とても良くわかりました。
どうもありがとうございました。
No.36999 - 2016/05/15(Sun) 19:03:27
★ 二項定理について / りん
問題は後ほど載せます。回答は今載せてある写真です。赤丸で囲んだところが僕の疑問点です。その方法で、解いても答えが合いません。なぜ僕の方法がダメなのか、後は、解き方を教えてください。
No.36958 - 2016/05/14(Sat) 15:56:55
☆ Re: 二項定理について / りん
問題はこの写真です。お願いいたします。
No.36959 - 2016/05/14(Sat) 15:58:27
☆ Re: 二項定理について / X
りんさんの解答は単にxと2の選び方の総数であって、
2を4つ選ぶことによる2^4をかけることが抜けています。
No.36961 - 2016/05/14(Sat) 19:11:21
★ 余弦定理の計算について / りん
写真のcosθ=〜 からの計算の展開の仕方が分かりません。分かりやすく教えてください(´･_･`)
No.36956 - 2016/05/14(Sat) 15:39:12
☆ Re: 余弦定理の計算について / りん
この写真です。
No.36957 - 2016/05/14(Sat) 15:39:43
☆ Re: 余弦定理の計算について / IT
x の範囲は　どうなっていますか？　確認して　分子の平方根を外してください。
（それが　∵　として書いてあるようです）
No.36960 - 2016/05/14(Sat) 16:13:57
★ 証明 / あ
任意のθに対し、 acosθ＋bcosθ＋c＝0 が成立する条件が、
a＝b＝c＝0 であることを証明せよ

数を代入して考える方法で教えてください
No.36953 - 2016/05/14(Sat) 15:10:16
☆ Re: 証明 / あ
間違えました acosθ＋bsinθ＋c＝0 です
No.36954 - 2016/05/14(Sat) 15:16:28
☆ Re: 証明 / IT
θ=0,π/2,π のときを考えたらどうですか？
No.36955 - 2016/05/14(Sat) 15:37:04
★ 三角関数 / 2^10
(2)の問題で(1)のような解き方はできますか？
No.36947 - 2016/05/13(Fri) 20:15:05
☆ Re: 三角関数 / X
回答の前に(1)の2^10さんの解答について。
右に描かれているグラフですが、
横軸にn,縦軸にm
を取らないと、求めている不等式との対応が
取れませんよ。
(最終的な答えに問題はありませんが。)

で質問の回答ですが、同様な方針で計算できます。
sinx=m,cosx=n
と置くと問題の関数は
y=m-n
∴m=n+y (A)
一方
n^2+m^2=1 (B)
横軸にn、縦軸にmを取った(B)のグラフを描き、
その上にyの値(=直線(A)のm切片)を変化させて
直線(A)を描くことにより、(B)のグラフと
直線(A)が交点を持つ範囲でyの最大値、最小値
を求めます。
No.36949 - 2016/05/13(Fri) 21:10:19
☆ Re: 三角関数 / 2^10
わかりやすい解説ありがとうございます。
m切片の変化のさせ方(yの値の範囲)がわかりません。
m=1つまりsinx=1よってx=π/2で最大値、mは−1つまりsinx =−1よってx=3π/2で最小値
かと思ったのですが、
解答はx=πで最大値1、x=7π/4で最小値−√2となっています。
No.36950 - 2016/05/13(Fri) 22:07:08
☆ Re: 三角関数 / X
回答の前に訂正を(ごめんなさい)。
π≦x≦2π
ですので問題はn-m平面上で
原点中心、半径1の下半分の半円 (A)
と
直線m=n+y (B)
とが交点を持つときのyの最大値、最小値
を求めることに帰着します。
ですので
yが最小になるのは(B)が(A)の下側に接するとき
yが最大になるのは(B)が(A)の左端である点(-1,0)を通るとき
になります。
No.36951 - 2016/05/14(Sat) 04:18:36
☆ Re: 三角関数 / ２＾１０
ＢがＡの下側に接するとき
ｍ=-１つまりsinx＝−１つまりｘ＝３π/２で最小値-１
となって
解答のｘ＝７π/４で最小値ー√２
と違くなってしまうのですが・・・
No.36972 - 2016/05/15(Sun) 11:59:34
☆ Re: 三角関数 / X
返事が遅くなってごめんなさい。

>>ｍ=-１つまり〜
これは
y=-1つまり〜
のタイプミスであると思いますが、そうであっても
間違っています。
n-m平面での直線(A)はn軸平行ではなくて
傾き1の直線ですので(B)の下側との接点の
座標は(0,-1)ではありません。
それで(A)(B)が接するときのyの値ですが
以下のように計算します。

直線(B)と原点との距離が1であることから
点と直線との間の距離の公式により
|0-0-y|/√{1^2+(-1)^2}=1
これより
|y|=√2
(A)と(B)が接する場合の図よりy＜0であることに注意すると
y=-√2
となります。
No.37079 - 2016/05/20(Fri) 21:23:31
★ 三角関数 / おまる
いつもお世話になっております。
計算が合わないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題で、面積Sを求めるとき、S=1/2AB・AC・sinBACとして求めると、答えが合いません。
よろしくお願いします。
答えは 1/2(sinθ-cosθ+1) です。
No.36943 - 2016/05/13(Fri) 16:44:21
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
Ｂ (cosθ, sinθ)、Ｃ (−sinθ, cosθ) であるので、
Ａ (1, 0) からの距離は
　ＡＢ^2＝(1−cosθ)^2＋sin^2θ＝2−2cosθ
　ＡＣ^2＝(1＋sinθ)^2＋cos^2θ＝2＋2sinθ
　(ＡＢ・ＡＣ)^2＝4(1−cosθ＋sinθ−sinθcosθ)
よって、
　Ｓ^2＝(1/2)(ＡＢ・ＡＣ)^2・sin^2(π/4)
　　＝(1/2)(1−cosθ＋sinθ−sinθcosθ)
　　＝(1/4)(2−2cosθ＋2sinθ−2sinθcosθ)
　　＝(1/4)(1^2＋sin^2θ＋cos^2θ−2cosθ＋2sinθ−2sinθcosθ)
　　＝(1/4)(1＋sinθ−cosθ)^2
θが第２象限の角であるので、1＋sinθ−cosθ＞０
よって、
　Ｓ＝(1/2)(1＋sinθ−cosθ)
No.36944 - 2016/05/13(Fri) 17:07:04
☆ Re: 三角関数 / おまる
わかりやすい解説どうもありがとうございました。
非常に助かりました。
No.36952 - 2016/05/14(Sat) 10:22:23
★ 行列です / ブルーチーズ
n次行列Aについて、A^k=Oとなる自然数kがあれば、Aは正則でないことを示せ

よろしくお願いします
No.36942 - 2016/05/13(Fri) 15:57:05
☆ Re: 行列です / ヨッシー
ＡＢ＝Ｅ となるＢが存在すると仮定して、
　Ａ^k＝０
の両辺にＢをｋ回掛けると・・・
No.36945 - 2016/05/13(Fri) 17:07:19
★ lim_{n→∞}(nCk)/r^n=0 / MaMa
組み合わせの極限の証明が分かりません。
kは自然数で|r|<1なら lim_{n→∞}r^n(nCk)=0を証明してください。
No.36941 - 2016/05/13(Fri) 01:57:49
☆ Re: lim_{n→∞}(nCk)/r^n=0 / IT
方針だけ
0 ＜nCk≦n^k　なので
0≦|r^n(nCk)|≦|r^n(n^k)| →0 (n→∞)
No.36948 - 2016/05/13(Fri) 20:54:46
☆ Re: lim_{n→∞}(nCk)/r^n=0 / MaMa
どうも有難うございます。
No.37006 - 2016/05/16(Mon) 04:04:20
★ (No Subject) / 嵐
画像の問題のように片っ方の底が違っていたらどうやって解きますか？
No.36937 - 2016/05/12(Thu) 22:55:44
☆ Re: / X
底変換の公式を使って底を2に揃えます。
No.36938 - 2016/05/12(Thu) 23:34:18
☆ Re: / きあら
底の変換公式を使えばよいかと思います。
No.36939 - 2016/05/12(Thu) 23:39:57
☆ Re: / きあら
Xさんのと合わせると、ｃを2にすればよいですね！
No.36940 - 2016/05/12(Thu) 23:44:45
★ (No Subject) / 嵐
画像の問題の(２)と(３)が解けません。
No.36934 - 2016/05/12(Thu) 21:17:26
☆ Re: / X
いずれも
lim[x→0](sinx)/x=1
を使います。

(2)
二倍角の公式により
cos2x-1=-2(sinx)^2
となりますので…

(3)
見難いので変数の置き換えをします。
x-π=t
と置くと
(与式)=lim[t→0]{1+cos(t+π)}/t^2
=lim[t→0](1-cost)/t^2
=lim[t→0]{2{sin(t/2)}^2}/t^2
=…
No.36936 - 2016/05/12(Thu) 21:45:36
★ (No Subject) / 東進生
これはどのようにしたらよいですか？
No.36929 - 2016/05/12(Thu) 19:40:15
☆ Re: / X
三つのハート型を描く順番を考えて
3P3=6[通り]
No.36931 - 2016/05/12(Thu) 19:47:11
☆ Re: / IT
それぞれのハート型の書き方は２通り（右回りか左回りか）
ハート型が３つあるので　２^3=８通り
ｘさんの　答えと合わせて　６×８＝４８通り

交差点から進入する経路　６×４×２＝４８通り　と考えてもいいです。
No.36933 - 2016/05/12(Thu) 21:03:02
★ (No Subject) / yhk
http://examist.jp/mathematics/inverse-image/line-kouten/
下の方にある解説でわからなかったところがあったので質問させてもらいます。
mの存在条件によって(X,Y)がなんの制限も受けないとあるのですがどういうことなのでしょうか？
No.36927 - 2016/05/12(Thu) 19:31:10
☆ Re: / yhk
何か質問に不備があったのでしょうか？
もう消せ、しね
No.37080 - 2016/05/21(Sat) 13:51:23
★ (No Subject) / きあら
?@は色々な解き方ができるとは思います。
?Aは*の意味が分からなかったので…(^^;)
No.36922 - 2016/05/12(Thu) 07:38:48
☆ Re: / きあら
投稿するところを間違えてしまいました(-_-;)
削除するにはどのようにすればいいでしょうか？
No.36924 - 2016/05/12(Thu) 07:43:05
☆ Re: / ヨッシー
このページの一番下の記事No. パスワードを入れて、記事編集を記事削除にして
ＯＫを押します。

出来なければ、こちらで消します。
No.36925 - 2016/05/12(Thu) 07:48:41
★ 三角方程式・不等式 / たかひろ高2
?@方程式sinx+sin2x+sin3x＝cosx+cos2x+cos3x　(0≦x≦π)


?A0≦x＜π/2のとき、不等式0＜√3sinxcosx+cos*x＜1

直接的な答えではなく、考え方、解法を教えてください。
No.36918 - 2016/05/11(Wed) 22:06:09
☆ Re: 三角方程式・不等式 / IT
> ?@方程式sinx+sin2x+sin3x＝cosx+cos2x+cos3x

sinx+sin3xとcosx+cos3x　を　和積公式で変換し、因数分解
No.36919 - 2016/05/11(Wed) 23:30:49
☆ Re: 三角方程式・不等式 / きあら
?@は色々な解き方ができるとは思います。
?Aは*の意味が分からなかったので…(^^;)
No.36923 - 2016/05/12(Thu) 07:39:54
★ (No Subject) / 嵐
毎度お世話になっております。画像の(3)と(4)の問題の解き方が分かりません。教えて頂けると助かります。
No.36913 - 2016/05/11(Wed) 20:38:53
☆ Re: / IT
(4)　log(x^2+4)-log(2x^2)=log{(1/2)+(2/x^2)} (対数の底は2)とすれば計算できると思います。
No.36915 - 2016/05/11(Wed) 21:28:30
☆ Re: / X
画像では(3)が二つあるようですが、上の方の(3)を
指しているものと解釈して方針を。

x=-t
と置いた後に分母分子を2^tで約分しましょう。
No.36916 - 2016/05/11(Wed) 22:02:08
☆ Re: / 嵐
(3)を計算すると、画像のようになってしまいました。2^tで約分するとはどういうことですか？
No.36932 - 2016/05/12(Thu) 20:31:20
☆ Re: / X
計算を間違えています。
2^(-t)÷2^t=2^(-2t)
に注意してもう一度最初から計算してみましょう。
No.36935 - 2016/05/12(Thu) 21:38:53
★ １次不等式の応用 / どんぐりコロッケ
（２）がわかりません。解き方を教えて下さい！
No.36907 - 2016/05/11(Wed) 18:50:23
☆ Re: １次不等式の応用 / X
7x+1が整数でxは正の数ですので
x=t/7の形にならなければならない (P)
(tは正の整数)
ことに注意します。

さて
(5x+19)/2-(7x+1)=(-9x+17)/2 (A)
ですので
(i)(-9x+17)/2＜0、つまり17/9＜xのとき
(A)より
(5x+19)/2＜7x+1
ですので条件から
7x+1-1/2≦(5x+19)/2
これを解くと
x≦2
∴17/9＜x≦2
このうち(P)を満たすものは
x=2(=14/7)
(ii)0≦(-9x+17)/2、つまりx≦17/9のとき
(A)より
7x+1≦(5x+19)/2
ですので条件から
(5x+19)/2＜7x+1+1/2
これを解くと
16/9＜x
∴16/9＜x≦17/9
このうち(P)を満たすものは
x=13/7

以上から求めるxの値は
x=13/7,2
No.36910 - 2016/05/11(Wed) 19:39:00
☆ Re: １次不等式の応用 / どんぐりコロッケ
ありがとうございました。解けました！
No.36917 - 2016/05/11(Wed) 22:03:13
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