「二次曲線ax^2+2hxy+by^2+c=0を原点の周りにθ回転した二次曲線の方程式をＡx^2+2Hxy+By^2+C=0とするとき
Ａ＋Ｂ＝a+b,AB-H^2=ab-h^2が成り立つ。
Ｈ＝０となるようにθを取るとtan2θ＝2h/(b-a)」とあります。
例題として
x^2+10xy+y^2-6=0を回転により標準形にせよ。
Ａ＋Ｂ＝a+b=2,AB=ab-h^2=-24
Ａ，Ｂはt^2-2t-24=0の解だからｔ＝６、−４ゆえに
-4x^2+6y^2-6=0とあるのですが、この定数項のー６はどこからきたのでしょうか？
また、x^2-2xy+2y^2=1を回転して傾いていない楕円に変換する際にtan2θ＝2h/(b-a)の公式を使うとtan2θ＝−２/(2-1)=-2となりこれは一般角（知っている角）でないのでθ回転して楕円にすることができず困っています
どなたか教えてください
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No.36685 - 2016/04/19(Tue) 20:59:14
| ☆ Re: 旺文社公式集 / ヨッシー  | | | 変形前の点(x,y) が変更後の(X, Y)に対応するとすると
X＝xcosθ−ysinθ、Y＝xsinθ＋ycosθ
これを、ＡX^2＋ＢY^2 に代入して、x^2 の項、y^2の項を
抜き出すとそれぞれ、
Acos^2θ＋Bsin^2θ、Asin^2θ＋Bcos^2θ
で、足すと Ａ＋Ｂ になるので、
ax^2+2hxy+by^2+c=0 と Ａx^2+2Hxy+By^2+C=0 は、
(x,y),(X,Y) の一次変換を施しただけで、何倍かするようなことは
していません。
よって、Ｃ＝ｃ ということが言えます。
何度回したかを答える問題ではないので、素直に
Ａ＋Ｂ＝3, ＡＢ＝1
より、x^2−3x＋1＝0 から ｘ＝(3±√5)/2 を得て、
(3−√5)x^2/2＋(3＋√5)y^2/2＝１ または
(3＋√5)x^2/2＋(3−√5)y^2/2＝１
で良いと思います。
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No.36686 - 2016/04/19(Tue) 22:38:29 |
| ☆ Re: 旺文社公式集 / 次郎 | | | 回答ありがとうございます。
＞変形前の点(x,y) が変更後の(X, Y)に対応するとすると
X＝xcosθ−ysinθ、Y＝xsinθ＋ycosθ
これを、ＡX^2＋ＢY^2 に代入して、x^2 の項、y^2の項を
抜き出すとそれぞれ、
Acos^2θ＋Bsin^2θ、Asin^2θ＋Bcos^2θ
で、足すと Ａ＋Ｂ になる
のところまでは分かりますがそれ以降が全く分かりません。
ちなみに問題はx^2-2xy+2y^2=1を原点を中心に回転させ、楕円である事を確かめよという高校の出題範囲の問題です。
よろしくおねがいします
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No.36688 - 2016/04/19(Tue) 23:52:09 |
| ☆ Re: 旺文社公式集 / ヨッシー | | | 上の回答を書きながらふと思ったのですが、
回転後の式は、
Ａx^2+2Hxy+By^2+C=0
ではなく
Ａx^2+2Hxy+By^2+c=0
ではないですか？（c は共通）
そうでないと、A+B=a+b が言えません。
たとえば、
x^2＋2xy＋2y^2−3＝0 も
2x^2＋4xy＋4y^2−6＝0 も
同じ曲線なので。
後半は、公式を知らなくても、
回転前の点を (X,Y)、回転後の点を(x,y) とすると
X＝xcosθ＋ysinθ、Y＝-xsinθ＋ycosθ
を X^2−2XY＋2Y^2＝1 に代入して
（以下、ｃ＝cosθ、ｓ＝sinθ とおきます）
(cx＋sy)^2−2(cx＋sy)(-sx＋cy)＋2(-sx＋cy)^2＝1
展開して
x^2(c^2＋2cs＋2s^2)＋y^2(s^2−2cs＋2c^2)＋2xy(s^2−c^2−cs)＝1
xy の係数が０になるようにすると
cos^2θ−sin^2θ＋sinθcosθ＝0
cos(2θ)＋(1/2)sin(2θ)＝0
よって、
cos(2θ)＝−1/√5、sin(2θ)＝2/√5
または
cos(2θ)＝1/√5、sin(2θ)＝−2/√5
それぞれについて、x^2、y^2 の係数
c^2＋2cs＋2s^2、s^2−2cs＋2c^2
が正になることを言えば、楕円になることが示せます。
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No.36689 - 2016/04/20(Wed) 09:04:39 |
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