次の関数の第n次導関数を求め,x=0での第n次微分係数を求めよ
√(2+x^2)
これの第n次導関数の漸化式を作りたいのですがうまくできません
教えてください
|
No.37227 - 2016/05/31(Tue) 01:29:48
| ☆ Re: 大学数学 / 関数電卓 | | | f(x)＝√(x22＋2) …(1) とおくと
f2＝x2＋2 …(2)
df/dx＝f(1)，d2f/dx2＝f(2)，等と略記すると，(2)の両辺を微分して，
f･f(1)＝x …(3)
前式を微分して整理すると，
{f(1)}2＋f･f(2)＝1 …(4)
3f(1)･f(2)＋f･f(3)＝0 …(5)
3{f(2)}2＋4f(1)･f(3)＋f･f(4)＝0 …(6)
10f(2)･f(3)＋5f(1)･f(4)＋f･f(5)＝0 …(7)
10{f(3)}2＋15f(2)･f(4)＋6f(1)･f(5)＋f･f(6)＝0 …(8)
となり，大変煩わしいですが，順次求めることはできます。しかしこれは，ご所望の「漸化式」とはほど遠いですね。問題の出典は何ですか？
|
No.37258 - 2016/06/03(Fri) 15:53:04 |
| ☆ Re: 大学数学 / IT | | | 下記のようにするとどうでしょうか？
気持ち悪いですが複素数を使って無理に因数分解します。
（n階導関数の表記がうまく出来ないので f(n) などとしています)
f(x)=√(2+x^2)とおきi√2=aと書くと
f(x)=(x-a^2)^(1/2)
={(x+a)^(1/2)}{(x-a)^(1/2)}
g(x)=(x+a)^(1/2),h(x)=(x-a)^(1/2) とおくと
f(x)=g(x)h(x)
ライプニッツの公式より
f(n)=Σ[k=0,n](n,k)g(k)h(n-k)
あとはg(x),h(x)のk階導関数を計算します。
|
No.37262 - 2016/06/03(Fri) 21:16:13 |
| ☆ Re: 大学数学 / IT | | | y=√(2+x^2),y'=x/√(2+x^2)
よって (2+x^2)y'=xy
ライプニッツの公式を使い両辺をn回微分する。
(2+x^2)y(n+1)+(n,1)2xy(n)+(n,2)2y(n-1)=xy(n)+(n,1)y(n-1)
移項して
(2+x^2)y(n+1)+(2n-1)xy(n)+n(n-2)y(n-1)=0
x=0での第n次微分係数を求めるには
x=0を代入 2y(n+1)+n(n-2)y(n-1)=0
こんな感じでできるのでは？ （途中計算は確認してください）
＃(n,1),(n,2) などはコンビネーションです。普通は縦に数字を並べます。
|
No.37264 - 2016/06/03(Fri) 23:11:05 |
|
