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★ 極限の問題につきまして / ブラッドマミ
お世話になります。ブラッドマミと申します。以下の２問について考えております。しかし、今の段階では手が出せません。もしわかる方ヒントでも、良いでも教えてください。

【１】次の問に答えよ。
（１）lim[n→∞]a[n]＝αのときlim[n→∞](a[1]+a[2]+…a[n])/n＝αが成り立つ事を示せ。

（２）lim[x→a]f(x)＝α、lim[x→a]f(x)＝βのときα＝βであることを背理法によって示せ。

以上よろしくお願いします。
No.37174 - 2016/05/26(Thu) 19:03:07
☆ Re: 極限の問題につきまして / IT
> （１）lim[n→∞]a[n]＝αのときlim[n→∞](a[1]+a[2]+…a[n])/n＝αが成り立つ事を示せ。

ε-Ｎ方式で示すのですよね？
ヒントはε-Ｎを使わずに書きますので、ε-Ｎ方式に置き換えてください。

(a[1]+a[2]+…a[n])/n を各a[i]がαに十分近い後方部分と残りの前方部分とに分けて、２段階評価するとできると思います。

前方部分はｎが大きくなるといくらでも０に近づきます。

(2) α≠β　と仮定すると|α-β｜＞0なので
ε-Ｎ方式で　ε＝|α-β｜/2 などとすれば矛盾が示せるのでは
No.37175 - 2016/05/26(Thu) 19:46:02
☆ Re: 極限の問題につきまして / ブラッドマミ
ありがとうございます。まだ飲み込めませんが参考にさせて頂きます。ありがとうございました。
No.37179 - 2016/05/27(Fri) 09:49:11
★ (No Subject) / 高校生文系３年
以下の答えが出ません。恐らく特殊解がm,-mの「整数の性質」の問題だと思います。

ｘ、ｙ自然数とする。６ｘ＋５ｙで表すことのできない最大の整数は？？である。
No.37159 - 2016/05/25(Wed) 22:27:29
☆ Re: / 高校生文系３年
宜しくお願いします。
No.37160 - 2016/05/25(Wed) 22:30:02
☆ Re: / IT
x,y で表をつくって規則性を調べるのが早道だと思います。

11,16,21,26,31,36
17,22,27,32,37,42
23,28,33,38,43,48
29,34,39,44,49,54
35,40,45,50,55,60
41,46
47
No.37162 - 2016/05/25(Wed) 22:39:36
☆ Re: / 高校生文系３年
有り難うございます。
ちなみに６ｘ＋５ｙ=ｍから６（ｍ）＋５（-ｍ）=ｍを引き、ｋを使う等をして求めていくやり方は外れでしょうか･･･？
もし可能ならば、その回答を簡単で構いませんので書いていただけると幸いです。
No.37164 - 2016/05/25(Wed) 23:04:51
☆ Re: / IT
上記質問の前に用意していた説明を書きます。

6(x+1)+5(y-1)=6x+5y+1　ですので、

x=1,y=5のときすなわち(6×1)+(5×5)＝31 からは
yを1減らしてxを1増やすと1増えます。
yを2減らしてxを2増やすと2増えます。
yを3減らしてxを3増やすと3増えます。
yを4減らしてxを4増やすと4増えます。
yを1増やすと5増えます。
こうやって順次１ずつ増やせます。
No.37167 - 2016/05/25(Wed) 23:09:03
☆ Re: / 質問者
分かりやすい解説、解答有り難うございました!!解決しました!
No.37171 - 2016/05/26(Thu) 17:43:46
★ (No Subject) / 関数電卓
以下の通りです。

与式＝a(b＋c)2＋b(c2＋2ca＋a2)＋c(a2＋2ab＋b2)−4abc
　　＝(b＋c)a2＋(b＋c)2a＋bc(b＋c)
　　＝(b＋c){a2＋(b＋c)a＋bc}
　　＝(b＋c)(c＋a)(a＋b)
　
No.37152 - 2016/05/25(Wed) 20:24:25
☆ Re: / 関数電卓
すみません。
No.37149 に対する返信でした。
　
No.37153 - 2016/05/25(Wed) 20:26:47
☆ Re: / 関数電卓
> すみません。
> No.37149 に対する返信でした。
> 管理人さん，できたらこのスレを No.37149 のレスに移動して下さい。
　
No.37154 - 2016/05/25(Wed) 20:30:57
☆ Re: / あおこ
わかりました！ありがとうございました！
No.37190 - 2016/05/28(Sat) 20:22:07
★ 極限の求め方 / だい
こんばんは
いろいろと調べたのですが、
次の問題が解けなかったので
どなたか教えて下さい。
以下の極限の求め方です
a_1=1 , a_n=(1+a_(n-1))^-1
No.37151 - 2016/05/25(Wed) 20:16:05
☆ Re: 極限の求め方 / IT
a[1]=1,a[n]=1/(1+a[n-1]) より、任意の自然数nについてa[n]＞0（数学的帰納法）

x=1/(1+x) の２解のうち正の解をαとおくと　α=1/(1+α)
a[n]はαに収束することを示す。
a[n]-α={1/(1+a[n-1])} - {1/(1+α)}
=(α-a[n-1])/{(1+a[n-1])(1+α)}

よって|a[n]-α|＜{1/(1+α)}|a[n-1]-α|
よって|a[n]-α|→0(n→∞)
No.37155 - 2016/05/25(Wed) 20:39:48
☆ Re: / だい
すいません。
答えを載せるのを忘れていました。

答えは｛(√5)-1}/2となってました。
No.37156 - 2016/05/25(Wed) 21:04:14
☆ Re: 極限の求め方 / IT
α =｛(√5)-1}/2 になると思います。
No.37157 - 2016/05/25(Wed) 21:06:23
☆ Re: / だい

結局αをどうやって求めるかわかりませんでした。
No.37163 - 2016/05/25(Wed) 22:49:57
☆ Re: 極限の求め方 / らすかる
x=1/(1+x) という方程式は解けませんか？
No.37166 - 2016/05/25(Wed) 23:08:40
☆ Re: / だい
その方程式を解けば良かったんですね...
すみませんいろいろと勘違いしてました。

丁寧に教えて頂いてありがとうございました。
No.37169 - 2016/05/25(Wed) 23:31:07
★ 因数分解です / あおこ
こんばんは！

この問題の因数分解の方法をおしえてください。
おねがいします。
No.37149 - 2016/05/25(Wed) 19:49:17
☆ Re: 因数分解です / ヨッシー
上の方に回答があります。
No.37158 - 2016/05/25(Wed) 22:21:35
★ (No Subject) / 桜夢
次の問題がわかりません…。
授業の小テストだったんですが、時間内に誰も解けませんでした。

実数aがa＾3+a+1=0を満たすとき、aが無理数であることを示せ。

解き方と答えをお願いします。
No.37146 - 2016/05/25(Wed) 17:46:58
☆ Re: / らすかる
a=p/q　（p,qは互いに素で0でない整数）とおいて代入・整理すると
p^3+pq^2+q^3=0 … (1)
(1)からp^3=-q^2(p+q)であり、pとqは互いに素なのでq=±1
また(1)からq^3=-p(p^2+q^2)であり、pとqは互いに素なのでp=±1
よってa=±1となるが、a=1もa=-1もa^3+a+1=0を満たさず矛盾。
従ってaは無理数。
No.37148 - 2016/05/25(Wed) 18:41:06
☆ Re: / 桜夢
なぜpとqは互いに素ならばq=±1となるのですか？？
No.37161 - 2016/05/25(Wed) 22:32:06
☆ Re: / らすかる
pとqの素因数で一致するものがなくて
p^3=-q^2(p+q)なのですから、
qは±1しかあり得ません。
qが±1以外の場合、qは必ずある素数sを素因数に持ち、
右辺はsで割り切れますが左辺はsで割り切れませんので
等式が成り立ちません。
No.37165 - 2016/05/25(Wed) 23:06:08
☆ Re: / 桜夢
らすかるさん、ありがとうございました！
とても分かりやすかったです。
No.37168 - 2016/05/25(Wed) 23:21:06
☆ Re: / 桜夢
え、やっぱり待ってください

互いに素なのに、±１でもいいのですか？？
No.37172 - 2016/05/26(Thu) 18:40:29
☆ Re: / ヨッシー
Wikipedia によると、
>互いに素（たがいにそ、英: coprime）は、2つの整数が 1
>と −1 以外に公約数を持たない場合の2数の関係である。
だから良いのです。
No.37173 - 2016/05/26(Thu) 18:48:19
☆ Re: / らすかる
「互いに素」
＝「共通の素因数を持たない」
＝「最大公約数が1」
ですから、例えば1と3は互いに素です。

# 1と任意の自然数は互いに素ということになります。
# 1と1ももちろん互いに素です。
No.37176 - 2016/05/26(Thu) 21:34:25
★ 導関数の定義に従って分数を微分 / くま
件名通り、導関数の定義　f(x) = lim(h→0) (f(x-h) - f(x)) / h に従って 1 / (2x -7) はどのように微分されるのでしょうか？
No.37145 - 2016/05/25(Wed) 15:10:41
☆ Re: 導関数の定義に従って分数を微分 / X
問題文の微分の定義式が違っていますが、
定義式通りに計算するのであれば
以下のようになります。
f'(x)=lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
=lim[h→0]1/{2(x+h)-7}-1/(2x-7)}/h
=lim[h→0](2x-7)-{2(x+h)-7}}/{h{2(x+h)-7}(2x-7)}
=lim[h→0](-2h)/{h{2(x+h)-7}(2x-7)}
=lim[h→0](-2)/{{2(x+h)-7}(2x-7)}
=-2/(2x-7)^2
No.37147 - 2016/05/25(Wed) 17:52:23
☆ Re: 導関数の定義に従って分数を微分 / くま
定義式の間違えが全ての元凶でした…
ご指摘感謝します。
No.37218 - 2016/05/30(Mon) 18:01:04
★ (No Subject) / きあら
この問題の解き方についてご意見をください。
No.37138 - 2016/05/24(Tue) 20:49:29
☆ Re: / きあら
これが、模範解答です。
No.37139 - 2016/05/24(Tue) 20:50:11
☆ Re: / きあら
これが、自分の解き方です。条件などに不備などがあればご指摘ください。
No.37142 - 2016/05/24(Tue) 21:00:45
☆ Re: / ヨッシー
「・・・代入して」の次の行の「Ｓ＝」を取れば、
それなりに筋の通った解答にはなります。
「Ｓ＝」が付いていると、これから示そうという等式が
正しい前提で変形しているように見えます。
No.37143 - 2016/05/24(Tue) 22:01:29
☆ Re: / ast
この場合, 問題文の最後に書かれている式は「与式」(仮定として使っていいと与えられているところの式) ではなく (結論として)「示すべき式」なので, 言葉づかいとしてもまずいですね. 実際にやっているのは「示すべき式の右辺を変形すると既知の式 S=(1/2)|a||b|sin(θ) の右辺に (したがって左辺 S に) 等しい」という論理なので, ヨッシーさんのアドヴァイス通り最初の S= はマズイということになります.
No.37144 - 2016/05/24(Tue) 22:30:07
★ 三角関数 / アリス
0≦θ≦πとし、y=sinθ+ルート3cosθとおく。yの取り得る値の範囲を求めよ。でπ/3≦θ+π/3≦4π/3がどうやって−ルート3/2≦sin(θ+π/3)≦1になるのかわかりません。詳しく教えてください。
No.37133 - 2016/05/24(Tue) 17:44:04
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

グラフを描けば一目瞭然です。

上は ｙ＝sinθ (π/3≦θ≦4π/3) のグラフ
下は ｙ＝sin(θ＋π/3)　(０≦θ≦π) のグラフです。


No.37134 - 2016/05/24(Tue) 17:55:49
☆ Re: 三角関数 / アリス
計算式とかはないんですか？
No.37136 - 2016/05/24(Tue) 19:03:14
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
ありません。

しいて言うなら
　sin(π/2)＝１
　sin(4π/3)＝−√3/2
ですが、どこで最大・最小になるかはグラフなり
単位円なりで調べるしかありません。
No.37137 - 2016/05/24(Tue) 20:22:12
★ 半円におけるタンジェントの定義 / アリクブケ
数学I、三角比について、単位円において、tanθの値は、動径(であっているのかな？)を伸ばした線と直線x=1の交点のy座標になりますが、単位円じゃなくても大丈夫ですよね？

たとえば、半径2の半円において、動径を伸ばした線と直線x=2の交点のy座標をtanθ←正しいのでしょうか。
No.37128 - 2016/05/24(Tue) 00:32:04
☆ Re: 半円におけるタンジェントの定義 / らすかる
正しくありません。値が2倍になってしまいます。
No.37129 - 2016/05/24(Tue) 02:47:23
★ 積分 / あん
a＞b＞0とする。座標空間において、不等式(√(x^2+y^2)-a)^2+z^2≦b^2で表される部分の体積を求めよ

という問題です。場合によっては二重積分を用いて頂いても結構です。
よろしくお願いします
No.37124 - 2016/05/23(Mon) 21:30:35
☆ Re: 積分 / 関数電卓
所与の立体を z 軸に垂直な平面 z＝k (−b≦k≦b) で切ると，

　(√(x^2＋y^2)−a)^2＋k^2≦b^2
より
　a−√(b^2−k^2)≦√(x^2＋y^2)≦a＋√(b^2−k^2) …(#)

(#)は，原点を中心とし半径が a−√(b^2−k^2) 以上 a＋√(b^2−k^2) 以下のドーナツ領域ですから，面積はすぐに求まります。
あとは，その面積を −b≦k≦b で積分したものが求める体積です。
　
No.37126 - 2016/05/24(Tue) 00:07:40
☆ Re: 積分 / あん
よくわかりました
ありがとうございます
No.37131 - 2016/05/24(Tue) 12:39:18
★ (No Subject) / 濱さん
問題の解答の方向性としては、４３（１）相加相乗
４４ Xを＋、０、ーで場合わけして相加相乗でいいですか？
No.37123 - 2016/05/23(Mon) 19:48:34
☆ Re: / IT
その方針でも良いと思います。
No.37125 - 2016/05/23(Mon) 23:31:27
☆ Re: / 濱さん
ありがとうございました。
No.37141 - 2016/05/24(Tue) 20:55:19
★ ベクトルについて / あむ
写真の1番は解けましたが、2番が理解できません。
解説をみても25でくくったりとよく分からなかったので誰か解説お願いします😥
No.37119 - 2016/05/23(Mon) 17:35:59
☆ Re: ベクトルについて / ヨッシー
ベクトルの大きさ（の２乗）を成分から計算して、
二次関数の最小に持って行きます。
　ｃ＝(2+3t, 1+4t)
なので、
　|ｃ|^2＝(2+3t)^2＋(1+4t)^2
　　＝25t^2＋20t＋5
　　＝25(t+2/5)^2＋1
よって、ｔ＝-2/5 のとき、|ｃ|^2 の最小値は１で、
|ｃ|≧０　より　|ｃ| の最小値は１。

25(t+2/5)^2＋1 の (t+2/5)^2 の部分は２乗なので、負になることはなく、
０が最小です。よって、この部分が０になる時のｔにおいて、
25(t+2/5)^2＋1 は最小になります。

25t^2＋20t＋5＝25(t+2/5)^2＋1 の変形を平方完成と言って、
二次関数の最小・最大を求めるときによく使います。
　x^2＋6x＋10＝(x+3)^2＋1
のような感じです。（これだと、ｘ＝−３ のとき、最小値１）
No.37120 - 2016/05/23(Mon) 18:01:00
☆ Re: ベクトルについて / あむ
//ヨッシーさん//
平方完成するとこうなりませんか？？？
(計算間違えてたらすみません)
5分の2とはどこから出てくるのでしょうか？？
No.37121 - 2016/05/23(Mon) 18:56:41
☆ Re: ベクトルについて / あむ
//ヨッシーさん//
すみません、分かりました！
3列目が5分の4ではなく5分の2の2乗ですね！
丁寧にありがとうございました！
No.37122 - 2016/05/23(Mon) 19:00:58
★ (No Subject) / じゅうじょう
この問題はどう計算すると早いですか？
No.37117 - 2016/05/22(Sun) 18:52:34
☆ Re: / らすかる
x=(√5-1)/2
2x=√5-1
2x+1=√5
(2x+1)^2=5
4x^2+4x+1=5
4x^2+4x-4=0
x^2+x-1=0
なので
2x^3+5x^2+3x-2=(x^2+x-1)(2x+3)+2x+1
=2x+1=√5
No.37118 - 2016/05/22(Sun) 19:01:13
★ (No Subject) / アガリクス
問題を底2に直したら、答えは画像のようになりますか？
No.37113 - 2016/05/22(Sun) 12:23:05
☆ Re: / X
それで問題ありません。
No.37114 - 2016/05/22(Sun) 12:51:20
★ (No Subject) / きあら
この問題の解き方は、これでも構いませんか？
No.37107 - 2016/05/22(Sun) 11:13:47
☆ Re: / きあら
自分の解き方です。
No.37108 - 2016/05/22(Sun) 11:14:33
☆ Re: / きあら
模範解答です。言っていることは同じかなぁ？と思うのですが…
No.37109 - 2016/05/22(Sun) 11:15:37
☆ Re: / X
きあらさんの解答でも問題ありません。
No.37115 - 2016/05/22(Sun) 12:56:02
☆ Re: / きあら
ありがとうございます。(^^)/
No.37116 - 2016/05/22(Sun) 13:36:41
★ 円 / 納豆菌
円x^2+(y-3)^2=4と点A(6,5),B(1,-1)がある。x軸上に点P、円周上に点Qをとるとき、AP+PQの最小値を求めよ。
この問題がさっぱりわかりません。何かヒントをいただきたいです。お願いします。
No.37106 - 2016/05/22(Sun) 11:12:55
☆ Re: 円 / きあら
円をｘ軸を対称の軸として、対称移動してから中心とAを結べばいいかと…
ただ、これだとBの座標がまったく無意味になるのですが、文章の打ち間違いとかありませんか？
No.37111 - 2016/05/22(Sun) 11:22:15
☆ Re: 円 / 納豆菌
ありがとうございます。
点Bは次の小問で使うものでしたので上記の問題には関係ありませんでした。失礼しました。
No.37112 - 2016/05/22(Sun) 11:53:35
★ (No Subject) / 嵐
画像のような問題がでたら答えは0ですか？
No.37104 - 2016/05/22(Sun) 09:36:03
☆ Re: / きあら
でしょうね。分母が無限大になるわけですから。
No.37110 - 2016/05/22(Sun) 11:17:01
★ (No Subject) / 嵐
画像の問題で1/2のところがありますが、1/2なら√つけるだけでいいですが、もし2/3とかだったらどうなりますか？画像のようになりますか？
No.37100 - 2016/05/22(Sun) 08:47:03
☆ Re: / ヨッシー
2/3 乗のままでも良いし、3乗根の形でも良いです。

その先で微分する予定とかがあるなら、2/3 乗のままの方が扱いやすいでしょう。
No.37102 - 2016/05/22(Sun) 09:30:13
★ (No Subject) / アガリクス
この前この問題を解答してもらったのですが、丸がついているところがなぜそうなるかが分かりません。お願いします。
No.37099 - 2016/05/22(Sun) 08:35:50
☆ Re: / ヨッシー
１つめの○
　半角の公式　sin^2(t/2)＝(1ーcosｔ)/2　によります。

２つめの○
　分母にある (t/2) を (2/t) に直して掛け算の形にして
　１つ上の式になることを確認すれば、逆の計算も出来るでしょう。
No.37103 - 2016/05/22(Sun) 09:34:35
☆ Re: / アガリクス
やっと理解できました。
ありがとうございました。
No.37105 - 2016/05/22(Sun) 10:22:18
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