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★ 図形と方程式 / なな
(1)は(x-2)^2+(y-1)^2=5, (x-14)^2+(y+3)^2=125 となりました。
(2)を教えて下さい。角度の問題だから、tanを用いるのかなと思ったのですが、そこからどうして良いかわかりません。

よろしくお願いします。
No.36857 - 2016/05/08(Sun) 22:55:40
☆ Re: 図形と方程式 / IT
点Ｐが直線Lと円の接点のとき　∠ＡＰＢは最大になると思います。接点以外の円周上の点Ｑを描いて考えてみてください。
No.36861 - 2016/05/08(Sun) 23:22:30
☆ Re: 図形と方程式 / なな
ありがとうございます。
なぜ点Pが直線Lと円の接点のときに角度APBは最大になるのですか？
No.36862 - 2016/05/08(Sun) 23:26:58
☆ Re: 図形と方程式 / IT
元の図に　接点以外の円周上の点Ｑを描いてみてください。
点Ｑが接点より左側（Ｂ側）の場合、ＡＱを延長してＬとの交点をＰ’とし
ＢとＰ’も結んでください。
ＱとＢも結んでください。
∠ＡＱＢ＝∠ＡＰＢで　∠ＡＱＢ＞∠ＡＰ’Ｂ
すなわち∠ＡＰＢ＞∠ＡＰ’Ｂ　になると思います。
No.36863 - 2016/05/08(Sun) 23:48:32
★ 三角関数 / だだだだだ
三角関数解説お願いします。

?@ (sinA＋sinB＋sinC)(sinB＋sinC−sinA)＝3sinBsinC
が成り立つとき、三角形ABCの形状を述べよ
?A tanθ/2=t(0≦θ＜π)とおくとき、
f(t)＝(1＋2t−t^2)/(1+t^2)の最大値を求めよ
?B半径1の円に内接し、角A=60°である三角形ABCについて、
三辺の長さの和AB+BC+CAの最大値を求めよ

それぞれ独立した問題で、誘導とかはないです。t^2はtの2乗です。

?@ですが、和積積和とか加法定理を使ってやることってできますか？普通に余弦定理正弦定理を使うべきでしょうか？できれば両方やり方が知りたいです。
?A?Bも解説よろしくお願いします。
No.36845 - 2016/05/08(Sun) 16:33:49
☆ Re: 三角関数 / だだだだだ
すいません。?@は和積とかと正弦余弦両方使ってやりました。正三角形であっているでしょうか？
No.36846 - 2016/05/08(Sun) 16:37:50
☆ Re: 三角関数 / 投稿者
すいません。?@は和積とかと正弦余弦両方使ってやりました。正三角形であっているでしょうか？
No.36847 - 2016/05/08(Sun) 16:38:09
☆ Re: 三角関数 / X
(2)
条件から問題は
0≦t (A)
のときのf(t)の最大値を求めることに帰着します。
ということでf'(t)を求めて、(A)におけるf(t)の
増減表を書きます。

(3)
△ABCにおい正弦定理を使うことにより
AB+BC+CA=2sin60°+2sinB+2sinC (A)
又
60°+B+C=180°(B)
B＞0°(C)
C＞0°(D)
(B)(C)(D)より
0°＜B＜120° (E)
又、(B)を用いて(A)からCを消去すると
AB+BC+CA=√3+2sinB+2sin(120°-B)
=√3+4sin60°cos(B-60°) (∵)和積の公式
=√3+(2√3)cos(B-60°) (A)'
(E)における(A)'の最大値を求めます。
No.36849 - 2016/05/08(Sun) 17:33:24
☆ Re: 三角関数 / 投稿者
ありがとうございます
No.36850 - 2016/05/08(Sun) 17:57:28
☆ Re: 三角関数 / X
(1)
問題文にタイプミスはありませんか？

問題の等式に正弦定理を適用して整理をすると
a^2=b^2-bc+c^2
よって
c=kb(k＞0)
と置くと
a:b:c=√(k^2-k+1):1:k
従って、
k=1のとき△ABCは正三角形
k=2のとき△ABCは
BC:CA:AB=√3:1:2
の直角三角形
k=1/2のとき△ABCは
BC:CA:AB=√3:2:1
の直角三角形
とはなりますが、それ以外のkに
対しては△ABCは特別な三角形
にはなりません。
No.36852 - 2016/05/08(Sun) 18:13:52
☆ Re: 三角関数 / IT
(1)
a^2＝b^2-bc+c^2
一方、余弦定理より
a^2＝b^2-2bcCOSA+c^2　なので
bc＝2bcCOSA　
bc≠0 なので　COSA＝1/2　よって Ａ＝π/3 となるとおもいます。
No.36853 - 2016/05/08(Sun) 18:25:32
☆ Re: 三角関数 / X
＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞投稿者さんへ
ごめんなさい。ITさんの仰るとおりです。
No.36854 - 2016/05/08(Sun) 19:15:09
★ (No Subject) / 嵐
たびたびすみません。
画像の問題は左から順に2、7/2、0で答えは合ってますか？
また、違っていたら解答お願いします。
No.36836 - 2016/05/07(Sat) 21:28:45
☆ Re: / IT
合ってると思います。
下記サイトで検算できますよ。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E2+%2B+x)%2F(4x%5E3+-1)++,x%E2%86%92-%E2%88%9E
No.36837 - 2016/05/07(Sat) 21:55:54
★ 線形代数 / Mic
分からなかったのは(2)から先の問題です。
よろしくお願いします
No.36833 - 2016/05/07(Sat) 20:48:04
☆ Re: 線形代数 / ペンギン
任意のk次ベクトルvに対し、
tv・tAA・v=|Av|^2>=0なので、正定値行列であり、固有値は全て正になります。
よって、正則です。

tAAは対称行列なので、直交行列を用いて対角化可能です。
逆行列も対角行列と直交行列の積で書けるので、対称になります。

4)は計算して一致することを確認してください。

上で述べたことから、f(x)において、v=x-・・・とおくと(打つのが面倒だったので省略してます)

tv tAA vは常に0以上なので、Av=0となるxで最小となります。
No.36835 - 2016/05/07(Sat) 21:14:28
☆ Re: 線形代数 / Mic
よくわかりました！
ありがとうございます
No.36839 - 2016/05/07(Sat) 23:51:13
★ (No Subject) / 嵐
また質問してすみません。
画像の問題の答えは0ですか？
違っていたら解答お願いします。
No.36829 - 2016/05/07(Sat) 19:32:54
☆ Re: / X
0で正解です。
No.36831 - 2016/05/07(Sat) 19:41:52
★ (No Subject) / 嵐
画像の問題の答えはそれぞれ
(1)∞
(2)1
(3)1/3
(4)-3/2
(5)-1/2
で合ってますか？お願いします。
No.36828 - 2016/05/07(Sat) 19:30:07
☆ Re: / X
(1)
間違っています。
分母分子を因数分解すると、x-2で約分できます。
(2)(3)(4)
正解です。
(5)
間違っています。
こちらの計算では-1になりました。
No.36830 - 2016/05/07(Sat) 19:40:50
☆ Re: / 嵐
(1)は3/4になりますか？
違っていたら解答お願いします。
No.36834 - 2016/05/07(Sat) 21:09:47
☆ Re: / X
それで正解です。
No.36838 - 2016/05/07(Sat) 22:26:41
★ 商の高階導関数を教えてください。 / Alisa
積の高階導関数は
d^n/dx^n f(x)g(x)=Σ_{k=0..n}nCk f^(n-k)(x)g^{k}(x)
ですが
商の高階導関数
d^n/dx^n f(x)/g(x)はどのように書けるのでしょうか?
No.36823 - 2016/05/07(Sat) 07:36:18
★ 図形と方程式 / なな
図形と方程式の問題です。k=-m/a√(m^2+1) になってしまい、mは変数であるから、kが一定にならなくなってしまいました。

よろしくお願いします。
No.36819 - 2016/05/06(Fri) 23:34:08
☆ Re: 図形と方程式 / IT
a＞0のとき　α＜0　なので　√(α^2)=　−α　です。

ここを直せば、ななさんの解法で出来ます。
α-βが出てきますが、解の公式から直接計算もできます。

答えの目星をつけるには、
a＞0で
　m=0(直線Lが水平)のとき　ＡＰ＝ＡＱ＝√a, k=(1/√a)+(1/√a)=2/√a
m→+∞(直線Lが垂直にどんどん近づく)と ＡＰ→a,ＡＱ→∞　なので k→1/a
　2/√a = 1/a より　a=1/4 ではないかと考えられます。
No.36821 - 2016/05/07(Sat) 01:13:48
☆ Re: 図形と方程式 / なな
ありがとうございます。
(?@)a>0と(?A)a<0のときで場合分けして考えてみましたが、k=の式にmが含まれるため結局定数になりません。
No.36824 - 2016/05/07(Sat) 08:11:36
☆ Re: 図形と方程式 / IT
k=の式 はどうなりましたか？

k=分子／分母　＝　定数となればいいので
分子が 定数×√(m^2+1)　の形になれば√(m^2+1) が消えますから
a＞0の場合は、aを適当な値にするとk＝定数に出来ると思います。
No.36825 - 2016/05/07(Sat) 08:32:05
☆ Re: 図形と方程式 / なな
返信遅くなりすみません。なるほど！出来ました！ありがとうございましたm(_ _)m
No.36856 - 2016/05/08(Sun) 22:46:10
★ (No Subject) / mt
先程添付されてませんでした。
7.8の式を教えてください。
No.36818 - 2016/05/06(Fri) 15:55:50
☆ Re: / mo
条件がわからないので、勝手な解釈ですが

以下のようなものはいかがでしょうか？

?F
y＝(4/81)x^4【−3≦x≦3】
または
y＝(4/27)|x^3|【−3≦x≦3】

?G
y＝(|x|−2)^2＋3【−3≦x≦3】
No.36820 - 2016/05/07(Sat) 00:50:02
☆ Re: / mt
moさんありがとうございます。
⑺の解説お願いしたいのですが。
よろしくお願いします。
No.36826 - 2016/05/07(Sat) 12:21:29
☆ Re: / らすかる
(7)は
x＜0のときy≒0、x=1のときy=1/4、x=2のときy=1、x=3のときy=4ぐらいなので
y=4^(x-2)　（-2≦x≦3）
で良いかと思います。
(9)はそれをy軸に関して対称移動したものなので
y=4^(-x-2)　（-3≦x≦2）ですね。
No.36827 - 2016/05/07(Sat) 13:25:40
☆ Re: / mt
ありがとうございました。
No.36855 - 2016/05/08(Sun) 22:03:12
★ (No Subject) / mt
グラフから式を求める問題で7.8がわかりません。
よろしくお願いします。
No.36817 - 2016/05/06(Fri) 15:52:24
★ 証明 / Mic
自然数に関する証明の問題です。
(1)から詰まってしまいました。
よろしくお願いします
No.36814 - 2016/05/05(Thu) 17:39:46
☆ Re: 証明 / IT
>(1)から詰まってしまいました。
y=1/x のグラフを描いて
定積分を考えて、面積比較をすれば　できると思います。

(2)　(1) の左側の不等式をn=1からn まで書いて　辺辺加える。

(3) a[n+1]-a[n] を(1)の右側の不等式を使って評価する。
No.36815 - 2016/05/05(Thu) 17:58:11
☆ Re: 証明 / Mic
ありがとうございます。
解けました！
No.36816 - 2016/05/06(Fri) 01:25:22
★ 問題集の問題 / sat
数学(三角関数)の問題です。(高2)
次の方程式および不等式を解け。ただし、0≦x＜2πとする

sin2x≧√3 cosx

という問題です。解説は画像のとおりですが、何故「または,cosx≦0 2sinx-√3≦0」となるかが分かりません
両辺に負の数をかけると不等号は逆になることから
cosx ≧ 0は-cosx≦0
2sinx-√3 ≧ 0は -2sinx+√3≦0
となると思ったのですが、何故不等号だけが反転できるのでしょうか？
No.36811 - 2016/05/05(Thu) 14:27:29
☆ Re: 問題集の問題 / IT
シンプルな問題を考えてみてください
実数ａ,ｂ について
ａｂ≧0　⇔　(ａ≧0かつｂ≧0) または(ａ≦0かつｂ≦0)
です。
No.36812 - 2016/05/05(Thu) 15:17:41
☆ Re: 問題集の問題 / sat
なるほど！理解できました
ありがとうございます
No.36813 - 2016/05/05(Thu) 15:41:40
★ 2005年北大入試問題 / ＭＲ
四面体ABCDにおいて、辺ABと辺CDが垂直ならば、頂点Aから平面BCDへ下ろした垂線と、頂点Bから平面CDAへ下ろした垂線は交わることを示せ。

辺ABと辺CDはねじれの位置にあり交わりませんが、これが垂直とはどういう意味でしょうか。定義を教えて下さい。
No.36806 - 2016/05/05(Thu) 03:01:52
☆ Re: 2005年北大入試問題 / ヨッシー
いろんな表現があり、混乱の元ですので、
教科書（たぶん高２）の「２直線のなす角」の定義を見直してください。

直感的には、２直線のうちの片方、または両方を平行に移動して
同一平面で交わるようにしたときに直交することです。
No.36807 - 2016/05/05(Thu) 06:25:47
☆ Re: 2005年北大入試問題 / ＭＲ
なるほど、そういう意味でしたか。
そうしますと、

ABをA'B'に平行移動してCDとEで交わり、A'B'⊥CDとなったとする。
EからABへ下ろした垂線を、EFとする。
FからCDへ下ろした垂線を、FGとする。
A'B'をEGに沿ってEからGまで平行移動した線分をA"B"とれば、A"B"⊥CDである。
A"B"は平面ABGの上にあるから、平面ABGとCDは直交する。
平面ABGと平面BCDは直交するので、Aから平面BCDに下ろした垂線AHは、平面ABGの上にある。
同じように、Bから平面CDAに下ろした垂線BIは、平面ABGの上にある。
AHとBIは同じ平面ABGの上にあり、平行でないので、一点で交わる。

みたいな感じで大丈夫でしょうか？
No.36810 - 2016/05/05(Thu) 10:34:57
★ (No Subject) / 東進生
これはどのようにとけば良いですか？
(2)です
No.36804 - 2016/05/04(Wed) 16:42:58
☆ Re: / IT
50円硬貨と100円硬貨を使って払える金額は０円も含めて　○通り
10円硬貨だけを使って払える金額は０円も含めて　△通り

よって支払える金額は　○×△ - １　通り。
（０円は除く）
No.36805 - 2016/05/04(Wed) 17:17:58
★ (No Subject) / カルマ
う がわかりません
No.36802 - 2016/05/04(Wed) 12:13:20
☆ Re: / ヨッシー
う　ではなく　ウ　ですね。

イで答えた数に３０を次々に足していくとＡ∩Ｂの要素を漏れなく
見つけることが出来ます。
そのうち３桁であるものの個数を求めてアから引いたものがウです。
No.36808 - 2016/05/05(Thu) 06:29:42
★ (No Subject) / 太陽
19です
これはどのようにすれば良いですか？
No.36799 - 2016/05/04(Wed) 10:30:32
☆ Re: / IT
「勝負の分かれ方」という表現があいまいですが

決着がつくのは３、４、５回　めのいずれかです。
それぞれについてＡが３回先に勝つ場合、何回目にＡが勝つかを考えます。Ｂが勝つ場合も同様ですから２倍します。
No.36801 - 2016/05/04(Wed) 11:42:05
★ 場合の数？ / タキシード仮面
北海道教育大学教育学部［旭川校］推薦入試の口頭試問で

「正六角形の中に正三角形を６個作り、１辺に７個の碁石を置き、総数を求める式を黒板に書け。」

という問題なのですが、何を意味しているのか分かりません…。
どのように考え、答えればよいのでしょうか？
よろしくお願い申し上げます。
No.36797 - 2016/05/04(Wed) 08:48:28
☆ Re: 場合の数？ / IT
問題文があいまいですが、正六角形ＡＢＣＤＥＦの中心をＯとして各頂点とＯを結ぶと、正三角形が６つ出来ます。

辺は全部で１２個あるので、「碁石の総数」は、最大で１２×７個ですが、複数の辺の共通点（中心・正六角形の各頂点に）のどこに碁石を置くかで異なりますね。

６個の正三角形の作り方も、いろいろありますが、どうでしょうか？

問題文が正しければ、場合の数の問題ではないと思います。
No.36800 - 2016/05/04(Wed) 11:37:43
☆ Re: 場合の数？ / IT
予備校の過去問情報では、書いておられるとおりの設問になっていますね。

・受験生からの聞き取り調査によるので、条件があいまいになっているか、数学の先生を養成するコースですから、わざとあいまいな設問にして　多様なケースが想定できるか、必要な条件を確認できるかを試しているかのどちらかでしょうか。
No.36803 - 2016/05/04(Wed) 12:38:49
★ (No Subject) / ピーチ
3つのサイコロを使う。出る目の積が20になるになる場合は？
という問題なんですけど

これって8個じゃないんですか？
答えが9なんですけど、何か見落としてますか？
No.36794 - 2016/05/04(Wed) 01:47:36
☆ Re: / IT
> これって8個じゃないんですか？
> 答えが9なんですけど、何か見落としてますか？
9個です。
何を見落としておられるかは、8個の内容を書かれないと分りません。
No.36795 - 2016/05/04(Wed) 03:33:47
★ 平面幾何 / ＭＲ
問題：△ABCの辺BCの中点をMとする。∠BAM+∠ACBが直角であるとき、△ABCはどのような形であるか。

正弦定理等を用い、直角二等辺三角形であることが分かりましたが、これを、三角関数等用いずに初等幾何で解くことは可能でしょうか。
No.36791 - 2016/05/03(Tue) 21:25:58
☆ Re: 平面幾何 / ヨッシー
図のように△ＡＢＣの外接円を描き、ＡＭの延長と円との交点を
Ｄとします。

すると∠ＡＣＤ＝90°であり、ＡＤは直径となります。
ＢＣの中点Ｍを通る直線が円の直径となるには、
ＡＭがＢＣの垂直二等分線の場合：ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形
ＢＣが直径である場合:∠Ａ＝90°の直角三角形
の場合となります。
No.36792 - 2016/05/03(Tue) 22:03:30
☆ Re: 平面幾何 / ＭＲ
Ｍを通る直線が円の直径となるのが、ＡＭがＢＣの垂直二等分線の場合か、ＢＣが直径である場合となるのは、どうしてでしょう。
No.36793 - 2016/05/04(Wed) 00:16:35
☆ Re: 平面幾何 / ヨッシー
適当に円を描いて、そこに弦ＢＣと、その中点Ｍを取ります。
Ｍを通るＢＣ以外の直線が円の直径となる（円の中心を通る）ためには、
ＢＣの垂直二等分線を引くか、特別な場合として、ＢＣが直径のとき
ＢＣ以外の任意の直線を引くと、Ｍを通る直径となります。
No.36796 - 2016/05/04(Wed) 06:31:14
☆ Re: 平面幾何 / MR
なるほどです。
ありがとうございました。
No.36798 - 2016/05/04(Wed) 10:07:49
★ (No Subject) / たろー
説明お願いします
7です
No.36784 - 2016/05/03(Tue) 11:37:21
☆ Re: / ヨッシー

こんなふうに、内訳を変えてみて、
(1)少なくとも一方（白以外の部分）の最大・最小
(2)両方合格（赤と青の網目の部分）の最大・最小
を考えます。
No.36785 - 2016/05/03(Tue) 12:32:18
☆ Re: / たろー
有難うございます。
No.36787 - 2016/05/03(Tue) 17:00:12
☆ Re: / ヨッシー

こんなふうに、内訳を変えてみて、
(1)少なくとも一方（白以外の部分）の最大・最小
(2)両方合格（赤と青の網目の部分）の最大・最小
を考えます。
No.36785 - 2016/05/03(Tue) 12:32:18
☆ Re: / たろー
有難うございます。
No.36787 - 2016/05/03(Tue) 17:00:12
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