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★ (No Subject) / 関数電卓
以下の通りです。

与式＝a(b＋c)2＋b(c2＋2ca＋a2)＋c(a2＋2ab＋b2)−4abc
　　＝(b＋c)a2＋(b＋c)2a＋bc(b＋c)
　　＝(b＋c){a2＋(b＋c)a＋bc}
　　＝(b＋c)(c＋a)(a＋b)
　
No.37152 - 2016/05/25(Wed) 20:24:25
☆ Re: / 関数電卓
すみません。
No.37149 に対する返信でした。
　
No.37153 - 2016/05/25(Wed) 20:26:47
☆ Re: / 関数電卓
> すみません。
> No.37149 に対する返信でした。
> 管理人さん，できたらこのスレを No.37149 のレスに移動して下さい。
　
No.37154 - 2016/05/25(Wed) 20:30:57
☆ Re: / あおこ
わかりました！ありがとうございました！
No.37190 - 2016/05/28(Sat) 20:22:07
★ 極限の求め方 / だい
こんばんは
いろいろと調べたのですが、
次の問題が解けなかったので
どなたか教えて下さい。
以下の極限の求め方です
a_1=1 , a_n=(1+a_(n-1))^-1
No.37151 - 2016/05/25(Wed) 20:16:05
☆ Re: 極限の求め方 / IT
a[1]=1,a[n]=1/(1+a[n-1]) より、任意の自然数nについてa[n]＞0（数学的帰納法）

x=1/(1+x) の２解のうち正の解をαとおくと　α=1/(1+α)
a[n]はαに収束することを示す。
a[n]-α={1/(1+a[n-1])} - {1/(1+α)}
=(α-a[n-1])/{(1+a[n-1])(1+α)}

よって|a[n]-α|＜{1/(1+α)}|a[n-1]-α|
よって|a[n]-α|→0(n→∞)
No.37155 - 2016/05/25(Wed) 20:39:48
☆ Re: / だい
すいません。
答えを載せるのを忘れていました。

答えは｛(√5)-1}/2となってました。
No.37156 - 2016/05/25(Wed) 21:04:14
☆ Re: 極限の求め方 / IT
α =｛(√5)-1}/2 になると思います。
No.37157 - 2016/05/25(Wed) 21:06:23
☆ Re: / だい

結局αをどうやって求めるかわかりませんでした。
No.37163 - 2016/05/25(Wed) 22:49:57
☆ Re: 極限の求め方 / らすかる
x=1/(1+x) という方程式は解けませんか？
No.37166 - 2016/05/25(Wed) 23:08:40
☆ Re: / だい
その方程式を解けば良かったんですね...
すみませんいろいろと勘違いしてました。

丁寧に教えて頂いてありがとうございました。
No.37169 - 2016/05/25(Wed) 23:31:07
★ 因数分解です / あおこ
こんばんは！

この問題の因数分解の方法をおしえてください。
おねがいします。
No.37149 - 2016/05/25(Wed) 19:49:17
☆ Re: 因数分解です / ヨッシー
上の方に回答があります。
No.37158 - 2016/05/25(Wed) 22:21:35
★ (No Subject) / 桜夢
次の問題がわかりません…。
授業の小テストだったんですが、時間内に誰も解けませんでした。

実数aがa＾3+a+1=0を満たすとき、aが無理数であることを示せ。

解き方と答えをお願いします。
No.37146 - 2016/05/25(Wed) 17:46:58
☆ Re: / らすかる
a=p/q　（p,qは互いに素で0でない整数）とおいて代入・整理すると
p^3+pq^2+q^3=0 … (1)
(1)からp^3=-q^2(p+q)であり、pとqは互いに素なのでq=±1
また(1)からq^3=-p(p^2+q^2)であり、pとqは互いに素なのでp=±1
よってa=±1となるが、a=1もa=-1もa^3+a+1=0を満たさず矛盾。
従ってaは無理数。
No.37148 - 2016/05/25(Wed) 18:41:06
☆ Re: / 桜夢
なぜpとqは互いに素ならばq=±1となるのですか？？
No.37161 - 2016/05/25(Wed) 22:32:06
☆ Re: / らすかる
pとqの素因数で一致するものがなくて
p^3=-q^2(p+q)なのですから、
qは±1しかあり得ません。
qが±1以外の場合、qは必ずある素数sを素因数に持ち、
右辺はsで割り切れますが左辺はsで割り切れませんので
等式が成り立ちません。
No.37165 - 2016/05/25(Wed) 23:06:08
☆ Re: / 桜夢
らすかるさん、ありがとうございました！
とても分かりやすかったです。
No.37168 - 2016/05/25(Wed) 23:21:06
☆ Re: / 桜夢
え、やっぱり待ってください

互いに素なのに、±１でもいいのですか？？
No.37172 - 2016/05/26(Thu) 18:40:29
☆ Re: / ヨッシー
Wikipedia によると、
>互いに素（たがいにそ、英: coprime）は、2つの整数が 1
>と −1 以外に公約数を持たない場合の2数の関係である。
だから良いのです。
No.37173 - 2016/05/26(Thu) 18:48:19
☆ Re: / らすかる
「互いに素」
＝「共通の素因数を持たない」
＝「最大公約数が1」
ですから、例えば1と3は互いに素です。

# 1と任意の自然数は互いに素ということになります。
# 1と1ももちろん互いに素です。
No.37176 - 2016/05/26(Thu) 21:34:25
★ 導関数の定義に従って分数を微分 / くま
件名通り、導関数の定義　f(x) = lim(h→0) (f(x-h) - f(x)) / h に従って 1 / (2x -7) はどのように微分されるのでしょうか？
No.37145 - 2016/05/25(Wed) 15:10:41
☆ Re: 導関数の定義に従って分数を微分 / X
問題文の微分の定義式が違っていますが、
定義式通りに計算するのであれば
以下のようになります。
f'(x)=lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
=lim[h→0]1/{2(x+h)-7}-1/(2x-7)}/h
=lim[h→0](2x-7)-{2(x+h)-7}}/{h{2(x+h)-7}(2x-7)}
=lim[h→0](-2h)/{h{2(x+h)-7}(2x-7)}
=lim[h→0](-2)/{{2(x+h)-7}(2x-7)}
=-2/(2x-7)^2
No.37147 - 2016/05/25(Wed) 17:52:23
☆ Re: 導関数の定義に従って分数を微分 / くま
定義式の間違えが全ての元凶でした…
ご指摘感謝します。
No.37218 - 2016/05/30(Mon) 18:01:04
★ (No Subject) / きあら
この問題の解き方についてご意見をください。
No.37138 - 2016/05/24(Tue) 20:49:29
☆ Re: / きあら
これが、模範解答です。
No.37139 - 2016/05/24(Tue) 20:50:11
☆ Re: / きあら
これが、自分の解き方です。条件などに不備などがあればご指摘ください。
No.37142 - 2016/05/24(Tue) 21:00:45
☆ Re: / ヨッシー
「・・・代入して」の次の行の「Ｓ＝」を取れば、
それなりに筋の通った解答にはなります。
「Ｓ＝」が付いていると、これから示そうという等式が
正しい前提で変形しているように見えます。
No.37143 - 2016/05/24(Tue) 22:01:29
☆ Re: / ast
この場合, 問題文の最後に書かれている式は「与式」(仮定として使っていいと与えられているところの式) ではなく (結論として)「示すべき式」なので, 言葉づかいとしてもまずいですね. 実際にやっているのは「示すべき式の右辺を変形すると既知の式 S=(1/2)|a||b|sin(θ) の右辺に (したがって左辺 S に) 等しい」という論理なので, ヨッシーさんのアドヴァイス通り最初の S= はマズイということになります.
No.37144 - 2016/05/24(Tue) 22:30:07
★ 三角関数 / アリス
0≦θ≦πとし、y=sinθ+ルート3cosθとおく。yの取り得る値の範囲を求めよ。でπ/3≦θ+π/3≦4π/3がどうやって−ルート3/2≦sin(θ+π/3)≦1になるのかわかりません。詳しく教えてください。
No.37133 - 2016/05/24(Tue) 17:44:04
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

グラフを描けば一目瞭然です。

上は ｙ＝sinθ (π/3≦θ≦4π/3) のグラフ
下は ｙ＝sin(θ＋π/3)　(０≦θ≦π) のグラフです。


No.37134 - 2016/05/24(Tue) 17:55:49
☆ Re: 三角関数 / アリス
計算式とかはないんですか？
No.37136 - 2016/05/24(Tue) 19:03:14
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
ありません。

しいて言うなら
　sin(π/2)＝１
　sin(4π/3)＝−√3/2
ですが、どこで最大・最小になるかはグラフなり
単位円なりで調べるしかありません。
No.37137 - 2016/05/24(Tue) 20:22:12
★ 半円におけるタンジェントの定義 / アリクブケ
数学I、三角比について、単位円において、tanθの値は、動径(であっているのかな？)を伸ばした線と直線x=1の交点のy座標になりますが、単位円じゃなくても大丈夫ですよね？

たとえば、半径2の半円において、動径を伸ばした線と直線x=2の交点のy座標をtanθ←正しいのでしょうか。
No.37128 - 2016/05/24(Tue) 00:32:04
☆ Re: 半円におけるタンジェントの定義 / らすかる
正しくありません。値が2倍になってしまいます。
No.37129 - 2016/05/24(Tue) 02:47:23
★ 積分 / あん
a＞b＞0とする。座標空間において、不等式(√(x^2+y^2)-a)^2+z^2≦b^2で表される部分の体積を求めよ

という問題です。場合によっては二重積分を用いて頂いても結構です。
よろしくお願いします
No.37124 - 2016/05/23(Mon) 21:30:35
☆ Re: 積分 / 関数電卓
所与の立体を z 軸に垂直な平面 z＝k (−b≦k≦b) で切ると，

　(√(x^2＋y^2)−a)^2＋k^2≦b^2
より
　a−√(b^2−k^2)≦√(x^2＋y^2)≦a＋√(b^2−k^2) …(#)

(#)は，原点を中心とし半径が a−√(b^2−k^2) 以上 a＋√(b^2−k^2) 以下のドーナツ領域ですから，面積はすぐに求まります。
あとは，その面積を −b≦k≦b で積分したものが求める体積です。
　
No.37126 - 2016/05/24(Tue) 00:07:40
☆ Re: 積分 / あん
よくわかりました
ありがとうございます
No.37131 - 2016/05/24(Tue) 12:39:18
★ (No Subject) / 濱さん
問題の解答の方向性としては、４３（１）相加相乗
４４ Xを＋、０、ーで場合わけして相加相乗でいいですか？
No.37123 - 2016/05/23(Mon) 19:48:34
☆ Re: / IT
その方針でも良いと思います。
No.37125 - 2016/05/23(Mon) 23:31:27
☆ Re: / 濱さん
ありがとうございました。
No.37141 - 2016/05/24(Tue) 20:55:19
★ ベクトルについて / あむ
写真の1番は解けましたが、2番が理解できません。
解説をみても25でくくったりとよく分からなかったので誰か解説お願いします😥
No.37119 - 2016/05/23(Mon) 17:35:59
☆ Re: ベクトルについて / ヨッシー
ベクトルの大きさ（の２乗）を成分から計算して、
二次関数の最小に持って行きます。
　ｃ＝(2+3t, 1+4t)
なので、
　|ｃ|^2＝(2+3t)^2＋(1+4t)^2
　　＝25t^2＋20t＋5
　　＝25(t+2/5)^2＋1
よって、ｔ＝-2/5 のとき、|ｃ|^2 の最小値は１で、
|ｃ|≧０　より　|ｃ| の最小値は１。

25(t+2/5)^2＋1 の (t+2/5)^2 の部分は２乗なので、負になることはなく、
０が最小です。よって、この部分が０になる時のｔにおいて、
25(t+2/5)^2＋1 は最小になります。

25t^2＋20t＋5＝25(t+2/5)^2＋1 の変形を平方完成と言って、
二次関数の最小・最大を求めるときによく使います。
　x^2＋6x＋10＝(x+3)^2＋1
のような感じです。（これだと、ｘ＝−３ のとき、最小値１）
No.37120 - 2016/05/23(Mon) 18:01:00
☆ Re: ベクトルについて / あむ
//ヨッシーさん//
平方完成するとこうなりませんか？？？
(計算間違えてたらすみません)
5分の2とはどこから出てくるのでしょうか？？
No.37121 - 2016/05/23(Mon) 18:56:41
☆ Re: ベクトルについて / あむ
//ヨッシーさん//
すみません、分かりました！
3列目が5分の4ではなく5分の2の2乗ですね！
丁寧にありがとうございました！
No.37122 - 2016/05/23(Mon) 19:00:58
★ (No Subject) / じゅうじょう
この問題はどう計算すると早いですか？
No.37117 - 2016/05/22(Sun) 18:52:34
☆ Re: / らすかる
x=(√5-1)/2
2x=√5-1
2x+1=√5
(2x+1)^2=5
4x^2+4x+1=5
4x^2+4x-4=0
x^2+x-1=0
なので
2x^3+5x^2+3x-2=(x^2+x-1)(2x+3)+2x+1
=2x+1=√5
No.37118 - 2016/05/22(Sun) 19:01:13
★ (No Subject) / アガリクス
問題を底2に直したら、答えは画像のようになりますか？
No.37113 - 2016/05/22(Sun) 12:23:05
☆ Re: / X
それで問題ありません。
No.37114 - 2016/05/22(Sun) 12:51:20
★ (No Subject) / きあら
この問題の解き方は、これでも構いませんか？
No.37107 - 2016/05/22(Sun) 11:13:47
☆ Re: / きあら
自分の解き方です。
No.37108 - 2016/05/22(Sun) 11:14:33
☆ Re: / きあら
模範解答です。言っていることは同じかなぁ？と思うのですが…
No.37109 - 2016/05/22(Sun) 11:15:37
☆ Re: / X
きあらさんの解答でも問題ありません。
No.37115 - 2016/05/22(Sun) 12:56:02
☆ Re: / きあら
ありがとうございます。(^^)/
No.37116 - 2016/05/22(Sun) 13:36:41
★ 円 / 納豆菌
円x^2+(y-3)^2=4と点A(6,5),B(1,-1)がある。x軸上に点P、円周上に点Qをとるとき、AP+PQの最小値を求めよ。
この問題がさっぱりわかりません。何かヒントをいただきたいです。お願いします。
No.37106 - 2016/05/22(Sun) 11:12:55
☆ Re: 円 / きあら
円をｘ軸を対称の軸として、対称移動してから中心とAを結べばいいかと…
ただ、これだとBの座標がまったく無意味になるのですが、文章の打ち間違いとかありませんか？
No.37111 - 2016/05/22(Sun) 11:22:15
☆ Re: 円 / 納豆菌
ありがとうございます。
点Bは次の小問で使うものでしたので上記の問題には関係ありませんでした。失礼しました。
No.37112 - 2016/05/22(Sun) 11:53:35
★ (No Subject) / 嵐
画像のような問題がでたら答えは0ですか？
No.37104 - 2016/05/22(Sun) 09:36:03
☆ Re: / きあら
でしょうね。分母が無限大になるわけですから。
No.37110 - 2016/05/22(Sun) 11:17:01
★ (No Subject) / 嵐
画像の問題で1/2のところがありますが、1/2なら√つけるだけでいいですが、もし2/3とかだったらどうなりますか？画像のようになりますか？
No.37100 - 2016/05/22(Sun) 08:47:03
☆ Re: / ヨッシー
2/3 乗のままでも良いし、3乗根の形でも良いです。

その先で微分する予定とかがあるなら、2/3 乗のままの方が扱いやすいでしょう。
No.37102 - 2016/05/22(Sun) 09:30:13
★ (No Subject) / アガリクス
この前この問題を解答してもらったのですが、丸がついているところがなぜそうなるかが分かりません。お願いします。
No.37099 - 2016/05/22(Sun) 08:35:50
☆ Re: / ヨッシー
１つめの○
　半角の公式　sin^2(t/2)＝(1ーcosｔ)/2　によります。

２つめの○
　分母にある (t/2) を (2/t) に直して掛け算の形にして
　１つ上の式になることを確認すれば、逆の計算も出来るでしょう。
No.37103 - 2016/05/22(Sun) 09:34:35
☆ Re: / アガリクス
やっと理解できました。
ありがとうございました。
No.37105 - 2016/05/22(Sun) 10:22:18
★ 黄色チャートI 重要例題95 / アリクブケ
x^2≧0の解はすべての実数ですか？そしてもう一つこれに関する質問。

問題
x，yがx^2+2y^2=1を満たすとき、2x+3y^2の最大値と最小値は？


という問題の解答には、「y^2≧ゆえに-1≦x≦1」という風に変域をだしていますが、x^2≧0について書かれてません。僕はノートに、「x^2≧0の解であるすべての実数と、-1≦x≦1の共通範囲は、-1≦x≦1である。」と書きました。

僕の解答の方が厳密ですよね？
No.37098 - 2016/05/22(Sun) 08:20:07
☆ Re: 黄色チャートI 重要例題95 / IT
> x^2≧0の解はすべての実数ですか？
そうですね。

> 問題
> x，yがx^2+2y^2=1を満たすとき、2x+3y^2の最大値と最小値は？
> という問題の解答には、「y^2≧ゆえに-1≦x≦1」という風に変域をだしていますが、x^2≧0について書かれてません。僕はノートに、「x^2≧0の解であるすべての実数と、-1≦x≦1の共通範囲は、-1≦x≦1である。」と書きました。
>
> 僕の解答の方が厳密ですよね？
いいえ。そうは思いません。
x^2≧0　は使ってないので、書くべきではないと思います。
No.37101 - 2016/05/22(Sun) 09:20:01
☆ Re: 黄色チャートI 重要例題95 / アリクブケ
なんで使っちゃダメなんですか？
xの範囲求めてるんだから、条件がある以上考慮しなきゃいけないじゃないですか。
文章問題であれほど範囲を慎重に考えろと言われてきましたが、x^2≧0を無視する理由があるのでしょうか。
No.37127 - 2016/05/24(Tue) 00:29:59
☆ Re: 黄色チャートI 重要例題95 / IT
> なんで使っちゃダメなんですか？
使ってもいいですが、使わなかったということです。

x,ｙが満たすべき条件は
xは実数である　かつ
yは実数である　かつ
x^2+2y^2=1を満たす。
です。

うまく説明できる方があれば、お願いします。
No.37130 - 2016/05/24(Tue) 07:40:27
☆ Re: 黄色チャートI 重要例題95 / ヨッシー
住所欄に「○○県○○市・・・」と書いてあるのを見て、
「太陽系第三惑星地球・・・から書いたほうが厳密ですよね？」
と言ってきた人がいたとします。

その時に感じるであろう違和感を、最初の質問を見て感じました。

y^2≧0 ゆえに -1≦ｘ≦1
は、この問題を解く過程で必要な記述です。
x^2≧0 はそういう役割を担っていません。
だから書く必要はありません。
No.37135 - 2016/05/24(Tue) 18:54:51
★ むずかすぃー / Volvo　X
隣接3項間漸化式で特殊解のｎ乗の線型結合で一般項が表せる理由を教えてくださいー
No.37096 - 2016/05/22(Sun) 00:14:25
☆ Re: むずかすぃー / ast
マルチポストに真面目に回答する必要もどうせないとは思うからざっとだけ書くが,

定数係数隣接三項間線型漸化式 a[n+2]=p*a[n+1]+q*a[n] は平面内の点列 x[n] = (a[n+1],a[n]) の一次変換

　x[n+1] = ((p, q),(1,0))*x[n]
(縦ベクトル x[n+1] は第一行 (p,q), 第二行 (1,0) の 2x2 行列と縦ベクトル x[n] との(行列の)積)

として書けば, 係数行列の固有方程式 = 漸化式の特性方程式 x^2-px+q. これが相異なる二根 α, β を持つならば, 対角化により正則行列 P が存在して
　Px[n+1]=((α,0),(0,β))Px[n]=((α,0),(0,β))^n Px[1]=((α^n,0),(0,β^n))Px[1]
は特性根の冪 α^n と β^n の線型結合, P^(-1)を掛けても同じ.

** 重根 α を持つ場合は三角化して Qx[n+1]=((α,1),(0,α))Qx[n] = ((α^n,nα^(n-1)),(0,α^n))Qx[1].
** 実根を持たない場合は, 一旦複素係数の範囲で対角化して考える. 最終的に共軛複素数などを処理すれば, 実係数の線型結合になるはず.

### 内容的にはほぼ数C範囲で済むと思うが, 固有値・固有ベクトルを用いた対角化等まで数Cでやるかは知らない.
No.37132 - 2016/05/24(Tue) 16:41:40
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