お世話様になります。ブラッドマミと申します。この度は従来の1,1,2,3,5,8,13・・フィボナッチ数列ではなく、例外的なフィボナッチ数列、1,2,3,5,8,13の一般項を求めようと頑張っています。どなたか分かる方解き方の方針と一般項までできるだけ、詳しく教えて下さい。よろしくお願いします。
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No.36495 - 2016/04/04(Mon) 20:40:45
| ☆ Re: 第2項が２のフィボナッチ数列 / ヨッシー  | | | すごくずるいやり方は、1,1,2,3,5,8,13・・・の一般項が
a[n]＝(α^n−β^n)/√5
なら、1,2,3,5,8,13,・・・の方は
b[n]＝a[n+1]＝{α^(n+1)−β^(n-1)}/√5
とする方法です。
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No.36496 - 2016/04/04(Mon) 20:52:00 |
| ☆ Re: 第2項が２のフィボナッチ数列 / ヨッシー | | | それでは勉強にならないので、普通に漸化式から解きます。
a[1]＝1, a[2]＝2, a[n+1]＝a[n]＋a[n-1] (ｎ＞1)
において、あえて、一気に特性方程式に飛ばずに、
a[n+1]−αa[n]＝β(a[n]−αa[n-1]) ・・・(i)
と変形できたとします。展開して整理すると
a[n+1]＝(α＋β)a[n]−αβa[n-1]
元の漸化式と比較して
α＋β＝１、αβ＝−１
よって、α、βは
ｘ^2−ｘー１＝０
の２解となります。（結果的に特性方程式となります）
これより
α＝(1＋√5)/2, β＝(1−√5)/2
α＝(1−√5)/2, β＝(1＋√5)/2
が得られ、どちらも (i) を満たします。よって、
α＝(1＋√5)/2, β＝(1−√5)/2
に固定し、(i) を
a[n+1]−αa[n]＝β(a[n]−αa[n-1])
a[n+1]−βa[n]＝α(a[n]−βa[n-1])
と表します。漸化式を次々に適用し
a[n+1]−βa[n]＝α(a[n]−βa[n-1])＝α^2(a[n-1]−βa[n-2])＝・・・＝α^(n-1)(a[2]-βa[1])
a[n+1]−αa[n]＝β(a[n]−αa[n-1])＝β^2(a[n-1]−αa[n-2])＝・・・＝β^(n-1)(a[2]-αa[1])
よって、
a[n+1]−βa[n]＝α^(n-1)(2-β)
a[n+1]−αa[n]＝β^(n-1)(2-α)
上式から下式を引いて
(α−β)a[n]＝α^(n-1)(2-β)−β^(n-1)(2-α)
a[n]＝{α^(n-1)(2-β)−β^(n-1)(2-α)}/(α−β)
ここで、α＋β＝１ および、α^2−α−１＝０、β^2−β−１＝０ より
２−α＝１＋β＝β^2
２−β＝１＋α＝α^2
よって
a[n]＝{α^(n+1)−β^(n+1)}/√5
こちらも併せてどうぞ。
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No.36498 - 2016/04/04(Mon) 21:45:03 |
| ☆ Re: 第2項が２のフィボナッチ数列 / ブラッドマミ | | | ありがとうございました。大変参考になりました。これからも精進して参ります。
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No.36502 - 2016/04/05(Tue) 16:40:52 |
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