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★ (No Subject) / 海
・0°≦θ≦180°でtanθ＝2/3のとき、(1-2cos^θ)/(1+2sinθcosθ)の値を求めよ。

・不等式4√3sin^θ+(6-2√3)cosθ+3−4√3＞0を0°≦θ≦180°の範囲で解け。

二問ですが、付属の解説を見てもわからなかったので、できるだけ詳しい解説をお願いしたいです。m(__)m
No.36448 - 2016/04/02(Sat) 13:08:01
☆ Re: / X
一問目)
tanθ＝2/3 (A)
と
1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2
により
(cosθ)^2=9/13 (B)
(A)(B)により
(1-2(cosθ)^2)/(1+2sinθcosθ)
=(1-2(cosθ)^2)/(1+2tanθ(cosθ)^2)
((∵)tanθ=(sinθ)/cosθ)
=…

注)
(B)から
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
を使ってsinθ,cosθの値を求めてから
問題の式に代入するという方針も考えられますが、
計算はこれよりも煩雑になります。



二問目)
問題の不等式から
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
を使ってsinθ,cosθのいずれかを消去し
残ったほうの不等式と見て解きます。
不等式の形から見て、sinθを消去して
cosθの二次不等式に持っていく方が
簡単です。

cosθ=tと置くと
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
により
(sinθ)^2=1-t^2
よって問題の不等式は
(4√3)(1-t^2)+(6-2√3)t+3-4√3＞0
これより
-(4√3)t^2+(6-2√3)t+3＞0
4t^2-(2√3-2)t-√3＜0
(2t-√3)(2t+1)＜0
∴-1/2＜t＜(√3)/2
となるので
-1/2＜cosθ＜(√3)/2
よって
0°≦θ≦180°
に注意して単位円を考えることにより
30°＜θ＜120°
No.36466 - 2016/04/02(Sat) 19:39:00
★ (No Subject) / ふなっし
y>xのとき、以下の式が正であることは証明できますでしょうか？
｛(y^2+z^2-x^2)/(2yz)｝-｛(z^2+x^2-y^2)/(2zx)｝
No.36446 - 2016/04/02(Sat) 12:48:10
☆ Re: / らすかる
成り立ちませんので証明できません。
例えばx=1,y=2,z=4のとき式の値は負です。
No.36449 - 2016/04/02(Sat) 13:12:04
☆ Re: / ふなっし
すいません、x,y,z>0という条件付きです。。
他には、もしかして三角形の成立条件、x+y>z,y+z>x,z+x>y
も必要ですよね。。
実はこれ、余弦定理の話でそのcosの引き算です。
ある条件における角の大小を、数式によって証明する場合の
ことを考えていました。。

数式による処理は悪い解答になることが多いのでしょうか？
No.36450 - 2016/04/02(Sat) 13:23:24
☆ Re: / IT
通分すると(y-x)(x+y+z)(x+y-z)/(2xyz) です。

> 数式による処理は悪い解答になることが多いのでしょうか？
「'数式'による処理」とはどういうことか　良く分かりませんが？
No.36451 - 2016/04/02(Sat) 13:26:33
☆ Re: / ふなっし
おっしゃる通りです、ありがとうございました。
No.36452 - 2016/04/02(Sat) 13:42:52
☆ Re: / ふなっし
> 通分すると(y-x)(x+y+z)(x+y-z)/(2xyz) です。
>
> > 数式による処理は悪い解答になることが多いのでしょうか？
> 「'数式'による処理」とはどういうことか　良く分かりませんが？


数式によらない処理というこのは、図形的処理のことでした。三角形に補助線を引いて、、、みたいな解法のことです。
この質問は、もともとは図形的に処理できる問題でしたが、
別解を探そうと思って、こういった一連の質問をさせていただきました。
No.36453 - 2016/04/02(Sat) 13:46:27
★ (No Subject) / Abe
(2)答え4√10(3)答え4√7です。わかりません。よろしくお願いします。
No.36443 - 2016/04/02(Sat) 07:54:51
☆ Re: / ヨッシー
(2)
ＡＢの中点をＭとし、△ＣＭＦを考えると
　ＣＦ^2＝(3√3)^2＋1^2＝28
よって、
　ＣＦ＝ＣＨ＝2√7
また、ＦＨの中点をＮとし、△ＣＮＦを考えると
　ＣＮ＝2√5
よって、
　△ＣＦＨ＝4√2×2√5÷2＝4√10

(3)

図のような展開図を描いて、△ＰＳＴを考えると
　ＰＳ^2＝8^2＋(4√3)^2＝112
　ＰＳ＝4√7

となります。
No.36444 - 2016/04/02(Sat) 08:35:05
★ (No Subject) / Kkk
It様
回答ありがとうございます。早速の回答で大変有難いです。
ただ、7がx<2a＋5を満たさないという所までは理解出来ますが、何故7>=2a+5になるかがどうしても理解出来ません。大変お手数ではありますが、解説して頂けると大変有難いです。
No.36441 - 2016/04/01(Fri) 23:08:31
★ チャートで質問があります / Kkk
黄色チャート29題
不等式5(xー1)<2(x-a)をわ満たすxの内最大の整数は6である時、定数aの値の範囲を求めよ。
解
X<2a+5となり(ここまでは分かります)、この内、最大の整数が6となるのは6<2a＋5<=7の時である。よって、1/2<a<=1。
なぜ、xの最大の整数が６であるのに、７が出てくるのか、 2a＋5<=7となるのかが全く理解出来ません。曖昧な質問で大変申し訳ないですが、教えて頂けると大変有難いです。
No.36437 - 2016/04/01(Fri) 22:13:15
☆ Re: チャートで質問があります / IT
6が　X<2a+5　を満たす　最大の整数なので
7 は　X<2a+5　を満たさない。
( 7 <2a+5 ならば　6 がX<2a+5　を満たす最大の整数である
ことに反するので）

すなわち 7 ≧2a+5 でなければならない。
No.36438 - 2016/04/01(Fri) 22:19:20
☆ Re: チャートで質問があります / IT
「7 <　2a+5 でない」と「 7 ≧2a+5　である」は同値です。
No.36445 - 2016/04/02(Sat) 12:40:23
☆ Re: チャートで質問があります / ｋｋｋ
> 「7 <　2a+5 でない」と「 7 ≧2a+5　である」は同値です。
> 「7 <　2a+5 でない」と「 7 ≧2a+5　である」は同値です。
有難うございます。背理法ですね。
助かりました。
No.36468 - 2016/04/02(Sat) 23:25:38
☆ Re: チャートで質問があります / IT
> 有難うございます。背理法ですね。
「背理法」ではないと思いますが？
No.36469 - 2016/04/03(Sun) 06:44:13
★ 4月１日　始まりの日 / 近代知
直線Ｌ１は二点Ａ（２．０．０）とＢ（０，１，１）を通る。直線Ｌ２は点Ｃ（３，３，０）とＤ（０，０、a)を通り、Ｌ１と交わっている。aの値はいくらか。

ベクトルＡＢ＝(-2,1,1)
ベクトルＡＣ=（1,3,0)
平面ＡＢＣにに垂直なベクトルは（高校数学の範囲外なので舞台裏で外積の演算法を用いて）ｎ＝（-3,1,7)
ベクトルＡＤ＝(-2,0,a)
ベクトルＡＤ・ベクトルｎ＝０よりa=6/7

とありますが、この解法はＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄが同一平面上にあることしか使っていませんよね？。
Ｌ１とＬ２が交わっていると言っているのに条件が広すぎませんか？
つまり、質問１】Ｌ１とＬ２が平行である、と書いてあってもＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄは同一平面上ですから、本問と同じ解法で解けることになりますよね？
つまり、質問2】答えとしてＡＢとＣＤが平行な場合のaの値も求まってしまうケースもありますよね？だからaの値が二つ以上出た場合はそのとき２直線が平行なのか交わるのかの吟味（確認作業）が必要ですよね？

どなたか教えてください
No.36432 - 2016/04/01(Fri) 19:51:13
☆ Re: 4月１日　始まりの日 / X
確かに仰るとおり、その解答ではA,B,C,Dが同一平面上
であることしか使っていません。
ですので、求められたaの値の個数に関わらず、
得られたaの値各々に対して、AB//CDではないことを
確かめる必要があります。
No.36433 - 2016/04/01(Fri) 20:26:19
☆ Re: 4月１日　始まりの日 / 近代知
確信が持てました！回答ありがとうございました！
No.36439 - 2016/04/01(Fri) 22:46:24
★ 択一式 / まじめ
択一式　大学入試問題です

ｙ＝e^(-x)sinxと直線ｙ＝ｋがｘ＞０において丁度三点を共有するようなｋはｋ＝αとｋ＝βである（α＞β）。このときα/βはいくらか。ここでeは自然対数の底である。

ｙ＝e^(-x)sinxがｙ＝e^(-x)とｙ＝-e^(-x)にぶつかりながらサインカーブを描くという事は知識としてあります。
解）
f(x+π）＝-e^(-π）f(x)より
f’(x+π）＝-e^(-π）f’(x)

よってｘ＝ｘ０で極大、ｘ＝ｘ０＋πで極小
(グラフで二つ目の山とｙ＝αが接しており、二つ目の谷にｙ＝βが接しています）
α/β＝f(x0)/f(x0+π)=f(x0)/(-e^(-π)f(x0))=-e^(π)

とありますが、気になるのは微分せずに極値をとるｘの値が求まっている点です。f’(x+π）＝-e^(-π）f’(x)＝０とするとｘ＝ｘ１で極大（極小）となるときｘ＝ｘ１＋πで極小（極大）となることは分かりますが、ｘ＝ｘ１とｘ＝ｘ１＋πのときの山と谷がかならずしも隣り合っているかは分からないはずですよね？
f’(x+π）＝-e^(-π）f’(x)とありますが、このf’(x+『π』）の『π』より小さな値が見つかればそのｘの値でも極値を取るわけで。。
No.36431 - 2016/04/01(Fri) 19:00:24
☆ Re: 択一式 / IT
そうですね、グラフからおよそπの周期で極値をとることは分りますが、
普通に微分したほうが分りやすくて無難な気がします。
なんという問題集の解法ですか？
No.36434 - 2016/04/01(Fri) 20:39:26
☆ Re: 択一式 / まじめ
回答ありがとうございます。

授業なので問題集ではないのです。。
確かにグラフからおよそπであることは分かりますね。f’(x+π）＝-e^(-π）f’(x)はその予想が合っていることの目安程度といった理解で大丈夫でしょうか？
No.36455 - 2016/04/02(Sat) 14:46:13
☆ Re: 択一式 / IT
そうですね。
数３では、数学的に厳密でない部分があるのも、止むを得ない場合もあると思います。

先生に聞いて見られたらどうですか？

本問の場合は、微分すれば良いとは思いますが。
No.36461 - 2016/04/02(Sat) 17:59:20
★ 択一式問題 / まじめ
４次関数の2つの極小値が同じとき極大値
をとるｘの値は、極小値を取るｘの値の中点になりますか？

どなたか教えてくれたら嬉しいです
No.36430 - 2016/04/01(Fri) 18:34:59
☆ Re: 択一式問題 / X
問題は
f'(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ) (A)
(α＜β＜γ,a＞0 (P))
f(α)=f(γ) (B)
のとき
β=(α+γ)/2
を示すことに帰着します。

(A)より
f'(x)=ax^3-a(α+β+γ)x^2+a(αβ+βγ+γα)x-aαβγ
∴f(x)=(a/4)x^4-(a/3)(α+β+γ)x^3+(a/2)(αβ+βγ+γα)x^2-aαβγx+C
(C:積分定数)
よって(B)より
(a/4)α^4-(a/3)(α+β+γ)α^3+(a/2)(αβ+βγ+γα)α^2-aαβγ・α
=(a/4)γ^4-(a/3)(α+β+γ)γ^3+(a/2)(αβ+βγ+γα)γ^2-aαβγ・γ
これより
(1/4)α^4-(1/3)(α+β+γ)α^3+(1/2)(αβ+βγ+γα)α^2-αβγ・α
=(1/4)γ^4-(1/3)(α+β+γ)γ^3+(1/2)(αβ+βγ+γα)γ^2-αβγ・γ (∵)(P)よりa≠0
(1/4)(α^2+γ^2)(α+γ)(α-γ)-(1/3)(α+β+γ)(α-γ)(α^2+αγ+γ^2)
+(1/2)(αβ+βγ+γα)(α+γ)(α-γ)-αβγ(α-γ)=0
(1/4)(α^2+γ^2)(α+γ)-(1/3)(α+β+γ)(α^2+αγ+γ^2)+(1/2)(αβ+βγ+γα)(α+γ)-αβγ=0
3(α^2+γ^2)(α+γ)-4{β+(α+γ)}(α^2+αγ+γ^2)+6{(α+γ)β+γα}(α+γ)-12αγβ=0
-4(α^2+αγ+γ^2)β+6{(α+γ)^2}β-12αγβ
=-3(α^2+γ^2)(α+γ)+4(α+γ)(α^2+αγ+γ^2)-6γα(α+γ)
-(4α^2+4αγ+4γ^2)β+(6α^2+12αγ+6γ^2)β-12αγβ
=(α+γ){-3(α^2+γ^2)+4(α^2+αγ+γ^2)-6γα}
(2α^2-4αγ+2γ^2)β=(α+γ)(α^2-2αγ+γ^2)
{2β-(α+γ)}(α-γ)^2}=0
(P)よりα-γ≠0ゆえ
β=(α+γ)/2

ということで成立します。
No.36435 - 2016/04/01(Fri) 20:51:40
☆ Re: 択一式問題 / IT
Xさんが成立することを示されたので、計算を楽にする方法を考えました。

f(x)のx^4の係数は1,定数項は0として考えてよい。
また、x軸方向に平行移動することによって極大値をとるｘの値は0 として考えてよい。

極小値を取るｘの値をα,γ(α≠γ)とする。

f’(x)=(x-α)x(x-γ)=x^3-(α+γ)x^2+αγx
f(x)=(1/4)x^4-(1/3)(α+γ)x^3+(1/2)αγx^2
f(α)=(1/4)α^4-(1/3)(α+γ)α^3+(1/2)αγα^2
　　 =-(1/12)α^4+(1/6)(α^3)γ
f(γ)=-(1/12)γ^4+(1/6)(γ^3)α

2つの極小値が同じとき　f(α)-f(γ)=0なので
-(1/12)(α^4-γ^4)+(1/6){(α^3)γ-(γ^3)α}=0
-(α-γ)(α+γ)(α^2+γ^2)+2αγ(α-γ)(α+γ)=0
-(α-γ)(α+γ)(α^2-2αγ+γ^2)=0
-(α+γ)(α-γ)^3=0
　α-γ≠0なのでα+γ=0　
No.36436 - 2016/04/01(Fri) 21:52:31
☆ Re: 択一式問題 / まじめ
Ｘさんありがとうございます、すさまじい計算をありがとうございました。

ＩＴさんありがとうございます。
計算を楽にする方法というのは、証明ですか？
どうしてｘ＾４の係数を１、定数項を０として考えてよいのか分かりません。よかったら教えてください
No.36440 - 2016/04/01(Fri) 23:05:55
☆ Re: 択一式問題 / IT
> 計算を楽にする方法というのは、証明ですか？
いちおう、そのつもりですが。

> どうしてｘ＾４の係数を１、定数項を０として考えてよいのか分かりません。よかったら教えてください

a＞0,cは実数　として
g(x)=af(x)+c を　考えれば、分ると思いますが、直観的に納得できないなら、あえて「ｘ＾４の係数を１、定数項を０」としなくても構わないと思います。
β＝0とするとかなり手間が省けるのでこれはやった方がいいと思います。
No.36442 - 2016/04/02(Sat) 01:00:52
☆ Re: 択一式問題 / まじめ
回答ありがとうございます。

>g(x)=af(x)+c を　考えれば、分る
すみません、よく分かりません。。

f'(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ) (A)
(α＜β＜γ,a＞0 (P))
f(α)=f(γ) (B)
のとき
β=(α+γ)/2
を示すが、
ｆ（ｘ）を原点に平行移動することによって極大値をとるｘの値は0 、極大値０として考えてよく、このとき
ｆ'（ｘ）＝a(x-α）x(x-γ）
でありｆ（ｘ）=a(x-k)x^2(x-L)（k,Lはｘ軸との交点のｘ座標でｋ<0<L)となるのでf(x)の定数項は０となる。
でもよいですか？（これでもa=1でもよいことはまだ分かりませんが・・）

よろしくおねがいします。
No.36454 - 2016/04/02(Sat) 14:42:08
☆ Re: 択一式問題 / まじめ
平行移動ということで思いついたのですが、下に凸の二次関数は平行移動により
原点と（a,0)を通る二次関数のグラフと考える事ができ、これは、ｘ＝a/2で極小値になるグラフである。そのグラフのそれぞれのｙ座標を二乗すると原点、（a,0)を極小値、ｘ＝a/2を極大値とする４次関数のグラフができるので、これで、
４次関数の2つの極小値が同じとき極大値
をとるｘの値は、極小値を取るｘの値の中点になる、ということは示せたのではないでしょうか？
No.36456 - 2016/04/02(Sat) 15:04:22
☆ Re: 択一式問題 / IT
36454 は、それでいいと思います。

a=1 のことは、厳密に説明すると大変なのでaのままでいいと思います。

a＞0　のとき
g(x)=af(x)について、g'(x)=af'(x) なので
gが　2つの極小値が同じ。という性質を持つとき、fもその性質があります。
gが、極大値をとるｘの値は、極小値を取るｘの値の中点で
ある。という性質を持つとき、fもその性質があります。

36456　は、すべての場合を尽くしていない気がします。
（これからよく考えて見ますが）
No.36462 - 2016/04/02(Sat) 18:16:07
☆ Re: 択一式問題 / IT
（別解）

極小値をとるxの値をα,γ (α＜γ),極小値をcとすると

任意の実数xについてf(x)-c≧0 (等号はx=α,γのとき)…(1)なので
f(x)-c = (x-α)(x-γ)g(x), g(x)は２次式　とおける

α＜x＜γにおいて, (x-α)(x-γ)＜0　なので(1)より　g(x)＜0
x＜α,γ＜xにおいて, (x-α)(x-γ)＞0　なので(1)より　g(x)＞0
したがって g(x)=a(x-α)(x-γ), a＞0　とおける

すなわち f(x)-c =a{(x-α)^2}{(x-γ)^2}, a＞0

微分して f ’(x)=2a{(x-α)^2}(x-γ)+2a(x-α)(x-γ)^2
　　　　　　　　=2a(x-α)(x-γ){2x-(α+γ)}

α≠γなのでf(x)が極大値をとるxの値は(α+γ)/2
No.36464 - 2016/04/02(Sat) 19:11:07
★ 図形問題 / 蔵
（２）答え√３−１　解説お願いします。
No.36429 - 2016/04/01(Fri) 18:34:51
☆ Re: 図形問題 / ヨッシー
ＧからＢＤに垂線ＧＪを下ろすと、ＧＪ＝ＤＨです。
△ＣＯＧは、１：２：√3 の直角三角形で、ＣＯ＝２cm より
　ＯＧ＝2√3/3 cm
これから、ＢＧを求め、
△ＢＧＪが、１：２：√3 の直角三角形であることから、
ＧＪを求めます。
No.36472 - 2016/04/03(Sun) 09:25:14
★ 関数 / 馳
（３）解けません。答えは７分３０秒です。解説よろしくお願いします。
No.36427 - 2016/04/01(Fri) 15:02:40
☆ Re: 関数 / ヨッシー
妹に追いついた地点をＲとすると、
Ｑ地点からＲ地点までの距離は
　200×7＝1400(m)
これを妹は 22＋6＝28（分）で進むので、速さは
　1400÷28＝50(m/分)
家からＱ地点までの距離は
　140×5＋90×10＝1600(m)
ＡさんがＰ地点まで来た時に妹はＱ地点から
　(6+5)×50＝550(m)
家から 1050m のところにいて、Ａさんとの距離は
　1050−700＝350(m)
この後、Ａさんは90m/分、妹は50m/分 の速さで近づくので、
出会うまでの時間は
　350÷(90+50)＝2.5(分)
Ａさんが家を出てから
　5＋2.5＝7.5(分)
となります。
No.36428 - 2016/04/01(Fri) 15:22:21
★ 角度 / sasaki
わかりません。お願いします。
No.36423 - 2016/03/31(Thu) 18:44:00
☆ Re: 角度 / X
∠ADC=∠AEB
により
∠ABD=180°-∠ADC=180°-∠AEB=∠BEC (A)
一方、△ABCはAB=ACの二等辺三角形ゆえ
∠ABC=∠ACB (B)
(A)(B)より
△ABD∽△BCE
なので
∠BAD=∠CBE (C)
よって
△ABD∽△BDF (注:∠ADBは共通)
なので
∠BFD=∠ABC (D)
一方、(B)と∠BAC=50°により
∠ABC=(180°-50°)/2=65° (E)
(D)(E)より
∠BFD=65°
よって
∠AFB=180°-∠BFD=115°

注)
(A)に気付くかどうかが分かれ目です。
No.36424 - 2016/03/31(Thu) 19:20:28
☆ Re: 角度 / X
別解)
問題では
∠ADC=∠AEB
という条件がついているだけで∠ADC,∠AEBは
(点D、Eがそれぞれ辺BC,CA上にあるという条件
を満たせば)
「どのような角度にとっても」
問題ないことが分かります。
ですので、例えば
∠ADC=∠AEB=90° (P)
と取って、
周辺の角度の値を具体的に次々求めていく、
という方法も取れます。

しかし、この方法は余りお勧めしません。
この問題は四角の穴埋めなので、
単に答えが欲しい
というのであればこれで求められますが
考えた過程も書きなさい、ということになると
「では(P)以外の場合も∠AFBの値はその求めた値であるのか」
ということがチェックされていませんので×です。
No.36425 - 2016/03/31(Thu) 19:34:51
★ 高校 因数分解 / Sakusnow
この写真の(1)で
Aに置き換えたまでは分かるんですがその下がどういう風に
A2乗-2A-15+12になったのか。
最後の(x2乗+2x+1)(x2乗+2x-3)から答えになったのか。
No.36408 - 2016/03/30(Wed) 14:46:29
☆ Re: 高校 因数分解 / ヨッシー
>A2乗-2A-15+12になったのか。
式の展開です。

その下の「タスキガケで・・・」と書いてあるところから
その下の式への変形は因数分解です。
その下は、Ａを x^2＋2x に戻しただけです。
さらにそれぞれのカッコを因数分解して答えです。
No.36412 - 2016/03/30(Wed) 15:46:29
☆ Re: 高校 因数分解 / Sakusnow
教えてくださり
ありがとうございます！
分かりやすかったです！
No.36416 - 2016/03/30(Wed) 20:05:05
★ 面積の問題 / kawato
わかりません。よろしくお願いします。
No.36406 - 2016/03/30(Wed) 13:12:19
☆ Re: 面積の問題 / X
問題の条件が足りません。
問題文はアップされているもので全部ですか？
No.36407 - 2016/03/30(Wed) 14:16:02
☆ Re: 面積の問題 / kawato
すみませんよろしくお願いします。
No.36409 - 2016/03/30(Wed) 14:47:47
☆ Re: 面積の問題 / ヨッシー
△ＯＢＤにおいて、ＢＤを底辺とすると、高さ４なので、
面積は　６×４÷２＝１２
ＯＢを底辺とすると、高さＣＤは
　ＣＤ＝１２÷５×２＝4.8
このあと、ＯＣを求める。ＥＦはその２倍。
　△ＡＥＦ＝ＥＦ×ＣＥ÷２
です。
No.36411 - 2016/03/30(Wed) 15:42:04
★ 二次関数の問題 / 嶋崎
問題２　１番　２番　が解りません。よろしくお願い申し上げます。
No.36404 - 2016/03/30(Wed) 10:54:09
☆ Re: 二次関数の問題 / X
(1)
前準備が長くなりますので注意。

条件から
P(t,(1/2)t^2)
(0＜t＜4 (A))
と置くことができます。
一方、A,Bのx座標の値から
A(-2,(1/2)・(-2)^2),B(4,(1/2)・4^2)
つまり
A(-2,2),B(4,8)
となりますので直線lの方程式は
y=1・(x+2)+2
つまり
y=x+4
よって点Cのx座標xについて
0=x+4
これより
x=-4
なので
C(-4,0)
(ここまでが前準備です。)
以上から△PCDと△PBDの面積比について
(1/2){4-(-4)}{(1/2)t^2}:(1/2)・8・(4-t)=1:6
これより
12t^2=4(4-t)
3t^2+t-4=0
(3t+4)(t-1)=0
よって(A)によりt=1
となるので点Pのx座標は1

(2)
点Pから直線lに下ろした垂線の足をHとすると
(1)の結果と点と直線との間の距離の公式により
PH=|(1/2)・1^2-1-4|/√(1+(-1)^2)=9/(2√2)[cm]
よって問題の立体を、Hを通りlに垂直な平面で
二つの円錐に分割して考えることにより
求める体積をVとすると
V=(1/3)(πPH^2)・BH+(1/3)(πPH^2)・CH
=(1/3)(πPH^2)(BH+CH)
=(1/3)(πPH^2)・BC
=(1/3)π・{{9/(2√2)[cm]}^2}√{(4-(-4))^2+8^2}[cm]
=27π√2[cm^3]
注)
PHの値を求めた時点でCH,BHの長さを求める必要が
あるように見えますが、上記の計算通り、
その必要はありません。
No.36405 - 2016/03/30(Wed) 12:33:12
☆ Re: 二次関数の問題 / 嶋崎
解説ありがとうございます。

1)の結果と点と直線との間の距離の公式により　このへんよりわからないので詳しく解説お願いします。

PH=|(1/2)・1^2-1-4|/√(1+(-1)^2)=9/(2√2)[cm]
No.36410 - 2016/03/30(Wed) 14:57:13
☆ Re: 二次関数の問題 / ヨッシー
問題の雰囲気から、中学の問題と見ましたがどうでしょう？
だとすると、距離の公式はまだ習っていないので、別の解き方で
説明するようにしますが。
No.36414 - 2016/03/30(Wed) 18:31:33
☆ Re: 二次関数の問題 / 嶋崎
中学の問題です。宜しくお願いします。
No.36415 - 2016/03/30(Wed) 18:35:38
☆ Re: 二次関数の問題 / X
>>嶋崎さんへ
ごめんなさい。配慮が足りませんでした。
(1)の過程にも高校数学の知識が使ってありますので
(1)(2)いずれも改めて回答を。

(1)
前準備が長くなりますので注意。

条件から
P(t,(1/2)t^2)
(0＜t＜4 (A))
と置くことができます。
一方、A,Bのx座標の値から
A(-2,(1/2)・(-2)^2),B(4,(1/2)・4^2)
つまり
A(-2,2),B(4,8)
となりますので直線lの傾きは
(8-4)/{4-(-2)}=1
よって直線lの方程式は
y=x+b
と置くことができます。
これが点Aを通るので
8=4+b
これより
b=4
なので、直線lの方程式は
y=x+4 (B)
よって点Cのx座標xについて
0=x+4
これより
x=-4
なので
C(-4,0)
(ここまでが前準備です。)
以上から△PCDと△PBDの面積比について
(1/2){4-(-4)}{(1/2)t^2}:(1/2)・8・(4-t)=1:6
これより
12t^2=4(4-t)
3t^2+t-4=0
(3t+4)(t-1)=0
よって(A)によりt=1
となるので点Pのx座標は1

(2)
(これも前準備が長いです。点を設定していきますので、問題の図に描き込むか
図を新しく描くか、いずれかを行いましょう。)

点Pから直線lに下ろした垂線の足をHとします。
このとき、直線PHの方程式を
y=ax+b
と置くと、(1)の結果から直線PHは
点P(1,1/2)
を通りますので
1/2=a+b (C)
一方、PH⊥lですので直線PH,lの傾きについて
1・a=-1 (D)
(C)(D)をa,bの連立方程式と見て解くと
(a,b)=(-1,3/2)
となるので直線PHの方程式は
y=-x+3/2 (E)
よって直線PHとx軸との交点をEとすると
Eのx座標xについて
0=-x+3/2
これより
x=3/2
なので
E(3/2,0)
よって
CE=3/2-(-4)=11/2[cm]
ここで直線lの傾きから
∠ECB=45°(P)
ですので△CEHは直角二等辺三角形
よって
CH=EH=CE/√2=11/(2√2)[cm] (F)
一方、点Pを通りy軸に平行な直線と辺CHとの交点を
Fとすると、lの方程式を使うことにより
F(-7/2,1/2)
よって
PF=1-(-7/2)=9/2[cm]
このとき、△PFH∽△CFHなので
相似比について
PH:11/(2√2)=9/2:11/2
これより
PH=9/(2√2)[cm] (G)

さて、次に△BCDに注目すると、(1)の過程から
CD=4-(-4)=8[cm]
で(P)より△BCDも直角二等辺三角形ですので
BC=CD×√2=8√2[cm] (H)

更に問題の立体を、Hを通りlに垂直な平面で
二つの円錐に分割して考えることにより
求める体積をVとすると
V=(1/3)(πPH^2)×BH+(1/3)(πPH^2)×CH
=(1/3)(πPH^2)(BH+CH)
=(1/3)(πPH^2)×BC (I)

(I)に(G)(H)を代入して
=(1/3)π×{{9/(2√2)[cm]}^2}×8√2[cm]
=27π√2[cm^3]
となります。

(補足に続く)
No.36417 - 2016/03/30(Wed) 20:36:11
☆ Re: 二次関数の問題 / X
(2)についてもう少し補足を。

問題の立体は、
底面が辺PHを半径とする円である高さCH,BHの円錐
を底面同士張り合わせたもの
になっています。
従って、辺CH,BH,PHの長さを求めることができれば
体積が計算できることが分かります。
但し、(I)の計算式で
BC=BH+CH
となっていることからBH,CHを消すことができますので
BHについてはわざわざ計算で求める必要はありません。
(CHの長さはPHの長さを求める過程で必要になりますが。)
No.36418 - 2016/03/30(Wed) 20:47:14
☆ Re: 二次関数の問題 / X
参考までに図を載せておきます。
(掲示板の表示スペースを圧迫してしまいごめんなさい。)
No.36419 - 2016/03/30(Wed) 23:11:44
☆ Re: 二次関数の問題 / 嶋崎
一方、PH⊥lですので直線PH,lの傾きについて
1・a=-1 (D)の式の意味がわかりません。
No.36420 - 2016/03/31(Thu) 08:47:22
☆ Re: 二次関数の問題 / X
一般に二つの直線
y=ax+b
y=cx+d
が垂直であるとき、二つの直線の傾きである
a,cについて次の関係が成立します。
ac=-1
数学の教科書に載っているはずです。
調べてみましょう。
No.36421 - 2016/03/31(Thu) 10:38:08
☆ Re: 二次関数の問題 / X
もう一点。
ごめんなさい。訂正しておきます。
誤：1・a=-1 (D)
正：1×a=-1 (D)
No.36422 - 2016/03/31(Thu) 10:39:23
★ 作図 / tiba
作図の仕方がよくわかりません。手順を教えてください。お願いします。
No.36402 - 2016/03/30(Wed) 08:55:14
☆ Re: 作図 / ヨッシー
こちらに色々ありますが、次の方法が楽でしょう。
（ちょっと横幅をとりますが）

直線ＢＣ上にＢＣ＝ＣＤとなる点Ｄを、ＣがＢＤの中点となるように取ります。
ＡＤの中点Ｅを取ると、ＢＥとＡＣの交点がＰとなります。
三角形の重心が中線を２：１に分けることを利用しています。
No.36403 - 2016/03/30(Wed) 09:03:46
☆ Re: 作図 / らすかる
次のようにすると横幅をとらずに描けます。
ABの中点をD、CDの中点をEとすると、BEとACの交点がP。
No.36413 - 2016/03/30(Wed) 18:25:02
★ 因数分解 / ポップコーン
x2乗-4x-6=0
の答え、途中式、解説お願いします！
No.36391 - 2016/03/28(Mon) 21:51:15
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
＝０ が付いているということは、因数分解ではなく二次方程式なのでは？

有理数範囲での因数分解は出来ないので、
解の公式で
　ｘ＝２±√(2^2＋6)＝２±√10
とするか、両辺に10を足して
　x^2−4x＋4=10
　(x-2)^2＝10
　x-2＝±√10
　ｘ＝２±√10
とすれば解けます。

この解を使えば、左辺は
　(x−2＋√10)(x−2−√10)
のように因数分解できます。
No.36392 - 2016/03/28(Mon) 22:00:38
☆ Re: 因数分解 / ポップコーン
すいません！
二次方程式でした。
No.36393 - 2016/03/28(Mon) 22:08:53
★ 積分法　面積 / Sprict
まとめる考え方では、なぜ間違ったのかわかりません。面積で、２つの不等式をまとめると意味合いが違ってくるのでしょうか…。
No.36386 - 2016/03/28(Mon) 19:48:36
☆ Re: 積分法　面積 / X
次のような例を考えます。
例)
互いに平行な直線l,mを考え
l上に定点A,B
m上に点C
を考えます。
今、点Cをm上で移動させ、移動後の
点をC'とすると、
△ABCと△ABC'の形状は異なります
が、
面積は等しい
((∵)ABを底辺と見たときに高さが等しい)
ことが分かります。

上の例のように
「図形を変形させても面積が等しくなっている根拠」
がはっきりしている場合と異なり、Sprictさんの
方針ではその根拠が全くありません。
(実際、計算結果は模範解答のそれと値が異なっています)
その点でSprictさんの解答は誤りです。
No.36401 - 2016/03/29(Tue) 19:34:00
★ (No Subject) / ニャンニャンタマクロー
わからないです。お願いします。ポイントと解答お願いします。
No.36383 - 2016/03/28(Mon) 16:44:03
☆ Re: / IT
（１）の略解
a=2n+1 奇数のとき
7^a=(5+2)^(2n+1)
=5k+2^(2n+1)
=5k+2(4^n)
=5k+2(5-1)^n
=5k+2{5m+(-1)^n}
=5L+2(-1)^n
=5L±2 ≠　5・3^b + 4
よってaは偶数
No.36396 - 2016/03/29(Tue) 12:58:51
☆ Re: / ニャンニャンタマクロー
ありがとうございます。

（２）もどちら様かおねがいします。
No.36397 - 2016/03/29(Tue) 13:50:21
☆ Re: / IT
(1)より、a=2n（nは自然数) とおけるので
7^(2n)=5・3^b+4
4を移項して左辺を因数分解すると
(7^n+2)(7^n-2)=5・3^b
7^n+2と7^n-2の差は4であり3で割り切れないので,少なくとも一方は3で割り切れない。
＃よって下記の３つの場合がある
・ 7^n+2=5, 7^n-2=3^b　→ 7^n=3 不適
・ 7^n+2=3^b, 7^n-2=5　→ 7^n=7,n=1,a=2,b=2 適
・ 7^n+2=5・3^b, 7^n-2=1 → 7^n=3 不適

＃よって　以下は
「また、7^n+2≧9,　7^n-2≧5 なので
　7^n+2=3^b, 7^n-2=5　→ 7^n=7,n=1,a=2,b=2 適」
としてもいいかも。
　
No.36400 - 2016/03/29(Tue) 18:01:26
★ 中二の確率の問題です。 / なな
正四面体ABCDがあり、点Pが頂点Aにあります。一枚の硬貨を投げ、表が出ればそれぞれ１/３の確率で他の3頂点のいずれかに移動し、裏が出れば移動しないものとする。1枚の硬貨を1回投げた時、点Pが頂点Bにある確率を求めなさい。
答えは１/６なのですが、どうしてなのかわかりません。私は、まず硬貨の表が出た場合、表B、表C、表Dの3通りの中で、Bになる確率は１/３ですよね？それと、裏が出た場合、裏Aがあるから、４通りの中の１つで、１/４になるのではないかと思いました。裏にも3通りあるということですか？そもそもの考え方が間違っているのでしょうか。教えてもらいたいです。よろしくお願いします。
No.36382 - 2016/03/28(Mon) 15:48:34
☆ Re: 中二の確率の問題です。 / ヨッシー
表と裏とは出る確率が同じです。
そして、表が出た中で、Ｂ，Ｃ，Ｄに行く確率が同じだけあります。
これをカードで実現すると
　裏Ａ、裏Ａ、裏Ａ、表Ｂ、表Ｃ、表Ｄ
の６枚から１枚選ぶのと同じ状況です。

起こる事象の種類はＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４種類ですが、
起こる確からしさは、上のカードの枚数の通り
Ａが３倍です。
よって、1/4 とはなりません。
No.36384 - 2016/03/28(Mon) 16:44:22
☆ Re: 中二の確率の問題です。 / なな
わかりました。カードの説明でわかりました。裏も３つないと同じ確率にならないんだと思いました。これで先の問題に進めます。ありがとうございました。
No.36388 - 2016/03/28(Mon) 20:34:15
★ 図形問題 / abe
(2)(3)が解りません。詳しい解説お願いします。
No.36381 - 2016/03/28(Mon) 11:50:47
☆ Re: 図形問題 / ヨッシー
(2)
ＢＣの中点をＭとすると、各部分の長さの比は図のようになります。

△ＡＢＭにおける三平方の定理より
　ＡＭ＝3√3
△ＡＥＭにおける三平方の定理より
　ＡＥ＝2√7
よって、△ＡＢＥと△ＡＦＤの相似比は
　ＡＥ：ＡＤ＝√7：1
面積比は ７：１ となります。
△ＡＤＦ を１とすると
△ＡＢＥと△ＡＣＤは７、四角形ＤＢＥＦと△ＡＣＦは６、△ＡＢＣは２１
であるので、△ＦＥＣは
　２１−１−６−６＝８
求める比率は
　８／６＝４／３(倍)

(3)

ＡＢ//ＣＧ、ＢＤ＝ＣＧ＝５ より
四角形ＤＢＣＧは平行四辺形
　△ＤＣＧ＝8×5√3/2÷2＝10√3
ＨはＥＧの中点なので、△ＤＨＧは△ＤＣＧの 1/2
よって、
　△ＤＨＧ＝5√3
No.36387 - 2016/03/28(Mon) 19:53:05
☆ ありがとうございました / abe
△ＤＣＧ＝8×5√3/2÷2＝10√3
5√3/2を、どうやってもとめたのかわかりません。よろしくお願いします。
No.36398 - 2016/03/29(Tue) 13:58:24
☆ Re: 図形問題 / ヨッシー
１辺５cm の正三角形の高さを考えます。
No.36399 - 2016/03/29(Tue) 14:10:04
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