ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 級数 / あん

証明と無限級数の発散を示す問題ですが
(1)から分かりませんでした。
解説していただけると嬉しいです。

No.36778 - 2016/05/02(Mon) 11:30:39

☆ Re: 級数 / X

(1)
問題文に間違いがあります。
n≧2
という条件が更につきますね。
で、証明ですが
(左辺)=Σ[l=1～2^(n-1)]1/{2^(n-1)+l}
＞Σ[l=1～2^(n-1)]1/{2^(n-1)+2^(n-1)}
={2^(n-1)}/{2^(n-1)+2^(n-1)}=1/2=(右辺)

(2)
(1)の結果より
Σ[k=2～m]Σ[l=1～2^(k-1)]1/{2^(k-1)+l}＞Σ[k=2～m]1/2
これより
Σ[k=2～2^m]1/k＞(1/2)(m-1)
Σ[k=1～2^m]1/k＞(1/2)(m-1)+1=(1/2)(m+1)
よって
n≧2^m (A)
なる自然数nに対し
Σ[k=1～n]1/k＞(1/2)(m+1) (B)
ここでm→∞とすると
((A)の右辺)→∞
((B)の右辺)→∞
よって
lim[n→∞]Σ[k=1～n]1/k=∞
となるので
Σ[n=1～∞]1/n=∞

No.36779 - 2016/05/02(Mon) 14:48:22

☆ Re: 級数 / あん

解説ありがとうございました

No.36781 - 2016/05/02(Mon) 20:30:15

★ 三次方程式の解の循環 / あ

方程式x^3+x^2-2x-1=0について、一つの解をαとするとき、α、
α^2-2、(α^2- 2)^2-2は異なる３つの解を与えることを示せ。

という問題なのですが、解の二乗して2を引けばそれも解となることを示して、重複を調べていたのですが、(α^2- 2)^2-2≠αだけがうまく示せないです。教えてください。

No.36775 - 2016/05/02(Mon) 09:04:13

☆ Re: 三次方程式の解の循環 / X

まずαが問題の方程式の解であることから
α^3+α^2-2α-1=0 (A)
さて
(α^2- 2)^2-2=α (B)
を仮定すると、
α^4-4α^2-α+2=0
これより
(α^3+α^2-2α-1)(α-1)+α^2-4α+1=0
∴(A)より
α^2-4α+1=0 (C)
一方(A)より
(α^2-4α+1)(α-5)+17α-6=0
∴(C)より
17α-6=0
となるので
α=6/17
これは(C)の解ではありませんので矛盾します。

No.36776 - 2016/05/02(Mon) 09:29:46

☆ Re: 三次方程式の解の循環 / あ

有り難うございます。
あともう一つ質問があるのですが、この問題の場合、与えられた方程式をf(x)=0とするとf(α^2-2)=f(α)(α^3-α^2-2α+1)=0と割り切れるのですが、他の、解が循環する三次方程式でもこのようになるのですか？またどうして割り切れるのですか？

No.36777 - 2016/05/02(Mon) 11:10:16

★ ベクトル空間 / Mic

線形代数のベクトル空間の問題です。
よろしくお願いします

No.36770 - 2016/05/01(Sun) 15:17:49

☆ Re: ベクトル空間 / IT

L={(x,(3/2)x+1/2,2x+1)|x∈R} になります。
・これは、２点(0,1/2,1),(1,2,3) を通る直線です。

・また、ベクトル空間は必ず(0,0,0) を含みます。

以上からVが求められると思います。

No.36771 - 2016/05/01(Sun) 17:31:38

☆ Re: ベクトル空間 / Mic

ありがとうございます
基底はt(2,3,4)となりましたが合っているでしょうか

No.36772 - 2016/05/01(Sun) 23:55:32

☆ Re: ベクトル空間 / IT

> 基底はt(2,3,4)となりましたが合っているでしょうか
間違っていると思います。
「基底はt(2,3,4)」とは、どういう意味ですか？tは何ですか？
基底の意味をお使いのテキストで確認されることをお勧めします。

No.36773 - 2016/05/02(Mon) 01:34:49

☆ Re: ベクトル空間 / Mic

すいません
tはただ転置を表したかっただけでした

No.36774 - 2016/05/02(Mon) 01:42:33

☆ Re: ベクトル空間 / IT

> tはただ転置を表したかっただけでした

転置してはいけないと思いますが？
どういう考えで基底は(2,3,4)を出されましたか？

お使いのテキスト（あるいは講義ノートなど）では、「基底」は、どう定義（説明）されていますか？

No.36780 - 2016/05/02(Mon) 19:48:32

☆ Re: ベクトル空間 / ast

横から割り込み失礼します.

> tはただ転置を表したかっただけでした
IT さんもお書きですが, もともとの問題文ではR^3のベクトルを横ベクトルで与えているので, 転置は必要ありませんね. 転置してしまってはむしろ誤りということになるでしょう.

また, 問題文を注意深く読んでください, 「L を**含む**」と書いてあり, L 自身が部分ベクトル空間になるかどうかを問うていません. 実際 L は原点を通らない直線 (一次元部分アフィン空間) であって, 部分ベクトル空間になりません. Mic さんが求めた (2,3,4) は恐らく L の方向ベクトルなのでしょう, それ自体は重要なベクトルではありますが, L は原点 (0,0,0) を含まないし, (2,3,4) の張る一次元部分ベクトル空間は L にはなりません. L と原点を含む平面を考え (原点を含むようにするにはどのようなベクトルが足りないか, ということです), その基底を求めましょう. というあたりで IT さんの最初のレス No.36771 へ戻ります.

No.36783 - 2016/05/02(Mon) 22:53:49

☆ Re: ベクトル空間 / Mic

ITさん、astさん、ありがとうございます。

ベクトル空間Vの元がVの基底であるとは、これが一次独立かつ生成系になることでした。
astさんの仰るとおり私が求めていたのは方向ベクトルのようです。

(0,0,0)(1,2,3)(0,1/2,1)を含む平面の方程式を考えその基底を求めればよいということでよろしいでしょうか。
平面の方程式はx-2y+z=0になりますから、これより基底は(2,1,0)(-1,0,1)になりました。どうでしょうか

No.36786 - 2016/05/03(Tue) 15:32:34

☆ Re: ベクトル空間 / IT

> これより基底は(2,1,0)(-1,0,1)になりました。どうでしょうか

合っていると思いますが、求める過程とこれが条件を満たすことの確認が重要です。

なお、(0,1/2,1),(1,2,3) も基底になると思いますので、確認してみてください。

No.36788 - 2016/05/03(Tue) 20:34:55

☆ Re: ベクトル空間 / ast

既に蛇足だとは思いますが, たぶん出題の想定としては, 平面の方程式を求めてからその基底ベクトルを探すというのは迂遠で, V は原点から L 上の一点 (1,2,3) へ向かうベクトル (1,2,3) と L の方向ベクトル (2,3,4) の張る平面 (x,y,z)=r(1,2,3)+s(2,3,4) (r,s は任意の実数) と捉えて答えるのが最も素直なのではないかと思います.

# L の式を見てすぐに通る点 (1,2,3) と方向ベクトル (2,3,4) はわかる.
# 原点は L 上に無いので, L 上の一点と結ぶベクトルは L の方向ベクトルと明らかに一次独立.
# その二つの張る平面は (作り方から) 明らかに原点 (r=s=0) と L (r=1) を含む.

No.36822 - 2016/05/07(Sat) 01:42:11

★ 数列 / ゆう浪人生

連投で申し訳ありません。こちらの(2)もよく分かりません。
教えてください

No.36765 - 2016/05/01(Sun) 08:48:53

☆ Re: 数列 / ゆう浪人生

解説です。

No.36766 - 2016/05/01(Sun) 08:50:36

☆ Re: 数列 / X

S[n]=Σ[k=1～n]a[k]
のとき、n≧2なるnについて
S[n]-S[n-1]=Σ[k=1～n]a[k]-Σ[k=1～n-1]a[k]
={a[n]+Σ[k=1～n-1]a[k]}-Σ[k=1～n-1]a[k]
=a[n]
となることは理解できますか？
解説にあるご質問の問題を解く方針は
この考え方と似ています。

No.36767 - 2016/05/01(Sun) 10:49:19

☆ Re: 数列 / ゆう浪人生

Xさんの仰っていることは理解できました。
?Aでやっている事があまり分かりません。教えてください！

No.36790 - 2016/05/03(Tue) 20:47:46

☆ Re: 数列 / ヨッシー

(i) の結果の両辺にｎを掛けたものです。

No.36809 - 2016/05/05(Thu) 06:35:24

★ 数列 / ゆう浪人生

こちらの問題です。なぜbn=1/an-2と置いたのかが分かりません。

No.36764 - 2016/05/01(Sun) 08:47:45

☆ Re: 数列 / IT

誘導が付いているからそれに従えば良いのではないでしょうか？
なぜそうおくのか知りたければ「分数型の漸化式」で検索するといろいろ解説があります。本問は特性方程式が重解を持つ場合です。

http://examist.jp/mathematics/recurrence-formula/ippanbunsu/
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~hirosawa/zenkashiki2.pdf

No.36768 - 2016/05/01(Sun) 11:11:29

☆ Re: 数列 / ast

(計算自体は高校知識で出来るけれども) 知識背景まで知りたい場合, 大学初年度級の線型代数の知識が必要なので, ふつうは "how to" として天下り式に与えますし, 受験で出題されたとしても小問の誘導付きでしか出ません. なので, "そのように置く理由" を追及するのは恐らく不毛でしょう. (他にも極限の計算とか, 受験数学では割とそういうのが所々であります.)

それでももし興味があるなら, (数 3 だか C だかでやるかもしれない範囲の行列の知識内?でなるべく計算法レベルの認識で読める程度に) 雑にさらっと書いておくと,
[x : y] = [z : w] を適当な定数 c(≠0) で x=cz, y= cw と書けるという意味の記号として,
　[a[n+1] : 1] = A*[a[n] : 1]　　(A=((-1,4),(-1,3)))
の形 (厳密には, [x : y] は縦ベクトル, A=((a,b),(c,d)) は行ベクトル毎に書いた 2 行 2 列の行列) の式を計算してみると,
　[a[n+1] : 1] = [4-a[n] : 3-a[n]] = [(4-a[n])/(3-a[n]) : 1]
なので (a[n]≠3である限り), 分数型の漸化式を行列を掛ける操作として計算できるようになります. 正則行列 P を使って P^(-1)*A*P (=D) が対角行列か三角行列になれば D^n は容易に計算できて
　P*[a[n+1] : 1] = D^(n-1)*P*[a[1] : 1].
ここで実は P*[a[n] : 1] = [1 : 2-a[n]] です. なので, b[n]=1/(2-a[n]) と置くことに意味があります.

なお, 通常の二項間漸化式 a[n+1] = pa[n]+q の場合も (この場合は普通の座標, ただし縦ベクトルで書く, で)
　(a[n+1], 1) = ((p,q),(0,1))*(a[n],1)
の形にして A = ((p,q),(0,1)) を対角化 (重根の場合は三角化) する (そして, 掛ける行列が対角行列になることと等比数列の漸化式であることが同じ) というのが特性方程式 (実は, 行列の固有方程式) を考える方法の理論的背景なので, 分数型の場合も計算レベルでは高校で習う特性方程式の方法と同等の説明ができる, というのが IT さんが引用されているようなサイトの内容ということになります.

No.36782 - 2016/05/02(Mon) 22:22:57

☆ Re: 数列 / ゆう浪人生

お二方ありがとうございました！
おとなしく誘導に従います^_^;

No.36789 - 2016/05/03(Tue) 20:44:26

★ 数列 / 宅浪生

解説よろしくお願いします。

（1）のTn=Sn＋αn+βn はなぜこれが出てきたのでしょうか？確かにこれに代入すれば漸化式がとけるのは分かるのですが。

解説にこう書いてありました。

No.36753 - 2016/04/29(Fri) 21:25:44

☆ Re: 数列 / ヨッシー

例えば、
　Ｓ[n+1]＝３Ｓ[n]＋４
だと、この式が
　Ｓ[n+1]＋α＝３(Ｓ[n]＋α)
のように変形できたならば、Ｔ[n]＝Ｓ[n]＋α は
公比３の等比数列となります。
この、等比数列になるということが、前半の１つの目標になるわけです。

一方、
　Ｓ[n+1]＝３Ｓ[n]＋ｎ＋１
のように、ｎが入っている場合の目標は
　Ｓ[n+1]＋αｎ＋β＝３(Ｓ[n]＋αｎ＋β)
ではなく
　Ｓ[n+1]＋α(ｎ＋１)＋β＝３(Ｓ[n]＋αｎ＋β)
です。ｎの項を入れるには、こうするしかなく、しかも、
左辺は(n+1)の式、右辺はｎの式となるようにします。
こうすると　
　Ｔ[n]＝Ｓ[n]＋αｎ＋β　と
　Ｔ[n+1]＝Ｓ[n+1]＋α(ｎ＋１)＋β
の間に、等比数列の関係が作れます。

さらに、
　Ｓ[n+1]＝３Ｓ[n]＋２^n＋１
のような漸化式だと、
　Ｓ[n+1]＋α２^(n+1)＋β＝３(Ｓ[n]＋α２^n＋β)
の形にすることが、目標となります。

No.36754 - 2016/04/29(Fri) 22:16:13

★ 整数問題 / 北風

次の(A),(B),(C)を満たす3つの自然数a,b,cの組(a,b,c)をすべて求めよ。
ただし、a＜b＜cとする。
(A) a,b,cの最大公約数は12である。
(B) b,cの最大公約数36,最小公倍数は1620である。
(C) a, bの最小公倍数は720である。

　よろしくお願いします。

No.36752 - 2016/04/29(Fri) 21:23:17

☆ Re: 整数問題 / ヨッシー

(A)より
ａ＝12Ａ, ｂ＝12Ｂ, ｃ＝12Ｃとおきます。ただし、Ａ，Ｂ，Ｃの最大公約数は１です。
(B)より
ＢとＣの最大公約数は３で、Ｂ＝３β、Ｃ＝３γ とすると　βγ＝４５　（βとγは互いに素）
これより
　(β, γ)＝(1, 45), (5,9)
つまり
　(ｂ，ｃ)＝(36, 1620)，(180, 324)
(C) において
720＝２^4・３^2・５
Ａは３の倍数でないことを踏まえ
　ｂ＝36＝２^2・３^2 のとき　
　ａは２^4・５＝80　の倍数でなければならない。これはａ＜ｂに反する
　ｂ＝180＝２^2・３^2・５のとき
　ａ＝２^4・３、２^4・３・５
が考えられますが、
　ａ＝240 はａ＜ｂに反する
よって、
　a=48, b=180, c=324
のみ該当します。

No.36756 - 2016/04/29(Fri) 23:51:33

☆ Re: 整数問題 / 北風

親切にどうも有難うございます。よく分かりました。

No.36769 - 2016/05/01(Sun) 12:00:13

★ 条件付き確率 / めるてい

果物に感染するある病気の検査法がある。
この病気に感染している果物にこの検査を行うと96％の確率で陽性と判定され、正常な果物に行った場合は、誤って4％の確率で判定される。また、別の病気に感染した果物で同様の検査を行うと、誤って２％の確率で陽性と判定される。
今、ひと箱の果物があり、そのなかに病気に感染しているものが４％、正常なものが８８％、別の病気に感染しているものが８％あるとする。
ここで、この箱から任意に選んだ果物にこの検査法を行ったところ、陽性と判定された。この果物が実際にこの病気に感染している確率はいくらか？

という問題です。
条件付き確率の問題で、求め方は
「(陽性でかつこの病気に感染している果物の数)/(陽性と判定された果物の数)」と解説にはかいてあり、この点に関しては理解できます。
ただ、少し気になるところがあって、問題文の
「この箱から任意に選んだ果物」という表現です。
この問題を解く場合、箱の中から任意に選んだ個数は１個と考えないといけないですよね？
個数に関する指定がなかったので、もしかしたら複数かもしれない・・・と思ってしまい、問題が解けませんでしたが、解説をみると、どうも１個の場合を想定しているようで「こんな単純だったのか！」となりました。
もしかしたら、個数が１個だろうが複数だろうが関係なく確率は同じになるのでしょうか？(だから個数に関しては表現していなかったのか)
ただ、私的には、たとえば７個選んだ場合だと、
陽性と判定されるもののから７個選ぶ組み合わせと
さらに陽性でこの病気に感染しているもののなかから７個選ぶ組み合わせを考えないといけないと思うので、確率は
１個選ぶ場合とはかなり異なりますよね？
でも、もしかしたら勘違いしてるだけで個数に関係なく確率はいっしょなんじゃないか・・・と頭の中でどっちかわからずめぐりめぐっています。昔、別の問題でも似たような経験があって間違えているので、もしかして自分が気付いていないか、勘違いしているだけで・・・と考えてしまい不安です。
分かる方正しい考え方をおしえてください。おねがいします。

No.36748 - 2016/04/29(Fri) 16:19:15

☆ Re: 条件付き確率 / ヨッシー

複数を想定しているとすると
>ここで、この箱から任意に選んだ果物にこの検査法を行ったところ、陽性と判定された。
>この果物が実際にこの病気に感染している確率はいくらか？
の部分の表現が変わってきます。
「すべて陽性と判定された」とか「これらの果物すべてが実際に・・・」のように。
ただ、そうすると、全部選んだときに、問題が成り立たなくなるので、
複数は想定していないと判断します。

No.36749 - 2016/04/29(Fri) 17:57:18

☆ Re: 条件付き確率 / めるてい

ヨッシーさんありがとうございます。
神経質すぎるのと読解力が足りないのがあいまって
「この表現だと複数ってのもありうるんじゃ・・・？」というのがよぎってしまって、結局複数だと答えがでないんで
「複数は想定していないんだな」というふうに至ります。
複数かどうかとか考えることなくストレートに正しく問題文を理解するためにはどうしたらいいんでしょうかね？(＾ー＾；)
また、
>>たとえば７個選んだ場合だと、
陽性と判定されるもののから７個選ぶ組み合わせと
さらに陽性でこの病気に感染しているもののなかから７個選ぶ組み合わせを考えないといけないと思うので、確率は
１個選ぶ場合とはかなり異なりますよね？

この部分について私の理解はあっていますでしょうか？
質問が多くてすみません。
よろしくお願いします！

No.36750 - 2016/04/29(Fri) 20:03:21

★ 漸化式の極限 / Mic

漸化式の極限の問題ですが
(1)以降解けませんでした
よろしくお願いします

No.36736 - 2016/04/28(Thu) 16:32:37

☆ Re: 漸化式の極限 / IT

まずは,y=(√2)^x と y=x のグラフを描いて、位置関係などを調べておくと見通しがいいです。
(1)　略解
a[n]＜2　のとき　a[n+1]＜2
　なぜなら a[n+1]＝(√2)^a[n]＜(√2)^2 ＝2
よってa[1]＜2　のとき任意の自然数nについて　a[n]＜2

x＜2 で　2 - (√2)^x≦(log2)(2-x) なので　
0＜2 - a[n+1]＝2 - (√2)^a[n]≦(log2)(2-a[n])≦{(log2)^n}(2-a[1]) →0 (n →∞）
よってlim[n →∞]a[n]＝2

No.36738 - 2016/04/28(Thu) 21:58:20

☆ Re: 漸化式の極限 / IT

(2)　略解
a[n]＞4　のとき　a[n+1]＞4
よってa[1]＞4　のとき任意の自然数nについて　a[n]＞4

x＞4 で　(√2)^x-4 ≧(log4)(x-4) なので　
a[n+1]-4 ＝ (√2)^a[n]-4≧(log4)(a[n]-4)≧{(log4)^n}(a[1]-4) →∞ (n →∞）

No.36739 - 2016/04/28(Thu) 22:28:01

☆ Re: 漸化式の極限 / IT

(3) 略解
a[n]＞2ならば　a[n+1]=(√2)^a[n]＞(√2)^2＝2
a[1]＞2なので　任意の自然数nについて　a[n]＞2
2＜x＜4のとき (√2)^x＜x
よって2＜a[n]＜4のとき a[n+1]＝(√2)^a[n]＜a[n]
2＜a[1]＜4 なので
　任意の自然数nについてa[n+1]＜a[n]＜4

したがって　a[n]は単調減少…(ア)で　2＜a[n]＜4 　…(イ)

s=(a[2]-2)/(a[1]-2) とおくと(ア)(イ)より　0＜s＜1

y=(√2)^x-2のグラフは下に凸で、直線y=s(x-2) とx=2,x=a[1]で交わるので

2＜x＜a[1]で　0＜(√2)^x-2＜s(x-2)
よって 0＜a[n+1]-2＝(√2)^a[n]-2＜s(a[n]-2)
よって　a[n]-2 →0 (n →∞）

No.36741 - 2016/04/28(Thu) 23:29:26

☆ Re: 漸化式の極限 / IT

(3) 別解
a[n]＞2ならば　a[n+1]=(√2)^a[n]＞(√2)^2＝2
a[1]＞2なので　任意の自然数nについて　a[n]＞2
2＜x＜4のとき (√2)^x＜x
よって2＜a[n]＜4のとき a[n+1]＝(√2)^a[n]＜a[n]
2＜a[1]＜4 なので
　任意の自然数nについてa[n+1]＜a[n]＜4

したがって　a[n]は単調減少で　2＜a[n]＜4
よって　{a[n]}は収束、その極限値をaとすると
lima[n+1]=lim(√2)^a[n] より　a=(√2)^a
よってa=2,4 a≦a[1]＜4 なので a=2

No.36742 - 2016/04/29(Fri) 01:04:38

☆ Re: 漸化式の極限 / Mic

大変勉強になりました。
ありがとうございます。

No.36743 - 2016/04/29(Fri) 02:21:09

★ 連立文章題 / hayato　中２

答え　３２，４ｋｍ　わかりません。解説お願いします。

No.36734 - 2016/04/28(Thu) 12:36:09

☆ Re: 連立文章題 / ヨッシー

求める道のりをｘkm、列車Ａの速さを毎分ｙkm、
特急列車の発車時刻を午前８時ｚ分とします。

　ｘ＝１０ｙ＋1.2(10－ｚ)
　ｘ＝１４ｙ＋1（１４－２－ｚ）
　ｘ＝２３ｙ＋0.6（２３－４－ｚ）
これを解いて
　ｘ＝３２．４、ｙ＝０．６、ｚ＝－１２
となります。
特急列車は７時４８分に発車したことになります。

No.36745 - 2016/04/29(Fri) 06:33:05

☆ Re: 連立文章題 / hayato　中２

1.2(10－ｚ)　　1（１４－２－ｚ）　0.6（２３－４－ｚ）の式の意味がよくわかりません。

No.36746 - 2016/04/29(Fri) 11:39:00

☆ Re: 連立文章題 / ヨッシー

いずれも　速さ×走った時間　で、
特急、快速、普通がそれぞれ走った距離を表します。
８時ｚ分から８時１０分までの時間が１０－ｚ分
８時ｚ＋２分から８時１４分までの時間が１４－２－ｚ分
８時ｚ＋４分から８時２３分までの時間が２３－４－ｚ分
です。

No.36747 - 2016/04/29(Fri) 13:17:37

☆ Re: 連立文章題 / hayato　中２

解りました。ありがとうございます。

No.36751 - 2016/04/29(Fri) 20:06:20

★ 入試問題 / ごくう

下記の問題の（3）がよくわかりません。数学はあまり得意
ではありません。

?@模範解答ではX＝ｐ/ｑとおくのですが、なぜこのように
おくのですか？意味がよくわかりません。

?Aこの問題の解き方をわかりやすく教えてください。

以上よろしくお願いします。

No.36727 - 2016/04/26(Tue) 22:11:33

☆ Re: 入試問題 / X

一つ目の質問)
二つ理由があります。
(i)
問題の不等式の証明のため
(左辺)-(右辺)≧0 (A)
を示すことになる訳ですが、もし
(左辺)-(右辺)
が一変数(tとします)の関数であり
しかもそれがtで微分可能であれば
微分して増減表を書く
という方針が取れます。
そのための変数を一つにする置き換え
の一つに過ぎません。

但し、この問題の場合はその置き換えを
することを前提にして、(A)を示す前に
証明すべき不等式を同値変形
(両辺をq^2で割っています。)
しています。

(ii)
(1)(2)の結果を使うため、問題の不等式の
証明過程にf(x)か、若しくはf(x)に近い式
がでてこないか？という視点があるからです。

二つ目の質問)
一つ目の質問への私の回答の意味を理解した上で
模範解答をもう一度ご覧ください。

No.36728 - 2016/04/27(Wed) 06:21:40

★ 高校数学解答おねがいします / 数学大好き

複素数z[n] (n=1.2.3.…)が次の式を満たしている。z[1]=1 z[2]=1/2
z[n]z[n+1]=1/2{(1+√3i)/2}^n-1 n=2,3,4,…

(1) 複素数平面上にz[1],z[2],z[3],z[4],z[5]を図示せよ。
(2) z[n]を求めよ。

(3) 和 Σ[n=1→2002]z[n]=z[1]+z[2]+z[3]+…+z[2002]を計算せよ。

この問題の解答をおねがいします！
(1)は出来たら画像でおねがいしますm(_ _)m

No.36726 - 2016/04/26(Tue) 22:03:20

☆ Re: 高校数学解答おねがいします / ヨッシー

z[n]z[n+1]=(1/2){(1+√3i)/2}^(n-1)
と解釈します。また
　Ｌ＝(1+√3i)/2
とおきます。

(1)
z[3]＝(1+√3i)/2＝Ｌ
z[4]＝(1/2)Ｌ^2／Ｌ＝Ｌ/2＝(1+√3i)/4
z[5]＝(1/2)Ｌ^3／(L/2)＝Ｌ^2＝(1+√3i)^2/4＝(-1＋√3i)/2

(2)
z[n+1]＝(1/2)Ｌ^(n-1)／z[n] であるので、
z[n+2]＝(1/2)Ｌ^n／z[n+1]＝Ｌz[n]
よって、ｎが奇数のとき
　z[n]＝Ｌ^{(n-1)/2}＝{(1+√3i)/2}^{(n-1)/2}
ｎが偶数のとき
　z[n]＝Ｌ^(n/2-1)／2＝{(1+√3i)/2}^(n/2-1)／2
なおこれらは、n=1, n=2 の時も満たします。
(3)
Ｌ＝cos(π/3)＋ｉsin(π/3) なので、Ｌを掛けると、複素数平面上で、
原点周りに60°回転します。
よって、
　z[n+6]＝－z[n]
　z[n+12]＝z[n]
が成り立ち、
　Σ[n=1→2002]z[n]=z[1]+z[2]+z[3]+…+z[2002]
において、
　z[1]＋z[2]＋・・・＋z[12]＝０
　z[13]＋z[14]＋・・・＋z[24]＝０
・・・
　z[1981]＋z[1982]＋・・・＋z[1992]＝０
であり、残るのは
　z[1993]＋・・・＋z[2002]＝z[1]＋・・・＋z[10]
であり、z[7]＋z[8]＋z[9]＋z[10]＝－(z[1]＋z[2]＋z[3]＋z[4])
であるので、残りは
　z[5]＋z[6]＝(-1＋√3i)/2＋(-1＋√3i)/4＝(3/4)(-1＋√3i)　・・・答え

No.36729 - 2016/04/27(Wed) 09:33:56