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★ 軌跡 / むう 浪人生
下線部が分かりません。なぜそのような事言えるのですか？
教えてください
No.36376 - 2016/03/28(Mon) 00:13:16
☆ Re: 軌跡 / ヨッシー
マル１ はｙ＝ｍｘですが、ｍをいくつにすれば、
ｙ軸　ｘ＝０ になりますか？
マル２ は　ｍ（ｙ−２）＝２−ｘ ですが、ｍをいくつにすれば、
　ｙ＝２ になりますか？
マル１はｙが、マル２はｘが、それぞれ消えることはないので、不可能ですよね。
No.36377 - 2016/03/28(Mon) 00:25:29
☆ Re: 軌跡 / むう 浪人生
ヨッシーさん分かりました！ありがとうございました。
No.36379 - 2016/03/28(Mon) 02:58:41
☆ Re: 軌跡 / むう 浪人生
少し問題とは違うのですが、除外点を探す時ってどうやって大体の目星を付けるのですか？僕はいつも除外点を意識はするものの見つけられません。
No.36380 - 2016/03/28(Mon) 03:01:43
☆ Re: 軌跡 / ヨッシー
これは一概には言えません。

この問題だと、ｙ＝ｍｘ と与えられた時点で、
ｙ軸（傾きが無限に大きいまたは小さい場合）は
含まないな、というのは早い時点で意識できます。

他には、２つの図形に挟まれた部分などの場合は、
交点を含むかどうか？
また、２つの線分が直交する、といいつつ、どちらかの
線分の長さが０の場合（今回の問題で言うと、ＡやＢ）
などが、疑わしいところですが、
結局は、いろんな問題を経験して、慣れるしかないですね。
No.36389 - 2016/03/28(Mon) 21:10:55
★ 空間図形 / 北村
(3)が解りません。よろしくお願いします。
No.36372 - 2016/03/27(Sun) 19:32:15
☆ Re: 空間図形 / X
↑AB=↑b,↑AC=↑c,↑AD=↑d
AL:LK=k:(1-k) (0＜k＜1 (P))
と置くと条件から
↑AL=k(↑b+↑d)/2 (A)
↑AJ=(↑c+↑d)/2 (B)
↑AL・↑JL=0 (C)
↑b・↑c=↑c・↑d=↑d・↑b=8 (D)
|↑b|=|↑c|=|↑d|=4 (E)
(C)より
↑AL・(↑AL-↑AJ)=0
(A)(B)を代入して
|k(↑b+↑d)/2|^2-(k/4)(↑b+↑d)・(↑c+↑d)=0
左辺を展開して(D)(E)を代入すると
(1/4)(32+16)k^2-(k/4)(16+24)=0
(P)より
k=5/6
∴△ABD,△BDLの面積比は線分AK、LKの長さの比に等しく
AK:LK=1:(1-k)=1:1/6
一方、△ABD,△BDLを正四面体ABCD,LBJDの底面と見た
ときの高さの比は辺CDと辺JCとの長さの比に等しく
2:1=1:1/2
よって正四面体LBJDの体積は正四面体ABCDの体積の
(1/6)・(1/2)=1/12[倍]

注)
上記ではAK:LKをベクトルを使って求めていますが
以下のようにベクトルを使わずに求める方針もあります。

点Jの△ABDへの正射影をJ'とします。
すると条件から
J'L⊥AK (A)'
一方、条件から点Cの△ABDへの正射影は△ABDの重心となるので
これをGとすると、点J'は線分GD上にあり
GJ':J'D=CJ:JD=1:1 (B)'
更に点Kは正三角形である△ABDの一つの辺BDの中点ですので
BD⊥AK (C)'
(A)'(C)'より
J'L//BD
よって(B)'から
GL=LK
となるので
LK=(LK/GK)(GK/AK)AK=(1/2)(1/3)AK
=(1/6)AK
従って
AK:LK=1:1/6
No.36373 - 2016/03/27(Sun) 20:14:16
☆ Re: 空間図形 / ヨッシー
別解です。単位は省略しています。
(3)

△ＡＫＪにおいて、ＪＫ＝２，ＡＫ＝ＡＪ＝2√3
ＪＫの中点をＭとすると、△ＡＭＪにおける三平方の定理より
　ＡＭ＝√11
よって、△ＡＫＪの面積は
　2×√11÷2＝√11
一方、ＡＫを底辺とすると、高さＪＬは
　ＪＬ＝√11÷2√3×2＝√(11/3)
△ＪＫＬにおける三平方の定理より
　ＬＫ＝√(1/3)
三角すいＬＢＪＤは、正四面体ＡＢＣＤとくらべて
底面△ＢＪＤは△ＢＣＤの 1/2倍
高さの比は ＬＫ：ＡＫ＝１：６
よって、三角すいＬＢＪＤの体積は、正四面体ＡＢＣＤの体積の
　1/2×1/6＝1/12(倍)
No.36374 - 2016/03/27(Sun) 21:00:56
★ (No Subject) / ピーチ
(1)をお願いします
No.36369 - 2016/03/27(Sun) 17:12:39
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ＯＡの中点(2,1)を通り、ＯＡ(傾き 1/2) に垂直な直線を考えると、
傾きが -2 であることより
　ｙ−１＝ー２（ｘ−２）
　ｙ＝−２ｘ＋５
Ｂはこの直線のｙ切片であるので、Ｂのｙ座標は５。
No.36370 - 2016/03/27(Sun) 17:52:24
☆ Re: / ピーチ
y-1はどこからやって来たのですか？
No.36394 - 2016/03/29(Tue) 08:42:20
☆ Re: / ヨッシー
x-2 はどこからやって来たのですか？
という疑問は湧かなかったですか？
No.36395 - 2016/03/29(Tue) 09:02:39
★ 図形問題 / 佐藤
（１）どうやって解いていいかわかりません。よろしくお願いします。
No.36368 - 2016/03/27(Sun) 14:45:43
☆ Re: 図形問題 / ヨッシー
長さの単位 cm、面積の単位 cm^2 は省略します。
(1)
ＢＣの中点をＭとすると、
　ＢＭ＝ＭＣ＝２
△ＢＯＭにおける三平方の定理より
　ＯＭ＝√5
△ＡＢＣ＝(1/2)ＢＣ・ＡＭ
　　＝(1/2)・4(3＋√5)
　　＝6＋2√5
No.36371 - 2016/03/27(Sun) 18:06:19
★ ネイピア数eを近似する分数式の求め方 / ふなっし
ネイピア数e=2.718281828･･･の近似を分母・分子ともに整数であるような分数式で求めることを考えるとき、
?@分母が一桁のとき
?A分母が二桁のとき
これらの場合におけるもっともeに近い分数を求めよ、
という問題があります。

ちょっとネットで調べてみたところ、これは定番の問題らしく、
もっともな解答は「連分数」を使って求める、とのことのようですが、
これでいったいどうやって近似の分数式が求まるのでしょうか。
ちなみに答えは
?@19/7
?A193/71
とのことです。
お願いします。
No.36367 - 2016/03/27(Sun) 14:18:16
☆ Re: ネイピア数eを近似する分数式の求め方 / ふなっし
わかりにくい点などあれば返信ください。
回答を頂けず、困っております。
お願いいたします。
No.36375 - 2016/03/27(Sun) 21:14:02
☆ Re: ネイピア数eを近似する分数式の求め方 / のぼりん
連分数論全般を掲示板で解説させようと試みるのは、やや無理ではないかと思います。
ご自身でしかるべき書籍を読んで学習なさるのが良いでしょう。
検索すれば、インターネットでも解説が見付かります。
例えば、
www.math.tohoku.ac.jp/~atsushi/Jarticle/cfrac.pdf
は分かり易く書いてあると思います。
No.36385 - 2016/03/28(Mon) 17:10:02
★ ４次 / 明日は今年度最後の日曜
四次関数f(x)=x^4+ax^3+bx^2+xがf(x)=3および全てのｘに対してf(x)-x≧０をみたすようにa,bを求めよ。

をどなたか教えてください。
a=-6,b=9です。よろしくお願いします。
No.36362 - 2016/03/26(Sat) 23:29:37
☆ Re: ４次 / IT
f(x)=3 とはどういう意味ですか？
（問題文をそのまま書いておられますか？）

全てのｘに対してf(x)-x≧０　の条件は
　f(x)-x＝x^4+ax^3+bx^2=(x^2)(x^2+ax+b)≧０
⇔　x^2+ax+b≧０

　として考えれば２次関数に帰着できます。
No.36363 - 2016/03/26(Sat) 23:40:21
☆ Re: ４次 / 明日は今年度最後の日曜
すみません、f(3)=3でした

よろしくおねがいします
No.36426 - 2016/04/01(Fri) 00:34:16
☆ Re: ４次 / IT
(略解）
f(x)-x＝x^4+ax^3+bx^2=(x^2)(x^2+ax+b)≧０
⇔　x^2+ax+b≧０

さらに　f(3)-3=0 よりx^2+ax+b=0 はx=3を重解に持つ
よってx^2+ax+b=(x-3)^2
右辺を展開し係数比較して　a=-6,b=9
No.36447 - 2016/04/02(Sat) 12:49:18
☆ Re: ４次 / 明日は今年度最後の日曜
納得できました、回答ありがとうございました。
No.36460 - 2016/04/02(Sat) 16:59:09
★ (No Subject) / 春さる
y=x^3-7x^2-4x+5の極大値を求めよというもんだいで極値を取るｘをｙに代入するときの工夫として
ｙ＝ｆ（ｘ）をｆ’（ｘ）＝3x^2-14x-4でそのまま割ると手間がかかるので
９f(x)をf'(x)で割って商３ｘ−７、あまり-122x+17
とｆ（ｘ）を【９】倍してからf'(x)で割っているのですが、この【９】はどこからきたのでしょうか？

よろしくおねがいします
No.36361 - 2016/03/26(Sat) 23:24:50
☆ Re: / X
商の定数項は放っておいて、まず商のxの係数が整数
になるためには3f(x)にしてからf'(x)で割れば
よいことはよろしいですか？
次に実際に3f(x)をf'(x)で割る計算の過程で
3f(x)からxf'(x)を引く (A)
訳ですが、この結果はx^2の係数は3の倍数では
なくなってしまい、結果、商の定数項は整数
ではなくなります。
そこで、このx^2の係数を3の倍数にするために
更にf(x)に3をかけて
3(3f(x))をf'(x)で割る
ことを考えます。
この場合は、割る計算の過程で(A)とは異なり
3(3f(x))から3xf'(x)引く
操作をすることになり、結果はx^2の係数は
3の倍数になります。
No.36365 - 2016/03/27(Sun) 07:58:42
★ 二次関数 / 加湿器
演習問題36(3) (i)がわかりません。よろしくお願い申し上げます。
No.36358 - 2016/03/26(Sat) 22:28:46
☆ Re: 二次関数 / IT
範囲0≦x≦3 の両端での値を調べる。
平方完成するか、グラフの軸が0≦x≦3 に入っているか調べて、入っていればそこでの値を調べる。
No.36360 - 2016/03/26(Sat) 23:20:07
★ 不定方程式 / 活男
自然数全体の集合をS,その部分集合をU={3m+7n|m,n∈S｝とおく。このときUはある整数ｋ以上のすべての整数を含むことを示せ。また、そのようなkの最小値を求めよ。

これが全く解き方がつかめません。ご返答よろしくお願いします。
No.36354 - 2016/03/26(Sat) 17:03:23
☆ Re: 不定方程式 / IT
こちらにヒントを書いてます。
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=51982
No.36357 - 2016/03/26(Sat) 21:49:16
★ (No Subject) / 数学
xyz空間で、原点Oを中心とする半径の球面Sと3点，，を通る平面αが共有点をもつことを示し、点がその共有点全体の集合を動くとき、積xyzがとり得る値の範囲を求めよ。

まず法線ベクトルを求めたいのですが、法線ベクトルvが(1,1,1)になる理由がわかりません。
No.36348 - 2016/03/26(Sat) 09:49:34
☆ Re: / 数学
3点は、(4，0，0)，(0，0，4)，(0，4，0)です。
No.36349 - 2016/03/26(Sat) 10:36:07
☆ Re: / 関数電卓
> 法線ベクトルvが(1,1,1)になる理由
平面αの方程式が
　x＋y＋z＝4
だからです。
ところで，球面Sの半径はいくらですか？
　
No.36350 - 2016/03/26(Sat) 15:56:55
☆ Re: / 数学
その平面の方程式はどのように求めたのですか？
No.36351 - 2016/03/26(Sat) 15:59:49
☆ Re: / 関数電卓
> その平面の方程式はどのように求めたのですか？
座標軸との交点がそれぞれ (a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c) である平面の方程式は，
　x/a＋y/b＋z/c＝1
です。
　
No.36352 - 2016/03/26(Sat) 16:10:15
☆ Re: / 関数電卓
球面 S の半径を r として，S と平面αの交線は円ですから，その半径を a (＝√(r2−16/3) とすると，
交線上の点 (x，y，z) は，θをパラメータとして例えば

　x＝(a/√2)cosθ＋(a/√6)sinθ＋4/3
　y＝−(a/√2)cosθ＋(a/√6)sinθ＋4/3
　z＝−(2a/√6)sinθ＋4/3

で表されます。求める xyz は sinθ の 3次関数になりますが，−1<=sinθ<=1 から求めることができます。
　
No.36353 - 2016/03/26(Sat) 16:34:00
★ (No Subject) / ピーチ
(2)です。
Rの座標がわかりません。
面倒だと思いますが、教えてださい。
No.36345 - 2016/03/26(Sat) 08:42:33
☆ Re: / ピーチ
ちなみに、B(4,4)
a=1/4(４分の１です。)
C(-2,2)
BCの式 y=1/2x+2

です。
No.36346 - 2016/03/26(Sat) 08:54:38
☆ Re: / ヨッシー
ＢＰ//ＣＱ であり、ＢＰ：ＣＱ＝１：２ より
　ＢＲ：ＲＣ＝１：２
よって、Ｒは、ＢＣを１：２に内分する点。
(以下略)
No.36378 - 2016/03/28(Mon) 00:48:38
★ 微分係数f'(0)の求め方 / ふなっし
f(x)がx=0で微分可能なとき、f'(0)を求めよ、という問題です。
そのような関数は
f(x)=x^2×sin(1/x) (x>0のとき),
0 (x=0のとき),
x^2×cos(1/x) (x<0のとき)

という関数です。
問題集の解説では、簡単に
|(f(x)-f(0))/x|≦|x|→0　による(ため)
とありました。
ここで、上の不等式の左辺は微分の定義から出現したのでしょうか。はさみうちの原理を使っているのはわかるのですが、、、

また、f(x)=x^2 (x:有理数),
0 (x:無理数)
という関数の設問もあるのですが、これは
xが有理数のときならば、f'(x)=2x より
f'(0)=2×0=0 と計算しても良いのでしょうか。
合わせてお願いいたします。
No.36336 - 2016/03/25(Fri) 20:36:08
☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / IT
> |(f(x)-f(0))/x|≦|x|→0　による(ため)
> とありました。
> ここで、上の不等式の左辺は微分の定義から出現したのでしょうか。
そうですね。


> xが有理数のときならば、f'(x)=2x より
> f'(0)=2×0=0 と計算しても良いのでしょうか。
ダメですね。
x≠0では、f(x)は不連続であり、もちろん微分不可能です。
No.36337 - 2016/03/25(Fri) 20:48:38
☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / ふなっし
では、いずれの設問も
|(f(x)-f(0))/x|≦|x|→0
を考える、ということですね。

左辺の分母のxって、xの変化量(Δx)のことですよね？
教科書ではよくhとかって表される、、
ここに単にxって書くのって記述的に正しいんですかね？
それと何故上の不等式に示される大小関係が成り立つのでしょうか。
お願いします。
No.36339 - 2016/03/25(Fri) 21:33:55
☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / IT
> 左辺の分母のxって、xの変化量(Δx)のことですよね？
> 教科書ではよくhとかって表される、、
> ここに単にxって書くのって記述的に正しいんですかね？
問題ないです。問題中で他の意味がある文字以外のどんな文字を使っても構わないと思います。
a,b,c...,h,..s,t,u,...x,y,z
e,fは使わない。a,b,cなども定数を表すことが多いですが絶対ではないですね。


> それと何故上の不等式に示される大小関係が成り立つのでしょうか。
(f(x)-f(0))/xを計算してみてください。容易に分ると思います。
No.36340 - 2016/03/25(Fri) 21:57:08
☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / ふなっし
なるほど、

?@Δx(xの変化量)=x(独立変数)ってイコールなのでしょうか？(基本的な話ですいません)
?Aそれと、(f(x)-f(0))/xを計算するにあたって、f(0)って計算できるんですか？つまり、x=0を代入してもいいのですか？
?B最後に、|sinx|≦1とかいうのは使いますか？

お願いします。
No.36341 - 2016/03/25(Fri) 22:07:14
☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / IT
> ?@Δx(xの変化量)=x(独立変数)ってイコールなのでしょうか？(基本的な話ですいません)

何を表しているかは文脈から判断すればいいと思います。
「?@Δx(xの変化量)=x(独立変数)って」と書かれると、その場合は、違いますね。

> ?Aそれと、(f(x)-f(0))/xを計算するにあたって、f(0)って計算できるんですか？つまり、x=0を代入してもいいのですか？
計算できます。問題をよく読んでf(x)の定義を確認してください。

> ?B最後に、|sinx|≦1とかいうのは使いますか？
使います。
No.36342 - 2016/03/25(Fri) 22:19:13
☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / ふなっし
では、やることは教科書によくある例題と同じですね。。

なんとなくわかりました。
検討してみます。

ありがとうございました。。
No.36343 - 2016/03/25(Fri) 22:56:41
★ 関数 / 広崎
２（１）（２）３　番の問題が難しくてわかりません。お願いします。
No.36335 - 2016/03/25(Fri) 19:26:20
☆ Re: 関数 / X
2
(1)
グラフから花子さんの速さは
18[km]/54[分]=1/3[km/分]
従って15分間で花子さんが進む距離は
1/3[km/分]×15[分]=5[km]
なので15分間でお父さんが進む距離は
5[km]-3[km]=2[km]
(注:花子さんはこの時点でコースを一周しています。)
よってお父さんの速さは
2[km]/15[分]=2/15[km/分]
となるので求める式は
y=(2/15)x
(2)
条件から一回目に抜かれた後、二回目にお父さんが
抜かれるまでにお父さんから見た花子さんが進む
距離について
(1/3-1/6)(t-15)=3
これをtの方程式と見て解き
t=33

3
問題から花子さんと太郎さんがすれ違ったコース上の
位置を考えなければならないように見えますが
その必要はありません。

条件から太郎さんの進む速さは
3[km]×3/48[分]=3/16[km/分]
出発後、x分後に太郎さんと花子さんが最初に
すれ違ったとすると、それまでに太郎さんと
花子さんが進んだ距離の和について
(3/16)x+(1/3)x=3
これをxの方程式と見て解き
x=144/25
最初にすれ違ってから二回目にすれ違うまでの時間
は、すれ違った地点から同様のことを考えればよい
ので、結局出発から5回目にすれ違うまでにかかる
時間は
(144/25)[分]×5=(144/5)[分]
=28+4/5[分]
≡28[分]48[秒]
No.36338 - 2016/03/25(Fri) 20:52:08
★ 領域と面積 / あい
高2です。お願いします。
空間において、平面Z=10上で点（0，0，10）を中心とし、半径1の円周上を光源が回っている。
2点P(-1，1，8)、Q(3，5，0)を結ぶ線分PQのxy平面上への影の動く領域を図示し、その面積を求めよ。
No.36334 - 2016/03/25(Fri) 18:01:06
☆ Re: 領域と面積 / ヨッシー
Ｑは、ｘｙ平面上の点なので、影は固定です。
Ｐと(0,0,10) を結ぶ直線とｘｙ平面との交点Ｒは
Ｒ(-5,5,0) であり、Ｐの影はこの点を中心とし半径４の円を描きます。
ＲとＱの距離は８であるので、ＱはＰの描く円の外にあります。
線分ＰＱの影は図のように
３辺が4，4√3, 8 の直角三角形２個と、半径４、中心角240°の扇形を
合わせたものとなります。

No.36344 - 2016/03/26(Sat) 08:33:06
★ 角度 / katuki
（１）（２）解りません。よろしくお願いします。
No.36332 - 2016/03/25(Fri) 16:55:32
☆ Re: 角度 / ヨッシー
(1)
∠ＢＡＣ＝b°とすると
平行線間の錯角より
　∠ＢＤＣ＝a°
接弦定理より
　∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＣ＝b°
三角形の外角より
　∠ＡＢＣ＝a°＋b°
直径に立つ円周角より
　∠ＡＣＢ＝90°
よって、
　∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ＝a°＋2b°＝90°
よって、
　∠ＢＡＣ＝b°＝45°−a°/2

(2)
∠ＡＯＥ＝120°より、
扇形ＯＡＥ＝4π/3 cm^2
ＡＥの中点をＭとすると、△ＡＭＯは
　ＡＭ＝√3cm、ＭＯ＝1cm、ＡＯ＝2cm
の直角三角形なので、
　△ＡＯＭ＝√3/2 cm^2
　△ＡＥＯ＝√3 cm^2
よって、求める面積は
　4π/3−√3 cm^2
No.36333 - 2016/03/25(Fri) 17:13:38
★ 規則性 / 中西学
(2)が解けません。解説よろしくお願いします。
No.36328 - 2016/03/25(Fri) 08:22:42
☆ Re: 規則性 / ヨッシー
２番めの正方形が含まれる数は、
３番目には４個ですね。
４番目には何個ですか？
５番目には何個ですか？
この辺で、そろそろ１，２，３・・・と数えるのではなく、
式で計算したいですね。

８０個以上なので、明らかに　９×９＝８１ を意識しています。
それは何番目の時でしょう？
No.36329 - 2016/03/25(Fri) 08:33:41
☆ Re: 規則性 / 中西学
10です・
No.36330 - 2016/03/25(Fri) 11:12:18
☆ Re: 規則性 / ヨッシー
では、ｎ＝１０ ですね。
No.36331 - 2016/03/25(Fri) 13:14:59
★ (No Subject) / 羅
問題1は自信がない程度で、問題2〜4が全然わかりません。
参考として答えだけではなく解答にしていただけると嬉しいです。

【問題1】
A、B、Cの3高校が野球の試合をする。まず2校が対戦して、買った方が残りの1校と対戦 する。これを繰り返して、2連勝した高校が優勝する。A校がB、C校にそれぞれ勝つ確率をp、qとす、B校がC校に勝つ確率を1/2とする。次の確率をそれぞれ求めよ。ただし0<p<1、0<q<1とする。
(1)第1戦にA校とB校が対戦した場合、A校がB校に勝って優勝する確率。
(2)第1戦にA校とB校が対戦した場合、A校がB校に負けて優勝する確率。
(3)第1戦にB校とC校が対戦した場合、A校が優勝する確率。

【問題2】
平面上の鋭角三角形ABCの内部(変や頂点は含まない)に点Pをとり、A'を B,C,Pを通る円の中心、B'をC,A,Pを通る円の中心、C'をA,B,Pを通る円の中心とする。このとき、A,B,C,A',B',C'が同一円上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致することであることを示せ。

【問題3】
aを2以上の整数、pを2より大きい素数とする。ある整数kに対して等式
a^(p-1) -1＝p^k　が成り立つのは、a=2,p=3の場合に限ることを証明せよ。

【問題4】
命題P 次の条件(a),(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)Aが存在する。
(a)Aは連続する3つの自然数の席である。
(b)Aを10進法で表わしたとき、1が連続して99回以上現れるところがある。
以下の問いに答えよ。
(1)yを自然数とする。このとき、不等式
x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2
が成り立つような正の実数xの範囲を求めよ。
(2)命題Pを証明せよ。
No.36325 - 2016/03/24(Thu) 22:20:04
☆ Re: / IT
【問題3】
（略解）　行間は埋めてください。分らなければ質問してください。
a^(p-1) -1＝p^k…(1)
p-1は２以上の偶数なので,a^(p-1)-1は、a-1とa+1を因数に持つ
よって(1)よりa-1=p^m,a+1=p^n,m,nは整数で0≦m＜n
a+1とa-1の差が2であることからa-1=1,a+1=p
したがってa=2,p=3
No.36326 - 2016/03/24(Thu) 22:53:27
★ 回転する円錐 / つちんこ
この問題を教えてください。
No.36319 - 2016/03/24(Thu) 15:34:06
☆ Re: 回転する円錐 / ヨッシー
(1)
Ｄは図のような軌跡になります。

No.36322 - 2016/03/24(Thu) 17:11:50
☆ Re: 回転する円錐 / つちんこ
分かりやすい図の例示、ありがとうございます。

具体的な解法はどうなるのしょうか？
No.36324 - 2016/03/24(Thu) 21:52:16
☆ Re: 回転する円錐 / ヨッシー
（続き）
平面Ｐをｘｙ平面とし、頂点を固定した点を原点、
Ａが最初に(1,0,0) あるものとします。
円錐が平面Ｐをθだけ回転した（接している母線がｘ軸とθをなす）ときの
点Ａの位置を次のように求めます。
ｙｚ平面上に中心（0,0,1/2) 半径1/2 の円を描き、点(0,0,0) が
この円に沿って、2θ回転した点をＡ1とします。
Ａ1 をｙ軸を中心に30°回転した点をＡ2 とします。
Ａ2 をｘ軸方向に１移動した点をＡ3 とします。
Ａ3 をｚ軸を中心にθ回転した点 Ａ4 が求める点です。
これらの点の座標は、
　Ａ1：(0, −(1/2)sin(2θ), 1/2−(1/2)cos(2θ))
　Ａ2：(−1/4＋(1/4)cos(2θ), −(1/2)sin(2θ), √3/4−(√3/4)cos(2θ))
　Ａ3：(3/4＋(1/4)cos(2θ), −(1/2)sin(2θ), √3/4−(√3/4)cos(2θ))
　Ａ4：(x,y,z)とおくと、
　ｘ＝{3/4＋(1/4)cos(2θ)}cosθ＋(1/2)sin(2θ)sinθ
　ｙ＝{3/4＋(1/4)cos(2θ)}sinθ−(1/2)sin(2θ)cosθ
　ｚ＝√3/4−(√3/4)cos(2θ)
このＡ4 の座標において、ｘ＞０，ｙ＞０ の範囲において、４ｘｙ が断面の面積となります。
No.36327 - 2016/03/24(Thu) 23:44:17
☆ Re: 回転する円錐 / t
https://m.youtube.com/watch?list=PLrN2HSNdl6vpO_B56506qxkx5nPJhJn3H&v=N6qwWlRwruM
この問題の(2)の類題が解説されています。
No.36347 - 2016/03/26(Sat) 09:46:36
☆ Re: 回転する円錐 / つちんこ
うーん、xやyをθで表すところまではなんとか分かりましたが、その後の計算があまりピンと来ません。すみません。
4xyの最大値はどう出すのでしょう？
No.36356 - 2016/03/26(Sat) 21:16:54
☆ Re: 回転する円錐 / つちんこ
4xyの最大値じゃなく、4xyが最大になるθでした。ごめんなさい。
No.36359 - 2016/03/26(Sat) 23:16:51
☆ Re: 回転する円錐 / ヨッシー
断面積の 1/4 である ｘｙをｚ＝ｔを用いて表すことにします。
　ｘｙ＝{3/4＋(1/4)cos(2θ)}^2sinθcosθ
　　　　＋(1/2)sin(2θ){3/4＋(1/4)cos(2θ)}(sin^2θ−cos^2θ)
　　　　−(1/4)sin^2(2θ)sinθcosθ
　　　＝(1/2){3/4＋(1/4)cos(2θ)}^2・sin(2θ)
　　　　−(1/2)sin(2θ){3/4＋(1/4)cos(2θ)}cos(2θ)
　　　　−(1/8)sin^3(2θ)
ここで、
　cos(2θ)＝1−4t/√3
　sin(2θ)＝√(8t/√3−16t^2/3)
であるので、
　ｘｙ＝(1/2)(1−t/√3)^2・√(8t/√3−16t^2/3)
　　　　−(1/2)√(8t/√3−16t^2/3)・(1−t/√3)(1−4t/√3)
　　　　−(t/√3−2t^2/3)√(8t/√3−16t^2/3)
　　　＝(t^2/6＋t/2√3)√(8t/√3−16t^2/3)
f(t)＝(t^2/6＋t/2√3)√(8t/√3−16t^2/3) とおくと
　f'(t)＝(t/3＋1/2√3)√(8t/√3−16t^2/3)＋(t^2/6＋t/2√3)(4/√3−16t/3)/√(8t/√3−16t^2/3)
　　　＝０
これを満たすのは
　ｔ＝(√51−√3)/8

計算が合っているかは自信ありません。
No.36366 - 2016/03/27(Sun) 08:10:28
★ (No Subject) / 中西学
(2)が解けません。解説よろしくお願いします。
No.36317 - 2016/03/24(Thu) 15:18:46
☆ Re: / ヨッシー
{m, 9} をｍを使って表すとどうなりますか？
　
No.36318 - 2016/03/24(Thu) 15:26:04
☆ Re: 答え / 中西学
9m となります。
No.36320 - 2016/03/24(Thu) 16:22:31
☆ Re: / ヨッシー
では、{m, 8} は？　{m, 7} は？　・・・　{m, 1} は？
最後に　{m, n} は？
と順々に考えて、規則性をつかみましょう。
No.36321 - 2016/03/24(Thu) 16:28:16
☆ Re: 規則性 / 中西学
解りました。ありがとうございました。
No.36323 - 2016/03/24(Thu) 18:30:43
★ マクローリン展開 式変形 / あん
(2)で、e^xとsinxについてはマクローリン展開していると分かるのですが、(2+x)/(2-x)をどうやって展開したのか分かりません。
剰余項はないですが、ただマクローリン展開しているだけしょうか

よろしくお願いします
No.36310 - 2016/03/23(Wed) 16:45:48
☆ Re: マクローリン展開 式変形 / X
(2+x)/(2-x)=-1+4/(2-x)=-1+2/(1-x/2)
と変形し、第二項を無限等比級数の和と解釈して
初項と公比の合わせ込みをしてみましょう。
No.36311 - 2016/03/23(Wed) 16:56:48
☆ Re: マクローリン展開 式変形 / あん
よく分かりました
ありがとうございました
No.36314 - 2016/03/23(Wed) 17:31:45
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