f(x)＝(x^2+ax+b)/(x^2-x+１)
の最大値が3、最小値が1/3であるとき
a,bの値を求めよ
という問題です。
(x^2+ax+b)/(x^2-x+１)=k(定数)(1/3≦k≦3)
とすると、両辺にx^2-x＋1をかけて
x^2＋ax＋b=k(x^2-x＋1)
整理すると
(k-1)x^2-(a＋k)x＋k-b=0・・・?@
最高次の係数であるk-1に着目すると
k-1=0のときを考える必要はないので
k-1≠0とする。
このとき?@の判別式をＤとすると
3k^2-2(a＋2b＋2)k＋(4b-a^2)≦0・・・?A
1/3≦k≦3より3k^2-10k＋3≦0・・・?B
1/3≦k≦3を満たすためには?Aと?Bが一致しなければならないので
係数を比較して、a＋2b＋2=5 4b-a^2=3
(a,b)=(1,1)、(-3,3)
一応ここまで解いたのですが、この後どういうふうに記述していけばいいかわかりません。
分かる方教えてください。お願いします。
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No.37084 - 2016/05/21(Sat) 16:42:44
| ☆ Re: 数学初心者 / IT | | | > このとき?@の判別式をＤとすると
この後,Ｄが出てこないので、答案としてはよくありません。
> 3k^2-2(a＋2b＋2)k＋(4b-a^2)≦0・・・?A
この不等式の意味、出てきた理由を記述する必要があると思います。
> 1/3≦k≦3より3k^2-10k＋3≦0・・・?B
「1/3≦k≦3は,3k^2-10k＋3≦0・・・?B と同値なので、」 などと書いてはどうでしょう。
> 1/3≦k≦3を満たすためには?Aと?Bが一致しなければならないので
?Aを満たすkの範囲が(ちょうど)1/3≦k≦3となるためには、?Aと?Bが一致することが必要十分。
＃ こうすると、この後は、そのままで終わって良いのではないでしょうか？
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No.37090 - 2016/05/21(Sat) 20:21:24 |
| ☆ Re: 数学初心者 / ぴなそ | | | (k-1)x^2-(a＋k)x＋k-b=0・・・?@
?@の判別式ＤがＤ≧０となる理由については、
?@の２次方程式(k-1≠0のとき)を満たし、なおかつ
xが虚数(実数範囲で解なし)となることは最大値が3で最小値が1/3となる以上はありえないのでＤ＞０またはＤ＝０ということでＤ≧０としました。
あと、「1/3≦k≦3は?Bと同値なので?A、?Bの
係数を比較して、a＋2b＋2=5 4b-a^2=3
(a,b)=(1,1)、(-3,3)」
ここまでは必要条件という理解でいいでしょうか？
必要条件だけでは不十分なので、十分性を確認する必要が
ありますよね？
この場合、十分性を確認するためには、どうしたらいいのでしょうか＞＜；
求まったa,bの値を?Aに代入して?Bになることを確認すれば十分性を確認したことになりますか？
よろしくお願いします。
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No.37094 - 2016/05/21(Sat) 23:20:04 |
| ☆ Re: 数学初心者 / IT | | | > あと、「1/3≦k≦3は?Bと同値なので?A、?Bの
> 係数を比較して、a＋2b＋2=5 4b-a^2=3
> (a,b)=(1,1)、(-3,3)」
> ここまでは必要条件という理解でいいでしょうか？
必要十分条件になっていると思います。
（必要十分条件になっていることを明確にするような論述が必要ですが）
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No.37097 - 2016/05/22(Sun) 00:42:37 |
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