ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 熱力学の第一法則 / 大学受験

滑らかに動くピストンの問題でヒーターで過剰に温めてはじめ定圧変化してピストンが底につきそのあとも熱するので定積変化する場合最初の状態と最後の状態で熱力学の第一法則は成り立つのでしょうか？
ΔUは定圧変化する前と定積変化した後の差
Qは最初から最後までヒーターが出す熱量
wは定圧変化するときにする仕事

数学掲示板なのに物理の質問をしてすみません。とても解答が速く分かりやすかったので質問しました。

No.37036 - 2016/05/18(Wed) 12:50:23

★ 面積の最小値 / アッコにお任せ

2次関数Y=X^2上の点Pの接線を求めよ。またその法線を求めよ
さらに点Pがこの2次関数上を動く時点Pにおける法線と放物線に囲まれた部分の面積が最小になる時のPの座標を求めよ
答えP(1/2,1/4) P(-1/2,1/4)になるらしいんですけど…
法線y=-(x/2p)+(1/2)+pより
y=x^2とy=-(x/2p)+(1/2)+pの2つの交点のx座標をα、β(β>α）とすると
S=∫(=-(x/2p)+(1/2)+p-x^2)∫の上にβ、下の方をαとして計算していく
なんかできない……。模範解答がないのでやり方教えてくれませんか。よろしくお願いします

No.37035 - 2016/05/18(Wed) 07:16:45

☆ Re: 面積の最小値 / ヨッシー

法線の式は
　ｙ＝(-1/2p)(x-p)＋p^2
　ｙ＝-x/2p＋1/2＋p^2
です。これと、y=x^2 が２点Ａ(α, α^2)、Ｂ(β, β^2) で交わるとき
　x^2＋x/2p－1/2－p^2＝0
の解がｘ＝α、βであるので、解と係数の関係より
　α＋β＝-1/2p, αβ＝-1/2－p^2
一方、
　Ｓ＝(β－α)^3／６
であるので、
　(β－α)^2＝(α＋β)^2－４αβ
　　　＝1/4p^2＋2＋4p^2
β－α＞０より
　(β－α)^2が最小⇔β－αが最小⇔(β－α)^3が最小
である。相加相乗平均より
　(β－α)^2＝1/4p^2＋2＋4p^2≧2＋2＝４
等号は　1/4p^2＝4p^2 のときで、ｐは実数より、ｐ＝±1/2

No.37038 - 2016/05/18(Wed) 19:09:19

★ (No Subject) / なぜx-2！？

黄色チャートの重要例題51について、一つだけ質問お願いします。

・問題
1辺の長さが2の正三角形ABCがある。点Pが頂点Aを出発し、毎秒1の速さで左回りに辺上を１周するとき、
線分APを1辺とする正方形の面積yを、出発後の時間x（秒）の関数として表し、
そのグラフを書け。
ただし点Pが点Aにあるときはy=0とする。

・解答
y=AP^2であり、条件から、xの変域は0≦x≦6
[1] x=0,x=6のとき点Pが点Aにあるからy=0

[2] 0<x≦2のとき点Pは辺AB上にあってAP=x よってy=x^2

[3] 2<x≦4のとき、点Pは辺BC上にある。
辺BCの中点をMとすると、BC⊥AMであり
BM=1 よって、2<x≦3のとき、PM=1-（x-2）=3-x
3<x≦4のとき、PM=（x-2）-1=x-3

略

・質問内容
解答に
2<x≦3のときPM=1-(x-2)=3-x

とあるのですが、この(x-2)は
図をみるとBPを表してます。しかしなぜBP=x-2なのでしょうか？
PがBを通り過ぎた時点で2秒経過してるのはわかるのですが、なぜにひいてる。

No.37031 - 2016/05/17(Tue) 22:41:28

☆ Re: / ヨッシー

たとえば、2.5 秒後にはＡＢ＋ＢＰ＝2.5cm で、
ＡＢ＝２cm なので、ＢＰ＝2.5－2＝0.5cm ですね。

No.37032 - 2016/05/17(Tue) 23:25:08

☆ Re: / なぜx-2！？

ありがとうございます！助かりました！

No.37046 - 2016/05/19(Thu) 00:36:35

★ (No Subject) / アガリクス

今日三角関数の極限を習いました。
しかし、画像の問題が０になる理由がいまいち理解出来ません。教えて頂けると助かります。

No.37023 - 2016/05/17(Tue) 18:53:24

☆ Re: / IT

画像の問題が０になる理由は、　どう習われましたか？
sinx, cosx それぞれの最大値、最小値はいくらか分りますか？

No.37024 - 2016/05/17(Tue) 19:23:08

★ (No Subject) / 嵐

度々すみません。
画像の問題を解くと、どうしても答えが０になってしまいます。解き方を教えてください。

No.37019 - 2016/05/17(Tue) 18:03:02

☆ Re: / IT

> 画像の問題を解くと、どうしても答えが０になってしまいます。

どういう計算で０になりますか？

No.37020 - 2016/05/17(Tue) 18:14:54

☆ Re: / 嵐

多分計算が間違っていると思うのですが…

No.37021 - 2016/05/17(Tue) 18:19:08

☆ Re: / IT

４行目の８をくくりだしたところがまちがってます。

２行目から３行目でどこが変わったかも良く分かりませんが？

No.37025 - 2016/05/17(Tue) 19:26:30

★ 偏微分 / あん

偏微分の問題です。
(1)はできましたが
(2)から先が分かりませんでした
よろしくお願いします

No.37008 - 2016/05/16(Mon) 10:34:39

☆ Re: 偏微分 / X

(2)
G=∂f/∂x (A)
と置くと
(∂^2)f/∂x^2=∂G/∂x (B)
(1)の結果を使って(B)を∂G/∂r,∂G/∂θ,r,θ
で表します(これを(B)'とします)。
更に(A)に(1)の結果を代入し、それを(B)'に代入して
整理をします。

(3)
(1)と同様な手順で∂f/∂yを∂f/∂r,∂f/∂θ,r,θ
で表し、その結果を使って(2)と同様な手順で
(∂^2)f/∂y^2を計算します。

(2)(3)いずれも計算が煩雑になるのは避けられません。
練習問題としてガリガリ計算しましょう。

No.37012 - 2016/05/16(Mon) 19:28:11

☆ Re: 偏微分 / あん

わかりました
ありがとうございます

No.37013 - 2016/05/17(Tue) 14:28:20

★ 指数関数・対数関数 / アリス

高校3年です。
3^x=5^y , 1/x+1/y=1/2のとき、xをlogで出したいです。
解き方がわかりません。教えてください。

No.36992 - 2016/05/15(Sun) 17:31:52

☆ Re: 指数関数・対数関数 / IT

3^x=5^y より
　x=log[3]5^y=ylog[3]5
　よって1/y=(log[3]5)/x

1/x+1/y=1/2 に代入
　(1/x)(1+log[3]5)=1/2

よってx=2+2log[3]5

No.37000 - 2016/05/15(Sun) 19:42:06

☆ Re: 指数関数・対数関数 / アリス

答えはlog[3 ]□になりこの四角に何が入るのか知りたいのですが…
教えてください‼

No.37003 - 2016/05/15(Sun) 22:39:47

☆ Re: 指数関数・対数関数 / IT

2+2log[3]5=2log[3]3+2log[3]5
=2log[3]15=log[3]15^2
最後の計算は自分でお願いします。

No.37004 - 2016/05/15(Sun) 22:53:49

☆ Re: 指数関数・対数関数 / アリス

答えはlog[3]225ですね！
ありがとうございます。

No.37005 - 2016/05/15(Sun) 23:25:00

★ 上限と下限 / ブラッドマミ

お世話になります。ブラッドマミと申します。今回の質問は上限の定理についてです。
（定理）αがsupＥのであるための必要十分条件は、次の（１）と（２）が成り立つことである。
（１）Ｅの任意要素ｘに対してx≦αが成り立つ。
（２）αより小さい任意の数yに対してx[0]＞yを満たすＥの要素x[0]が存在する。
「問題」（定理）の中の次の事を確かめよ。
?@）αより小さい数が上界なれないならば定理（２）が成り立つ。
?A）?@）が成り立つとαより小さいどんなyもＥの上界になれない。
問い?@）、?A）共に、どのように答えたら良いか分かりません。どなたかわかる方、ヒントでも良いので、教えて下さい。よろしくお願いします。

No.36990 - 2016/05/15(Sun) 16:39:28

☆ Re: 上限と下限 / IT

ほとんど「上限」の定義を言い直すだけの　ような気がします。
「上界」「上限」の定義を　再確認してみられてはどうでしょうか？

No.37002 - 2016/05/15(Sun) 21:39:52

☆ Re: 上限と下限 / ブラッドマミ

ありがとうございます。これを参考に頑張ってみます。

No.37007 - 2016/05/16(Mon) 09:12:19

★ 積分 / おまる

続けてすいません。
次の問題の解説でわからないところがあるので教えて欲しいです。
つぎの63の問題で、解説の赤線部がどういうことを意味するのかわかりません。
よろしくお願いします。

No.36979 - 2016/05/15(Sun) 15:03:37

☆ Re: 積分 / おまる

解説です。

No.36980 - 2016/05/15(Sun) 15:04:24

☆ Re: 積分 / X

(i)上の行の赤線部について
これはその一つ上の行の{}内の第一項に対する積分である
∫[0→1]{(x^4-1)^2}dx
に対応しています。
a,b,c,dは含まれませんので計算結果は定数になります。

(ii)下の行の赤線部について
その上の赤線がついている行において、bに関する項に
関する平方完成をしてみましょう。

No.36985 - 2016/05/15(Sun) 16:18:59

☆ Re: 積分 / おまる

ご回答ありがとうございます。
bの平方完成は、
{b?甜0→1](x^2-1)dx-?甜0→1](x^4-1)dx}^2-?甜0→1](x^4-1)^2dx
であっているのでしょうか？

No.36997 - 2016/05/15(Sun) 18:48:53

☆ Re: 積分 / X

間違えています。
被積分関数にかかっている二乗を勝手に積分の外に
出すことはできません。
b^2,bの項だけ抜き出して平方完成すると
(b^2)∫[0→1]{(x^2-1)^2}dx-2b∫[0→1](x^2-1)(x^4-1)dx
={∫[0→1]{(x^2-1)^2}dx}{b^2-2b∫[0→1](x^2-1)(x^4-1)dx/∫[0→1]{(x^2-1)^2}dx}
={∫[0→1]{(x^2-1)^2}dx}{b-∫[0→1](x^2-1)(x^4-1)dx/∫[0→1]{(x^2-1)^2}dx}^2
-{{∫[0→1](x^2-1)(x^4-1)dx}^2}/∫[0→1]{(x^2-1)^2}dx
となります。

それと?唐ﾍ∫とは別の意味で使われる記号ですので次回からは
使わないようにしましょう。

No.37001 - 2016/05/15(Sun) 20:13:31

☆ Re: 積分 / おまる

いろいろと教えてくださりありがとうございました。
大変勉強になりました。

No.37010 - 2016/05/16(Mon) 18:28:46

★ ２つの円 / 納豆菌

円x^2+y^2=9…?@について
点(2,1)を中心として、円?@と内接する円の方程式を求めよ。
この問題なのですが、求める円が円?@に内接するのか、円?@が求める円に内接するのかわかりません。教えていただきたいです。お願いします。

No.36978 - 2016/05/15(Sun) 14:52:36

☆ Re: ２つの円 / X

求める円が円?@に内接しています。

No.36984 - 2016/05/15(Sun) 16:10:20

☆ Re: ２つの円 / 納豆菌

ありがとうございます！

No.36988 - 2016/05/15(Sun) 16:25:54

☆ Re: ２つの円 / らすかる

両方では？

No.36989 - 2016/05/15(Sun) 16:26:31

★ 詳しくお願いします。 / ゆかり

初めて質問させてもらいます。
よろしくお願いします。
解説を見ても意味がわからなくて…

大中小3個のサイコロを投げる時、目の和が偶数になる場合は何通りありますか？

解説です。

No.36977 - 2016/05/15(Sun) 14:30:43

☆ Re: 詳しくお願いします。 / X

３つのさいころの目の和が偶数になる場合は
(1)全部の目が偶数の場合
(2)1個だけが偶数(で残りの2個が奇数)の場合
となることはよろしいですか？

No.36986 - 2016/05/15(Sun) 16:21:18

☆ Re: 詳しくお願いします。 / 教得手　学

分からない部分は何処でしょうか？
かなり丁寧に説明してあるのだから、じっくり読み返せば理解できてくるものと思います。
ちなみに　この問題は下記のようにも解くことができます。
--------------------
大中2個のサイコロの目の出方は　6*6＝36（通り)
この２つの目の和が偶数の場合は　小の目は2,4,6の３通りの目であればよい。
この２つの目の和が奇数の場合は　小の目は1,3,5の３通りの目であればよい。
だから
大中2個のサイコロがどんな出方をしたときでも、条件を満たすような小の目は3通りずつあるので
求める値＝36*3＝108（通り）

No.37009 - 2016/05/16(Mon) 13:06:31

★ 極限 / おまる

いつもお世話になっております。
問題の解説がわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題の解説の赤線部の面積がどこを表しているのかがわかりません。
よろしくお願いします。

No.36974 - 2016/05/15(Sun) 14:18:26

☆ Re: 極限 / おまる

解説です。

No.36975 - 2016/05/15(Sun) 14:18:58

☆ Re: 極限 / X

解説の画像の右上図において羊が動き回る外周は
左側の曲線(C[1]とします)
と
ひもが結ばれた柵の頂点と反対側の頂点とを結ぶ
線分に関してC[1]と対称な曲線(C[2]とします)
及び
C[1]、C[2]の端点のうち、柵に結ばれていない側
を端点とする弧(C[3]とします)
となるのはよろしいですか？

赤波線の行の一つ上の行の式はC[1],C[2]に対応する
図形の面積になるのに対し、赤波線の式は
C[3]に対応する中心角π(1-1/n)の扇形の面積
となっています。

No.36983 - 2016/05/15(Sun) 16:07:25

☆ Re: 極限 / おまる

どうもありがとうございました。
理解することができました。

No.37011 - 2016/05/16(Mon) 18:30:21

★ (No Subject) / 嵐

先生が画像の問題の答えはそうなる、ならどうやって解く？みたいなことを言っていてそれをとっさにメモったものですが、なぜ答えはこうなるのですか？また、このような問題を逆関数の問題で出すみたいなことを言っていたのですが、この問題の逆関数はどうなるのでしょうか？

No.36970 - 2016/05/15(Sun) 11:56:45

☆ Re: / 嵐

すみません、画像をはり忘れました

No.36971 - 2016/05/15(Sun) 11:59:32

☆ Re: / IT

答えが,付いてないようですが？

等式がなりたつような　実数ｘは存在しないと思います。

一つ目の式＝ x^(1/2) です。

No.36973 - 2016/05/15(Sun) 12:45:19