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★ 固有ベクトル / ふなっし
ファイル文章(PDF文書をﾌﾟﾘﾝﾄｽｸﾘｰﾝしたもの)を添付しました。数検一級の一次のとある問題です。

この問題は単純に、ある行列の固有値を求める問題であり、普通のやり方でそれを求めることはできるのですが、?Aの問題の方で、別解というか(補足)にあるように、わざわざ一から固有方程式を解く必要はない、とありました。
この(補足)の部分の説明がよくわかりません。
(以下の式において、λ1は固有値λに対し添え字が1という意味、→x1は固有ベクトルです。表記でより良いものがあれば、直していただいて構いません。)
この補足説明で言っているのは、
AA*=λ1→x1,λ1→x1が?@の問題から言えて、よって
A*A=A*→x1,A*→x2
が成り立つ(?)ということでしょうか？いまいち意味がわかっていません。。
わからないことが伝わってるか不安ですが、より丁寧な解説を加えるとすればどのようになるでしょうか、よろしくお願いします。
No.36201 - 2016/03/18(Fri) 22:06:38
☆ Re: 固有ベクトル / ふなっし
ダメですか?
No.36225 - 2016/03/19(Sat) 16:30:15
☆ Re: 固有ベクトル / X
A(A*)↑x=λ↑x (A)
の両辺に左からA*をかけると
(A*)A{(A*)↑x}=λ{(A*)↑x}
よって
(A*)↑x=↑X
と置くと
(A*)A↑X=λ↑X (B)
(A)において
(λ,↑x)=(λ[1],↑x[1]),(λ[2],↑x[2])
∴(B)において
(λ,↑X)=(λ[1],(A*)↑x[1]),(λ[2],(A*)↑x[2])
となります。
No.36229 - 2016/03/19(Sat) 18:05:00
☆ Re: 固有ベクトル / ふなっし
ありがとうございます。
「A(A*)↑x=λ↑x (A)
の両辺に左からA*をかけると・・・」
とのコメントで悩みの種が解決しました!

出来ればもう一つ、今度はpdf(補足)後半部分に関して、
「そして残る一つの固有値は・・・」の部分で、
「A↑y=↑0なる三次元ベクトル↑yが存在する」とありますが、行列Aは非正方行列なのに固有ベクトルが定義されるのですか？
その記述の最後部分の「ベクトルは直交」云々の箇所は
教科書に記載があったのでわかりました。
↑yの話がよくわからないので、出来ればお願いしたいと思います。。
No.36233 - 2016/03/19(Sat) 22:04:30
☆ Re: 固有ベクトル / X
↑yがAの固有ベクトルである、という話ではありません。
飽くまで、単に
A↑y=↑0
となるような↑y(≠↑0)が(A*)Aの固有ベクトルである
という話です。

A↑y=↑0
の両辺に左からA*をかけると
{(A*)A}↑y=↑0
∴{(A*)A}↑y=0・↑y
なので↑yは(A*)Aの固有値0に対する固有ベクトルです。
No.36234 - 2016/03/19(Sat) 23:38:48
☆ Re: 固有ベクトル / ふなっし
ありがとうございます!
非常に丁寧でわかりやすい解説のおかげで、
99%理解しました!
最後に、、、「rankA=2であるから」
という説明は何の意味があるのでしょう?
No.36235 - 2016/03/20(Sun) 01:11:51
☆ Re: 固有ベクトル / X
線形代数学の教科書などで階数(rank)の項目を
参照し、付随する定理について調べてみましょう。
No.36240 - 2016/03/20(Sun) 14:53:49
☆ Re: 固有ベクトル / ふなっし
rankA=2であり、≠0だから、ということでしょうか??
定理を見ましたが、よくわかりません。。
No.36242 - 2016/03/20(Sun) 15:55:02
☆ Re: 固有ベクトル / X
A↑y=↑0を満たす↑y≠↑0が存在する
⇔Aを構成する列ベクトルは線形独立ではない
⇔Aは正則ではない
このことと調べている定理を考え合わせてみましょう。
No.36249 - 2016/03/20(Sun) 19:07:46
☆ Re: 固有ベクトル / ふなっし
考えてみます。
ご迷惑をおかけしました。
No.36254 - 2016/03/20(Sun) 21:53:53
★ 順列 / たゆゆ
男子4人、女子4人が1列に並ぶ。男女が交互に並ぶとき特定の男子Aと特定の女子aが隣り合うような並び方は何通りですか？という問題で解説に3！×3！×2×7=504とあるのですがなぜこうなるか教えてください。お願いします。
No.36196 - 2016/03/18(Fri) 18:39:44
☆ Re: 順列 / ヨッシー
残りの男子３人の並び方が３！通り
残りの女子３人の並び方が３！通り
これら６人を
男女男女男女　と並べるか　女男女男女男　と並べるかで２通り
この６人の両端を含めて７ヶ所の隙間にＡとａを
男女交互になるように入れると出来上がりで、その入れ方が７通り
です。　
No.36198 - 2016/03/18(Fri) 18:52:19
☆ Re: 順列 / たゆゆ
男女男女男女のときAaの入れ方が7通り、女男女男女男のときAaの入れ方が7通りではないんですか？
No.36200 - 2016/03/18(Fri) 19:29:28
☆ Re: 順列 / ヨッシー
７通りが２通りで　２×７　ですね。
No.36202 - 2016/03/18(Fri) 22:07:47
☆ Re: 順列 / たゆゆ
わかりました。ありがとうございました。
No.36208 - 2016/03/18(Fri) 23:33:11
★ (No Subject) / 濱さん
問題２０について質問です。

（１）「aについての条件」 を求める解答は以下のようでいいで すか

（２）「解を求めよ」の解答で気になったのですが、「a=b」と「ac=bc」が同値となるのは、「cが０でない」ときですよね。解答の３行目に「○１×a」とありますが、以下のようにすべきではないですか？

同値記号の使い方、記述答案での不備など、気になる点がございましたらご教授ください。
No.36194 - 2016/03/18(Fri) 16:41:58
☆ Re: / 濱さん
解答です。
No.36195 - 2016/03/18(Fri) 16:42:47
☆ Re: / 濱さん
問題です。
No.36207 - 2016/03/18(Fri) 23:12:02
☆ Re: / 水面に映る月
>「aについての条件」 を求める解答は以下のようでいいですか
良いと思います．ただ，どうして最初の条件が出てくるのか，その理由を加えておくほうが良いと思います．

>「a=b」と「ac=bc」が同値となるのは、「cが０でない」ときですよね
ええ，その通りです．

>解答の３行目に「○１×a」とありますが、以下のようにすべきではないですか？
なかなか鋭いと思います．確かに，濱さんの回答で正解です．ですが，実は模範解答のほうもこれで良いです．というのも，
(1)かつ(2)⇔[(1)*a-(2)*2]かつ(1)
だからです．

# a=0の時は(1)かつ(2)⇔[(1)*a-(2)*2]かつ(2)とはなりませんね．
# 「かつ(1)」だから良いのです．
No.36218 - 2016/03/19(Sat) 12:53:46
☆ Re: / 濱さん
お返事ありがとうございます。

申し訳ないのですが、
「 (1)かつ(2)⇔[(1)*a-(2)*2]かつ(1) だからです．
# a=0の時は(1)かつ(2)⇔[(1)*a-(2)*2]かつ(2)とはなりませんね．
# 「かつ(1)」だから良いのです． 」
の部分が分からないので、解説お願いしてもよろしいでしょうか？

すいません。
No.36223 - 2016/03/19(Sat) 15:48:30
☆ Re: / 水面に映る月
こちらこそ．分かりにくかったようですみません．不明な点があれば遠慮なく御質問下さい．

【確認事項】
模範解答の[3]では，「(3)から…このとき(1)から…」とありますね．つまり，(1)かつ(2)を解く代わりに，(3)かつ(1)を解いていることになります．では，「(1)かつ(2)⇔(3)かつ(1)なのか?」という話になりますね．

【(1)かつ(2)⇔(3)かつ(1)なのか?】
(1)かつ(2)⇒(3)かつ(1)は明らかですよね．
では，(3)かつ(1)⇒(1)かつ(2)なのか，もっとエッセンスを取り出すと，(3)かつ(1)⇒(2)なのかという話ですね．

(3)は[(1)*a-(2)*2]でしたから，{(1)*a-(3)}/2とすれば(2)が出てきますよね．つまり，(3)かつ(1)⇒(2)は真ですね．

以上から，(1)かつ(2)⇔[(1)*a-(2)*2]かつ(1)であることがわかりました．

# 一方で，同じように(3)と(2)から(1)を得ようと思うと，aが0か0でないかで
# 場合分けする必要があり，a=0のときは(3)と(2)から(1)を得ることはできませんね．
No.36224 - 2016/03/19(Sat) 16:14:13
☆ Re: / 濱さん
お返事遅れまして、申し訳ありません。

最後の確認なのですが、

「１かつ２⇒１かつ３」「１かつ３⇒１かつ２」真

「１かつ２⇒２かつ３」は真「２かつ３⇒１かつ２」は偽
（反例、a=o）

ということですね？

ちょっとした質問にもかかわらず、これまでに深い考察を加えていただきまして、ほんとうにありがとうございました。
No.36236 - 2016/03/20(Sun) 10:09:07
☆ Re: / 水面に映る月
>「１かつ２⇒１かつ３」「１かつ３⇒１かつ２」真
>「１かつ２⇒２かつ３」は真「２かつ３⇒１かつ２」は偽
>（反例、a=o）
> ということですね？

ええ，その通りです．

濱さんの疑問はなかなか鋭いものだと思いました．
納得できないことを安易に受け入れないで納得するまでよく考えることは大切なことだと思います．
これからもその姿勢を大事にされると良いかと思います．

#実は昔私も同じようなことを疑問に思ったことがありまして…．
#模範解答では省略されていたり，カッコ悪いから文字としては書かれていないような
#ところに実は理解のカギがあったりしますよね．
No.36237 - 2016/03/20(Sun) 10:31:54
★ (No Subject) / 濱さん
答えに至るまでのプロセスが解答と違っており、不安であるため投稿させていただきました。

記述答案での不備など、気になる点がございましたらご教授ください。
No.36190 - 2016/03/18(Fri) 13:26:54
☆ Re: / 濱さん
問題です。１７（１）
No.36191 - 2016/03/18(Fri) 13:28:09
☆ Re: / X
背理法を使うという方針は問題ないのですが
その解答では×です。
正しくは以下の通りです。

f(x)の次数が5以上であると仮定すると
(A)の左辺は「整式ではなくなり」、
((∵)xの分数式が混じります。)
(A)の右辺が「整式である」ことに矛盾します。
No.36197 - 2016/03/18(Fri) 18:45:52
☆ Re: / 濱さん
お返事ありがとうございます。

初歩的な質問で申し訳ないのですが、
「１／ｘはｘ＾（ー１）ということで、整式として扱われないのですか？」

また、私の答案では、分数式が混じるため、次数という言葉を使ってしまうと「分数式の次数ってなんやねん」ということになってしまうから、×ということですか？（そもそも、分数式に次数は定義されないのですか？）

よろしくお願いいたします。
No.36199 - 2016/03/18(Fri) 19:19:26
☆ Re: / X
＞＞初歩的〜扱われないのですか？」
ネットなどで整式の定義を調べてみましょう。

＞＞また、私の答案では、〜
分数式に次数は定義されていません。
No.36204 - 2016/03/18(Fri) 22:40:34
☆ Re: / 濱さん
ありがとうございます。

早速、調べてみます。
No.36206 - 2016/03/18(Fri) 23:10:51
★ (No Subject) / 濱さん
一般に次のことは成り立ちますか？

また、答案中でも使用して構いませんか？
No.36187 - 2016/03/18(Fri) 09:33:48
☆ Re: / 水面に映る月
成り立ちます．
【証明】
az+b=cz+dならば(a-c)z=d-b…(1)であって，a,b,c,dは実数であるから，a-c,d-bはともに実数．
a-cが0でないと仮定すれば，z=(d-b)/(a-c)となり，zが虚数(実数でない複素数)であることに矛盾．よって，a-c=0．従って(1)よりd-b=0． □

試験で使ってよいかどうかは教科書に書いてあるかどうかで決めるのが良いかと思いますが，それ以前に，御自身が納得されていないような事柄を使うべきではないと思います．
No.36188 - 2016/03/18(Fri) 11:28:35
☆ Re: / 濱さん
ありがとうございます。
No.36189 - 2016/03/18(Fri) 13:24:34
★ 空間図形の問題 / 中西学
空間図形が苦手で（２）の解き方がわかりません。解説宜しくお願いします。答え１３：２５です。
No.36184 - 2016/03/18(Fri) 07:18:36
☆ Re: 空間図形の問題 / ヨッシー
空間図形なのは (1) だけで (2) は１００％平面図形です。

ＡＭ＝３、ＡＤ＝２ は別途求めるとして、
角の二等分線の定理より、
　ＤＦ：ＦＯ＝ＡＤ：ＯＡ＝１：５
　ＭＥ：ＥＯ＝ＡＭ：ＯＡ＝３：１０
よって、△ＤＦＭを１とすると
　△ＡＤＦは２
　△ＯＦＭは５
　△ＯＦＥ＝(10/13)△ＯＦＭ　なので、△ＯＦＭは 50/13
よって、
　△ＡＤＦ：△ＯＦＥ＝２：50/13＝１３：２５
No.36185 - 2016/03/18(Fri) 09:14:35
★ 記述答案 / 濱さん
連続での投稿失礼します。

答えに至るまでのプロセスが解答と違っており、不安であるため投稿させていただきました。

同値記号の使い方、記述答案での不備など、気になる点がございましたらご教授ください。
No.36179 - 2016/03/17(Thu) 23:00:22
☆ Re: 記述答案 / 濱さん
作成答案です。
No.36180 - 2016/03/17(Thu) 23:01:19
☆ Re: 記述答案 / IT
基本的には問題ないと思いますが
・「（?@）P(x)が２次式のとき」などと書いた方がていねいだと思います。

・0次、１次　ではありえないことに　触れておいた方がいいかも知れませんね。
No.36181 - 2016/03/17(Thu) 23:22:30
☆ Re: 記述答案 / 濱さん
ご丁寧にありがとうございました。
No.36186 - 2016/03/18(Fri) 09:32:43
★ (No Subject) / 濱さん
解答と答えに至るまでのプロセスが違っており、不安であるため投稿させていただきました。

同値記号の使い方、記述答案での不備など、気になる点がございましたらご教授ください。
No.36171 - 2016/03/17(Thu) 18:26:14
☆ Re: / 濱さん
続きです。
No.36172 - 2016/03/17(Thu) 18:26:50
☆ Re: / X
4行目は

よって解と係数の関係のより、A,Bはtの二次方程式

とした方がよいでしょう。
その他の点については問題ありません。
No.36173 - 2016/03/17(Thu) 20:34:50
☆ Re: / 濱さん
わかりました。以後、気をつけたいと思います。

ありがとうございました。
No.36178 - 2016/03/17(Thu) 21:45:33
★ 行列 / あん
行列の問題です。
マクローリンの定理を用いることは分かるのですが?狽?偶数項と奇数項に分解する辺りで混乱してしまいました。
よろしくお願いします
No.36168 - 2016/03/17(Thu) 16:23:51
☆ Re: 行列 / ペンギン
素直に行列の積を計算するか、ケーリーハミルトンの定理から

A^2=-t^2E
となります。
ですので、A^(2k)=(-t^2)^k・E
A^(2k+1)=(-t^2)^k・A

これが奇数次と偶数次を分ける理由です。
No.36175 - 2016/03/17(Thu) 21:32:36
☆ Re: 行列 / ペンギン
あとは、Σ(-t^2)^k/k!=exp(-t^2)を用いればよいのではないでしょうか？
No.36176 - 2016/03/17(Thu) 21:35:34
☆ Re: 行列 / ペンギン
失礼しました。

Σ(-t^2)^k/(2k)!になるので、cos(t^2)ですね。
No.36177 - 2016/03/17(Thu) 21:41:43
☆ Re: 行列 / X
>>ペンギンさんへ
Σ{(-1)^k}{t^(2k)}/(2k)!
なのでcostでよいのでは？
No.36183 - 2016/03/18(Fri) 05:27:04
☆ Re: 行列 / あん
お二人共ありがとうございました
No.36238 - 2016/03/20(Sun) 12:10:34
★ 二次方程式 / …
１)(2)のア~ツまで教えていただきたいです。
ア:3、イウ:14であっているでしょうか？
その先の解き方がわかりません。
No.36163 - 2016/03/16(Wed) 21:46:03
☆ Re: 二次方程式 / …
続きの画像です。
よろしくお願いします。
No.36164 - 2016/03/16(Wed) 21:47:15
☆ Re: 二次方程式 / ヨッシー
(1)
D/4＝(√2a)^2−(a^2＋3a−14)　・・・アイウ
　＝(a-3/2)^2＋47/4＞０　　・・・エ
○１の解をｘ＝ｍ、ｎとすると、解と係数の関係より
　ｍ＋ｎ＝2√2ａ＜０
　ｍｎ＝ａ^2＋3a−14＞０
ａについての２次方程式 ａ^2＋3a−14＝０ の解をａ＝ｓ、ｔ (ｓ＜ｔ）とすると、
　ａ＜０　かつ　（ａ＜ｓ または ａ＞ｔ）
ｓ＜０＜ｔ より　ａ＜ｓ　・・・オカキクケコ

(2)
f(x)＝ｘ^2−2√2ａｘ＋ａ^2＋3a−14 とおきます。
f(√2)＜０　であれば良いので、
　f(√2)＝ａ^2−ａ−12＜０
これを解いて　・・・　サシスセソ

移項して　α＋β＝2√2　
解と係数の関係より
　2√2ａ＝2√2　・・・タ
このとき、
　ｘ^2−2√2ｘ−10＝０
を解いて
　ｘ＝√2±2√3　・・・チツ

なお、・・・アイウ　などは、このまま解き進めれば、アイウ などが明らかになる
という位置につけています。

ちなみに、ア＝３、イウ＝１４ は合っています。
No.36167 - 2016/03/17(Thu) 09:16:24
☆ Re: 二次方程式 / …
すみません。質問なのですが、エの部分で(a-3/2)^2+47/4までは分かったのですが、(a-3/2)^2+47/4>0になるのかがわかりません。
教えていただけると、ありがたいです。
No.36174 - 2016/03/17(Thu) 20:48:24
☆ Re: 二次方程式 / ヨッシー
(a-3/2)^2 の部分は２乗なので０以上です。
それに 47/4 を足しているので、＞０ です。
No.36182 - 2016/03/18(Fri) 00:17:09
★ 解の配置問題 / ほそみ
解の配置問題の対象学年は高１でしょうか？

(＊)y=x^2-2ax+a+6が2つの負の解を持つ為のaの条件を求めよ。
という問題です。
答えは、-6<a<-2と定数分離等の方法で求まっています。

ここで、(＊)の頂点を媒介変数表示し、aを消去すると、y=-a^2+a+6という頂点の軌跡が求まります。
この軌跡のグラフをもとにこの解の配置問題を解くことはできますか？
a<-2というのはわかったのですが、-6<aのほうの範囲がどっから出てくるのかがわかりません。
No.36162 - 2016/03/16(Wed) 21:27:25
☆ Re: 解の配置問題 / ヨッシー
頂点のｘ座標も求めると、
　ｘ＝ａ、ｙ＝−ａ^2＋ａ＋６
ですが、頂点のｘ座標は軸ですし、ｙ座標は判別式の−１倍です。
ですから、頂点が第３象限にあることから
　ａ＜０　かつ　−ａ^2＋ａ＋６＜０
あとはｘ＝０のときのｙ切片
　ｙ＝ａ＋６＞０
とから、−６＜ａ＜−２ になるわけですが、
結局、軸＜０、判別式＞０ を解いているのと同じで、
頂点から求めたといえばそうですが、本質的には
軸と判別式から求めたのと同じです。
No.36166 - 2016/03/16(Wed) 22:24:18
★ 円周角の定理の利用 / ポップコーン
xの角度を求める問題です。

答えは６８°と書いてありましたが、

なぜそのようになるかわかりません！

なるべくわかりやすい解説をしてもらえると嬉しいです。
No.36161 - 2016/03/16(Wed) 20:16:15
☆ Re: 円周角の定理の利用 / ヨッシー
まず、円に内接する四角形の、向かい合った角の和は
180°であるということはご存知でしょうか？

さらに言うと、ｘ＝68°ではありません。62°です。
No.36165 - 2016/03/16(Wed) 22:10:11
☆ Re: 円周角の定理の利用 / ポップコーン
円に内接する四角形の、向かい合った角の和は１８０°であることはご存知でしょうか→知りません！

なぜ１８０°になるんですか？
No.36169 - 2016/03/17(Thu) 16:24:54
☆ Re: 円周角の定理の利用 / ヨッシー

図より明らかです。
No.36170 - 2016/03/17(Thu) 16:38:47
★ 極限 / 北風
平均値の定理を使うそうですが、この極限はどうなるのでしょうか？

lim(x→0)(sinx-sinx^2)/(x-x^2)

　f(x)= sinx とすると　f'(x)=cosx となり上の式＝cosx が存在する、というところから先なんですが。
　どなたか、お願いします。
No.36157 - 2016/03/16(Wed) 17:44:55
☆ Re: 極限 / 水面に映る月
ちゃんと御自分の中で理解しているのなら私がとやかく言うことではないですが，言葉は正確に使う努力をしましょう．あまりにも言葉をいい加減に使っていると，理解できない事柄がでてくると思います．

>f(x)= sinx とすると　f'(x)=cosx となり上の式＝cosx が存在する

正確には，f(x)=sinxとするとf'(x)=cosxとなり，(sinx-sinx^2)/(x-x^2)=cos(c)を満たすような実数cがxとx^2の間に存在する，ですね．

x→0のときx,x^2はともに0に収束しますから，いわゆる"はさみうちの原理"からc→0です．

したがって，求める極限はlim[c->0]cos(c)に等しいことがわかりますね．

# cはxに依存することを明確に認識してください．
No.36158 - 2016/03/16(Wed) 19:05:52
☆ Re: 極限 / 北風
　なるほど。厳密さに欠ける表現でした。これは、はさみうちの原理ですか。よく分かりました。お手数をおかけしました。ありがとうございます！
No.36159 - 2016/03/16(Wed) 19:19:06
★ 明後日合格者テストです！ / あや
この問題、特に問３，４の考え方、答えが知りたいです！！

助けを待っております。
No.36154 - 2016/03/15(Tue) 21:08:37
☆ Re: 明後日合格者テストです！ / ヨッシー
合格者テストとは？

長さの単位cmは省略します。
(1)
ＡＰ＋ＰＱ＋ＱＨが最短となるのは、展開図において、
ＡＨが直線となるときで、

図より、ＢＰ＝２、ＦＱ＝４
よって、△ＡＢＰにおける三平方の定理より
　ＡＰ＝2√10
(2)

ＡＰ//ＲＱ より ＥＲ＝２
△ＡＦＱは、∠ＡＦＱ＝90°の直角三角形であり、
ＡＦ＝6√2、ＦＱ＝４　より　ＡＱ＝2√22

一方、四角形ＡＰＱＲはひし形であり、各部の長さは以下の通り。

よって、ＰＲ＝6√2 が得られ、
　ひし形ＡＰＱＲ＝12√11
となります。
(3)

図のように、Ｇを通って、ＡＰＱＲに平行な平面で立方体を切ると
六面体ＡＢＰＥＦＱＲと同じ形の立体がもう一つ出来ます。
これらをくっつけると
　４×６×６
の直方体が出来るので、求める体積は
　４×６×６÷２＝７２
(4)
ＤＦ＝6√3 は別途求めておきます。

図のように平面ＡＰＱＲを等間隔に並べると、
ＤＦは５等分され、
　ＤＳ＝(3/5)ＤＦ＝(18/5)√3
No.36155 - 2016/03/15(Tue) 22:52:46
☆ Re: 明後日合格者テストです！ / あや
合格者テスト…いわゆるクラス分けテストです。今日合格発表なので。

ヨッシーさん、ありがとうございました。
とても分かりやすかったです。

これからもがんばるぞー！！
No.36156 - 2016/03/16(Wed) 09:38:02
★ 三角関数早急に知りたいです / ぺけもん
(1) sinx＝sinyを満たすx,yを考えよう。
0≦x＜y＜πのとき、x,yは
x+y＝ア
を満たす。
また、x≠y+2π×n(nは整数)のとき、
x,yは
x+y＝ア+イ×m(mは整数)
を満たす。
(2) √3sinθ−cosθ＝4sinθcosθを満たす角θ(0≦θ＜2π)を求めよう。いま
√3sinθ−cosθ＝ウsin(θ−π/エ)
と変形できる。よって、
√3sinθ−cosθ＝4sinθcosθを満たす角θは4個あり、小さい方から
θ＝オ/カキπ、クケ/コサπ、
シス/セソπ、タチ/ツπ
である。
ア〜ツに入る数字が知りたいです！
No.36150 - 2016/03/15(Tue) 00:56:07
☆ Re: 三角関数早急に知りたいです / X
(1)
sinx=siny
より
sinx-siny=0
2cos{(x+y)/2}sin{(x-y)/2}=0 (A)
(i)0≦x＜y＜πのとき
-π/2＜(x-y)/2＜0
よりsin{(x-y)/2}≠0
∴(A)より
cos{(x+y)/2}=0
又
0＜(x+y)/2＜π
となるので
(x+y)/2=π/2
∴x+y=π
(ii)x≠y+2π×n(nは整数)のとき、
(x-y)/2≠π×n
だから
sin{(x-y)/2}≠0
∴(A)より
cos{(x+y)/2}=0
よって
(x+y)/2=π/2+mπ
(mは整数)
となるので
x+y=π+2π×m
No.36151 - 2016/03/15(Tue) 04:32:21
☆ Re: 三角関数早急に知りたいです / X
(2)
√3sinθ-cosθ=4sinθcosθ
において、三角関数の合成により
左辺を変形すると
2sin(θ-π/6)=4sinθcosθ
sin(θ-π/6)=2sinθcosθ
sin(θ-π/6)=sin2θ
sin(θ-π/6)-sin2θ=0
2cos{(3/2)θ-π/12}sin(-θ/2-π/12)=0
cos{(3/2)θ-π/12}sin(θ/2+π/12)=0 (B)
ここで
0≦θ＜2π
により
-π/12≦(3/2)θ-π/12＜3π-π/12
π/12≦θ/2+π/12＜π+π/12
∴(B)より
(3/2)θ-π/12=π/2,3π/2,5π/2
θ/2+π/12=π
以上から
θ=7π/18,19π/18,31π/18,11π/6
No.36152 - 2016/03/15(Tue) 04:43:19
★ 微分の計算 / ふなっし
z=-1±√(3-(x+1)^2+(y+1)^2)
において∂^2z/∂x^2をzxx(zに対してxxは添え字),上のzの式における√内の式をA(=(z+1)^2)とすると、

zx=±｛-(x+1)/A^2｝より
zxx=±[｛-A^(1/2)+(x+1)^2×A^(-1/2)｝/A]
であり、またzyyはzxxにおいてxをyに変えたものであるからその和をただちに計算すると
zxx+zyy=±[｛-2A^1/2+｛(x+1)^2+(y+1)^2｝×A^(-1/2)｝/A]
という計算は合ってるでしょうか。

よろしくお願いします。
意味不明な点があったら返信お願いします。
No.36149 - 2016/03/14(Mon) 21:07:53
☆ Re: 微分の計算 / ヨッシー
ｚx の式は分母が A^2 ではなく A^(1/2) です。
ｚxx の式は符号が違います。
>zyyはzxxにおいてxをyに変えたものであるから
も誤りで、ｚは、ｘ，ｙの対称式でないので、そうは言えませんし、
実際計算しても違います。
No.36153 - 2016/03/15(Tue) 10:34:00
☆ Re: 微分の計算 / ふなっし
ありがとうございます。
検討してみます。
No.36193 - 2016/03/18(Fri) 16:28:47
★ 三角関数 / 北風
-2cos2θ+4sinθ+4=kという方程式において 2<k<10 のとき、全ての解の和は何か。(0≦θ≦2π)

　この問題で、式変形をしたら
y= 4(sinθ)^2+4sinθ+2 となったので、-1≦sinθ≦1 の範囲でグラフを書いたら(sinθ=tとおいて）1点で交わるので２つのθがあることまでは分かりました。
　しかし、解はkを含むとθを数値では出せないので、和となると分からなくなりました。
　どなたか、ご指導お願います。
No.36146 - 2016/03/14(Mon) 17:47:31
☆ Re: 三角関数 / ペンギン
解が１つしかないのであれば、
x=sinθとなるθは、0〜2πの間に
θとπ-θしかありません。よって、和はπとなります。
No.36147 - 2016/03/14(Mon) 18:03:04
☆ Re: 三角関数 / 北風
あっ、そうか。お手数をおかけしました。ありがとうございます！！
No.36148 - 2016/03/14(Mon) 18:12:35
★ (No Subject) / …
画像の(3)がわかりません。
それぞれの選択肢が何条件なのかも教えていただきたいです。
また、反例とかあったら教えてください。
よろしくお願いします。
No.36136 - 2016/03/13(Sun) 12:27:50
☆ Re: / ヨッシー
この問題を解くには、
　|a+b|＝|a|＋|b|
を満たす a, b とは、何か。言葉で説明するとか、
領域をグラフで示すとか出来ないといけませんが、
それは出来ますか？
No.36138 - 2016/03/13(Sun) 22:23:49
☆ Re: / …
すみません。できないです。
全然わからないので教えていただけるとありがたいです。
No.36139 - 2016/03/13(Sun) 22:32:23
☆ Re: / ヨッシー
では、代表的な点（組合せ）として
　(a,b)=(1,1), (1,-1), (-1,-1), (-1,1)
の４点について、ｑが成り立つか調べてください。
そしてそこから予想できる結論は？
No.36140 - 2016/03/13(Sun) 22:41:39
☆ Re: / …
あっているかはわからないのですが、(a、b)＝(1、1)と(-1、-1)のときqが成り立つ。
結論はa、bがともに0以上のとき、またはa、bがともに0以下のときに条件qは成り立つでしょうか？？
No.36141 - 2016/03/13(Sun) 22:56:53
☆ Re: / ヨッシー
そのように予測したら、今度は一般的な証明です。
a、bがともに0以上のとき
　|a+b|＝・・・、|a|＝・・・、|b|＝・・・
よって、|a+b|＝|a|＋|b| が成り立つ。
のような感じです。

それが出来たら、グラフで領域を描きます。
この場合は、第１象限と第３象限および座標軸上となります。
これを領域Ｘとします。
(0)〜(3)が、
１．領域Ｘ以外の領域を指すなら、必要条件でも十分条件でもない。
２．領域Ｘと全く同じ領域だったら、必要十分条件。
３．領域Ｘに含まれるなら十分条件
４．領域Ｘを含むなら必要条件
となります。
No.36142 - 2016/03/13(Sun) 23:11:18
☆ Re: / …
０が1番で、?@が4番で、?Aが2番で、?Bが3番でしょうか？？
No.36143 - 2016/03/13(Sun) 23:34:33
☆ Re: / ヨッシー
そうです。
（厳密に言えば、?Aは３でも４でもあります）
No.36144 - 2016/03/14(Mon) 06:00:53
☆ Re: / …
ありがとうございます！
No.36145 - 2016/03/14(Mon) 07:21:16
★ 値について(問題添付) / ココア
先ほど質問させていただいたものです。
問題添付します。

よろしくお願いします。
No.36131 - 2016/03/13(Sun) 01:29:55
★ 値について / ココア
中学2年生です。
数学の定期テストで、図形の値を求める問題が出ました。
大きさではなく、x、yの値を求めなさいと書いてあったので単位をつけずに回答したところ不正解になりました。
先生に質問したところ、問題の図のx、yに°や?pが記入されていない場合は単位をつけて答えないといけないとのことでしたが、塾の先生は必要ないといいます。
本当はどうなのか?困っています。教えて下さい。
No.36130 - 2016/03/13(Sun) 01:27:21
☆ Re: 値について / らすかる
私は単位は必要だと思います。
もし私が採点者なら、単位がなかったら大減点します。
No.36132 - 2016/03/13(Sun) 01:46:08
☆ Re: 値について / ヨッシー
単位は必要です。
特に角度の場合は単位「°」を付けないと
別の単位と見なされます（詳細は高校で習います）。
No.36134 - 2016/03/13(Sun) 07:16:10
☆ Re: 値について / ココア
やはり単位は必要なんですね。
ありがとうございました。
No.36137 - 2016/03/13(Sun) 13:40:28
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