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★ (No Subject) / 嵐
また質問してすみません。
画像の問題の答えは0ですか？
違っていたら解答お願いします。
No.36829 - 2016/05/07(Sat) 19:32:54
☆ Re: / X
0で正解です。
No.36831 - 2016/05/07(Sat) 19:41:52
★ (No Subject) / 嵐
画像の問題の答えはそれぞれ
(1)∞
(2)1
(3)1/3
(4)-3/2
(5)-1/2
で合ってますか？お願いします。
No.36828 - 2016/05/07(Sat) 19:30:07
☆ Re: / X
(1)
間違っています。
分母分子を因数分解すると、x-2で約分できます。
(2)(3)(4)
正解です。
(5)
間違っています。
こちらの計算では-1になりました。
No.36830 - 2016/05/07(Sat) 19:40:50
☆ Re: / 嵐
(1)は3/4になりますか？
違っていたら解答お願いします。
No.36834 - 2016/05/07(Sat) 21:09:47
☆ Re: / X
それで正解です。
No.36838 - 2016/05/07(Sat) 22:26:41
★ 商の高階導関数を教えてください。 / Alisa
積の高階導関数は
d^n/dx^n f(x)g(x)=Σ_{k=0..n}nCk f^(n-k)(x)g^{k}(x)
ですが
商の高階導関数
d^n/dx^n f(x)/g(x)はどのように書けるのでしょうか?
No.36823 - 2016/05/07(Sat) 07:36:18
★ 図形と方程式 / なな
図形と方程式の問題です。k=-m/a√(m^2+1) になってしまい、mは変数であるから、kが一定にならなくなってしまいました。

よろしくお願いします。
No.36819 - 2016/05/06(Fri) 23:34:08
☆ Re: 図形と方程式 / IT
a＞0のとき　α＜0　なので　√(α^2)=　−α　です。

ここを直せば、ななさんの解法で出来ます。
α-βが出てきますが、解の公式から直接計算もできます。

答えの目星をつけるには、
a＞0で
　m=0(直線Lが水平)のとき　ＡＰ＝ＡＱ＝√a, k=(1/√a)+(1/√a)=2/√a
m→+∞(直線Lが垂直にどんどん近づく)と ＡＰ→a,ＡＱ→∞　なので k→1/a
　2/√a = 1/a より　a=1/4 ではないかと考えられます。
No.36821 - 2016/05/07(Sat) 01:13:48
☆ Re: 図形と方程式 / なな
ありがとうございます。
(?@)a>0と(?A)a<0のときで場合分けして考えてみましたが、k=の式にmが含まれるため結局定数になりません。
No.36824 - 2016/05/07(Sat) 08:11:36
☆ Re: 図形と方程式 / IT
k=の式 はどうなりましたか？

k=分子／分母　＝　定数となればいいので
分子が 定数×√(m^2+1)　の形になれば√(m^2+1) が消えますから
a＞0の場合は、aを適当な値にするとk＝定数に出来ると思います。
No.36825 - 2016/05/07(Sat) 08:32:05
☆ Re: 図形と方程式 / なな
返信遅くなりすみません。なるほど！出来ました！ありがとうございましたm(_ _)m
No.36856 - 2016/05/08(Sun) 22:46:10
★ (No Subject) / mt
先程添付されてませんでした。
7.8の式を教えてください。
No.36818 - 2016/05/06(Fri) 15:55:50
☆ Re: / mo
条件がわからないので、勝手な解釈ですが

以下のようなものはいかがでしょうか？

?F
y＝(4/81)x^4【−3≦x≦3】
または
y＝(4/27)|x^3|【−3≦x≦3】

?G
y＝(|x|−2)^2＋3【−3≦x≦3】
No.36820 - 2016/05/07(Sat) 00:50:02
☆ Re: / mt
moさんありがとうございます。
⑺の解説お願いしたいのですが。
よろしくお願いします。
No.36826 - 2016/05/07(Sat) 12:21:29
☆ Re: / らすかる
(7)は
x＜0のときy≒0、x=1のときy=1/4、x=2のときy=1、x=3のときy=4ぐらいなので
y=4^(x-2)　（-2≦x≦3）
で良いかと思います。
(9)はそれをy軸に関して対称移動したものなので
y=4^(-x-2)　（-3≦x≦2）ですね。
No.36827 - 2016/05/07(Sat) 13:25:40
☆ Re: / mt
ありがとうございました。
No.36855 - 2016/05/08(Sun) 22:03:12
★ (No Subject) / mt
グラフから式を求める問題で7.8がわかりません。
よろしくお願いします。
No.36817 - 2016/05/06(Fri) 15:52:24
★ 証明 / Mic
自然数に関する証明の問題です。
(1)から詰まってしまいました。
よろしくお願いします
No.36814 - 2016/05/05(Thu) 17:39:46
☆ Re: 証明 / IT
>(1)から詰まってしまいました。
y=1/x のグラフを描いて
定積分を考えて、面積比較をすれば　できると思います。

(2)　(1) の左側の不等式をn=1からn まで書いて　辺辺加える。

(3) a[n+1]-a[n] を(1)の右側の不等式を使って評価する。
No.36815 - 2016/05/05(Thu) 17:58:11
☆ Re: 証明 / Mic
ありがとうございます。
解けました！
No.36816 - 2016/05/06(Fri) 01:25:22
★ 問題集の問題 / sat
数学(三角関数)の問題です。(高2)
次の方程式および不等式を解け。ただし、0≦x＜2πとする

sin2x≧√3 cosx

という問題です。解説は画像のとおりですが、何故「または,cosx≦0 2sinx-√3≦0」となるかが分かりません
両辺に負の数をかけると不等号は逆になることから
cosx ≧ 0は-cosx≦0
2sinx-√3 ≧ 0は -2sinx+√3≦0
となると思ったのですが、何故不等号だけが反転できるのでしょうか？
No.36811 - 2016/05/05(Thu) 14:27:29
☆ Re: 問題集の問題 / IT
シンプルな問題を考えてみてください
実数ａ,ｂ について
ａｂ≧0　⇔　(ａ≧0かつｂ≧0) または(ａ≦0かつｂ≦0)
です。
No.36812 - 2016/05/05(Thu) 15:17:41
☆ Re: 問題集の問題 / sat
なるほど！理解できました
ありがとうございます
No.36813 - 2016/05/05(Thu) 15:41:40
★ 2005年北大入試問題 / ＭＲ
四面体ABCDにおいて、辺ABと辺CDが垂直ならば、頂点Aから平面BCDへ下ろした垂線と、頂点Bから平面CDAへ下ろした垂線は交わることを示せ。

辺ABと辺CDはねじれの位置にあり交わりませんが、これが垂直とはどういう意味でしょうか。定義を教えて下さい。
No.36806 - 2016/05/05(Thu) 03:01:52
☆ Re: 2005年北大入試問題 / ヨッシー
いろんな表現があり、混乱の元ですので、
教科書（たぶん高２）の「２直線のなす角」の定義を見直してください。

直感的には、２直線のうちの片方、または両方を平行に移動して
同一平面で交わるようにしたときに直交することです。
No.36807 - 2016/05/05(Thu) 06:25:47
☆ Re: 2005年北大入試問題 / ＭＲ
なるほど、そういう意味でしたか。
そうしますと、

ABをA'B'に平行移動してCDとEで交わり、A'B'⊥CDとなったとする。
EからABへ下ろした垂線を、EFとする。
FからCDへ下ろした垂線を、FGとする。
A'B'をEGに沿ってEからGまで平行移動した線分をA"B"とれば、A"B"⊥CDである。
A"B"は平面ABGの上にあるから、平面ABGとCDは直交する。
平面ABGと平面BCDは直交するので、Aから平面BCDに下ろした垂線AHは、平面ABGの上にある。
同じように、Bから平面CDAに下ろした垂線BIは、平面ABGの上にある。
AHとBIは同じ平面ABGの上にあり、平行でないので、一点で交わる。

みたいな感じで大丈夫でしょうか？
No.36810 - 2016/05/05(Thu) 10:34:57
★ (No Subject) / 東進生
これはどのようにとけば良いですか？
(2)です
No.36804 - 2016/05/04(Wed) 16:42:58
☆ Re: / IT
50円硬貨と100円硬貨を使って払える金額は０円も含めて　○通り
10円硬貨だけを使って払える金額は０円も含めて　△通り

よって支払える金額は　○×△ - １　通り。
（０円は除く）
No.36805 - 2016/05/04(Wed) 17:17:58
★ (No Subject) / カルマ
う がわかりません
No.36802 - 2016/05/04(Wed) 12:13:20
☆ Re: / ヨッシー
う　ではなく　ウ　ですね。

イで答えた数に３０を次々に足していくとＡ∩Ｂの要素を漏れなく
見つけることが出来ます。
そのうち３桁であるものの個数を求めてアから引いたものがウです。
No.36808 - 2016/05/05(Thu) 06:29:42
★ (No Subject) / 太陽
19です
これはどのようにすれば良いですか？
No.36799 - 2016/05/04(Wed) 10:30:32
☆ Re: / IT
「勝負の分かれ方」という表現があいまいですが

決着がつくのは３、４、５回　めのいずれかです。
それぞれについてＡが３回先に勝つ場合、何回目にＡが勝つかを考えます。Ｂが勝つ場合も同様ですから２倍します。
No.36801 - 2016/05/04(Wed) 11:42:05
★ 場合の数？ / タキシード仮面
北海道教育大学教育学部［旭川校］推薦入試の口頭試問で

「正六角形の中に正三角形を６個作り、１辺に７個の碁石を置き、総数を求める式を黒板に書け。」

という問題なのですが、何を意味しているのか分かりません…。
どのように考え、答えればよいのでしょうか？
よろしくお願い申し上げます。
No.36797 - 2016/05/04(Wed) 08:48:28
☆ Re: 場合の数？ / IT
問題文があいまいですが、正六角形ＡＢＣＤＥＦの中心をＯとして各頂点とＯを結ぶと、正三角形が６つ出来ます。

辺は全部で１２個あるので、「碁石の総数」は、最大で１２×７個ですが、複数の辺の共通点（中心・正六角形の各頂点に）のどこに碁石を置くかで異なりますね。

６個の正三角形の作り方も、いろいろありますが、どうでしょうか？

問題文が正しければ、場合の数の問題ではないと思います。
No.36800 - 2016/05/04(Wed) 11:37:43
☆ Re: 場合の数？ / IT
予備校の過去問情報では、書いておられるとおりの設問になっていますね。

・受験生からの聞き取り調査によるので、条件があいまいになっているか、数学の先生を養成するコースですから、わざとあいまいな設問にして　多様なケースが想定できるか、必要な条件を確認できるかを試しているかのどちらかでしょうか。
No.36803 - 2016/05/04(Wed) 12:38:49
★ (No Subject) / ピーチ
3つのサイコロを使う。出る目の積が20になるになる場合は？
という問題なんですけど

これって8個じゃないんですか？
答えが9なんですけど、何か見落としてますか？
No.36794 - 2016/05/04(Wed) 01:47:36
☆ Re: / IT
> これって8個じゃないんですか？
> 答えが9なんですけど、何か見落としてますか？
9個です。
何を見落としておられるかは、8個の内容を書かれないと分りません。
No.36795 - 2016/05/04(Wed) 03:33:47
★ 平面幾何 / ＭＲ
問題：△ABCの辺BCの中点をMとする。∠BAM+∠ACBが直角であるとき、△ABCはどのような形であるか。

正弦定理等を用い、直角二等辺三角形であることが分かりましたが、これを、三角関数等用いずに初等幾何で解くことは可能でしょうか。
No.36791 - 2016/05/03(Tue) 21:25:58
☆ Re: 平面幾何 / ヨッシー
図のように△ＡＢＣの外接円を描き、ＡＭの延長と円との交点を
Ｄとします。

すると∠ＡＣＤ＝90°であり、ＡＤは直径となります。
ＢＣの中点Ｍを通る直線が円の直径となるには、
ＡＭがＢＣの垂直二等分線の場合：ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形
ＢＣが直径である場合:∠Ａ＝90°の直角三角形
の場合となります。
No.36792 - 2016/05/03(Tue) 22:03:30
☆ Re: 平面幾何 / ＭＲ
Ｍを通る直線が円の直径となるのが、ＡＭがＢＣの垂直二等分線の場合か、ＢＣが直径である場合となるのは、どうしてでしょう。
No.36793 - 2016/05/04(Wed) 00:16:35
☆ Re: 平面幾何 / ヨッシー
適当に円を描いて、そこに弦ＢＣと、その中点Ｍを取ります。
Ｍを通るＢＣ以外の直線が円の直径となる（円の中心を通る）ためには、
ＢＣの垂直二等分線を引くか、特別な場合として、ＢＣが直径のとき
ＢＣ以外の任意の直線を引くと、Ｍを通る直径となります。
No.36796 - 2016/05/04(Wed) 06:31:14
☆ Re: 平面幾何 / MR
なるほどです。
ありがとうございました。
No.36798 - 2016/05/04(Wed) 10:07:49
★ (No Subject) / たろー
説明お願いします
7です
No.36784 - 2016/05/03(Tue) 11:37:21
☆ Re: / ヨッシー

こんなふうに、内訳を変えてみて、
(1)少なくとも一方（白以外の部分）の最大・最小
(2)両方合格（赤と青の網目の部分）の最大・最小
を考えます。
No.36785 - 2016/05/03(Tue) 12:32:18
☆ Re: / たろー
有難うございます。
No.36787 - 2016/05/03(Tue) 17:00:12
☆ Re: / ヨッシー

こんなふうに、内訳を変えてみて、
(1)少なくとも一方（白以外の部分）の最大・最小
(2)両方合格（赤と青の網目の部分）の最大・最小
を考えます。
No.36785 - 2016/05/03(Tue) 12:32:18
☆ Re: / たろー
有難うございます。
No.36787 - 2016/05/03(Tue) 17:00:12
★ (No Subject) / たろー
説明お願いします
7です
No.36784 - 2016/05/03(Tue) 11:37:21
☆ Re: / ヨッシー

こんなふうに、内訳を変えてみて、
(1)少なくとも一方（白以外の部分）の最大・最小
(2)両方合格（赤と青の網目の部分）の最大・最小
を考えます。
No.36785 - 2016/05/03(Tue) 12:32:18
☆ Re: / たろー
有難うございます。
No.36787 - 2016/05/03(Tue) 17:00:12
☆ Re: / ヨッシー

こんなふうに、内訳を変えてみて、
(1)少なくとも一方（白以外の部分）の最大・最小
(2)両方合格（赤と青の網目の部分）の最大・最小
を考えます。
No.36785 - 2016/05/03(Tue) 12:32:18
☆ Re: / たろー
有難うございます。
No.36787 - 2016/05/03(Tue) 17:00:12
★ 級数 / あん
証明と無限級数の発散を示す問題ですが
(1)から分かりませんでした。
解説していただけると嬉しいです。
No.36778 - 2016/05/02(Mon) 11:30:39
☆ Re: 級数 / X
(1)
問題文に間違いがあります。
n≧2
という条件が更につきますね。
で、証明ですが
(左辺)=Σ[l=1〜2^(n-1)]1/{2^(n-1)+l}
＞Σ[l=1〜2^(n-1)]1/{2^(n-1)+2^(n-1)}
={2^(n-1)}/{2^(n-1)+2^(n-1)}=1/2=(右辺)

(2)
(1)の結果より
Σ[k=2〜m]Σ[l=1〜2^(k-1)]1/{2^(k-1)+l}＞Σ[k=2〜m]1/2
これより
Σ[k=2〜2^m]1/k＞(1/2)(m-1)
Σ[k=1〜2^m]1/k＞(1/2)(m-1)+1=(1/2)(m+1)
よって
n≧2^m (A)
なる自然数nに対し
Σ[k=1〜n]1/k＞(1/2)(m+1) (B)
ここでm→∞とすると
((A)の右辺)→∞
((B)の右辺)→∞
よって
lim[n→∞]Σ[k=1〜n]1/k=∞
となるので
Σ[n=1〜∞]1/n=∞
No.36779 - 2016/05/02(Mon) 14:48:22
☆ Re: 級数 / あん
解説ありがとうございました
No.36781 - 2016/05/02(Mon) 20:30:15
★ 三次方程式の解の循環 / あ
方程式x^3+x^2-2x-1=0について、一つの解をαとするとき、α、
α^2-2、(α^2- 2)^2-2は異なる３つの解を与えることを示せ。

という問題なのですが、解の二乗して2を引けばそれも解となることを示して、重複を調べていたのですが、(α^2- 2)^2-2≠αだけがうまく示せないです。 教えてください。
No.36775 - 2016/05/02(Mon) 09:04:13
☆ Re: 三次方程式の解の循環 / X
まずαが問題の方程式の解であることから
α^3+α^2-2α-1=0 (A)
さて
(α^2- 2)^2-2=α (B)
を仮定すると、
α^4-4α^2-α+2=0
これより
(α^3+α^2-2α-1)(α-1)+α^2-4α+1=0
∴(A)より
α^2-4α+1=0 (C)
一方(A)より
(α^2-4α+1)(α-5)+17α-6=0
∴(C)より
17α-6=0
となるので
α=6/17
これは(C)の解ではありませんので矛盾します。
No.36776 - 2016/05/02(Mon) 09:29:46
☆ Re: 三次方程式の解の循環 / あ
有り難うございます。
あともう一つ質問があるのですが、この問題の場合、与えられた方程式をf(x)=0とするとf(α^2-2)=f(α)(α^3-α^2-2α+1)=0と割り切れるのですが、他の、解が循環する三次方程式でもこのようになるのですか？ またどうして割り切れるのですか？
No.36777 - 2016/05/02(Mon) 11:10:16
★ ベクトル空間 / Mic
線形代数のベクトル空間の問題です。
よろしくお願いします
No.36770 - 2016/05/01(Sun) 15:17:49
☆ Re: ベクトル空間 / IT
L={(x,(3/2)x+1/2,2x+1)|x∈R} になります。
・これは、２点(0,1/2,1),(1,2,3) を通る直線です。

・また、ベクトル空間は必ず(0,0,0) を含みます。

以上からVが求められると思います。
No.36771 - 2016/05/01(Sun) 17:31:38
☆ Re: ベクトル空間 / Mic
ありがとうございます
基底はt(2,3,4)となりましたが合っているでしょうか
No.36772 - 2016/05/01(Sun) 23:55:32
☆ Re: ベクトル空間 / IT
> 基底はt(2,3,4)となりましたが合っているでしょうか
間違っていると思います。
「基底はt(2,3,4)」とは、どういう意味ですか？tは何ですか？
基底の意味をお使いのテキストで確認されることをお勧めします。
No.36773 - 2016/05/02(Mon) 01:34:49
☆ Re: ベクトル空間 / Mic
すいません
tはただ転置を表したかっただけでした
No.36774 - 2016/05/02(Mon) 01:42:33
☆ Re: ベクトル空間 / IT
> tはただ転置を表したかっただけでした

転置してはいけないと思いますが？
どういう考えで基底は(2,3,4)を出されましたか？

お使いのテキスト（あるいは講義ノートなど）では、「基底」は、どう定義（説明）されていますか？
No.36780 - 2016/05/02(Mon) 19:48:32
☆ Re: ベクトル空間 / ast
横から割り込み失礼します.

> tはただ転置を表したかっただけでした
IT さんもお書きですが, もともとの問題文ではR^3のベクトルを横ベクトルで与えているので, 転置は必要ありませんね. 転置してしまってはむしろ誤りということになるでしょう.

また, 問題文を注意深く読んでください, 「L を**含む**」と書いてあり, L 自身が部分ベクトル空間になるかどうかを問うていません. 実際 L は原点を通らない直線 (一次元部分アフィン空間) であって, 部分ベクトル空間になりません. Mic さんが求めた (2,3,4) は恐らく L の方向ベクトルなのでしょう, それ自体は重要なベクトルではありますが, L は原点 (0,0,0) を含まないし, (2,3,4) の張る一次元部分ベクトル空間は L にはなりません. L と原点を含む平面を考え (原点を含むようにするにはどのようなベクトルが足りないか, ということです), その基底を求めましょう. というあたりで IT さんの最初のレス No.36771 へ戻ります.
No.36783 - 2016/05/02(Mon) 22:53:49
☆ Re: ベクトル空間 / Mic
ITさん、astさん、ありがとうございます。

ベクトル空間Vの元がVの基底であるとは、これが一次独立かつ生成系になることでした。
astさんの仰るとおり私が求めていたのは方向ベクトルのようです。

(0,0,0)(1,2,3)(0,1/2,1)を含む平面の方程式を考えその基底を求めればよいということでよろしいでしょうか。
平面の方程式はx-2y+z=0になりますから、これより基底は(2,1,0)(-1,0,1)になりました。どうでしょうか
No.36786 - 2016/05/03(Tue) 15:32:34
☆ Re: ベクトル空間 / IT
> これより基底は(2,1,0)(-1,0,1)になりました。どうでしょうか

合っていると思いますが、求める過程とこれが条件を満たすことの確認が重要です。

なお、(0,1/2,1),(1,2,3) も基底になると思いますので、確認してみてください。
No.36788 - 2016/05/03(Tue) 20:34:55
☆ Re: ベクトル空間 / ast
既に蛇足だとは思いますが, たぶん出題の想定としては, 平面の方程式を求めてからその基底ベクトルを探すというのは迂遠で, V は原点から L 上の一点 (1,2,3) へ向かうベクトル (1,2,3) と L の方向ベクトル (2,3,4) の張る平面 (x,y,z)=r(1,2,3)+s(2,3,4) (r,s は任意の実数) と捉えて答えるのが最も素直なのではないかと思います.

# L の式を見てすぐに通る点 (1,2,3) と方向ベクトル (2,3,4) はわかる.
# 原点は L 上に無いので, L 上の一点と結ぶベクトルは L の方向ベクトルと明らかに一次独立.
# その二つの張る平面は (作り方から) 明らかに原点 (r=s=0) と L (r=1) を含む.
No.36822 - 2016/05/07(Sat) 01:42:11
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