問題２ １番 ２番 が解りません。よろしくお願い申し上げます。
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No.36404 - 2016/03/30(Wed) 10:54:09
| ☆ Re: 二次関数の問題 / X | | | (1)
前準備が長くなりますので注意。
条件から
P(t,(1/2)t^2)
(0＜t＜4 (A))
と置くことができます。
一方、A,Bのx座標の値から
A(-2,(1/2)・(-2)^2),B(4,(1/2)・4^2)
つまり
A(-2,2),B(4,8)
となりますので直線lの方程式は
y=1・(x+2)+2
つまり
y=x+4
よって点Cのx座標xについて
0=x+4
これより
x=-4
なので
C(-4,0)
(ここまでが前準備です。)
以上から△PCDと△PBDの面積比について
(1/2){4-(-4)}{(1/2)t^2}:(1/2)・8・(4-t)=1:6
これより
12t^2=4(4-t)
3t^2+t-4=0
(3t+4)(t-1)=0
よって(A)によりt=1
となるので点Pのx座標は1
(2)
点Pから直線lに下ろした垂線の足をHとすると
(1)の結果と点と直線との間の距離の公式により
PH=|(1/2)・1^2-1-4|/√(1+(-1)^2)=9/(2√2)[cm]
よって問題の立体を、Hを通りlに垂直な平面で
二つの円錐に分割して考えることにより
求める体積をVとすると
V=(1/3)(πPH^2)・BH+(1/3)(πPH^2)・CH
=(1/3)(πPH^2)(BH+CH)
=(1/3)(πPH^2)・BC
=(1/3)π・{{9/(2√2)[cm]}^2}√{(4-(-4))^2+8^2}[cm]
=27π√2[cm^3]
注)
PHの値を求めた時点でCH,BHの長さを求める必要が
あるように見えますが、上記の計算通り、
その必要はありません。
|
No.36405 - 2016/03/30(Wed) 12:33:12 |
| ☆ Re: 二次関数の問題 / 嶋崎 | | | 解説ありがとうございます。
1)の結果と点と直線との間の距離の公式により このへんよりわからないので詳しく解説お願いします。
PH=|(1/2)・1^2-1-4|/√(1+(-1)^2)=9/(2√2)[cm]
|
No.36410 - 2016/03/30(Wed) 14:57:13 |
| ☆ Re: 二次関数の問題 / ヨッシー  | | | 問題の雰囲気から、中学の問題と見ましたがどうでしょう？
だとすると、距離の公式はまだ習っていないので、別の解き方で
説明するようにしますが。
|
No.36414 - 2016/03/30(Wed) 18:31:33 |
| ☆ Re: 二次関数の問題 / 嶋崎 | | | No.36415 - 2016/03/30(Wed) 18:35:38 |
| ☆ Re: 二次関数の問題 / X | | | >>嶋崎さんへ
ごめんなさい。配慮が足りませんでした。
(1)の過程にも高校数学の知識が使ってありますので
(1)(2)いずれも改めて回答を。
(1)
前準備が長くなりますので注意。
条件から
P(t,(1/2)t^2)
(0＜t＜4 (A))
と置くことができます。
一方、A,Bのx座標の値から
A(-2,(1/2)・(-2)^2),B(4,(1/2)・4^2)
つまり
A(-2,2),B(4,8)
となりますので直線lの傾きは
(8-4)/{4-(-2)}=1
よって直線lの方程式は
y=x+b
と置くことができます。
これが点Aを通るので
8=4+b
これより
b=4
なので、直線lの方程式は
y=x+4 (B)
よって点Cのx座標xについて
0=x+4
これより
x=-4
なので
C(-4,0)
(ここまでが前準備です。)
以上から△PCDと△PBDの面積比について
(1/2){4-(-4)}{(1/2)t^2}:(1/2)・8・(4-t)=1:6
これより
12t^2=4(4-t)
3t^2+t-4=0
(3t+4)(t-1)=0
よって(A)によりt=1
となるので点Pのx座標は1
(2)
(これも前準備が長いです。点を設定していきますので、問題の図に描き込むか
図を新しく描くか、いずれかを行いましょう。)
点Pから直線lに下ろした垂線の足をHとします。
このとき、直線PHの方程式を
y=ax+b
と置くと、(1)の結果から直線PHは
点P(1,1/2)
を通りますので
1/2=a+b (C)
一方、PH⊥lですので直線PH,lの傾きについて
1・a=-1 (D)
(C)(D)をa,bの連立方程式と見て解くと
(a,b)=(-1,3/2)
となるので直線PHの方程式は
y=-x+3/2 (E)
よって直線PHとx軸との交点をEとすると
Eのx座標xについて
0=-x+3/2
これより
x=3/2
なので
E(3/2,0)
よって
CE=3/2-(-4)=11/2[cm]
ここで直線lの傾きから
∠ECB=45°(P)
ですので△CEHは直角二等辺三角形
よって
CH=EH=CE/√2=11/(2√2)[cm] (F)
一方、点Pを通りy軸に平行な直線と辺CHとの交点を
Fとすると、lの方程式を使うことにより
F(-7/2,1/2)
よって
PF=1-(-7/2)=9/2[cm]
このとき、△PFH∽△CFHなので
相似比について
PH:11/(2√2)=9/2:11/2
これより
PH=9/(2√2)[cm] (G)
さて、次に△BCDに注目すると、(1)の過程から
CD=4-(-4)=8[cm]
で(P)より△BCDも直角二等辺三角形ですので
BC=CD×√2=8√2[cm] (H)
更に問題の立体を、Hを通りlに垂直な平面で
二つの円錐に分割して考えることにより
求める体積をVとすると
V=(1/3)(πPH^2)×BH+(1/3)(πPH^2)×CH
=(1/3)(πPH^2)(BH+CH)
=(1/3)(πPH^2)×BC (I)
(I)に(G)(H)を代入して
=(1/3)π×{{9/(2√2)[cm]}^2}×8√2[cm]
=27π√2[cm^3]
となります。
(補足に続く)
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No.36417 - 2016/03/30(Wed) 20:36:11 |
| ☆ Re: 二次関数の問題 / X | | | (2)についてもう少し補足を。
問題の立体は、
底面が辺PHを半径とする円である高さCH,BHの円錐
を底面同士張り合わせたもの
になっています。
従って、辺CH,BH,PHの長さを求めることができれば
体積が計算できることが分かります。
但し、(I)の計算式で
BC=BH+CH
となっていることからBH,CHを消すことができますので
BHについてはわざわざ計算で求める必要はありません。
(CHの長さはPHの長さを求める過程で必要になりますが。)
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No.36418 - 2016/03/30(Wed) 20:47:14 |
| ☆ Re: 二次関数の問題 / X | | | 参考までに図を載せておきます。
(掲示板の表示スペースを圧迫してしまいごめんなさい。)
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No.36419 - 2016/03/30(Wed) 23:11:44 |
| ☆ Re: 二次関数の問題 / 嶋崎 | | | 一方、PH⊥lですので直線PH,lの傾きについて
1・a=-1 (D)の式の意味がわかりません。
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No.36420 - 2016/03/31(Thu) 08:47:22 |
| ☆ Re: 二次関数の問題 / X | | | 一般に二つの直線
y=ax+b
y=cx+d
が垂直であるとき、二つの直線の傾きである
a,cについて次の関係が成立します。
ac=-1
数学の教科書に載っているはずです。
調べてみましょう。
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No.36421 - 2016/03/31(Thu) 10:38:08 |
| ☆ Re: 二次関数の問題 / X | | | もう一点。
ごめんなさい。訂正しておきます。
誤：1・a=-1 (D)
正：1×a=-1 (D)
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No.36422 - 2016/03/31(Thu) 10:39:23 |
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