ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 北風

4点O(0,0,0),A(1,1,0),B(0,1,1),C(0,0,1)に対して、
(1),2点A,Bを直径の両端とする球面の方程式を求めよ。
(2),3点O,A,Bを通る平面をαとし、点Ｃから平面αに下ろした垂線とαとの交点を点Pとする。点Pの座標を求めよ。

(1) は(x-1/2)^2+(y-1^2+(z-1/2)^2=1/2と分かりました。
(2)がどうしてよいのか分かりません。

No.36056 - 2016/03/05(Sat) 19:08:23

☆ Re: / X

αは原点を通ることから、その方程式を
ax+by+cz=0 (A)
と置くと、αが点A,Bを通ることから
a+b=0 (B)
b+c=0 (C)
(A)(B)より
b=-a=-c
∴(A)から
b(-x+y-z)=0
となるのでαの方程式は
x-y+z=0 (A)'
よって(A)'の法線ベクトル↑nは
↑n=(1,-1,1)
一方
↑OP=t↑n+↑OC (P)
(tは実数)
と表すことができるので、点Pが
α上の点であることから、(P)の
成分を考えると
x=t (D)
y=-t (E)
z=t+1 (F)
(A)'(D)(E)(F)を連立して解きます。

No.36060 - 2016/03/05(Sat) 21:10:49

☆ Re: / 北風

　なるほど。親切に有り難うございます。やってみます。

No.36066 - 2016/03/06(Sun) 10:46:20

★ 証明 / おまる

いつもお世話になっております。
次のことをどのようにして証明すればよいのかわからないので、教えて欲しいです。

a=p+q, b=p-q (p>qの正の数)において、
aとbが互いに素ならばpとqは互いに素である。

よろしくお願いします。

No.36054 - 2016/03/05(Sat) 17:45:41

☆ Re: 証明 / IT

p,q は整数という条件はないのですか？

No.36055 - 2016/03/05(Sat) 18:57:52

☆ Re: 証明 / おまる

すいませんでした。
p,qは整数です。

No.36072 - 2016/03/07(Mon) 11:11:53

☆ Re: 証明 / IT

cをp,qの正の公約数とするとp=cp',q=cq', (p'>q'の正の整数)
a=p+q=cp'+cq'=c(p'+q'),p'+q'は正の整数
b=p-q=cp'-cq'=c(p'-q'),p'-q'は正の整数

よってcはa,bの正の公約数
aとbは互いに素なのでc=1
よってpとqは互いに素

No.36073 - 2016/03/07(Mon) 21:20:02

★ 数Aの質問です。 / 加湿器

大問7で28/3πの求め方がわかりません。よろしくお願いします。

No.36046 - 2016/03/04(Fri) 20:48:13

☆ Re: 数Aの質問です。 / IT

直線OO'と直線ABの交点をCとする
三角形CBO'と三角形CAOが相似であることからCO'が求まり
∠BO'Cが分ります

No.36047 - 2016/03/04(Fri) 20:59:20

☆ Re: 数Aの質問です。 / IT

O' からOAへの垂線の足をHとして
直角三角形O'OHについて∠O'OHを考える　方が早いですね。

No.36048 - 2016/03/04(Fri) 21:07:07

☆ Re: 数Aの質問です。 / 加湿器

ありがとうございます。

No.36050 - 2016/03/05(Sat) 06:04:22

★ 数学Aの質問です。 / 加湿器

大問2の(2)～(4)の解説をお願いします。

No.36045 - 2016/03/04(Fri) 20:46:43

☆ Re: 数学Aの質問です。 / X

(2)
円周角により
∠ADB=∠ACB=25°
∠BAD=90°(弧BDは半円になっているので)
従って△ABDに注目することにより
∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD=65°
よって接弦定理により
α=∠ABD=65°

(3)
条件から△ABCはAC=BCの二等辺三角形
ですので
∠BAC=(180°-62°)/2=59°
一方、接弦定理により
∠BAD=45°
よって
α=180°-∠BAC-∠BAD=76°

(4)
接弦定理により
∠ADB=∠BAE=68°
一方、半円に対する円周角により
∠BAD=90°
よって△ABDに注目することにより
α=180°-∠BAD-∠ADB=22°
となるので△ABCに注目することにより
β=∠BAE-α=46°

No.36049 - 2016/03/04(Fri) 22:22:10

☆ Re: 数学Aの質問です。 / 加湿器

ありがとうございます。

No.36051 - 2016/03/05(Sat) 06:04:37

★ 不等式 / しゃけ

k>2を満たす定数とする。
不等式5-x≦4x<2x+kを満たす整数xがちょうど5つ存在するような定数kの値の範囲の出し方を教えてください。

答えは10<k≦12です。

No.36038 - 2016/03/03(Thu) 19:41:48

☆ Re: 不等式 / IT

5-x≦4xと4x<2x+k　をそれぞれ簡単にしてみてください。

No.36039 - 2016/03/03(Thu) 20:14:47

☆ Re: 不等式 / しゃけ

それぞれ計算して1≦x<1/2kになるのはわかります。
そのあとにk値を出すのにはどうしたらいいのかわかりません。。。

5<1/2k≦6になり10<k≦12になるとどこかで見たのですが、5<1/2k≦6になる過程がわかりません、、、
お願いします。

No.36040 - 2016/03/03(Thu) 22:10:16

☆ Re: 不等式 / IT

>
> それぞれ計算して1≦x<1/2kになるのはわかります。
> そのあとにk値を出すのにはどうしたらいいのかわかりません。。。
1≦x<1/2k を満たす整数xがちょうど5つ存在するということは
x=1,2,...,m が1≦x<1/2k を満たし、
x=m+1 は,1≦x<1/2k を満たさない　ということです。
整数　m はいくらか分りますか？

No.36041 - 2016/03/03(Thu) 22:17:28

☆ Re: 不等式 / しゃけ

x=1,2,3,4,5

ということでしょうか、、、

No.36042 - 2016/03/04(Fri) 01:20:22

☆ Re: 不等式 / IT

そうですね。

x=1,2,...,m が1≦x<1/2k を満たし、
x=m+1 は,1≦x<1/2k を満たさない

のｍを５に変えて考えてみてください。

No.36043 - 2016/03/04(Fri) 07:17:32

☆ Re: 不等式 / しゃけ

わかりました！ありがとうございます！

No.36044 - 2016/03/04(Fri) 11:49:44

★ 漸化式から一般項まで計算方法につきまして / ブラッドマミ

どなたか分かる話様です。ブラッドミと申します。今回の質問は漸化式から一般項の求め方の質問です。
（問題）漸化式　a[n＋1]＝(a[n]＋2)/(a[n]＋1)の一般項a[n]を求めよ。
という問題です。a[n]＝1/b[n]と置き換えるのがヒントらしいのですが、うまく行きません。
どなたか分かる方、教えて下さい。宜しくお願いします。

No.36031 - 2016/03/01(Tue) 20:38:09

☆ Re: 漸化式から一般項まで計算方法につきまして / IT

下記の一般分数式のタイプですね
http://examist.jp/mathematics/recurrence-formula/ippanbunsu/

No.36034 - 2016/03/01(Tue) 22:05:41

☆ Re: 漸化式から一般項まで計算方法につきまして / ブラッドマミ

回答ありがとうございます。参考になりました。
どうもありがとうございました。

No.36037 - 2016/03/02(Wed) 14:53:14

★ (No Subject) / さな

この2問やり方がわかりません！誰か分かる方教えてください！！

No.36029 - 2016/03/01(Tue) 11:06:24

☆ Re: / ヨッシー

[11]
まともにやると
　f(x)＝x^2－2x－3k＋1 とおくと
　D/4＝1＋3k-1＞0 より k＞０
　軸：x=1＞０
　f(0)＝-3k＋1＞0　よりｋ＜1/3　
以上より　０＜ｋ＜1/3

グラフを書いて、
　ｙ＝x^2－2x＋1 のグラフと
　ｙ＝3k （ｘ軸に平行なグラフ）
がｘが正の２点で交わるようなｋの範囲は
　０＜３ｋ＜１　より　０＜ｋ＜1/3

判別式　D/4＝1＋3k-1＞0 より k＞０
解と係数の関係より
　２解の和：２＞０
　２解の積：－３ｋ＋１＞０
以上より　０＜ｋ＜1/3

などの方法があります。

[12]
f(x)＝2x^2－kx＋4k＋1 とおくと、
y=f(x) のグラフは下に凸なので、
　f(1)＜０であれば条件を満たします。
f(1)＝3k＋3＜０　より　ｋ＜－１

また [11] と同じように、
　ｙ＝2x^2＋1 のグラフと y=k(x-4) のグラフが
ｘ＝１を挟んで両サイドに交点を持つように、傾きｋを決めると
ｋ＜－１が得られます。

No.36030 - 2016/03/01(Tue) 13:36:51

★ cosを含む和 / バイク

任意の2以上の整数nに対して、
?納k=1～n-1]1/(1+cos(kπ/n))=(n^2-1)/3
が成り立つことを示せ。

宜しくお願いします。

No.36028 - 2016/03/01(Tue) 10:19:06

☆ Re: cosを含む和 / IT

下記「青空学園数学科」に類題（東工大1990年後期）があります。かなり面倒です。

問題研究の２０C、をクリックしてください。
20世紀入試問題研究の　数列/90東工大
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/

No.36033 - 2016/03/01(Tue) 21:21:59

☆ Re: cosを含む和 / 水面に映る月

# なんか，綺麗な式だな～って思ってやり始めたけれど，手強いですね…．
# すでにITさんがレスなさっていますが数時間つぶして考えていたので，せっかくなので投稿します（笑）．

S[n]:=?納k=1,n-1]1/(1+cos(kπ/n))
=(1/2)?納k=1,n-1]1/{cos(kπ/2n)}^2(∵cosの倍角の公式)
=(1/2)?納k=1,n-1][1+{tan(kπ/2n)}^2]
=(n-1)/2+(1/2)?納k=1,n-1]{tan(kπ/2n)}^2
=(n-1)/2+(1/2)?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2…(1)

ここで，?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2について考えてみよう．

sin(kπ/2n)≠0のとき，(以下，iは虚数単位を表すものとします)，z[k]:=cos(2n*kπ/2n)+isin(2n*kπ/2n)を考えると，この複素数の虚部は0であり，また，ド・モアブルの公式より
z[k]=(cos(kπ/2n)+isin(kπ/2n))^(2n)
z'[k]:=z/(sin(kπ/2n))^(2n)とおくと，z'[k]=(1/tan(kπ/2n)+i)^(2n)であり，ここで，z[k]の虚部は0であったから，z'[k]の虚部はやはり0であることに注意．…(2)

ここで，xを実数として，2項定理より，(x+i)^(2n)=Σ[k=0,n]C(2n,k){x^(2n-k)}*(i^k)となり，(x+i)^(2n)の虚部はi^2=-1に注意して，xの(2n-1)次式(・)x+(・)x^3+…+(・)x^(2n-1)で表されることがわかるがこれは，x*(f(x)を(n-1)次式として，f(x^2))の形で書ける．したがって，(2)から，x=1/{tan(kπ/2n)}^2(k=1,…,n-1)は(n-1)次方程式f(x)=0の相異なるn-1個の解であることがわかる．

したがって，f(x)=a[0]+a[1]x+…+a[n-1]x^(n-1)とすると，n次式の根と係数の関係より，
?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2=-a[n-2]/a[n-1]…(3)

さて，a[n-2],a[n-1]が具体的にどう表されるか考えてみよう．まず，(x+i)^(2n)を2項定理を用いて，展開し，その虚部を考えたときのx^(2n-3)の係数がa[n-2]で，x^(2n-1)の係数がa[n-1]である．

従って，
a[n-1]=C(2n,1)=2n…(4)
a[n-2]=-C(2n,3)=-(2n)(2n-1)(2n-2)/6…(5)

(3)(4)(5)より，
?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2={(2n)(2n-1)(2n-2)/6}/2n=(2n-1)(n-1)/3…(6)

(1)(6)より
S[n]=(n-1)/2+(1/2)*(2n-1)(n-1)/3=(n^2-1)/3 (証明終)

No.36035 - 2016/03/01(Tue) 22:29:09

★ 整数 / さえ

1-1/2+1/3-1/4+1/5-・・・・+1/99-1/100を計算するとQ/Pとなり、Qは151の倍数となる。その理由を述べよ。

この問題を教えてください！

No.36021 - 2016/02/28(Sun) 14:34:42

☆ Re: 整数 / 水面に映る月

一般に，nを正の整数として，

1-1/2+1/3-1/4+1/5-…+1/(2n-1)-1/(2n)
=1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/(2n-1)+1/(2n)-2*{1/2+1/4+…+1/(2n)}
=1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/(2n-1)+1/(2n)-(1+1/2+…+1/n)
=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)

となります．本問でこれを使ってみると(以下，S=1-1/2+1/3-1/4+1/5-…+1/99-1/100とおきます)，

S=1-1/2+1/3-1/4+1/5-…+1/99-1/100
=1/51+1/52+…+1/100――(1)

ここで，2Sを考えてみましょう．(1)から，
2S=(1/51+1/52+…+1/100)+(1/100+1/99+…+1/51)
=(1/51+1/100)+(1/52+1/99)+…(1/(50+k)+1/(101-k))+…+(1/100+1/51)――(2)

ここで，
1/(50+k)+1/(101-k)=151/(50+k)(101-k)――(3)
となります．

また，(2)から，
2S=(…)/51*52*…*100と表されることがわかります．ここで151は素数ですから，分母が151を約数にもつことはありません．さらに，(3)から，分子の(…)は，151を約数に持つことが分かります．

従って，2S=Q'/P'(既約分数)とかいたとき，Q'は151の倍数となることがわかります．このことから直ちにS=Q/P(既約分数)とかいたとき，Qは151の倍数となることもわかります．

No.36022 - 2016/02/28(Sun) 16:31:20

★ ベクトル / さくら

度々すみません。
322番なんですけど問題が右側、解答が左側です。
解答の丸で囲んでいる部分がどうしてそうなるか教えて下さい。

No.36020 - 2016/02/28(Sun) 12:44:03

☆ Re: ベクトル / 水面に映る月

以下，例えば「ABベクトル」はVec(AB)で表すものとします．
また，単にABと書いた場合は，線分ABの長さを表すものとします．

Vec(OH)
=(OH){Vec(OA)/OA}
=(OH/OA)Vec(OA)
=(OH/OB)Vec(OA)
=(cosθ)Vec(OA)

となります．

No.36024 - 2016/02/28(Sun) 16:48:27

☆ Re: ベクトル / 水面に映る月

【おまけ】
一般に，三角形OABにおいて，点Bから直線OAにおろした垂線の足をHとして，Vec(OA)とVec(OB)の内積をkとすると，

Vec(OH)
=(OH){Vec(OA)/OA}
=(OH/OA){Vec(OA)}
={(OB)cosθ/OA}Vec(OA)
={(OA)(OB)cosθ/(OA)^2}Vec(OA)
={k/(OA)^2}Vec(OA)

となりますね．

No.36025 - 2016/02/28(Sun) 17:07:19

☆ Re: ベクトル / さくら

御丁寧にありがとうございます。

No.36026 - 2016/02/29(Mon) 15:59:51

★ 計算 / 加湿器

波線の計算でαを求めたいです。どのように計算すればいいですか？

No.36017 - 2016/02/27(Sat) 22:39:50

☆ Re: 計算 / ヨッシー

α^2－(√3)α－6＝0
ですね。
また、計算方法ではなく解き方ですね。

いきなり
　(α－2√3)(α＋√3)＝０
に気付けばいいですが、そうでなければ
普通に、解の公式で良いと思います。
　α＝{√3±√(3+24)}/2
　　＝{√3±3√3｝/2
　　＝2√3, －√3

No.36018 - 2016/02/27(Sat) 22:50:51

☆ Re: 計算 / 加湿器

すみません解き方でした（笑）
ありがとうございます。

No.36027 - 2016/02/29(Mon) 17:28:05

★ (No Subject) / カニカマ

数列の問題を解いていて
a[n+2]-2a[n+1]-6n=3(a[n+1]-2a[n])
となったのですがこれを
a[n+2]-2a[n+1]+f[n+1]=3(a[n+1]-2a[n]+f[n])
と変形したいなぁと思って
f[n+1]-3f[n]=-6n
となるような関数f(n)を求めようとしたのですが良く分からなくなってしまいました。
求める方法を教えて頂きたいです。

No.36015 - 2016/02/27(Sat) 11:44:32

☆ Re: / IT

f[n]=αn+βとおくと　f[n+1]-3f[n]=-6nは,α(n+1)+β-3(αn+β)=-6n
整理して・・・
よってα=3,β=3/2

No.36016 - 2016/02/27(Sat) 12:43:28

★ (No Subject) / さくら

一辺の長さが2である正三角形ABCがある。ABを直径とした円を描きAC,BCとの交点をそれぞれD,Eとする時、
斜線部の面積を求めなさい。

これはどう解くのでしょうか。
三角形CDEの面積から直線DEと円の弧で囲まれた面積を引いて求めようと思いますが、直線DEと円の弧で囲まれた面積のだしかたがわかりません。
もっとスマートな方法があるのでしょうか？
教えて下さい。

No.36012 - 2016/02/26(Fri) 16:24:11

☆ Re: / ヨッシー

図にならって、ＡＢの中点（円の中心）をＧとします。
直線ＤＥと弧ＤＥで囲まれた部分の面積は
　扇型ＧＤＥ－△ＧＤＥ
で出ます。引いては、斜線の部分の面積は
　ひし形ＣＤＧＥ－扇型ＧＤＥ
　＝△ＣＤＥ×２－扇型ＧＤＥ
で出ます。

No.36013 - 2016/02/26(Fri) 16:33:43

☆ Re: / さくら

なるほど
ありがとうございました

No.36014 - 2016/02/27(Sat) 07:20:02

★ 一変数テイラー展開の一般項 / 多田直人

f(x)=log(x+√(1+x^2))とするとき、x=0におけるテイラー展開をしました。f(x)を微分していくと
f'(x)=1/(x^2+1)^(1/2)
f''(x)=-x/(x^2+1)^(3/2)
f'''(x)=(2x^2-1)/(x^2+1)^(5/2)
f''''(x)=-3(2x^3+3x)/(x^2+1)^(7/2)
f'''''(x)=3(8x^4-24x^2+3)/(x^2+1)^(9/2)
f''''''(x)=-15x(8x^4-40^2+15)/(x^2+1)^(11/2)
f'''''''(x)=45(16x^6-120x^4+90x^2-5)/(x^2+1)^(13/2)

となりました。これをマクローリン展開の公式に代入すると
f(x)=x-(x^3)/6+(3x^5)/40-(5x^7)/112…剰余項
となりました。

一般項を求めたいのですが、
f'(x)=1/(x^2+1)^(1/2)のときx^2=tと置き、
g(t)=(t+1)^(-1/2)としました。
g(t)についてn回微分し
g（n回微分）(t)＝(‐1)^n*(((2n-1)!!)/2^n)*(1+t)^-((2n-1)/2)
となりました。

g(t)についてt=0の時テイラー展開したところ
g(t)＝1-t/2+3t^2/8-5t^3/16+…+((‐1)^n*(((2n-1)!!)/2^n))/n!+Rt
となりました。

ここで先生からこのようなコメントを頂きました。
「gとfの関係をはっきりさせ、g(t)のテイラー展開からf'(x)のテイラー展開を求め、それがf'(x)のテイラー展開と一致することからf'(0)、f''(0)…をもとめ、それを用いてf(x)のテイラー展開を書けばよい」
ここで思考がストップしてしまいました。
今後どのように組み立てればよいか教えていただけると嬉しいです。

No.36009 - 2016/02/24(Wed) 23:02:17

☆ Re: 一変数テイラー展開の一般項 / 水面に映る月

>gとfの関係をはっきりさせ

ここがポイントですね．つまり，f '(x)=g(x^2)ですから，g(t)をTaylor展開して，その式で単純にtのところをx^2とすればf '(x)のTaylor展開が得られることになりますね．

>それがf'(x)のテイラー展開と一致することからf'(0)、f''(0)…をもとめ、

これは，Taylor展開の一意性から単純な係数比較が可能です．

No.36010 - 2016/02/24(Wed) 23:32:50

★ (No Subject) / 波瑠人

(4)です。これは解答です。
三行目の{ }の中のマイナスが何故、移動しているんですか？

No.36007 - 2016/02/24(Wed) 21:09:40

☆ Re: / 水面に映る月

>三行目の{ }の中のマイナスが何故、移動しているんですか？

全体を -(b-c) でくくっています．注意深く見てみてください．
なお，a^2の係数にマイナスの符号がついていると考えにくいので，マイナスも含めてくくったものと思われます．

No.36008 - 2016/02/24(Wed) 21:19:08