ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 漸化式の極限 / Mic

漸化式の極限の問題ですが
(1)以降解けませんでした
よろしくお願いします

No.36736 - 2016/04/28(Thu) 16:32:37

☆ Re: 漸化式の極限 / IT

まずは,y=(√2)^x と y=x のグラフを描いて、位置関係などを調べておくと見通しがいいです。
(1)　略解
a[n]＜2　のとき　a[n+1]＜2
　なぜなら a[n+1]＝(√2)^a[n]＜(√2)^2 ＝2
よってa[1]＜2　のとき任意の自然数nについて　a[n]＜2

x＜2 で　2 - (√2)^x≦(log2)(2-x) なので　
0＜2 - a[n+1]＝2 - (√2)^a[n]≦(log2)(2-a[n])≦{(log2)^n}(2-a[1]) →0 (n →∞）
よってlim[n →∞]a[n]＝2

No.36738 - 2016/04/28(Thu) 21:58:20

☆ Re: 漸化式の極限 / IT

(2)　略解
a[n]＞4　のとき　a[n+1]＞4
よってa[1]＞4　のとき任意の自然数nについて　a[n]＞4

x＞4 で　(√2)^x-4 ≧(log4)(x-4) なので　
a[n+1]-4 ＝ (√2)^a[n]-4≧(log4)(a[n]-4)≧{(log4)^n}(a[1]-4) →∞ (n →∞）

No.36739 - 2016/04/28(Thu) 22:28:01

☆ Re: 漸化式の極限 / IT

(3) 略解
a[n]＞2ならば　a[n+1]=(√2)^a[n]＞(√2)^2＝2
a[1]＞2なので　任意の自然数nについて　a[n]＞2
2＜x＜4のとき (√2)^x＜x
よって2＜a[n]＜4のとき a[n+1]＝(√2)^a[n]＜a[n]
2＜a[1]＜4 なので
　任意の自然数nについてa[n+1]＜a[n]＜4

したがって　a[n]は単調減少…(ア)で　2＜a[n]＜4 　…(イ)

s=(a[2]-2)/(a[1]-2) とおくと(ア)(イ)より　0＜s＜1

y=(√2)^x-2のグラフは下に凸で、直線y=s(x-2) とx=2,x=a[1]で交わるので

2＜x＜a[1]で　0＜(√2)^x-2＜s(x-2)
よって 0＜a[n+1]-2＝(√2)^a[n]-2＜s(a[n]-2)
よって　a[n]-2 →0 (n →∞）

No.36741 - 2016/04/28(Thu) 23:29:26

☆ Re: 漸化式の極限 / IT

(3) 別解
a[n]＞2ならば　a[n+1]=(√2)^a[n]＞(√2)^2＝2
a[1]＞2なので　任意の自然数nについて　a[n]＞2
2＜x＜4のとき (√2)^x＜x
よって2＜a[n]＜4のとき a[n+1]＝(√2)^a[n]＜a[n]
2＜a[1]＜4 なので
　任意の自然数nについてa[n+1]＜a[n]＜4

したがって　a[n]は単調減少で　2＜a[n]＜4
よって　{a[n]}は収束、その極限値をaとすると
lima[n+1]=lim(√2)^a[n] より　a=(√2)^a
よってa=2,4 a≦a[1]＜4 なので a=2

No.36742 - 2016/04/29(Fri) 01:04:38

☆ Re: 漸化式の極限 / Mic

大変勉強になりました。
ありがとうございます。

No.36743 - 2016/04/29(Fri) 02:21:09

★ 連立文章題 / hayato　中２

答え　３２，４ｋｍ　わかりません。解説お願いします。

No.36734 - 2016/04/28(Thu) 12:36:09

☆ Re: 連立文章題 / ヨッシー

求める道のりをｘkm、列車Ａの速さを毎分ｙkm、
特急列車の発車時刻を午前８時ｚ分とします。

　ｘ＝１０ｙ＋1.2(10－ｚ)
　ｘ＝１４ｙ＋1（１４－２－ｚ）
　ｘ＝２３ｙ＋0.6（２３－４－ｚ）
これを解いて
　ｘ＝３２．４、ｙ＝０．６、ｚ＝－１２
となります。
特急列車は７時４８分に発車したことになります。

No.36745 - 2016/04/29(Fri) 06:33:05

☆ Re: 連立文章題 / hayato　中２

1.2(10－ｚ)　　1（１４－２－ｚ）　0.6（２３－４－ｚ）の式の意味がよくわかりません。

No.36746 - 2016/04/29(Fri) 11:39:00

☆ Re: 連立文章題 / ヨッシー

いずれも　速さ×走った時間　で、
特急、快速、普通がそれぞれ走った距離を表します。
８時ｚ分から８時１０分までの時間が１０－ｚ分
８時ｚ＋２分から８時１４分までの時間が１４－２－ｚ分
８時ｚ＋４分から８時２３分までの時間が２３－４－ｚ分
です。

No.36747 - 2016/04/29(Fri) 13:17:37

☆ Re: 連立文章題 / hayato　中２

解りました。ありがとうございます。

No.36751 - 2016/04/29(Fri) 20:06:20

★ 放物線の面積 / あき

お願いします

No.36731 - 2016/04/27(Wed) 21:03:58

☆ Re: 放物線の面積 / ヨッシー

(1)
３ａ≦ｘのとき
　f(x)＝|ｘ－４ａ|
　４ａ≦ｘのとき
　　f(x)＝ｘ－４ａ
　3a≦ｘ＜4a のとき
　　f(x)＝４ａ－ｘ
ｘ＜３ａのとき
　f(x)＝|２ａ－ｘ|
　２ａ≦ｘ＜３ａのとき
　　f(x)＝ｘ－２ａ
　ｘ＜２ａのとき
　　f(x)＝２ａ－ｘ
よって、ｙ＝f(x) のグラフは下の通り。

グラフより、f(x)＝ａの解は
　ｘ＝ａ，３ａ，５ａ
(2)
g(x)＝－(x－3a)^2＋4a^2＋a
ｙ＝f(x) とｙ＝g(x) の交点は(a,a)、(5a,a)
よって、グラフは下の通り

青の部分と黄色の部分に分けて面積を求めます。
(以下略)

No.36733 - 2016/04/28(Thu) 06:24:51

★ 線形代数 / あん

Cをn次の実対称行列とするとき、tr(C^2)＝0ならばCは零行列であることを示せ

という問題です。
よろしくお願いします

No.36730 - 2016/04/27(Wed) 17:01:33

☆ Re: 線形代数 / IT

Cのi行j列の成分をc[i,j]として
定義にしたがって　tr(C^2)　（C^2 のi行i列の要素を合計したもの）を計算すればいいと思います。

Cは対称行列ですからc[i,j]=c[j,i] であることを使います。

No.36732 - 2016/04/27(Wed) 21:32:43

☆ Re: 線形代数 / あん

わかりました
ありがとうございます

No.36735 - 2016/04/28(Thu) 15:05:19

★ 入試問題 / ごくう

下記の問題の（3）がよくわかりません。数学はあまり得意
ではありません。

?@模範解答ではX＝ｐ/ｑとおくのですが、なぜこのように
おくのですか？意味がよくわかりません。

?Aこの問題の解き方をわかりやすく教えてください。

以上よろしくお願いします。

No.36727 - 2016/04/26(Tue) 22:11:33

☆ Re: 入試問題 / X

一つ目の質問)
二つ理由があります。
(i)
問題の不等式の証明のため
(左辺)-(右辺)≧0 (A)
を示すことになる訳ですが、もし
(左辺)-(右辺)
が一変数(tとします)の関数であり
しかもそれがtで微分可能であれば
微分して増減表を書く
という方針が取れます。
そのための変数を一つにする置き換え
の一つに過ぎません。

但し、この問題の場合はその置き換えを
することを前提にして、(A)を示す前に
証明すべき不等式を同値変形
(両辺をq^2で割っています。)
しています。

(ii)
(1)(2)の結果を使うため、問題の不等式の
証明過程にf(x)か、若しくはf(x)に近い式
がでてこないか？という視点があるからです。

二つ目の質問)
一つ目の質問への私の回答の意味を理解した上で
模範解答をもう一度ご覧ください。

No.36728 - 2016/04/27(Wed) 06:21:40

★ 高校数学解答おねがいします / 数学大好き

複素数z[n] (n=1.2.3.…)が次の式を満たしている。z[1]=1 z[2]=1/2
z[n]z[n+1]=1/2{(1+√3i)/2}^n-1 n=2,3,4,…

(1) 複素数平面上にz[1],z[2],z[3],z[4],z[5]を図示せよ。
(2) z[n]を求めよ。

(3) 和 Σ[n=1→2002]z[n]=z[1]+z[2]+z[3]+…+z[2002]を計算せよ。

この問題の解答をおねがいします！
(1)は出来たら画像でおねがいしますm(_ _)m

No.36726 - 2016/04/26(Tue) 22:03:20

☆ Re: 高校数学解答おねがいします / ヨッシー

z[n]z[n+1]=(1/2){(1+√3i)/2}^(n-1)
と解釈します。また
　Ｌ＝(1+√3i)/2
とおきます。

(1)
z[3]＝(1+√3i)/2＝Ｌ
z[4]＝(1/2)Ｌ^2／Ｌ＝Ｌ/2＝(1+√3i)/4
z[5]＝(1/2)Ｌ^3／(L/2)＝Ｌ^2＝(1+√3i)^2/4＝(-1＋√3i)/2

(2)
z[n+1]＝(1/2)Ｌ^(n-1)／z[n] であるので、
z[n+2]＝(1/2)Ｌ^n／z[n+1]＝Ｌz[n]
よって、ｎが奇数のとき
　z[n]＝Ｌ^{(n-1)/2}＝{(1+√3i)/2}^{(n-1)/2}
ｎが偶数のとき
　z[n]＝Ｌ^(n/2-1)／2＝{(1+√3i)/2}^(n/2-1)／2
なおこれらは、n=1, n=2 の時も満たします。
(3)
Ｌ＝cos(π/3)＋ｉsin(π/3) なので、Ｌを掛けると、複素数平面上で、
原点周りに60°回転します。
よって、
　z[n+6]＝－z[n]
　z[n+12]＝z[n]
が成り立ち、
　Σ[n=1→2002]z[n]=z[1]+z[2]+z[3]+…+z[2002]
において、
　z[1]＋z[2]＋・・・＋z[12]＝０
　z[13]＋z[14]＋・・・＋z[24]＝０
・・・
　z[1981]＋z[1982]＋・・・＋z[1992]＝０
であり、残るのは
　z[1993]＋・・・＋z[2002]＝z[1]＋・・・＋z[10]
であり、z[7]＋z[8]＋z[9]＋z[10]＝－(z[1]＋z[2]＋z[3]＋z[4])
であるので、残りは
　z[5]＋z[6]＝(-1＋√3i)/2＋(-1＋√3i)/4＝(3/4)(-1＋√3i)　・・・答え

No.36729 - 2016/04/27(Wed) 09:33:56

★ (No Subject) / ブラッドマミ

お世話になります。ブラッドマミともうします。今回質問はユークリッド算法で求めた最大公約数からλa＋μb＝１を満たす、λ、μを求めよ。という問題です。まず二つの整数は（6186,4709)ですす。ちなみに最大公約数は１です。ここから連続除法により、1477＝6186-4709×1、278＝4709-(1477×3)＝4709-(6186-4709)×3＝-3×6286＋4×4709、・・・のように最終的に1＝λa＋μbを頑張ってを求めようとするのですが、うまくいきません。どなたかわかる方、申し訳ないのですが、ご指導よろしくお願いします。

No.36721 - 2016/04/25(Mon) 22:26:43

☆ Re: / ヨッシー

6186＝1・4709＋1477
4709＝3・1477＋278
1477＝5・278＋87
278＝3・87＋17
87＝5・17＋2
17＝8・2＋1

これを遡って行くと
1＝17－8・2
＝17－8(87－5・17)＝41・17－8・87
＝41(278－3・87)－8・87＝41・278－131・87
＝41・278－131(1477－5・278)＝696・278－131・1477
＝696(4709－3・1477)－131・1477＝696・4709－2219・1477
＝696・4709－2219(6186－4709)＝2915・4709－2219・6186
のように、解の１つが求められます。

No.36723 - 2016/04/26(Tue) 16:50:27

☆ Re: / ブラッドマミ

ご指導ありがとうございます。参考にさせていただきます。ありがとうございました。

No.36724 - 2016/04/26(Tue) 17:19:24

★ 数II 面積 / さりな

どなたかよろしくお願いします

No.36719 - 2016/04/25(Mon) 20:53:16

☆ Re: 数II 面積 / ヨッシー

(1)
積分公式より、
　2(a+1)^3/6＝9/8
　a+1＝3/2
　a＝1/2
(2)
ｌの傾きは 4a なので、ｌの方程式は
　ｙ＝4a(x-a)＋2a^2
　ｙ＝4ax－2a^2
Ｓ＝∫[-1～a](2x^2－4ax＋2a^2)dx
　＝2a^3/3＋2a^2＋2a＋2/3＝(2/3)(a+1)^3
※上記の積分公式からも求められます。
(3)
Ｔ＝∫[0～a](2x^2－4ax＋2a^2)dx
　＝2a^3/3
(2/3)(a+1)^3＝32・(2/3)a^3
　(a+1)^3/a^3＝32
　(a+1)/a＝2^(5/3)
　ａ＝1/(2^(5/3)－1)

No.36722 - 2016/04/26(Tue) 10:43:40

★ (No Subject) / 数学的帰納法

正の数a,b,x,yを考える。a+b=1ならば、すべての自然数nにたいして不等式
(ax+by)^n≦ax^n+by^nが成り立つことを証明せよ

という問題を途中までといたんですが少しわからないところがあるので教えてください

「(ax+by)^n≦ax^n+by^n……?@ が成り立つことを証明す
　n=1のとき、?@の
　右辺=ax+by、左辺=ax+by
　で?@（の等号）が成り立つ。

　n=kのとき?@が成り立つと仮定すると、
　(ax+by)^k≦ax^k+by^k
　両辺にax+by=(1-b)x+(1-a)yをかけると、
　左辺=(ax+by)^(k+1)
　右辺=(ax^k+by^k){(1-b)x+(1-a)y}
　 =ax^(k+1)-abx^(k+1)+by^(k+1)-aby^(k+1)
　 =ax^(k+1)+by^(k+1)-ab(x^(k+1)+y^(k+1))
　 <ax^(k+1)+by^(k+1)
　で、n=k+1のときも?@が成り立つ。
　数学的帰納法により?@がすべての自然数nで成り立つ。」

この証明の下から４行目と３行目の
　 =ax^(k+1)+by^(k+1)-ab(x^(k+1)+y^(k+1))
　 <ax^(k+1)+by^(k+1)この部分の<は≦と表せないですよねだとすると
　　等号が成り立つように証明しなければならないと思うんですがどのようにやればいいでしょう？

No.36717 - 2016/04/25(Mon) 19:04:40

★ 整数の話(数学の葦にもﾎﾟｽﾄｱﾘ) / ふなっし

a,b,cはa>2,b>2,c>2,a+b≠cを満たす自然数のとき
(a+b)^c=c^(a+b)
を満たすa,b,c自然数はない

という問題の証明で以下の解答は正しいでしょうか。

a+b=k≧6とおくと
k^c=c^k
両辺は指数関数的な単調増加であるから、解は1個または0個。(指数関数なので、二点以上では交わらない。そしてこの状況が
k=6,7,8,...の各々全ての場合について続いていく。)
解が1個のときはc=kのときだが、これは条件上ダメなので、
残された道は解なしという結論

添削お願いします

No.36715 - 2016/04/25(Mon) 07:47:33

☆ Re: 整数の話(数学の葦にもﾎﾟｽﾄｱﾘ) / ふなっし

解決しました

No.36716 - 2016/04/25(Mon) 11:04:51

★ (No Subject) / たろー

どのように、場合分けをしたらよいのかわかりません。
教えて下さい

No.36711 - 2016/04/24(Sun) 23:45:18

☆ Re: / X

問題の二次関数のグラフの対称軸である、直線
x=2a (A)
と定義域との位置関係について場合分けをします。
(A)が定義域内にある場合は、定義域の中点である
x=-1
との位置関係について更に場合分けをします。

ということで場合分けは次の4通りです。
(i)2a＜-2のとき
(ii)-2≦2a＜-1のとき
(iii)-1≦2a≦0のとき
(iv)0＜2aのとき

No.36714 - 2016/04/25(Mon) 06:42:03

★ (No Subject) / ああさ

y=x+1-√(x^2-4x)の4≦x≦9の最小値を求めよ。という問題なのですが文系の学部の過去問で出たそうなのでルートの微分はできないので微分を用いない解法を教えて下さい。

No.36708 - 2016/04/24(Sun) 12:16:56

☆ Re: / IT

x - √(x^2-4x) 　（の分子）を有理化し増減を調べる　ぐらいでしょうか？
= {x - √(x^2-4x)}{x + √(x^2-4x)}/{x + √(x^2-4x)}
= 4x/{x + √(x^2-4x)}
=4/{1 + √(1-4/x)}

これはx≧4においてxが増加すると減少する

# 数３をやってないと思いつくのは難しいかも。
　何年のどこの問題か分りますか？。

No.36710 - 2016/04/24(Sun) 13:35:45

★ (No Subject) / たろー

これが、個人的にわかりません(1)のみだけで、とりあえずいいので、それの、(オ)、(カ)を教えて下さい

No.36706 - 2016/04/24(Sun) 10:56:59

☆ Re: / 濱さん

(1)のグラフにわざわざ「ｘ＝１」「ｘ＝ー１」でｙの値がどうなっているのかが図示されていることをよく考えてみてください。

答えは（オ）が負、（カ）が正です。

No.36709 - 2016/04/24(Sun) 12:40:16

☆ Re: / ピーチ

ありがとうございます

No.36718 - 2016/04/25(Mon) 19:36:24

★ (No Subject) / 侍

わかりません。
教えて下さい

No.36704 - 2016/04/24(Sun) 09:41:47

☆ Re: / 侍

細かく言うと、軸の方程式の意味がわかりません

No.36705 - 2016/04/24(Sun) 10:22:57

☆ Re: / IT

> 細かく言うと、軸の方程式の意味がわかりません

y=x^2+ax+b のグラフは、下に凸の放物線です。

この放物線は左右対称です。

この放物線の対称軸はｙ軸に平行な直線です。

「軸の方程式」とは、この直線の方程式のことです。

軸は、放物線の頂点を通ります。

この放物線の頂点は、y=x^2+ax+b　を平方完成すると分ります

(平方完成)
x^2+ax+b={x+(a/2)}^2-(a/2)^2+b
={x+(a/2)}^2-(a^2-4b)/4

No.36707 - 2016/04/24(Sun) 11:07:07

★ 展開の仕方 / すけ

この問題ですが、普通に展開ではなく、簡単に計算する方法ってあるんですか？

おしえてください。

No.36698 - 2016/04/23(Sat) 19:24:14

☆ Re: 展開の仕方 / IT

A=a+b+cとおいて計算すると
与式=A^2+(A-2a)^2+(A-2b)^2+(A-2c)^2
=A^2+A^2-4aA+4a^2+ ..+..
=A^2+3A^2-4(a+b+c)A+4(a^2+b^2+c^2)
=A^2+3A^2-4A^2+4(a^2+b^2+c^2)
=4(a^2+b^2+c^2)

No.36700 - 2016/04/23(Sat) 20:01:15

☆ Re: 展開の仕方 / ast

少し対称性を崩すが, (-a+b+c)^2=(a-b-c)^2 だから順番を変えて
　(a+b+c)^2+(a+b-c)^2
　+(a-b-c)^2+(a-b+c)^2
と分けて加えることにすると, (x+y)^2+(x-y)^2 = 2(x^2+y^2) に注意すれば
　(上二項の和) = 2((a+b)^2+c^2),
　(下二項の和) = 2((a-b)^2+c^2)
で 2(((a+b)^2+(a-b)^2)+2c^2) = 2(2(a^2+b^2)+2c^2) とできる.

No.36702 - 2016/04/24(Sun) 00:24:25

★ 食塩水の問題 / ふなっし

食塩水の問題があります。以下

400gの水と16gの食塩をすべて使い、２つの容器A、Bにそれぞれ食塩水を作ります。Aの食塩水の重さはBの食塩水の重さの5分の3で、2つの食塩水の濃度を等しくするつもりでしたが、それぞれの容器に入れる水と食塩の配分を間違えてしまいました。
そのため、AとBに入っている食塩水の重さは予定通りでしたが、2つの食塩水濃度は等しくなりませんでした。
そこで、AとBから重さの比が2:1の食塩水を同時に取りだして、Aの分をBに、Bの分をAに同時に入れ替えたところ、2つの食塩水の濃度は等しくなりました。
同時に入れ替えた後、Aには何gの食塩水が入っていますか。

ちなみに答えは96gになっています。

解法、教えて下されば助かります。
どうぞよろしくお願いします。

No.36696 - 2016/04/23(Sat) 12:35:04

☆ Re: 食塩水の問題 / ふなっし

とりあえずこれはいいです。

No.36703 - 2016/04/24(Sun) 08:51:03