ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 微分係数f'(0)の求め方 / ふなっし

f(x)がx=0で微分可能なとき、f'(0)を求めよ、という問題です。
そのような関数は
f(x)=x^2×sin(1/x) (x>0のとき),
0 (x=0のとき),
x^2×cos(1/x) (x<0のとき)

という関数です。
問題集の解説では、簡単に
|(f(x)-f(0))/x|≦|x|→0　による(ため)
とありました。
ここで、上の不等式の左辺は微分の定義から出現したのでしょうか。はさみうちの原理を使っているのはわかるのですが、、、

また、f(x)=x^2 (x:有理数),
0 (x:無理数)
という関数の設問もあるのですが、これは
xが有理数のときならば、f'(x)=2x より
f'(0)=2×0=0 と計算しても良いのでしょうか。
合わせてお願いいたします。

No.36336 - 2016/03/25(Fri) 20:36:08

☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / IT

> |(f(x)-f(0))/x|≦|x|→0　による(ため)
> とありました。
> ここで、上の不等式の左辺は微分の定義から出現したのでしょうか。
そうですね。

> xが有理数のときならば、f'(x)=2x より
> f'(0)=2×0=0 と計算しても良いのでしょうか。
ダメですね。
x≠0では、f(x)は不連続であり、もちろん微分不可能です。

No.36337 - 2016/03/25(Fri) 20:48:38

☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / ふなっし

では、いずれの設問も
|(f(x)-f(0))/x|≦|x|→0
を考える、ということですね。

左辺の分母のxって、xの変化量(Δx)のことですよね？
教科書ではよくhとかって表される、、
ここに単にxって書くのって記述的に正しいんですかね？
それと何故上の不等式に示される大小関係が成り立つのでしょうか。
お願いします。

No.36339 - 2016/03/25(Fri) 21:33:55

☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / IT

> 左辺の分母のxって、xの変化量(Δx)のことですよね？
> 教科書ではよくhとかって表される、、
> ここに単にxって書くのって記述的に正しいんですかね？
問題ないです。問題中で他の意味がある文字以外のどんな文字を使っても構わないと思います。
a,b,c...,h,..s,t,u,...x,y,z
e,fは使わない。a,b,cなども定数を表すことが多いですが絶対ではないですね。

> それと何故上の不等式に示される大小関係が成り立つのでしょうか。
(f(x)-f(0))/xを計算してみてください。容易に分ると思います。

No.36340 - 2016/03/25(Fri) 21:57:08

☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / ふなっし

なるほど、

?@Δx(xの変化量)=x(独立変数)ってイコールなのでしょうか？(基本的な話ですいません)
?Aそれと、(f(x)-f(0))/xを計算するにあたって、f(0)って計算できるんですか？つまり、x=0を代入してもいいのですか？
?B最後に、|sinx|≦1とかいうのは使いますか？

お願いします。

No.36341 - 2016/03/25(Fri) 22:07:14

☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / IT

> ?@Δx(xの変化量)=x(独立変数)ってイコールなのでしょうか？(基本的な話ですいません)

何を表しているかは文脈から判断すればいいと思います。
「?@Δx(xの変化量)=x(独立変数)って」と書かれると、その場合は、違いますね。

> ?Aそれと、(f(x)-f(0))/xを計算するにあたって、f(0)って計算できるんですか？つまり、x=0を代入してもいいのですか？
計算できます。問題をよく読んでf(x)の定義を確認してください。

> ?B最後に、|sinx|≦1とかいうのは使いますか？
使います。

No.36342 - 2016/03/25(Fri) 22:19:13

☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / ふなっし

では、やることは教科書によくある例題と同じですね。。

なんとなくわかりました。
検討してみます。

ありがとうございました。。

No.36343 - 2016/03/25(Fri) 22:56:41

★ 関数 / 広崎

２（１）（２）３　番の問題が難しくてわかりません。お願いします。

No.36335 - 2016/03/25(Fri) 19:26:20

☆ Re: 関数 / X

2
(1)
グラフから花子さんの速さは
18[km]/54[分]=1/3[km/分]
従って15分間で花子さんが進む距離は
1/3[km/分]×15[分]=5[km]
なので15分間でお父さんが進む距離は
5[km]-3[km]=2[km]
(注:花子さんはこの時点でコースを一周しています。)
よってお父さんの速さは
2[km]/15[分]=2/15[km/分]
となるので求める式は
y=(2/15)x
(2)
条件から一回目に抜かれた後、二回目にお父さんが
抜かれるまでにお父さんから見た花子さんが進む
距離について
(1/3-1/6)(t-15)=3
これをtの方程式と見て解き
t=33

3
問題から花子さんと太郎さんがすれ違ったコース上の
位置を考えなければならないように見えますが
その必要はありません。

条件から太郎さんの進む速さは
3[km]×3/48[分]=3/16[km/分]
出発後、x分後に太郎さんと花子さんが最初に
すれ違ったとすると、それまでに太郎さんと
花子さんが進んだ距離の和について
(3/16)x+(1/3)x=3
これをxの方程式と見て解き
x=144/25
最初にすれ違ってから二回目にすれ違うまでの時間
は、すれ違った地点から同様のことを考えればよい
ので、結局出発から5回目にすれ違うまでにかかる
時間は
(144/25)[分]×5=(144/5)[分]
=28+4/5[分]
≡28[分]48[秒]

No.36338 - 2016/03/25(Fri) 20:52:08

★ 領域と面積 / あい

高2です。お願いします。
空間において、平面Z=10上で点（0，0，10）を中心とし、半径1の円周上を光源が回っている。
2点P(-1，1，8)、Q(3，5，0)を結ぶ線分PQのxy平面上への影の動く領域を図示し、その面積を求めよ。

No.36334 - 2016/03/25(Fri) 18:01:06

☆ Re: 領域と面積 / ヨッシー

Ｑは、ｘｙ平面上の点なので、影は固定です。
Ｐと(0,0,10) を結ぶ直線とｘｙ平面との交点Ｒは
Ｒ(-5,5,0) であり、Ｐの影はこの点を中心とし半径４の円を描きます。
ＲとＱの距離は８であるので、ＱはＰの描く円の外にあります。
線分ＰＱの影は図のように
３辺が4，4√3, 8 の直角三角形２個と、半径４、中心角240°の扇形を
合わせたものとなります。

No.36344 - 2016/03/26(Sat) 08:33:06

★ 角度 / katuki

（１）（２）解りません。よろしくお願いします。

No.36332 - 2016/03/25(Fri) 16:55:32

☆ Re: 角度 / ヨッシー

(1)
∠ＢＡＣ＝b°とすると
平行線間の錯角より
　∠ＢＤＣ＝a°
接弦定理より
　∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＣ＝b°
三角形の外角より
　∠ＡＢＣ＝a°＋b°
直径に立つ円周角より
　∠ＡＣＢ＝90°
よって、
　∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ＝a°＋2b°＝90°
よって、
　∠ＢＡＣ＝b°＝45°－a°/2

(2)
∠ＡＯＥ＝120°より、
扇形ＯＡＥ＝4π/3 cm^2
ＡＥの中点をＭとすると、△ＡＭＯは
　ＡＭ＝√3cm、ＭＯ＝1cm、ＡＯ＝2cm
の直角三角形なので、
　△ＡＯＭ＝√3/2 cm^2
　△ＡＥＯ＝√3 cm^2
よって、求める面積は
　4π/3－√3 cm^2

No.36333 - 2016/03/25(Fri) 17:13:38

★ (No Subject) / 羅

問題1は自信がない程度で、問題2～4が全然わかりません。
参考として答えだけではなく解答にしていただけると嬉しいです。

【問題1】
A、B、Cの3高校が野球の試合をする。まず2校が対戦して、買った方が残りの1校と対戦する。これを繰り返して、2連勝した高校が優勝する。A校がB、C校にそれぞれ勝つ確率をp、qとす、B校がC校に勝つ確率を1/2とする。次の確率をそれぞれ求めよ。ただし0<p<1、0<q<1とする。
(1)第1戦にA校とB校が対戦した場合、A校がB校に勝って優勝する確率。
(2)第1戦にA校とB校が対戦した場合、A校がB校に負けて優勝する確率。
(3)第1戦にB校とC校が対戦した場合、A校が優勝する確率。

【問題2】
平面上の鋭角三角形ABCの内部(変や頂点は含まない)に点Pをとり、A'を B,C,Pを通る円の中心、B'をC,A,Pを通る円の中心、C'をA,B,Pを通る円の中心とする。このとき、A,B,C,A',B',C'が同一円上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致することであることを示せ。

【問題3】
aを2以上の整数、pを2より大きい素数とする。ある整数kに対して等式
a^(p-1) -1＝p^k　が成り立つのは、a=2,p=3の場合に限ることを証明せよ。

【問題4】
命題P 次の条件(a),(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)Aが存在する。
(a)Aは連続する3つの自然数の席である。
(b)Aを10進法で表わしたとき、1が連続して99回以上現れるところがある。
以下の問いに答えよ。
(1)yを自然数とする。このとき、不等式
x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2
が成り立つような正の実数xの範囲を求めよ。
(2)命題Pを証明せよ。

No.36325 - 2016/03/24(Thu) 22:20:04

☆ Re: / IT

【問題3】
（略解）　行間は埋めてください。分らなければ質問してください。
a^(p-1) -1＝p^k…(1)
p-1は２以上の偶数なので,a^(p-1)-1は、a-1とa+1を因数に持つ
よって(1)よりa-1=p^m,a+1=p^n,m,nは整数で0≦m＜n
a+1とa-1の差が2であることからa-1=1,a+1=p
したがってa=2,p=3

No.36326 - 2016/03/24(Thu) 22:53:27

★ 回転する円錐 / つちんこ

この問題を教えてください。

No.36319 - 2016/03/24(Thu) 15:34:06

☆ Re: 回転する円錐 / ヨッシー

(1)
Ｄは図のような軌跡になります。

No.36322 - 2016/03/24(Thu) 17:11:50

☆ Re: 回転する円錐 / つちんこ

分かりやすい図の例示、ありがとうございます。

具体的な解法はどうなるのしょうか？

No.36324 - 2016/03/24(Thu) 21:52:16

☆ Re: 回転する円錐 / ヨッシー

（続き）
平面Ｐをｘｙ平面とし、頂点を固定した点を原点、
Ａが最初に(1,0,0) あるものとします。
円錐が平面Ｐをθだけ回転した（接している母線がｘ軸とθをなす）ときの
点Ａの位置を次のように求めます。
ｙｚ平面上に中心（0,0,1/2) 半径1/2 の円を描き、点(0,0,0) が
この円に沿って、2θ回転した点をＡ1とします。
Ａ1 をｙ軸を中心に30°回転した点をＡ2 とします。
Ａ2 をｘ軸方向に１移動した点をＡ3 とします。
Ａ3 をｚ軸を中心にθ回転した点Ａ4 が求める点です。
これらの点の座標は、
　Ａ1：(0, －(1/2)sin(2θ), 1/2－(1/2)cos(2θ))
　Ａ2：(－1/4＋(1/4)cos(2θ), －(1/2)sin(2θ), √3/4－(√3/4)cos(2θ))
　Ａ3：(3/4＋(1/4)cos(2θ), －(1/2)sin(2θ), √3/4－(√3/4)cos(2θ))
　Ａ4：(x,y,z)とおくと、
　ｘ＝{3/4＋(1/4)cos(2θ)}cosθ＋(1/2)sin(2θ)sinθ
　ｙ＝{3/4＋(1/4)cos(2θ)}sinθ－(1/2)sin(2θ)cosθ
　ｚ＝√3/4－(√3/4)cos(2θ)
このＡ4 の座標において、ｘ＞０，ｙ＞０の範囲において、４ｘｙが断面の面積となります。

No.36327 - 2016/03/24(Thu) 23:44:17

☆ Re: 回転する円錐 / t

https://m.youtube.com/watch?list=PLrN2HSNdl6vpO_B56506qxkx5nPJhJn3H&v=N6qwWlRwruM
この問題の(2)の類題が解説されています。

No.36347 - 2016/03/26(Sat) 09:46:36

☆ Re: 回転する円錐 / つちんこ

うーん、xやyをθで表すところまではなんとか分かりましたが、その後の計算があまりピンと来ません。すみません。
4xyの最大値はどう出すのでしょう？

No.36356 - 2016/03/26(Sat) 21:16:54

☆ Re: 回転する円錐 / つちんこ

4xyの最大値じゃなく、4xyが最大になるθでした。ごめんなさい。

No.36359 - 2016/03/26(Sat) 23:16:51

☆ Re: 回転する円錐 / ヨッシー

断面積の 1/4 であるｘｙをｚ＝ｔを用いて表すことにします。
　ｘｙ＝{3/4＋(1/4)cos(2θ)}^2sinθcosθ
　　　　＋(1/2)sin(2θ){3/4＋(1/4)cos(2θ)}(sin^2θ－cos^2θ)
　　　　－(1/4)sin^2(2θ)sinθcosθ
　　　＝(1/2){3/4＋(1/4)cos(2θ)}^2・sin(2θ)
　　　　－(1/2)sin(2θ){3/4＋(1/4)cos(2θ)}cos(2θ)
　　　　－(1/8)sin^3(2θ)
ここで、
　cos(2θ)＝1－4t/√3
　sin(2θ)＝√(8t/√3－16t^2/3)
であるので、
　ｘｙ＝(1/2)(1－t/√3)^2・√(8t/√3－16t^2/3)
　　　　－(1/2)√(8t/√3－16t^2/3)・(1－t/√3)(1－4t/√3)
　　　　－(t/√3－2t^2/3)√(8t/√3－16t^2/3)
　　　＝(t^2/6＋t/2√3)√(8t/√3－16t^2/3)
f(t)＝(t^2/6＋t/2√3)√(8t/√3－16t^2/3) とおくと
　f'(t)＝(t/3＋1/2√3)√(8t/√3－16t^2/3)＋(t^2/6＋t/2√3)(4/√3－16t/3)/√(8t/√3－16t^2/3)
　　　＝０
これを満たすのは
　ｔ＝(√51－√3)/8

計算が合っているかは自信ありません。

No.36366 - 2016/03/27(Sun) 08:10:28

★ 関数の問題 / 中西学

（１）ができない為（２）（３）全問わかりません。解説よろしくお願いします。

No.36307 - 2016/03/23(Wed) 10:28:30

☆ Re: 関数の問題 / ヨッシー

(1)
ｘ＝－２から０になる間に、ｙ＝－ｘ^2 の値は　ｙ＝－４から０になるので、
変化の割合は　{0－(-4)}/{0－(-2)}＝2
一方、ｙ＝ａｘ＋３の変化の割合（傾き）は、ａであるので、
　ａ＝２
です。

逆に、これがわかれば、(2)(3) に取りかかれるでしょう。
一旦、お返しします。

No.36308 - 2016/03/23(Wed) 11:57:34

☆ Re: 関数の問題 / 中西学

(3) (2x＋3)＋(－ｘ^2）＝０の２次方程式を解いてt=3 解き方間違えていませんか。

No.36309 - 2016/03/23(Wed) 14:06:35

☆ Re: 関数の問題 / ヨッシー

間違ってはいませんが、解答には、
　ＰＱ＝ＰＲ
を示せば、ＯＱ＝ＯＲを示したことになることを言った上で、
　ＰＱ＝・・・・
　ＰＲ＝・・・・
よって、
　２ｔ＋３＝ｔ^2
これをｔ＞０の範囲で解いて、・・・

というふうに、言葉を補う必要があります。

No.36315 - 2016/03/23(Wed) 17:35:31

☆ Re: 関数の問題 / 中西学

ありがとうございました

No.36316 - 2016/03/23(Wed) 18:55:14

★ (No Subject) / あや

新高１です。

下の二つの問題がわかりません。

３の答えはa+b+c、
５の答えは４倍となるそうです。

No.36298 - 2016/03/22(Tue) 20:18:37

☆ Re: / X

3.
通分して、分子をaの二次式として整理をし
因数分解してみましょう。

5.
P=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) (A)
と因数分解できます(証明は省略します)。
更に(A)は
P=(1/2)(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}
とも変形できますので
Q=(1/2){(y+z-x)+(z+x-y)+(x+y-z)}[{(y+z-x)-(z+x-y)}^2+{(z+x-y)-(x+y-z)}^2+{(x+y-z)-(y+z-x)}^2]
=(1/2)(x+y+z){4(y-x)^2+4(z-y)^2+4(x-z)^2}
=4・(1/2)(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}
=4P
ということで4倍です。

No.36301 - 2016/03/22(Tue) 21:00:35

☆ Re: / あや

わかりました。
その発想はなかったですね…。

ありがとうございました。

No.36304 - 2016/03/22(Tue) 21:43:50

★ 不等式 / 納豆菌

この問題がわかりません。３乗根が出てきても場合分けするのでしょうか…？解き方の流れなどを教えてください。

No.36294 - 2016/03/22(Tue) 17:27:29

☆ Re: 不等式 / ヨッシー

ｎ＝√3^3≒5 あたりで左辺＝０になるので、
ｎが5から離れるほど、左辺は大きくなります。
小さい方はｎ＝１ですでにこの不等式を満たすので、最小はｎ＝１です。
大きい方は、ｎがどこまで大きくなると
　₃√ｎ－√3≧１
になるかを考えます。
　₃√ｎ≧√3＋１
３乗して
　ｎ≧(√3＋1)^3
で、これを満たさない、最大のｎを求めます。

No.36295 - 2016/03/22(Tue) 18:06:31

☆ Re: 不等式 / 納豆菌

ありがとうございます！やってみます。

No.36296 - 2016/03/22(Tue) 18:25:02

★ 複素数平面図形の応用 / らっこ

この、添付してある画像の問題がわかりません。

No.36293 - 2016/03/22(Tue) 16:14:52

☆ Re: 複素数平面図形の応用 / X

問題の等式を(A)とします。
(1)
(A)から
γ-β=2i(α-β)
∴BC⊥ABかつBC=2AB (P)
よって
△ABCは辺の比が1:2:√3の直角三角形

(2)
(A)に
α=-1+3i,γ=3
を代入して
2i(-1+3i)+(1-2i)β=3
これをβの方程式として解き
β=1+4i
∴γ-β=2-4i (B)
一方、複素平面上にA,B,Cを図示して
点Dと辺ABとの位置関係を考えることにより
δ-β={cos(-π/3)+isin(-π/3)}(α-β)
={1/2-i(√3)/2}(-2-i)
=-(1/2)(1-i√3)(2+i)
=-(1/2){2+√3+i(1-2√3)} (C)
∴δ=β-(1/2){2+√3+i(1-2√3)}
=1+4i-(1/2){2+√3+i(1-2√3)}
=(1/2){-√3+i(7+2√3)}
=-(√3)/2+(7/2+√3)i
△ABDが正三角形であることと(P)より
BC=2BD
に注意すると、↑BCを回転の基準としたときの
↑BDと同じ向きの単位ベクトルに対応する
複素数zは
z=2(δ-β)/(γ-β)
これに(B)(C)を代入すると
z=-{2+√3+i(1-2√3)}/(2-4i)
=-(1/2){2+√3+i(1-2√3)}(1+2i)/5
=-(1/10){(2+√3)-2(1-2√3)+i(1-2√3)+2i(2+√3)}
=-(1/10)(5√3+5i)
=-(1/2)(√3+i)
=-(cos(π/6)+isin(π/6))
=cos(7π/6)+isin(7π/6)
=cos(-5π/6)+isin(-5π/6)
条件から
0≦θ≦π
に取る必要があるので
θ=5π/6

No.36297 - 2016/03/22(Tue) 19:43:02

☆ Re: 複素数平面図形の応用 / ヨッシー

∠Ｂ＝90°で、ＡＢ：ＢＣ＝１：２なので、
　１：２：√5
の直角三角形になります。

No.36303 - 2016/03/22(Tue) 21:20:19

☆ Re: 複素数平面図形の応用 / らっこ

自分でももう一度やってみます
ありがとうございます

No.36306 - 2016/03/23(Wed) 09:49:38

☆ Re: 複素数平面図形の応用 / X

>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>らっこさんへ
ごめんなさい。(1)についてはヨッシーさんの
仰るとおりです。
但し、そのことが(2)の私の方針に影響が及ぶことは
ありませんので、(2)についてはそのままで
問題ありません。

No.36312 - 2016/03/23(Wed) 17:03:11

★ (No Subject) / 数学

pを素数とし、pm=xyz(x、y、z、mは自然数)とするとき、pはx、y、zのいずれかの約数である
参考書にこれは当たり前だと書かれていたのですが、なぜいずれかの約数であると言い切れるのでしょうか？
普通にいずれかは、7を因数に持つ数であるではないのでしょうか？

No.36279 - 2016/03/21(Mon) 21:13:10

☆ Re: / 数学

間違えました。7→pです。
p=aまたはbまたはcでもpはa,b,cの約数になるのはわかるのですが、それも含めてこの表現なのですか？
例えば、p＝7のとき、pがaの約数であるとき、いつもpよりaの方が大きいときだけでなく、
a=7のときの場合も含めて、このように表現しているのですか？

No.36283 - 2016/03/21(Mon) 21:47:13

☆ Re: / らすかる

7は7の約数ですよ。「大きいとき」などという条件はどこにもありません。
「xは7を因数に持つ」と「7はxの約数」は全く同じことです。

No.36286 - 2016/03/21(Mon) 23:04:29

★ 初めて質問させていただきます / たかし

すみません、学生では無いのですが、どうしても気になる問題があるので質問させていただきます。
問：半径5cmの四分円の周りを半径2cmの円が一周したとき、外枠に出来る線が囲った図形の面積をもとめよ

作図が下手で申し分ありません。テレビで一瞬出た問題をメモしたものなのですが、赤枠で書かれた図形の面積を出す問題です。
出来れば解法も教えていただきたいです

No.36277 - 2016/03/21(Mon) 20:36:35

☆ Re: 初めて質問させていただきます / X

問題の図形をいくつかの図形に分割すると
求める面積は
2・(縦4[cm]、横5[cm]の長方形の面積)
+3・(半径4[cm]、中心角90°の扇形の面積)
+(半径9[cm]、中心角90°の扇形のの面積)
=2・4・5+3・(1/4)・(4^2)π+(1/4)・(9^2)π
=40+12π+(81/4)π
=40+(129/4)π[cm^2]

No.36280 - 2016/03/21(Mon) 21:15:27

☆ Re: 初めて質問させていただきます / たかし

>>X様
分かりやすい解答ありがとうございました。
お陰ですっきりしました

No.36282 - 2016/03/21(Mon) 21:39:06

★ (No Subject) / 濱さん

問題が掲載されているサイトはURLに貼付けておきました。

よろしくお願いいたします。

No.36272 - 2016/03/21(Mon) 18:13:39

☆ Re: / 濱さん

http://examist.jp/mathematics/quadratic-curve/daen-sessen-min/

です。

No.36273 - 2016/03/21(Mon) 18:14:28

☆ Re: / ヨッシー

>ａ＝ｂ
>このとき
の所がまずいですね。
ａ，ｂは定数なので、勝手にａ＝ｂという条件を付けてはいけません。

逆に言えば、ａ＝ｂ以外のときは、上の解答の
２つの等号成立を満たすａ，ｂはないということです。

No.36274 - 2016/03/21(Mon) 18:51:03

☆ Re: / 濱さん

お返事ありがとうございます。

では「３かつ４」からは何が導き出されるのですか？

No.36275 - 2016/03/21(Mon) 18:57:24

☆ Re: / t

3かつ4は、最小値を求めた際に自明であるからいらないのではないでしょうか？

No.36284 - 2016/03/21(Mon) 22:24:06

☆ Re: / t

2√abの際に、a+b≧2√abで、等号が成り立つのはa=b
3かつ4の流れはいらないという感じです。

No.36285 - 2016/03/21(Mon) 22:26:29

☆ Re: / 濱さん

しかし、最小となる可能性があるのは等号が成立するときなので、そのときの「s,t」の値を求めるためにも「3かつ4」のとき「s,t」の値が何になるのか、調べておく必要はないのですか？（条件を満たすs,tが存在しないなら、等号のときが最小値ではないことになりますし……）

No.36287 - 2016/03/21(Mon) 23:12:46

☆ Re: / ヨッシー

そもそも、この問題、解説に「普通にやったら行き詰まる」とあるように、
　l^2＝(a^4/s^2)＋(b^4/t^2)
相加相乗平均より
　l^2＝(a^4/s^2)＋(b^4/t^2)≧2a^2b^2/st　(等号成立は a^4/s^2＝b^4/t^2）
の方針では解けません。

実際、a=3, b=1 とすると、
　l^2＝81/s^2＋1/t^2
であり、a^4/s^2＝b^4/t^2 を満たす x^2/a^2＋y^2/b^2＝1 上の点は
　(9/√10, 1/√10)
であり、このとき
　l^2＝20
ですが、解答にある
　((3/2)√3, 1/2)
の方が
　l^2＝16
と、こちらの方が小さくなります。

No.36289 - 2016/03/22(Tue) 10:23:18

☆ Re: / t

接線の方程式をまずy=mx＋kとおいてみてはどうでしょうか？
そこから接線の条件によりkをa,b,mの文字式に置き換えて後はあなたの回答の流れに沿っていけば1回の相加相乗平均で最小値が求まるはずです。相加相乗平均を2回用いることになったからあとあとややこしくなったのだと思います。
昨日の返信は少し投げやりな形で申し訳ありませんでした。
a,bの相加相乗平均とかおかしいですよね。もう回答の方ではすでに最小値までの流れは出されているのに。

No.36305 - 2016/03/22(Tue) 22:20:58

☆ Re: / 濱さん

返信遅くなりまして申し訳ありません。

ヨッシーさん、tさんありがとうございました。

No.36313 - 2016/03/23(Wed) 17:30:15

★ (No Subject) / よしひろ

お願いします

No.36269 - 2016/03/21(Mon) 14:57:22

☆ Re: / よしひろ

因数分解です

No.36270 - 2016/03/21(Mon) 15:15:15

☆ Re: / IT

x＾3の係数が０、定数項が1であることから
２次式×２次式の形に因数分解できるなら
x^4-11x^2+1=(x^2+ax±1)(x^2-ax±1)　(a≧0)と推測できる
x=1とおいて　-9=4-a^2,-9=-a^2　(x^2の係数を比較してもいいです）

a=√13（定数項が1のとき),a=3（定数項が-1のとき)

有理数係数の範囲ならa=3を採用すると
(x^2+3x-1)(x^2-3x-1)＝x^4-11x^2+1

これ以上因数分解するには解の公式を使います。

No.36271 - 2016/03/21(Mon) 15:55:34

☆ Re: / X

別解)
x^4-11x^2+1=(x^4-2x^2+1)-9x^2
=(x^2-1)^2-9x^2
={(x^2-1)+3x}{(x^2-1)-3x}
=(x^2+3x-1)(x^2-3x-1) (A)
これ以上の因数分解についてはITさんが
説明されている通りです。
また、
x^4-11x^2+1=(x^4+2x^2+1)-13x^2
=(x^2+1)^2-13x^2
={x^2+(√13)x+1}{x^2-(√13)x+1}
という因数分解もできますが、それだと
係数に無理数を含んでもよいという条件
となるので、これより先の因数分解が
必要になります。
ですがその因数分解をするのであれば
(A)からの方が扱いが多少簡単です。

No.36276 - 2016/03/21(Mon) 19:22:16