４次関数の2つの極小値が同じとき極大値
をとるｘの値は、極小値を取るｘの値の中点になりますか？
どなたか教えてくれたら嬉しいです
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No.36430 - 2016/04/01(Fri) 18:34:59
| ☆ Re: 択一式問題 / X | | | 問題は
f'(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ) (A)
(α＜β＜γ,a＞0 (P))
f(α)=f(γ) (B)
のとき
β=(α+γ)/2
を示すことに帰着します。
(A)より
f'(x)=ax^3-a(α+β+γ)x^2+a(αβ+βγ+γα)x-aαβγ
∴f(x)=(a/4)x^4-(a/3)(α+β+γ)x^3+(a/2)(αβ+βγ+γα)x^2-aαβγx+C
(C:積分定数)
よって(B)より
(a/4)α^4-(a/3)(α+β+γ)α^3+(a/2)(αβ+βγ+γα)α^2-aαβγ・α
=(a/4)γ^4-(a/3)(α+β+γ)γ^3+(a/2)(αβ+βγ+γα)γ^2-aαβγ・γ
これより
(1/4)α^4-(1/3)(α+β+γ)α^3+(1/2)(αβ+βγ+γα)α^2-αβγ・α
=(1/4)γ^4-(1/3)(α+β+γ)γ^3+(1/2)(αβ+βγ+γα)γ^2-αβγ・γ (∵)(P)よりa≠0
(1/4)(α^2+γ^2)(α+γ)(α-γ)-(1/3)(α+β+γ)(α-γ)(α^2+αγ+γ^2)
+(1/2)(αβ+βγ+γα)(α+γ)(α-γ)-αβγ(α-γ)=0
(1/4)(α^2+γ^2)(α+γ)-(1/3)(α+β+γ)(α^2+αγ+γ^2)+(1/2)(αβ+βγ+γα)(α+γ)-αβγ=0
3(α^2+γ^2)(α+γ)-4{β+(α+γ)}(α^2+αγ+γ^2)+6{(α+γ)β+γα}(α+γ)-12αγβ=0
-4(α^2+αγ+γ^2)β+6{(α+γ)^2}β-12αγβ
=-3(α^2+γ^2)(α+γ)+4(α+γ)(α^2+αγ+γ^2)-6γα(α+γ)
-(4α^2+4αγ+4γ^2)β+(6α^2+12αγ+6γ^2)β-12αγβ
=(α+γ){-3(α^2+γ^2)+4(α^2+αγ+γ^2)-6γα}
(2α^2-4αγ+2γ^2)β=(α+γ)(α^2-2αγ+γ^2)
{2β-(α+γ)}(α-γ)^2}=0
(P)よりα-γ≠0ゆえ
β=(α+γ)/2
ということで成立します。
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No.36435 - 2016/04/01(Fri) 20:51:40 |
| ☆ Re: 択一式問題 / IT | | | Xさんが成立することを示されたので、計算を楽にする方法を考えました。
f(x)のx^4の係数は1,定数項は0として考えてよい。
また、x軸方向に平行移動することによって極大値をとるｘの値は0 として考えてよい。
極小値を取るｘの値をα,γ(α≠γ)とする。
f’(x)=(x-α)x(x-γ)=x^3-(α+γ)x^2+αγx
f(x)=(1/4)x^4-(1/3)(α+γ)x^3+(1/2)αγx^2
f(α)=(1/4)α^4-(1/3)(α+γ)α^3+(1/2)αγα^2
=-(1/12)α^4+(1/6)(α^3)γ
f(γ)=-(1/12)γ^4+(1/6)(γ^3)α
2つの極小値が同じとき f(α)-f(γ)=0なので
-(1/12)(α^4-γ^4)+(1/6){(α^3)γ-(γ^3)α}=0
-(α-γ)(α+γ)(α^2+γ^2)+2αγ(α-γ)(α+γ)=0
-(α-γ)(α+γ)(α^2-2αγ+γ^2)=0
-(α+γ)(α-γ)^3=0
α-γ≠0なのでα+γ=0
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No.36436 - 2016/04/01(Fri) 21:52:31 |
| ☆ Re: 択一式問題 / まじめ | | | Ｘさんありがとうございます、すさまじい計算をありがとうございました。
ＩＴさんありがとうございます。
計算を楽にする方法というのは、証明ですか？
どうしてｘ＾４の係数を１、定数項を０として考えてよいのか分かりません。よかったら教えてください
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No.36440 - 2016/04/01(Fri) 23:05:55 |
| ☆ Re: 択一式問題 / IT | | | > 計算を楽にする方法というのは、証明ですか？
いちおう、そのつもりですが。
> どうしてｘ＾４の係数を１、定数項を０として考えてよいのか分かりません。よかったら教えてください
a＞0,cは実数 として
g(x)=af(x)+c を 考えれば、分ると思いますが、直観的に納得できないなら、あえて「ｘ＾４の係数を１、定数項を０」としなくても構わないと思います。
β＝0とするとかなり手間が省けるのでこれはやった方がいいと思います。
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No.36442 - 2016/04/02(Sat) 01:00:52 |
| ☆ Re: 択一式問題 / まじめ | | | 回答ありがとうございます。
>g(x)=af(x)+c を 考えれば、分る
すみません、よく分かりません。。
f'(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ) (A)
(α＜β＜γ,a＞0 (P))
f(α)=f(γ) (B)
のとき
β=(α+γ)/2
を示すが、
ｆ（ｘ）を原点に平行移動することによって極大値をとるｘの値は0 、極大値０として考えてよく、このとき
ｆ'（ｘ）＝a(x-α）x(x-γ）
でありｆ（ｘ）=a(x-k)x^2(x-L)（k,Lはｘ軸との交点のｘ座標でｋ<0<L)となるのでf(x)の定数項は０となる。
でもよいですか？（これでもa=1でもよいことはまだ分かりませんが・・）
よろしくおねがいします。
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No.36454 - 2016/04/02(Sat) 14:42:08 |
| ☆ Re: 択一式問題 / まじめ | | | 平行移動ということで思いついたのですが、下に凸の二次関数は平行移動により
原点と（a,0)を通る二次関数のグラフと考える事ができ、これは、ｘ＝a/2で極小値になるグラフである。そのグラフのそれぞれのｙ座標を二乗すると原点、（a,0)を極小値、ｘ＝a/2を極大値とする４次関数のグラフができるので、これで、
４次関数の2つの極小値が同じとき極大値
をとるｘの値は、極小値を取るｘの値の中点になる、ということは示せたのではないでしょうか？
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No.36456 - 2016/04/02(Sat) 15:04:22 |
| ☆ Re: 択一式問題 / IT | | | 36454 は、それでいいと思います。
a=1 のことは、厳密に説明すると大変なのでaのままでいいと思います。
a＞0 のとき
g(x)=af(x)について、g'(x)=af'(x) なので
gが 2つの極小値が同じ。という性質を持つとき、fもその性質があります。
gが、極大値をとるｘの値は、極小値を取るｘの値の中点で
ある。という性質を持つとき、fもその性質があります。
36456 は、すべての場合を尽くしていない気がします。
（これからよく考えて見ますが）
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No.36462 - 2016/04/02(Sat) 18:16:07 |
| ☆ Re: 択一式問題 / IT | | | （別解）
極小値をとるxの値をα,γ (α＜γ),極小値をcとすると
任意の実数xについてf(x)-c≧0 (等号はx=α,γのとき)…(1)なので
f(x)-c = (x-α)(x-γ)g(x), g(x)は２次式 とおける
α＜x＜γにおいて, (x-α)(x-γ)＜0 なので(1)より g(x)＜0
x＜α,γ＜xにおいて, (x-α)(x-γ)＞0 なので(1)より g(x)＞0
したがって g(x)=a(x-α)(x-γ), a＞0 とおける
すなわち f(x)-c =a{(x-α)^2}{(x-γ)^2}, a＞0
微分して f ’(x)=2a{(x-α)^2}(x-γ)+2a(x-α)(x-γ)^2
=2a(x-α)(x-γ){2x-(α+γ)}
α≠γなのでf(x)が極大値をとるxの値は(α+γ)/2
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No.36464 - 2016/04/02(Sat) 19:11:07 |
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