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★ 解の配置問題 / ほそみ
解の配置問題の対象学年は高１でしょうか？

(＊)y=x^2-2ax+a+6が2つの負の解を持つ為のaの条件を求めよ。
という問題です。
答えは、-6<a<-2と定数分離等の方法で求まっています。

ここで、(＊)の頂点を媒介変数表示し、aを消去すると、y=-a^2+a+6という頂点の軌跡が求まります。
この軌跡のグラフをもとにこの解の配置問題を解くことはできますか？
a<-2というのはわかったのですが、-6<aのほうの範囲がどっから出てくるのかがわかりません。
No.36162 - 2016/03/16(Wed) 21:27:25
☆ Re: 解の配置問題 / ヨッシー
頂点のｘ座標も求めると、
　ｘ＝ａ、ｙ＝−ａ^2＋ａ＋６
ですが、頂点のｘ座標は軸ですし、ｙ座標は判別式の−１倍です。
ですから、頂点が第３象限にあることから
　ａ＜０　かつ　−ａ^2＋ａ＋６＜０
あとはｘ＝０のときのｙ切片
　ｙ＝ａ＋６＞０
とから、−６＜ａ＜−２ になるわけですが、
結局、軸＜０、判別式＞０ を解いているのと同じで、
頂点から求めたといえばそうですが、本質的には
軸と判別式から求めたのと同じです。
No.36166 - 2016/03/16(Wed) 22:24:18
★ 円周角の定理の利用 / ポップコーン
xの角度を求める問題です。

答えは６８°と書いてありましたが、

なぜそのようになるかわかりません！

なるべくわかりやすい解説をしてもらえると嬉しいです。
No.36161 - 2016/03/16(Wed) 20:16:15
☆ Re: 円周角の定理の利用 / ヨッシー
まず、円に内接する四角形の、向かい合った角の和は
180°であるということはご存知でしょうか？

さらに言うと、ｘ＝68°ではありません。62°です。
No.36165 - 2016/03/16(Wed) 22:10:11
☆ Re: 円周角の定理の利用 / ポップコーン
円に内接する四角形の、向かい合った角の和は１８０°であることはご存知でしょうか→知りません！

なぜ１８０°になるんですか？
No.36169 - 2016/03/17(Thu) 16:24:54
☆ Re: 円周角の定理の利用 / ヨッシー

図より明らかです。
No.36170 - 2016/03/17(Thu) 16:38:47
★ 極限 / 北風
平均値の定理を使うそうですが、この極限はどうなるのでしょうか？

lim(x→0)(sinx-sinx^2)/(x-x^2)

　f(x)= sinx とすると　f'(x)=cosx となり上の式＝cosx が存在する、というところから先なんですが。
　どなたか、お願いします。
No.36157 - 2016/03/16(Wed) 17:44:55
☆ Re: 極限 / 水面に映る月
ちゃんと御自分の中で理解しているのなら私がとやかく言うことではないですが，言葉は正確に使う努力をしましょう．あまりにも言葉をいい加減に使っていると，理解できない事柄がでてくると思います．

>f(x)= sinx とすると　f'(x)=cosx となり上の式＝cosx が存在する

正確には，f(x)=sinxとするとf'(x)=cosxとなり，(sinx-sinx^2)/(x-x^2)=cos(c)を満たすような実数cがxとx^2の間に存在する，ですね．

x→0のときx,x^2はともに0に収束しますから，いわゆる"はさみうちの原理"からc→0です．

したがって，求める極限はlim[c->0]cos(c)に等しいことがわかりますね．

# cはxに依存することを明確に認識してください．
No.36158 - 2016/03/16(Wed) 19:05:52
☆ Re: 極限 / 北風
　なるほど。厳密さに欠ける表現でした。これは、はさみうちの原理ですか。よく分かりました。お手数をおかけしました。ありがとうございます！
No.36159 - 2016/03/16(Wed) 19:19:06
★ 明後日合格者テストです！ / あや
この問題、特に問３，４の考え方、答えが知りたいです！！

助けを待っております。
No.36154 - 2016/03/15(Tue) 21:08:37
☆ Re: 明後日合格者テストです！ / ヨッシー
合格者テストとは？

長さの単位cmは省略します。
(1)
ＡＰ＋ＰＱ＋ＱＨが最短となるのは、展開図において、
ＡＨが直線となるときで、

図より、ＢＰ＝２、ＦＱ＝４
よって、△ＡＢＰにおける三平方の定理より
　ＡＰ＝2√10
(2)

ＡＰ//ＲＱ より ＥＲ＝２
△ＡＦＱは、∠ＡＦＱ＝90°の直角三角形であり、
ＡＦ＝6√2、ＦＱ＝４　より　ＡＱ＝2√22

一方、四角形ＡＰＱＲはひし形であり、各部の長さは以下の通り。

よって、ＰＲ＝6√2 が得られ、
　ひし形ＡＰＱＲ＝12√11
となります。
(3)

図のように、Ｇを通って、ＡＰＱＲに平行な平面で立方体を切ると
六面体ＡＢＰＥＦＱＲと同じ形の立体がもう一つ出来ます。
これらをくっつけると
　４×６×６
の直方体が出来るので、求める体積は
　４×６×６÷２＝７２
(4)
ＤＦ＝6√3 は別途求めておきます。

図のように平面ＡＰＱＲを等間隔に並べると、
ＤＦは５等分され、
　ＤＳ＝(3/5)ＤＦ＝(18/5)√3
No.36155 - 2016/03/15(Tue) 22:52:46
☆ Re: 明後日合格者テストです！ / あや
合格者テスト…いわゆるクラス分けテストです。今日合格発表なので。

ヨッシーさん、ありがとうございました。
とても分かりやすかったです。

これからもがんばるぞー！！
No.36156 - 2016/03/16(Wed) 09:38:02
★ 三角関数早急に知りたいです / ぺけもん
(1) sinx＝sinyを満たすx,yを考えよう。
0≦x＜y＜πのとき、x,yは
x+y＝ア
を満たす。
また、x≠y+2π×n(nは整数)のとき、
x,yは
x+y＝ア+イ×m(mは整数)
を満たす。
(2) √3sinθ−cosθ＝4sinθcosθを満たす角θ(0≦θ＜2π)を求めよう。いま
√3sinθ−cosθ＝ウsin(θ−π/エ)
と変形できる。よって、
√3sinθ−cosθ＝4sinθcosθを満たす角θは4個あり、小さい方から
θ＝オ/カキπ、クケ/コサπ、
シス/セソπ、タチ/ツπ
である。
ア〜ツに入る数字が知りたいです！
No.36150 - 2016/03/15(Tue) 00:56:07
☆ Re: 三角関数早急に知りたいです / X
(1)
sinx=siny
より
sinx-siny=0
2cos{(x+y)/2}sin{(x-y)/2}=0 (A)
(i)0≦x＜y＜πのとき
-π/2＜(x-y)/2＜0
よりsin{(x-y)/2}≠0
∴(A)より
cos{(x+y)/2}=0
又
0＜(x+y)/2＜π
となるので
(x+y)/2=π/2
∴x+y=π
(ii)x≠y+2π×n(nは整数)のとき、
(x-y)/2≠π×n
だから
sin{(x-y)/2}≠0
∴(A)より
cos{(x+y)/2}=0
よって
(x+y)/2=π/2+mπ
(mは整数)
となるので
x+y=π+2π×m
No.36151 - 2016/03/15(Tue) 04:32:21
☆ Re: 三角関数早急に知りたいです / X
(2)
√3sinθ-cosθ=4sinθcosθ
において、三角関数の合成により
左辺を変形すると
2sin(θ-π/6)=4sinθcosθ
sin(θ-π/6)=2sinθcosθ
sin(θ-π/6)=sin2θ
sin(θ-π/6)-sin2θ=0
2cos{(3/2)θ-π/12}sin(-θ/2-π/12)=0
cos{(3/2)θ-π/12}sin(θ/2+π/12)=0 (B)
ここで
0≦θ＜2π
により
-π/12≦(3/2)θ-π/12＜3π-π/12
π/12≦θ/2+π/12＜π+π/12
∴(B)より
(3/2)θ-π/12=π/2,3π/2,5π/2
θ/2+π/12=π
以上から
θ=7π/18,19π/18,31π/18,11π/6
No.36152 - 2016/03/15(Tue) 04:43:19
★ 微分の計算 / ふなっし
z=-1±√(3-(x+1)^2+(y+1)^2)
において∂^2z/∂x^2をzxx(zに対してxxは添え字),上のzの式における√内の式をA(=(z+1)^2)とすると、

zx=±｛-(x+1)/A^2｝より
zxx=±[｛-A^(1/2)+(x+1)^2×A^(-1/2)｝/A]
であり、またzyyはzxxにおいてxをyに変えたものであるからその和をただちに計算すると
zxx+zyy=±[｛-2A^1/2+｛(x+1)^2+(y+1)^2｝×A^(-1/2)｝/A]
という計算は合ってるでしょうか。

よろしくお願いします。
意味不明な点があったら返信お願いします。
No.36149 - 2016/03/14(Mon) 21:07:53
☆ Re: 微分の計算 / ヨッシー
ｚx の式は分母が A^2 ではなく A^(1/2) です。
ｚxx の式は符号が違います。
>zyyはzxxにおいてxをyに変えたものであるから
も誤りで、ｚは、ｘ，ｙの対称式でないので、そうは言えませんし、
実際計算しても違います。
No.36153 - 2016/03/15(Tue) 10:34:00
☆ Re: 微分の計算 / ふなっし
ありがとうございます。
検討してみます。
No.36193 - 2016/03/18(Fri) 16:28:47
★ 三角関数 / 北風
-2cos2θ+4sinθ+4=kという方程式において 2<k<10 のとき、全ての解の和は何か。(0≦θ≦2π)

　この問題で、式変形をしたら
y= 4(sinθ)^2+4sinθ+2 となったので、-1≦sinθ≦1 の範囲でグラフを書いたら(sinθ=tとおいて）1点で交わるので２つのθがあることまでは分かりました。
　しかし、解はkを含むとθを数値では出せないので、和となると分からなくなりました。
　どなたか、ご指導お願います。
No.36146 - 2016/03/14(Mon) 17:47:31
☆ Re: 三角関数 / ペンギン
解が１つしかないのであれば、
x=sinθとなるθは、0〜2πの間に
θとπ-θしかありません。よって、和はπとなります。
No.36147 - 2016/03/14(Mon) 18:03:04
☆ Re: 三角関数 / 北風
あっ、そうか。お手数をおかけしました。ありがとうございます！！
No.36148 - 2016/03/14(Mon) 18:12:35
★ (No Subject) / …
画像の(3)がわかりません。
それぞれの選択肢が何条件なのかも教えていただきたいです。
また、反例とかあったら教えてください。
よろしくお願いします。
No.36136 - 2016/03/13(Sun) 12:27:50
☆ Re: / ヨッシー
この問題を解くには、
　|a+b|＝|a|＋|b|
を満たす a, b とは、何か。言葉で説明するとか、
領域をグラフで示すとか出来ないといけませんが、
それは出来ますか？
No.36138 - 2016/03/13(Sun) 22:23:49
☆ Re: / …
すみません。できないです。
全然わからないので教えていただけるとありがたいです。
No.36139 - 2016/03/13(Sun) 22:32:23
☆ Re: / ヨッシー
では、代表的な点（組合せ）として
　(a,b)=(1,1), (1,-1), (-1,-1), (-1,1)
の４点について、ｑが成り立つか調べてください。
そしてそこから予想できる結論は？
No.36140 - 2016/03/13(Sun) 22:41:39
☆ Re: / …
あっているかはわからないのですが、(a、b)＝(1、1)と(-1、-1)のときqが成り立つ。
結論はa、bがともに0以上のとき、またはa、bがともに0以下のときに条件qは成り立つでしょうか？？
No.36141 - 2016/03/13(Sun) 22:56:53
☆ Re: / ヨッシー
そのように予測したら、今度は一般的な証明です。
a、bがともに0以上のとき
　|a+b|＝・・・、|a|＝・・・、|b|＝・・・
よって、|a+b|＝|a|＋|b| が成り立つ。
のような感じです。

それが出来たら、グラフで領域を描きます。
この場合は、第１象限と第３象限および座標軸上となります。
これを領域Ｘとします。
(0)〜(3)が、
１．領域Ｘ以外の領域を指すなら、必要条件でも十分条件でもない。
２．領域Ｘと全く同じ領域だったら、必要十分条件。
３．領域Ｘに含まれるなら十分条件
４．領域Ｘを含むなら必要条件
となります。
No.36142 - 2016/03/13(Sun) 23:11:18
☆ Re: / …
０が1番で、?@が4番で、?Aが2番で、?Bが3番でしょうか？？
No.36143 - 2016/03/13(Sun) 23:34:33
☆ Re: / ヨッシー
そうです。
（厳密に言えば、?Aは３でも４でもあります）
No.36144 - 2016/03/14(Mon) 06:00:53
☆ Re: / …
ありがとうございます！
No.36145 - 2016/03/14(Mon) 07:21:16
★ 値について(問題添付) / ココア
先ほど質問させていただいたものです。
問題添付します。

よろしくお願いします。
No.36131 - 2016/03/13(Sun) 01:29:55
★ 値について / ココア
中学2年生です。
数学の定期テストで、図形の値を求める問題が出ました。
大きさではなく、x、yの値を求めなさいと書いてあったので単位をつけずに回答したところ不正解になりました。
先生に質問したところ、問題の図のx、yに°や?pが記入されていない場合は単位をつけて答えないといけないとのことでしたが、塾の先生は必要ないといいます。
本当はどうなのか?困っています。教えて下さい。
No.36130 - 2016/03/13(Sun) 01:27:21
☆ Re: 値について / らすかる
私は単位は必要だと思います。
もし私が採点者なら、単位がなかったら大減点します。
No.36132 - 2016/03/13(Sun) 01:46:08
☆ Re: 値について / ヨッシー
単位は必要です。
特に角度の場合は単位「°」を付けないと
別の単位と見なされます（詳細は高校で習います）。
No.36134 - 2016/03/13(Sun) 07:16:10
☆ Re: 値について / ココア
やはり単位は必要なんですね。
ありがとうございました。
No.36137 - 2016/03/13(Sun) 13:40:28
★ (No Subject) / 濱さん
コメントお願いいたします。
No.36128 - 2016/03/12(Sat) 23:31:44
☆ Re: / 濱さん
続きです。
No.36129 - 2016/03/12(Sat) 23:32:35
☆ Re: / X
それでも問題ありません。
No.36133 - 2016/03/13(Sun) 05:43:14
☆ Re: / 濱さん
ありがとうございます。
No.36135 - 2016/03/13(Sun) 10:28:44
★ 等式の証明 / 納豆菌
x,y,zが{2(y+z)}/x={2(z+x)}/y={2(x+y)}/zを満たすとき、この式の値を求めよ。
この問題の解き方がわかりません。自分は下のように考えました。
{2(y+z)}/x={2(z+x)}/y={2(x+y)}/z=kと置いて、
2(y+z)=xk、2(z+x)=yk、2(x+y)=zk
2(y+z)+2(z+x)+2(x+y)=xk+yk+zk
4(x+y+z)=k(x+y+z)となってk=4 ここからわかりません。
正しい解き方を教えてください！
No.36124 - 2016/03/12(Sat) 17:18:30
☆ Re: 等式の証明 / ヨッシー
ｘ、ｙ、ｚそれぞれではなく、「この式の値」を答える問題なので、
　ｋ＝４
が答えの１つです。
No.36125 - 2016/03/12(Sat) 17:57:44
☆ Re: 等式の証明 / らすかる
4(x+y+z)=k(x+y+z) から k=4 または x+y+z=0
x+y+z=0 のとき y+z=-x, z+x=-y, x+y=-z なので
元の式に代入すると
2(-x)/x=2(-y)/y=2(-z)/z=-2
よって式の値は
4 （x+y+z≠0のとき）または
-2 （x+y+z=0のとき）

# x+y+z≠0 かつ式の値が4のとき、x,y,zの関係は
# x=y=z ですので、結果的には
# 4 （x=y=z≠0のとき）
# -2 （x+y+z=0のとき）
# ということになります。
No.36126 - 2016/03/12(Sat) 18:10:08
☆ Re: 等式の証明 / 納豆菌
x+y+z=0のときも有り得ますね、わかりました。
ヨッシー様、らすかる様、ヒントや考え方を教えてくださりありがとうございました！
No.36127 - 2016/03/12(Sat) 18:55:56
★ 相似　面積の比 / ポップコーン
図で、点Eは平行四辺形ABCDの辺AD上の点で、AE:ED＝３：５である。
また、点FはBAの延長とCEの延長との交点である。△AEFの面積が９平方センチメートルのとき、△ACEと平行四辺形ABCDの面積を求めなさい。
答えはわかっています！
（△ACE・・・１５平方センチメートル
平行四辺形ABCD・・・８０平方センチメートル）

でも、解き方がわかりません

宜しくおねがいします。
No.36119 - 2016/03/12(Sat) 11:04:24
☆ Re: 相似　面積の比 / ポップコーン
上の問題の図です！
No.36120 - 2016/03/12(Sat) 11:06:09
☆ Re: 相似　面積の比 / X
前半)
条件から
BF//CD
ですので錯角を考えることにより
△AEF∽△CDE
よって相似比により
EF:CE=AE:DE=3:5
となるのでEF,CEをそれぞれ△AEF,△ACE
の底辺と考えることにより、△ACEの面積は
9[cm^2]×(5/3)=15[cm^2]
後半)
AE:DE=3:5
により
AD:AE=8:3
これと前半の結果から△ACDの面積は
15[cm^2]×(8/3)=40[cm^2]
よって平行四辺形ABCDの面積は
40[cm^2]×2=80[cm^2]
No.36121 - 2016/03/12(Sat) 11:42:27
☆ Re: 相似　面積の比 / ポップコーン
Ｘ様へ
ご回答ありがとうございます！
追加で質問なんですが、
９[cm^2]×（5/3)の式のことで、
なぜこのような式になるのかがわかりません。

まことに失礼ながら、自分は結構理解力が低いので小学生レベルの文章でおねがいしてもよろしいでしょうか。

本当にすいません・・・。
No.36122 - 2016/03/12(Sat) 12:15:08
☆ Re: 相似　面積の比 / 水面に映る月
>>ポップコーンさんへ

理解の障壁となりうるものが2つほどあるように思いますので，こちらからいくつか質問させていただきます．

(1) △AEF:△ACE=EF:CE=AE:DE=3:5であることはわかりますか？
(2)x:y=3:5 であるとき， y=(5/3)x というのは納得できますか？
―――――――
(1)については答えを書くと，三角形の面積公式(1/2)*(底辺)*(高さ)で，辺EF，辺CEを底辺とみれば，高さは△AEFと△ACEで共通になるので，面積の比は底辺の比，すなわちEF:CEに等しくなる，ということです．

(2)でつまずいている，ということなら，その旨書き込んでください．本腰入れて解説します．
No.36123 - 2016/03/12(Sat) 16:27:26
☆ Re: 相似　面積の比 / ポップコーン
水面に映る月　様へ

返信遅くてすみません！

わかりやすくてすぐに理解できました！
本当にありがとうございました！
No.36160 - 2016/03/16(Wed) 20:06:37
★ 行列式の定義 / 黒沢
行列式の定義で順列の符号を決めるとき
(n,n-1,....,3,2,1)の順列の符号はどのようにしてもとめればいいのかわかりません。
よろしくお願いします。
No.36114 - 2016/03/11(Fri) 20:25:06
☆ Re: 行列式の定義 / IT
お使いのテキストにはどのように書いてありますか？
No.36116 - 2016/03/11(Fri) 22:22:17
☆ Re: 行列式の定義 / 黒沢
> お使いのテキストにはどのように書いてありますか？

転倒数というものを使っていて、転倒数は
(n-1)+(n-2)+...+2+1 = n(n-1)/2
より符号は(-1)^(n(n-1)/2)
らしいです。自分は転倒数というものを習っていなくて
たとえば
(4,3,1,2)なら
(1,3,4,2)
(1,2,4,3)
(1,2,3,4)
3回（奇数回)交換したので符号は-1
というように1からnまでの並び順になるまでに交換した回数が偶数なら1、奇数なら-1というように習いました。
No.36117 - 2016/03/11(Fri) 23:01:27
☆ Re: 行列式の定義 / IT
左右対称の位置のもの同士を交換すればいいので
n=2,(2,1)なら(1,2) 1回:奇数
n=3,(3,2,1)なら(1,2,3) 1回:奇数

n=4,(4,3,2,1)なら(1,3,2,4),(1,2,3,4) 2回:偶数
n=5,(5,4,3,2,1)なら(1,4,3,2,5),(1,2,3,4,5) 2回:偶数

n=6,(6,5,4,3,2,1)なら３回:奇数
n=7,(7,6,5,4,3,2,1)なら３回:奇数

n=8,(8,7,6,5,4,3,2,1)なら４回:偶数
n=9,(9,8,7,6,5,4,3,2,1)なら４回:偶数

というようになりますね、規則性が分るのでは？
(nを４で割った余りで分類されます）
No.36118 - 2016/03/11(Fri) 23:52:25
★ 重積分 / あん
積分の問題なのですが問題の矢印の変形でどのような計算をしたらx^2-y^2/(x^2+y^2)^2の積分を行いy/(x^2+y^2)を導けたのか分かりません
よろしくお願いします
No.36111 - 2016/03/10(Thu) 22:22:05
☆ Re: 重積分 / ヨッシー
積分した結果が、(ay^2＋by＋c)/(x^2＋y^2) の形になるであろうことは
（期待も含め）予測できますので、これを微分して、
　{(2ay＋b)(x^2+y^2)−2y(ay^2＋by＋c)}/(x^2＋y^2)^2
　(分子)＝−by^2＋(2ax^2−2c)y＋bx^2＝x^2−y^2
より、a=c=0, b=1 を得ます。
これで、係数がうまく決まらない場合は、別の方法（置換積分など) を
試すことになります。
No.36113 - 2016/03/11(Fri) 09:54:06
☆ Re: 重積分 / あん
ありがとうございます
No.36115 - 2016/03/11(Fri) 21:47:43
★ 今年の前期試験の問題 / ラフテル
半直線L:ｙ＝ｘ（ｘ≧０）、放物線C：ｙ＝(√２/4)x^2+√２/2
（１）放物線Cと半直線Lが接する点の座標を求めよ
（２）ｔ≧０とする。原点からの距離がｔであるL上の点をA(t)とするとき、A(t)を通りLに直行する直線と、放物線Cの共有点の座標をｔを用いて表せ。
（３）放物線Cと半直線Lおよびｙ軸とで囲まれた図形を半直線Lの周りに一回転して出来る回転体の体積を求めよ。

今年の問題で有名な大学ではないので答えはありません。特に（３）が全く分かりません。どうか教えてください。
No.36108 - 2016/03/10(Thu) 17:47:33
☆ Re: 今年の前期試験の問題 / X
(1)
L,Cの方程式を連立して解き、求める座標は
(√2,√2)
(2)
条件から
A(t)(t/√2,t/√2)
∴A(t)を通りLと直交する直線の方程式は
y=-(x-t/√2)+t/√2
整理して
y=-x+t√2 (A)
(A)とCの方程式を連立して解き、求める座標は
(-√2+2√t,√2-2√t+t√2)
(-√2-2√t,√2+2√t+t√2)
(3)
Cの方程式を変形して
x^2=2y√2-2
これと(1)の結果から求める体積をVとすると
V=π∫[0→√2](y^2)dy-π∫[(√2)/2→√2](2y√2-2)dy
=…
No.36109 - 2016/03/10(Thu) 21:04:51
★ 2016高校入試数学 / 中西学 中３
１２（２）の問題の答えの求め方がわかりません。宜しくお願いします。答え8/3 cm
No.36105 - 2016/03/10(Thu) 15:53:43
☆ Re: 2016高校入試数学 / ヨッシー
四面体ＡＢＣＤの体積を直方体から４つの三角錐を取り除いたものとして計算すると
　16/3
△ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝２√２ を底辺とすると高さが３√２なので、面積は６。
四面体ＡＢＣＤの体積において、△ＡＢＣを底面としたときの、高さが求める距離となります。
No.36106 - 2016/03/10(Thu) 17:23:07
★ (No Subject) / あ
Σ(k=1〜n)n/k×(-1)^k+1．の値を教えていただけないでしょうか？
計算の方針が立たないのですが…
No.36104 - 2016/03/10(Thu) 11:14:26
☆ Re: / らすかる
おそらく初等関数で表せないと思います。
No.36112 - 2016/03/11(Fri) 09:02:07
★ 変数がｋかｎか / ラフテル
(2)Σ（ｋ＝０〜ｎ）{nCk(-1)^k/(2k+1)}=4^n*(n!)^2/(2n+1)!
を示せ。
解）与えられた等式を?Aとする
ｎ＝０のとき左辺＝右辺＝1/3となり?Aは成立
ｎ＝L（L≧０）で?Aが成り立つと仮定すると
Σ（ｋ＝０〜L）{LC(-1)^k/(2k+1)}=4^L*(L!)^2/(2L+1)!のとき
Σ（ｋ＝０〜L+1）{L+1Ck(-1)^k/(2k+1)}=4^（L+1)*(L+1!)^2/(2L+３)!が成り立つことを示せばよい

というのは合っていますか？（この方針で問題が解けるとは別に）

もしこれで合っていたとしたらどうとけばよいのでしょうか
よろしくおねがいします。

ちなみに（１）に∫（０〜１）（１−ｘ＾２)^ndx=4^n*(n!)^2/(2n+1)!を示せというのもありましたがこれも解けませんでした。
No.36095 - 2016/03/09(Wed) 21:10:06
☆ Re: 変数がｋかｎか / ペンギン
2番目の問題に関してですが、一番目の問題の式の左辺を二項定理で展開し、項別に積分するのが労力の少ない解き方だと思います。
No.36096 - 2016/03/09(Wed) 21:40:08
☆ Re: 変数がｋかｎか / ペンギン
1番の問題に関しては、x=sintと置換すると、
cosの2n+1乗の積分に帰着します。
あとは、
http://mathtrain.jp/int_sinnx
などのサイトを参考にして漸化式で解くことができます。
No.36097 - 2016/03/09(Wed) 21:47:52
☆ Re: 変数がｋかｎか / ペンギン
ちなみに一番目の問題の右辺の分母は
(2n+1)!! ではないのでしょうか？
No.36099 - 2016/03/09(Wed) 21:52:42
☆ Re: 変数がｋかｎか / ラフテル
回答ありがとうございます

Σ（ｋ＝０〜L）{LC(-1)^k/(2k+1)}=4^L*(L!)^2/(2L+1)!のとき
Σ（ｋ＝０〜L+1）{L+1Ck(-1)^k/(2k+1)}=4^（L+1)*(L+1!)^2/(2L+３)!が成り立つことを示せばよい
というのは理屈としては合っているのでしょうか？

いえ（２ｎ＋１）！です。今年の信州大学の大学入試試験ですので！！という記号は元々使えないと思います
No.36100 - 2016/03/09(Wed) 22:12:07
☆ Re: 変数がｋかｎか / IT
横から失礼します。
（２）例えばn=10で計算してみたところ、元の等式が成立します。
No.36101 - 2016/03/09(Wed) 22:28:13
☆ Re: 変数がｋかｎか / ペンギン
失礼しました。
分母がn！の二乗なので、分子は(2n+1)！で合ってました
No.36102 - 2016/03/10(Thu) 07:31:13
☆ Re: 変数がｋかｎか / ペンギン
分母→分子、分子→分母ですよね
No.36103 - 2016/03/10(Thu) 07:31:49
☆ Re: 変数がｋかｎか / ラフテル
回答ありがとうございます

質問１
＞一番目の問題の式の左辺を二項定理で展開し、項別に積分するのが労力の少ない解き方
できました。こんな方法があったんですね。どうやってこんな方法を思いついたのでしょうか？何かもし思ったことがあったら教えてください。

質問２
Σ（ｋ＝０〜L）{LC(-1)^k/(2k+1)}=4^L*(L!)^2/(2L+1)!のとき
Σ（ｋ＝０〜L+1）{L+1Ck(-1)^k/(2k+1)}=4^（L+1)*(L+1!)^2/(2L+３)!が成り立つことを示せばよい
というのは理屈としては合っているのでしょうか？

おねがいします
No.36107 - 2016/03/10(Thu) 17:40:56
☆ Re: 変数がｋかｎか / ペンギン
質問2からお答えすると、考え方に問題はありません。
ただ、示すのは結構面倒かもしれません。

質問1の方は、問題1を見たら、問題2と右辺が全く同じだったので、問題1を活用するのだろうと推測したからです。
あとは、二項係数が式にあることと、1/(2k+1)という数がいかにも積分したあとの係数っぽかったので、あのような解き方を考えました。
No.36110 - 2016/03/10(Thu) 21:53:27
★ (No Subject) / 吉野
添付の問題の解き方を教えてください。
答えがないのですみませんがお願いします。
因みに、f'(X)＝０
から解けず手詰まりになってしまいました。
お願いします...
No.36093 - 2016/03/09(Wed) 20:11:52
☆ Re: / X
(1)
f'(x)=-(a/2)e^(-x/2)+(b/2)e^(x/2)
∴f'(x)=0となるようなxが存在するとき
e^x=a/b
よって題意から
e^a≦a/b≦e^(2a)
a＞0,b＞0に注意して変形すると
a/e^(2a)≦b≦a/e^a
後は境界線となる曲線
b=a/e^(2a)
b=a/e^a
について、微分して増減表を書きます。

(2)
(1)の過程により
S(t)=∫[t→2t]{a/e^a-a/e^(2a)}da
=∫[t→2t]a{e^(-a)-e^(-2a)}da
=…(部分積分を使って積分を計算します)
これよりS'(t)を計算し、t＞0における
S(t)の増減表を書きます。
No.36098 - 2016/03/09(Wed) 21:50:23
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