任意の2以上の整数nに対して、
?納k=1〜n-1]1/(1+cos(kπ/n))=(n^2-1)/3
が成り立つことを示せ。
宜しくお願いします。
|
No.36028 - 2016/03/01(Tue) 10:19:06
| ☆ Re: cosを含む和 / IT | | | 下記「青空学園数学科」に類題（東工大1990年後期）があります。かなり面倒です。
問題研究の２０C、をクリックしてください。
20世紀入試問題研究の 数列/90東工大
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/
|
No.36033 - 2016/03/01(Tue) 21:21:59 |
| ☆ Re: cosを含む和 / 水面に映る月 | | | # なんか，綺麗な式だな〜って思ってやり始めたけれど，手強いですね…．
# すでにITさんがレスなさっていますが数時間つぶして考えていたので，せっかくなので投稿します（笑）．
S[n]:=?納k=1,n-1]1/(1+cos(kπ/n))
=(1/2)?納k=1,n-1]1/{cos(kπ/2n)}^2(∵cosの倍角の公式)
=(1/2)?納k=1,n-1][1+{tan(kπ/2n)}^2]
=(n-1)/2+(1/2)?納k=1,n-1]{tan(kπ/2n)}^2
=(n-1)/2+(1/2)?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2…(1)
ここで，?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2について考えてみよう．
sin(kπ/2n)≠0のとき，(以下，iは虚数単位を表すものとします)，z[k]:=cos(2n*kπ/2n)+isin(2n*kπ/2n)を考えると，この複素数の虚部は0であり，また，ド・モアブルの公式より
z[k]=(cos(kπ/2n)+isin(kπ/2n))^(2n)
z'[k]:=z/(sin(kπ/2n))^(2n)とおくと，z'[k]=(1/tan(kπ/2n)+i)^(2n)であり，ここで，z[k]の虚部は0であったから，z'[k]の虚部はやはり0であることに注意．…(2)
ここで，xを実数として，2項定理より，(x+i)^(2n)=Σ[k=0,n]C(2n,k){x^(2n-k)}*(i^k)となり，(x+i)^(2n)の虚部はi^2=-1に注意して，xの(2n-1)次式(・)x+(・)x^3+…+(・)x^(2n-1)で表されることがわかるがこれは，x*(f(x)を(n-1)次式として，f(x^2))の形で書ける．したがって，(2)から，x=1/{tan(kπ/2n)}^2(k=1,…,n-1)は(n-1)次方程式f(x)=0の相異なるn-1個の解であることがわかる．
したがって，f(x)=a[0]+a[1]x+…+a[n-1]x^(n-1)とすると，n次式の根と係数の関係より，
?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2=-a[n-2]/a[n-1]…(3)
さて，a[n-2],a[n-1]が具体的にどう表されるか考えてみよう．まず，(x+i)^(2n)を2項定理を用いて，展開し，その虚部を考えたときのx^(2n-3)の係数がa[n-2]で，x^(2n-1)の係数がa[n-1]である．
従って，
a[n-1]=C(2n,1)=2n…(4)
a[n-2]=-C(2n,3)=-(2n)(2n-1)(2n-2)/6…(5)
(3)(4)(5)より，
?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2={(2n)(2n-1)(2n-2)/6}/2n=(2n-1)(n-1)/3…(6)
(1)(6)より
S[n]=(n-1)/2+(1/2)*(2n-1)(n-1)/3=(n^2-1)/3 (証明終)
|
No.36035 - 2016/03/01(Tue) 22:29:09 |
|
