f(x)がx=0で微分可能なとき、f'(0)を求めよ、という問題です。
そのような関数は
f(x)=x^2×sin(1/x) (x>0のとき),
0 (x=0のとき),
x^2×cos(1/x) (x<0のとき)
という関数です。
問題集の解説では、簡単に
|(f(x)-f(0))/x|≦|x|→0 による(ため)
とありました。
ここで、上の不等式の左辺は微分の定義から出現したのでしょうか。はさみうちの原理を使っているのはわかるのですが、、、
また、f(x)=x^2 (x:有理数),
0 (x:無理数)
という関数の設問もあるのですが、これは
xが有理数のときならば、f'(x)=2x より
f'(0)=2×0=0 と計算しても良いのでしょうか。
合わせてお願いいたします。
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No.36336 - 2016/03/25(Fri) 20:36:08
| ☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / IT | | | > |(f(x)-f(0))/x|≦|x|→0 による(ため)
> とありました。
> ここで、上の不等式の左辺は微分の定義から出現したのでしょうか。
そうですね。
> xが有理数のときならば、f'(x)=2x より
> f'(0)=2×0=0 と計算しても良いのでしょうか。
ダメですね。
x≠0では、f(x)は不連続であり、もちろん微分不可能です。
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No.36337 - 2016/03/25(Fri) 20:48:38 |
| ☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / ふなっし | | | では、いずれの設問も
|(f(x)-f(0))/x|≦|x|→0
を考える、ということですね。
左辺の分母のxって、xの変化量(Δx)のことですよね？
教科書ではよくhとかって表される、、
ここに単にxって書くのって記述的に正しいんですかね？
それと何故上の不等式に示される大小関係が成り立つのでしょうか。
お願いします。
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No.36339 - 2016/03/25(Fri) 21:33:55 |
| ☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / IT | | | > 左辺の分母のxって、xの変化量(Δx)のことですよね？
> 教科書ではよくhとかって表される、、
> ここに単にxって書くのって記述的に正しいんですかね？
問題ないです。問題中で他の意味がある文字以外のどんな文字を使っても構わないと思います。
a,b,c...,h,..s,t,u,...x,y,z
e,fは使わない。a,b,cなども定数を表すことが多いですが絶対ではないですね。
> それと何故上の不等式に示される大小関係が成り立つのでしょうか。
(f(x)-f(0))/xを計算してみてください。容易に分ると思います。
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No.36340 - 2016/03/25(Fri) 21:57:08 |
| ☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / ふなっし | | | なるほど、
?@Δx(xの変化量)=x(独立変数)ってイコールなのでしょうか？(基本的な話ですいません)
?Aそれと、(f(x)-f(0))/xを計算するにあたって、f(0)って計算できるんですか？つまり、x=0を代入してもいいのですか？
?B最後に、|sinx|≦1とかいうのは使いますか？
お願いします。
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No.36341 - 2016/03/25(Fri) 22:07:14 |
| ☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / IT | | | > ?@Δx(xの変化量)=x(独立変数)ってイコールなのでしょうか？(基本的な話ですいません)
何を表しているかは文脈から判断すればいいと思います。
「?@Δx(xの変化量)=x(独立変数)って」と書かれると、その場合は、違いますね。
> ?Aそれと、(f(x)-f(0))/xを計算するにあたって、f(0)って計算できるんですか？つまり、x=0を代入してもいいのですか？
計算できます。問題をよく読んでf(x)の定義を確認してください。
> ?B最後に、|sinx|≦1とかいうのは使いますか？
使います。
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No.36342 - 2016/03/25(Fri) 22:19:13 |
| ☆ Re: 微分係数f'(0)の求め方 / ふなっし | | | では、やることは教科書によくある例題と同じですね。。
なんとなくわかりました。
検討してみます。
ありがとうございました。。
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No.36343 - 2016/03/25(Fri) 22:56:41 |
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