四面体ABCDがある。線分AB,BC,CD,DA上にそれぞれP,Q,R,Sがある。P,Q,R,Sは同一平面上にあり、四面体のどの頂点とも異なるとする。
PQとRSが平行であるとき
平面PQRSとACが平行になる理由を教えてください。よろしくおねがいします。
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No.35511 - 2016/02/06(Sat) 17:59:37
| ☆ Re: 高３ / 水面に映る月 | | | 【初等幾何による証明】
背理法による．
今，平面PQRSと直線ACが平行でないと仮定する．
この時，平面PQRSと直線ACは交点を持つことになるから，これを点Tとする．
この時，点Tは直線AC上にあるから，直線ACを含む平面である平面DAC上にある．
これと，2点S,Rが共に平面DAC上にあることから，3点S,R,Tは共に平面DAC上にあることが言える．
また，点Tは平面PQRSと直線ACの交点であるから，平面PQRS上にもある．
以上から，3点S,R,Tは平面PQRS上にもあり，かつ，平面DAC上にもあるわけであって，これら2つの平面は唯一つの交線をもつので，3点S,R,Tが一直線上にあることが言えた．
同様にして，3点P,Q,Tが一直線上にあることも言える．
以上のことから，直線SRと直線PQが点Tで交わることになるが，これは直線SRと直線PQが平行であることに矛盾する．
したがって，平面PQRSと直線ACは平行である． ■
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No.35514 - 2016/02/06(Sat) 20:21:45 |
| ☆ Re: 高３ / 水面に映る月 | | | # 以下，例えば「ABベクトル」はVec(AB)で表すものとします．
【ベクトルを用いた証明】
DS:SA=x:(1-x),AP:PB=y:(1-y),BQ:QC=z:(1-z),CR:RD=w:(1-w)(x,y,z,wはいずれも0より大かつ1より小なる実数)とすると，
Vec(SR)=Vec(DR)-Vec(DS)=(1-w)*Vec(DC)-x*Vec(DA)
Vec(PQ)=Vec(DQ)-Vec(DP)=(中略)=-(1-y)*Vec(DA)+{(1-y)-z}*Vec(DB)+z*Vec(DC)
両者が互いに平行であることから，Vec(PQ)=k*Vec(SR)…(*)となる実数kが存在する．ここで(*)は次のようになる，
-(1-y)*Vec(DA)+{(1-y)-z}*Vec(DB)+z*Vec(DC)=k(1-w)*Vec(DC)-kx*Vec(DA)
Vec(DA),Vec(DB),Vec(DC)は一次独立であるから，特に，両辺のVec(DB)の係数が等しいので，
{(1-y)-z}=0 すなわち， z=1-y
従って，BQ:QC=BP:PAであるから，PQ//ACである．
ここで，直線ACと平面PQRSが交わるとすれば，その交点は平面PQAC上にあることになるが，PQ//ACであるから直線PQと直線ACは交わることはないため，そのような点，つまり，直線ACと平面PQRSの交点は存在しないことが言える[注1]．
よって，平面PQRSと直線ACが平行であることが言えた．■
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[注1]結局初等幾何チックになるんかいな！
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No.35520 - 2016/02/06(Sat) 22:50:42 |
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