ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 面積分 / 面積分

写真のように解きましたが
解答は4πで合いませんでした。
どこが間違っているでしょうか？

No.82671 - 2022/07/06(Wed) 12:13:59

☆ Re: 面積分 / X

極座標に変換した後の被積分関数にヤコビヤンが
かけられていないのも誤りですが、それ以前に
途中からの計算がSのz≧0の部分のみの積分に
なってしまっています。

ちなみにこの積分は面積分さんのような
複雑な計算をしなくても解けます。
S上においてr=aですので
(与式)=∫∫[S]dS/r^2=(1/a^2)∫∫[S]dS
=(1/a^2)・4πa^2
=4π

No.82673 - 2022/07/06(Wed) 18:30:22

☆ Re: 面積分 / 面積分

ありがとうございます。

No.82678 - 2022/07/07(Thu) 02:18:26

★ 整数(合同式) / Nao

合同式の単元での問題ですので、合同式を用いて解く問題だと思うのですが、解けません。。。
解答がないため正答をお示しできないのですが、お分かりになる方、解説いただけないでしょうか。

No.82667 - 2022/07/06(Wed) 00:26:44

☆ Re: 整数(合同式) / ヨッシー

7x＝1000－18y　を７を法にした合同式にすると、
　0≡6－4y
　y≡5
よって、y は、
　5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54
の８個であり、それに対するｘは、
　130, 112, 94, 76, 58, 40, 22, 4
です。

No.82669 - 2022/07/06(Wed) 08:27:30

☆ Re: 整数(合同式) / Nao

よくわかりました。
ありがとうございました。

No.82675 - 2022/07/06(Wed) 20:47:13

★ マクスウェル方程式の境界条件について / 境界条件

スレチだったら申し訳ありません。
マクスウェル方程式の境界条件について。大学で電磁波の勉強をしているのですが,以下の第三種境界条件(混同境界条件)の式が導出できません。
題は媒質1が完全導体,媒質2が不完全導体の時の境界条件を一般化したものについてです。ネット上でも文献が少なく,いろいろ自分で式を変形しているのですが,なかなか難しいです。
大変初歩的な質問で恐縮なのですが,導出過程をしめしていただけないでしょうか。不足している情報があれば随時お答えいたします。

No.82654 - 2022/07/05(Tue) 12:25:39

☆ Re: マクスウェル方程式の境界条件について / X

(1.55)の↑nとの外積を左から取ると
↑n×(↑n×↑E)=-ηZ[0]↑n×↑H (A)
((∵)↑n×↑n=↑0)
一方、マックスウェルの方程式から
∇×↑E=-μ[1](∂/∂t)↑H　(電磁誘導の法則) (B)

質問内容には書かれていませんが
(∂/∂t)↑H=jω↑H
を仮定できるのであれば、

(B)より
↑H=-{1/(jωμ[1])}∇×↑E
これを(A)に代入すると
↑n×(↑n×↑E)={ηZ[0]/(jωμ[1])}↑n×(∇×↑E) (A)'
ここで
Z[0]=√(μ[0]/ε[0])
k[0]=ω√(ε[0]μ[0])
により
Z[0]/ω=(1/k[0]){√(ε[0]μ[0])}√(μ[0]/ε[0])
=μ[0]/k[0]
これを(A)'に代入して
↑n×(↑n×↑E)={ημ[0]/(k[0]μ[1])}↑n×(∇×↑E) (A)"
更に条件から
μ[r1]=μ[1]/μ[0]
に注意すると(A)"は
↑n×(↑n×↑E)={η/(jk[0]μ[r1])}↑n×(∇×↑E)
∴(jk[0]/η)↑n×(↑n×↑E)=(1/μ[r1])↑n×(∇×↑E)
となり、(1.56)を得ます。

似たような変形を(1.54)に行えば(1.57)を得られると思います。
但し、こちらに使うマックスウェルの方程式は
∇×↑H=ε[1](∂/∂t)↑E (つまり、アンペールの周回積分の法則の方)
で、これも
(∂/∂t)↑E=jω↑E
が仮定できれば
∇×↑H=jωε[1]↑E
となりますので、これを使って、(1.54)から↑Eを消去していきます。

No.82658 - 2022/07/05(Tue) 18:07:02

★ 面積分 / 範囲

写真のように解きましたが、解説の解答は0で間違っていました。
どこが間違っているでしょうか？

No.82653 - 2022/07/05(Tue) 11:19:32

☆ Re: 面積分 / GandB

　0になったので、たぶん合ってると思う。

No.82656 - 2022/07/05(Tue) 16:57:05

☆ Re: 面積分 / 範囲

範囲が　2-xでしたか。
丁寧にありがとうございます。

No.82657 - 2022/07/05(Tue) 17:09:00

★ 範囲の求め方 / 範囲

6-2x-3y が0以上
xが0以上
yが0以上
のとき、xとyの範囲はどうやって求めたらいいですか？

No.82650 - 2022/07/05(Tue) 10:39:52

☆ Re: 範囲の求め方 / ヨッシー

6-2x-3y≧0
x≧0
y≧0
のグラフを描いてみるのが第一歩です。

一概に x と y の範囲と言っても、
0≦x≦3, 0≦y≦2 ではありますが、
(x, y)＝(2, 3) という組み合わせは存在しないので、
どう答えるべきかは、何を聞かれているかによります。

多分、
6-2x-3y が0以上
xが0以上
yが0以上
のときの、x と y の範囲を求めよ。
という問題ではないと思います。

x と y が取りうる値の範囲をそれぞれ求めよ。
ならあり得ます。

No.82651 - 2022/07/05(Tue) 10:46:17

☆ Re: 範囲の求め方 / 範囲

面積分の問題です。積分範囲を求めたかったです。

No.82652 - 2022/07/05(Tue) 11:11:01

★ ベクトル / Sky

解答がついておらず、添付の問題が解けません。
解ける方がいれば教えていただきたく、よろしくお願いします！

No.82648 - 2022/07/04(Mon) 23:58:12

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

∠ＡＯＢ＝60°は明らかであり、

を考慮すると、Ｐの存在範囲は以下のようになります。

面積は、４を高さとすると底辺は 8/√3 なので、
　16／√3＝16√3/3
ＯＰが最大となるのは図の●の位置で、座標で言うと
　(-1, 3√3)
よって、
　ＯＰ＝√28＝2√7

No.82649 - 2022/07/05(Tue) 08:53:58

☆ Re: ベクトル / Sky

ヨッシーさま

ありがとうございます。

面積の部分ですが、4×8/√3ですと、16√3/3ではなく、32√3/3かと思うのですが、認識に相違ないでしょうか。

No.82666 - 2022/07/06(Wed) 00:21:20

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

おっと、そうでした。

三角形のクセで２で割ってました。
　32√3/3
です。

No.82668 - 2022/07/06(Wed) 08:14:51

☆ Re: ベクトル / Nao

ありがとうございます！

No.82674 - 2022/07/06(Wed) 20:46:28

★ 変曲点における接線 / TOM

TOM

こんばんは。
y=(x-1)^3の変曲点A(1,0)における直線y-0=f'(1)(x-1)は点Aにおける接線ですか。
直線y-0=f'(1)(x-1)は点Aでy=(x-1)^3のグラフを切ってしまうので、接線のように
見えないですが教えてください。

同様に
y=(x＋１)/e^xの変曲点B(1,2/e)における直線y-2/e=f'(1)(x-1)は点Aにおける接線ですか。
直線y-2/e=f'(1)(x-1)は点Bでy=(x＋１)/e^xのグラフを切ってしまうので、接線のように
見えないですが教えてください。

No.82646 - 2022/07/04(Mon) 21:53:23

☆ Re: 変曲点における接線 / X

ある曲線C上の点Aにおける接線lについて、
C上の点Aとは異なる点BでCとlが交わって
いても、lが
「点Aにおける」Cの接線
であることに変わりはありません。

No.82659 - 2022/07/05(Tue) 19:17:44

☆ Re: 変曲点における接線 / TOM

すみませんが、「ある曲線C上の点Aにおける接線lについて、
C上の点Aとは異なる点BでCとlが交わっていない場合」
で以下のものについて教えてください。

y=(x-1)^3の変曲点A(1,0)における直線y-0=f'(1)(x-1)は点Aにおける接線ですか。
直線y-0=f'(1)(x-1)は点Aでy=(x-1)^3のグラフを切ってしまうので、接線のように見えないですが教えてください。

No.82660 - 2022/07/05(Tue) 20:33:21

☆ Re: 変曲点における接線 / X

ごめんなさい。質問の意味を誤解していました。

例えば
y=x^3 (A)
のグラフ上の点(0,0)(つまり原点)における
接線の方程式は
y=0 (つまりx軸)
ですが、x軸は(A)のグラフを原点で切っていますよね。
このように
接点において、接線が接線を取る曲線を切る
ということもあります。

TOMさんは多分数学IIIを学習していないかもしれませんが
もし学習されているのであれば、次のキーワードを
調べてみて下さい。
変曲点

No.82711 - 2022/07/10(Sun) 11:55:54

★ 中学数学:図形 / 山田山

?Cと?Dの行間が分かりません。解説をお願いします。

No.82643 - 2022/07/04(Mon) 14:33:05

☆ Re: 中学数学:図形 / 山田山

キーボードの関係上変な文章になってしまいました、すみません。アンダーラインとその上の行間を指しています。

No.82644 - 2022/07/04(Mon) 14:34:51

☆ Re: 中学数学:図形 / ヨッシー

△ＡＢＦ≡△ＥＢＣ　から
正方形ＢＦＧＣ＝長方形ＢＪＫＥ　が言えたのと同様に、
△ＡＢＩ≡△ＡＤＣ　から
正方形ＣＨＩＡ＝長方形ＡＤＫＪ　が言えるということです。

ちなみにキーボードのせいではなく、○数字が文字化けしただけです。

No.82645 - 2022/07/04(Mon) 14:56:21

☆ Re: 中学数学:図形 / 山田山

回答ありがとうございます。

No.82672 - 2022/07/06(Wed) 14:18:19

★ ベクトル / Nao

こちらの問題、解答解説がなく、どうしても自力で解けません。
途中式含めた解答をお教えいただきたく、宜しくお願いいたします。

No.82637 - 2022/07/03(Sun) 22:13:20

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

図のように、座標平面上にＯＡ＝(1,0)、ＯＢ＝(0,1) とすると、
Ｐの座標は(s, t)で表せます。あとは、
　s+2t≦2, s-2t≦2, t≦2
の領域が、Ｐの存在範囲となり、その面積は△ＯＡＢの16倍となります。

No.82642 - 2022/07/04(Mon) 12:24:48

☆ Re: ベクトル / Nao

ヨッシーさま

理解できました。
ありがとうございます！！

No.82647 - 2022/07/04(Mon) 23:54:18

★ 高校3年　複素数の極形式 / めいぷる

z = 5･√(1 + i)を極形式で示したいのですが、行き詰まってます。できれば途中式を含めた解答をお願いしたいです。一応補足でiは虚数単位です。

No.82633 - 2022/07/03(Sun) 09:11:32

☆ Re: 高校3年　複素数の極形式 / ヨッシー

ｒ・ｅ^iθ＝√(1＋i)
とすると、２乗して
　ｒ²・ｅ^2iθ＝1＋i＝√2ｅ^iπ/4
または
　ｒ²・ｅ^2iθ＝1＋i＝√2ｅ^9πi/4
よって、
　ｒ＝2^1/4、θ＝π/8 または 9π/8

あとは、ｒに５を掛ければ、ｚになります。　
　

No.82635 - 2022/07/03(Sun) 18:07:37

☆ Re: 高校3年　複素数の極形式 / めいぷる

ヨッシーさん、ありがとうございます！

理解することができました！

No.82641 - 2022/07/04(Mon) 08:26:13

★ a^4=b^5+4 / 大西

a^4=b^5+4を満たす3以上の素数(a,b)の組を求めよという問題なのですが、
解が存在しなさそうな気がします。
解が存在しないならばそれを示したいのですが、うまくいかないです。
解き方を教えてください。

No.82627 - 2022/07/03(Sun) 00:04:58

☆ Re: a^4=b^5+4 / IT

a^4=b^5+4
∴(a^2+2)(a^2-2)=b^5
はしょって、a^2+2=b^3,a^2-2=b^2 or a^2+2=b^4,a^2-2=b
はしょって、a^2+2=b^3,a^2-2=b^2
∴b^3-b^2=4
∴b=2 不適

No.82628 - 2022/07/03(Sun) 01:12:02

☆ Re: a^4=b^5+4 / 大西

ありがとうございます。
理解できました。

No.82632 - 2022/07/03(Sun) 08:38:35

★ ベクトル / Nao

添付の2問がわかりません。
解答解説がなく、正答がわからず、どなたか途中式含め正答をお教えいただけないでしょうか。

No.82626 - 2022/07/02(Sat) 23:28:11

☆ Re: ベクトル / IT

（４）の大まかな流れ（x,y,z>0 などの条件は記述を略してます）
2/x+1/y+1/z=1 よりx=2yz/(yz-(y+z))
∴w=2yz/(yz-(y+z))+y+z

yzが一定のときy+zが最小となるのはy=zのときなので
wが最小となるのはy=zのときで
w=2y^2/(y^2-2y)+2y=4/(y-2)+2(y-2)+6
これが最小となるのはy-2=√2のとき（∵相加相乗平均の関係）
すなわちy=2+√2のとき・・・

これもベクトルの応用問題で下のXさんの解法が良いですね。

No.82629 - 2022/07/03(Sun) 06:13:46

☆ Re: ベクトル / X

(4)の別解
条件から
↑a=(√x,√y,√z)
↑b=(√(2/x),1/√y,1/√z)
なる↑a、↑bを置くことができます。
このとき
(|↑a||↑b|)^2≧(↑a・↑b)^2
(不等号の下の等号は↑a//↑bのとき成立 (P))
∴(x+y+z)(2/x+1/y+1/z)≧(√2+2)^2 (A)
(A)に
2/x+1/y+1/z=1 (B)
を代入すると
x+y+z≧6+4√2
∴x+y+zの最小値は6+4√2
このとき(P)より
↑a=k↑b (kは0でない定数)
と置くことができるので
√(2/x)=k√x (C)
1/√y=k√y (D)
1√z=k√z (E)
(B)(C)(D)(E)を連立して解き
(x,y,z)=(2+2√2,2+√2,2+√2)

No.82630 - 2022/07/03(Sun) 07:22:52

☆ Re: ベクトル / Nao

ITさま、Xさま

ありがとうございます！
ご丁寧な解説のお陰で(4)は理解できました。

(3)は相変わらず自力では解くことができません。。
同様に解法、正答をお教えいただけると助かります。

どうぞ宜しくお願いいたします。

No.82634 - 2022/07/03(Sun) 14:30:54

★ 面積分における領域の範囲 / 大学数学

平面 2x+2y+z=2 が座標軸と交わる点A,B,Cを頂点とする三角形の領域をSとする.
この条件から,x,y,zの範囲を出さないといけないと思うのですが,どうすればいいですか？

No.82623 - 2022/07/02(Sat) 18:26:38

☆ Re: 面積分における領域の範囲 / 大学数学

すいません.分かりました.x軸との交点を出すにはy,z=0を代入すればいいんですよね.

No.82624 - 2022/07/02(Sat) 18:29:14

★ 二項定理/多項定理 / Kevin

(x^4+x^3+x^2+x+1)^nにおけるx^4の係数を求めよという問題の解法が分かりません。ご教授願います。

No.82620 - 2022/07/01(Fri) 22:25:18

☆ Re: 二項定理/多項定理 / IT

x^4になるのは
x^4*1*...*1
x^3*x*1*..*1
・・・
・・・
x*x*x*x*1*...*1

です。それぞれ何通りあるか数えると良いと思います。

No.82621 - 2022/07/01(Fri) 22:50:57

☆ Re: 二項定理/多項定理 / ast

w:=x^4, z:=x^3, y:=x^2, x:=x^1, 1:=x^0 のとき, (w+z+y+x+1)^n の展開の一般項 w^p*z^q*y^r*x^s*1^t = x^(4p+3q+2r+1s+0t) の係数は定理から分かっているのだから, 4p+3q+2r+1s+0t=4 を満たすすべての (p,q,r,s,t) に対して同類項をまとめるだけ.

(高校数学の範囲で二項定理に対して同様の問題は定理のすぐ後ぐらいのタイミングでやることになると思われるので) 多項定理を認識しておいて本問の解法がわからないということはすごく考えにくく, そもそも多項定理を (というか二項定理すらも) 理解してないのではとの疑いが濃い.
# 定理を理解してない段階で解く問題でもないと思う.

No.82622 - 2022/07/01(Fri) 22:53:16

★ 数I 二次関数最大•最小 / ふつく

解き方がわかりません。解説お願いします
答えはa＝3－√3/12、3－√3/3です

No.82613 - 2022/07/01(Fri) 16:51:11

☆ Re: 数I 二次関数最大•最小 / ふつく

（2）の解説をお願いします

No.82614 - 2022/07/01(Fri) 16:52:26

☆ Re: 数I 二次関数最大•最小 / X

(1)はできていますか？
(2)は(1)の結果を使います。

(1)においてaの値で場合分けをして
M,mをaの式で表していますよね？
それを使って各場合分けについて
M-m=3
からaの方程式を導き出して解き、
その結果が各場合分けにおける
aの値の条件を満たすかを
調べます。

No.82615 - 2022/07/01(Fri) 17:02:39

☆ Re: 数I 二次関数最大•最小 / ふつく

M -mのaの場合分けの範囲が知りたいです
(a≦1/2とする　条件載せ忘れましたm(_ _)m)

No.82616 - 2022/07/01(Fri) 17:26:03

☆ Re: 数I 二次関数最大•最小 / ヨッシー

(1) をＭはＭだけ、ｍはｍだけで求めると
(2) で困るでしょうね。
0＜a＜1/3, 1/3≦a＜1/2, 1/2≦a≦1, 1＜a
において、Ｍとｍをａで表してみましょう。

なお、Ｍの中の a＝1/2 の場合は 1/2≦a≦1 に含めました。

No.82618 - 2022/07/01(Fri) 18:21:39

☆ Re: 数I 二次関数最大•最小 / ふつく

丁寧な解説ありがとうございます

No.82619 - 2022/07/01(Fri) 18:40:34

★ ∫tan^3xdx / abc

tan^3xの不定積分の計算で、
添付写真の計算のどこが間違っていますか？

No.82605 - 2022/06/30(Thu) 18:48:20

☆ Re: ∫tan^3xdx / X

どこも問題ないと思います。
参考として以下のURLをどうぞ。
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB%5B%28tanx%29%5E3%2Cx%5D

No.82608 - 2022/06/30(Thu) 19:51:31

☆ Re: ∫tan^3xdx / 大西

合っています。
1+(tanx)^2=1/(cosx)^2の関係式があるので解答にいろんな表現がありますが、すべて同じですね。
log|cosx|+(tanx)^2/2+CなんかでもOKです。

No.82609 - 2022/06/30(Thu) 19:54:21

☆ Re: ∫tan^3xdx / abc

解答有難うございます。
1+(tanx)^2＝1/(cosx)^2の関係式のことをすっかり見落としていました。そのため他で解答を見たときに自分の計算と表現が違っていたので混乱してしまいました。

No.82611 - 2022/06/30(Thu) 20:22:52

☆ Re: ∫tan^3xdx / IT

微分して検算すると良いかも知れません。

No.82612 - 2022/06/30(Thu) 20:38:34