ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 図形の性質 / 福満惟大

図形の性質の問題です。（というか証明方法ですが）
垂心のベクトルの証明（またはオイラー線）に関するもので
OH=OA+OB+OC (Oは外心）
の証明方法がわかりません。

(上の矢印ははぶいてます）
OH=3OGと置かなくてはならないのでしょうか。 (Gは重心）
というかOH=3OGがわかっているならオイラー線の証明必要ない
のではとも思ったのですが。

No.36079 - 2016/03/08(Tue) 16:42:29

☆ Re: 図形の性質 / ヨッシー

証明する内容が
　ＯＧＨが一直線上　かつ　ＯＧ：ＧＨ＝１：２
なので、ＯＨ＝３ＯＧを証明することが、
オイラー線を証明することになります。
ＯＨ＝３ＯＧと置くのでも、
ＯＨ＝３ＯＧが明らかなものとしているのでもなく、
ＯＨ＝３ＯＧを目指して、これから証明しようというものです。

証明自体は、こちらなどをご覧ください。

No.36080 - 2016/03/08(Tue) 17:08:23

☆ Re: 図形の性質 / 福満惟大

何度もすみません。
オイラー線の証明ではなく
OH=OA+OB+OC
となる証明だけがわからないのです
なぜこのような式になるのでしょうか？
質問の意味が分かりづらくて申し訳ありません(汗）

No.36081 - 2016/03/08(Tue) 17:47:50

☆ Re: 図形の性質 / ヨッシー

なぜ、
　ＯＨ＝３ＯＧ
を示すのが目標なのに、
　ＯＨ＝ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ
を示そうとしているのか？
ということでしょうか？

Ｇは重心なので、
　３ＯＧ＝ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ
です。
この場合の点Ｏは、外心にかぎらず、任意の点です。

No.36082 - 2016/03/08(Tue) 17:57:46

☆ Re: 図形の性質 / 福満惟大

ご返答ありがとうございました。
なんかいろいろ勘違いしてました。

No.36083 - 2016/03/08(Tue) 18:08:47

★ 知り合い全滅の問題 / アルミ缶の中でテルミット反応www

約数の和が2016となる自然数のうち最大のものと最小のものを求めよ。

No.36058 - 2016/03/05(Sat) 20:16:09

☆ Re: 知り合い全滅の問題 / アルミ缶の中でテルミット反応www

学年のレベル等はわかりませんが理?Vや東大余裕勢の知り合いで討論しましたが綺麗な解き方が得られませんでした。正しい答えがわからないので、ぜひ解いてみてください。

No.36059 - 2016/03/05(Sat) 20:20:32

☆ Re: 知り合い全滅の問題 / IT

プログラムを使ってやってみました。
最小値は660=(2^2)×3×5×11
最大値は1927=41×47 です。
総当たり（工夫で少しは減らせますが）以外では難しいのではないでしょうか。

Ｎは　　　　数値　2016。
Ｘは　　　　変数。
約数の和は　変数。
最小数は　　変数。
最大数は　　変数。
メインは
　　　最小数に　Ｎを　入れる
　　　最大数に　１を　入れる
　　　Ｘに　　　１を　入れる
　　　ここから
　　　　　　　Ｘが　Ｎより　大きい
　　　　　　　　　ならば　打ち切り
　　　　　　　　　つぎに
　　　　　　　約数の和を　クリアし
　　　　　　　Ｘ　回数指定し
　　　　　　　　　Ｘの　回数での　余りが　０と　等しい
　　　　　　　　　　　ならば　回数だけ　約数の和を　増加する
　　　　　　　　　　　つぎに
　　　　　　　繰り返す
　　　　　　　約数の和が　Ｎと　等しい
　　　　　　　　　ならば
　　　　　　　　　　　Ｘを　数値表示し　改行する　
　　　　　　　　　　　Ｘが　最小数より　小さい
　　　　　　　　　　　　　ならば　Ｘを　最小数に　入れる
　　　　　　　　　　　　　つぎに
　　　　　　　　　　　Ｘが　最大数より　大きい
　　　　　　　　　　　　　ならば　Ｘを　最大数に　入れる
　　　　　　　　　　　　　つぎに
　　　　　　　　　つぎに
　　　　　　　Ｘを　一つ増加する
　　　　繰り返す
　　　　最小数を　数値表示し　改行
　　　　最大数を　数値表示し　改行
　　　　終わり。　　　　　　　　　　

No.36061 - 2016/03/05(Sat) 22:02:05

☆ Re: 知り合い全滅の問題 / アルミ缶の中でテルミット反応www

やっぱり綺麗に出すのは無理なんですかね
友達も数えあげて出してましたが…

No.36062 - 2016/03/05(Sat) 22:46:55

☆ Re: 知り合い全滅の問題 / らすかる

2016=2^5×3^2×7
約数(1を除く)を列挙すると
2,3,4,6,7,8,9,12,14,16,18,21,24,28,32,36,42,48,56,63,72,
84,96,112,126,144,168,224,252,288,336,504,672,1008,2016
2のべき乗和（1を除く）で2016の約数になるものは
2^1 → 3
2^2 → 7
2^5 → 63 = 3^2×7
奇素数pのべき乗和（1を除く）を順に調べていくと、
約数になるものは（たまたま）1+pしかなく
3 → 4 = 2^2
5 → 6 = 2×3
7 → 8 = 2^3
11 → 12 = 2^2×3
13 → 14 = 2×7
17 → 18 = 2×3^2
23 → 24 = 2^3×3
31 → 32 = 2^5
41 → 42 = 2×3×7
47 → 48 = 2^4×3
71 → 72 = 2^3×3^2
83 → 84 = 2^2×3×7
167 → 168 = 2^3×3×7
223 → 224 = 2^5×7
251 → 252 = 2^2×3^2×7
503 → 504 = 2^3×3^2×7
で全てとなり、これを組み合わせて2^5×3^2×7になるようにすればよい。
最大が503のとき残りは2^2なので3×503=1509のみ
最大が251のとき残りは2^3なので7×251=1757のみ
最大が223のとき残りは3^2なので不適
最大が167のとき残りは2^2×3なので11×167=1837と2×3×167=1002
最大が83のとき残りは2^3×3なので23×83=1909と2×7×83=1162と3×5×83=1245
最大が71のとき残りは2^2×7なので2^2×3×71=852
最大が47のとき残りは2×3×7なので41×47=1927と2^2×5×47=940と2×13×47=1222
最大が41のとき残りは2^4×3なので3×11×41=1353と5×7×41=1435
最大が2^5のとき残りは2^5なので31×32=992と3×7×32=672
最大が2^5未満のとき、7が含まれるためには少なくとも2^2,13のどちらかが必要。
13(→2×7)を使うとき残りは2^4×3^2なので
2×5×7×13=910と2×3×11×13=858と5×13×23=1495と7×17×13=1547
2^2(→7)を使うとき残りは2^5×3^2なので
2^2×3×5×11=660と2^2×11×23=1012
よって約数の和が2016になるものは
660,672,852,858,910,940,992,1002,1012,1162,1222,
1245,1353,1435,1495,1509,1547,1757,1837,1909,1927
なので、最小は660、最大は1927

No.36063 - 2016/03/06(Sun) 02:16:56

☆ Re: 知り合い全滅の問題 / アルミ缶の中でテルミット反応www

ただ数え上げるよりかなりスマートな解き方ですね。ありがとうございます。

No.36067 - 2016/03/06(Sun) 15:41:36

★ 数A 整数 / ひろ

?@150!を計算すると末尾には連続して何個0が並ぶか
?A9x+5y=1を満たす整数x.yの組をすべて答えよ

答えだけでなく途中式も教えてください！

No.36057 - 2016/03/05(Sat) 19:50:11

☆ Re: 数A 整数 / らすかる

(1)
150!=1×2×3×4×5×…×150
=(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×149)×(5×10×15×…×150)
=(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×149)×(1×2×3×…×30)×5^30
=(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×149)×5^30
　×(1×2×3×…×30)
=(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×149)×5^30
　×(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×29)×(5×10×15×20×25×30)
=(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×149)×5^30
　×(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×29)×(1×2×3×4×5×6)×5^6
=(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×149)
　×(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×29)×(1×2×3×4×6)×5^37
すなわち150!=5^37×(5で割り切れない数)
150!の中に偶数は75個あり、150!は2^37で割り切れるから
150!=5^37×2^37×(5で割り切れない数)
=10^37×(10で割り切れない数)
よって0は37個

No.36064 - 2016/03/06(Sun) 07:37:32

☆ Re: 数A 整数 / らすかる

(2)
x=-1,y=2とすれば式が成り立つ。すなわち
9×(-1)+5×2=1
これを9x+5y=1から引いて
9(x+1)+5(y-2)=0
9(x+1)=-5(y-2)
9と5は互いに素だから
x+1は5で割り切れなければならない。
よってx+1=5t（tは整数）とおける。
すなわちx=5t-1。
x+1=5tを代入すると
-5(y-2)=9(5t)=5(9t)
y-2=-9t
∴y=-9t+2
従って9x+5y=1を満たす整数x,yは一般に
(x,y)=(5t-1,-9t+2)　（tは整数）となる。

No.36065 - 2016/03/06(Sun) 07:46:54

★ (No Subject) / 北風

4点O(0,0,0),A(1,1,0),B(0,1,1),C(0,0,1)に対して、
(1),2点A,Bを直径の両端とする球面の方程式を求めよ。
(2),3点O,A,Bを通る平面をαとし、点Ｃから平面αに下ろした垂線とαとの交点を点Pとする。点Pの座標を求めよ。

(1) は(x-1/2)^2+(y-1^2+(z-1/2)^2=1/2と分かりました。
(2)がどうしてよいのか分かりません。

No.36056 - 2016/03/05(Sat) 19:08:23

☆ Re: / X

αは原点を通ることから、その方程式を
ax+by+cz=0 (A)
と置くと、αが点A,Bを通ることから
a+b=0 (B)
b+c=0 (C)
(A)(B)より
b=-a=-c
∴(A)から
b(-x+y-z)=0
となるのでαの方程式は
x-y+z=0 (A)'
よって(A)'の法線ベクトル↑nは
↑n=(1,-1,1)
一方
↑OP=t↑n+↑OC (P)
(tは実数)
と表すことができるので、点Pが
α上の点であることから、(P)の
成分を考えると
x=t (D)
y=-t (E)
z=t+1 (F)
(A)'(D)(E)(F)を連立して解きます。

No.36060 - 2016/03/05(Sat) 21:10:49

☆ Re: / 北風

　なるほど。親切に有り難うございます。やってみます。

No.36066 - 2016/03/06(Sun) 10:46:20

★ 不等式 / しゃけ

k>2を満たす定数とする。
不等式5-x≦4x<2x+kを満たす整数xがちょうど5つ存在するような定数kの値の範囲の出し方を教えてください。

答えは10<k≦12です。

No.36038 - 2016/03/03(Thu) 19:41:48

☆ Re: 不等式 / IT

5-x≦4xと4x<2x+k　をそれぞれ簡単にしてみてください。

No.36039 - 2016/03/03(Thu) 20:14:47

☆ Re: 不等式 / しゃけ

それぞれ計算して1≦x<1/2kになるのはわかります。
そのあとにk値を出すのにはどうしたらいいのかわかりません。。。

5<1/2k≦6になり10<k≦12になるとどこかで見たのですが、5<1/2k≦6になる過程がわかりません、、、
お願いします。

No.36040 - 2016/03/03(Thu) 22:10:16

☆ Re: 不等式 / IT

>
> それぞれ計算して1≦x<1/2kになるのはわかります。
> そのあとにk値を出すのにはどうしたらいいのかわかりません。。。
1≦x<1/2k を満たす整数xがちょうど5つ存在するということは
x=1,2,...,m が1≦x<1/2k を満たし、
x=m+1 は,1≦x<1/2k を満たさない　ということです。
整数　m はいくらか分りますか？

No.36041 - 2016/03/03(Thu) 22:17:28

☆ Re: 不等式 / しゃけ

x=1,2,3,4,5

ということでしょうか、、、

No.36042 - 2016/03/04(Fri) 01:20:22

☆ Re: 不等式 / IT

そうですね。

x=1,2,...,m が1≦x<1/2k を満たし、
x=m+1 は,1≦x<1/2k を満たさない

のｍを５に変えて考えてみてください。

No.36043 - 2016/03/04(Fri) 07:17:32

☆ Re: 不等式 / しゃけ

わかりました！ありがとうございます！

No.36044 - 2016/03/04(Fri) 11:49:44

★ 漸化式から一般項まで計算方法につきまして / ブラッドマミ

どなたか分かる話様です。ブラッドミと申します。今回の質問は漸化式から一般項の求め方の質問です。
（問題）漸化式　a[n＋1]＝(a[n]＋2)/(a[n]＋1)の一般項a[n]を求めよ。
という問題です。a[n]＝1/b[n]と置き換えるのがヒントらしいのですが、うまく行きません。
どなたか分かる方、教えて下さい。宜しくお願いします。

No.36031 - 2016/03/01(Tue) 20:38:09

☆ Re: 漸化式から一般項まで計算方法につきまして / IT

下記の一般分数式のタイプですね
http://examist.jp/mathematics/recurrence-formula/ippanbunsu/

No.36034 - 2016/03/01(Tue) 22:05:41

☆ Re: 漸化式から一般項まで計算方法につきまして / ブラッドマミ

回答ありがとうございます。参考になりました。
どうもありがとうございました。

No.36037 - 2016/03/02(Wed) 14:53:14

★ (No Subject) / さな

この2問やり方がわかりません！誰か分かる方教えてください！！

No.36029 - 2016/03/01(Tue) 11:06:24

☆ Re: / ヨッシー

[11]
まともにやると
　f(x)＝x^2－2x－3k＋1 とおくと
　D/4＝1＋3k-1＞0 より k＞０
　軸：x=1＞０
　f(0)＝-3k＋1＞0　よりｋ＜1/3　
以上より　０＜ｋ＜1/3

グラフを書いて、
　ｙ＝x^2－2x＋1 のグラフと
　ｙ＝3k （ｘ軸に平行なグラフ）
がｘが正の２点で交わるようなｋの範囲は
　０＜３ｋ＜１　より　０＜ｋ＜1/3

判別式　D/4＝1＋3k-1＞0 より k＞０
解と係数の関係より
　２解の和：２＞０
　２解の積：－３ｋ＋１＞０
以上より　０＜ｋ＜1/3

などの方法があります。

[12]
f(x)＝2x^2－kx＋4k＋1 とおくと、
y=f(x) のグラフは下に凸なので、
　f(1)＜０であれば条件を満たします。
f(1)＝3k＋3＜０　より　ｋ＜－１

また [11] と同じように、
　ｙ＝2x^2＋1 のグラフと y=k(x-4) のグラフが
ｘ＝１を挟んで両サイドに交点を持つように、傾きｋを決めると
ｋ＜－１が得られます。

No.36030 - 2016/03/01(Tue) 13:36:51

★ cosを含む和 / バイク

任意の2以上の整数nに対して、
?納k=1～n-1]1/(1+cos(kπ/n))=(n^2-1)/3
が成り立つことを示せ。

宜しくお願いします。

No.36028 - 2016/03/01(Tue) 10:19:06

☆ Re: cosを含む和 / IT

下記「青空学園数学科」に類題（東工大1990年後期）があります。かなり面倒です。

問題研究の２０C、をクリックしてください。
20世紀入試問題研究の　数列/90東工大
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/

No.36033 - 2016/03/01(Tue) 21:21:59

☆ Re: cosを含む和 / 水面に映る月

# なんか，綺麗な式だな～って思ってやり始めたけれど，手強いですね…．
# すでにITさんがレスなさっていますが数時間つぶして考えていたので，せっかくなので投稿します（笑）．

S[n]:=?納k=1,n-1]1/(1+cos(kπ/n))
=(1/2)?納k=1,n-1]1/{cos(kπ/2n)}^2(∵cosの倍角の公式)
=(1/2)?納k=1,n-1][1+{tan(kπ/2n)}^2]
=(n-1)/2+(1/2)?納k=1,n-1]{tan(kπ/2n)}^2
=(n-1)/2+(1/2)?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2…(1)

ここで，?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2について考えてみよう．

sin(kπ/2n)≠0のとき，(以下，iは虚数単位を表すものとします)，z[k]:=cos(2n*kπ/2n)+isin(2n*kπ/2n)を考えると，この複素数の虚部は0であり，また，ド・モアブルの公式より
z[k]=(cos(kπ/2n)+isin(kπ/2n))^(2n)
z'[k]:=z/(sin(kπ/2n))^(2n)とおくと，z'[k]=(1/tan(kπ/2n)+i)^(2n)であり，ここで，z[k]の虚部は0であったから，z'[k]の虚部はやはり0であることに注意．…(2)

ここで，xを実数として，2項定理より，(x+i)^(2n)=Σ[k=0,n]C(2n,k){x^(2n-k)}*(i^k)となり，(x+i)^(2n)の虚部はi^2=-1に注意して，xの(2n-1)次式(・)x+(・)x^3+…+(・)x^(2n-1)で表されることがわかるがこれは，x*(f(x)を(n-1)次式として，f(x^2))の形で書ける．したがって，(2)から，x=1/{tan(kπ/2n)}^2(k=1,…,n-1)は(n-1)次方程式f(x)=0の相異なるn-1個の解であることがわかる．

したがって，f(x)=a[0]+a[1]x+…+a[n-1]x^(n-1)とすると，n次式の根と係数の関係より，
?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2=-a[n-2]/a[n-1]…(3)

さて，a[n-2],a[n-1]が具体的にどう表されるか考えてみよう．まず，(x+i)^(2n)を2項定理を用いて，展開し，その虚部を考えたときのx^(2n-3)の係数がa[n-2]で，x^(2n-1)の係数がa[n-1]である．

従って，
a[n-1]=C(2n,1)=2n…(4)
a[n-2]=-C(2n,3)=-(2n)(2n-1)(2n-2)/6…(5)

(3)(4)(5)より，
?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2={(2n)(2n-1)(2n-2)/6}/2n=(2n-1)(n-1)/3…(6)

(1)(6)より
S[n]=(n-1)/2+(1/2)*(2n-1)(n-1)/3=(n^2-1)/3 (証明終)

No.36035 - 2016/03/01(Tue) 22:29:09

★ 整数 / さえ

1-1/2+1/3-1/4+1/5-・・・・+1/99-1/100を計算するとQ/Pとなり、Qは151の倍数となる。その理由を述べよ。

この問題を教えてください！

No.36021 - 2016/02/28(Sun) 14:34:42

☆ Re: 整数 / 水面に映る月

一般に，nを正の整数として，

1-1/2+1/3-1/4+1/5-…+1/(2n-1)-1/(2n)
=1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/(2n-1)+1/(2n)-2*{1/2+1/4+…+1/(2n)}
=1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/(2n-1)+1/(2n)-(1+1/2+…+1/n)
=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)

となります．本問でこれを使ってみると(以下，S=1-1/2+1/3-1/4+1/5-…+1/99-1/100とおきます)，

S=1-1/2+1/3-1/4+1/5-…+1/99-1/100
=1/51+1/52+…+1/100――(1)

ここで，2Sを考えてみましょう．(1)から，
2S=(1/51+1/52+…+1/100)+(1/100+1/99+…+1/51)
=(1/51+1/100)+(1/52+1/99)+…(1/(50+k)+1/(101-k))+…+(1/100+1/51)――(2)

ここで，
1/(50+k)+1/(101-k)=151/(50+k)(101-k)――(3)
となります．

また，(2)から，
2S=(…)/51*52*…*100と表されることがわかります．ここで151は素数ですから，分母が151を約数にもつことはありません．さらに，(3)から，分子の(…)は，151を約数に持つことが分かります．

従って，2S=Q'/P'(既約分数)とかいたとき，Q'は151の倍数となることがわかります．このことから直ちにS=Q/P(既約分数)とかいたとき，Qは151の倍数となることもわかります．

No.36022 - 2016/02/28(Sun) 16:31:20

★ ベクトル / さくら

度々すみません。
322番なんですけど問題が右側、解答が左側です。
解答の丸で囲んでいる部分がどうしてそうなるか教えて下さい。

No.36020 - 2016/02/28(Sun) 12:44:03

☆ Re: ベクトル / 水面に映る月

以下，例えば「ABベクトル」はVec(AB)で表すものとします．
また，単にABと書いた場合は，線分ABの長さを表すものとします．

Vec(OH)
=(OH){Vec(OA)/OA}
=(OH/OA)Vec(OA)
=(OH/OB)Vec(OA)
=(cosθ)Vec(OA)

となります．

No.36024 - 2016/02/28(Sun) 16:48:27

☆ Re: ベクトル / 水面に映る月

【おまけ】
一般に，三角形OABにおいて，点Bから直線OAにおろした垂線の足をHとして，Vec(OA)とVec(OB)の内積をkとすると，

Vec(OH)
=(OH){Vec(OA)/OA}
=(OH/OA){Vec(OA)}
={(OB)cosθ/OA}Vec(OA)
={(OA)(OB)cosθ/(OA)^2}Vec(OA)
={k/(OA)^2}Vec(OA)

となりますね．

No.36025 - 2016/02/28(Sun) 17:07:19

☆ Re: ベクトル / さくら

御丁寧にありがとうございます。

No.36026 - 2016/02/29(Mon) 15:59:51