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★ 知り合い全滅の問題 / アルミ缶の中でテルミット反応www
約数の和が2016となる自然数のうち最大のものと最小のものを求めよ。
No.36058 - 2016/03/05(Sat) 20:16:09
☆ Re: 知り合い全滅の問題 / アルミ缶の中でテルミット反応www
学年のレベル等はわかりませんが理?Vや東大余裕勢の知り合いで討論しましたが綺麗な解き方が得られませんでした。正しい答えがわからないので、ぜひ解いてみてください。
No.36059 - 2016/03/05(Sat) 20:20:32
☆ Re: 知り合い全滅の問題 / IT
プログラムを使ってやってみました。
最小値は660=(2^2)×3×5×11
最大値は1927=41×47 です。
総当たり（工夫で少しは減らせますが）以外では難しいのではないでしょうか。

Ｎは　　　　数値　2016。
Ｘは　　　　変数。
約数の和は　変数。
最小数は　　変数。
最大数は　　変数。
メインは
　　　最小数に　Ｎを　入れる
　　　最大数に　１を　入れる
　　　Ｘに　　　１を　入れる
　　　ここから
　　　　　　　Ｘが　Ｎより　大きい
　　　　　　　　　ならば　打ち切り
　　　　　　　　　つぎに
　　　　　　　約数の和を　クリアし
　　　　　　　Ｘ　回数指定し
　　　　　　　　　Ｘの　回数での　余りが　０と　等しい
　　　　　　　　　　　ならば　回数だけ　約数の和を　増加する
　　　　　　　　　　　つぎに
　　　　　　　繰り返す
　　　　　　　約数の和が　Ｎと　等しい
　　　　　　　　　ならば
　　　　　　　　　　　Ｘを　数値表示し　改行する　
　　　　　　　　　　　Ｘが　最小数より　小さい
　　　　　　　　　　　　　ならば　Ｘを　最小数に　入れる
　　　　　　　　　　　　　つぎに
　　　　　　　　　　　Ｘが　最大数より　大きい
　　　　　　　　　　　　　ならば　Ｘを　最大数に　入れる
　　　　　　　　　　　　　つぎに
　　　　　　　　　つぎに
　　　　　　　Ｘを　一つ増加する
　　　　繰り返す
　　　　最小数を　数値表示し　改行
　　　　最大数を　数値表示し　改行
　　　　終わり。　　　　　　　　　　
No.36061 - 2016/03/05(Sat) 22:02:05
☆ Re: 知り合い全滅の問題 / アルミ缶の中でテルミット反応www
やっぱり綺麗に出すのは無理なんですかね
友達も数えあげて出してましたが…
No.36062 - 2016/03/05(Sat) 22:46:55
☆ Re: 知り合い全滅の問題 / らすかる
2016=2^5×3^2×7
約数(1を除く)を列挙すると
2,3,4,6,7,8,9,12,14,16,18,21,24,28,32,36,42,48,56,63,72,
84,96,112,126,144,168,224,252,288,336,504,672,1008,2016
2のべき乗和（1を除く）で2016の約数になるものは
2^1 → 3
2^2 → 7
2^5 → 63 = 3^2×7
奇素数pのべき乗和（1を除く）を順に調べていくと、
約数になるものは（たまたま）1+pしかなく
3 → 4 = 2^2
5 → 6 = 2×3
7 → 8 = 2^3
11 → 12 = 2^2×3
13 → 14 = 2×7
17 → 18 = 2×3^2
23 → 24 = 2^3×3
31 → 32 = 2^5
41 → 42 = 2×3×7
47 → 48 = 2^4×3
71 → 72 = 2^3×3^2
83 → 84 = 2^2×3×7
167 → 168 = 2^3×3×7
223 → 224 = 2^5×7
251 → 252 = 2^2×3^2×7
503 → 504 = 2^3×3^2×7
で全てとなり、これを組み合わせて2^5×3^2×7になるようにすればよい。
最大が503のとき残りは2^2なので3×503=1509のみ
最大が251のとき残りは2^3なので7×251=1757のみ
最大が223のとき残りは3^2なので不適
最大が167のとき残りは2^2×3なので11×167=1837と2×3×167=1002
最大が83のとき残りは2^3×3なので23×83=1909と2×7×83=1162と3×5×83=1245
最大が71のとき残りは2^2×7なので2^2×3×71=852
最大が47のとき残りは2×3×7なので41×47=1927と2^2×5×47=940と2×13×47=1222
最大が41のとき残りは2^4×3なので3×11×41=1353と5×7×41=1435
最大が2^5のとき残りは2^5なので31×32=992と3×7×32=672
最大が2^5未満のとき、7が含まれるためには少なくとも2^2,13のどちらかが必要。
13(→2×7)を使うとき残りは2^4×3^2なので
2×5×7×13=910と2×3×11×13=858と5×13×23=1495と7×17×13=1547
2^2(→7)を使うとき残りは2^5×3^2なので
2^2×3×5×11=660と2^2×11×23=1012
よって約数の和が2016になるものは
660,672,852,858,910,940,992,1002,1012,1162,1222,
1245,1353,1435,1495,1509,1547,1757,1837,1909,1927
なので、最小は660、最大は1927
No.36063 - 2016/03/06(Sun) 02:16:56
☆ Re: 知り合い全滅の問題 / アルミ缶の中でテルミット反応www
ただ数え上げるよりかなりスマートな解き方ですね。ありがとうございます。
No.36067 - 2016/03/06(Sun) 15:41:36
★ 数A 整数 / ひろ
?@150!を計算すると末尾には連続して何個0が並ぶか
?A9x+5y=1を満たす整数x.yの組をすべて答えよ

答えだけでなく途中式も教えてください！
No.36057 - 2016/03/05(Sat) 19:50:11
☆ Re: 数A 整数 / らすかる
(1)
150!=1×2×3×4×5×…×150
=(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×149)×(5×10×15×…×150)
=(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×149)×(1×2×3×…×30)×5^30
=(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×149)×5^30
　×(1×2×3×…×30)
=(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×149)×5^30
　×(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×29)×(5×10×15×20×25×30)
=(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×149)×5^30
　×(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×29)×(1×2×3×4×5×6)×5^6
=(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×149)
　×(1×2×3×4×6×7×8×9×11×…×29)×(1×2×3×4×6)×5^37
すなわち150!=5^37×(5で割り切れない数)
150!の中に偶数は75個あり、150!は2^37で割り切れるから
150!=5^37×2^37×(5で割り切れない数)
=10^37×(10で割り切れない数)
よって0は37個
No.36064 - 2016/03/06(Sun) 07:37:32
☆ Re: 数A 整数 / らすかる
(2)
x=-1,y=2とすれば式が成り立つ。すなわち
9×(-1)+5×2=1
これを9x+5y=1から引いて
9(x+1)+5(y-2)=0
9(x+1)=-5(y-2)
9と5は互いに素だから
x+1は5で割り切れなければならない。
よってx+1=5t（tは整数）とおける。
すなわちx=5t-1。
x+1=5tを代入すると
-5(y-2)=9(5t)=5(9t)
y-2=-9t
∴y=-9t+2
従って9x+5y=1を満たす整数x,yは一般に
(x,y)=(5t-1,-9t+2)　（tは整数）となる。
No.36065 - 2016/03/06(Sun) 07:46:54
★ (No Subject) / 北風


4点O(0,0,0),A(1,1,0),B(0,1,1),C(0,0,1)に対して、
(1),2点A,Bを直径の両端とする球面の方程式を求めよ。
(2),3点O,A,Bを通る平面をαとし、点Ｃから平面αに下ろした垂線とαとの交点を点Pとする。点Pの座標を求めよ。

(1) は(x-1/2)^2+(y-1^2+(z-1/2)^2=1/2と分かりました。
(2)がどうしてよいのか分かりません。
No.36056 - 2016/03/05(Sat) 19:08:23
☆ Re: / X
αは原点を通ることから、その方程式を
ax+by+cz=0 (A)
と置くと、αが点A,Bを通ることから
a+b=0 (B)
b+c=0 (C)
(A)(B)より
b=-a=-c
∴(A)から
b(-x+y-z)=0
となるのでαの方程式は
x-y+z=0 (A)'
よって(A)'の法線ベクトル↑nは
↑n=(1,-1,1)
一方
↑OP=t↑n+↑OC (P)
(tは実数)
と表すことができるので、点Pが
α上の点であることから、(P)の
成分を考えると
x=t (D)
y=-t (E)
z=t+1 (F)
(A)'(D)(E)(F)を連立して解きます。
No.36060 - 2016/03/05(Sat) 21:10:49
☆ Re: / 北風
　なるほど。親切に有り難うございます。やってみます。
No.36066 - 2016/03/06(Sun) 10:46:20
★ 証明 / おまる
いつもお世話になっております。
次のことをどのようにして証明すればよいのかわからないので、教えて欲しいです。

a=p+q, b=p-q (p>qの正の数)において、
aとbが互いに素ならばpとqは互いに素である。

よろしくお願いします。
No.36054 - 2016/03/05(Sat) 17:45:41
☆ Re: 証明 / IT
p,q は整数という条件はないのですか？
No.36055 - 2016/03/05(Sat) 18:57:52
☆ Re: 証明 / おまる
すいませんでした。
p,qは整数です。
No.36072 - 2016/03/07(Mon) 11:11:53
☆ Re: 証明 / IT
cをp,qの正の公約数とするとp=cp',q=cq', (p'>q'の正の整数)
a=p+q=cp'+cq'=c(p'+q'),p'+q'は正の整数
b=p-q=cp'-cq'=c(p'-q'),p'-q'は正の整数

よってcはa,bの正の公約数
aとbは互いに素なのでc=1
よってpとqは互いに素
No.36073 - 2016/03/07(Mon) 21:20:02
★ 数Aの質問です。 / 加湿器
213の黄線の式がどこを指しているかわかりません。お願いします。
No.36052 - 2016/03/05(Sat) 06:06:01
☆ Re: 数Aの質問です。 / IT
△ABC：一辺の長さ５の正三角形ABCの面積ですね。
No.36053 - 2016/03/05(Sat) 07:42:48
★ 数Aの質問です。 / 加湿器
大問7で28/3πの求め方がわかりません。よろしくお願いします。
No.36046 - 2016/03/04(Fri) 20:48:13
☆ Re: 数Aの質問です。 / IT
直線OO'と直線ABの交点をCとする
三角形CBO'と三角形CAOが相似であることからCO'が求まり
∠BO'Cが分ります
No.36047 - 2016/03/04(Fri) 20:59:20
☆ Re: 数Aの質問です。 / IT
O' からOAへの垂線の足をHとして
直角三角形O'OHについて∠O'OHを考える　方が早いですね。
No.36048 - 2016/03/04(Fri) 21:07:07
☆ Re: 数Aの質問です。 / 加湿器
ありがとうございます。
No.36050 - 2016/03/05(Sat) 06:04:22
★ 数学Aの質問です。 / 加湿器
大問2の(2)〜(4)の解説をお願いします。
No.36045 - 2016/03/04(Fri) 20:46:43
☆ Re: 数学Aの質問です。 / X
(2)
円周角により
∠ADB=∠ACB=25°
∠BAD=90°(弧BDは半円になっているので)
従って△ABDに注目することにより
∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD=65°
よって接弦定理により
α=∠ABD=65°

(3)
条件から△ABCはAC=BCの二等辺三角形
ですので
∠BAC=(180°-62°)/2=59°
一方、接弦定理により
∠BAD=45°
よって
α=180°-∠BAC-∠BAD=76°

(4)
接弦定理により
∠ADB=∠BAE=68°
一方、半円に対する円周角により
∠BAD=90°
よって△ABDに注目することにより
α=180°-∠BAD-∠ADB=22°
となるので△ABCに注目することにより
β=∠BAE-α=46°
No.36049 - 2016/03/04(Fri) 22:22:10
☆ Re: 数学Aの質問です。 / 加湿器
ありがとうございます。
No.36051 - 2016/03/05(Sat) 06:04:37
★ 不等式 / しゃけ

k>2を満たす定数とする。
不等式5-x≦4x<2x+kを満たす整数xがちょうど5つ存在するような定数kの値の範囲の出し方を教えてください。

答えは10<k≦12です。
No.36038 - 2016/03/03(Thu) 19:41:48
☆ Re: 不等式 / IT
5-x≦4xと4x<2x+k　をそれぞれ簡単にしてみてください。
No.36039 - 2016/03/03(Thu) 20:14:47
☆ Re: 不等式 / しゃけ

それぞれ計算して1≦x<1/2kになるのはわかります。
そのあとにk値を出すのにはどうしたらいいのかわかりません。。。

5<1/2k≦6になり10<k≦12になるとどこかで見たのですが、5<1/2k≦6になる過程がわかりません、、、
お願いします。
No.36040 - 2016/03/03(Thu) 22:10:16
☆ Re: 不等式 / IT
>
> それぞれ計算して1≦x<1/2kになるのはわかります。
> そのあとにk値を出すのにはどうしたらいいのかわかりません。。。
1≦x<1/2k を満たす整数xがちょうど5つ存在するということは
x=1,2,...,m が1≦x<1/2k を満たし、
x=m+1 は,1≦x<1/2k を満たさない　ということです。
整数　m はいくらか分りますか？
No.36041 - 2016/03/03(Thu) 22:17:28
☆ Re: 不等式 / しゃけ


x=1,2,3,4,5

ということでしょうか、、、
No.36042 - 2016/03/04(Fri) 01:20:22
☆ Re: 不等式 / IT
そうですね。

x=1,2,...,m が1≦x<1/2k を満たし、
x=m+1 は,1≦x<1/2k を満たさない

のｍを５に変えて考えてみてください。
No.36043 - 2016/03/04(Fri) 07:17:32
☆ Re: 不等式 / しゃけ


わかりました！ありがとうございます！
No.36044 - 2016/03/04(Fri) 11:49:44
★ この数式の読み方と意味を教えてください / みや
wikipediaの「標準型ゲーム」の解説ページの「定義」のところに書いてある数式なのですが、意味がわかりません。
ちなみに私は高卒です。どうかよろしくお願いします。
No.36036 - 2016/03/02(Wed) 14:06:21
★ 補足です。 / ブラッドマミ
お世話様です。先程問題につきまして補足です。但し、a[1]＝1です。抜けてしまって申し訳ございませんでした。宜しくお願いします。
No.36032 - 2016/03/01(Tue) 21:05:03
★ 漸化式から一般項まで計算方法につきまして / ブラッドマミ
どなたか分かる話様です。ブラッドミと申します。今回の質問は漸化式から一般項の求め方の質問です。
（問題）漸化式　a[n＋1]＝(a[n]＋2)/(a[n]＋1)の一般項a[n]を求めよ。
という問題です。a[n]＝1/b[n]と置き換えるのがヒントらしいのですが、うまく行きません。
どなたか分かる方、教えて下さい。宜しくお願いします。
No.36031 - 2016/03/01(Tue) 20:38:09
☆ Re: 漸化式から一般項まで計算方法につきまして / IT
下記の一般分数式のタイプですね
http://examist.jp/mathematics/recurrence-formula/ippanbunsu/
No.36034 - 2016/03/01(Tue) 22:05:41
☆ Re: 漸化式から一般項まで計算方法につきまして / ブラッドマミ
回答ありがとうございます。参考になりました。
どうもありがとうございました。
No.36037 - 2016/03/02(Wed) 14:53:14
★ (No Subject) / さな
この2問やり方がわかりません！誰か分かる方教えてください！！
No.36029 - 2016/03/01(Tue) 11:06:24
☆ Re: / ヨッシー
[11]
まともにやると
　f(x)＝x^2−2x−3k＋1 とおくと
　D/4＝1＋3k-1＞0 より k＞０
　軸：x=1＞０
　f(0)＝-3k＋1＞0　より ｋ＜1/3　
以上より　０＜ｋ＜1/3

グラフを書いて、
　ｙ＝x^2−2x＋1 のグラフと
　ｙ＝3k （ｘ軸に平行なグラフ）
がｘが正の２点で交わるようなｋの範囲は
　０＜３ｋ＜１　より　０＜ｋ＜1/3

判別式　D/4＝1＋3k-1＞0 より k＞０
解と係数の関係より
　２解の和：２＞０
　２解の積：−３ｋ＋１＞０
以上より　０＜ｋ＜1/3

などの方法があります。

[12]
f(x)＝2x^2−kx＋4k＋1 とおくと、
y=f(x) のグラフは下に凸なので、
　f(1)＜０ であれば条件を満たします。
f(1)＝3k＋3＜０　より　ｋ＜−１

また [11] と同じように、
　ｙ＝2x^2＋1 のグラフと y=k(x-4) のグラフが
ｘ＝１ を挟んで両サイドに交点を持つように、傾きｋを決めると
ｋ＜−１ が得られます。
No.36030 - 2016/03/01(Tue) 13:36:51
★ cosを含む和 / バイク
任意の2以上の整数nに対して、
?納k=1〜n-1]1/(1+cos(kπ/n))=(n^2-1)/3
が成り立つことを示せ。

宜しくお願いします。
No.36028 - 2016/03/01(Tue) 10:19:06
☆ Re: cosを含む和 / IT
下記「青空学園数学科」に類題（東工大1990年後期）があります。かなり面倒です。

問題研究の２０C、をクリックしてください。
20世紀入試問題研究の　数列/90東工大
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/
No.36033 - 2016/03/01(Tue) 21:21:59
☆ Re: cosを含む和 / 水面に映る月
# なんか，綺麗な式だな〜って思ってやり始めたけれど，手強いですね…．
# すでにITさんがレスなさっていますが数時間つぶして考えていたので，せっかくなので投稿します（笑）．

S[n]:=?納k=1,n-1]1/(1+cos(kπ/n))
=(1/2)?納k=1,n-1]1/{cos(kπ/2n)}^2(∵cosの倍角の公式)
=(1/2)?納k=1,n-1][1+{tan(kπ/2n)}^2]
=(n-1)/2+(1/2)?納k=1,n-1]{tan(kπ/2n)}^2
=(n-1)/2+(1/2)?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2…(1)

ここで，?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2について考えてみよう．

sin(kπ/2n)≠0のとき，(以下，iは虚数単位を表すものとします)，z[k]:=cos(2n*kπ/2n)+isin(2n*kπ/2n)を考えると，この複素数の虚部は0であり，また，ド・モアブルの公式より
z[k]=(cos(kπ/2n)+isin(kπ/2n))^(2n)
z'[k]:=z/(sin(kπ/2n))^(2n)とおくと，z'[k]=(1/tan(kπ/2n)+i)^(2n)であり，ここで，z[k]の虚部は0であったから，z'[k]の虚部はやはり0であることに注意．…(2)

ここで，xを実数として，2項定理より，(x+i)^(2n)=Σ[k=0,n]C(2n,k){x^(2n-k)}*(i^k)となり，(x+i)^(2n)の虚部はi^2=-1に注意して，xの(2n-1)次式(・)x+(・)x^3+…+(・)x^(2n-1)で表されることがわかるがこれは，x*(f(x)を(n-1)次式として，f(x^2))の形で書ける．したがって，(2)から，x=1/{tan(kπ/2n)}^2(k=1,…,n-1)は(n-1)次方程式f(x)=0の相異なるn-1個の解であることがわかる．

したがって，f(x)=a[0]+a[1]x+…+a[n-1]x^(n-1)とすると，n次式の根と係数の関係より，
?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2=-a[n-2]/a[n-1]…(3)

さて，a[n-2],a[n-1]が具体的にどう表されるか考えてみよう．まず，(x+i)^(2n)を2項定理を用いて，展開し，その虚部を考えたときのx^(2n-3)の係数がa[n-2]で，x^(2n-1)の係数がa[n-1]である．

従って，
a[n-1]=C(2n,1)=2n…(4)
a[n-2]=-C(2n,3)=-(2n)(2n-1)(2n-2)/6…(5)

(3)(4)(5)より，
?納k=1,n-1]1/{tan(kπ/2n)}^2={(2n)(2n-1)(2n-2)/6}/2n=(2n-1)(n-1)/3…(6)

(1)(6)より
S[n]=(n-1)/2+(1/2)*(2n-1)(n-1)/3=(n^2-1)/3 (証明終)
No.36035 - 2016/03/01(Tue) 22:29:09
★ 整数 / さえ
1-1/2+1/3-1/4+1/5-・・・・+1/99-1/100を計算するとQ/Pとなり、Qは151の倍数となる。その理由を述べよ。

この問題を教えてください！
No.36021 - 2016/02/28(Sun) 14:34:42
☆ Re: 整数 / 水面に映る月
一般に，nを正の整数として，

1-1/2+1/3-1/4+1/5-…+1/(2n-1)-1/(2n)
=1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/(2n-1)+1/(2n)-2*{1/2+1/4+…+1/(2n)}
=1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/(2n-1)+1/(2n)-(1+1/2+…+1/n)
=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)

となります．本問でこれを使ってみると(以下，S=1-1/2+1/3-1/4+1/5-…+1/99-1/100とおきます)，

S=1-1/2+1/3-1/4+1/5-…+1/99-1/100
=1/51+1/52+…+1/100――(1)

ここで，2Sを考えてみましょう．(1)から，
2S=(1/51+1/52+…+1/100)+(1/100+1/99+…+1/51)
=(1/51+1/100)+(1/52+1/99)+…(1/(50+k)+1/(101-k))+…+(1/100+1/51)――(2)

ここで，
1/(50+k)+1/(101-k)=151/(50+k)(101-k)――(3)
となります．

また，(2)から，
2S=(…)/51*52*…*100と表されることがわかります．ここで151は素数ですから，分母が151を約数にもつことはありません．さらに，(3)から，分子の(…)は，151を約数に持つことが分かります．

従って，2S=Q'/P'(既約分数)とかいたとき，Q'は151の倍数となることがわかります．このことから直ちにS=Q/P(既約分数)とかいたとき，Qは151の倍数となることもわかります．
No.36022 - 2016/02/28(Sun) 16:31:20
★ ベクトル / さくら
度々すみません。
322番なんですけど問題が右側、解答が左側です。
解答の丸で囲んでいる部分がどうしてそうなるか教えて下さい。
No.36020 - 2016/02/28(Sun) 12:44:03
☆ Re: ベクトル / 水面に映る月
以下，例えば「ABベクトル」はVec(AB)で表すものとします．
また，単にABと書いた場合は，線分ABの長さを表すものとします．

Vec(OH)
=(OH){Vec(OA)/OA}
=(OH/OA)Vec(OA)
=(OH/OB)Vec(OA)
=(cosθ)Vec(OA)

となります．
No.36024 - 2016/02/28(Sun) 16:48:27
☆ Re: ベクトル / 水面に映る月
【おまけ】
一般に，三角形OABにおいて，点Bから直線OAにおろした垂線の足をHとして，Vec(OA)とVec(OB)の内積をkとすると，

Vec(OH)
=(OH){Vec(OA)/OA}
=(OH/OA){Vec(OA)}
={(OB)cosθ/OA}Vec(OA)
={(OA)(OB)cosθ/(OA)^2}Vec(OA)
={k/(OA)^2}Vec(OA)

となりますね．
No.36025 - 2016/02/28(Sun) 17:07:19
☆ Re: ベクトル / さくら
御丁寧にありがとうございます。
No.36026 - 2016/02/29(Mon) 15:59:51
★ (No Subject) / さな
(8)の問題は?Bであってますか？
No.36019 - 2016/02/28(Sun) 09:07:35
☆ Re: / 水面に映る月
[8]の答えは，御自身が○をつけられているように，1番が正解ですよ．
No.36023 - 2016/02/28(Sun) 16:41:05
★ 計算 / 加湿器
波線の計算でαを求めたいです。どのように計算すればいいですか？
No.36017 - 2016/02/27(Sat) 22:39:50
☆ Re: 計算 / ヨッシー
α^2−(√3)α−6＝0
ですね。
また、計算方法ではなく解き方ですね。

いきなり
　(α−2√3)(α＋√3)＝０
に気付けばいいですが、そうでなければ
普通に、解の公式で良いと思います。
　α＝{√3±√(3+24)}/2
　　＝{√3±3√3｝/2
　　＝2√3, −√3
No.36018 - 2016/02/27(Sat) 22:50:51
☆ Re: 計算 / 加湿器
すみません解き方でした（笑）
ありがとうございます。
No.36027 - 2016/02/29(Mon) 17:28:05
★ (No Subject) / カニカマ
数列の問題を解いていて
a[n+2]-2a[n+1]-6n=3(a[n+1]-2a[n])
となったのですがこれを
a[n+2]-2a[n+1]+f[n+1]=3(a[n+1]-2a[n]+f[n])
と変形したいなぁと思って
f[n+1]-3f[n]=-6n
となるような関数f(n)を求めようとしたのですが良く分からなくなってしまいました。
求める方法を教えて頂きたいです。
No.36015 - 2016/02/27(Sat) 11:44:32
☆ Re: / IT
f[n]=αn+βとおくと　f[n+1]-3f[n]=-6nは,α(n+1)+β-3(αn+β)=-6n
整理して・・・
よってα=3,β=3/2
No.36016 - 2016/02/27(Sat) 12:43:28
★ (No Subject) / さくら
一辺の長さが2である正三角形ABCがある。ABを直径とした円を描きAC,BCとの交点をそれぞれD,Eとする時、
斜線部の面積を求めなさい。

これはどう解くのでしょうか。
三角形CDEの面積から直線DEと円の弧で囲まれた面積を引いて求めようと思いますが、直線DEと円の弧で囲まれた面積のだしかたがわかりません。
もっとスマートな方法があるのでしょうか？
教えて下さい。
No.36012 - 2016/02/26(Fri) 16:24:11
☆ Re: / ヨッシー
図にならって、ＡＢの中点（円の中心）をＧとします。
直線ＤＥと弧ＤＥで囲まれた部分の面積は
　扇型ＧＤＥ−△ＧＤＥ
で出ます。引いては、斜線の部分の面積は
　ひし形ＣＤＧＥ−扇型ＧＤＥ
　＝△ＣＤＥ×２−扇型ＧＤＥ
で出ます。
No.36013 - 2016/02/26(Fri) 16:33:43
☆ Re: / さくら
なるほど
ありがとうございました
No.36014 - 2016/02/27(Sat) 07:20:02
★ 一変数テイラー展開の一般項 / 多田直人
f(x)=log(x+√(1+x^2))とするとき、x=0におけるテイラー展開をしました。f(x)を微分していくと
f'(x)=1/(x^2+1)^(1/2)
f''(x)=-x/(x^2+1)^(3/2)
f'''(x)=(2x^2-1)/(x^2+1)^(5/2)
f''''(x)=-3(2x^3+3x)/(x^2+1)^(7/2)
f'''''(x)=3(8x^4-24x^2+3)/(x^2+1)^(9/2)
f''''''(x)=-15x(8x^4-40^2+15)/(x^2+1)^(11/2)
f'''''''(x)=45(16x^6-120x^4+90x^2-5)/(x^2+1)^(13/2)

となりました。これをマクローリン展開の公式に代入すると
f(x)=x-(x^3)/6+(3x^5)/40-(5x^7)/112…剰余項
となりました。

一般項を求めたいのですが、
f'(x)=1/(x^2+1)^(1/2)のときx^2=tと置き、
g(t)=(t+1)^(-1/2)としました。
g(t)についてn回微分し
g（n回微分）(t)＝(‐1)^n*(((2n-1)!!)/2^n)*(1+t)^-((2n-1)/2)
となりました。

g(t)についてt=0の時テイラー展開したところ
g(t)＝1-t/2+3t^2/8-5t^3/16+…+((‐1)^n*(((2n-1)!!)/2^n))/n!+Rt
となりました。

ここで先生からこのようなコメントを頂きました。
「gとfの関係をはっきりさせ、g(t)のテイラー展開からf'(x)のテイラー展開を求め、それがf'(x)のテイラー展開と一致することからf'(0)、f''(0)…をもとめ、それを用いてf(x)のテイラー展開を書けばよい」
ここで思考がストップしてしまいました。
今後どのように組み立てればよいか教えていただけると嬉しいです。
No.36009 - 2016/02/24(Wed) 23:02:17
☆ Re: 一変数テイラー展開の一般項 / 水面に映る月
>gとfの関係をはっきりさせ

ここがポイントですね．つまり，f '(x)=g(x^2)ですから，g(t)をTaylor展開して，その式で単純にtのところをx^2とすればf '(x)のTaylor展開が得られることになりますね．

>それがf'(x)のテイラー展開と一致することからf'(0)、f''(0)…をもとめ、

これは，Taylor展開の一意性から単純な係数比較が可能です．
No.36010 - 2016/02/24(Wed) 23:32:50
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