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★ (No Subject) / い
下線部の計算がわかりません
解説お願いします
No.35280 - 2016/01/24(Sun) 12:43:09
☆ Re: / X
分かりにくければ
x^2=t
と置きましょう。
No.35281 - 2016/01/24(Sun) 13:24:03
★ Cの連続積 / 19^2=361
コンビネーションの連続積は順列になるのですか？


ｎを４以上の奇数とする。正ｎ角形の2つの頂点を無作為に選びそれらを通る直線をｌとする。さらに残りのｎ−２個の頂点から2つの頂点を無作為に選びそれらを通る直線をｍとする。直線ｌ、ｍが平行になる確率を求めよ。

正ｎ角形をPとし、Pの外接円をC,外心をOとする。
Pの2つの頂点を重複を許さず無作為に二回選ぶ方法、つまりｌ、ｍを選ぶ方法はnC2*(n-2)C2通りあり、このうちｌ平行ｍとなるｌ、ｍがan通りあるとする。

an=n*(n-1)/2*[{(n-1)/2}-1]
よって求める確率はan/nC2*(n-2)C2

質問１）この解答で（順列は選ぶ順番は自由に決めてよいらしいのでｌを決めてからｍを決めるとすると）

nC2はｌの選び方、(n-2)C2はｍの選び方

(n-1)/2はｌの選び方、[{(n-1)/2}-1]はｍの選び方

として考えてよいのでしょうか？

質問２）また、順列だとすると順番が関係してくるので
例えば、ｌを上の方に選んで、ｍを下のほうに選んで一通り
ｌを下の方に選んで、ｍを上の方に選ぶ、これもまた一通りですがこれは実際には同じもので重複しちゃってますよね。
これがこの問題を（私の中で）分からなくしています。名でこの解答でよいのか理解できません。　　

教えてください
No.35275 - 2016/01/23(Sat) 23:31:24
☆ Re: Cの連続積 / IT
> 質問１）この解答で（順列は選ぶ順番は自由に決めてよいらしいのでｌを決めてからｍを決めるとすると）
>
> nC2はｌの選び方、(n-2)C2はｍの選び方
>
> (n-1)/2はｌの選び方、[{(n-1)/2}-1]はｍの選び方
「n*(n-1)/2はｌの選び方、」 ですよね。
>
> として考えてよいのでしょうか？
そうですね

>
> 質問２）また、順列だとすると順番が関係してくるので
> 例えば、ｌを上の方に選んで、ｍを下のほうに選んで一通り
> ｌを下の方に選んで、ｍを上の方に選ぶ、これもまた一通りですがこれは実際には同じもので重複しちゃってますよね。
選ぶ順番が違いますから、同じもの（事象)ではありません。
（確率計算の分子側でも分母側でも異なる事象としてカウントしています。）

ｌｍの順に選ぶのもｍｌの順に選ぶのも同じ事象として数えるなら
分子側も1/2、分母側も1/2 しますから計算結果は同じになります。
No.35276 - 2016/01/24(Sun) 01:26:19
☆ Re: Cの連続積 / 19^2=361
回答ありがとうございます。ということはやっぱりCの連続積は順列になるということなのでしょうか？

例えば赤玉3個、青球４個が入った袋から赤玉１個青球2個を選ぶ確率をもとめるのに3C1*4C2/7C3
などとするの場合3C1*4C2を日本語に翻訳すると「‘まず’赤玉を選んで‘次に’青だまを選ぶ（赤玉の次に青玉を選ぶという順番で3個選ぶ組み合わせ」→しかし実際には赤玉から選ぼうが青玉から選ぼうが答えに影響しないからどちらから選んでもよい。

という考えでよいのでしょうか
No.35277 - 2016/01/24(Sun) 10:14:32
☆ Re: Cの連続積 / IT
> 回答ありがとうございます。ということはやっぱりCの連続積は順列になるということなのでしょうか？
「コンビネーション(C)の連続積は順列になる」このような固定観念は必要・有効ではなく有害だと思います。ケースバイケースで考えるべきだと思います。


＞＞　ヨッシーさん他　回答者の皆様へ

＃　質問者19^2=361 さんを　うまく納得させる自信がありません。
どなたか、うまく説明できる方があれば、回答をお願いします。　私の説明に間違いがあればご指摘もお願いします。
No.35278 - 2016/01/24(Sun) 11:11:54
☆ Re: Cの連続積 / 水面に映る月
私の説明もわかりやすいかどうかわかりませんので，このほうがわかりやすい，などというものがありましたら，フォロー大歓迎です．

さて．
いろいろなことが同時に問題になっているように思いますが，解決法としては，「確率」の定義に立ち返ることであるように思います．確率とは(高校数学では)，以下のように定義されているかと思います(http://manapedia.jp/text/722引用)．

(引用開始)

すべての事象Ｕの要素の個数をｎ（Ｕ）、Ｕの中にある特定の事象Ａの要素の個数をｎ（Ａ）とします。
Ｕのどの事象も同様に確からしいとき、事象Ａの起こる確率Ｐ（Ａ）は
Ｐ（Ａ）＝ｎ（Ａ）/ｎ（Ｕ）
で表すことができます。

(引用終わり)

話を簡単にするために，質問者さんの「赤玉3個、青球４個から3つの玉を取り出すとき，赤玉１個，青球2個を選ぶ確率」で説明すると，この確率を計算するときに，まず問題になるのは，何を分母に置くのか，ということです．上の定義によれば，「Ｕのどの事象も同様に確からしい」場合でなければ，確率は計算できないことになっています．本来であれば，純粋に数学の立場から言うと，確率を上のように定義している以上，問題設定の段階で何が「同様に確からしい」のか，明確に書く必要がありますが，それが書かれていない場合は，我々の「日常感覚」で「同様に確からしい」かどうかを決めることになります．

今問題となっているのは，選ぶ順番を考慮するかどうか，ということであると思いますが(質問者さんは同じ色の玉であっても区別するべきであるということには納得されているのですよね？)，同じ色の玉を番号を振って区別するとして，玉を一個ずつ取り出すと考えると，例えば，

(1)赤1→青3→赤3
(2)赤1→赤3→青3
(3)青3→赤1→赤3
(4)青3→赤3→赤1
(5)赤3→赤1→青3
(6)赤3→青3→赤1

これらは取り出した後は同じ結果になりますが，これらを6個として数えるわけです．この場合，(上に挙げた6通りに限らず)どの場合が「起こりやすい」どの場合が「起こりにくい」と考える理由が特段ありませんから，それぞれの場合は「同様に確からしい」と考えてよいでしょう．

次に，上の6つを区別しないで，結果だけを見る場合(ただし，同じ色の玉は区別する)であっても，どの場合が「起こりにくい」と考える理由が特段ありませんから，それぞれの場合は「同様に確からしい」と考えてよいでしょう．この場合は，玉を選ぶ現場には立ち会わず，結果だけ(但し，くどいようではあるが，同じ色の玉であっても区別はしている)を見ているという立場ですから，(確率計算の分子で，)3C1*4C2の順で計算するのは，あくまでも計算上の，というか，赤1個，青2個が選ばれている場合の数を考える上での便宜であって，逆順に，すなわち4C2*3C1と計算してもかまいません(しかし，この掛ける順番が玉を選ぶ順番に対応しているわけではない)．けれども，(確率計算の分子で，)4C2*3C1+3C1*4C2とするのは，オカシイです．じゃあ，何を全事象としているのか？という話になります．

では，先に説明した玉を取り出す順番を考慮する場合であれば，分子は4C2*3C1+3C1*4C2となるのかというと，これも違いますよね．(←納得できますか？)

要するに，
1．何を全事象と考えているのか(これはとりもなおさず，何を根元事象と考えているのか，という問である)
2．根元事象は「同様に確からしく」なければならない
3．任意の事象は，根元事象の和事象として表される
この3つを強く意識する必要があるということです．
No.35279 - 2016/01/24(Sun) 12:07:10
☆ Re: Cの連続積 / 19^2=361
お二方ありがとうございます。

>では，先に説明した玉を取り出す順番を考慮する場合であれば，分子は4C2*3C1+3C1*4C2となるのかというと，これも違いますよね．(←納得できますか？)

納得できます。一個ずつ取り出す順番を考えるのなら赤青青青赤赤赤などの順番で考える制約が出てくるので4C2などが出てくる余地がありませんからね


どこでCが連続積と習ったのか、掘り起こして見つけました。
以下抜粋

ポイント（３）[nCr単独では組合せ、でも複数の積は・・・]
いくつかのnCrの積[連続操作]は連続操作の順番が影響する。つまり「選ぶ順番により生じた順列」になる。
例えば「赤青黄緑紫黒」の6本の色鉛筆を2本ずつ3組に分ける方法を計算すると6C2*4C2*2C2/３！のように３！で割るが、これをすることによって、連続操作によって生じた「選ぶ順番により生じた順列を」組合せに戻している。すなわち余計に生じた枝分かれを1本に戻している

ポイント４[順列を数える]
順列をどこから数えるのかは自由であり、並べる時間の順序にとらわれる必要はない。

抜粋終わり

35276の記事で最後に「ｌｍの順に選ぶのもｍｌの順に選ぶのも同じ事象として数えるなら」ということはｌとｍの順番に順列が発生している事になりますし、（ポイント３に合致）

「ｌｍの順に選ぶのもｍｌの順に選ぶのも同じ事象として数えるなら
分子側も1/2、分母側も1/2 しますから計算結果は同じになります。」も２！で割るということでポイント３に合致しますよね

ポイント３，４が他の問題の答えを出す上で差支えがあるなら簡単な例題でもいいので挙げてほしいです

よろしくおねがいします
No.35283 - 2016/01/24(Sun) 15:04:14
☆ Re: Cの連続積 / 水面に映る月
失礼ですが，これは，ポイント3，4に当てはまる場合は何かの公式や考え方が使えるというような主張なのでしょうか?(つまり，ポイント3，4に合致するから何なのか？ということです．) それがわからないと例を挙げることもできません．(もし何かのサイトの抜粋なのであれば，URLを示していただくと有り難いです．)
確率の問題として考えるならば，既に書きましたが，次の3つに尽きると思います．

1．何を全事象と考えているのか(これはとりもなおさず，何を根元事象と考えているのか，という問である)
2．根元事象は「同様に確からしく」なければならない
3．任意の事象は，根元事象の和事象として表される

また，追加ですが，19^2=361さんは

>3C1*4C2を日本語に翻訳すると「‘まず’赤玉を選んで‘次に’青だまを選ぶ（赤玉の次に
>青玉を選ぶという順番で3個選ぶ組み合わせ」

と書かれていますが，ここでの「選ぶ」という言葉は，実際に赤玉3個，青玉4個から取り出すという意味での，(実際に試行として行った)「選ぶ」こととは全く別のものであることは理解なさっているでしょうか?

<補足(と言っても大事な補足)>
[補足1]
ITさんが仰るように，私も，「コンビネーション(C)の連続積は順列になる」と言った怪しげな「公式」めいたものは有害であると思いますし，有用であるとも思えません(納得しないままで終わるのはよくないと思いますが)．

[補足2]
上の玉を取り出す例でいうと，玉を取り出す順序を考慮している場合は全事象を玉の取り出し方(つまり手順)全体と考えており，玉を取り出す順番を考慮しない場合は取り出した結果全体を全事象と考えていて，いずれの場合であっても根元事象は「同様に確からしい」と考えられるからいずれの考え方もOKだ，というだけです．
No.35284 - 2016/01/24(Sun) 15:57:55
★ 二重積分の計算について / xyz
∬D(√(x^2-y^2))dxdy D={(x,y)|0≦y≦x≦1}の計算方法がわからないので教えてください。答えはπ/12です。
No.35271 - 2016/01/23(Sat) 17:56:24
☆ Re: 二重積分の計算について / X
(与式)=∫[x:0→1]∫[y:0→x](√(x^2-y^2))dydx
ここで
∫[y:0→x](√(x^2-y^2))dy=[y√(x^2-y^2)][y:0→x]+∫[y:0→x]{(y^2)/√(x^2-y^2)}dy
=-∫[y:0→x]{√(x^2-y^2)}dy+(x^2)∫[y:0→x]dy/√(x^2-y^2)
∴∫[y:0→x](√(x^2-y^2))dy=(1/2)(x^2)∫[y:0→x]dy/√(x^2-y^2)
=[(1/2)(x^2)arcsin(y/x)][y:0→x]
=(π/4)x^2
∴(与式)=∫[x:0→1]{(π/4)x^2}dx=π/12

注)
計算途中で広義積分を使っていますが、厳密な計算式を
端折っています。
No.35273 - 2016/01/23(Sat) 19:17:35
☆ Re: 二重積分の計算について / xyz
ありがとうございました。
No.35293 - 2016/01/24(Sun) 18:27:29
★ 証明問題 / まりも
(1)(2)みてください
回答は背理法でやってました。
No.35266 - 2016/01/23(Sat) 15:42:42
☆ Re: 証明問題 / まりも
(1)です。。
No.35267 - 2016/01/23(Sat) 15:43:18
☆ Re: 証明問題 / まりも
(2)です。。
No.35268 - 2016/01/23(Sat) 15:43:47
☆ Re: 証明問題 / ヨッシー
枚数で攻めていく方法も良いですが、カードの数の総和に着目してはどうでしょう？

１〜2n までの数の和Ｓ（＝Ａ＋Ｂ）は
　Ｓ＝n(2n-1)
であるので、
ｎが奇数ならばＳも奇数であり、
　Ａが奇数ならばＢは偶数、Ａが偶数ならばＢは奇数である。
ｎが偶数ならばＳも偶数であり、
　Ａが奇数ならばＢも奇数、Ａが偶数ならばＢも偶数である。
これらから、(1)(2) は即座に示せます。
No.35269 - 2016/01/23(Sat) 16:04:25
☆ Re: 証明問題 / まりも
その回答はだいぶ楽にできそうですね。
私の回答でも点数はもらえますか？
No.35270 - 2016/01/23(Sat) 16:17:12
☆ Re: 証明問題 / IT
横から失礼します。
> 私の回答でも点数はもらえますか？

(1) もちろんもらえると思います。改善すると良いと思う点をいくつか
ア）最初に、奇数の枚数が奇数のとき数字の合計は奇数、偶数のとき偶数になる。ことを明記した方が見通しが良いと思います。

イ）後半部の「枚」と「数」の見分けがつき難いです。文脈から分りますが、答案は採点者への手紙のつもりでていねいに（数は画数が多いので書くのに時間が掛かりますね、そのためには不要なことを書かないことも有効です→ウ）

ウ）奇数の枚数にだけ注目し記述した方が良いと思います。

エ）残された側の奇数の枚数の偶奇も明記した方が良いと思います。

オ）A-B　・・としなくても　（AとBの偶奇が異なる）から　即、A,Bが異なるとして良いと思います。
No.35272 - 2016/01/23(Sat) 18:45:11
☆ Re: 証明問題 / まりも
なるほど。
わかりやすい回答を書くのは難しいですね

改善しています。
No.35282 - 2016/01/24(Sun) 13:29:22
★ 問題１３ / エープリル
問題１３）整式x^2014を整式x^4+x^3+x^2+x+1で割った余りをもとめよ。
解）x^(2010)-1=(x^5-1)(x^2005+x^2004+・・・＋１）・・?@
とあるのですがどういう公式でこうなるのでしょうか？
公式(x^n)-1=(x-1)(x^(n-1)＋・・・＋１）に反してますよね？
?@を導ける公式を教えてor作ってもらえないでしょうか？

よろしくおねがいします
No.35252 - 2016/01/23(Sat) 10:14:54
☆ Re: 問題１３ / IT
x^(2010)-1=(x^5-1)(x^2005+x^2000+・・・＋１）・・?@
ではないのですか？

その後はどうなっていますか？
No.35253 - 2016/01/23(Sat) 10:26:56
☆ Re: 問題１３ / エープリル
ありがとうございます

その後はｘ＾５＝(x-1)(x^4+・・・＋１）となり
公式(x^n)-1=(x-1)(x^(n-1)＋・・・＋１）でｎ＝５として、公式どおりになっているので疑問はないです

しかしx^(2010)-1=(x^5-1)(x^2005+x^2000+・・・＋１）・・?@
は公式(x^n)-1=(x-1)(x^(n-1)＋・・・＋１）ではうまくいかないので、という意図です
No.35258 - 2016/01/23(Sat) 10:55:29
☆ Re: 問題１３ / IT
> 解）x^(2010)-1=(x^5-1)(x^2005+x^2004+・・・＋１）・・?@
x^(2010)-1=(x^5-1)(x^2005+x^2000+・・・＋１）・・?A
ではないのですか？

再度確認します。

解答にあるのは、?@ですか？?Aですか？

?Aなら公式(x^n)-1=(x-1)(x^(n-1)＋・・・＋１）
でxのところをx^5 とすればいいと思いますが。
No.35259 - 2016/01/23(Sat) 11:09:02
☆ Re: 問題１３ / エープリル
すみません。x^(2010)-1=(x^5-1)(x^2005+x^2000+・・・＋１）・・・?Aの方でした！

(x^n)-1=(x-1)(x^(n-1)＋・・・＋１）のｘをｘ＾５にして、

ｎ＝４０２としたら導けました！

ありがとうございました！
No.35262 - 2016/01/23(Sat) 12:35:33
★ 質問１ / エープリル
問題１２）ｎを自然数、A,Bを整数とする。多項式ｘ＾（２ｎ）-4x^2+Ax+Bがx^2-x+1で割り切れるようにA,Bの値を定めよ。

質問１）という問題でｎを３で割ったあまりで場合わけしているのですが、その発想は一体どこから来たのでしょうか？

よろしくおねがいします
No.35251 - 2016/01/23(Sat) 10:08:12
☆ Re: 質問１ / らすかる
「場合分け」は発想するものではありません。
問題を解いていったうえで、
「ここから先は場合分けをしないと解けない」あるいは
「ここから先は場合分けをした方が簡単になりそう」
という時に必要に迫られて場合分けをするものです。
# 途中で場合分けが必要であることがわかったとき、
# 先頭に戻って最初から場合分けする解答に書き直すこともあります。

従って、解答を順に追っていけば、なぜ場合分けしているのかは
自動的にわかると思います。
No.35255 - 2016/01/23(Sat) 10:40:15
☆ Re: 質問１ / エープリル
解答を順に追っても場合わけの理由は正直全く分かりませんでした。ので独自に思考過程を書いてみます。

ｘ＾（２ｎ）-4x^2+Ax+B＝（x^2-x+1）Q(x)とおける
x^2-x+1=0の解をαとすると
α^(2n)-4α^2+Aα+B＝０
なんだこのｎ・・？このｎのせいで解けない。。ｎが分からないからｎ＝１，２，３・・・と調べてみよう
ｎ＝１，２，３，４，５，６、・・・のとき
α^(2n)=α^2、−α、１、α^2、−α、１とα^2、−α、１繰り返しになっている（ことを偶然発見した）！！
ｎ＝３ｍ＋１のときα^(2n)＝α＾２、ｎ＝３ｍ＋２のときα^(2n)＝−α、ｎ＝３ｍのときα^(2n)＝１とおくことでa^(2n)の値は全て網羅される！

こういった感じでよいのでしょうか
No.35263 - 2016/01/23(Sat) 12:55:14
☆ Re: 質問１ / IT
そういうことで良いと思います。

もうお気づきと思いますが,
この問題の場合は,
αはx^6=1の虚根に, α^2はx^3=1の虚根になることが分かります。

x^2-x+1=0の解αを求めて複素平面上に図示してみるという分りやすいかも知れません。

x^6-1=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)の因数分解をやったことがないと気付きにくいので、
試行して確認するのが早道だと思います。
No.35264 - 2016/01/23(Sat) 13:47:15
☆ Re: 質問１ / エープリル
納得できました、ありがとうございました。
No.35274 - 2016/01/23(Sat) 22:10:14
★ (No Subject) / ジョー
ｘの関数ｙに関する微分方程式 xyy'=x²+y²を解く。
y'=2x/y+y/x は同次形である。
y=xuとおけばuに関する変数分離形の微分方程式
uu'=2x/y+y/x　に直すことができる。

○×問題なんですが、回答は×です。
求め方をわかる方教えてください。
よろしくお願いしますm(_ _)m
No.35244 - 2016/01/22(Fri) 23:19:44
☆ Re: / ＿
2行目の変形ですでに破綻しているので×。

---
たとえば「y=x² のとき、（2^x)^2 =2yである。」の正誤が自力で判定できないような段階では微分方程式は尚早なんでないかしら。
No.35247 - 2016/01/23(Sat) 00:55:25
★ 導関数 / きらり
関数f(x)=(x+1)sinx　について
これの導関数、2次導関数、2次の近似式をもとめよ
という問題ですが求め方・途中式を教えてほしいです。
No.35242 - 2016/01/22(Fri) 23:08:50
☆ Re: 導関数 / ＿
導関数を求める段階から手詰まりなのですか？
そうであれば近似式を求めるうえでの前提の知識が決定的に不足しています。もしくは最初から全く考えるつもりがないか。

＃向こうでも書きましたが、名前変えて大量に質問するのやめましょうね。
No.35248 - 2016/01/23(Sat) 01:12:55
★ 定積分 / カメ
1
I=∫　√1-x^2 dx　を計算せよ。
　　0

という問題で、sin0=0, sin(π/2)=1であるから
x=sint(0≦ｔ≦π/2）とおくと、
√1-x^2 =cost, dx/dt=cost となり・・・
とあるのですが
はじめのsinはどこから出てきたのでしょうか？
何か公式を利用したのでしょうか？

よろしくお願いします。　
No.35241 - 2016/01/22(Fri) 22:59:52
☆ Re: 定積分 / カメ
I=∫[1.0] √1-x^2 dx　のことです。
わかりにくかったと思うので追加しました。
よろしくお願いします。
No.35243 - 2016/01/22(Fri) 23:11:35
☆ Re: 定積分 / ＿
公式云々を持ち出そうとせずにとりあえず落ち着いて見てみるとよいです。
√部分を処理するためにx=sintの置換積分をして、それに伴って必要な積分区間の値を調整しているだけです。

＃ただ、その解答例の著者が何を意図してそうしているのかは分かりませんが、単に単位円の第一象限部分とxy両軸で囲む面積と考えれば積分計算持ち出す必要はないですね。
No.35245 - 2016/01/22(Fri) 23:27:01
★ 数学3 / さくら
高3理系です
式変形などは分かるのですが、最後の図にするところが分かりません
どうしてこの形になるのか教えて下さい
よろしくお願いしますm(__)m
No.35235 - 2016/01/22(Fri) 22:00:19
☆ Re: 数学3 / さくら
すみません
一箇所45°を消し忘れて大変なことになってました

正しくはこうです
No.35236 - 2016/01/22(Fri) 22:04:47
☆ Re: 数学3 / さくら
…何度も本当に申し訳ないです
写真横になってしまったので貼り直しますorz
No.35237 - 2016/01/22(Fri) 22:07:41
☆ Re: 数学3 / IT
複素数α,β　（β≠0)について
arg(α/β)=argα-argβ　（２nπの違いは無視）
|α/β|=|α|/|β|
がいえることはいいですか？
No.35238 - 2016/01/22(Fri) 22:48:28
☆ Re: 数学3 / さくら
>ITさん

コメントありがとうございます！

はい、それは分かります
No.35246 - 2016/01/23(Sat) 00:44:56
☆ Re: 数学3 / IT
(β-α)/(γ-α)= 2(cos(π/4)+isin(π/4))
の両辺の絶対値を取ると
|(β-α)/(γ-α)|= |2(cos(π/4)+isin(π/4))|
|β-α|/|γ-α|= 2 なので|β-α|は|γ-α|の２倍
また
　arg{(β-α)/(γ-α)}=arg{2(cos(π/4)+isin(π/4))}
　arg(β-α)-arg(γ-α)=π/4


あるいは
　(β-α)/(γ-α)= 2(cos(π/4)+isin(π/4))　より
　β-α＝2(cos(π/4)+isin(π/4))(γ-α)
　β-αはγ-αを２倍してπ/4回転したもの

＃この辺は、教科書に書いてあるのではないでしょうか？
No.35249 - 2016/01/23(Sat) 02:08:20
☆ Re: 数学3 / さくら
>ITさん

遅れてしまいすみません
丁寧にありがとうございました！
両方ともすごく分かりやすかったです

教科書ではβ-αなどといった引き算の形や、分数の形のものがなかった(はず…)なので混乱してしまいましたが
根本的には同じなんですね

また機会があれば、よろしくお願いします
No.35261 - 2016/01/23(Sat) 11:56:13
★ 対称性 / ざんきまる
一辺の長さが１の正方形ABCDの辺上に異なる二点E,Fをとり、線分EFによって正方形ABCDが面積3/4と面積1/4の２つの図形に分割されるようにする。線分EFの中天をGとするときGの軌跡によって囲まれる部分の面積Sを求めよ。

解答）
A=Oとなるように座標軸をとり、G（X,Y)とおく。
（AB上にx軸、AD上にｙ軸をとっている）
ア）線分EFのたんてんが向かい合う辺上にあるとき図１を参照せよ。EがAB上、FがCD上にあり四角形AEFDの面積が1/4になる時を考えると台形AEFDと長方形AHID（GからAB,ACに下ろした垂線の足をそれぞれH,Iとしている）の面積は等しいからX*1=1/4よりX=1/4
またY=1/2
（イ）
線分EFのたんてんが隣り合う辺上にあるとき、図２を参照せよ。EがAB上、FがAD上にあるときを考えるとE(2X,0),F(0,２Y)であるから?僊EF＝２XY
これが1/4に等しいのでXY=1/8
また０≦２X≦１、０≦２Y≦１とあわせて
０≦X≦１/2、０≦Y≦１/2,XY=1/8
となる。』以上と対称性を考えると、Gの軌跡は図３(1/2,1/2）を中心とした膨らんだダイヤモンドのような形の内部）のようになり、求める面積SはS=∫(1/4~1/2)(1/2-1/8xdx=1/2-1/2log2
(図は言葉で説明しました）

』までは分かるのですが、これと対称性でどのようにしたらそのまま即座にG軌跡が書けるのかが分かりません。

どなたか分かるかた、教えてください
よろしくおねがいします
No.35234 - 2016/01/22(Fri) 21:28:42
☆ Re: 対称性 / 水面に映る月
計算過程は大体でしか読んでいませんが，
1．線分EFが辺ABと辺ADを橋渡ししている場合
の議論と同様の議論が，
2．線分EFが辺BAと辺BCを橋渡ししている場合
3．線分EFが辺CBと辺CDを橋渡ししている場合
4．線分EFが辺DCと辺DAを橋渡ししている場合
についてもできるから，という意味での「対称性」であると思います．
No.35265 - 2016/01/23(Sat) 14:41:22
★ 微分方程式 / カメ
y=e^ax　を2階線形斉次微分方程式
y''-2'-3y=0の解とすると、
a　についての2次方程式(a^2)-2a-3=0 が成り立つ
この2次方程式の解はa=-1,3 だから
y=e^-x　とy=e^3x　は微分方程式の解である。

という丸罰問題があり、正解は丸なのですがどうやって求めればいいのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.35223 - 2016/01/22(Fri) 17:53:31
☆ Re: 微分方程式 / 水面に映る月
y=e^axをy''-2'-3y=0に代入すると，{(a^2)-2a-3}e^ax=0を得ますね．
No.35224 - 2016/01/22(Fri) 18:34:45
☆ Re: 微分方程式 / カメ
ありがとうございます！
理解できました。
No.35239 - 2016/01/22(Fri) 22:55:01
★ 軌跡　書き方 / UA

-2x^2+x+1の軌跡を図示する場合
どのように書けばいいでしょうか？
よろしくお願いします。
No.35221 - 2016/01/22(Fri) 13:37:25
☆ Re: 軌跡　書き方 / ヨッシー
y=-2x^2+x+1 のグラフの描き方でしょうか？

頂点、軸、ｙ切片　は必須です
後は代表的な点（ｘ切片など）を書き込んでおけばＯＫでしょう。
No.35222 - 2016/01/22(Fri) 14:30:51
☆ Re: 軌跡　書き方 / UA
ありがとうございました！

頑張ってみます！
No.35227 - 2016/01/22(Fri) 18:58:58
★ 数珠順列 / おお
以下を数珠順列で並べると何通り出来ますか？ 解き方を教えて下さい

赤玉2個、白玉2個、黒玉2個 (11通り)

赤玉2個、白玉3個、黒玉3個

赤玉4個、白玉4個、黒玉8個

赤玉3個、白玉4個、黒玉5個

赤玉3個、白玉6個 (7通り)
No.35217 - 2016/01/22(Fri) 03:46:28
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
失礼ですが，何を求めたいのか，今ひとつ分かりません．「左右対称のもの」だけを求めたいのでしょうか．
もし，玉の並べ方の総数だけ知りたいなら，素直に一般的な解法(つまり，1つ玉を固定する方法)でやったほうが良いように思います．

# ちなみに，">"の記号は，一般的には，引用するときに使われます．この掲示板でも
# たくさん">"の記号が使われているので，それらを使用例として参考にされると良いと思います．
No.35225 - 2016/01/22(Fri) 18:41:20
☆ Re: 数珠順列 / おお
1つ固定する方法で、赤玉4個、白玉4個、黒玉8個 はどう解けばいいのでしょうか？
No.35226 - 2016/01/22(Fri) 18:54:33
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
ごめんなさい．「数珠順列」ですね．すっかり円順列と勘違いしていました．それならば，左右対称のものを知る必要がありますね．
No.35228 - 2016/01/22(Fri) 19:30:47
☆ Re: 数珠順列 / おお
円順列は、循環の考え方でやれば玉がいくつであろうと簡単に解けるのでいいのですがね。
数珠順列はそこから左右対称は見つけないといけないのですが、回転させると同じになるものかつ左右対称になるものとか出てきて、こんがらがってしまいました。

簡単な例だと、赤2、白2、青2のとき 左右対称になるのは
左右に3個(赤1、白1、青1)ずつ置く方法 3!=6通り ただし3通りは回転すると同じ
と上下に赤(白、青)を固定して残りを2個ずつ左右に置く方法 3×2=6 ただし3通りは回転すると同じ

結果左右対称かつ回転しても同じにならないものは6個

したがって、赤2、白2、青2の円順列は16通りより
(16−6) ÷ 2 + 6 = 11
No.35229 - 2016/01/22(Fri) 19:59:32
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
これ，確かに結構シンドイですね．
順に考えていきたいと思いますが，赤玉2個、白玉3個、黒玉3個の場合に関しては，任意の対称な並べ方に関して，対称の軸上には必ず白玉と黒玉が乗っていますから，対称なものは，3!=6通りとなるように思います．(対称の軸とする白玉と黒玉を固定して，他をこれに対称となるように並べると，回して重なるものはないハズ)

赤玉3個、白玉4個、黒玉5個の場合も，同様にできそうですね．任意の対称な並べ方に関して，対称の軸上には必ず赤玉と黒玉が乗っていますから，対称なものは，5!/(2!*2!)通りとなるように思います．

# どなたか良いアイデアがあったら教えてください．私からもお願いします．
No.35231 - 2016/01/22(Fri) 20:48:52
☆ Re: 数珠順列 / おお
確かに、2、3、3と 3、4、5 の場合はそれで良さそうですね
No.35233 - 2016/01/22(Fri) 21:20:19
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
赤玉4個,白玉4個,黒玉8個が問題ですね…．
これは自作問題ですか?それとも何かの問題集の問題ですか?
私の頭と忍耐力が足りないのかもしれないですが，うまい方法は思いつかず,断念しました…．すみません…．
再度,赤玉4個,白玉4個,黒玉8個の場合に絞って質問しなおしたらどなたか頭の切れる方が回答して下さるかもしれません.(その場合は,もし,自作問題なのであれば,その旨,書かれると良いと思います.)

# いろいろ調べてもみましたが,見つかりませんでした. ただ,「同じものを含む円順列」に関しては,
# 公式があるようですね. 入試の答案などで使うのは宜しくないと思いますが,面白かったので
# URLを載せておきます.(あくまでも参考程度に,ということなので,スルーしていただいても結構です)

http://kyomura.web.fc2.com/math/enjyunretsu.pdf
No.35250 - 2016/01/23(Sat) 04:34:31
☆ Re: 数珠順列 / らすかる
赤玉4個、白玉4個、黒玉8個の場合

円順列で90°回転対称形は3通り（1個の赤を基準にして白の位置を考えればよい）で、
このうち裏返して自分自身になるものは1通りなので、数珠順列で90°回転対称形は2通り
具体的には
赤白黒黒赤白黒黒赤白黒黒赤白黒黒 ← 裏返すと別のパターン
赤黒白黒赤黒白黒赤黒白黒赤黒白黒 ← 裏返すと自分自身

円順列で180°回転対称形は
(8C2×6C2-3×4)÷8=51通り
このうち裏返して自分自身になるものは
赤赤□□□□□□赤赤□□□□□□ 形のとき
白の配置を考えると3通り
赤□赤□□□□□赤□赤□□□□□ 形のとき
白の配置を考えると3通り
赤□□赤□□□□赤□□赤□□□□ 形のとき
白の配置を考えると3通り
赤□□□赤□□□赤□□□赤□□□ 形のとき
白の配置を考えると2通り
※3通り中1通りは90°回転対称形なので除外
計 3+3+3+2=11通り
よって数珠順列では(51+11)÷2=31通り

円順列で回転対称形でないものは
(16C4×12C4-51×8-3×4)÷16=56280通り
このうち裏返して自分自身になるものは
対称軸上に玉がない場合
(8C2×6C2-4P2)÷2=204通り
対称軸上に赤玉2個がある場合
(7C1×6C2-3C1)÷2=51通り
対称軸上に白玉2個がある場合
(7C1×6C2-3C1)÷2=51通り
対称軸上に黒玉2個がある場合
(7C2×5C2-3P2)÷2=102通り
※それぞれの-4P2,-3C1,-3C1,-3P2は対称軸が2つあるものを除外
計 204+51+51+102=408通り
よって数珠順列では
(56280+408)÷2=28344通り

従って全部で
2+31+28344=28377通り
No.35254 - 2016/01/23(Sat) 10:33:30
☆ Re: 数珠順列 / エープリル
横から失礼します

質問なのですが
サイトの円順列の公式のΣkldの意味を教えていただけないでしょうか？項数が分かりません。自分も面白いとおもったので。。。
No.35257 - 2016/01/23(Sat) 10:50:02
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
>>エープリルさん
公式のΣkldの意味は，dのすべての約数kについての数列の和をとる，という意味です．

>>らすかるさん
有難うございます．私もじっくり読ませて頂きます．
No.35260 - 2016/01/23(Sat) 11:21:38
★ 新課程　図形の性質 / ピエールシモンラプラス
正多面体に含まれる面の数をF,辺の数をE,頂点の数をV、正多面体の各面は正ｎ角形であり、各頂点にはｋ枚の面が集まっている。（F-E+V=2)

このときF,E,V,n,kのどれか一つが分かれば残りの４つの変数も分かりますか？

よろしくおねがいします
No.35215 - 2016/01/21(Thu) 23:37:44
☆ Re: 新課程　図形の性質 / らすかる
分かりません。
n=3である正多面体は3つあります。
No.35216 - 2016/01/21(Thu) 23:44:09
☆ Re: 新課程　図形の性質 / ピエールシモンラプラス
ありがとうございました！
No.35232 - 2016/01/22(Fri) 21:10:32
★ (No Subject) / ##
(１)で漸化式の変形から出来ません。教えていただきたいです。
(2)も答えがａn＝2/3^n-1となるのですが、途中式がわからないので、教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.35212 - 2016/01/21(Thu) 22:17:35
☆ Re: / 水面に映る月
(1)
(そこまで求められていないかもしれませんが，)最初に任意の正の整数nに対してa[n]≠0を示しておきましょう．

背理法で示す．
今，仮に，a[n]=0を満たすような正の整数nが存在したとしよう．この時，このようなnのうちで最小のものが存在するので，それをk(k≧2)とすると，漸化式より，
a[k]=a[k-1]/(a[k-1]+3)=0
であるから，a[k-1]が従う．これは，kがa[n]=0となる最小のnであることに矛盾するから，背理法によって，任意の正の整数nに対して，a[n]≠0が言えた．

与えられた漸化式a[n+1]=a[n]/(a[n]+3)について，両辺の逆数をとると，
1/a[n+1]=(a[n]+3)/a[n]=1+3/a[n] であるから， b[n+1]=3b[n]+1・・・(*)

------以下手元計算------
漸化式(*)の特性方程式β=3β+1を解くと，β=-1/2
------手元計算終わり------

ここで，(*)は，次のように変形できる．
b[n+1]+1/2=3(b[n]+1/2)
従って，数列{b[n]+1/2}は初項3/2，公比3の等比数列であるから，
b[n]+1/2=(3^n)/2 すなわち， b[n]=(3^n-1)/2

(2)
a[n]=1/b[n]=2/(3^n-1)

# あら?私の計算でも##さんと同じ結果になりましたね…．答えが間違ってるんかな．
No.35213 - 2016/01/21(Thu) 22:47:13
☆ Re: / 水面に映る月
編集パス入れ忘れたので訂正します・・・．
上の私の回答の7行目です．
>であるから，a[k-1]が従う．
これは，「であるから，a[k-1]=0が従う．」の間違いです．失礼しました．

あと，訂正のついでに1点補足しておきますが，特性方程式は，漸化式においてb[n]とb[n+1]をともにβとしたものです．数列{b[n]-β}を等比数列にしたいがためにこのような方程式を考えています．教科書にも載っている・・・(かな)と思います．

# 答えも私の計算結果と一致しているようですね．失礼しました．
No.35214 - 2016/01/21(Thu) 22:56:07
☆ Re: / ##
ありがとうございます！
参考にさせていただきます！
No.35219 - 2016/01/22(Fri) 07:44:01
☆ Re: / 水面に映る月
もう見ていないかもしれませんが，もし見ていたら，以下の注意も読んでいただけると有り難いです．

漸化式a[n+1]=pa[n]+qに対応した方程式α=pα+qを「特性方程式」と呼んでよいのかどうかということに関しては，議論のあるところですから(その理由はちょっと難しいです)，答案には「特性方程式」といった言葉は書かないほうが良いように思います．
「ん?この式変形，どうやって思いついたかって?いやぁ，思いついたんだよ．すごいっしょ(￣∇￣)v ﾄﾞﾔｯ!」って感じで，しれっと，式変形だけ書いて(上の私の回答でいうと，この部分→「ここで，(*)は，次のように変形できる．b[n+1]+1/2=3(b[n]+1/2)」)，特性方程式については答案には書かないほうが良いと思います．
No.35220 - 2016/01/22(Fri) 12:35:17
★ 最大最小 / UA
2x^2 ＋ax+b　
X=3のとき最小をとりX=-2のとき1になる
定数a,bを求めよ

答えを導き出すと数が異常に大きくなってしまいます。

具体的に説明していただけませんか？
よろしくお願いします。
No.35206 - 2016/01/21(Thu) 14:29:40
☆ Re: 最大最小 / ヨッシー
条件より
　2x^2＋ax＋b＝2(x-3)^2−c
と書けます。これが、(-2,1) を通るように c を調整し、
展開して、係数比較して、a, b を確定します。

a=-12, b=−31 となるはずです。
No.35207 - 2016/01/21(Thu) 15:46:51
☆ Re: 最大最小 / UA
bの値が大きく不安になって難しく考えすぎていました！
これで安心して問題を解けます！

説明ありがとうございました！！
No.35208 - 2016/01/21(Thu) 16:09:37
★ (No Subject) / ドーナツ
(1)と(3)を教えてください。
No.35200 - 2016/01/20(Wed) 23:23:18
☆ Re: / IT
(1)
男女それぞれ順番に並べておいて
順に男G１に２人,女G１に２人,男G２に２人、女G２に２人を入れると考える。

男をa,b,c,d,女を1,2,3,4として
男が(a,b,c,d)、女が(1,2,3,4)の順に並んでいるとき
(a,b)(1,2)(c,d)(3,4) と各グループに入れる
男４人の並べ方は４！＝２４通り
女４人の並べ方は４！＝２４通り

(a,b)と(b,a),(1,2)と(2,1),(c,d)と(d,c),(3,4)と(4,3)は同じとみなされるので２^４で割る。

求める並べ方の数は 24*24/(2^4)=6*6=36
No.35201 - 2016/01/21(Thu) 00:28:08
☆ Re: / IT
(2)
余事象（各グループ男女ペアになる）確率を考える

各グループはABCDと区別する。
グループの作り方
　８人全員を順に並べる。８！通り
　1,2番目をAグループに
　3,4番目をBグループに
　5,6番目をCグループに
　7,8番目をDグループに 入れる
　1番目と2番目,3番目と4番目,5番目と6番目,7番目と8番目は入れ替わっても同じなので　2^4で割る
したがって、グループの作り方は全部で 8!/(2^4)通り
そのうち、各グループ男女ペアになるのは 4!×4!通り
よって、各グループ男女ペアになる確率は
　(4!×4!)/{8!/(2^4)}=8/35

よって、求める確率は　1-(8/35)=27/35
No.35202 - 2016/01/21(Thu) 00:51:08
☆ Re: / IT
(2)の別解
男性aと女性がペアになる確率は4/7
さらに男性bと女性がペアになる確率は3/5
さらに男性cと女性がペアになる確率は2/3
(男性dは残りの女性とペアになる）
なので男女ペア４つになる確率は(4/7)(3/5)(2/3)=8/35

よって求める確率は　1-(8/35)=27/35
No.35209 - 2016/01/21(Thu) 18:09:36
☆ Re: / IT
(1) 別解 (こちらの方が分かり易いかも）
男のグループ分けは aとのペアがb,c,dの３通りなので３通り
女のグループ分けも３通り

男のグループの並べ方は２通り
女のグループの並べ方も２通り

よって求める並べ方は３×３×２×２＝３６通り
No.35211 - 2016/01/21(Thu) 21:18:44
★ (No Subject) / ゆうこママ
小学生の算数ですが、差集め算で解く方法がわかる方いらっしゃいますか？

A,B,C　3種類のノートがあり、それぞれ240円、180円、150円です。A:Cは3：2の割合で購入し、全部で45冊、8700円となりました。Bは何冊買ったか。

宜しくお願いします！
No.35191 - 2016/01/20(Wed) 12:58:38
☆ Re: / ヨッシー
１個の差×個数＝全体の差　が差集め算の要件とすると、
１冊240円のＡノート27冊、1冊150円のＣノート18冊の
計45冊を9180で買うつもりでしたが、Ａノート3冊とＣノート2冊を
１冊180円のＢノート5冊と入れ替えることを何回か行なったところ
合計金額が8700円となりました。
入れ替えは何回行いましたか？
また、Ｂノートは何冊買いましたか？
という問題に無理やり置き換え、
１回の入れ替えで生じる差は　240×3＋150×2−180×5＝120（円）
全体の差は　9180−8700＝480（円）
　480÷120＝4
　4×5＝20
入れ替えは４回、Ｂノートは２０冊
となります。

計算経過はもろに鶴亀算ですが。
No.35194 - 2016/01/20(Wed) 14:55:55
☆ Re: / ゆうこママ
すごくよくわかりました！
ありがとうございます！！
No.35195 - 2016/01/20(Wed) 15:32:41
★ 極限の問題 / あー
再度質問です。
よろしくおねがいします
No.35190 - 2016/01/20(Wed) 12:19:59
☆ Re: 極限の問題 / 水面に映る月
一つ質問ですが(高校生用の回答はまだ用意していないのですが)，あーさんは高校生なのでしょうか?
No.35197 - 2016/01/20(Wed) 18:42:48
☆ Re: 極限の問題 / あー
大学生です
No.35198 - 2016/01/20(Wed) 19:11:45
☆ Re: 極限の問題 / 水面に映る月
失礼しました．それならば，「マクローリンの定理」を用いれば解決すると思います．
マクローリンの定理(やテイラーの定理)についての証明は本を読んでもらうとして，f(x)=e^(-x)とすると，fはC^∞級で，(d^k/dx^k)e^(-x)={(-1)^k}(e^(-x))(k=0,1,2,...)であるから，マクローリンの定理によって，

∃θ∈(0,1) s.t. e^(-x)={Σ[k=0,n](-1)^k(x^k)/k !}+{(-1)^(n+1)}e^(-θx)(x^(n+1))/(n+1) !

従って，
lim[x->0](e^(-x)-(a[0]+a[1]x+…+a[n]x^n))/x^(n+1)
=lim[x->0](Σ[k=0,n][{(((-1)^k)/k !)-a[k]}/x^(n-k+1)]+((-1)^(n+1))e^(-θx)/(n+1) !)…(*)

lim[x->0](((-1)^(n+1))e^(-θx)/(n+1) !)=((-1)^(n+1))/(n+1) !であるから，(*)が有限の値に確定する為には，
lim[x->0](Σ[k=0,n][{(((-1)^k)/k !)-a[k]}/x^(n-k+1)]が有限の値に確定しなければならないが，0≦k≦nのときn-k+1>0であるから，この為には，係数がすべて0でなくてはならない(逆は明らか)．

よって，a[k]=(((-1)^k)/k !)(k=0,1,2,...,n)
また，求める極限値は，((-1)^(n+1))/(n+1) !
No.35199 - 2016/01/20(Wed) 20:24:34
☆ Re: 極限の問題 / あー
ありがとうございます。
No.35210 - 2016/01/21(Thu) 19:52:12
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