(1) t=tanx とおくとき、sin2xをtを用いて表せ
(2)-180°＜x＜180° の範囲で方程式
(√3+1)cos^2・x/2+(√3-1)/2・sinx-1=0
を解け
よろしくお願いします
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No.35014 - 2016/01/08(Fri) 01:28:59
| ☆ Re: 三角関数 / ぷー | | | sin2x=2sinxcosx/(cos^2x+sin^2x)(cos^2x+sin^2x)=1なので割っても影響ありません）
=2t/(1+t^2)（分母分子をcos^2xで割りました）
２）はcos^2・x/2＝(1+cosx)/2にして与えられた方程式に代入してsinxとcosxと定数項で表せるのでsinxとcosxを合成していけばいいと思います。
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No.35028 - 2016/01/09(Sat) 19:21:21 |
| ☆ Re: 三角関数 / X | | | 横から失礼します。
(2)についてですが、左辺に半角の公式を使った後でも
単に合成しただけでは解けません。
合成を使うのであれば、もう一ひねりする必要が
あります。
問題の方程式から
(√3+1)(1+cosx)/2+{(√3-1)/2}sinx-1=0
(√3+1)(1+cosx)+(√3-1)sinx-2=0
(√3+1)cosx+(√3-1)sinx=1-√3 (A)
両辺を二乗して
{(√3+1)cosx+(√3-1)sinx}^2=4-2√3 (B)
左辺を展開して、半角の公式、二倍角の公式を使うと
(4+2√3)(1+cos2x)/2+2sin2x+(4-2√3)(1-cos2x)/2=4-2√3
これより
(2+√3)(1+cos2x)+2sin2x+(2-√3)(1-cos2x)=4-2√3
2sin2x+(2√3)cos2x=-2√3
sin2x+(√3)cos2x=-√3
ここまで変形した上で左辺を合成すると
2sin(2x+60°)=-√3
sin(2x+60°)=-(√3)/2
ここで
-180°＜x＜180°
∴-300°＜2x+60°＜420°
よって
2x+60°=-120°,-60°,240°,300°
となるので
2x=-180°,-120°,180°,240°
x=-90°,-60°,90°,120° (C)
(A)から(B)の変形で同値性が崩れていますので
(A)に(C)を代入して確かめることにより
x=-90°,120°
或いは(A)と公式
(sinx)^2+(cosx)^2=1
とを連立して解き、sinx,cosxの値を求める
という方針もあります。
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No.35064 - 2016/01/11(Mon) 16:30:50 |
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