座標空間内に点A(−2,2,1),B(√6,1,0),C(2,2,1)およびDは次の条件を満たす。
?@AD＝CD
?A4点A,B,C,Dは点Pを中心とする半径rの球面上にあり,点Pは三角形ACDの内部にある。
?B2直線AC,DPの交点をMとするとDM＝4である。
(1)球面の半径rを求めよ。
(2)三角形ABCの外接円の半径Rを求めよ。
(3)(2)の外接円の中心Qの座標を求めよ。
(4)点Dから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする。点Hの座標を求めよ。
空間図形が苦手です…
どなたか教えてください
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No.35681 - 2016/02/13(Sat) 01:01:37
| ☆ Re: 大学入試（空間図形） / ヨッシー  | | | ○１より、Ｄは線分ＡＣの中点Ｍを通り、ＡＣに垂直な面上にあります。
Ａ，Ｃは、ｙｚ平面に対して対称な位置にあるので、上記のＤが存在する面はｙｚ平面です。
△ＡＣＤは二等辺三角形であり、点Ｐもこの三角形と同じ平面上にあります。
○３で言うところのＭは、ＡＣの中点であり、ＤＭ＝４ より、ＡＤ＝ＣＤ＝2√5 です。
△ＡＣＤの外接円が、○２で言うところの球の大円であるので、△ＡＣＤの外接円の半径が求めるｒです。
(1)
△ＡＣＤにおける正弦定理より ｒ＝5/2
(2)
ＡＢ＝2√(3＋√6)、ＢＣ＝2√(3−√6) より
△ＡＢＣにおける余弦定理より
cosＢ＝1/√3
よって
sinＢ＝√2/√3
△ＡＢＣにおける正弦定理より
Ｒ＝√6
(3)
ＭＱとｘｙ平面の交点をＳとすると Ｓ(0,1,0) であるので
Ｍ(0,2,1) に対して ＭＳ＝√2
一方、△ＣＭＱ において、ＣＱ＝√6、ＣＭ＝２ より ＭＱ＝√2
よって、ＱはＳと一致し、Ｑ(0,1,0)
(4)
Ｐは、Ｂから 5/2 の距離にあるので、yz平面への写像Ｂ’(0,1,0) からは
(5/2)^2−√6^2＝1/4
より、1/2 の距離にあります。
すると、ｙｚ平面上の △ＰＢ’Ｍ は直角三角形になり、
Ｂ’は、Ｐから平面ＡＢＣに下ろした垂線の足となります。
ＤはＭＰを８：５に外分した点なので、Ｈの座標は
H(0,-2/3,-5/3)
となります。
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No.35682 - 2016/02/13(Sat) 09:48:57 |
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