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★ 図形 / 高３
正四面体OABC(1辺の長さ1)の辺OAをt：(1-t)に内分する点をE、辺CBをt：(1-t)に内分する点をFとする。線分EFを直径とする球面Pを考える。t(0<t<1)を動かしたとき常に球面P上にある定点の集合は、辺OA,OB,CA,CBの中点を通る円となることを示せ。

さっぱりわかりません。

よろしくお願いします。
No.35084 - 2016/01/13(Wed) 00:21:38
☆ Re: 図形 / ヨッシー
１辺の長さはこの際関係ないので、扱いやすいように
　Ｏ(0,0,2√2)、Ａ(2,0,0)、Ｂ(-1,√3,0)、Ｃ(-1,-√3,0)
とします。
　Ｅ(2t,0,(1-t)2√2)、Ｆ(-1,(2t-1)√3,0)
ＯＡ，ＯＢ，ＣＡ，ＣＢ の中点を
　Ｇ(1,0,√2)、Ｈ(-1/2,√3/2,√2)、Ｉ(1/2, -√3/2,0)、Ｊ(-1,0,0)
とすると、
　ＧＥ・ＧＦ＝(2t-1,0,(1-2t)√2)・(-2,(2t-1)√3,-√2)
　　＝(-4t+2)−(2-4t)＝０
　ＨＥ・ＨＦ＝(2t+1/2,-√3/2,(1-2t)√2)・(-1/2,(2t-3/2)√3,-√2)
　　＝(-t-1/4)＋3(3/4−t)＋2(2t-1)＝０
　ＩＥ・ＩＦ＝０　（計算は省略）
　ＪＥ・ＪＦ＝０
よって、ｔの値にかかわらず、球面Ｐは４点ＧＨＩＪを通ります。

一方、異なる２つのｔの値によってできる球面Ｐは異なる球であり、２つの球の交線は
ただ１つの円であることより、球面Ｐは常に、４点ＧＨＩＪを通る円を通ります。
No.35102 - 2016/01/14(Thu) 16:03:06
☆ Re: 図形 / ヨッシー
ベクトルで解くと以下のようになります。
　ａ＝ＯＡ、ｂ＝ＯＢ、ｃ＝ＯＣ
　ｅ＝ＯＥ、ｆ＝ＯＦ
とおきます。このとき
　|ａ|＝|ｂ|＝|ｃ|＝１
　ａ・ｂ＝ｂ・ｃ＝ｃ・ａ＝1/2
また、
　ｅ＝ｔａ
　ｆ＝ｔｂ＋(１−ｔ)ｃ
ＯＡ，ＯＢ，ＣＡ，ＣＢ の中点を、Ｇ(ｇ)、Ｈ(ｈ)、Ｉ(ｉ)、Ｊ(ｊ)とすると、
　ｇ＝ａ／２
　ｈ＝ｂ／２
　ｉ＝(ｃ＋ａ)／２
　ｊ＝(ｃ＋ｂ)／２

　ＧＥ・ＧＦ＝(t-1)ａ・(ｔｂ＋(１−ｔ)ｃ−ａ／２)
　　＝t(t-1)ａ・ｂ−(t-1)^2ａ・ｃ＋(1-t)ａ・ａ／２
　　＝(t^2-t)/2−(t^2−2t＋1)/2＋(1-t)/2＝０
（以下略）
No.35104 - 2016/01/14(Thu) 17:09:52
★ 連立合同式の解法 / ぷー
ｘ≡6（mod14)
ｘ≡a(mod187)
のaを求める一般的な解法を教えてください。

上記の６，１４，１８７は思いつきです。説明しやすい数値に変えて結構です。よろしくおねがいします
No.35081 - 2016/01/12(Tue) 21:00:08
☆ Re: 連立合同式の解法 / 水面に映る月
連立合同式を解くというよりｘ≡6（mod14)のとき，ｘ≡？(mod187)ということですね．

14と187は互いに素ですので（意図していたかどうかはわかりませんが），実は，「中国剰余定理」によって、aは任意の整数となりうる，ということになります．

# 興味があれば，「中国剰余定理」で調べてみてください．
No.35082 - 2016/01/12(Tue) 22:18:45
☆ Re: 連立合同式の解法 / ぷー
興味深い回答をありがとうございます
「中国剰余定理：
m1，m2 を互いに素な正整数（即ち最大公約数が１）とする。a1，a2 を整数する。 このとき，
x ≡a1 (mod m1)
x ≡a2 (mod m2)

を満たす整数 x が m1m2 を法にして唯ひとつ存在する。」
自体は知っていましたが、なぜ中国剰余定理によりaは任意の整数となりうる、のかが分かりません。No35081の数値でいえることは
ｘ≡6（mod14)
ｘ≡a(mod187)
を解くとx≡▲(mod14*87)という風に一通りで表せる
ということではないのですか？ぜひ知りたいです。

では、（数値は先に述べたようにお任せしますが）
x≡６(mod14)
x≡？(mod186)
で？を求める方法を合同式で行うとどうなりますか？よろしくおねがいします
No.35083 - 2016/01/12(Tue) 23:43:47
☆ Re: 連立合同式の解法 / 水面に映る月
互いに素でない場合についてはまだ検討していないので，とりあえずは最初の質問だけ回答します．

>No35081の数値でいえることは
>ｘ≡6（mod14)
>ｘ≡a(mod187)
>を解くとx≡▲(mod14*87)という風に一通りで表せる
>ということではないのですか？ぜひ知りたいです。

はい，確かに，その理解でよいと思います．
「ｘ≡6（mod14)，ｘ≡a(mod187)のaを求める」ということは，整数xについての連立合同式ｘ≡6（mod14)かつｘ≡a(mod187)が解をもつような整数aを求めるということであることはご理解いただけるでしょうか？

これが分かれば，疑問は解消するはずです．
No.35085 - 2016/01/13(Wed) 00:28:39
☆ Re: 連立合同式の解法 / ぷー
ありがとうございます

＞「ｘ≡6（mod14)，ｘ≡a(mod187)のaを求める」ということは，整数xについての連立合同式ｘ≡6（mod14)かつｘ≡a(mod187)が解をもつような整数aを求めるということであることはご理解いただけるでしょうか？

はい。それはわかります

が、a任意の整数というのがやはりわかりません。

ｘ≡6（mod14)
ｘ≡a(mod187)
１４，１８７は互いに素より中国剰余定理から
ｘ≡ｂ(mod14*187)のようにｂ（０＜ｂ＜１４＊１８７）を用いてただひとつに表せるので
x=14*187k+b(k整数）
=187(14k)+b≡ｂ(mod187)
つまりaはｂというただ一つの値に決まる
となってしまうのですが。
No.35086 - 2016/01/13(Wed) 01:25:17
☆ Re: 連立合同式の解法 / 水面に映る月
見当違いなことを仰っているように思います．

例えば，ｘ≡6（mod14)を満たす整数xの中で，ｘ≡2(mod187)となるようなものがあるのか，調べたかったら，
ｘ≡6（mod14)かつｘ≡2(mod187)を満たすような整数xが存在するかどうかを調べることになりますが，これは中国剰余定理によって，ｘ≡6（mod14)かつｘ≡2(mod187)を満たすような整数xが存在するということが分かります．

同様に，任意の整数aに対して，ｘ≡6（mod14)かつｘ≡a(mod187)を満たすような整数xが存在します．

つまり，今は，「aありき」の議論をしているのです．それに，bはaに依存しますよね．

# 今の議論における本質ではありませんが，もう一点，指摘させていただきます．
# 一般に，a≡bだからと言って，a=bであるとは限りません．
No.35087 - 2016/01/13(Wed) 03:08:14
☆ Re: 連立合同式の解法 / ぷー
回答ありがとうございます。理解できました。

次に、後者の質問の回答をお願いします
No.35088 - 2016/01/13(Wed) 10:27:07
☆ Re: 連立合同式の解法 / 水面に映る月
>x≡６(mod14)
>x≡？(mod186)
>で？を求める方法を合同式で行うとどうなりますか？

# 以下では，「合同式で行う」と言うより，より「原始的に」解いてみます．
# 合同式が便利な場合もありますが，こういう，より基本的な問題を解くときには使い勝手が悪いように
# 思います．

ｘ≡6（mod14)..........(A)とｘ≡a(mod186)..........(B)を同時に満たすような整数xが存在するような整数aを求めると考えます．

(A)より，x=14j+6(jは整数)とかけて，(B)より，x=186k+a(kは整数)とかけるから，

(A)と(B)を同時に満たすような整数xが存在する
⇔14j+6=186k+aを満たすような2つの整数の組(j，k)が存在する
⇔2(7j-93k)=a-6を満たすような2つの整数の組(j，k)が存在する...................(*)

このためには，a-6が2で割り切れることが必要条件であるから(つまり，aが奇数なら即却下ということ)，a-6=2a'(a'は整数)とおくと，

(*)
⇔7j-93k=a'を満たすような2つの整数の組(j，k)が存在する
⇔7j=93k+a'を満たすような2つの整数の組(j，k)が存在する
⇔y≡0（mod7)..........(C)とy≡a'(mod93)..........(D)を同時に満たすような整数yが存在する

これで，(7と93は互いに素ですので，)「互いに素な場合」に帰着できましたので，先ほどの「ｘ≡6（mod14)のとき，ｘ≡？(mod187)」と同じように，中国剰余定理によって，a'(=(a-6)/2)は全ての整数値をとりうるということになります．

よって，a=2m(mは任意の整数値をとりうる)となります．(m=a'-3とおいた)
No.35089 - 2016/01/13(Wed) 10:32:13
★ (No Subject) / 吉野
添付した問題について質問です。
No.35077 - 2016/01/12(Tue) 19:15:37
☆ Re: / 吉野
OH；HD＝３；１
となるわけを教えてください。
よろしくお願いします！
No.35078 - 2016/01/12(Tue) 19:17:14
☆ Re: / X
条件からOHは△OABの外接円の半径となっています。
そこで、正弦定理を用いてOHの長さを求めることを
考えます。
既に辺ABの垂直二等分線である線分ODの長さは
求められていますので、これとOAの長さから
sin∠OAB
の値は求められます。
以上からOHの長さを求めた後
HD=OD-OH
によりHDの長さを求めていきます。
No.35079 - 2016/01/12(Tue) 20:16:00
☆ Re: / 吉野
よくわかりました！どうもありがとうございました！
No.35120 - 2016/01/16(Sat) 23:40:27
★ (No Subject) / dfhvbeyrh
四角形PQRSは半径1の円に内接し、対角線は定点Aで交わる。
Aと円の中心との距離をa(0<a<1)とするとき、四角形PQRSの面積の最大値をaを用いて表せ。
No.35072 - 2016/01/11(Mon) 23:11:36
★ 高校2年です / のん

x=[3]√(-1±√5)/2 - 1/[3]√(-1±√5)/2となりました。
これ以上簡単にできますか？(有理化など…)
No.35065 - 2016/01/11(Mon) 16:43:35
☆ Re: 高校2年です / のん
すいません、このような問題です。
No.35068 - 2016/01/11(Mon) 18:13:40
☆ Re: 高校2年です / らすかる
2/(-1±√5)=2(-1干√5)/(1-5)=(1±√5)/2 なので
[3]√{(-1+√5)/2}-1/[3]√{(-1+√5)/2}
=[3]√{(-1+√5)/2}-[3]√{(1+√5)/2} … (1)
[3]√{(-1-√5)/2}-1/[3]√{(-1-√5)/2}
=[3]√{(-1-√5)/2}-[3]√{(1-√5)/2}
=-[3]√{(1+√5)/2}+[3]√{(-1+√5)/2}
=(1)
つまり
x=[3]√{(-1±√5)/2}-1/[3]√{(-1±√5)/2}
は2解のように見えますが実は1解で、簡単にすると
x=[3]√{(-1+√5)/2}-[3]√{(1+√5)/2}
となります。
No.35073 - 2016/01/12(Tue) 03:55:34
☆ Re: 高校2年です / のん
ありがとうございました！わかりました。
No.35074 - 2016/01/12(Tue) 05:49:35
★ (No Subject) / 吉野
解答のように、X/2に変形してとき、K＝０のときにXが最小になるとみたのですが、答えがはじめからあいません...
この方法が間違っているのでしょうか...どうかよろしくお願いします。
No.35059 - 2016/01/11(Mon) 13:01:55
☆ Re: / ヨッシー
>X/2に変形してとき、K＝０のときにXが最小になる
どの部分が「X/2に変形」で、どの式において「K＝０のときにXが最小になる」のか
読み切れなかったので、とりあえず解いてみます。

157x−30y＝2
157＝5・30＋7
30＝4・7＋2　　←ここまででも良い
7＝3・2＋1

1＝7−3・2
　＝7−3(30−4・7)
　＝13・7−3・30
　＝13(157−5・30)−3・30
　＝13・157−68・30
２倍して
2＝26・157−136・30
(x,y)＝(26, 136) が１つの解として得られる。

「ここまででも良い」から始めると
2＝30−4・7
　＝30−4(157−5・30)
　＝−4・157＋21・30
(x,y)＝(-4,-21) が１つの整数解として得られる。

ｘを30増やしてyを157増やしても等式は成り立つので、
(-4,-21),(26, 136),(56,293) なども解です。（(-4,-21) 以外は自然数解です）
ｘ＝２６ が自然数解の最小となります。
小さい方から１１番目のものは
(26,136) に (30,157) を１０回足した (326, 1706) です。

ｘ＜2015 を満たすｘは
　(2015−26)÷30＝66・・・9
より 67個

ｘ＋ｙ は、26＋136＝162 から 187 ずつ増え、最終は 162＋187×66＝12504 となります。
３の倍数は 162 から 187×3＝561 ずつ増え、最終は 12504 までの 23個
５の倍数は 910 から 187×5＝935 ずつ増え、最終は 12130 までの 13個
15の倍数は 1845（５の倍数の２個目）から、５の倍数の5個目、8個目、11個目がそれにあたり、計４個
よって、３または５の倍数は　２３＋１３−４＝３２（個）

となります。
No.35076 - 2016/01/12(Tue) 15:38:03
★ 不等式の証明 / 数学大好き
√a^2+b^2+c^2√x^2+y^2+z^2≧絶対値ax+by+czを証明して、それを利用して
10(2 l^2+3m^2+5n^2≧(2l+3m+5n)^2　を証明せよ。

　前半は両辺を二乗して証明できたのですが、後半の式変形がうまくいきません。
前半を利用すると、左辺に　38(l^2+m^2+n^2)　ができると思いますが、それと
10(2 l^2+3m^2+5n^2 との大小関係を調べようと引き算してもうまくいきません。
　どなたかお願いできますでしょうか。
No.35058 - 2016/01/11(Mon) 12:37:43
☆ Re: 不等式の証明 / ぺんぎん
そんなに難しく考えず、単純に
x=√2l, y=√3m, z=√5n
としてみてはいかがでしょう？

a=√2です。
No.35061 - 2016/01/11(Mon) 14:38:04
☆ Re: 不等式の証明 / 数学大好き
　あぁ、そうか。２，３，５を足したら１０ですね。悔しい。有り難う御座いました！
No.35069 - 2016/01/11(Mon) 18:25:35
★ (No Subject) / 吉野
最後のチツの問題です。
三角形ACEについて、三角形の面積を出したいのですが、
AC＝5
角E＝45
のほかに、あとひとつ、どこの情報が、どのようにわかりますか？？
すみませんが、お願いします。
No.35056 - 2016/01/11(Mon) 12:15:18
☆ Re: / ヨッシー
ＣＥ＝５
ですね。
No.35057 - 2016/01/11(Mon) 12:35:10
☆ Re: / 吉野
半径ですね......
なんという失念でしょうかすみません...
ありがとうございます！
No.35060 - 2016/01/11(Mon) 13:03:27
★ １次方程式　中１　文章問題 / れいな
ある中学校では、空き缶の回収をしている。昨年は、アルミ缶とスティール缶を合わせて 1200個集めた。今年は、アルミ缶を昨年の1.2倍集め、スティール缶は昨年と同じ個数集めて、合わせて1370個となった。このとき、次の問いに答えなさい。(1)昨年集めたアルミ缶の個数をｘ個 として、昨年集めたアルミ缶の個数を求めなさい。
(2)今年集めたアルミ缶の個数を求めなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１の問いで１．２ｘ＋(１２００−１．２ｘ)＝１３７０　　　という方程式なのですが↑どうしても今年集めた合計ではなく昨年集めた合計から引くということがわかりません。今年集めた合計では何がダメなのでしょうか?
No.35052 - 2016/01/11(Mon) 06:13:16
☆ Re: １次方程式　中１　文章問題 / れいな
すみません。スティール缶のこと言っています。
No.35053 - 2016/01/11(Mon) 06:16:53
☆ Re: １次方程式　中１　文章問題 / IT
> １．２ｘ＋(１２００−１．２ｘ)＝１３７０　
これは模範解答の式なのですか？
整理すると１２００＝１３７０ 　となり成り立ちませんが。

れいなさんの考えた式はどうなりますか？　
No.35054 - 2016/01/11(Mon) 08:05:37
☆ Re: １次方程式　中１　文章問題 / れいな
すみません!式を打ち間違えていました。本当は　　　　　１．２ｘ＋(１２００−ｘ)=１３７０という式です。
すみません。
No.35067 - 2016/01/11(Mon) 18:09:28
☆ Re: １次方程式　中１　文章問題 / IT
>どうしても今年集めた合計ではなく昨年集めた合計から引くということがわかりません。今年集めた合計では何がダメなのでしょうか?

今年集めた合計の個数1370から今年集めたアルミ缶の個数１．２ｘを引いて今年集めたスティール缶の個数を表して今年集めたアルミ缶の個数と足しても、当然1370になりますが、何も新しいことが分りません。
１．２ｘ+（1370-１．２ｘ）＝1370
　左辺を整理するとxが消えてしまします。
No.35070 - 2016/01/11(Mon) 19:47:22
☆ Re: １次方程式　中１　文章問題 / れいな
ありがとうございました!納得しました
No.35071 - 2016/01/11(Mon) 21:52:43
★ 教えて下さい / コーラ
はじめまして。コーラです。中学の教員をやっています。一つだけ三日ぐらい考えても解けない問題があるので教えて下さい。

Oを中心とし、半径5の円の、図?Uにおいて、AP=√3、PB=3√3、CD=6のとき、CPの長さ、△ACPの面積を求めなさい。

CP=3はわかるのですが、面積の求め方と答えがわかりません。宜しくお願いします。
No.35048 - 2016/01/10(Sun) 23:25:54
☆ Re: 教えて下さい / IT
直角△OPCについて三平方の定理よりOP=4
Cから直線ABへの垂線の足をQとする
OからABへの垂線の足をHとする

直角△PQCと直角△OHPは相似で相似比はPC:OP=3:4
よってCQ=(3/4)√3

△PAC=(1/2)PA*CQ=(1/2)*√3*(3/4)√3
No.35050 - 2016/01/11(Mon) 01:24:06
☆ Re: 教えて下さい / コーラ
ありがとうございました。
No.35055 - 2016/01/11(Mon) 08:43:49
★ 線形代数 / い
下の青線のところがわかりません
解説お願いします
No.35047 - 2016/01/10(Sun) 22:43:44
☆ Re: 線形代数 / X
その青線に右上から矢印から指されている内容の通りです。
Wを構成する基本ベクトルが一つであっても、線形独立の
定義に変わりはありません。
No.35051 - 2016/01/11(Mon) 05:28:39
★ 因数分解です / ゆは
x^3+b^3+c^3−3bcxの因数分解がどうしても、上手く行きません。どうすればいいですか？
No.35044 - 2016/01/10(Sun) 16:51:17
☆ Re: 因数分解です / IT
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) と同じで

x^3+b^3+c^3-3bcx=x^3+(b+c)^3-3bc(b+c)-3bcx
=x^3+(b+c)^3-3bc(b+c+x)
=(x+b+c)(x^2-x(b+c)+(b+c)^2)-3bc(b+c+x)
=・・・
No.35045 - 2016/01/10(Sun) 17:49:57
★ 答え合わせ / マインスター
　y=x^2-4x-1,y=mx+2m-1のグラフがそれぞれある。

　前者の頂点は(2,-5),後者において、x座標が-2となる点座標は(-2,-1)である。さらに、双方のグラフが1点で接する時のmの値は-8+4√3,-8-4√3である。

　間違っているものがあれば解説をお願いします。
No.35039 - 2016/01/10(Sun) 07:37:00
☆ Re:すみません、追加で… / マインスター
　-1≦x≦2において、異なる2点で交わるようなmの範囲の答と解説をお願いします。
No.35040 - 2016/01/10(Sun) 07:47:32
☆ Re: 更に追加 / マインスター
　異なる2点の前に２つのグラフがまた抜けてました。急いで入力したもので…1回で済むように心がけます。本当にごめんなさい。
No.35041 - 2016/01/10(Sun) 07:54:29
☆ Re: 答え合わせ / ぷー
ｘに関する二次方程式
mx+2m-1＝x^2-4x-1が-1≦x≦2で異なる二つの実数解をもつ条件を求めるだけです。
ｍの値により軸の位置が異なるので軸が
x＜１、ｘ＝１、１＜ｘ＜２、ｘ＝２、ｘ＞２のどこにあるかで場合分けする事になります
No.35043 - 2016/01/10(Sun) 16:31:15
☆ Re: 答え合わせ / マインスター
　勝手なことばかりで申し訳ありません。アホなくらい理解していないので、途中式を入れた解説をお願いします。
No.35046 - 2016/01/10(Sun) 18:48:15
★ 極限 / あー
おはようございます。
極限の問題です
よろしくおねがいします
No.35038 - 2016/01/10(Sun) 06:05:23
☆ Re: 極限 / あー
よろしくおねがいします
No.35095 - 2016/01/14(Thu) 04:48:07
★ (No Subject) / 吉野
平面図形の問題です。
No.35032 - 2016/01/09(Sat) 21:32:55
☆ Re: / 吉野
続きです。
No.35033 - 2016/01/09(Sat) 21:33:55
☆ Re: / 吉野
ＡＧ?UＧＦ＝1?U1となるらしいのですが、なぜそうなるかがわからず、途中から問題が解けなくなってしまいました...
どうか教えてください。
よろしくおねがいします。
No.35034 - 2016/01/09(Sat) 21:36:37
☆ Re: / X
既に添付された写真の中の図に鉛筆で描き入れられている
ことから分かるとおり四角形ACDFは円に内接しており、
この円が△ADCの外接円ともなっております。
さらに辺AFがその直径となっておりますので
辺AFの中点が円の中心であるGであり、
AG=GF
∴AG:GF=1:1
となります。
No.35035 - 2016/01/09(Sat) 21:50:24
☆ Re: / 吉野
なるほどです！ありがとうございます！

また、エ部分ですが、
CF＝DF＝FEとなるらしいのですが、なぜそうなるのでしょうか...
基礎的なことで大変申し訳ないのですが、どうかよろしくお願いします！
No.35062 - 2016/01/11(Mon) 15:50:54
☆ Re: / X
条件から
△ACF≡△ADF (A)
△BCF≡△BEF (B)
となることはよろしいでしょうか？
(A)よりCF=DF
(B)よりCF=EF
∴CF=DF=FE
となります。
No.35063 - 2016/01/11(Mon) 16:14:55
★ 数列の応用 / ぽん
平面上にn本の直線がある時、これらn本の直線によって平面は最大何個の部分に分けられるか。
この個数をnを用いて表せ。

答えは n^2+n+2/2個 です。

途中の式などを詳しく教えて頂きたいです。
よろしくお願いします。
No.35031 - 2016/01/09(Sat) 19:43:54
☆ Re: 数列の応用 / ぷー
いきなりｎだと難しいので具体的に１ッぽん、二本、・・・と実験していけば分かります。
１ッぽんの直線があるとき分けられる領域の数をanとすると
実験して（実際に書いてみて）a1=1,a2=4,a3=7,a4=11,,,,から
a1に２足すとa2,
a2に３足すとa3
a3に４足すとa4
となっているので
an-1にn足すとanになりますので
an=2+(2+3+4+・・・＋ｎ）
＝２＋(1/2)(n-1)(2+n)＝(n^2+n+2)/2
となります
No.35036 - 2016/01/09(Sat) 22:23:20
☆ Re: 数列の応用 / IT
直線がn本のときの部分の個数の最大値をa[n]としたとき、
a[n]=a[n-1]+nとなる根拠をもう少し一般的に説明すると

各直線はどの２本も互いに平行でなく、１点で３本以上交わらないように引くと、部分の個数は最大となる。

この条件を満たすn-1本の直線があるとき
新たな１本の直線を引いてn本の直線が条件を満たすようにすると
この直線はn-1個の点で他の直線と交るので、この直線はn個の区間に分かれる。
各区間毎に、元の一つの部分がこの直線によって２つの部分に分けられるので、
部分の個数はn増加する。
よってa[n]=a[n-1]+n、また、a[0]=1
したがって、a[n]=n+(n-1)+...+1+a[0]=((n+1)n)/2 + 1
No.35037 - 2016/01/09(Sat) 23:38:43
★ 高3 / ぷー
５で割って１余る数とは、１０で割って1または６余る数、らしいのですが、これをきちんと導きたいです
合同式で
x≡１（mod5)
両辺2倍して
2x≡２（mod10)←このｘで合同式を解けばｘ≡1,6(mod10)となるということだと思います
x≡１（mod5)
からｘ≡1,6(mod10)の過程を教えてください。
よろしくおねがいします
No.35027 - 2016/01/09(Sat) 18:00:58
☆ Re: 高3 / ぷー
どなたか回答してくださる方いらっしゃいませんか？
No.35042 - 2016/01/10(Sun) 13:58:37
☆ Re: 高3 / 水面に映る月
そんなに難しく考えず，素直に，５で割って１余る数を5k+1とおいて，kが偶数の時と奇数の時で場合分けすればいいのではないでしょうか．
No.35075 - 2016/01/12(Tue) 12:12:51
☆ Re: 高3 / ぷー
ありがとうございます。１０の倍数になるようにｋ＝２ｌ、２ｌ＋１などとおくのですね。この件はよく分かりました
No.35080 - 2016/01/12(Tue) 20:56:16
★ 定積分の値の証明 / まるまん
以下の等式の証明が知りたいです。
よろしくお願いします。
No.35023 - 2016/01/09(Sat) 14:37:40
☆ Re: 定積分の値の証明 / ぺんぎん
考え方のみですが。
特に断りが無い場合、積分区間は[0,1]とします。

∫log(1+x)/x dx + ∫log(1-x)/x dxを考えます・・・?@

-∫log(1-x)/x dxは1-x=e^(-u)と置くと、ゼータ関数ζ(2) = ∫_{0〜∞}u/(e^u-1) duに帰着します・・・?A
これはバーゼル問題として知られており、π^2/6となります。

一方で、?@は
∫log(1-x^2)/x dx=1/2∫log(1-x^2)/x^2・2xdx
と変形できるので、t=x^2と置くと、
1/2∫log(1-t)/t・dtとなります。これは?Aと同じ式なので、ゼータ関数ζ(2)に帰着します。

よって、∫log(1+x)/x dx -　ζ(2) = -ζ(2)/2
となり、∫log(1+x)/x dx = ζ(2)/2 = π^2 /12
No.35024 - 2016/01/09(Sat) 17:16:03
☆ Re: 定積分の値の証明 / ast
# バーゼル問題を逆数の平方和 π^2/6 = Σ_[n=1,2,…] 1/n^2 の形で書いただけで
# 本質的にはぺんぎんさんとまったく同じことですが…,
(収束性の検証は自分でしてもらうとして) log(1+x) をテイラー展開して項別積分することにより, 問題の値は S = Σ_[n=1,2,…] (-1)^(n-1)/n^2 と書けます. 一方, 辺々引いて π^2/6 - S = Σ_[m=1,2,…] 2/(2m)^2 = (1/2)Σ_[m=1,2,…] 1/m^2 = π^2/12 なので結論を得ます.
No.35025 - 2016/01/09(Sat) 17:36:17
★ 線形代数とコンビネーション / あ
線形代数とコンビネーションの問題です
(1)と(2)の変形の仕方が思い浮かばなくて困っています。よろしくおねがいします
No.35020 - 2016/01/08(Fri) 19:30:10
☆ Re: 線形代数とコンビネーション / のぼりん
こんにちは。

（１） ｎＣｉ＝ｎ（ｎ−１）…（ｎ−ｉ＋１）／｛ｉ（ｉ−１）…１｝
　　　＝｛（ｎ−ｉ）＋ｉ｝（ｎ−１）…（ｎ−ｉ＋１）／｛ｉ（ｉ−１）…１｝
　　　＝（ｎ−ｉ）（ｎ−１）…（ｎ−ｉ＋１）／｛ｉ（ｉ−１）…１｝
　　　　＋ｉ（ｎ−１）…（ｎ−ｉ＋１）／｛ｉ（ｉ−１）…１｝
　　　＝（ｎ−１）…（ｎ−ｉ）／｛ｉ（ｉ−１）…１｝
　　　　＋（ｎ−１）…（ｎ−ｉ＋１）／｛（ｉ−１）…１｝
　　　＝ｎ−１Ｃｉ＋ｎ−１Ｃｉ−１

（２）題意の行列式の七列目から六列目を引き、六列目から五列目を引き、……、二列目から一列目を引くと、新しい行列式の一行目は、一行一列が一、残りが零になり、また、前問で証明した式により、新しい二行目は古い一行目、新しい三行目は古い二行目、……、新しい七行目は古い六行目になります。 これを一行目で展開すれば、元の行列式の一行二列目から六行七列目までを取り出した六次の行列式になります。 帰納的にこれを続ければ、次数を一つずつ減らせ、最後に残るのは一です。
No.35022 - 2016/01/09(Sat) 11:34:33
☆ Re: 線形代数とコンビネーション / あ
わかりやすかったです。
ありがとうございました。
No.35026 - 2016/01/09(Sat) 17:57:21
★ 三角関数 / みき

(1) t=tanx とおくとき、sin2xをtを用いて表せ

(2)-180°＜x＜180° の範囲で方程式
(√3+1)cos^2・x/2+(√3-1)/2・sinx-1=0
を解け

よろしくお願いします
No.35014 - 2016/01/08(Fri) 01:28:59
☆ Re: 三角関数 / ぷー
sin2x=2sinxcosx/(cos^2x+sin^2x)(cos^2x+sin^2x)=1なので割っても影響ありません）
=2t/(1+t^2)（分母分子をcos^2xで割りました）

２）はcos^2・x/2＝(1+cosx)/2にして与えられた方程式に代入してsinxとcosxと定数項で表せるのでsinxとcosxを合成していけばいいと思います。
No.35028 - 2016/01/09(Sat) 19:21:21
☆ Re: 三角関数 / X
横から失礼します。

(2)についてですが、左辺に半角の公式を使った後でも
単に合成しただけでは解けません。
合成を使うのであれば、もう一ひねりする必要が
あります。

問題の方程式から
(√3+1)(1+cosx)/2+{(√3-1)/2}sinx-1=0
(√3+1)(1+cosx)+(√3-1)sinx-2=0
(√3+1)cosx+(√3-1)sinx=1-√3 (A)
両辺を二乗して
{(√3+1)cosx+(√3-1)sinx}^2=4-2√3 (B)
左辺を展開して、半角の公式、二倍角の公式を使うと
(4+2√3)(1+cos2x)/2+2sin2x+(4-2√3)(1-cos2x)/2=4-2√3
これより
(2+√3)(1+cos2x)+2sin2x+(2-√3)(1-cos2x)=4-2√3
2sin2x+(2√3)cos2x=-2√3
sin2x+(√3)cos2x=-√3
ここまで変形した上で左辺を合成すると
2sin(2x+60°)=-√3
sin(2x+60°)=-(√3)/2
ここで
-180°＜x＜180°
∴-300°＜2x+60°＜420°
よって
2x+60°=-120°,-60°,240°,300°
となるので
2x=-180°,-120°,180°,240°
x=-90°,-60°,90°,120° (C)
(A)から(B)の変形で同値性が崩れていますので
(A)に(C)を代入して確かめることにより
x=-90°,120°

或いは(A)と公式
(sinx)^2+(cosx)^2=1
とを連立して解き、sinx,cosxの値を求める
という方針もあります。
No.35064 - 2016/01/11(Mon) 16:30:50
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