サイコロを繰り返し投げる。
１回目から出た目を足していって、５回目以内にそれまでの目の和が10になるような目の出方は全部で何通りあるか。
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２回目、３回目は具体化してみたのですが…
もっと能率的な方法教えてください。
お願いします。
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No.35093 - 2016/01/13(Wed) 23:26:47
| ☆ Re: サイコロ投げ / IT | | | ２、３、４、５回目のとき、それぞれを数え上げるしかない気がします。（あったとしても、それを考え付くまでの時間も所要時間です。一般的で応用範囲が広い解法なら役に立つとは思いますが）
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No.35097 - 2016/01/14(Thu) 07:41:41 |
| ☆ Re: サイコロ投げ / らすかる | | | 問題が曖昧ですね。
例えば
2,3,2,3,2 と
2,3,2,3,3 を
異なる目の出方と数えるのかどうか、
問題から読み取れません。
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No.35099 - 2016/01/14(Thu) 12:02:38 |
| ☆ Re: サイコロ投げ / DAI | | | ＞ITさん
ありがとうございます。実際に数え上げてみます。
＞らすかるさん
曖昧なんですか(；´∀｀)
大学の過去問題なんです（答えがなくて、投稿しました）
これ以上の問題文はありません。
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No.35108 - 2016/01/14(Thu) 23:33:59 |
| ☆ Re: サイコロ投げ / DAI | | | 数え上げられているか不安なので、見て頂けないでしょうか。
●「２回目で目の和が10になる」
（４，６） （５，５） （６，４）の３通り。
※(4,6) (6,4)は、異なる目の出方として数える。
●「３回目で目の和が10になる」とは、
「10を３つの自然数の和として表す方法は何通りあるか。」と同じように考えて
３つの自然数をx,y,zとし、x+y+z＝10 ，6≧x≧y≧z≧1
10を３つの自然数の和として表す方法は、６通り。
（４，４，２）…?@ （４，３，３）…?A （５，４，１）…?B
（５，３，２）…?C （６，３，１）…?D （６，２，２）…?E
順列を考え
?@、?A、?Eは、３!/２!＝３ ３×３＝９通り
?B、?C、?Dは、３!＝６ ６×３＝１８通り
合計で２７通りある。
●「４回目で目の和が10になる」
４つの自然数の和として表す方法は、８通り。
（６，２，１，１） （５，３，１，１） （５，２，２，１）
（４，４，１，１） （４，３，２，１） （４，２，２，２）
（３，３，３，１） （３，３，２，２）
１回目、２回目、３回目、４回目の出方として数え、８０通り。
●「４回目で目の和が10になる」
５つの自然数の和として表す方法は、７通り。
（６，１，１，１，１） （５，２，１，１，１）
（４，３，１，１，１） （４，２，２，１，１）
（３，３，２，１，１） （３，２，２，２，１）
（２，２，２，２，２）
１回目、２回目、３回目、４回目、５回目の出方として数え、１２６通り。
以上より、３＋２７＋８０＋１２６＝２３６通り
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No.35109 - 2016/01/14(Thu) 23:34:58 |
| ☆ Re: サイコロ投げ / IT | | | 途中タイプミスがあるようですが 236通りで合っていると思います。別の数え方でも同じになりました。
１回目,２回目（+３回目）,４回目（+５回目)に分けて考えると
6-4 4通り
3-1 2×1通り
2-2 1×2通り
5-5 5通り
4-1 3×1通り
3-2 2×2通り
2-3 1×3通り
4-6
（途中省略）
3-7
（途中省略）
2-8
（途中省略）
1-9 4通り
8-1 5×1通り
7-2 6×2通り
6-3 5×3通り
5-4 4×4通り
4-5 3×5通り
3-6 2×6通り
2-7 1×6通り
＃パターンが多いですが、規則性があるので数えやすいかも。
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No.35111 - 2016/01/15(Fri) 00:32:37 |
| ☆ Re: サイコロ投げ / らすかる | | | 計算で出す方法
5回で10になるのは
10個の○の間に仕切りを4個入れれば良いので9C4通り
4回で10になるのは
10個の○の間に仕切りを3個入れると考えると9C3通り
ただし「7+1+1+1」のように6を超えてしまうものがある。
6を超えてしまうものは、「最初から6引いておいた時の場合の数」×
「6を超える場所の場合の数」で求められるので
6を超える分を引くと 9C3-3C3×4通り
同様に
3回で10になるのは 9C2-3C2×3通り
2回で10になるのは 9C1-3C1×2通り
よって全部で
9C4+(9C3-3C3×4)+(9C2-3C2×3)+(9C1-3C1×2)
=(9C1+9C2+9C3+9C4)-(3C1×2+3C2×3+3C3×4)
={(9C0+9C1+9C2+9C3+9C4+9C4+9C3+9C2+9C1+9C0)÷2-9C0}
-{{(3C0×1+3C1×2+3C2×3+3C3×4)+(3C0×4+3C1×3+3C2×2+3C3×1)}÷2-1}
={(9C0+9C1+9C2+…+9C9)÷2-1}
-{(3C0+3C1+3C2+3C3)×5÷2-1}
=(2^8-1)-(2^2×5-1)
=2^8-2^2×5
=236通り
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No.35112 - 2016/01/15(Fri) 05:31:55 |
| ☆ Re: サイコロ投げ / DAI | | | ＞ITさん
ありがとうございます。
2回目＋3回目という考え方、参考になりました。
＞らすかるさん
ありがとうございます。
5回目は、簡単に求められるんですね。
しきりの入れ方いろいろあって、参考になりました。
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No.35116 - 2016/01/16(Sat) 08:47:52 |
| ☆ Re: サイコロ投げ / IT | | | らすかるさんのを少し変えて,下記のようすると,この問題に限ってはスッキリします。
1から10までの自然数5個以内で合計10になる順列を数える.
1個は9C0通り,2個は9C1通り,3個は9C2通り,4個は9C3通り,5個は9C4通りの 計256通り.
このうち7以上があるのは
10は1通り, 9は(9,1)の2通り, 8は(8,2)の2通り,(8,1,1)の3通り,
7は(7,3)の2通り,(7,2,1)の6通り,(7,1,1,1)の4通りで 重複しないので 計20通り.
よって,1から6までの自然数5個以内で合計10になる順列は、256-20=236 通り.
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No.35117 - 2016/01/16(Sat) 14:33:31 |
| ☆ Re: サイコロ投げ / IT | | | 前半の256通りは,下記のようにも説明・計算できます。
10個の○の間9箇所のうち0〜4箇所に仕切りを入れると1〜5つの部分に分かれます。
0〜4箇所に仕切りを入れる方法と9〜5箇所に仕切りを入れる方法は一対一に対応します。
（仕切りを入れるか入れないかを反転する）
0〜9箇所に仕切りを入れる方法の総数は,2^9通り
よって,0〜4箇所に仕切りを入れる方法は,(2^9)/2=2^8=256通り
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No.35119 - 2016/01/16(Sat) 20:19:23 |
| ☆ Re: サイコロ投げ / DAI | | | ITさん
色々な考え方と解法ありがとうございます。
凄い分かりやすいです!!
スッキリしました。
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No.35256 - 2016/01/23(Sat) 10:46:46 |
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