aは正の実数とする。
x^2+y^2+z^2≦aを満たすすべての実数x,y,zに対し
x+2y+z≦a^2が成り立つようなaの最小値を求めよ。
お願いします。
|
No.34771 - 2015/12/20(Sun) 20:21:55
| ☆ Re: / 水面に映る月 | | | 図を描いて考えるとよいと思います。
x^2+y^2+z^2≦aはxyz-空間において、原点を中心とし、半径√aの球Ｓの境界および内部を表します。
一方、x+2y+z≦a^2はxyz-空間において、平面α: x+2y+z=a^2によって境される領域を表します。
x^2+y^2+z^2≦aを満たすすべての実数x,y,zに対してx+2y+z≦a^2が成り立つということは、球Ｓが、x+2y+z≦a^2の表す領域の中にすっぽり入っている（球Ｓと平面αが接するときも含む）ことと同じことです。
|
No.34772 - 2015/12/20(Sun) 20:49:28 |
| ☆ Re: / さ | | | No.34774 - 2015/12/20(Sun) 21:41:06 |
| ☆ Re: / 水面に映る月 | | | 分かりました。その前に２つ質問があります。
(1)図は描きましたか？（頭の中だけで処理できるということであれば結構ですが、本問に限らず、慣れないうちは（特に解き方がわからないときは）少々面倒でも図を描くことをお勧めします。）
(2)３次元空間における原点と平面との距離の公式はご存知ですか？あるいは、３次元空間における原点と平面との距離を自分で求めることができますか？
|
No.34775 - 2015/12/20(Sun) 22:41:43 |
| ☆ Re: / さ | | | 試行錯誤を繰り返していたところです。
図を描いたりしましたが、イマイチ掴めませんでした。。。
点と平面の距離の公式は理解しています。
|
No.34776 - 2015/12/20(Sun) 22:44:26 |
| ☆ Re: / 水面に映る月 | | | わかりました。
図に関しては、次の２つのことに関しては理解されているのですね。
(1)x^2+y^2+z^2≦aはxyz-空間において、原点を中心とし、半径√aの球Ｓの境界および内部を表す。
(2)一方、x+2y+z≦a^2はxyz-空間において、平面α: x+2y+z=a^2によって境される領域（原点を含む方）を表す。
|
No.34777 - 2015/12/20(Sun) 22:50:00 |
| ☆ Re: / さ | | | No.34778 - 2015/12/20(Sun) 22:52:48 |
| ☆ Re: / 水面に映る月 | | | 返信ありがとうございます。では、以下に詳しい説明を書きます。適宜番号(A)(B)(C)…を振りましたので、わからない場合は、どこがわからないか、その番号を使って書いていただけるとありがたいです。
まず，図のように，（私はここに図をupしていませんが，答案に図を描くと採点者に説明しやすいでしょう．）x^2+y^2+z^2≦aはxyz-空間において、原点を中心とし、半径√aの球Ｓの境界および内部を表す。
一方、x+2y+z≦a^2はxyz-空間において、平面α: x+2y+z=a^2によって境される領域（原点を含む方）を表す(境界も含む)。
x^2+y^2+z^2≦aを満たすすべての実数x,y,zに対してx+2y+z≦a^2が成り立つ
⇔球Ｓが、x+2y+z≦a^2の表す領域に完全に含まれる（球Ｓと平面αが接するときも含む）.............(A)
平面αは，3点(a^2,0,0),(0,a^2/2,0),(0,0,a^2)を通る平面であり，これらはaが正の実数の範囲で値をとる限り，それぞれ，x軸,y軸,z軸の正の部分に存在するため，(A)より，
x^2+y^2+z^2≦aを満たすすべての実数x,y,zに対してx+2y+z≦a^2が成り立つ
⇔球Sと平面αが共有点を持たない，またはただ一点で接する．...............(B)
さらに，図形的に考えると，
球Sと平面αが共有点を持たない，またはただ一点で接する
⇔原点と平面αとの距離をdとすると，d≧√a（√aは球Sの半径）．..............(C)
点と直線の距離の公式より，d=|-a^2|/√{(1^2)+(2^2)+(1^2)}=a^2/√6................(D)
従って，以上より，結局以下のようになる．
x^2+y^2+z^2≦aを満たすすべての実数x,y,zに対してx+2y+z≦a^2が成り立つ
⇔d≧√a
⇔a^2/√6≧√a
⇔(a^2)/√a≧√6
⇔a^(3/2)≧6^(1/2)
⇔a≧{6^(1/2)}^(2/3)=6^{(1/2)*(2/3)}=6^(1/3)............(E)
従って，求めるaの最小値は，6^(1/3)
#この問題の場合，「x^2+y^2+z^2≦aを満たすすべての実数x,y,zに対してx+2y+z≦a^2が成り立つ」ということを必要十分に言い換えていくことが重要です．
#一般に，「a≧a[0]⇒aの最小値はa[0]」とはなりません．この私の回答においては，「x^2+y^2+z^2≦aを満たすすべての実数x,y,zに対してx+2y+z≦a^2が成り立つ」ということを必要十分に言い換えて，最終的にa≧6^(1/3)が出てきたからこそ，最小値が6^(1/3)であると言えるのです．
|
No.34780 - 2015/12/20(Sun) 23:37:31 |
| ☆ Re: / さ | | | No.34783 - 2015/12/21(Mon) 19:14:25 |
|
