ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (1+z)^αの展開について / くるくる

こんにちは。

複素関数f(z)=(1+z)^α (αは実数)は|z|<1のみでテイラー展開可能ですよね。
という事はf(z)は|z|<1で解析的という事ですよね。
|z|≧1ではd/dz f(z)=α(1+z)^{α-1}と微分できるのですよね。
という事はf(z)は|z|≧1で解析的なのですよね。
そうすると|z|≧1ででもf(z)はテイラー展開可能なのですよね。

ゆえに|z|<1ではなく複素数全体Cとせねばならないのではないのでしょうか?

No.35361 - 2016/01/29(Fri) 01:21:21

★ ? / Mic

大学初歩程度の問題だと思います。
答えは2eです
よろしくおねがいします

No.35359 - 2016/01/28(Thu) 23:23:09

☆ Re: ? / らすかる

Σ[n=1～∞]n^2/n!
=Σ[n=1～∞]n/(n-1)!
=Σ[n=0～∞](n+1)/n!
=Σ[n=0～∞]n/n! + Σ[n=0～∞]1/n!
=Σ[n=1～∞]n/n! + Σ[n=0～∞]1/n!
=Σ[n=1～∞]1/(n-1)! + Σ[n=0～∞]1/n!
=Σ[n=0～∞]1/n! + Σ[n=0～∞]1/n!
=2Σ[n=0～∞]1/n!
=2e
となりますね。

No.35360 - 2016/01/28(Thu) 23:48:07

☆ Re: ? / Mic

なるほど！
ありがとうございました

No.35362 - 2016/01/29(Fri) 07:35:08

★ ベクトル / まりも

この問題の(1)ですが
答えは 3:√7:2
なのですが、自分が計算していくとそうならないのですが、何が違いますか？

No.35356 - 2016/01/28(Thu) 20:50:12

☆ Re: ベクトル / まりも

これです..

No.35357 - 2016/01/28(Thu) 20:50:43

☆ Re: ベクトル / IT

(1/9)↑AB・(↑AB-3↑AC)＝0 ↑AB≠0 より　↑AB＝3↑AC
がまちがいです。

↑OA・↑OB＝0 となるのは|↑OA||↑OB|＝0 のときだけでなく↑OAと↑OB　が直交するときもあります。

＃「ベクトルの内積」の定義と性質を教科書で再確認されることをお勧めします。
＃ ↑AB≠0 も不正確な表現です。↑AB≠↑0あるいは↑AB|≠0 　などど表記すべきです。
＃　三角形ABCで、↑AB＝3↑AC　となるのは変ですよね。

(1/9)|↑AB|^2＝(1/3)↑AB・↑AC
(2/3)|↑AC|^2＝(8/9)↑AB・↑AC
から|↑AB|と|↑AC|の比が求められます。

No.35358 - 2016/01/28(Thu) 21:56:41

☆ Re: ベクトル / まりも

なるほど
ベクトルの成分が3倍でイコールが成り立ってたら、ただの直線ですね（笑）
わかりました！

No.35371 - 2016/01/29(Fri) 23:19:13

☆ Re: ベクトル / IT

> ベクトルの成分が3倍でイコールが成り立ってたら、ただの直線ですね（笑）

そうですね。明らかにおかしいのですが、問題を解いている途中（特に計算をやっているとき）には、気付きにくいかも知れません。

No.35372 - 2016/01/30(Sat) 08:30:19

★ (No Subject) / おお

a(1)＝1/3 a(n+1)＝ 1／{ 2ーa(n) } のような形の漸化式は推測する以外ないのでしょうか？

No.35351 - 2016/01/28(Thu) 01:47:50

☆ Re: / らすかる

普通に計算で出せます。
両辺にc（c≠0）を足して逆数をとって整理すると
1/(a[n+1]+c)=(1/c){1-1/{a[n]-(2+1/c)}
となり、「1/(a[n+1]+c)」と「1/{a[n]-(2+1/c)}」が
同じ形になるためには c=-(2+1/c)
これを解くとc=-1なので、代入して
1/(a[n+1]-1)=1/(a[n]-1)-1
b[n]=1/(a[n]-1) とおくと
b[n+1]=b[n]-1, b[1]=-3/2 なので
b[n]=-n-1/2
よって1/(a[n]-1)=-n-1/2なので、整理して
a[n]=(2n-1)/(2n+1)

No.35352 - 2016/01/28(Thu) 02:20:00

★ 図形 / たゆゆ

半径が3の球に内接する直円錐の体積の最大値を求めなさい。という問題の解き方を教えてください。お願いします。

No.35348 - 2016/01/27(Wed) 19:59:01

☆ Re: 図形 / IT

・立面図を描く（半径３の円Ｏに二等辺三角形ＡＢＣが内接）
・底面が、中心を通るか、頂点と反対側にある（三角形ＡＢＣ内に中心Ｏがある）ときに体積は最大となる
・中心から底面までの距離をxとおく。
・直円錐の高さは3+x
・底面の円の半径を三平方の定理で求める.
・直円錐の体積ｖ(x)をxの式で表す
・ｖ(x)を微分して増減を調べる

No.35350 - 2016/01/27(Wed) 23:03:55

☆ Re: 図形 / たゆゆ

底面の円の半径の求め方を教えてください。お願いします。

No.35354 - 2016/01/28(Thu) 18:57:41

☆ Re: 図形 / IT

立面図において（図は描かれましたか？）

中心Ｏから底辺ＢＣへの垂線の足をＨとして
直角三角形ＯＨＢについて三平方の定理を使います。

No.35355 - 2016/01/28(Thu) 19:13:53

☆ Re: 図形 / たゆゆ

解くことができました。ありがとうございました。

No.35366 - 2016/01/29(Fri) 18:59:41

★ 幾何学 / 健一

証明の方針について教えてください。
トレミーの定理（ユークリッド幾何）が射影幾何で成立するかどうかを証明したいです。
射影変換をしても複比が不変であることを言えばよいのでしょうか。射影変換で線分の長さ、角の大きさが変わってしまうので証明ではこれらに依らない方法を用いなくてはならないと思っています。どのようにすれば成立するorしないを言えるでしょうか。方針を教えてください。お願いします。

　

No.35345 - 2016/01/27(Wed) 18:22:40

★ 数学的帰納法 / おお

不等式の数学的帰納法について

例) n≧5 のとき n^2＜2^n…?@ を証明せよ。

⑴ n=5のとき…

⑵ n=k (k≧5) のときすなわち k^2＜2^k が成り立つと仮定する。

この後解答は、
n=k+1 のとき (k+1)^2＜2^(k+1) が成り立つとこを示す。

2^(k+1) － (k+1)^2 ＝ …… ＞0 (k≧5)

という風に書いてあるんですが、これはいいのでしょうか。

昔習ったときは、
k^2＜2^k …?B
?Bの両辺に2を掛けると
2× k^2 ＜ 2^k ×2
⇔2×k^2 ＜ 2^(k+1)

ここで、2×k^2 と (k+1)^2 の大小を比較する

2×k^2 ー (k+1)^2 ＝……＞0 (k≧5)

よって、 (k+1)^2 ＜ 2×k^2 ＜ 2^(k+1) から

(k+1)^2 ＜ 2^(k+1) より n=k+1のときも成り立つ。
という風に書けと教わったのですが。

No.35343 - 2016/01/27(Wed) 17:20:06

☆ Re: 数学的帰納法 / X

証明すべき不等式である
2^(k+1)＞(k+1)^2
が証明できている過程であれば、
その過程の形がどのようであっても
問題ありません。

No.35347 - 2016/01/27(Wed) 18:48:10

★ (No Subject) / さくら

解答がなく、
解き方も参考書を一応は見てみたのですが
いまいちよく分からず、困ってます

どなたか分かる方、問2.3を教えて下さい
よろしくお願いします

No.35340 - 2016/01/27(Wed) 10:23:47

☆ Re: / ヨッシー

2.
　10^7≦m^8＜10^8
であるので、対数をとって
　7≦8log₁₀m＜8
８で割って
　7/8＝0.875≦log₁₀m＜1＝log₁₀10
log₁₀8＝0.9030 より
　8≦m≦9

3.
log₁₀n＝81log₁₀18
　＝81(log₁₀2＋2log₁₀3)
　＝101.6712　・・・102桁
log₁₀2n＝101.6712＋0.3010＝101.9722　・・・102桁
log₁₀n/2＝101.6712－0.3010＝101.3702　・・・102桁
log₁₀n/4＝101.6712－0.6020＝101.0692　・・・102桁
このように、n/4, n/2, n, 2n が同じ桁なので、これらの最高位の数は
　1, 2, 4, 8 または 9
と推移しているはずである。
よって、ｎの最高位の数は４

ちなみに、画像にあるように
　10^7≦m^8≦10^8
とすると、m＝10 も入ってしまうので、注意してください。

No.35341 - 2016/01/27(Wed) 13:54:12

☆ Re: / さくら

返信＆お礼遅れてしまいすみません
2,3共に教えていただき本当にありがとうございました！

3はお陰様で全部理解できました

2もほとんど理解できたのですが
log8＝0.9030 より 8≦m≦9
のところがやはりよく理解できません…

log8＝0.9030というのは分かるのですが、
どうしてそこから8≦m≦9になるのでしょうか??

もしまだ見て下さっていたら教えて下さいm(_ _)m

No.35388 - 2016/01/31(Sun) 10:51:20

★ (No Subject) / 納豆菌

線形代数の問題です３番目がわかりません解説お願いします

No.35329 - 2016/01/26(Tue) 23:16:23

☆ Re: / 納豆菌

これです

No.35330 - 2016/01/26(Tue) 23:35:28

☆ Re: / 水面に映る月

合っていると思います．

ちょっとコメントするとすれば，x=b[1]x'+b[2]y'+b[3]z'の順ではなくて，x=x'b[1]+y'b[2]+z'b[3]とかくべきであると思います．x,y,zをいつも後ろにもっていけば良い，というものではありません．それぞれの文字が何を表すのかを考えて決めるべきことです．

あと，単に端折っただけかもしれませんが，「R^3の元は一次結合で表すことができる」とありますが，何の一次結合なのでしょうか．それも書いておいてください．

No.35346 - 2016/01/27(Wed) 18:46:23

★ 数列 / おお

a(1)＝3 a(n)a(n+1)＝5×2^(2n－1)

底を2とする対数をとると
log2 {a(n+1)} ＝－log2 {a(n)} ＋log2 (5) ＋ 2n－1

log2 {a(n+1)} ＋ α(n+1) ＋ β ＝－[ log2 {a(n)} ＋ αn ＋ β ] となるような定数α,βを定める。
α= －1 β= 1－ {log2 (5)}／2

よって
( log2 {a(n)} ＋ αn ＋ β ) ＝b(n) とおくと

b(n+1)＝－b(n) より b(n)＝ log2 [ 3／√5] × (－1)^(n－1)

a(n)＝2^ [ log2 [ 3／√5] × (－1)^(n－1) ]

a(1)≠3 となってしまうのですが、何処が間違っているのでしょうか。

答え、 a(n)＝ 2^(n－1) × 3^ [(－1)^(n－1)] × 5^ [1+(－1)^n] ／2

もしくは、a(n)＝ 3× 2^(n－1) 奇数 , 5/3 × 2^(n－1) 偶数

解答は、a(n+2)＝4a(n) から偶数、奇数で分けていました。

No.35328 - 2016/01/26(Tue) 21:45:31

☆ Re: 数列 / IT

log2 {a(n)}=b(n)-αn-β=log2 [3／√5]×(-1)^(n-1)+n-(1-{log2(5)}／2)
=log2 [3／√5]×(-1)^(n-1)+n-1+{log2(5)}／2ですから

a(n)＝2^[log2 [3／√5]×(-1)^(n-1)] にはならないと思います。

No.35333 - 2016/01/27(Wed) 00:29:48

☆ Re: 数列 / おお

理解しました。
自分で置いたb(n)が b(n)=log2a(n) だと思っていたようです。

ご指摘ありがとうございました。

No.35338 - 2016/01/27(Wed) 03:10:12

★ 数A 図形 / ぷぷ

連投失礼致します。
こちら7番8番の問題についても詳しく解説頂けると有難いです。

No.35327 - 2016/01/26(Tue) 20:55:36

☆ Re: 数A 図形 / ヨッシー

７．
∠ＦＰＤ＝180°－∠Ｂ
∠ＥＰＤ＝180°－∠Ｃ
∠ＥＰＦ＝360°ー∠ＦＰＤ－∠ＥＰＤ
∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝180°
から
∠Ａ＋∠ＥＰＦ＝180°
になることを示します。

８．
ＡＲＯＱは正方形なので、ＡＲ＝ｒが求める半径となります。
　ＡＢ＝ｒ＋６，ＡＣ＝ｒ＋４，ＢＣ＝１０
で、三平方を使います。

No.35344 - 2016/01/27(Wed) 17:20:40

★ 数A 図形 / ぷぷ

こちらの教科書の問題15について解説付きで教えてください。
お願いします。

No.35326 - 2016/01/26(Tue) 20:50:24

☆ Re: 数A 図形 / 水面に映る月

「例題」の考え方と同じように考えてください．
つまり，
1)点Pを通る共通接線を引く
2)「接線と弦のつくる角の定理」の適用を考える
3)同位角が等しいことからAC//BD

No.35339 - 2016/01/27(Wed) 05:50:15

★ (No Subject) / 納豆菌

線形代数の質問です
２番目の解法がわからないので簡単に道しるべをしてください
ちなみに自然基底とは何でしょうか？

No.35321 - 2016/01/25(Mon) 22:21:23

☆ Re: / 水面に映る月

R^3の自然基底(或いは，「標準基底」ともいう)とは，既に，upされている写真にもありますが，
e[1]=t(1,0,0)，e[2]=t(0,1,0)，e[3]=t(0,0,1)
の(3つのベクトルを要素とする集合の)ことです．ですから，この問題は，
4*a[1]-2*a[2]-a[3]=x*e[1]+y*e[2]+z*e[3]
としたときに，x,y,zがいくらになるか，ということですね．

# 「基底とは？」「座標とは？」といったことについて復習しておいたほうが良いように思います．

No.35322 - 2016/01/26(Tue) 10:20:09

★ 分散と標準偏差 / 納豆菌

10人の生徒について行った50点満点の漢字の「読み」と「書き取り」のテストの得点を、それぞれ変量xと変量yとする。図は、変量xと変量yの散布図である。10人の変量xのデータは次の通り。
13,17,20,23,28,34,36,40,44,45(単位は点)
変量xの値が40点、変量yの値が13点となっている生徒の変量yの値は誤りであることがわかり、正しい値である32点に修正した。修正前、修正後の変量yのデータの中央値をそれぞれ求めよ。
何を利用してどのように考えれば良いのでしょうか？教えてください、お願いします。

No.35311 - 2016/01/25(Mon) 18:57:18

☆ Re: 分散と標準偏差 / 納豆菌

図が見にくいですね、すみません。

No.35312 - 2016/01/25(Mon) 19:03:28

☆ Re: 分散と標準偏差 / IT

「中央値」の定義（意味）が分かりますか？
この問題のように１０人のデータの場合はどうなりますか？

10人の変量xのデータ　13,17,20,23,28,34,36,40,44,45
の中央値は？

No.35315 - 2016/01/25(Mon) 19:29:58

☆ Re: 分散と標準偏差 / 納豆菌

変量xの中央値は
(28+34)/2=31で31点ですかね…

No.35316 - 2016/01/25(Mon) 19:51:22

☆ Re: 分散と標準偏差 / IT

そうですね。
ｙの修正前はグラフから5番目と6番目を読み取ればいいと思います。

修正後は(40,13)を(40,32)に変えてから読み取ればいいですね。

No.35317 - 2016/01/25(Mon) 20:12:44

☆ Re: 分散と標準偏差 / 納豆菌

なるほど！わかりました。ということは、
変量yの修正前は、5番目の値…15、6番目の値…20なので(15+20)/2=17.5点
修正後は、5番目の値…20、6番目の値…25なので
(20+25)/2=22.5点
ということですか？

No.35318 - 2016/01/25(Mon) 20:38:30

☆ Re: 分散と標準偏差 / IT

いいと思います。

No.35319 - 2016/01/25(Mon) 20:44:07

☆ Re: 分散と標準偏差 / 納豆菌

ありがとうございました！

No.35320 - 2016/01/25(Mon) 21:03:54

★ (No Subject) / 積分

下の赤線で囲まれている部分の計算がよくわかりません
解説お願いします

No.35306 - 2016/01/25(Mon) 15:49:23

☆ Re: / 積分

こっちです

No.35307 - 2016/01/25(Mon) 15:51:22

☆ Re: / ヨッシー

目標は sinθ をｘの式にすることで、使う式はｘ＝ａtanθ です。
　sin^2θ＋cos^2θ＝1
から得られる
　tan^2θ＋1＝1/cos^2θ
　cos^2θ＝1/(tan^2θ＋1)
　cosθ＝1/(tan^2θ＋1)^(1/2)
　　＝1/{(x/a)^2＋1)^(1/2)
　　＝a/(a^2＋x^2)^(1/2)
を用いて、
　sinθ＝cosθtanθ
　　　＝x/(a^2＋x^2)^(1/2)
が得られます。

No.35325 - 2016/01/26(Tue) 11:51:31