[ 掲示板に戻る ]

★ (No Subject) / 漸化式Cnについて。
↓最初の Cn= ではなく、Cn＋1。です。ごめんなさい。 No.34681 - 2015/12/13(Sun) 22:44:58

★ 解けるのか解けないのか。です。どうでしょうか。 / 漸化式Cnについて。

Cn=3／8・An。＋1／2・Bn 。＋1／2・Cn Cnの初項C1=3／8 An=(1／8)∧n Bn=3(1／4)∧n。ー3(1／8)∧n 答え(？)のCn=2(1／2)∧n。ー3 (1／4)∧n。＋(1／8)∧n 参考までにCnは…と書いてあるだけで、解けるかは分かりませんでした。自力では解けなかったのですが、もしかしたら何か見落としているのでは、と思い、質問させていただきました。 また、先日の質問に丁寧に答えてくださり、ありがとうございます。 No.34680 - 2015/12/13(Sun) 22:42:38 ☆ Re: 解けるのか解けないのか。です。どうでしょうか。 / X 条件式を上から順に(A)(B)(C)(D)とします。 (A)の右辺の第一項、第二項はいずれも定数 であることに注意して c[n+1]-{(3/4)a[n[0]]+b[n[0]]}=(1/2){c[n]-{(3/4)a[n[0]]+b[n[0]]}} と変形すると c[n]={c[1]-{(3/4)a[n[0]]+b[n[0]]}}(1/2)^(n-1)+(3/4)a[n[0]]+b[n[0]] (A)' ここで(C)(D)より a[n[0]]=(1/8)^n[0] (C)' b[n[0]]=3・(1/4)^n[0]-3・(1/8)^n[0] (D)' (A)'に(B)(C)'(D)'を代入して整理します。 No.34684 - 2015/12/14(Mon) 06:51:15 ☆ Re: 解けるのか解けないのか。です。どうでしょうか。 / X 但し、こちらの計算では >>Cn=2(1／2)∧n。ー3 (1／4)∧n。＋(1／8)∧n とはなりませんでした。 漸化式(A)からc[n]に(1/8)^nの項は出てくることは ありえませんので、問題文か答えにタイプミスが あると思います。 No.34685 - 2015/12/14(Mon) 06:57:33

★ (No Subject) / トシ
こんばんは。 極方程式の問題です。 一応考えてみたのですが‥ この先どうすれば良いですか？ またどこかで間違えていますか？ No.34678 - 2015/12/13(Sun) 19:43:20 ☆ Re: / ヨッシー 間違っていません。 √(・・・)＝a^2 とおく。 倍角公式 cos(2θ)＝2cos^2θ−1 を使う。 で、導けます。 No.34679 - 2015/12/13(Sun) 19:54:55

★ 条件つき確率 / 納豆菌

たびたびすみません。本日質問した問題の2問目もよくわかりません。 >1辺の長さが2の正三角形ABCを考える。辺ABの中点をD、辺BCの中点をE、辺CAの中点をFとする。動点PはAから出発して、△ABCの辺を次のように移動する。 コインを投げ、表が出たらA→B→C→Aの方向に1進み、裏が出たらA→C→B→Aの方向に1進む。コインを3回投げたときに、初めの1回を投げたときにPがDにいるという条件の下でPがDにいる確率は？ 条件である確率を求めるのがわかりません。教えてください！ No.34674 - 2015/12/12(Sat) 23:38:02 ☆ Re: 条件つき確率 / X 残りの二回の試行の後にPがDに戻ってくればいいので 経路は D→A→D 又は D→B→D 1回目の試行でPがDに行く確率は1/2 なので、求める条件付き確率は {(1/2)(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)(1/2)}/(1/2)=1/2 No.34675 - 2015/12/13(Sun) 06:20:43 ☆ Re: 条件つき確率 / 納豆菌 ありがとうございます！ No.34677 - 2015/12/13(Sun) 08:57:16

★ (No Subject) / あさみ

お願いします。 No.34672 - 2015/12/12(Sat) 22:01:26 ☆ Re: / X x^2+y^2-4x-2y≦0 (A) 3x-3y+ty-3t≧0 (B) とします。 (1) 前半) Kの方程式を整理して (x-2)^2+(y-1)^2=5 ∴中心の座標は(2,1) 後半) lの方程式を整理すると 3(x-y)+(y-3)t=0 条件からこれをtの恒等式と見ることができるので 両辺を比較して x-y=0 (C) y-3=0 (D) (A)(B)を連立して解き x=y=3 ∴求める定点の座標は(3,3) (2)(3) まず準備。 (1)の結果からlの定点はKの上にあることが分かります。 又、lの方程式を変形すると x=(1-t/3)y+t これとt≦0により、 lはy軸を基準としたときの傾きが1以上の直線。 (但しx軸平行にはなりません) 更に(A)(B)を変形すると (x-2)^2+(y-1)^2≦5 (A)' x≧(1-t/3)y+t (B)' よってDは 円Kの内側の領域(境界含む) と 直線lの下側の領域(境界含む) の共通領域になります。 で、(2)ですが y-2x=k と置くと y=2x+k (E) そこでt=-6のときのDを図示したものの上に 直線(E)を図示し、y切片であるkが最小となるような (E)の位置を考えます。 (必ず図示しましょう) するとkは(E)がKの下側に接するときに最小に なることが分かります。 後はKの方程式と(E)との連立方程式を使って 解の判別式に対する条件を使うか、Kの中心と (E)との距離がKの半径になることを使うか いずれか好きな方でkについての方程式を 立てて下さい。 次に(3)について。 Dを図示したものの上に直線(E)を図示して考える点は (2)と同じです。 又、kの最小値はt≦0の範囲においてtの値によりません ((∵)Kと(E)との接点はKの右下になります) ので、そのまま(2)の結果が使えます。 問題はkの最大値の方ですがこれはlの傾きについて 場合分けが必要です。 (E)のy軸を基準としたときの傾きが1/2であることに注意すると (i)1-t/3≦1/2のとき kは(E)がKとlとの右上側の交点(つまり(1)で求めた定点(3,3)) を通るときに最大になります。(図示しましょう) (ii)1/2≦1-t/3のとき kは(E)がKとlとの左下側の交点(座標はKとlの方程式を 連立方程式と見て解いて求めます。結果はtの式で表せます) を通るときに最大になります。(図示しましょう) 後は(i)(ii)それぞれについて最大値と最小値との和が-7であることから tの方程式を立てて解き、結果が(i)(ii)の条件を満たしているかを 確かめます。 只、(i)についてはkが最大となるとき、tによらない定点(3,3) を通ることから最大値と最小値との和はtの値によらず一定です ので、tの方程式を解く必要もなく、条件の確かめも容易です。 (こちらでは確かめていませんが、恐らく条件を満たさない と思います。) No.34673 - 2015/12/12(Sat) 22:48:29

★ 極限の問題 / 関所

東京出版「微積分の極意」p88の図形と極限の問題です。 半径1の円Cの内部に円Cと接する半径の等しいn個の円、A1、A2、A3……Anを順に並べる。ただし隣り合うどの2円も互いに概説するものとする。 このとき、n個の円A1,A2･･･Anの面積の総和をSnとしてlim n･Sn (n→∞) を求めよ。 解答にA1〜Anの半径をRnとするとA1〜Anの中心を結んで作られる正n角形の周長は2nRnで、これはCの周長2Πよりも短い。また、2nRnはA1〜Anのすべてと外接している円（半径は1-2Rn）の周長である2(1-2Rn)Πよりも長い。したがって、 2(1-2Rn)Π＜2nRn＜2Π　　∴Π／n+2Π＜Rn＜Π／n とありますが左の式を2nで割ると、どうしてΠ／n+2Πになるのかがわかりません。よろしくお願いします。 No.34665 - 2015/12/12(Sat) 19:39:11 ☆ Re: 極限の問題 / 関所 すみません。概説→外接です。 No.34666 - 2015/12/12(Sat) 19:43:05 ☆ Re: 極限の問題 / IT 2nで割ってるのではありませんね。 2(1-2Rn)Π＜2nRn Π-2RnΠ＜nRn 両辺に2RnΠを加えて Π＜nRn+2RnΠ Π＜(n+2Π)Rn 両辺を(n+2Π)で割って Π/(n+2Π)＜Rn No.34670 - 2015/12/12(Sat) 20:49:49 ☆ Re: 極限の問題 / 関所 そういうことだったんですね。ありがとうございました。 No.34676 - 2015/12/13(Sun) 07:00:42

★ 確率 / 納豆菌

1辺の長さが2の正三角形ABCを考える。辺ABの中点をD、辺BCの中点をE、辺CAの中点をFとする。動点PはAから出発して、△ABCの辺を次のように移動する。 コインを投げ、表が出たらA→B→C→Aの方向に1進み、裏が出たらA→C→B→Aの方向に1進む。コインを3回投げたときにPがDにいる確率は？ この問題の考え方を教えてください。自分としては表が出る回数をx回として、裏は3-x回になり、A→B→C→Aの方向に進むと +1に、A→C→B→Aの方向に進むと-1になっていく…のように考えたのですが自信がありません。 No.34663 - 2015/12/12(Sat) 14:20:26 ☆ Re: 確率 / ヨッシー 考え方はそれで良いです。 では、何回表で、何回裏が出たのでしょうか？ No.34664 - 2015/12/12(Sat) 15:10:15 ☆ Re: 確率 / 納豆菌 表…x回、裏…3-x回出る、A→B→C→Aの方向のとき+1、A→C→B→Aの方向のとき-1とすると、ADの長さ=1なので、 1x+(-1)(3-x)=1 x-3+x=1 x=2で、表…2回、裏…1回ですか？それから3C2×(1/2)^2×(1/2)=3/8 ですかね？ No.34667 - 2015/12/12(Sat) 20:18:25 ☆ Re: 確率 / ヨッシー それでいいです。 No.34669 - 2015/12/12(Sat) 20:46:19 ☆ Re: 確率 / 納豆菌 ありがとうごさいます！ No.34671 - 2015/12/12(Sat) 21:07:26

★ 二進法の計算です / comm

写真の(6)になる理由が全くわかりません。よろしくお願いします。 No.34660 - 2015/12/11(Fri) 23:22:21 ☆ Re: 二進法の計算です / X 十進法の100と1とで100-1を積み算で計算するとき 横書きの計算式では 100-1=90+(10-1) (つまり百の位から1を借りてくる操作) =90+9 =99 となりますよね。 さて、二進法では各桁が2で繰り上がります。つまり (以下、全て数字は二進法による表記です) 1+1=10 10+10=100 100+100=1000 … 従って、二進法表記の100と1とで100-1を積み算で 計算するときは 100-1 =10+(10-1)(つまり最上位桁の位から1を借りてくる操作) =10+1 =11 となります。 このことを頭に入れてもう一度ご質問の計算式を 参照して下さい。 No.34661 - 2015/12/12(Sat) 09:23:16 ☆ Re: 二進法の計算です / X それからこのスレとは直接関係ありませんが、 以前commさんが質問されていたスレである No.34635 に対する私のレス No.34645 の内容に誤りがありました(ごめんなさい)。 直接修正しておきましたので、こちらの方も ご覧下さい。 No.34662 - 2015/12/12(Sat) 09:32:17

★ 分かりません… / おバカさん

(1)たくやさんが動く歩道の終わる地点に着いたとき、 ゆみさんは終わる地点の、何m手前にいますか。 分からないので答え教えてください！お願いします！ ★補足★ 動く歩道は長さが60mで毎秒0.５mの速さで 動いています。今ゆみさんが動く歩道に 乗るのと同時に、たくやさんが横の通路を 毎秒1mの速さで歩き始めました。 たくやさんはゆみさんより何秒前に、動く歩道の 終わる地点に着きますか？ No.34656 - 2015/12/11(Fri) 18:17:42 ☆ Re: 分かりません… / X 0.5÷1=0.5=1/2 により、ゆみさんが動く速さはたくやさんの 歩く速さの1/2 よって同じ時間の間にゆみさんが動く距離は たくやさんの歩く距離の1/2ですので 60-60×(1/2)=30 によりゆみさんはたくやさんの30[m]手前にいます。 No.34657 - 2015/12/11(Fri) 19:04:54 ☆ Re: 分かりません… / X あるいは写真の問題の(1)と似た考え方を使います。 たくやさんが動く歩道の終わる地点に着くまでに かかる時間は 60÷1=60 により60秒。 一方、(1)の解き方でたくやさんから見てゆみさんは 1-0.5=0.5 により毎秒0.5mの速さで離れていきますので 求める距離は 0.5×60=30 により30mとなります。 No.34658 - 2015/12/11(Fri) 19:10:07

★ ベクトル / 、、、

次の画像の回答でよくわからないところがあるので教えていただきたいです。 まず(１)の最後の→DE×→DF＝2＋0＝2 となるのはなぜですか？ 次に(2)の|→DF|＝√1の2乗＋1の2乗＋1の2乗＝√3 になるのはなぜですか？ その2つがわからないので、教えていただきたいです。 図形で座標などを書いて考えてみたのですがよくわかりませんでした。 よろしくお願いします。 No.34644 - 2015/12/09(Wed) 22:19:10 ☆ Re: ベクトル / X ＞＞まず(１)の最後の〜 回答する前に一言。 内積の記号は必ず・を使いましょう。 高校数学の範囲では使いませんが、 ×では別の意味になります。 で、回答ですが、添付写真の「解答」の (1)の3行目の式をよく見ましょう。 ＞＞次に(2)の〜 回答の前に間違いの指摘を。 添付写真の中の右上の手書きの図において C(1,1,1) と書かれていますが、この座標の取り方だと C(0,1,1) としなければなりません。 で、回答ですが ↑DF=↑HF-↑HD =(1,1,0)-(0,0,1) =(1,1,-1) これを元に|↑DF|を計算すると |↑DF|=√{1^2+1^2+(-1)^2}=√3 となります。 但し、図で分かるとおり |↑DF|=|↑DF| ですので ↑DF=(1,1,1) により |↑DF|=√{1^2+1^2+1^2}=√3 とも書けます。 No.34646 - 2015/12/09(Wed) 22:35:26 ☆ Re: ベクトル / 、、、 ありがとうございます！ 理解できました！ No.34648 - 2015/12/09(Wed) 23:37:15

★ 数三です。 / aohana
(2)、(3)についての質問です。 無限等比級数の図を用いるようなのですが… よろしくお願いします。 No.34640 - 2015/12/09(Wed) 21:13:46 ☆ Re: 数三です。 / IT > 無限等比級数の図を用いるようなのですが… ヒントにそう書いてあるのですか？ (2)y=1/x のグラフから分るように Σ[k=2..n](1/k)≦∫[1,n](1/x)dx≦Σ[k=1..n](1/k) これより・・・ (3) (1)からI[n]を両側から評価した不等式が分りますか？ さらに(2)を使って評価します。 No.34647 - 2015/12/09(Wed) 23:20:37

★ 数1の問題です。 / comm
大問221で左の解説の青の波線が指しているのが何か分かりません。なぜこのようになるのですか？よろしくお願いします。 No.34636 - 2015/12/09(Wed) 20:51:22 ☆ Re: 数1の問題です。 / X 例えば(ア)について。 -2≦x≦0 (A) においてf(x)≧0であるためには ((A)におけるf(x)の最小値)≧0 となることはよろしいですか？。 (ア)の右側に描かれたグラフから ((A)におけるf(x)の最小値)=f(0) ですので f(0)≧0 となります。 (イ)(ウ)についても考え方は同じです。 No.34637 - 2015/12/09(Wed) 21:03:24 ☆ Re: 数1の問題です。 / comm ありがとうございます。 No.34642 - 2015/12/09(Wed) 21:18:48

★ 数1の質問です。 / comm

例題30で波線の部分がなぜこうなるのか良く分かりません。よろしくお願いします。 No.34635 - 2015/12/09(Wed) 20:48:06 ☆ Re: 数1の質問です。 / X 添付された写真の中で、解答の上にある「指針」 に書かれていることは理解できていますか？ No.34638 - 2015/12/09(Wed) 21:05:00 ☆ Re: 数1の質問です。 / comm はい。僕が理解できなかったのは、なぜf(3)>0になるのかです。すみません。よろしくお願いします。 No.34641 - 2015/12/09(Wed) 21:18:31 ☆ Re: 数1の質問です。 / X y=f(x)のグラフから、f(x)=0の解が (i)0と1の間にある条件は f(0)＞0かつf(1)＜0 (A) (ii)2と3の間にある条件は f(2)＜0かつf(3)＞0 (B) f(0)=1によりf(0)＞0は常に 満たされていますから(A)は f(1)＜0 (A)' (A)'かつ(B)により f(1)＜0かつf(2)＜0かつf(3)＞0 となります。 No.34645 - 2015/12/09(Wed) 22:19:22

★ 双曲線 / 桃
こんにちは。 この問題あってますか？ 友人がy軸方向へは➖3ではなくて➕3平行移動している と言っていたのですが‥ どうして➕3なのでしょうか？ 教えて下さい。 No.34627 - 2015/12/09(Wed) 14:30:29 ☆ Re: 双曲線 / ヨッシー ｙ軸方向に−３で正しいです。 No.34629 - 2015/12/09(Wed) 14:48:11 ☆ Re: 双曲線 / 桃 助かりました。 ありがとうございました。 No.34651 - 2015/12/10(Thu) 07:42:21

★ (No Subject) / マインスター
○×問題続きです。　 　?@有限個の要素をもつ集合Aに対してその個数をn(A)で表す。集合AとBの和集合A∪Bが有限個の要素をもつならばn(A∪B)=n(A)+n(B)が成立する。 　?Ax=−1はx^2−2x−3=0であるための必要条件である。 　?@?Aとも×で合っていますか？解説をお願いします。 No.34622 - 2015/12/09(Wed) 07:33:37 ☆ Re: / ヨッシー 両方×です。 (1) たとえば、A={1,2,3}, B={1,2,3} のとき、どうなりますか？ (2) ＡならばＢが真の時、ＡはＢであるための十分条件、ＢはＡであるための必要条件です。 　この場合、x^2−2x−3＝0 ならば（必ず） x＝-1 であれば○、それ以外の可能性があれば×です。 No.34628 - 2015/12/09(Wed) 14:44:34

★ (No Subject) / 高3

座標平面上にy=√x-3 (4≦x≦12)がある この曲線上のP(x.y)が動くときy/xの取りうる値の範囲を求めよ また、このとき x-y/x+yの最大値および最小値とPの座標を求めよ No.34613 - 2015/12/09(Wed) 00:09:29 ☆ Re: / 高3 分子がx-y 分母がx+y の分数です No.34614 - 2015/12/09(Wed) 00:11:20 ☆ Re: / X >>分子がx-y >>分母がx+y >>の分数です 文章で書くのではなくて括弧を使って (x-y)/(x+y) と書いた方が簡潔ですよ。 又 >>y=√x-3 についてですが、これは y=(√x)-3 と解釈されます。 文脈から y=√(x-3) の意味だと思われますので そのように解釈して方針を。 前半) f(x)=x/y と置いて y=√(x-3) を代入し、f'(x)を計算して 4≦x≦12 におけるf(x)の増減表を 書きましょう。 後半) g(x)=(x-y)/(x+y) と置いて前半と同じ方針で 計算してもよいですが (x-y)/(x+y)=(x/y-1)(x/y+1) =1-2/(x/y+1) と変形して前半の結果を 使った方が簡単です。 (注: >>y=√x-3 が、文字通り y=(√x)-3 の意味であっても、前半、 後半共に方針に変わりは ありません。) 次回から数式をアップする場合は 必要な括弧を必ずつける癖を つけましょう。 No.34620 - 2015/12/09(Wed) 05:20:17 ☆ Re: / 高3 ありがとうございます 以後気をつけます No.34632 - 2015/12/09(Wed) 18:34:48

★ 高1確率 / NERV

高1数学です。 赤玉（R)4個、白玉（W)3個、青玉（B）2個 の中から1個ずつ3回取り出す。ただし、取り出した玉は戻さない。 このとき次の確率を求めよ。 （１）取り出された3つがすべて異なる【解答2/7】 （２）1回目と3回目に取り出される色が違う【解答13/18】 次のように考えました。（１）は解答と合ってました。 間違っている個所やもっと良い解法・考え方があったらぜひ教えて下さい。 「1個ずつ3回取り出す（元に戻さない）」という事象は 「3個の玉を1度に取り出す」という事象と同じなので、 （１）Rから1、Wから1、Bからそれぞれ1個ずつ取り出せばよいので、 4C1*3C1*2C1=4*3*2=24 全ての場合の数は異なる9個の中から3つ選ぶ組合せなので9C3=84 よって、求める確率P1=24/84=2/7 （２）余事象「1回目と3回目に取り出される色が同じ」を考える。 (1回目,2回目,3回目)とすると、 (ア)(R,R,R)のとき4C3=4 (R,W,R)のとき4C2*3C1=18 (R,B,R)のとき4C2*2C1=12 4+18+12=34 (イ)(W,W,W)のとき3C3=1 (W,R,W)のとき3C2*4C1=12 (W,B,W)のとき3C2*2C1=6 1+12+6=19 (ウ)(B,R,B)のとき2C2*4C1=4 (B,W,B)のとき2C2*3C1=3 4+3=7 (ア)〜(ウ)は排反だから 34+19+7=60 従って、求める確率P2=1-60/84=24/84=2/7 （２）がよく分かりません。よろしくお願いします。 No.34612 - 2015/12/08(Tue) 23:50:41 ☆ Re: 高1確率 / ヨッシー 確率を、組み合わせで考えるか、順列で考えるかという選択がありますが、 (1) では、 すべての取り出し方は、順列では 9Ｐ3＝504、組み合わせでは 9Ｃ3＝84。その比は６倍です。 ある取り出し方 R1,W1,B1 について、組み合わせなら１通りですが、順列だと６通りになります。 この６倍というのは、R1,W1,B2 でも R4,W3,B2 でも変わりません。 よって、順列だと 144/504、組み合わせだと 24/84 になるだけで、約分すればいずれも 2/7 です。 (2) の場合は、 R1,W1,R2 という取り出し方について、順列にすると (R1,W1,R2), (R2,W1,R1) の２通りは条件を満たしますが、(W1,R1,R2) など４通りは条件を満たしません。 一方、R1,R2,R3 は順番を変えた６通りすべて条件を満たします。 よって、確率を組み合わせで考えることは出来ません。 上の分類方法を借りるなら すべての取り出し方は 9Ｐ3＝504（通り） (ア)(R,R,R)となる取り出し方は4Ｐ3=24 (R,W,R)となる取り出し方は4Ｐ2*3Ｐ1=36 (R,B,R)となる取り出し方は4Ｐ2*2Ｐ1=24 24+36+24=84 (イ)(W,W,W)となる取り出し方は3Ｐ3=6 (W,R,W)となる取り出し方は3Ｐ2*4Ｐ1=24 (W,B,W)となる取り出し方は3Ｐ2*2Ｐ1=12 6+24+12=42 (ウ)(B,R,B)となる取り出し方は2Ｐ2*4Ｐ1=8 (B,W,B)となる取り出し方は2Ｐ2*3Ｐ1=6 8+6=14 よって、 　(84+42+14)/504＝140/504＝5/18 よって、その余事象で 　1−5/18＝13/18 となります。 No.34630 - 2015/12/09(Wed) 15:12:08

★ (No Subject) / しの

xy平面において、曲線C:y=x^4-2x^2と直線l:y=kが異なる4点で交わり、Cとlで囲まれた3つの部分の面積が全て等しくなるような実数kを求めよ。 No.34611 - 2015/12/08(Tue) 23:18:40 ☆ Re: / X C,lの交点のx座標について x^4-2x^2=k これより x^4-2x^2-k=0 x^2=1±√(1+k) ∴x=±√{1±√(1+k)} (複号任意) ここで α=√{1-√(1+k)} β=√{1+√(1+k)} と置くと α^2+β^2=2 (A) αβ=√(-k) (B) さて、問題の三つの部分の面積を、 C,lのグラフを描いたときの左の 部分から順に S,T,U とすると、グラフのy軸に関する 対称性から U=S=∫[α→β]{k-(x^4-2x^2)}dx (C) T=2∫[0→α]{(x^4-2x^2)-k}dx (D) 更に条件から S=T (E) (C)(D)の積分を計算し、(E)に代入して k(β-α)-(1/5)(β^5-α^5)+(2/3)(β^3-α^3)=(2/5)(α^5)-(4/3)(α^3)-2kα これより k(β+α)-(1/5)(β^5+α^5)+(2/3)(β^3+α^3)=0 (α+β){k-(1/5){(α^4+β^4)-αβ(α^2-αβ+β^2)}-(2/3)(α^2-αβ+β^2)}=0 (α+β){k-(1/5){(α^2+β^2)^2-2(αβ)^2-αβ(α^2-αβ+β^2)}-(2/3)(α^2-αβ+β^2)}=0 α+β≠0なので k-(1/5){(α^2+β^2)^2-2(αβ)^2-αβ(α^2-αβ+β^2)}-(2/3)(α^2-αβ+β^2)=0 これに(A)を代入して k-(1/5){4+2k-(2-√(-k))√(-k)}-(2/3)(2-√(-k))=0 ∴t=√(-k) と置くと -t^2-(1/5){4-2t^2-(2-t)t}-(2/3)(2-t)=0 これをtの二次方程式と見て解きます。 (計算が煩雑なため、途中計算が間違っているかもしれません。) No.34621 - 2015/12/09(Wed) 06:06:14 ☆ Re: / しの ありがとうございます。 No.34625 - 2015/12/09(Wed) 10:34:58 ☆ Re: / IT 横から失礼します。重要部分はXさんのとおりです。 表記や計算を少し簡単にしてみました。 f(x)=x^4-2x^2-k、F(x)=(1/5)x^5-(2/3)x^3-kxとおくと ∫[α→β]{-f(x)}dx=2∫[0→α]f(x)dx -[F(x)][α→β]=2[F(x)][0→α] -F(β)+F(α)=2F(α) F(α)+F(β)=0…(1) f(α)=α^4-2α^2-k=0なのでF(α)=-(4/15)(α^3+3kα),F(β)も同様 (1)より　α^3+β^3+3k(α+β)=0 (α+β){(α^2-αβ+β^2)+3k}=0 α+β≠0なので　3k-αβ+2=0 αβ=tとおくと　k=-t^2なので -3t^2-t+2=0 (3t-2)(t+1)=0 t=2/3,-1 k=-4/9,-1 k＞-1なのでk=-4/9 No.34668 - 2015/12/12(Sat) 20:31:32

★ (No Subject) / ちーず

x^2の係数が1である2次関数f(x)が f(0)≧0かつf(2)=3f(1)を満たしながら変化するとき、y=f(x)のグラフが通り得る領域を図示せよ。 No.34610 - 2015/12/08(Tue) 23:12:06 ☆ Re: / 水面に映る月 まず、２次関数f (x)のx^2 の係数は1より、a, bを定数として、f (x) = x^2 + a x + b と書けます。 f(0)≧0かつf(2)=3f(1)の条件を考慮すると、この問題が、次の問題に帰着されることは恐らくもうお気づきだろうと思います。もしちーずさんが次の問題を解くことができるのであれば、以降の私の回答は読み飛ばしていただいて結構です。 「定数bがb≧0の範囲で自由に動くとき、y = x^2 + (-2b+1) x + b …?@のグラフC[b]が通り得る領域Dを図示せよ。」 これは、軌跡の基本的な問題ですので、単に解き方を書くのではなく、本問を材料として、その考え方を以下に書いて私の回答とさせていただきます。 例えば、点(1,2)が領域Dに含まれるかどうかを判定したい場合は、どうしますか？ある点が領域Dに含まれるということは、適当にb[0]≧0なるb[0]をとれば、その点がC[b[0]]上に乗るということと同じことです（ですよね？）。ですので、点(1,2)が領域Dに含まれるかどうかを判定したいのならば、x=1,y=2 を?@に代入して得られるbについての方程式が、少なくとも一つb≧0の範囲に解をもつかどうか調べればよいということがわかります。少なくとも一つb≧0の範囲に解をもつならば、点(1,2)は領域Dに含まれる点ですし、そうでなければ、領域Dに含まれる点ではありません。 では、この考え方を参考に、点(x,y)が領域Dに含まれるための必要十分条件を求めてみましょう。先ほどと同じ考え方によって、次が理解されるでしょう。 点(x,y)が領域Dに含まれる⇔bの方程式y = x^2 + (-2b+1) x + b…?@’ が少なくとも一つb≧0の範囲に解を持つ ここで、?@'は、bの方程式であるということを強調しておきます。ここでは、x,yを定数としてみているわけです。 「bの方程式っぽく」書くと、?@'は次のようになります。 (2x-1) b = x^2 + x - y…?@'' このbの方程式がb≧0の範囲に少なくとも一つ解を持つためのx,yの条件を求めればいいということになりますね。 というわけで、答えとしては、次を図示すればよいです。 （x<1/2かつy≧x^2 + x）または（x=1/2かつy = 3/4）または（x>1/2かつy≦x^2 + x） No.34617 - 2015/12/09(Wed) 03:17:18 ☆ 訂正 / 水面に映る月 たびたびの訂正申し訳ありません。 上の私の回答で、上から7行目 誤）これは、軌跡の基本的な問題ですので、 正）これは、通過領域を求める基本的な問題ですので、 No.34619 - 2015/12/09(Wed) 03:43:51 ☆ Re: / ちーず ありがとうございます。 No.34626 - 2015/12/09(Wed) 10:35:19 ☆ Re: / X ＞＞水面に映る月さんへ 蛇足かもしれませんが一言。 この掲示板ではレス入力時にパスワードを設定しておけば、 掲示板最下部のボックスにレスの番号を入力することで、 レスの修正を直接行うことができます。 No.34639 - 2015/12/09(Wed) 21:10:45 ☆ Re: / 水面に映る月 >>Ｘさん 教えていただき、ありがとうございます！ 知りませんでした。 No.34643 - 2015/12/09(Wed) 21:56:17

★ (No Subject) / か

m.n(m>n)を正の整数とするとき (√m^2+1)-(√n^2+1) は整数でないことを示せ。 お願いします。 No.34609 - 2015/12/08(Tue) 23:09:35 ☆ Re: / 水面に映る月 以下の私の回答は、質問者さんが関数f(x)={√(1+x^2)}-xを微分することができるということを前提にしています。 まず、√(1+m^2)の整数部分がmであること(*)を示す。 {√(1+m^2)}-m=1/[{√(1+m^2)}+m] であって、ここで、1<{√(1+m^2)}+m (∵mは整数)より、 0<{√(1+m^2)}-m<1 これで、(*)が示された。 (*)より、√(1+m^2)の小数部分をm'とすると、 m'={√(1+m^2)}-m 同様に、√(1+n^2)の小数部分をn'とすると、 n'={√(1+n^2)}-n また、 √(1+m^2)-√(1+n^2)=(m+m')-(n+n')=(m-n)+(m'-n')…(1) m',n'は小数部分なので、ともに、0以上で、かつ1より小さいので、 -1<m'-n'<1…(2) 次にm'-n'が0になり得ないこと(**)を示す。 (1)より、 m'-n'=[{√(1+m^2)}-m]-[√(1+n^2)}-n]…(3) ここで関数f(x)={√(1+x^2)}-xを考える。 f '(x)=[x/{√(1+x^2)}]-1=[x-{√(1+x^2)}]/√(1+x^2)<0 よって、f(x)は単調減少である。 このことと、m≠nであることより、 f (m)-f (n)≠0 であるが、(4)より、これは、m'-n'≠0を意味する。 これで(**)が示された。 (1)(2)および(**)と、m-nが整数であることから、 √(1+m^2)-√(1+n^2)=(m+m')-(n+n')=(m-n)+(m'-n')は整数とはなり得ない。(証明終了) No.34615 - 2015/12/09(Wed) 00:54:55 ☆ Re: / 水面に映る月 （訂正） 証明の３行目 誤）(∵mは整数) 正）(∵mは正の整数) No.34616 - 2015/12/09(Wed) 00:59:18 ☆ Re: / 水面に映る月 （訂正） 上の私の証明の下から４行目 誤）(4)より、これは、m'-n'≠0を意味する。 正）(3)より、これは、m'-n'≠0を意味する。 失礼しました。 No.34618 - 2015/12/09(Wed) 03:32:55 ☆ Re: / しの わざわざありがとうございます。 お手数ですが 1a2bの範囲でお願いできますか？ No.34623 - 2015/12/09(Wed) 09:24:23 ☆ Re: / 水面に映る月 微分を知らなくても、f(x)={√(1+x^2)}-x が単調減少であることを示すことができますね。微分を知っているなら、微分を使ったほうが早いし、簡潔ですが。 x, y を、x>y を満たす任意の実数とする。このとき、 f　(x)　-　f　(y) =[{√(1+x^2)} - x] - [{√(1+y^2)} - y] ={√(1+x^2) - √(1+y^2)} - (x-y) =[(x^2 - y^2)/{√(1+x^2) + √(1+y^2)}] - (x-y) =(x-y) * [{(x + y)/{√(1+x^2) + √(1+y^2)}} - 1] ≦(x-y) * [{(|x| + |y|)/{√(1+x^2) + √(1+y^2)}} - 1]<0 No.34624 - 2015/12/09(Wed) 09:34:43 ☆ Re: / IT (別解)　背理法による（背理法でなくてもできますが） √(m^2+1)-√(n^2+1)=k,ｋは整数とすると m＞nよりkは正整数(これは証明なしでいいと思います) √(m^2+1)=√(n^2+1)+k 両辺を２乗して m^2+1=n^2+1+2k√(n^2+1)+k^2 kは正整数なので√(n^2+1)は有理数 √(n^2+1)=a/b,(a,bは互いに素な自然数)とおく 両辺を２乗して、n^2+1=(a/b)^2 左辺は整数なのでb=1,すなわちn^2+1=a^2 よってa≧n+1 両辺正なので２乗してa^2≧n^2+2n+1 したがってn^2+1≧n^2+2n+1すなわち0≧n これは、nが正整数であることに反する。 したがって、√(m^2+1)-√(n^2+1)は整数になることはない。 No.34633 - 2015/12/09(Wed) 19:30:21 ☆ Re: / しの ありがとうございます。 No.34649 - 2015/12/10(Thu) 01:23:07 ☆ Re: / IT （別解２）水面に映る月さんの考え方をお借りして 正整数m,nについて、√(m^2+1)-√(n^2+1)が整数とする。…（１） m≧1,n≧1なので、0＜√(m^2+1)-m＜1/2、0＜√(n^2+1)-n＜1/2 よって、-1/2＜{√(m^2+1)-m}-{√(n^2+1)-n}＜1/2 (1)より{√(m^2+1)-m}-{√(n^2+1)-n}＝0、 移項して√(m^2+1)-√(n^2+1)＝m-n 両辺２乗して整理,√(m^2+1)√(n^2+1)＝mn+1 両辺２乗して整理,(m-n)^2=0、すなわちm＝n。 したがってm＞nのときは√(m^2+1)-√(n^2+1)は整数でない。 No.34654 - 2015/12/10(Thu) 20:28:36 ☆ Re: / 水面に映る月 >>ITさん （別解２）拝見しました。なるほど。 様々な証明が可能なようで、興味深いですね。 No.34655 - 2015/12/10(Thu) 21:59:27

全22554件 [ ページ : << 1 ... 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 ... 1128 >> ]

---

---