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★ (No Subject) / さくら
解答がなく、
解き方も参考書を一応は見てみたのですが
いまいちよく分からず、困ってます

どなたか分かる方、問2.3を教えて下さい
よろしくお願いします
No.35340 - 2016/01/27(Wed) 10:23:47
☆ Re: / ヨッシー
2.
　10^7≦m^8＜10^8
であるので、対数をとって
　7≦8log10m＜8
８で割って
　7/8＝0.875≦log10m＜1＝log1010
log108＝0.9030 より
　8≦m≦9

3.
log10n＝81log1018
　＝81(log102＋2log103)
　＝101.6712　・・・102桁
log102n＝101.6712＋0.3010＝101.9722　・・・102桁
log10n/2＝101.6712−0.3010＝101.3702　・・・102桁
log10n/4＝101.6712−0.6020＝101.0692　・・・102桁
このように、n/4, n/2, n, 2n が同じ桁なので、これらの最高位の数は
　1, 2, 4, 8 または 9
と推移しているはずである。
よって、ｎの最高位の数は４

ちなみに、画像にあるように
　10^7≦m^8≦10^8
とすると、m＝10 も入ってしまうので、注意してください。
No.35341 - 2016/01/27(Wed) 13:54:12
☆ Re: / さくら
返信＆お礼遅れてしまいすみません
2,3共に教えていただき本当にありがとうございました！

3はお陰様で全部理解できました

2もほとんど理解できたのですが
log8＝0.9030 より 8≦m≦9
のところがやはりよく理解できません…

log8＝0.9030というのは分かるのですが、
どうしてそこから8≦m≦9になるのでしょうか??

もしまだ見て下さっていたら教えて下さいm(_ _)m
No.35388 - 2016/01/31(Sun) 10:51:20
★ (No Subject) / ぷっぽ
(3)教えてください。解説がやってる事は分かるのですが、何故それをしたのか、という所が分かりません。教えてください。
No.35334 - 2016/01/27(Wed) 00:49:31
☆ Re: / ぷっぽ
解説です。
No.35335 - 2016/01/27(Wed) 00:49:51
☆ Re: / ぷっぽ
解説で。
No.35336 - 2016/01/27(Wed) 00:50:51
★ (No Subject) / 納豆菌
こっちの回答もあっているかお願いします
No.35331 - 2016/01/26(Tue) 23:59:19
☆ Re: / 納豆菌
続きです
No.35332 - 2016/01/27(Wed) 00:01:07
★ (No Subject) / 納豆菌
線形代数の問題です３番目がわかりません解説お願いします
No.35329 - 2016/01/26(Tue) 23:16:23
☆ Re: / 納豆菌
これです
No.35330 - 2016/01/26(Tue) 23:35:28
☆ Re: / 水面に映る月
合っていると思います．

ちょっとコメントするとすれば，x=b[1]x'+b[2]y'+b[3]z'の順ではなくて，x=x'b[1]+y'b[2]+z'b[3]とかくべきであると思います．x,y,zをいつも後ろにもっていけば良い，というものではありません．それぞれの文字が何を表すのかを考えて決めるべきことです．

あと，単に端折っただけかもしれませんが，「R^3の元は一次結合で表すことができる」とありますが，何の一次結合なのでしょうか．それも書いておいてください．
No.35346 - 2016/01/27(Wed) 18:46:23
★ 数列 / おお
a(1)＝3 a(n)a(n+1)＝5×2^(2n−1)

底を2とする対数をとると
log2 {a(n+1)} ＝ −log2 {a(n)} ＋log2 (5) ＋ 2n−1

log2 {a(n+1)} ＋ α(n+1) ＋ β ＝ −[ log2 {a(n)} ＋ αn ＋ β ] となるような定数α,βを定める。
α= −1 β= 1− {log2 (5)}／2

よって
( log2 {a(n)} ＋ αn ＋ β ) ＝b(n) とおくと

b(n+1)＝−b(n) より b(n)＝ log2 [ 3／√5] × (−1)^(n−1)

a(n)＝2^ [ log2 [ 3／√5] × (−1)^(n−1) ]

a(1)≠3 となってしまうのですが、何処が間違っているのでしょうか。

答え、 a(n)＝ 2^(n−1) × 3^ [(−1)^(n−1)] × 5^ [1+(−1)^n] ／2

もしくは、a(n)＝ 3× 2^(n−1) 奇数 , 5/3 × 2^(n−1) 偶数

解答は、a(n+2)＝4a(n) から 偶数、奇数で分けていました。
No.35328 - 2016/01/26(Tue) 21:45:31
☆ Re: 数列 / IT
log2 {a(n)}=b(n)-αn-β=log2 [3／√5]×(-1)^(n-1)+n-(1-{log2(5)}／2)
=log2 [3／√5]×(-1)^(n-1)+n-1+{log2(5)}／2ですから

a(n)＝2^[log2 [3／√5]×(-1)^(n-1)] にはならないと思います。
No.35333 - 2016/01/27(Wed) 00:29:48
☆ Re: 数列 / おお
理解しました。
自分で置いたb(n)が b(n)=log2a(n) だと思っていたようです。

ご指摘ありがとうございました。
No.35338 - 2016/01/27(Wed) 03:10:12
★ 数A 図形 / ぷぷ
連投失礼致します。
こちら7番8番の問題についても詳しく解説頂けると有難いです。
No.35327 - 2016/01/26(Tue) 20:55:36
☆ Re: 数A 図形 / ヨッシー
７．
∠ＦＰＤ＝180°−∠Ｂ
∠ＥＰＤ＝180°−∠Ｃ
∠ＥＰＦ＝360°ー∠ＦＰＤ−∠ＥＰＤ
∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝180°
から
∠Ａ＋∠ＥＰＦ＝180°
になることを示します。

８．
ＡＲＯＱは正方形なので、ＡＲ＝ｒ が求める半径となります。
　ＡＢ＝ｒ＋６，ＡＣ＝ｒ＋４，ＢＣ＝１０
で、三平方を使います。
No.35344 - 2016/01/27(Wed) 17:20:40
★ 数A 図形 / ぷぷ
こちらの教科書の問題15について解説付きで教えてください。
お願いします。
No.35326 - 2016/01/26(Tue) 20:50:24
☆ Re: 数A 図形 / 水面に映る月
「例題」の考え方と同じように考えてください．
つまり，
1)点Pを通る共通接線を引く
2)「接線と弦のつくる角の定理」の適用を考える
3)同位角が等しいことからAC//BD
No.35339 - 2016/01/27(Wed) 05:50:15
★ (No Subject) / 納豆菌
線形代数の質問です
２番目の解法がわからないので簡単に道しるべをしてください
ちなみに自然基底とは何でしょうか？
No.35321 - 2016/01/25(Mon) 22:21:23
☆ Re: / 水面に映る月
R^3の自然基底(或いは，「標準基底」ともいう)とは，既に，upされている写真にもありますが，
e[1]=t(1,0,0)，e[2]=t(0,1,0)，e[3]=t(0,0,1)
の(3つのベクトルを要素とする集合の)ことです．ですから，この問題は，
4*a[1]-2*a[2]-a[3]=x*e[1]+y*e[2]+z*e[3]
としたときに，x,y,zがいくらになるか，ということですね．

# 「基底とは？」「座標とは？」といったことについて復習しておいたほうが良いように思います．
No.35322 - 2016/01/26(Tue) 10:20:09
★ 分散と標準偏差 / 納豆菌
10人の生徒について行った50点満点の漢字の「読み」と「書き取り」のテストの得点を、それぞれ変量xと変量yとする。図は、変量xと変量yの散布図である。10人の変量xのデータは次の通り。
13,17,20,23,28,34,36,40,44,45(単位は点)
変量xの値が40点、変量yの値が13点となっている生徒の変量yの値は誤りであることがわかり、正しい値である32点に修正した。修正前、修正後の変量yのデータの中央値をそれぞれ求めよ。
何を利用してどのように考えれば良いのでしょうか？教えてください、お願いします。
No.35311 - 2016/01/25(Mon) 18:57:18
☆ Re: 分散と標準偏差 / 納豆菌
図が見にくいですね、すみません。
No.35312 - 2016/01/25(Mon) 19:03:28
☆ Re: 分散と標準偏差 / IT
「中央値」 の定義（意味）が分かりますか？
この問題のように１０人のデータの場合はどうなりますか？

10人の変量xのデータ　13,17,20,23,28,34,36,40,44,45
の中央値は？
No.35315 - 2016/01/25(Mon) 19:29:58
☆ Re: 分散と標準偏差 / 納豆菌
変量xの中央値は
(28+34)/2=31で31点ですかね…
No.35316 - 2016/01/25(Mon) 19:51:22
☆ Re: 分散と標準偏差 / IT
そうですね。
ｙの修正前はグラフから5番目と6番目を読み取ればいいと思います。

修正後は(40,13)を(40,32)に変えてから読み取ればいいですね。
No.35317 - 2016/01/25(Mon) 20:12:44
☆ Re: 分散と標準偏差 / 納豆菌
なるほど！わかりました。ということは、
変量yの修正前は、5番目の値…15、6番目の値…20なので(15+20)/2=17.5点
修正後は、5番目の値…20、6番目の値…25なので
(20+25)/2=22.5点
ということですか？
No.35318 - 2016/01/25(Mon) 20:38:30
☆ Re: 分散と標準偏差 / IT
いいと思います。
No.35319 - 2016/01/25(Mon) 20:44:07
☆ Re: 分散と標準偏差 / 納豆菌
ありがとうございました！
No.35320 - 2016/01/25(Mon) 21:03:54
★ (No Subject) / 積分
下の赤線で囲まれている部分の計算がよくわかりません
解説お願いします
No.35306 - 2016/01/25(Mon) 15:49:23
☆ Re: / 積分
こっちです
No.35307 - 2016/01/25(Mon) 15:51:22
☆ Re: / ヨッシー
目標は sinθ をｘの式にすることで、使う式は ｘ＝ａtanθ です。
　sin^2θ＋cos^2θ＝1
から得られる
　tan^2θ＋1＝1/cos^2θ
　cos^2θ＝1/(tan^2θ＋1)
　cosθ＝1/(tan^2θ＋1)^(1/2)
　　＝1/{(x/a)^2＋1)^(1/2)
　　＝a/(a^2＋x^2)^(1/2)
を用いて、
　sinθ＝cosθtanθ
　　　＝x/(a^2＋x^2)^(1/2)
が得られます。
No.35325 - 2016/01/26(Tue) 11:51:31
★ (No Subject) / 積分
下線部の部分分数分解ができません
よろしくお願いします
No.35304 - 2016/01/25(Mon) 14:09:34
☆ Re: / ヨッシー
下線部の下の行が部分分数分解した式です。

ご自身のものと見比べてみては？
No.35323 - 2016/01/26(Tue) 10:36:14
★ (No Subject) / 数学の天才もどき
以下の問題のカッコ1を解いてみたのですがもうもデキマセン

どこが間違っているか指摘してください。

お願いします
No.35298 - 2016/01/24(Sun) 21:31:10
☆ Re: / 数学の天才もどき
これがぼくの回答です
No.35299 - 2016/01/24(Sun) 21:31:49
☆ Re: / IT
半径１の円に外接する正ｎ角形　ですから

２行目から間違っていると思います。（内接するときと勘違いしておられるようです）

sin(π/n)=l[n]/2
S[n]=√(1-(l^2/4))×・・・
などが間違いですね。
No.35300 - 2016/01/24(Sun) 22:44:01
★ フィボナッチ数列 / ｔｙ
a(n)a(n+2)-a(n+1)^2=(-1)^(n+1)(n＝1,2､･･･）a1=a2=1
においてa(n+2)=a(n+1)+a(n)（ｎ＝1,2,･･･）となることをしめせ

解答ではｎ＝１，２で成り立つ事を確認してn≦ｋで成り立つ事を仮定してｎ＝ｋ＋１でも成り立つことを示す方針でやっているのですが、別解として、自分が作った解答は正解でしょうか？添削お願いします

a(n+2)=a(n+1)+a(n)・・?@
が成り立つことを示す

（?T）ｎ＝１のとき
a(n)a(n+2)-a(n+1)^2=(-1)^(n+1)・・?A
でｎ＝１とするとa1a3-a2^2=1よりa3=2
よってa3-(a2+a1)=2-(1+1)=0となるので
ｎ＝１で?@は成立
（?U）ｎ＝ｋ（ｋは一以上の整数）のとき
?@が成り立つと仮定すると
ｎ＝ｋ＋１のとき
a(k+3)-(a(k+2)+a(k+1))
={(-1)^k+a(k+2)^2-a(k+1)a(k+2)-a(k+1)^2}/a(k+1)(ただし?Aでn=k+1として代入）
＝{(-1)^k＋a(k+2)(a(k+2)-a(k+1))-a(k+1)^2}/a(k+1)
={(-1)^k+a(k+2)a(k)-a(k+1)^2}/a(k+1)（ただし仮定より）
={(-1)^k+(-1)^(k+1)}/a(k+1)(ただし?Aでn=kとして代入）
＝０
よってｎ＝ｋ＋１でも?@は成り立つので
（?T）、（?U）より全ての自然数ｎについて?@は成り立つ（終）
No.35294 - 2016/01/24(Sun) 18:44:27
☆ Re: フィボナッチ数列 / IT
途中で分母になっている　a(k+1)が０でないことを示す必要があると思います。
No.35295 - 2016/01/24(Sun) 19:07:42
☆ Re: フィボナッチ数列 / ｔｙ
回答ありがとうございます

ｎ＝ｋ（ｋは一以上の整数）のとき
a(ｋ+2)=a(ｋ+1)+a(ｋ)・・?@が成り立つと仮定する
?@かつa1=a2=1＞０より帰納的にa(k）>0よってa(k+1)>0である

これで問題なく正解ですか？
No.35301 - 2016/01/25(Mon) 00:50:50
☆ Re: フィボナッチ数列 / IT
証明しようとしていることを使っており、ダメなような気がします。

これから出かけるので、詳しい説明が出来ません。
他の回答者のフォロー歓迎します。
No.35302 - 2016/01/25(Mon) 07:26:19
☆ Re: フィボナッチ数列 / 水面に映る月
横から失礼します．
>>tyさん
考えのツメが足りない気がします．
数学的帰納法で示す命題自体に各項が正であるということも含ませる，ということであれば，証明として成立すると思いますので(但し，少し工夫を要するようです)，差し支えなければ，今一度，改訂版を書いてみてください．
No.35303 - 2016/01/25(Mon) 08:41:43
☆ Re: フィボナッチ数列 / ｔｙ
a(n+2)=a(n+1)+a(n)・・?@
が成り立つことを示す

（?T）ｎ＝１のとき
a(n)a(n+2)-a(n+1)^2=(-1)^(n+1)・・?A
でｎ＝１とするとa1a3-a2^2=1よりa3=2
よってa3-(a2+a1)=2-(1+1)=0となるので
ｎ＝１で?@は成立
（?U）ｎ＝ｋ（ｋは一以上の整数）のとき
?@が成り立つと仮定するとa1=a2=1＞０であるから帰納的にa(k）>0
よってa(k+1)>0である・・?B

ｎ＝ｋ＋１のとき
a(k+3)-(a(k+2)+a(k+1))・・?Cとおく

?Bよりa(k+1)≠０であるから
?C＝{(-1)^k+a(k+2)^2-a(k+1)a(k+2)-a(k+1)^2}/a(k+1)(ただし?Aでn=k+1として代入）
＝{(-1)^k＋a(k+2)(a(k+2)-a(k+1))-a(k+1)^2}/a(k+1)
={(-1)^k+a(k+2)a(k)-a(k+1)^2}/a(k+1)（ただし仮定より）
={(-1)^k+(-1)^(k+1)}/a(k+1)(ただし?Aでn=kとして代入）
＝０
よってｎ＝ｋ＋１でも?@は成り立つので
（?T）、（?U）より全ての自然数ｎについて?@は成り立つ（終）
No.35305 - 2016/01/25(Mon) 15:18:49
☆ Re: フィボナッチ数列 / 水面に映る月
改訂版，拝見しましたが，これではダメです．私が言っているのは，部分的に差し込めばよい，ということではありません．
この改訂版では，ITさんの仰るとおり，今から証明しないといけないことを使ってしまっています．

(基本的な)数学的帰納法の証明の流れをキチンと理解されていますか(「分かっているよ」と思わずに，今一度，自分の理解を見つめなおしてください)．次に示すものは，ほかの質問に答えた時と同じもので恐縮ですが，
――――――――
[i]P(1)が真である．
[ii]任意の自然数kに対して命題「P(k)が真である⇒P(k+1)が真である」が真である．

の2つを示し，これを以て任意の自然数nに対して命題P(n)が真である，と結論付けるのが，数学的帰納法の基本的な形です．
――――――――
どうですか? 御自分の「証明」でどこがいけないか，わかりましたか?数学的帰納法であっても，正しいもの，正しいと仮定したものしか使ってはいけません．数学的「帰納」法だからいい加減なことが許されるわけではありません．
具体的には，tyさんの「証明」における，次の部分です．

>?@が成り立つと仮定するとa1=a2=1＞０であるから帰納的にa(k）>0

(以下，「丸の中に数字」は機種依存なので，(1)などとします．)
「(1)が成り立つと仮定すると」というのは，nがいくつのときの(1)の成立を仮定しているのでしょうか?よく考えてください．n=kの時の成立しか仮定していませんよね？

# 私がNo.35303 のレスで「但し，少し工夫を要するようです」と書いたのは，「普通の」数学的帰納法に
# 還元することはできるが，「不細工な」証明になってしまう，ということです．なので，どちらにしても，
# 模範解答の方法のほうが良いとは思います．ですが，間違っているものを間違っていると判ることは
# 極めて重要なことですから，ご自身の「証明」のどこがいけないか，きちんと理解してください．
No.35308 - 2016/01/25(Mon) 16:32:29
☆ Re: フィボナッチ数列 / ｔｙ
ありがとうございます。確かにその通りでした。n=kの時の成立しか仮定していませんね。「不細工な」証明だとどうなるのでしょうか？

よろしくおねがいします
No.35309 - 2016/01/25(Mon) 18:06:55
☆ Re: フィボナッチ数列 / 水面に映る月
ご理解頂けたようで，幸いです．

>「不細工な」証明だとどうなるのでしょうか？
任意の自然数nに対して，次の命題P(n)が真であることを数学的帰納法で示す，と考えるのです．

命題P(n):
自然数nに対して，a[n+2]=a[n+1]+a[n]かつa[n]>0かつa[n+1]>0

こうすると，まず，
[I]P(1)は真である
これは問題なく言えますね．さらに[II]としては次を示すことになりますね．
[II]P(k)が真である⇒P(k+1)が真である
ここで，P(k)，P(k+1)は，それぞれ次のような命題となります．
P(k)：a[k+2]=a[k+1]+a[k]かつa[k]>0かつa[k+1]>0
P(k+1)：a[k+3]=a[k+2]+a[k+1]かつa[k+1]>0かつa[k+2]>0
ですから，[II]も言えますよね．

まあでも，こんなことしなくても…，ってカンジになるわけです(証明としては全く問題のない証明ですが)．それにこれは，直前の2つのnでの成立を仮定する「特殊な」数学的帰納法の考え方を借りていますからね．

# いろいろな数学的帰納法のバリエーションについてまとめてある記事を見つけたので，
# 以下にURLを貼っておきます．これらは知っておくと便利だとは思いますが，
# 単に暗記するのではなくて，「ドミノ倒し」のイメージは常に持ったうえで使ってください．
# そうしないと，オカシイことをやり始めたりしかねないので．

参考URL: http://mathtrain.jp/kinouhou
No.35310 - 2016/01/25(Mon) 18:55:51
☆ Re: フィボナッチ数列 / 水面に映る月
一点補足．
私が上で紹介したサイトの最後に次のような記述がありますが，これはジョークですから，真に受けないでください(笑)．

「数学的帰納法を使えば全ての人がハゲであることを証明できます」

# もし気になるなら，「数学的帰納法 ハゲ」あたりで検索してみてください．
No.35314 - 2016/01/25(Mon) 19:22:44
★ 同値関係 / mako
指針に書かれている性質の１段目と２段目についてです（２段目と３段目でも同じことなのですが）。

→は代入すれば、確かにそうなるので理解できます。

←は、理解しようと考えるときに「aX+bY+c=0でXとYをpとqに変えるとそうなるなあ」と思ったのですが、結局これって、「→」のことですよね…

どう考えると「←」をすんなり理解できますか？
No.35291 - 2016/01/24(Sun) 18:17:13
☆ 単に「同値」「必要十分」と言ったほうが良い / 水面に映る月
直線aX+bY+c=0とは，方程式aX+bY+c=0を満たす点(X,Y)の集合(つまり「集まり」)ですから，これは，証明云々という話ではないですね．
No.35292 - 2016/01/24(Sun) 18:26:59
☆ Re: 同値関係 / mako
ありがとうございました。
No.35296 - 2016/01/24(Sun) 19:13:58
★ １次方程式　中１　文章問題 / れいな
規則性の問題です。意味が分かりません・・。教えてください
No.35289 - 2016/01/24(Sun) 17:53:53
☆ Re: １次方程式　中１　文章問題 / X
ヒントだけ。
階段のような形に惑わされますが、これは
{(下側の横の長さ)+(右側の縦の長さ)}×2
の値に等しくなります。
例えば3番目の図形だと
(下側の横の長さ)=5[cm]
(右側の縦の長さ)=3[cm]
ですので、まわりの長さは
(5[cm]+3[cm])×2=16[cm]
となります。
さて、n番目の図形の
下側の横の長さ
右側の縦の長さ
をそれぞれnの式で表すと…
No.35297 - 2016/01/24(Sun) 20:32:08
★ 記述答案 / mako
基本例題７５のような問題単問なら話は別ですが、大きな大問の中で、道具として最初に求めておかないといけない場合、「検討」にある公式を使って、何の説明もなく
「直線l(エル)は3(x+3)-4(y-2)=0」と記述してもいいですか？
No.35287 - 2016/01/24(Sun) 17:28:52
☆ Re: 記述答案 / IT
いきなりでもいい気もしますし、問題にもよると思いますが、

直線Lは、3x-4y-6=0と平行で、(-3,2)を通るので
Lの方程式は　3(x+3)-4(y-2)=0

ぐらいは書いておいた方が良いかも知れませんね。
No.35288 - 2016/01/24(Sun) 17:50:17
☆ Re: 記述答案 / mako
早くも、お返事ありがとうございましす。

了解しました。
No.35290 - 2016/01/24(Sun) 18:09:28
★ 行列 / Mic
行列の問題です。
答えはXの任意の対角行列らしいのですが導き方が分かりません
よろしくおねがいします
No.35285 - 2016/01/24(Sun) 16:26:38
☆ Re: 行列 / IT
AXとXAを定義にしたがって計算して比較するだけです。

Xのi行j列の成分をx[i,j]として

AXのi行j列の成分、XAのi行j列の成分をa[i],a[j],x[i,j]の式で表すとどうなりますか？


難しかったらｎ=３のときを計算してみてください。
No.35286 - 2016/01/24(Sun) 17:00:03
☆ Re: 行列 / Mic
ありがとうございました。
No.35313 - 2016/01/25(Mon) 19:10:49
★ (No Subject) / い
下線部の計算がわかりません
解説お願いします
No.35280 - 2016/01/24(Sun) 12:43:09
☆ Re: / X
分かりにくければ
x^2=t
と置きましょう。
No.35281 - 2016/01/24(Sun) 13:24:03
★ Cの連続積 / 19^2=361
コンビネーションの連続積は順列になるのですか？


ｎを４以上の奇数とする。正ｎ角形の2つの頂点を無作為に選びそれらを通る直線をｌとする。さらに残りのｎ−２個の頂点から2つの頂点を無作為に選びそれらを通る直線をｍとする。直線ｌ、ｍが平行になる確率を求めよ。

正ｎ角形をPとし、Pの外接円をC,外心をOとする。
Pの2つの頂点を重複を許さず無作為に二回選ぶ方法、つまりｌ、ｍを選ぶ方法はnC2*(n-2)C2通りあり、このうちｌ平行ｍとなるｌ、ｍがan通りあるとする。

an=n*(n-1)/2*[{(n-1)/2}-1]
よって求める確率はan/nC2*(n-2)C2

質問１）この解答で（順列は選ぶ順番は自由に決めてよいらしいのでｌを決めてからｍを決めるとすると）

nC2はｌの選び方、(n-2)C2はｍの選び方

(n-1)/2はｌの選び方、[{(n-1)/2}-1]はｍの選び方

として考えてよいのでしょうか？

質問２）また、順列だとすると順番が関係してくるので
例えば、ｌを上の方に選んで、ｍを下のほうに選んで一通り
ｌを下の方に選んで、ｍを上の方に選ぶ、これもまた一通りですがこれは実際には同じもので重複しちゃってますよね。
これがこの問題を（私の中で）分からなくしています。名でこの解答でよいのか理解できません。　　

教えてください
No.35275 - 2016/01/23(Sat) 23:31:24
☆ Re: Cの連続積 / IT
> 質問１）この解答で（順列は選ぶ順番は自由に決めてよいらしいのでｌを決めてからｍを決めるとすると）
>
> nC2はｌの選び方、(n-2)C2はｍの選び方
>
> (n-1)/2はｌの選び方、[{(n-1)/2}-1]はｍの選び方
「n*(n-1)/2はｌの選び方、」 ですよね。
>
> として考えてよいのでしょうか？
そうですね

>
> 質問２）また、順列だとすると順番が関係してくるので
> 例えば、ｌを上の方に選んで、ｍを下のほうに選んで一通り
> ｌを下の方に選んで、ｍを上の方に選ぶ、これもまた一通りですがこれは実際には同じもので重複しちゃってますよね。
選ぶ順番が違いますから、同じもの（事象)ではありません。
（確率計算の分子側でも分母側でも異なる事象としてカウントしています。）

ｌｍの順に選ぶのもｍｌの順に選ぶのも同じ事象として数えるなら
分子側も1/2、分母側も1/2 しますから計算結果は同じになります。
No.35276 - 2016/01/24(Sun) 01:26:19
☆ Re: Cの連続積 / 19^2=361
回答ありがとうございます。ということはやっぱりCの連続積は順列になるということなのでしょうか？

例えば赤玉3個、青球４個が入った袋から赤玉１個青球2個を選ぶ確率をもとめるのに3C1*4C2/7C3
などとするの場合3C1*4C2を日本語に翻訳すると「‘まず’赤玉を選んで‘次に’青だまを選ぶ（赤玉の次に青玉を選ぶという順番で3個選ぶ組み合わせ」→しかし実際には赤玉から選ぼうが青玉から選ぼうが答えに影響しないからどちらから選んでもよい。

という考えでよいのでしょうか
No.35277 - 2016/01/24(Sun) 10:14:32
☆ Re: Cの連続積 / IT
> 回答ありがとうございます。ということはやっぱりCの連続積は順列になるということなのでしょうか？
「コンビネーション(C)の連続積は順列になる」このような固定観念は必要・有効ではなく有害だと思います。ケースバイケースで考えるべきだと思います。


＞＞　ヨッシーさん他　回答者の皆様へ

＃　質問者19^2=361 さんを　うまく納得させる自信がありません。
どなたか、うまく説明できる方があれば、回答をお願いします。　私の説明に間違いがあればご指摘もお願いします。
No.35278 - 2016/01/24(Sun) 11:11:54
☆ Re: Cの連続積 / 水面に映る月
私の説明もわかりやすいかどうかわかりませんので，このほうがわかりやすい，などというものがありましたら，フォロー大歓迎です．

さて．
いろいろなことが同時に問題になっているように思いますが，解決法としては，「確率」の定義に立ち返ることであるように思います．確率とは(高校数学では)，以下のように定義されているかと思います(http://manapedia.jp/text/722引用)．

(引用開始)

すべての事象Ｕの要素の個数をｎ（Ｕ）、Ｕの中にある特定の事象Ａの要素の個数をｎ（Ａ）とします。
Ｕのどの事象も同様に確からしいとき、事象Ａの起こる確率Ｐ（Ａ）は
Ｐ（Ａ）＝ｎ（Ａ）/ｎ（Ｕ）
で表すことができます。

(引用終わり)

話を簡単にするために，質問者さんの「赤玉3個、青球４個から3つの玉を取り出すとき，赤玉１個，青球2個を選ぶ確率」で説明すると，この確率を計算するときに，まず問題になるのは，何を分母に置くのか，ということです．上の定義によれば，「Ｕのどの事象も同様に確からしい」場合でなければ，確率は計算できないことになっています．本来であれば，純粋に数学の立場から言うと，確率を上のように定義している以上，問題設定の段階で何が「同様に確からしい」のか，明確に書く必要がありますが，それが書かれていない場合は，我々の「日常感覚」で「同様に確からしい」かどうかを決めることになります．

今問題となっているのは，選ぶ順番を考慮するかどうか，ということであると思いますが(質問者さんは同じ色の玉であっても区別するべきであるということには納得されているのですよね？)，同じ色の玉を番号を振って区別するとして，玉を一個ずつ取り出すと考えると，例えば，

(1)赤1→青3→赤3
(2)赤1→赤3→青3
(3)青3→赤1→赤3
(4)青3→赤3→赤1
(5)赤3→赤1→青3
(6)赤3→青3→赤1

これらは取り出した後は同じ結果になりますが，これらを6個として数えるわけです．この場合，(上に挙げた6通りに限らず)どの場合が「起こりやすい」どの場合が「起こりにくい」と考える理由が特段ありませんから，それぞれの場合は「同様に確からしい」と考えてよいでしょう．

次に，上の6つを区別しないで，結果だけを見る場合(ただし，同じ色の玉は区別する)であっても，どの場合が「起こりにくい」と考える理由が特段ありませんから，それぞれの場合は「同様に確からしい」と考えてよいでしょう．この場合は，玉を選ぶ現場には立ち会わず，結果だけ(但し，くどいようではあるが，同じ色の玉であっても区別はしている)を見ているという立場ですから，(確率計算の分子で，)3C1*4C2の順で計算するのは，あくまでも計算上の，というか，赤1個，青2個が選ばれている場合の数を考える上での便宜であって，逆順に，すなわち4C2*3C1と計算してもかまいません(しかし，この掛ける順番が玉を選ぶ順番に対応しているわけではない)．けれども，(確率計算の分子で，)4C2*3C1+3C1*4C2とするのは，オカシイです．じゃあ，何を全事象としているのか？という話になります．

では，先に説明した玉を取り出す順番を考慮する場合であれば，分子は4C2*3C1+3C1*4C2となるのかというと，これも違いますよね．(←納得できますか？)

要するに，
1．何を全事象と考えているのか(これはとりもなおさず，何を根元事象と考えているのか，という問である)
2．根元事象は「同様に確からしく」なければならない
3．任意の事象は，根元事象の和事象として表される
この3つを強く意識する必要があるということです．
No.35279 - 2016/01/24(Sun) 12:07:10
☆ Re: Cの連続積 / 19^2=361
お二方ありがとうございます。

>では，先に説明した玉を取り出す順番を考慮する場合であれば，分子は4C2*3C1+3C1*4C2となるのかというと，これも違いますよね．(←納得できますか？)

納得できます。一個ずつ取り出す順番を考えるのなら赤青青青赤赤赤などの順番で考える制約が出てくるので4C2などが出てくる余地がありませんからね


どこでCが連続積と習ったのか、掘り起こして見つけました。
以下抜粋

ポイント（３）[nCr単独では組合せ、でも複数の積は・・・]
いくつかのnCrの積[連続操作]は連続操作の順番が影響する。つまり「選ぶ順番により生じた順列」になる。
例えば「赤青黄緑紫黒」の6本の色鉛筆を2本ずつ3組に分ける方法を計算すると6C2*4C2*2C2/３！のように３！で割るが、これをすることによって、連続操作によって生じた「選ぶ順番により生じた順列を」組合せに戻している。すなわち余計に生じた枝分かれを1本に戻している

ポイント４[順列を数える]
順列をどこから数えるのかは自由であり、並べる時間の順序にとらわれる必要はない。

抜粋終わり

35276の記事で最後に「ｌｍの順に選ぶのもｍｌの順に選ぶのも同じ事象として数えるなら」ということはｌとｍの順番に順列が発生している事になりますし、（ポイント３に合致）

「ｌｍの順に選ぶのもｍｌの順に選ぶのも同じ事象として数えるなら
分子側も1/2、分母側も1/2 しますから計算結果は同じになります。」も２！で割るということでポイント３に合致しますよね

ポイント３，４が他の問題の答えを出す上で差支えがあるなら簡単な例題でもいいので挙げてほしいです

よろしくおねがいします
No.35283 - 2016/01/24(Sun) 15:04:14
☆ Re: Cの連続積 / 水面に映る月
失礼ですが，これは，ポイント3，4に当てはまる場合は何かの公式や考え方が使えるというような主張なのでしょうか?(つまり，ポイント3，4に合致するから何なのか？ということです．) それがわからないと例を挙げることもできません．(もし何かのサイトの抜粋なのであれば，URLを示していただくと有り難いです．)
確率の問題として考えるならば，既に書きましたが，次の3つに尽きると思います．

1．何を全事象と考えているのか(これはとりもなおさず，何を根元事象と考えているのか，という問である)
2．根元事象は「同様に確からしく」なければならない
3．任意の事象は，根元事象の和事象として表される

また，追加ですが，19^2=361さんは

>3C1*4C2を日本語に翻訳すると「‘まず’赤玉を選んで‘次に’青だまを選ぶ（赤玉の次に
>青玉を選ぶという順番で3個選ぶ組み合わせ」

と書かれていますが，ここでの「選ぶ」という言葉は，実際に赤玉3個，青玉4個から取り出すという意味での，(実際に試行として行った)「選ぶ」こととは全く別のものであることは理解なさっているでしょうか?

<補足(と言っても大事な補足)>
[補足1]
ITさんが仰るように，私も，「コンビネーション(C)の連続積は順列になる」と言った怪しげな「公式」めいたものは有害であると思いますし，有用であるとも思えません(納得しないままで終わるのはよくないと思いますが)．

[補足2]
上の玉を取り出す例でいうと，玉を取り出す順序を考慮している場合は全事象を玉の取り出し方(つまり手順)全体と考えており，玉を取り出す順番を考慮しない場合は取り出した結果全体を全事象と考えていて，いずれの場合であっても根元事象は「同様に確からしい」と考えられるからいずれの考え方もOKだ，というだけです．
No.35284 - 2016/01/24(Sun) 15:57:55
★ 二重積分の計算について / xyz
∬D(√(x^2-y^2))dxdy D={(x,y)|0≦y≦x≦1}の計算方法がわからないので教えてください。答えはπ/12です。
No.35271 - 2016/01/23(Sat) 17:56:24
☆ Re: 二重積分の計算について / X
(与式)=∫[x:0→1]∫[y:0→x](√(x^2-y^2))dydx
ここで
∫[y:0→x](√(x^2-y^2))dy=[y√(x^2-y^2)][y:0→x]+∫[y:0→x]{(y^2)/√(x^2-y^2)}dy
=-∫[y:0→x]{√(x^2-y^2)}dy+(x^2)∫[y:0→x]dy/√(x^2-y^2)
∴∫[y:0→x](√(x^2-y^2))dy=(1/2)(x^2)∫[y:0→x]dy/√(x^2-y^2)
=[(1/2)(x^2)arcsin(y/x)][y:0→x]
=(π/4)x^2
∴(与式)=∫[x:0→1]{(π/4)x^2}dx=π/12

注)
計算途中で広義積分を使っていますが、厳密な計算式を
端折っています。
No.35273 - 2016/01/23(Sat) 19:17:35
☆ Re: 二重積分の計算について / xyz
ありがとうございました。
No.35293 - 2016/01/24(Sun) 18:27:29
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