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(No Subject) / kkk
以下の問題の(2)が分かりません。
図などもあると嬉しいのですが、わかりますか?

No.77123 - 2021/07/31(Sat) 17:26:35

Re: / X
まず円の位置関係ですが
円C[2]は
円x^2+(y-1)^2=1
円C[2]
x軸
に囲まれた領域に存在します。
同様に円C[n]は
円x^2+(y-1)^2=1
円C[n-1]
x軸
に存在します。
もう少し具体的に文章で書けば、
円C[1]の左下でかつx軸の上側にC[2]
円C[2]の左下でかつx軸の上側にC[3]

円C[n-1]の左下でかつx軸の上側にC[n]
が存在することになります。

ここで(1)の結果から、C[n]の中心をA[n]とすると
A[n](a[n],(1/4)a[n]^2)
∴C[n]の半径は(1/4)a[n]^2
このことから線分A[n]A[n+1]の長さについて
(a[n]-a[n+1])^2+{(1/4)a[n]^2-(1/4)a[n+1]^2}^2={(1/4)a[n]^2+(1/4)a[n+1]^2}^2
これより
(a[n]-a[n+1])^2=(1/4){a[n]a[n+1]}^2
(1/a[n]-1/a[n+1])^2=1/4
条件からa[n+1]<a[n]ゆえ
1/a[n]-1/a[n+1]=-1/2
∴a[n+1]=2a[n]/(a[n]+2)

No.77125 - 2021/07/31(Sat) 20:00:21

Re: / ヨッシー
X さん
(1) の結果は
 y=(1/4)x^2
では?

私は、1/a[n] のように分母に持ってこずに、そのまま計算しました。

x^2+(y−1)^2=1 をC0 と呼ぶことにします。
また、Cn の中心のy座標を b[n] とします。

C0 と Cn の関係において、
 a[n]^2+(b[n]−1)^2=(b[n]+1)^2
より、
 a[n]^2=4b[n] ・・・(i)
これは、任意の自然数nについて成り立ちます。よって、
 a[n+1]^2=4b[n+1] ・・・(ii)
も成り立ちます。 ※ここまでは(1) で求めたものです

Cn と Cn+1 の関係において、
 (a[n]−a[n+1])^2+(b[n]−b[n+1])^2=(b[n]+b[n+1])^2
 (a[n]−a[n+1])^2=4b[n]b[n+1]
4倍して、
 4(a[n]−a[n+1])^2=4b[n]・4b[n+1]
(i)(ii)を代入して
 4(a[n]−a[n+1])^2=a[n]^2・a[n+1]^2
図より、a[n]>a[n+1] 、および、a[n]>0,a[n+1]>0より
 2(a[n]−a[n+1])=a[n]a[n+1]
a[n+1] について解くと
 a[n+1]=2a[n]/(a[n]+2) ・・・答え

No.77126 - 2021/07/31(Sat) 20:33:27

Re: / X
>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>>kkkさんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんの仰る通りです。
No.77125を直接修正しましたので再度ご覧下さい。

No.77127 - 2021/07/31(Sat) 20:49:03

Re: / kkk
ありがとうございます。
また再度解き直しをしてみて
分からない所が有れば質問しますね。

No.77171 - 2021/08/01(Sun) 18:30:42
積分 / 火
I [0→1] √{x/(1+x)} dx を丸ごと置換するとしたら、どう解きますか?
No.77111 - 2021/07/31(Sat) 12:05:39

Re: 積分 / 火
返信よろしくお願いします。
No.77145 - 2021/08/01(Sun) 09:11:30

Re: 積分 / 火
あと、追加で、I [0→π/6] 1/(3sin^2 x +cos^2 x) dx を半角タンジェントの置換でするなら、どう解きますか?
No.77146 - 2021/08/01(Sun) 10:23:54
9点配置 / 大西
直径5の円の内部および周上に異なる9点を配置した時に
その中のどの2点間の距離をとっても2以上にするような
配置が存在することを示したいのですが、円をショートケーキの
ように8等分したりして考えても鳩ノ巣の原理を使おうとしても
うまくいかないです。教えてください、

No.77100 - 2021/07/31(Sat) 02:09:25

Re: 9点配置 / らすかる
「存在しないこと」を示すのではなく、
「存在すること」を示すのですか?
存在することを示すとしたら鳩ノ巣原理とか使えない気がしますが。

No.77108 - 2021/07/31(Sat) 11:07:43

Re: 9点配置 / 大西
鳩ノ巣の原理は使えないですね。
単純に一例を示さないといけないですね。

No.77109 - 2021/07/31(Sat) 11:22:10

Re: 9点配置 / IT
詳しく確認してないですが、らすかるさんが不可能証明しておられるようです。
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun59.htm

No.77113 - 2021/07/31(Sat) 12:34:46

Re: 9点配置 / 大西
ご回答ありがとうございます。
すべてが納得できました。
さすがはらすかるさんですね。
ITさんの情報量も素晴らしいです。
ありがとうございました。

No.77115 - 2021/07/31(Sat) 13:06:17

Re: 9点配置 / らすかる
自分で不可能証明していたことはすっかり忘れてました。
2004年なので17年も前ですね。

No.77176 - 2021/08/01(Sun) 20:05:54
(No Subject) / 確率の問題です
一つのサイコロを1の目が出るまで投げる。初めて1の目が出た回数をXとする時、P(X≧5)を求めよ。という問題です。

(5/6)^4×(1/6)で良いのでしょうか。

どなたかお願いいたします

No.77099 - 2021/07/31(Sat) 00:48:00

Re: / ast
確認ですけど, 問題は「P(X5)を求めよ」で合っていて「P(X=5)を求めよ」ではないのですよね?
No.77101 - 2021/07/31(Sat) 02:32:52

Re: / 確率の問題です
P(X≥5)を求めよです
No.77102 - 2021/07/31(Sat) 03:02:58

Re: / ast
もし P(X=5) が訊かれていたのであれば =(5/6)^4×(1/6) でよかったのですが,
> P(X≥5)を求めよです
ということなので, 不正解ですね (X=6,7,… のときの確率が足りてません ).

# "1-P(1≤X≤4)" を考えるのがたぶん出題意図だと思うが
# "納k=5,6,…] P(X=k)" を直接計算してもそう変わらないと思う.
## もちろん 納k=1,2,…]P(X=k) = 1 は検算のためにも確認しておくべき.

No.77103 - 2021/07/31(Sat) 03:42:22

Re: / 確率の問題です
ありがとうございます
なかなか理解できないもので、
X=6〜はどう求めたら良いのでしょうか

No.77106 - 2021/07/31(Sat) 07:32:18

Re: / らすかる
「初めて1の目が出た回数」は意味がよくわかりませんが、
(初めて出るのは1回に決まっていますので)
もし「初めて1が出るのが5回目以降」ならば
最初の4回で1が出ない確率ですから
(5/6)^4です。

No.77112 - 2021/07/31(Sat) 12:14:25

Re: / 確率の問題です
一つのサイコロを1の目が出るまで投げる。
初めて1の目が出た時をXとする時、P(X≧5)を求めよ


つまりこの問題は、

1- (5/6)^4 ということで良かったですか?

No.77114 - 2021/07/31(Sat) 12:48:45

Re: / ast
1-(5/6)^4 は P(1≤X≤4) だと思いますが.
No.77116 - 2021/07/31(Sat) 13:33:41

Re: / 確率の問題です
> 1-(5/6)^4 は P(1≤X≤4) だと思いますが.


5回以内に1が出る確率

5C1×(1/6)×(5/6)^4

でしょうか、何度もすみません

No.77124 - 2021/07/31(Sat) 19:05:41

Re: / らすかる
5回とも1が出ない確率が(5/6)^5ですから、
5回以内に1が出る確率は1-(5/6)^5です。

No.77129 - 2021/07/31(Sat) 22:09:08

Re: / ast
5C1×(1/6)×(5/6)^4 は「5回投げてそのうちのちょうど1回だけ1が出る確率」とかなら当てはまるでしょうけど, もとの問題とはだいぶかけ離れますね.
# 「5回以内に1が出る確率」ももうもとの問題とは直接関係ない事象の確率だとおもいますが,
# (まあもとの問題はらすかるさんが No.77112 で端的な解答を提示されて終わってるので)
# もしかしてもう, 関連する (設定は同じ?) 別の問題に話は移ったのかな?

No.77132 - 2021/07/31(Sat) 22:44:54
(No Subject) / 数学苦手
この問題は全体を1として、やると解けないのでしょうか。
No.77094 - 2021/07/30(Fri) 23:18:42

Re: / 数学苦手
なんかAの方は24で通分できましたがBの方は無理でした
No.77095 - 2021/07/30(Fri) 23:19:46

Re: / 数学苦手
あ、一応、280ではBも通分できますね、、でも最後24分の5と280分の103とか…訳の分からない数字になりました。やっぱり全体を1としない方が良い問題でしたね
No.77096 - 2021/07/31(Sat) 00:12:13

Re: / 数学苦手
1としなくて良いような問題の判別方法を教えて欲しいです、
No.77097 - 2021/07/31(Sat) 00:23:17

Re: / 数学苦手
全体の仕事は同じなら比は逆比になるので、この問題も見た感じAとBのやる全体の仕事量は一定ですから、逆比を使うのは分かりました
No.77098 - 2021/07/31(Sat) 00:33:37

Re: / ヨッシー
立式がメタメタです。

Aとは何で、それを12で割った(1/12)A は何かを、
日本語で説明してください。

これに関する回答以外の独り言はスルーします。

No.77107 - 2021/07/31(Sat) 11:03:34

Re: / 数学苦手
Aさんが12日で1(全体の仕事量)を終えるわけではないので、Bさんが10日働いた量と合わせて1なので、12+10分の1といったように式を立てるべきだったのでしょうか。
No.77135 - 2021/07/31(Sat) 22:51:59

Re: / 数学苦手
あ、それだと22分の1+15分の1で最小公倍数が見つからないですし、むりですね、、
No.77137 - 2021/07/31(Sat) 23:27:57

Re: / ヨッシー
> この問題は全体を1として、やると解けないのでしょうか。
これに答えてませんでしたね。
答えは「できます」です。

No.77138 - 2021/07/31(Sat) 23:40:09

Re: / 数学苦手
仕事の速さの平均はAとB共に4日ですね。
No.77139 - 2021/08/01(Sun) 01:17:42

Re: / 数学苦手
Aをx、Bをyの仕事量として…
12x+10y=1

AとBが一緒に8日、Bだけその後7日で、、
8(x+y)+7y=1

この式を解く感じですか?

No.77140 - 2021/08/01(Sun) 01:30:06

Re: / ヨッシー
> Aをx、Bをyの仕事量として…
> 12x+10y=1
>
> AとBが一緒に8日、Bだけその後7日で、、
> 8(x+y)+7y=1
>

日本語部分はともかく、式はこの一連の記事で唯一正しいです。
では、解いてください。

正しい日本語は、
 xをA、yをBの1日の仕事量として
です。

No.77141 - 2021/08/01(Sun) 04:25:15

Re: / 数学苦手
あ、そうですね。日本語間違えました。
とりあえず汚いですが解けました。

Aの12日間とBの7日間の差から求められると聞きましたがそっちのほうが早くできるのでしょうか…
何故、差から解けるのか分かりませんが…

No.77163 - 2021/08/01(Sun) 17:10:08

Re: / 数学苦手
理屈を考えても仕方ないですよね。一人で働いてる時間の仕事量同士を引くから、そうなる…みたいな
No.77164 - 2021/08/01(Sun) 17:11:46
大学数学 概略図 / チャン
(1) s(t) = e^(-α|t|) (α>0)
(2)z(t)=0(t<-d, d<t)
z(t)=t+d(-d≦t<0)
z(t)=-t+d(0<t≦d)
この(1),(2)の概略図はどんなものになりますか?
図を書いて教えていただきたいです.

No.77090 - 2021/07/30(Fri) 22:33:00

Re: 大学数学 概略図 / X
(1)
(但し、α=2の場合です。)

No.77118 - 2021/07/31(Sat) 16:55:51

Re: 大学数学 概略図 / X
(2)
(但し、d=2の場合です。)

No.77119 - 2021/07/31(Sat) 16:57:06

Re: 大学数学 概略図 / X
(1)のα、(2)のdの共に数値を設定していますが
その他の値の場合についても
α>0
d>0
の条件を満たしていれば、グラフの形状に
変わりはありません。

No.77120 - 2021/07/31(Sat) 16:58:47

Re: 大学数学 概略図 / チャン
丁寧な説明ありがとうございます.理解できました.
No.77122 - 2021/07/31(Sat) 17:23:05
確率問題 / ペシミズム
手のつけ所がわかりません。お願いします。
No.77087 - 2021/07/30(Fri) 20:24:48

Re: 確率問題 / IT
Aが最後まで勝ち残る確率と
Aがn回対戦したとき、どこかでBと対戦する確率を考えれば良いのでは
((2^n)-1個のチームからn個の対戦相手を選ぶとき、特定のBが含まれる確率)

No.77088 - 2021/07/30(Fri) 20:45:25

Re: 確率問題 / ペシミズム
なるほど、トーナメント方式と勘違いしてました。ありがとうございます!
No.77091 - 2021/07/30(Fri) 22:43:45

Re: 確率問題 / ペシミズム
あ、でもこの場合BがAと当たるまで勝ち残っていることは考慮できているんでしょうか
No.77092 - 2021/07/30(Fri) 22:55:23

Re: 確率問題 / IT
>なるほど、トーナメント方式と勘違いしてました。ありがとうございます!
トーナメント方式だと思います。
優勝する確率はA、B、C ....すべてのチーム平等です。

1回戦でABがあたりAが勝ちAが優勝する確率
2回戦でABがあたりAが勝ちAが優勝する確率
・・・
n回戦でABがあたりAが勝ちAが優勝する確率

を計算して合計する方法もありますが、先に示した方法が計算が簡単だと思います。
n=2,3 ぐらいで 両方の方法で計算してみてください。

>あ、でもこの場合BがAと当たるまで勝ち残っていることは考慮できているんでしょうか

どこかでAと対戦する相手になる確率は、A以外の全員(B,C,D,...) 互いに平等です。

No.77093 - 2021/07/30(Fri) 23:07:51
数学 高校入試難問題集  / あ
数学の円周角とその応用

(1)円Oの周上に3点A、B、Cをとる。
∠OAC=35°、∠OBC=75°のとき、∠AOBの大きさxを
求めよ。
(1)の解説∠c=1/2∠AOB=2/x
三角形の内角の和からx/2+75=35+x
答えは80°

(2)円周上に4点A,B,C,Dがあり、直線ABと直線CDとの交点Eとし、
ACとBDとの交点Fとする∠AED=30°、∠BDC=50°であるとき、
∠AFBの大きさxを求めよ

(2)の解説
x=180°ー∠ABDー∠BAD=110°
答えは110°

(1)と(2)の答えになるにはどのような計算方法をしたら、このような
答えになるのかを教えてください。解説を見る限り大まかな
答えしか掲載しておらず詳しいことはそこまでは書いていません
だから余計に難しくて大変困っています。

参考文献、2017年度、富士教育、5教科モギテスト

No.77080 - 2021/07/30(Fri) 18:07:25

Re: 数学 高校入試難問題集  / ヨッシー
まず(1)ですが、下の図で正しければ、80°ではないですね。
ご確認ください。

No.77081 - 2021/07/30(Fri) 18:55:51

Re: 数学 高校入試難問題集  / ヨッシー
(2) も110°ではないですね。

No.77082 - 2021/07/30(Fri) 19:07:22

Re: 数学 高校入試難問題集  / ヨッシー

(2) はこっちかぁ。

 ∠BAD=∠BCD=50°・・・(i)
 ∠BCE=180°−50°=130°
△BCEにおける内角より
 ∠CBE=180°−130°−30°=20° ・・・(ii)
△ABFにおける内角より
 x=180°−50°−20°=110°

No.77083 - 2021/07/30(Fri) 19:19:09

Re: 数学 高校入試難問題集  / ヨッシー

(1) もこうですね。

ACとBOの交点をDとします。
∠ACB(図の○)は∠AOBの半分(円周角)なので、x/2
△ADOにおける●以外の角 35°+x と
△BCDにおける●以外の角 75°+x/2 は等しいので、
 (以下略)

No.77085 - 2021/07/30(Fri) 19:54:37
漸近展開と極限 / い
自分は赤線を引いたところは1になると思い、答えは1/2になると思うのですが解答と違いました。赤線の部分はなぜ0になるのですか?
No.77077 - 2021/07/30(Fri) 15:43:00

Re: 漸近展開と極限 / IT
スモールoの意味を確認してください。
No.77079 - 2021/07/30(Fri) 18:01:41
(No Subject) / 一般中学生
(4),(5),(6)が分からないです。
No.77071 - 2021/07/30(Fri) 13:07:53

Re: / 関数電卓
図(グラフ)をきちんと描いてごらんなさい。
No.77072 - 2021/07/30(Fri) 14:06:44
(No Subject) / kkk
連続ですみません。
実数xに対し、n≦x<n+1を満たす整数nを記号[x]で表す。
aを正の定数とするとき、関数y=x[x](0≦x<3)と曲線y=ax^(2)+(5/2)のグラフが相異なる2つの共有点を持つようなaの値の範囲を求めよ。という問題の解説をお願いします。

アプローチとしてy=x[x]のグラフを書いてみましたが、それ以降が難しいです。よろしくお願いします。

No.77062 - 2021/07/30(Fri) 10:44:12

Re: / らすかる
0≦x<1における共有点はy=0とy=ax^2+5/2の交点
1≦x<2における共有点はy=xとy=ax^2+5/2の交点
2≦x<3における共有点はy=2xとy=ax^2+5/2の交点
このように3つに分けてそれぞれの交点の個数(aに依存)を求め、
共有点の合計が2個になるaの範囲を考えればいいですね。

No.77063 - 2021/07/30(Fri) 10:51:32

Re: / kkk
ありがとうございます。
3つに場合分け?するイメージは持てました。
具体的な計算過程とかわかりますか?

No.77067 - 2021/07/30(Fri) 11:49:44

Re: / らすかる
0≦x<1のとき
a>0なのでy=ax^2+5/2>0となりy=0との共有点は存在しない。
1≦x<2のとき
a>0なのでy=ax^2+5/2≧5/2>2となり1≦x<2においてy=xとの共有点は存在しない。
よって条件を満たすためには2≦x<3の範囲に共有点が2個なければならない。
そのためには
(ax^2+5/2)-(2x)=0の解が2≦x<3の範囲に2個なので
f(x)=ax^2-2x+5/2とおいたとき
(1)判別式が正で
(2)y=f(x)の軸が2<x<3の範囲にあり
(3)f(2)≧0かつf(3)>0
でなければならない。
(1)からD=4-10a>0なのでa<2/5
(2)から2<1/a<3なので1/3<a<1/2
(3)は
f(2)≧0からa≧3/8
f(3)>0からa>7/18
よって全部を合わせて
7/18<a<2/5

No.77078 - 2021/07/30(Fri) 17:19:46

Re: / kkk
ありがとうございます。理解できました。
No.77121 - 2021/07/31(Sat) 17:22:56
(No Subject) / kkk
いつも丁寧な解答ありがとうございます。
以下の(3)について教えてほしいです。
図などもあると嬉しいです。お願いします。

No.77061 - 2021/07/30(Fri) 10:06:29

Re: / ヨッシー
(2) を解いたときに、
 6t^2−4t+1−a=0 ・・・(i)
という、tの2次方程式が出てきたと思います。
 a>1/3 のとき、これは異なる2つの実数解を持ち、
それらを t=α,β とします。
それぞれの時の接線の傾きは 4α, 4β であり、
これらが直行する条件は 16αβ=−1 つまり
 αβ=−1/16
(i) における解と係数の関係より
 αβ=(1−a)/6=−1/16
 1−a=−3/8
 a=11/8 ・・・答え

図はあまり役に立ちませんが、載せておきます。

No.77065 - 2021/07/30(Fri) 11:35:03

Re: / kkk
ありがとうございます。
正確な図とかわかりますか?

No.77066 - 2021/07/30(Fri) 11:42:17

Re: / ヨッシー
座標とかは入っていませんが、上の図は正確ですよ。
No.77069 - 2021/07/30(Fri) 12:36:17

Re: / kkk
ありがとうございます。
No.77117 - 2021/07/31(Sat) 16:34:31
数値解析の問題です / かぶちん
非線形方程式x-e^x=0について、2分法とニュートン・ラプソン法を用いて、近似解を求め、反復回数に関して考察せよ。
また、初期値の違いによる反復回数の違いについても考察せよ。
という課題が出されたのですが難しくて解けません、誰か教えてください。

No.77055 - 2021/07/30(Fri) 00:02:57

Re: 数値解析の問題です / らすかる
x-e^x=0は実数解を持ちませんが、複素数の話ですか?
No.77059 - 2021/07/30(Fri) 07:07:19
(No Subject) / 数学苦手
こちらの問題について質問です。
No.77053 - 2021/07/29(Thu) 23:59:44

Re: / 数学苦手
7:20からX時間後で問題は解けないのでしょうか?
No.77054 - 2021/07/30(Fri) 00:01:37

Re: / ヨッシー
解けます。
模範解答と同じ手順(ほぼ丸写し)で解けますので、
やってみてください。

No.77056 - 2021/07/30(Fri) 05:45:02

Re: / 数学苦手
20x+(x -2分の1)×40=10で間違いました、、
No.77064 - 2021/07/30(Fri) 11:30:43

Re: / ヨッシー
ほぼ丸写しって言っているのに、なぜ 1/4 ではなく 1/2 を引くのですか?
No.77070 - 2021/07/30(Fri) 12:39:15

Re: / 数学苦手
うーん。xと置いてない方の逆側のことを考えたら、そうなのかなと考えてしまいました
なぜ2分の1ではダメですか?

No.77073 - 2021/07/30(Fri) 14:47:00

Re: / 数学苦手
置いてない方のことですね。日本語おかしくなりました。
逆側って要らないです。すみません。

No.77074 - 2021/07/30(Fri) 15:00:22

Re: / 数学苦手
あ、30分-15分=15分差ですものね。だから、4分の1しかあり得ないですね
別個で考えてました。

No.77075 - 2021/07/30(Fri) 15:15:17
助けてください。 / 大学
t を実変数とし, 時間を表すものとする. 動点 r(t) が x-y 平面の原点を中心とする半径
1 の円周上を運動している. 動点 r(t) の運動は次の条件を満たす:
・ r(0) = (1, 0).
・ 動点 r(t) の速さは 1 である.
・ 動点 r(t) は反時計回りに運動する.
下の条件を満たす有理数 a, b の例を挙げなさい.
・ 点 r(1/3)と点 (a, b) の距離が 1/1000より小さい

No.77050 - 2021/07/29(Thu) 22:53:54

Re: 助けてください。 / ヨッシー
r(t)=(cost, sint) と書けるので、
 (cos(1/3), sin(1/3))
が、どのくらい近似できるか、という話かと思います。

No.77058 - 2021/07/30(Fri) 06:24:02

Re: 助けてください。 / 大学
このような場合は何次近似がいいんですか?
No.77068 - 2021/07/30(Fri) 12:13:42

Re: 助けてください。 / ヨッシー
何次なのか、また、どういう近似が良いのかはわかりませんが、
距離の誤差が 1/1000 未満になるまでです。

No.77076 - 2021/07/30(Fri) 15:41:07
大学数学 フーリエ / チャン
(1)(2)(3)を教えていただきたいです。
No.77049 - 2021/07/29(Thu) 22:48:34

Re: 大学数学 フーリエ / X
実数変数の複素関数の積分の計算が分からないと
解釈して回答を。

一般に、区間[a,b]において積分可能な実数変数の実数関数
f(x),g(x)
に対し
h(x)=f(x)+ig(x)
(iは虚数単位)
とすると
∫[a→b]h(x)dx=∫[a→b]f(x)dx+i∫[a→b]g(x)dx
と定義されます。

No.77084 - 2021/07/30(Fri) 19:24:20

Re: 大学数学 フーリエ / チャン
これを参考にもう一度解いてみます。

前に質問したことなのですが、
(4)についてオイラーの公式を適用した際に(2j/ω)になるのがわかりません。計算過程を教えて頂きたいです。
(5)に概略図については(3)の図と形は変わりませんが合っていますか?
について回答をおねがい致します。

No.77089 - 2021/07/30(Fri) 20:53:46

Re: 大学数学 フーリエ / X
元のスレに回答しておきましたのでご覧下さい。
No.77105 - 2021/07/31(Sat) 06:00:49
(No Subject) / kkk
x^(2)-4x+1=0の2つの解をα、βとする。(α>β)
このとき、すべての自然数nに対して[α^(n)]は奇数になる事を示せ。ただし、[α^(n)]はα^(n)以下の最大の整数を表す。

という問題が分かりません。ご教授ください。

No.77045 - 2021/07/29(Thu) 21:57:06

Re: / らすかる
a[n]=α^n+β^nとする。
解と係数の関係からα+β=4, αβ=1なのでa[1]=4でこれは偶数
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=14なのでa[2]=14でこれも偶数
a[n]=α^n+β^n=(α+β){α^(n-1)+β^(n-1)}-αβ{α^(n-2)+β^(n-2)}=4a[n-1]-a[n-2]
から任意のnに対してa[n]=α^n+β^nは偶数
ところで0<β=2-√3<1だから任意のnに対して0<β^n<1
よって[α^n]=α^n+β^n-1=(奇数)

No.77051 - 2021/07/29(Thu) 22:55:34

Re: / IT
(別解)
α,βを求めて計算する。
α^n+β^n=(2+√3)^n+(2-√3)^n
二項展開すると √3の奇数乗は消え、
残るのは(2+√3)^n側と(2-√3)^n側とで等しい整数なので
α^n+β^nは偶数。
後はらすかるさんと同じです。

なお、平方数でない自然数m、有理数a,bについて
a+b√mにたいしてa-b√mをa+b√mの共役元と呼んで
 (a+b√m)'=a-b√m  と書くと
 ((a+b√m)^n)'=((a+b√m)')^n
 (a+b√m)+(a+b√m)'=2a などの性質があります。

No.77052 - 2021/07/29(Thu) 23:43:10

Re: / kkk
ありがとうございます。
No.77060 - 2021/07/30(Fri) 09:51:03
領域を用いた不等式の証明について / にゃんこ
赤ペンで書いたように円と直線の関係で解けますか?仮定が表す領域は円の内部なので、直線y=4x-3との位置関係を考えて解いてもいいのでしょうか?ダメならダメな理由も教えていただきたいです。
No.77042 - 2021/07/29(Thu) 21:02:08

Re: 領域を用いた不等式の証明について / ヨッシー
y=4x−3 の yと、x^2+y^2 のyに
何の関連もないのでダメです。
そもそも、y=4x−3 は x^2+y^2=1 より下にありません。

No.77057 - 2021/07/30(Fri) 06:09:16
(No Subject) / 源静
大学生です。
解答はのっているのですが解き方が思いつかなくて詰んでます。どう解いていったらよいか教えて下さい。

No.77040 - 2021/07/29(Thu) 20:24:35

Re: / X
次のキーワードでネット検索してみて下さい。
二項積分

No.77041 - 2021/07/29(Thu) 21:00:30

Re: / 関数電卓
飛び道具 を使うと,不定積分は
 ∫√(x^2+1)/x・dx=√(x^2+1)−tanh-1(√(x^2+1)+C
となるようです。
これを定積分にした場合,お書きの <解答> のような形にするには,与式において
 x=(e^u−e^(-u))/2
と置換すると,うまくいきます。

No.77043 - 2021/07/29(Thu) 21:10:04

Re: / 源静
お二人ありがとうございます。やってみます。
No.77046 - 2021/07/29(Thu) 21:58:29

Re: / IT
x=tanθとおくと

∫√((x^2+1)/x^2)dx
=∫1/((sinθ)(cosθ)^2)dθ

t=cosθとおくと
=-∫1/((1-t^2)t^2)dt
=-∫{1/(2(1-t))+1/(2(1+t))+1/t^2}dt
=(1/2)log|1-t|-(1/2)log|1+t|+1/t

ここで t=1/√(x^2+1) を代入する。 でできるのでは?

係数などは確認してください。 検算してないので間違っているかもしれません。

No.77047 - 2021/07/29(Thu) 22:26:48
ブロック行列 / 出水
Pが正則であることを示す問題なのですが、あっていますか?
No.77030 - 2021/07/28(Wed) 22:00:38

Re: ブロック行列 / ヨッシー
やり方は合っていると思いますが、「仮定すると」のくだりは
どうでしょうか?
P=(・・・) に対して、Q=(・・・)を考える。
 PQ=E、QP=E
よって、逆行列Qが存在し、Pは正則。
のように、事実の羅列だけでいいと思います。

No.77039 - 2021/07/29(Thu) 18:38:34

Re: ブロック行列 / 出水
確かにそうですね!
ありがとうございます!!

No.77086 - 2021/07/30(Fri) 19:55:14
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