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★ (No Subject) / 算数
算数です

5番です。

難しかったです

教えてください
No.88782 - 2024/09/07(Sat) 20:08:52
☆ Re: / ヨッシー
(1)
６×５÷２＝１５(試合)

(2)
ＢとＥともに５勝ということはないので、仮に３勝２敗とします。
すると、Ｆは多く勝っても２勝３敗、Ｃは１勝４敗、ＡとＤが０勝５敗となり、
エの条件にも合いませんし、勝ち数の合計と、負け数の合計が一致しません。
よって、ＢとＥは４勝１敗で、ＥはＣに負け、ＢはＥに負けたことがわかります。

Ｆが２勝３敗とすると、Ｃは１勝４敗、ＡとＤが０勝５敗となり、やはり、勝ち数と負け数が一致しません。
よって、Ｆは３勝２敗。

Ｃが１勝４敗だと、ＡとＤが０勝５敗で、やはりダメで、Ｃは２勝３敗。

ここまでの４チームは　１３勝７敗。
ＡとＤとで、２勝８敗にするには、それぞれ　１勝４敗。

これを踏まえて勝敗表を作ると図のようになります。
No.88811 - 2024/09/09(Mon) 18:45:27
★ (No Subject) / SUN
三角形ABCがあり点Aを通り直線BCと平行な直線，点Bを通り直線CAと平行な直線，点Cを通り直線ABと平行な直線によってつくられる三角形を△STUとする。また点Hは三角形ABCの垂心を表すとする。

四角形ABSC，四角形ＢＣＴＡ，四角形ＣＡＵＢが平行四角形であることに着目して点Ｈは△ＳＴＵの[カ　外心]である
また△ＳＴＵと△ＡＢＣのキ [重心]は一致する

△STUのキ[重心]をXとし△STUを点Xの周りで180度回転移動しさらに点Xを中心にク[1/2]倍に縮小すると△ABCと重なるので△STUのカ [外心]とキ[重心]の位置関係が分かる

△ABCの外心をOとする。3点H,X,Oの位置関係は?

三角形STU上の任意の点をE，三角形ABC上の任意の点をFとすると重心Xを中心に1/2倍に縮小するということは
1/2XE=XF…<1>
が常に成り立つように三角形STUを縮小することですよね
だから△STUを重心Xを中心に1/2倍の三角形は△ABCと等しい
=△STUの外心Hは1/2倍に圧縮されたために△OABの外心Oに移動した

三角形の周上の点以外でも(外心，内心)も<1>のように移動するはずなので
1/2XH=XO
よってXO;OH=1:1だと思ったのですが…
選択肢全てXは直線ＯＨを〇：△に内分する点である
しかないんですけど…
これだとXは直線OHを1:2に外分するになってしまうんですが…何がいけないんでしょうか？解説よろしくお願いします
No.88780 - 2024/09/07(Sat) 16:47:02
☆ Re: / 黄桃
>1/2XH=XO
は合ってますが、X,O,Hの位置関係を誤解しているようです。

平面上に、XとHの2点だけをとり、
HをXの回りに180度回転し
移動先をYとし(※)、
XYをXからYの方向に半分の地点、つまり、XYの中点がO
という位置関係になっています。

※の部分は、アナログ時計の中心をX
12時の部分をHとすれば、Yは6時の部分になります。
No.88802 - 2024/09/08(Sun) 23:34:27
★ 法政大学　複素数 / Higashino
法政大学過去問　複素数
なにとぞよろしくお願いします
以下問題
No.88775 - 2024/09/07(Sat) 12:47:41
☆ Re: 法政大学　複素数 / Higashino
こんばんは
私の答案が出来上がりましたので、投稿させていただきます
先生方よろしくお願いいたします

以下答案
No.88795 - 2024/09/08(Sun) 18:30:17
☆ Re: 法政大学　複素数 / X
その解答で問題ありません。
No.88796 - 2024/09/08(Sun) 20:30:11
★ 広島大学　複素数 / Higashino
広島大学複素数　過去問
なにとぞよろしくお願いいたします
以下問題
No.88764 - 2024/09/07(Sat) 07:51:22
☆ Re: 広島大学　複素数 / X
例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
|z[1]|=|z[2]|=1 (A)
|z[1]+z[2]|^2=1 (B)
(B)の左辺を展開し、(A)を代入すると
z[1]\z[2]+\z[1]z[2]=-1
∴z[1]\z[2]=-1/2+it (C)
(tは実数)
(C)の両辺の絶対値を取り、(A)を代入すると
1/4+t^2=1
∴t=±(√3)/2
これを(C)に代入すると
z[1]\z[2]=-1/2±i(√3)/2
(複号同順、以下同じ)
更に(A)より
\z[2]=1/z[2]
∴z[1]/z[2]=-1/2±i(√3)/2
2z[1]/z[2]+1=±i√3
(2z[1]/z[2]+1)^2=-3
(z[1]/z[2])^2+z[1]/z[2]+1=0
z[1]^2+z[1]z[2]+(z[2])^2=0
両辺にz[1]-z[2]をかけて
z[1]^3-z[2]^3=0
∴z[1]^3=z[2]^3
No.88767 - 2024/09/07(Sat) 09:15:17
☆ Re: 広島大学　複素数 / GandB
　　z1 = cosα + i*sinα
　　z2 = cosβ + i*sinβ
とおいて |z1+z2| を計算すると
　　α-β = 2π/3
が得られるから、この結果を
　　z1^3 = cos3α + i*sin3α
　　z2^3 = cos3β + i*sin3β
のどちらかに代入して比較する。
　こちらの方が少しだけ楽な気がするが、どうかな（笑）
No.88769 - 2024/09/07(Sat) 09:25:05
☆ Re: 広島大学　複素数 / X
＞＞GandBさんへ
私も初めは同じ方針で計算したのですが
その方針だと、例えば
0≦α＜2π,0≦β＜2π
というように、最低でも幅2πでα,βの範囲を
設定しなければならず、そうすると
-2π＜α-β＜2π
ここから、α-βの値を4個考えなくてはならなく
なってしまうので止めました。
No.88770 - 2024/09/07(Sat) 09:35:01
☆ Re: 広島大学　複素数 / Higashino
諸先生方
ご回答くださりありがとうございます
複素数平面をまだ勉強していませんので、理解できない部分がたくさんございましたが　これから複素数平命を勉強したらまた読んでみたいと思います
今回の私の答案です
ご指導　ご指摘　アドバイスのほど、何卒よろしくお願いいたします
No.88772 - 2024/09/07(Sat) 10:41:55
☆ Re: 広島大学　複素数 / X
＞＞Higashinoさんへ
その解答で問題ありません。
No.88783 - 2024/09/07(Sat) 20:47:47
★ 数列の解答の書き方 / ヒロ
以下の問題で解答１と解答２でどちらにするほうがいいですか。理由も教えて下さい。
（ a［ｎ＋１］=２a［n］を使えば、すぐにa［n］=3・２^(n-1)ですが、
a［n］=２a［n-1］のときは書き方がわかりませんでした。）

●問題●
時刻ｎのときの細胞の個数をa［n］とする。細胞は１分ごとに２倍に増える。a［1］＝３として
時刻nのときの細胞の個数a［n］をnの式で表せ。

●解答１●
a［1］＝３, a［n］=２a［n-1］より、　a［n］=3・２^(n-1)

●解答２●
a［1］＝３, a［n］=２a［n-1］　（ｎ≧２）より
a［n］=3・２^(n-1)　　（ｎ≧２）　……(1)
(1)はｎ＝１のとき、a［1］=3・２^(1-1)=3だから　ｎ＝１のときも成り立つ。
よって、a［n］=3・２^(n-1)　　　（ｎ≧１）
No.88761 - 2024/09/07(Sat) 00:27:00
☆ Re: 数列の解答の書き方 / X
略解なら解答1でも問題ありませんが、正確に書くなら
解答2になります。
No.88766 - 2024/09/07(Sat) 09:00:19
☆ Re: 数列の解答の書き方 / ヒロ
ちなみに、

等比数列a［n］=r×a［n-1］……(あ)　　（rは公比）
等差数列a［n］=［n-1］＋d……（い）　　（dは公差）
漸化式a［n］=p×a［n-1］+ｑ……（う）　（p,qは定数）

のときは、解答1のようにn≧2を考えずに、以下のことが常に成り立ちますか。
また、大学入試、学校の定期試験では、n≧2を考えずに解答しても減点はないですか。

（αは初項）　(あ)は、　　a［n］=α×r^(n-1)、
　　　　　　　(い)は、　　a［n］=α＋(n-1)×d、
　　　　　　 (う)は、　　a［n］=（α-ｃ)×r＾(n-1)+ｃ　（ｃは特性方程式ｃ＝ｐｃ＋ｑの解）


よろしくお願いします。
No.88771 - 2024/09/07(Sat) 10:14:15
★ 横浜国立大です / ぴーたろ
(2)のスケッチ以外をよろしくお願いします！
No.88754 - 2024/09/06(Fri) 15:01:54
★ 微分法 / 伊月
aは0＜a＜1を満たす。xの方程式

a^x=loga(x)

の解の個数を求めなさい。

a^xはaのx乗、loga(x)は底がaで真数がxの対数です。

1個だろうと思いましたが、0＜a＜1/e^eのときは3個になるらしいのです。どうやって調べればいいのか、教えて頂けないでしょうか。
No.88752 - 2024/09/06(Fri) 11:43:38
☆ Re: 微分法 / ヨッシー
こちらなど。
No.88753 - 2024/09/06(Fri) 13:27:57
☆ Re: 微分法 / 伊月
ご紹介いただいたHPのやっていることがよくわからなかったので、自分で途中まで考えた以下のやり方で通す方法を教えていただきたいです。間違えているところやこの方法では無理ということだったらご指摘いただきたいです。

f(x)=a^x-loga(x)とおく。x＞0,0＜a＜1

f'(x)={xa^x(log(a))^2-1}/xlog(a)

x＞0,log(a)＜0なので、f'(x)の分母は常にマイナスなので、f'(x)の符号の変化は分子に依存する。
そこで、g(x)=xa^x(log(a))^2-1とおく。

g'(x)=(log(a))^2a^x(xlog(a)+1)

g'(x)=0はx=-1/log(a)で、p=-1/log(a)とおく。
g(p)=-log(a)/e-1
g(0)=-1

g(p)≦0ならばg(x)≦0であるのでf'(x)≧0であるため、f(x)は単調増加だから、f(x)=0を満たす解は1個。

g(p)＞0、すなわちa＜e^-eのとき、g(x)=0となる解が二つ存在し、それらを小さい順にα、βとする。

x→-0、x→∞のそれぞれで、f(x)→-∞、f(x)→∞なので、f(α)＞0かつf(β)＜0が言えれば、f(x)=0を満たす解は3個になりそうです。

0＜a＜e^-eではf(x)=0となる解が3個になるということは、0＜a＜e^-eのもとではf(α)＞0かつf(β)＜0が言えるということだと思いますが、f(α)やf(β)の形が複雑で、どうやって示せばよいのかわからないです。
No.88755 - 2024/09/06(Fri) 15:16:52
☆ Re: 微分法 / IT
>0＜a＜e^-eではf(x)=0となる解が3個になるということは、0＜a＜e^-eのもとではf(α)＞0かつf(β)＜0が言えるということだと思いますが、f(α)やf(β)の形が複雑で、どうやって示せばよいのかわからないです。

f(α)やf(β)の値を具体的に計算するのではなくて、
f(x) の増減などからf(α)やf(β)の正負を調べれば良いと思います。

a^γ=γ=Log[a]γとなる（このときf(γ)=0 です）実数γがちょうど１つ存在し、α＜γ＜β　であること
α＜x＜βでｆ'(x) ＜0であること
などを示せば良いと思います。
No.88756 - 2024/09/06(Fri) 19:09:41
☆ Re: 微分法 / 伊月
＞α＜x＜βでｆ'(x) ＜0であること

g(p)＞0と仮定しているため、g(0)＜0、x→∞でg(x)＜0なので、0＜x＜p、p＜xのそれぞれの範囲にα、βをとれるため、0＜x＜α、β＜xでg(x)＜0なので、f'(x)＞0が言え、α＜x＜βでg(x)＞0なので、f'(x)＜0が言えるので、この部分はこれでよいかと思います。

＞a^γ=γ=Log[a]γとなる（このときf(γ)=0 です）実数γがちょうど１つ存在し、α＜γ＜β　であること

ここが克服できないです。f(α)＞0、f(β)＜0が言えれば、f(γ)=0、α＜γ＜βとなるγが存在するということだと思いますが、そもそも、f(α)＞0、f(β)＜0の示し方がわからないです。

a^γ=γ=Log[a]γのところですが、真ん中の=γ=は何なのでしょうか。なぜこれがはさまれているのかわからないです。
No.88757 - 2024/09/06(Fri) 23:16:00
☆ Re: 微分法 / IT
> a^γ=γ=Log[a]γのところですが、真ん中の=γ=は何なのでしょうか。なぜこれがはさまれているのかわからないです。

y=a^x,y=Log[a]x,y=x のグラフを描いてこれらの位置関係

y=a^x とy=xの交点、y=Log[a]x とy=xの交点　を考えます。
No.88759 - 2024/09/06(Fri) 23:58:22
☆ Re: 微分法 / IT
あるいは
a^γ=γなる実数γがあることを示す。
両辺のLog[a]をとるとγ=Log[a]γ
このときa^γ=γ=Log[a]γ
No.88760 - 2024/09/07(Sat) 00:12:58
☆ Re: 微分法 / 伊月
詳しい回答ありがとうございます。

y=xに関してy=a^xとy=loga(x)が対称であることを利用するのですね。すっかり見落としていました。

ちなみにたぶん最後の質問ですが、a＞1の場合と違って、0＜a＜1のときはy=a^xとy=loga(x)がy=x上で交点を必ず交点を持つこと、その交点のx座標であるγはαとβの間にあることは図を描けば明らかなことですので、この部分は図より明らかで済ませてしまってよいでしょうか。
No.88762 - 2024/09/07(Sat) 00:42:01
☆ Re: 微分法 / IT
> ちなみにたぶん最後の質問ですが、a＞1の場合と違って、0＜a＜1のときはy=a^xとy=loga(x)がy=x上で交点を必ず交点を持つこと、その交点のx座標であるγはαとβの間にあることは図を描けば明らかなことですので、この部分は図より明らかで済ませてしまってよいでしょうか。

なぜ、そのような図になるかを示す必要があると思います。
No.88765 - 2024/09/07(Sat) 07:58:46
☆ Re: 微分法 / 伊月
＞なぜ、そのような図になるかを示す必要があると思います。

明らかとしてはいけないということは、y=a^xとy=loga(x)がy=x上で交点を持たないことがある、あるいは持ったとして、その交点のx座標γがαとβの間に来ないことがあるかもしれないから、その可能性を否定しなさいということでしょうか。

さすがにこれは自明なことではないでしょうか。どうやって示したらよいのかわからないです。

y=a^xとy=xの交点を(γ,γ)としますと、γ=a^γですが、これに対して、aを底とする対数を両辺にとると、loga(γ)=γですので、これが(γ,γ)がy=loga(x)も満たしているということでしょうか。

y=a^xもy=loga(x)もともにy'＜0かつy''＞0で、つまり常に下に凸の単調減少関数です。γがαとβの間に来ない、例えばγ＜α＜βになるということはy=a^xとy=loga(x)がy=xの右側で2回上下関係が入れ替わるということですが、これはさすがにありえないと思うのですが、どうやって示せばよいのかわからないです。

どうやるのでしょうか。
No.88773 - 2024/09/07(Sat) 10:50:40
☆ Re: 微分法 / IT
＞さすがにこれは自明なこと

「自明」ではないと思います。

y=a^xとy=x,y=loga(x)とy=x の位置関係
あるいは y=a^x-x、y=loga(x)-x の増減などを調べることによって、言えることだと思います。
No.88776 - 2024/09/07(Sat) 13:44:18
☆ Re: 微分法 / 伊月
y=a^xとy=loga(x)がy=x上で交点を持つことは、先に書きました、

y=a^xとy=xの交点を(γ,γ)としますと、γ=a^γですが、これに対して、aを底とする対数を両辺にとると、loga(γ)=γですので、これが(γ,γ)がy=loga(x)も満たしている

というものでよろしいでしょうか。

α＜γ＜βの証明がわからないです。詳しく教えていただけないでしょうか。
No.88777 - 2024/09/07(Sat) 15:04:43
☆ Re: 微分法 / IT
> y=a^xとy=loga(x)がy=x上で交点を持つことは、先に書きました、

どこの投稿No.のどの部分ですか？ 「図を描けば明らか」、とか「自明」とかはダメですよ。「自明」は書かない方がましです。
No.88778 - 2024/09/07(Sat) 15:23:19
☆ Re: 微分法 / 伊月
No.88773の6行目に書いてあります。

今、α＜γ＜βの証明を考えています。

γ＜xでy=a^xとy=loga(x)の上下関係が1回しか変化しないことの証明を考えています。

図をたくさん描いていたら、y=a^xとy=loga(x)のγ＜xにおける接線の傾きに着目するのではないかと思えてきました。傾きの大小関係が変わらなければ、1回交わった後はあとは両グラフの差は広がっていくため、もう交わることはないのではないかと思えるのですが、この考え方は間違えていますでしょうか。

でもa^xlog(a)と1/xlog(a)の大小関係を調べるところでつまづいています。

どうやったらよいのでしょうか。
No.88779 - 2024/09/07(Sat) 16:01:57
☆ Re: 微分法 / IT
>No.88773の6行目に書いてあります。
y=a^xとy=xの交点を(γ,γ)としますと、γ=a^γですが、

のことですか？　y=a^xとy=xが交点を持つことを示してないと思いますが。

流れだけ
f(x)=a^x-loga(x) について　f'(x)の正負を調べると　＋０−０＋
f'(α)=f'(β)=0,α＜βとおく…（１）　。

h(x)=a^x-xとおく、h(x)は連続で狭義減少関数で、h(a)＞0、h(1/e)＜0なので
h(γ)=0(a＜γ＜1/e)なるγがただ一つ存在する。
このγについてf(γ)=0.

f'(γ）を計算すると負
したがって（１）よりα＜γ＜β。
No.88781 - 2024/09/07(Sat) 19:53:36
☆ Re: 微分法 / 伊月
＞y=a^xとy=xが交点を持つことを示してないと思いますが。

y=a^xは、x=0のときy=1で、x→∞のときy→0ですよね。y=xと交わらないわけないと思うのですが、こんなことも記述しないといけないのですか。学校の先生は図を描けばわかることは図を描くだけでいいみたいなことを仰るので、IT先生と仰ることが違いすぎるのですが…

＞h(a)＞0、h(1/e)＜0なので
＞h(γ)=0(a＜γ＜1/e)なるγがただ一つ存在する。

ここのaは正しくはαでしょうか。

a^α＞αやa^(1/e)＜1/eはこれこそなぜこんなことが言えるのでしょうか。
No.88788 - 2024/09/08(Sun) 01:37:20
☆ Re: 微分法 / IT
> ＞y=a^xとy=xが交点を持つことを示してないと思いますが。
>
> y=a^xは、x=0のときy=1で、x→∞のときy→0ですよね。y=xと交わらないわけないと思うのですが、こんなことも記述しないといけないのですか。

図によって考察・説明することを否定するものではありません。

少なくとも解答・答案ではなぜそのような図になるかのポイント部分は記述すべきということです。

教科書などでもグラフを描く前に増減表などを記載していませんか？

今回の場合
（0<a<1 なので）
「y=a^xは、（単調減少で）x=0のときy=1で、x→∞のときy→0」
ということを書いてからy=a^xのグラフを描く必要があると思います。
No.88790 - 2024/09/08(Sun) 08:51:23
☆ Re: 微分法 / IT
> ＞h(a)＞0、h(1/e)＜0なので
> ＞h(γ)=0(a＜γ＜1/e)なるγがただ一つ存在する。
>
> ここのaは正しくはαでしょうか。
いいえaです。

（略証）後半は、自力で思いつくのは難しいかも知れません。
0＜a＜e^-eのとき　h(a)＞0、h(1/e)＜0 の証明
（行間は埋めてください）

h(a)＝(a^a)-a＞(a^1)-a＝0　∵a^xは狭義減少でa＜1　

h(1/e)
＝a^(1/e)-(1/e)
＜((e^-e)^(1/e))-(1/e) 　∵　0＜a＜e^-e
＝(1/e)-(1/e)=0
No.88791 - 2024/09/08(Sun) 09:19:14
☆ Re: 微分法 / 伊月
ありがとうございました。とても助かりました。

根拠はすべて書くということですよね。解答づくりはできるだけ丁寧にするように心がけます。
No.88792 - 2024/09/08(Sun) 10:51:04
☆ Re: 微分法 / IT
そうですね、そのことがその問題に占める重要度にもよると思いますが。

なお、この問題は、けっこう難問ですね。
No.88793 - 2024/09/08(Sun) 11:08:45
★ 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino
滋賀大　過去問　複素数
なにとぞよろしくお願いいたします
以下問題
No.88744 - 2024/09/05(Thu) 16:27:30
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X
例えば、zの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
\z[k]z[k]=1
(k=1,2,3)
∴
|z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1]|^2=(z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1])(\z[1]\z[2]+\z[2]\z[3]+\z[3]\z[1])
=3+(z[1]z[2]\z[2]\z[3]+\z[1]\z[2]z[2]z[3])+(z[2]z[3]\z[3]\z[1]+\z[2]\z[3]z[3]z[1])+(z[3]z[1]\z[1]\z[2]+\z[3]\z[1]z[1]z[2])
=3+(z[1]\z[3]+\z[1]z[3])+(z[2]\z[1]+\z[2]z[1])+(z[3]\z[2]+\z[3]z[2]) (A)
|z[1]+z[2]+z[3]|^2=(z[1]+z[2]+z[3])(\z[1]+\z[2]+\z[3])
=3+(z[1]\z[3]+\z[1]z[3])+(z[2]\z[1]+\z[2]z[1])+(z[3]\z[2]+\z[3]z[2]) (B)
(A)(B)より
|z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1]|^2=|z[1]+z[2]+z[3]|^2
これより
|z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1]|=|z[1]+z[2]+z[3]|
よって
(i)z[1]+z[2]+z[3]≠0のとき
|(z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1])/(z[1]+z[2]+z[3])|=1
(ii)z[1]+z[2]+z[3]=0、つまり
(z[1].z[2],z[3]=(cosθ+isinθ,cos(θ+2π/3)+isin(θ+2π/3),cos(θ+4π/3)+isin(θ+4π/3))
(θは0≦θ＜2πなる任意の実数)
のとき
|(z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1])/(z[1]+z[2]+z[3])|
の値は存在しません。
No.88745 - 2024/09/05(Thu) 17:24:53
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino
エス先生、こんにちは
このたびもご回答くださりありがとうございます
いよいよこれから複素数平面の勉強に入っていきます。これからもよろしくお願いいたします。
私の回答がまとまりましたので
投稿させていただきます
ご指摘指　アドバイス　ご指導のほど、何卒よろしくお願いいたします

以下答案
No.88747 - 2024/09/05(Thu) 19:47:20
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X
いくつか質問を。

1)
一行目に
＞＞対等性から〜
とありますが、「対等性」とはどのような意味で
使っていますか。

2)
補1において
p=z[1]+z[2]+z[3]
のとき
\p=1/p
となっていますが、根拠は何ですか。
No.88750 - 2024/09/05(Thu) 21:29:50
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino
X先生、おはようございます
ご返信が遅くなり誠に申し訳ございませんでした
ご指摘の箇所ですが、私なりにご説明いたしました
不十分かと思われますが　その際はご指摘アドバイスよろしくお願いいたします


以下、答案書き直し
No.88763 - 2024/09/07(Sat) 07:41:57
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X
まず、補1)について

|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=1
であっても
|z[1]+z[2]+z[3]|=1
とは限りませんので
\(z[1]+z[2]+z[3])=1/(z[1]+z[2]+z[3])
は一般には成立しません。
反例)
z[1]=1,z[2]=1,z[3]=1/√2+i/√2のとき
z[1]+z[2]+z[3]=(2+1/√2)+i/√2
∴|z[1]+z[2]+z[3]|^2=(2+1/√2)^2+1/2
=5+2√2≠1
となるので
\(z[1]+z[2]+z[3])≠1/(z[1]+z[2]+z[3])

次に
＞＞対等性より
＞＞z[1]=z[2]=z[3]
としていますが、問題の条件は
|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=1 (A)
ですので
z[1]=z[2]=z[3] (B)
は(A)の特別な場合に過ぎません。
従って(B)を使って、問題の値を計算しても
解答としては不完全です。
No.88768 - 2024/09/07(Sat) 09:24:00
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino
x先生へ
度々申し訳ございません
ご指摘の
>|z[1]+z[2]+z[3]|=1
をどこで私が使っているのかがわかりません
教えてくださると幸いです
No.88774 - 2024/09/07(Sat) 12:14:52
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X
No.88763の添付写真の、2)から4行目の最右辺の一つ左の辺
と二つ左の辺の
＞＞\z[1]+\z[2]+\z[3]=1/(z[1]+z[2]+z[3])
です。

p=z[1]+z[2]+z[3]
としているのであれば
\p=1/p⇔\pp=1⇔|p|^2=1
⇔|p|=1
∴|z[1]+z[2]+z[3]|=1
となってしまいます。
No.88784 - 2024/09/07(Sat) 20:53:10
★ (No Subject) / 中3
答えはあるのですが、画像の(2)、(3)?@?A、(4)?@?Aのやり方がわかりません。
No.88739 - 2024/09/05(Thu) 07:58:50
☆ Re: / 中3
文字化けしました……
2、3の1と2、4の1と2の問題です。
No.88740 - 2024/09/05(Thu) 07:59:57
☆ Re: / ヨッシー
(2)
四角形ＡＢＥＤの４辺　ＡＢ，ＢＥ，ＥＤ，ＤＡ
四角形ＡＣＦＤの４辺　ＡＣ，ＣＦ，ＦＤ，ＤＡ
のうち、ＢＦとＣＦ、ＤＡとＤＡ はそれぞれ等しいので、
　ＡＢ＋ＥＤ　と　ＡＣ＋ＦＤ
の差が求める差となります。
　(15＋15)−(12＋12)＝6(cm)　・・・答え

(3)
(1) 大きい円は円すいの底面の３倍の半径なので、
　円すいの半径は　６÷３＝２(cm)　・・・答え
(2) 底面積は　４π
　側面積は　6×6π×(1/3)＝12π
　合わせて　16π　・・・答え

(4)
(1)
△ＢＣＧと△ＤＣＥにおいて
　ＢＣ＝ＣＤ、ＣＧ＝ＣＥ
　∠ＢＣＧ＝∠ＢＣＤ−∠ＤＣＧ＝90°−∠ＤＣＧ
　∠ＤＣＥ＝∠ＧＣＥ−∠ＤＣＧ＝90°−∠ＤＣＧ
よって、
　∠ＢＣＧ＝∠ＤＣＥ
以上より２辺夾角相等により
　△ＢＣＧ≡△ＤＣＥ
(2)
まず、ＣＧ＝ＣＥ＝ＰＣ＝5cm であることを確認しておきます。
必然的に、ＰＤ＝1cm です。
点ＥからＣＤに下ろした垂線の足をＨとします。
△ＣＤＧ≡△ＥＨＣであるので、ＥＨ＝ＤＣ＝4cm
△ＰＤＥにおいて、ＰＤを底辺とすると、高さはＥＨになるので、
求める面積は
　1×4÷2＝2(cm^2)　・・・答え
（図は省略）
No.88741 - 2024/09/05(Thu) 09:07:06
☆ Re: / 中3
たくさん、ありがとうございます！

4の2が難しいですね(；；)
No.88751 - 2024/09/06(Fri) 08:32:39
☆ Re: / 中3
4の2の問題の、△PDEの面積を求めるのに、高さが4になる理由がどうしても理解できないのですが……
どう解釈すればわかりますか？
学校の答えの解説を載せます。
No.88758 - 2024/09/06(Fri) 23:29:02
☆ Re: / ヨッシー
解説は４−（２）になっていません。


図において、△ＣＤＧと△ＥＨＣは合同なので、
　ＥＨ＝ＣＤ＝4cm
です。
No.88812 - 2024/09/09(Mon) 22:17:31
★ 横浜市立大学　複素数 / Higashino
横浜市立大学複素数過去問
よろしくお願いいたします
以下問題
No.88737 - 2024/09/04(Wed) 21:30:06
☆ Re: 横浜市立大学　複素数 / ヨッシー
α、β、γ、δの共役複素数をα’、β’、γ’、δ’とします。
当然ながら
　α’＋β’＋γ’＋δ’＝０
　|α’|＝|β’|＝|γ’|＝|δ’|＝１
　αα’＝ββ’＝γγ’＝δδ’＝１
です。
　|α−β|^2＝(α−β)(α’−β’)＝αα’−α’β−αβ’＋ββ’＝２−α’β−αβ’
同様に
　|α−γ|^2＝２−α’γ−αγ’
　|α−δ|^2＝２−α’δ−αδ’
よって、
　(与式)＝６−α’(β＋γ＋δ)−α(β’＋γ’＋δ’）
　　＝６−α’(−α)−α(−α’)
　　＝６＋αα’＋αα’＝８
No.88742 - 2024/09/05(Thu) 09:22:54
☆ Re: 横浜市立大学　複素数 / Higashino
先生、こんにちは
ご回答いただきありがとうございました

私の答案も、先生とほぼ同じで安堵いたしました
私の答案をアップしますが　ご指導アドバイスいただけると幸いです

以下答案
No.88743 - 2024/09/05(Thu) 16:25:51
★ (No Subject) / 算数
算数です

7番(1)です

教えてください

解説書では
a＝□×3　　b＝□×4

a×b＝□×3×□×4とありました。

分かりません
No.88726 - 2024/09/03(Tue) 23:24:46
☆ Re: / 算数
私は

a×b＝?B×?C＝?K＝３００
?@＝25
というふうにやってしまいました
No.88727 - 2024/09/03(Tue) 23:32:33
☆ Re: / ヨッシー
丸数字は文字化けするので、

　a×b＝(3)×(4)＝(12)＝３００
　(1)＝25
と書き直します。

それでも良いのですが、長さを表す (1) と、面積を表す (1) は
別物であるという意識は必要です。
いっそ、
　a×b＝(3)×(4)＝((12))＝３００
　((1))＝25
と書いてしまったほうが、そのあと、
　(1)＝5　なので、ａ＝(3)＝15
と持っていきやすいでしょう。

これを使うと、解説書の　□が(1)、□×□が((1)) に当たり、
　□×3 は (3)、 □×4 が (4)
　□×3×□×4＝□×□×12 は ((12))
と書くことが出来ます。　
No.88729 - 2024/09/04(Wed) 11:25:56
★ (No Subject) / 算数
算数です

難しかったです。


5番です

教えてください
No.88724 - 2024/09/03(Tue) 21:57:24
☆ Re: / ヨッシー
図のように記号をつけると、三角柱と残りの立体とで、
　□ＡＥＦＤと□ＡＥＦＤ
　□ＢＥＦＣと□ＡＨＧＤ
　□ＡＢＣＤと□ＬＩＪＫ
　△ＡＢＥと△ＡＨＥ
　△ＤＣＦと△ＤＧＦ
はそれぞれ面積が等しいものが両方に含まれるため、差が出るとすれば、
　□ＥＩＪＦ、□ＦＪＫＧ、□ＧＫＬＨ、□ＨＬＩＥ
の合同な長方形４つ分となります。
これが 42cm^2 なので、
　□ＥＩＪＦ＝10.5
　ＥＩ＝10.5÷5＝2.1
　ＢＥ＝5−2.1＝2.9(cm)　・・・答え
となります。
No.88730 - 2024/09/04(Wed) 11:45:48
★ (No Subject) / 有栖川
(m, n)を自然数とする。
5^n - 1 = m^2 を満たす(m, n)の組を全て求めよ。

この問題の解き方を教えてください。
No.88719 - 2024/09/02(Mon) 21:53:41
☆ Re: / IT
出典は何ですか？
出典や出題背景が分かると回答が付くかも知れません。

カタラン予想（ミハイレスクの定理）（下記参照）の特別な場合　にあたりますので
答えは(m,n)=(2,1) だけのようですね。

https://mathlog.info/articles/1217
No.88723 - 2024/09/03(Tue) 21:34:14
☆ Re: / 有栖川
ありがとうございます。

>> 出典は何ですか？
知り合いから出題されたので詳しい出典は分からないですが、多分自分で作ったんだと思います。（ちゃんとした解法がなさそうなので）

>>カタラン予想（ミハイレスクの定理）（下記参照）の特別>>な場合　にあたりますので
>>答えは(m,n)=(2,1) だけのようですね。
私も色々調べてみたのですが、やっぱりこの定理を用いるしかなさそうですね。ありがとうございました！
No.88738 - 2024/09/05(Thu) 01:06:46
☆ Re: / IT
お知り合いは、解法・解答を知っておられないのですか？
No.88746 - 2024/09/05(Thu) 18:45:42
☆ Re: / 有栖川
解法を相談してきた形でした。（明確な解法、解答が存在する上で出題された問題ではありませんでした。）
No.88805 - 2024/09/09(Mon) 08:02:41
★ 弘前大学　二次方程式 / Higashino
弘前大学　過去問　二次方程式
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.88716 - 2024/09/02(Mon) 21:29:53
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / un kn0wn
|α+1|=1より、
α+1=1のとき a=0
-(α+1)=1のとき a=-2
α=0のとき、2次方程式に代入して0✕x^2+0x+1=1≠0より不適。
α=-2のとき、a✕(-2)^2+(-2)+1=0 4a-1=0 a=1/4
こたえ a=1/4

いやいや、絶対違う気がするんだけど(範囲って言ってんのにa=1/4とか)　aに1/4を入れて、方程式を解くとx=-2が重解で出てきて|α+1|で1になるんですよね… |α+1|=1 を満たす数が0,-2しかなくて、0は今回の場合二次方程式の解として不適。ということはあってる！？
No.88717 - 2024/09/02(Mon) 21:48:00
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / un kn0wn
↑ごめんなさい、2,3行目で打ち間違えてます。
α+1=1のとき α=0
-(α+1)=1のとき α=-2
No.88718 - 2024/09/02(Mon) 21:50:59
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / X
横から失礼します。

ax^2+x+1=0 (A)
|α+1|=1 (B)
とします。

(i)αが実数のとき
(B)より
α+1=1,-1
∴α=0,-2
となるが、(A)はx=0を解に持たないので
α=-2
このとき、(A)より
4a-1=0
∴a=1/4

(ii)αが複素数のとき
a=0を仮定すると(A)の解は実数となってしまい、
条件に合わないため
a≠0
∴例えば複素数zの共役複素数を\zと書くことにすると
\αも(A)の解.
∴解と係数の関係から
α+\α=-1/a (C)
\αα=1/a (D)
一方、(B)より
|α+1|^2=1
これより
(α+1)(\α+1)=1
\αα=-(α+\α) (A)'
(C)(D)(A)'より、
αが複素数であるような任意のaに対し、(B)は成立。
さて、このとき(A)の解の判別式をDとすると
D=1-4a＜0
∴1/4＜a

(i)(ii)より求めるaの値の範囲は
1/4≦a
No.88722 - 2024/09/03(Tue) 21:16:00
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / Higashino
こんにちは
ご回答いただきありがとうございます
返信に時間がかかり申し訳ございませんでした
以下、私の答案が出来上がりましたので
ご指導アドバイスいただけると幸いです
以下答案
No.88731 - 2024/09/04(Wed) 13:35:58
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / Higashino
答案書き直しです

何卒よろしくお願いします

以下答案
No.88732 - 2024/09/04(Wed) 15:17:14
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / X
その方針で書くなら、問題の二次方程式が重解でない実数解
を持つ場合のチェックの記述が必要です。
No.88733 - 2024/09/04(Wed) 18:43:46
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / Higashino
エックス先生、こんばんは
今回はご指摘いただき感謝いたします
私なりに答案を再作成しました
アドバイスご指摘いただけると幸いです
以下答案
No.88734 - 2024/09/04(Wed) 20:00:19
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / X
修正された点は単に重解を持つ条件を調べただけで
修正した意味がありません。

そうではなくて、
|α+1|=1
においてαが実数のとき、得られる値である
α=0,-2
のときのaの値を調べないと、重解でない
実数解を持つ場合は条件を満たさないことを
チェックしたことにならず、解答としては
不十分だということを言っています。
No.88735 - 2024/09/04(Wed) 20:57:20
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / Higashino
x先生で
前回のご指摘ですが　お聞きしたいことがあります
改めて、答案の補足をいたしましたので、ご意見いただけると幸いです
No.88736 - 2024/09/04(Wed) 21:25:04
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / X
説明の仕方が悪かったので、改めてアップを。

Higashinoさんの解答では
αが実数のとき、
|α+1|=1
を満たすαの値を求める、というステップが足りません。
このステップがないと、
αが重解ではない実数解にはなり得ない
ことを示すことにはなりません。
No.88749 - 2024/09/05(Thu) 20:11:47
★ 三角関数 / mofukun
三角形ABCがあり、

AB＝8、BC＝3、∠ABC＝3θ、∠BCA＝θのとき、

ACの長さxを求めよ。
xは自然数になるようですが、どうやって解けばいいのでしょう？
No.88712 - 2024/09/02(Mon) 19:58:12
☆ Re: 三角関数 / らすかる
「xは自然数」というのを条件として使って良いのであれば
条件からxは9か10
x=9のとき
余弦定理から
cosθ=(3^2+9^2-8^2)/(2×3×9)=13/27
cos3θ=(3^2+8^2-9^2)/(2×3×8)=-1/6
cosの三倍角の公式から
cos3θ=4cosθ^3-3cosθ=-19643/19683≠-1/6で不適
x=10のとき
余弦定理から
cosθ=(3^2+10^2-8^2)/(2×3×10)=3/4
cos3θ=(3^2+8^2-10^2)/(2×3×8)=-9/16
cosの三倍角の公式から
cos3θ=4cosθ^3-3cosθ=-9/16なので適
∴x=10

「xは自然数」というのを条件として使えないのであれば
余弦定理から
cosθ=(x^2+9-64)/(2×3×x)=(x^2-55)/(6x)
cos3θ=(9+64-x^2)/(2×3×8)=(73-x^2)/48
cosの三倍角の公式cos3θ=4cosθ^3-3cosθに代入して
(73-x^2)/48=4{(x^2-55)/(6x)}^3-3{(x^2-55)/(6x)}
整理して
8x^6+9x^5-1536x^4-657x^3+84480x^2-1331000=0
(x-10)(x+5)(x+11)(8x-55)(x^2+2x-44)=0
8＜x＜11なので x=10
No.88714 - 2024/09/02(Mon) 20:59:48
☆ Re: 三角関数 / ast
A から直線 BC へ下ろした垂線の足 H を使って, 三角形AHC および三角形 AHB の各辺の長さを θ を使って書けば
　x sin(θ)= 8 sin(π - 3θ) ……(1),
　x cos(θ) = 3 + 8 cos(π - 3 θ) ……(2)
になるので, (1) から cos(θ)=√((x+8)/32), これを (2) に代入して整理すれば
　(x-8)^2 (x+8) = 72 (ただし x-8>0) ……(3)
　⇔ (x-10)(x^2+2x-44) = 0
　∴x=10.

というのでは如何でしょう.
No.88715 - 2024/09/02(Mon) 21:25:34
☆ Re: 三角関数 / 黄桃
astさんと同じようなものですが、こっちだと3θが出てこないので一応。

AC上に点Dを角DBC=θとなるようにとれば、
△ABD,△DBCはいずれも二等辺三角形。
DC=BC=yとおけば、x=y+8。
さらにcosの定義（あるいは余弦定理）より
cos(2θ)=(y/2)/8
cos(θ)=(3/2)/y
だから、
cos(2θ)=2cos^2(θ)-1
に代入して整理すれば
y^3+16y^2-72=0
となり、
(y-2)(y^2+18y+36)=0
を得る。これより
y=2, -9±3√5
だが、y>0より y=2,cos(θ)=3/4 と求まる。
よって x=8+2=10...(答)
No.88725 - 2024/09/03(Tue) 23:21:52
★ 東京医科歯科大学　複素数 / Higashino
東京医科歯科大学過去問複素数
なにとぞよろしくお願いいたします
以下問題
No.88706 - 2024/09/02(Mon) 05:54:26
☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / X
問題の二次方程式を(A)とします。

条件から、(A)はx=0を解に持たないので
x≠0
∴(A)から
α=-x-1/x-2i/x
xは実数なので
|α|^2=(x+1/x)^2+4/x^2
=x^2+2+5/x^2
={x+(√5)/x}^2+2-2√5 (B)
ここで
(i)x＞0のとき
相加平均と相乗平均の関係から
x+(√5)/x≧2・5^(1/4)
(不等号の下の等号はx=5^(1/4)のとき成立)
(ii)x＜0のとき
やはり相加平均と相乗平均の関係から
x+(√5)/x=-{(-x)+(√5)/(-x)}≦-2・5^(1/4)
(不等号の下の等号はx=-5^(1/4)のとき成立)

(i)(ii)からx≠0なる実数xに対し
|x+(√5)/x|≧2・5^(1/4)
(不等号の下の等号は|x|=5^(1/4)のとき成立)
∴(B)より
|α|^2≧2+2√5
∴|α|≧√(2+2√5)
となるので|α|の最小値は√(2+2√5)
(このとき、(A)の実数解は
5^(1/4),-5^(1/4)
のうちのいずれか一方。)
No.88708 - 2024/09/02(Mon) 10:00:41
☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / あんこ
別解をあげておきます

α=a+biとおく
xが方程式の実数解であることは次と同値
1. x^2+ax+1=0
2. bx+2=0
2よりb≠0かつx=-2/b。これを1に代入して
a=2/b+b/2
逆に、0でない任意の実数bに対して、aをこのように決めると、x=-2/bが方程式の解になる

|α|=√(a^2+b^2)=√(5/4b^2+4/b^2+2)
≧√(2+√5)(相加相乗平均の関係)
b=(16/5)^(1/4)の時に等号成立
No.88709 - 2024/09/02(Mon) 14:34:32
☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / Higashino
先生、こんにちは
Xで割ると言うようなスマートな方法は思い浮かばず、下手に解いていました
ご指導アドバイスいただけると幸いです
以下答案
No.88710 - 2024/09/02(Mon) 15:38:46
☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / X
＞＞Higashinoさんへ
問題ないと思います。

＞＞あんこさんへ
下から2行目ですが、相加平均と相乗平均の関係
の適用の仕方を間違えているのでは？。
No.88711 - 2024/09/02(Mon) 16:25:59
☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / あんこ
Xさん
ご指摘の通りです。
係数2が抜けていました。
No.88721 - 2024/09/02(Mon) 23:40:53
★ (No Subject) / 算数
算数です

3番についてです


解説書では
pからabへ引いた垂線をphとすると書いてありました。
なぜphが88×２÷10＝17.6cmになるのが分かりません


教えてください
No.88703 - 2024/09/01(Sun) 23:47:56
☆ Re: / X
まず、五角形ABCDEの面積が176cm^2になることは
よろしいですか？
三角形ABPの面積はこれの半分ですので
88cm^2
後はこの88cm^2に2をかけて、三角形ABCの底辺である
辺ABの長さである10cmをかければ、高さである
線分PHの長さを求めることができます。
No.88704 - 2024/09/02(Mon) 01:56:45
★ 三角関数 / ラーメン
87の(1)です。
アイには-2 ウには6が入ります。
なぜそうなるのか教えて下さい。
No.88700 - 2024/09/01(Sun) 16:11:20
☆ Re: 三角関数 / X
条件から
f(x)g(x)=4sin(3x-π/2)cos(3x-π/2)
=2sin(6x-π)（A) (∵)2倍角の公式
=-2sin(π-6x) (∵)θの関数sinθは奇関数
=-2sin6x

或いは(A)からsin(6x-π)に加法定理を
使ってもいいでしょう。
No.88701 - 2024/09/01(Sun) 17:17:40
☆ Re: 三角関数 / ラーメン
ありがとうございます！
No.88702 - 2024/09/01(Sun) 18:55:07
★ (No Subject) / 有栖川
最大公約数について
gcd(a, b) = 1 のとき gcd(a, bc) = gcd(a, b)
はどのように証明できるんでしょうか？
No.88696 - 2024/08/31(Sat) 22:06:02
☆ Re: / らすかる
何か間違っていませんか？
例えばa=2,b=3,c=4のとき、
gcd(a,b)=1、gcd(a,bc)=2なので
命題が成り立ちません。
# もし私の勘違いでしたらご容赦下さい。
No.88697 - 2024/09/01(Sun) 00:35:16
☆ Re: / IT
gcd(a, b) = 1 のとき gcd(a, bc) = gcd(a, c)でしょうか？

メイン部分は
gcd(a, b) = 1 のとき
　d|aかつd|bc ならば　d|c である。を示せば良いと思います。

d=gcd(a, bc)として上記を使います。


※d|a などはdがaの約数であることを表してます・
No.88698 - 2024/09/01(Sun) 09:18:54
☆ Re: / IT
gcd(a, b) = 1 のとき
　d|aかつd|bc ならば　d|c である。
の証明は、簡単のようで、知らないと自分で思いつくのは難しいかも知れません。
（私は、初等整数論の参考書を見てしまいました。）
No.88699 - 2024/09/01(Sun) 09:25:51
☆ Re: / 有栖川
>>何か間違っていませんか？

誤記でした。ご指摘ありがとうございます。

>>gcd(a, b) = 1 のとき
>>d|aかつd|bc ならば　d|c である。
>>の証明は、簡単のようで、知らないと自分で思いつくのは>>難しいかも知れません。

ありがとうございます。確認してみます。
No.88720 - 2024/09/02(Mon) 21:55:31
★ 御茶ノ水女子大学　複素数 / Higashino
御茶ノ水大学複素数　過去問
何卒よろしくお願いいたします
以下問題
No.88693 - 2024/08/31(Sat) 19:48:47
☆ Re: 御茶ノ水女子大学　複素数 / X
例えば、zの共役複素数を\zと表すことにします。

αz+β\z=1 (A)
とします。
(A)の両辺の共役複素数を取ると
\βz+\α\z=1 (B)
ここで、
|α|≠|β|
より
\αα≠\ββ
となることに注意して、(A)(B)をz,\zについての
連立方程式として解いて
z=(\α-β)/(\αα-\ββ)
No.88695 - 2024/08/31(Sat) 20:18:47
☆ Re: 御茶ノ水女子大学　複素数 / Higashino
エス先生、おはようございます
連絡が遅くなり申し訳ございませんでした
少し体調壊しておりました
今日からまた頑張りたいと思います
今回の回答ですが、x先生とほぼ同じでございまして、安堵しております
またこれからもよろしくお願いいたします
No.88705 - 2024/09/02(Mon) 05:45:59
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