ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino

複素数平名、第5日目

なにとぞよろしくお願いいたします

以下問題

No.88843 - 2024/09/14(Sat) 03:05:20

☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino

先生方おはようございます

この問題で先に進めず、大変悩んでいます

少しでもアドバイスいただけると幸いです

以下　質問と途中までの答案です

何卒よろしくお願いいたします

No.88849 - 2024/09/16(Mon) 08:00:34

☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino

追伸

以下、問題集の解説

何卒よろしくお願いします

No.88850 - 2024/09/16(Mon) 08:20:05

☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino

追伸

点と直線の距離の公式で解決しました

一体何を悩んでいたのかって感じです

答案ができましたら、またアップさせていただきます

その際はよろしくお願いいたします

No.88852 - 2024/09/16(Mon) 12:27:53

☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino

追伸

接線を求めるところまではできたのですが
最後の領域を求めるところまでで悩んでいます

アドバイスいただけると幸いです

以下、途中に答案

No.88853 - 2024/09/16(Mon) 15:54:43

☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino

　こんばんは
答案がやっとできましたので、投稿させていただきます
なにぶん自信がない答案でご指摘があると思います
どうかご指摘ください

以下答案

No.88854 - 2024/09/16(Mon) 22:46:33

☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino

　追伸
度々すいません

再度答案書き直しです

なにとぞよろしくお願いいたします

No.88855 - 2024/09/17(Tue) 00:20:58

★ 和文差分を利用した数列について / 数弱

上の式変形のどこが間違っているのかわかりません。下の式変形は特殊解を利用したもので正答が出ています。
どうかよろしくお願いします。

No.88835 - 2024/09/12(Thu) 23:36:24

☆ Re: 和文差分を利用した数列について / ヨッシー

ここまでは正しいと　の行のすぐ下の式で、ｎ＝２とすると、
　a[2]/(3/2)^2＝a[1]/(3/2)^1＋(4/9)(4/3)^0(2+1)＝a[1]/(3/2)＋4/3
になりますが、さらにその下の行で、ｎ＝２とすると、
　a[2]/(3/2)^2＝a[1]/(3/2)^1＋(1/4)(4/3)^1(1+1)＝a[1]/(3/2)＋2/3
になります。
階差を一般化するところでミスっていると思われます。

No.88840 - 2024/09/13(Fri) 11:09:15

☆ Re: 和文差分を利用した数列について / 数弱

[n-1]→→+階差n-1→→[n]を一般化するとき
[n]→→+階差n-1→→[n+1]というように
なっているため、直すには
ここまでは正しいとわかっているのすぐ下の式に
n=n+1を代入してnの範囲を変え、
[n]→→+階差n→→[n+1]
の形に変形すれば良いということでしょうか？

No.88841 - 2024/09/13(Fri) 17:11:50

★ 一橋大学の過去問 / 数弱

硬貨が2枚ある.最初は2枚とも表の状態で置かれている.次の操作をn回行っ
たあと，硬貨が 2 枚とも裏になっている確率を求めよ.
[操作]2 枚とも表，または 2 枚とも裏のときには，2 枚の硬貨両方を投げる.
表と裏が 1 枚ずつのときには，表になっている硬貨だけを投げる.

自分の解法
2枚とも裏である確率をa［n］としたとき、コインの裏表の対称性より2枚とも表である確率もa［n］このことから表と裏が1枚ずつである確率は1-2a［n］。
n回目の操作で2枚とも表、または2枚とも裏であった時、n+1回目で2枚とも裏になる確率は1/4。n回目の操作で表と裏が1枚ずつであった時、n+1回目で2枚とも裏になる確率は1/2。よって以下の漸化式が得られる。
a［n+1］=（1/4）×（2a［n］）+（1/2）×（1-2a［n］）　（n >=2）
これをa［1］=1/4として解くとa［n］=1/3+（1/6）×（-1/2）^n （n>=1）

解答
n=1の時1/4 n>=2の時3/8

どうして回答が違うのかわからないです。どうかよろしくお願いします。

No.88829 - 2024/09/12(Thu) 01:41:27

☆ Re: 一橋大学の過去問 / らすかる

「表と裏が 1 枚ずつのときには，表になっている硬貨だけを投げる.」
という操作がありますので
「2枚とも裏である確率をa［n］としたとき、コインの裏表の対称性より2枚とも表である確率もa［n］」
は正しくないと思います。

No.88830 - 2024/09/12(Thu) 03:35:25

☆ Re: 一橋大学の過去問 / 数弱

コインの裏表には対称性があると思い込んでいました、、
ご指摘ありがとうございます。

No.88831 - 2024/09/12(Thu) 09:02:16

★ 古田水平面第4日目 / Higashino

東京教育大学過去問　複写数
なぞなぞよろしくお願いいたします
以下問題

No.88828 - 2024/09/11(Wed) 19:22:59

☆ Re: 古田水平面第4日目 / ヨッシー

Ａ(0,0)、Ｂ(1,0)、Ｃ(1,1) とします。
1)
ＡＢ上の点は (t,0) (0≦t≦1) と書けるので、
　ｚ＝ｔ
とおくと、
　ｗ＝ｔ^2＋ｔ＋１
ｗの座標は (ｔ^2＋ｔ＋１, 0) であり、(1,0) から (3,0) までの線分上を動きます。

2)
ＢＣ上の点は (1, t) (0≦t≦1) と書けるので、
　ｚ＝１＋ti
とおくと、
　ｗ＝(１＋ti)^2＋(１＋ti)＋１
　　＝３－ｔ^2＋３ｔｉ
ｗの座標は　(3－ｔ^2, 3t) であり、
　ｘ＝3－(y/3)^2
この放物線上を (3, 0) から (2, 3) まで動きます。

3)
ＣＡ上の点は (t, t) (0≦t≦1) と書けるので、
　ｚ＝ｔ＋ｔｉ
とおくと、
　ｗ＝(ｔ＋ti)^2＋(ｔ＋ti)＋１
　　＝ｔ＋１＋(２ｔ^2＋ｔ)ｉ
ｗの座標は　(ｔ＋１, ２ｔ^2＋ｔ) であり、
　ｙ＝２(ｘ－１)^2＋ｘ－１
　　＝２ｘ^2－３ｘ＋１
この放物線上を　(1,0) から (2,3) まで動きます。

No.88833 - 2024/09/12(Thu) 11:48:40

☆ Re: 古田水平面第4日目 / Higashino

ご回答ありがとうございます

先生とほぼ同じ考え方となりました

何かご指摘　アドバイス　ご指導等ありましたら　何卒よろしくお願いいたします

以下答案

No.88834 - 2024/09/12(Thu) 18:37:03

★ (No Subject) / やり直しメン

算数です。

赤い文字は解説書を見て書き加えました。

なぜイ+ウ＝12になるのですか？

8点になるのは一問と3問を正解した人か2問と3問を正解した人に分かれると思うのですが

No.88817 - 2024/09/10(Tue) 22:35:57

☆ Re: / やり直しメン

ですのでイ＝12かウ＝12になるのだと思ってしまいます。

No.88818 - 2024/09/10(Tue) 22:39:30

☆ Re: / らすかる

・テストの点数が8点だった人は表から12人
・8点になるためには2点+6点しかあり得ないから、
　8点の人は第1問と第3問の二つを正解したか、または第2問と第3問の二つを正解したはず
・よって「第1問と第3問を正解した人数」と「第2問と第3問を正解した人数」を合わせて12人とわかる
・「第1問と第3問を正解した人数」＝イ、「第2問と第3問を正解した人数」＝ウだから、イ＋ウ＝12。
のようになりますが、この中でわからない（納得のいかない）点はどこですか？

No.88822 - 2024/09/11(Wed) 02:23:08

★ 複素数平面　類題 / Higashino

前回の質問の類題です
何卒よろしくお願いいたします

以下問題

No.88814 - 2024/09/10(Tue) 03:02:18

☆ Re: 複素数平面　類題 / X

α,β,γに対応する点をA,B,Cとすると
|α|=|β|=|γ|
より、△ABCの外心は原点 (A)
一方
α+β+γ=0
より
(α+β+γ)/3=0
∴△ABCの重心も原点 (B)
(A)(B)より、問題の命題は成立します。

No.88815 - 2024/09/10(Tue) 19:05:15

☆ Re: 複素数平面　類題 / IT

「外心と重心が一致する三角形は、正三角形である。」は正しいですが、証明が必要だと思います。

No.88816 - 2024/09/10(Tue) 20:26:17

☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino

先生方、ご回答ありがとうございます

x先生のご回答ですが
>『三角形において、重心、外心、内心、垂心のうち、

少なくとも2つが一致していれば、正三角形である、』

の証明が必要になりますが、私には煩雑すぎて諦めました

ベクトルを使い証明しました

以下答案です　

ご指導　アドバイス　ご指摘のほど何卒よろしくお願いいたします

No.88819 - 2024/09/10(Tue) 22:58:13

☆ Re: 複素数平面　類題 / IT

Higashinoさんの A,B,C はどんな点ですか？
なぜα＝AB→、β＝BC→、γ＝CA→と置けるのですか？

No.88820 - 2024/09/10(Tue) 23:34:08

☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino

IT先生へ

ご指摘ありがとうございます

再度私なりの説明をいたします

No.88821 - 2024/09/11(Wed) 00:44:42

☆ Re: 複素数平面　類題 / X

＞＞ITさんへ
やはり、その証明が必要になりますね。
証明なしで使える前提にしたかったのですが。

＞＞Higashinoさんへ
以下の補題を証明します。
但し、証明なしで中線定理を使うことを
前提にします。

補題)
△ABCの重心と外心が一致するとき、
△ABCは正三角形である。

証明)
△ABCの重心をG、外接円の半径をRとすると、
条件から
AG=BG=CG=R
∴辺BCの中点をMとすると
AM=(3/2)AG=(3/2)R (A)
となるので、中線定理により
AB^2+CA^2=2{{(3/2)R}^2+(BC/2)^2}
これより
∴AB^2+CA^2-(1/2)BC^2=(9/2)R^2 (B)
同様に辺CA,ABの中点に注目した中線定理により
BC^2+AB^2-(1/2)CA^2=(9/2)R^2 (C)
BC^2+CA^2-(1/2)AB^2=(9/2)R^2 (D)
(B)-(C)より
(3/2)CA^2-(3/2)BC^2=0
(CA-BC)(BC+CA)=0
∴BC＞0,CA＞0から
BC=CA (E)
同様に(C)-(D)から
CA=AB (F)
(E)(F)より、△ABCは正三角形。

No.88824 - 2024/09/11(Wed) 17:40:40

☆ Re: 複素数平面　類題 / X

只、これでは確かに練習問題の解答としては煩雑ですので
別解をアップしておきます。

別解)
|α|=|β|=|γ| (A)
α+β+γ=0 (B)
とします
(B)より
γ=-(α+β)
これを(A)に代入して
|α|=|β|=|α+β|^2
各辺2乗して右辺を展開すると
|α|^2=|β|^2=|α|^2+|β|^2+(α\β+\αβ)
∴|α|^2=2|α|^2+(α\β+\αβ)
α\β+\αβ=-|α|^2 (C)
同様に(B)を用いて、β、γを消去することにより
β\γ+\βγ=-|β|^2 (D)
γ\α+\γα=-|γ|^2 (E)

(A)(C)より
|α-β|^2=|α|^2+|β|^2-(α\β+\αβ)
=3|α|^2 (C)'
同様に(A)(D)により
|β-γ|^2=3β^2 (D)'
(A)(E)により
|γ-α|^2=3γ^2 (E)'

(A)(C)'(D)'(E)'から
|α-β|^2=|β-γ|^2=|γ-α|^2
∴|α-β|=|β-γ|=|γ-α|
となるので、問題の命題は成立します。

No.88825 - 2024/09/11(Wed) 17:50:01

☆ Re: 複素数平面　類題 / X

No.88825について、少し解説を。

問題の点α,β,γでできる三角形が正三角形だとして
複素平面上に図を描いてみると
|α-β|=(√3)|α| (P)
となっていることが分かります。
(正三角形の頂点と原点とを結んだ線分を考えましょう)

(P)⇔|α-β|^2=3|α|^2 (Q)
となることから、(Q)を証明する方針で
解くことになりますが、

問題となるのが、(Q)の左辺を展開した
ときに出てくる
α\β+\αβ
をどのようにαの式で表すか、です。
その処理がNo.88825の(C)までの過程
になっています。

(A)(B)はα、β、γに関する対称式に
なっていますので、(C)(C)'が求められれば
残りのβ、γについての式はα、β、γを
サイクリックに回していけば容易に求められます。

No.88826 - 2024/09/11(Wed) 18:06:13

☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino

x先生IT 先生

今回もありがとうございました

またよろしくお願いいたします

No.88827 - 2024/09/11(Wed) 19:21:26

★ 複素数平面　第二2日目 / Higashino

岐阜大学過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下問題

No.88799 - 2024/09/08(Sun) 21:57:43

☆ Re: 複素数平面　第二2日目 / Higashino

おはようございます
答案を作成したのですが
問題は複素数平面上での議論になります
私の座標設定は正しいものなのでしょうか？
何分複素数平面は習い始めたばかりなので教えてください

以下、私の答案を示します

なにとぞよろしくお願いいたします

No.88803 - 2024/09/09(Mon) 06:58:46

☆ Re: 複素数平面　第二2日目 / X

別解をアップしておきます。

別解)
条件から
|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=|z[4]|=r(rは正の定数) (A)
z[1]+z[2]+z[3]+z[4]=0 (B)
今、z[k](k=1,2,3,4)を解とする4次方程式を
x^4+ax^3+bx^2+dx+d=0 (C)
と置くと
x^4+ax^3+bx^2+dx+d=(x-z[1])(x-z[2])(x-z[3])(x-z[4])
右辺を展開して係数を比較すると
a=-(z[1]+z[2]+z[3]+z[4]) (D)
c=-{z[1]z[2]z[3]+z[1]z[3]z[4]+z[1]z[2]z[4]+z[2]z[3]z[4]} (E)
d=z[1]z[2]z[3]z[4] (F)
(B)(D)より
a=0 (D)'
一方(F)を(E)に用いると
c=-d(1/z[1]+1/z[2]+1/z[3]+1/z[4]) (E)'
ここで(A)より
\z[k]=(r^2)/z[k] (k=1,2,3,4) (\zはzの共役複素数。以下同じ)
∴(E)'から
c=-d(\z[1]+\z[2]+\z[3]+\z[4])/r^2
=-(d/r^2)\(z[1]+z[2]+z[3]+z[4])
=0 (E)" (∵)(B)を代入

(D)'(E)"より(C)は
x^4+bx^2+d=0 (C)'
∴(C)'の解のうち、２つをt,u(但しt≠-u)とすると、
残りの二つは-t,-uとなるので、z[1],z[2],z[3],z[4]に対応する
複素平面上の点は、原点に関して対称な2点2組で構成されます。

∴(A)よりz[1],z[2],z[3],z[4]に対応する点を頂点とする
四角形の２本の対角線の長さは等しく、かつ対角線の中点
は原点となるので、問題の命題は成立します。

No.88809 - 2024/09/09(Mon) 17:49:13

☆ Re: 複素数平面　第二2日目 / X

＞＞Higashinoさんの解答について。
大筋で問題ありません。
A,Dを実軸に関し、対称に設定するのはうまいですね。

No.88810 - 2024/09/09(Mon) 18:12:12

★ 数列　高3 / ふっく

⑶の解き方がわかりません、お願いします

No.88798 - 2024/09/08(Sun) 21:05:08

☆ Re: 数列　高3 / ヨッシー

(3)
１辺が１の下向き正三角形は、２段積んだときに１個現れ、１段積むごとに＋２、＋３していきます。
１辺が２の下向き正三角形は、４段積んだときに１個現れ、１段積むごとに＋２、＋３していきます。
　・・・
１辺がｋの下向き正三角形は、2k段積んだときに１個現れ、１段積むごとに＋２、＋３していきます。

ｎ段積んだときを考えると、
ｎが偶数のとき
　１辺がn/2の下向き正三角形は、１個
　１辺がn/2－1 の下向き正三角形は、1＋2＋3 個
　１辺がn/2－2 の下向き正三角形は、1＋2＋3＋4＋5 個
　　　・・・
　１辺が k の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・＋(n－2k＋1) 個
　　　・・・　
　１辺が１の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・＋(n－1) 個
これらを小さい順に
　1, 1＋3, 1+3+5,・・・1＋2＋3＋・・・＋(n－1)
のように n/2 個の数を並べ、順に a[1], a[2],・・・a[n/2] とします。
　a[k]＝Σ[i=1～k](4i-3)＝2k(k+1)－3k＝k(2k－1)
これを k=1～n/2 まで足すと
　Σ[k=1～n/2](2k^2－k)＝(n/2)(n/2+1)(n+1)/3－(n/2)(n/2+1)/2＝(n/2)(n/2+1)(2n-1)/6　・・・答え１

ｎが奇数のとき
　１辺が(n－1)/2 の下向き正三角形は、1＋2 個
　１辺が(n－1)/2－1 の下向き正三角形は、1＋2＋3＋4 個
　　　・・・
　１辺が k の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・ (n－2k+1) 個
　　　・・・
　１辺が 1 の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・＋(n－1) 個
同様に　a[1], a[2],・・・a[(n-1)/2] とすると、
　a[k]＝Σ[i=1～k](4i-1)＝2k(k+1)－k＝2k^2＋k
これを k=1～(n－1)/2 まで足すと
　Σ[k=1～(n-1)/2](2k^2＋k)＝n{(n-1)/2}{(n＋1)/2}/3＋{(n－1)/2}{(n＋1)/2}/2＝{(n－1)/2}{(n＋1)/2}(2n＋3)/6　・・・答え２

No.88823 - 2024/09/11(Wed) 09:19:59

★ いよいよ複素平面 / Higashino

岐阜大学過去問　嘘数平面
なにとぞよろしくお願いします
以下問題

No.88789 - 2024/09/08(Sun) 06:23:30

☆ Re: いよいよ複素平面 / X

問題の方程式から
x^2+2ax+b=0 (A)
又は
x^2+x+1=0 (B)
(B)より
x=-1/2±i(√3)/2 (B)'
(B)'を複素平面上に図示することにより
次の二つに場合分けします。
(i)(B)'の2点が正方形の隣り合う2点となるとき
正方形の縦の辺の長さは√3となりますので
(A)の解は
x=-1/2+√3±i(√3)/2 (A)'
又は
x=-1/2-√3±i(√3)/2 (A)"
(A)'から
(2x+1-√3)^2=-3
4x^2+(5-2√3)x+4-2√3=0
x^2+{(5-2√3)/4}x+1-(1/2)√3=0
これと(A)とを係数比較して
(a,b)=((5-2√3)/8,1-(1/2)√3)
同様に(A)"から
(a,b)=((5+2√3)/8,1+(1/2)√3)

(ii)(B)の2点を結ぶ線分が正方形の対角線となるとき
2点の中点に対応する複素数は
z=-1/2
対角線の長さは√3
対角線は互いに垂直ですので、(A)の解は
x=-1/2±(√3)/2
これより
(2x+1)^2=3
4x^2+4x-2=0
x^2+x-1/2=0
これと(A)'の係数比較をして
(a,b)=(1/2,-1/2)

以上から
(a,b)=(1/2,-1/2),((5-2√3)/8,1-(1/2)√3),((5+2√3)/8,1+(1/2)√3)

No.88797 - 2024/09/08(Sun) 20:51:29

☆ Re: いよいよ複素平面 / Higashino

x先生、こんばんは

ご回答いただきありがとうございます

まだ複素数平面を習い始めて2日目ですのでご容赦ください

以下答案

No.88800 - 2024/09/08(Sun) 23:09:13

★ 二次関数 / あ

場合わけのやり方はわかるのですが、不等号の意味がよくわかりません。
なぜ、（i）と（ii）で不等号が違うのでしょうか。
教えていただきたいです。よろしくおねがいいたします。

No.88786 - 2024/09/08(Sun) 01:30:07

☆ Re: 二次関数 / あ

写真です。

No.88787 - 2024/09/08(Sun) 01:34:13

☆ Re: 二次関数 / IT

a=1 のときを(i)(ii)のどちらに入れるか？の違いのことですか？

a=1 のときは、どちらに入れても良いですし、３つに分けても良いです。

ただ、区間0≦x≦a に　放物線の頂点が入らない場合と入る場合に分ける。

その方法が分かり易くて自然かなと思います。

No.88794 - 2024/09/08(Sun) 17:38:55

☆ Re: 二次関数 / あ

回答ありがとうございます。自分の説明が悪くてすみません。
なぜ、（i）では不等号が<なのに、（ii）では≦なのかが知りたいです。
ご回答してもらったのにすみません、自分の説明不足でした。
度々すみませんが、よろしくお願いします。

No.88801 - 2024/09/08(Sun) 23:15:31

☆ Re: 二次関数 / IT

No.88794で回答しています。良く読んでみてください。

No.88806 - 2024/09/09(Mon) 08:23:32

☆ Re: 二次関数 / あ

回答ありがとうございます。良く読んでなくてすみません。
理解できました。分かりやすい回答ありがとうございました。

No.88813 - 2024/09/09(Mon) 22:28:32

★ (No Subject) / 算数

算数です

5番です。

難しかったです

教えてください

No.88782 - 2024/09/07(Sat) 20:08:52

☆ Re: / ヨッシー

(1)
６×５÷２＝１５(試合)

(2)
ＢとＥともに５勝ということはないので、仮に３勝２敗とします。
すると、Ｆは多く勝っても２勝３敗、Ｃは１勝４敗、ＡとＤが０勝５敗となり、
エの条件にも合いませんし、勝ち数の合計と、負け数の合計が一致しません。
よって、ＢとＥは４勝１敗で、ＥはＣに負け、ＢはＥに負けたことがわかります。

Ｆが２勝３敗とすると、Ｃは１勝４敗、ＡとＤが０勝５敗となり、やはり、勝ち数と負け数が一致しません。
よって、Ｆは３勝２敗。

Ｃが１勝４敗だと、ＡとＤが０勝５敗で、やはりダメで、Ｃは２勝３敗。

ここまでの４チームは　１３勝７敗。
ＡとＤとで、２勝８敗にするには、それぞれ　１勝４敗。

これを踏まえて勝敗表を作ると図のようになります。

No.88811 - 2024/09/09(Mon) 18:45:27

★ (No Subject) / SUN

三角形ABCがあり点Aを通り直線BCと平行な直線，点Bを通り直線CAと平行な直線，点Cを通り直線ABと平行な直線によってつくられる三角形を△STUとする。また点Hは三角形ABCの垂心を表すとする。

四角形ABSC，四角形ＢＣＴＡ，四角形ＣＡＵＢが平行四角形であることに着目して点Ｈは△ＳＴＵの[カ　外心]である
また△ＳＴＵと△ＡＢＣのキ [重心]は一致する

△STUのキ[重心]をXとし△STUを点Xの周りで180度回転移動しさらに点Xを中心にク[1/2]倍に縮小すると△ABCと重なるので△STUのカ [外心]とキ[重心]の位置関係が分かる

△ABCの外心をOとする。3点H,X,Oの位置関係は?

三角形STU上の任意の点をE，三角形ABC上の任意の点をFとすると重心Xを中心に1/2倍に縮小するということは
1/2XE=XF…<1>
が常に成り立つように三角形STUを縮小することですよね
だから△STUを重心Xを中心に1/2倍の三角形は△ABCと等しい
=△STUの外心Hは1/2倍に圧縮されたために△OABの外心Oに移動した

三角形の周上の点以外でも(外心，内心)も<1>のように移動するはずなので
1/2XH=XO
よってXO;OH=1:1だと思ったのですが…
選択肢全てXは直線ＯＨを〇：△に内分する点である
しかないんですけど…
これだとXは直線OHを1:2に外分するになってしまうんですが…何がいけないんでしょうか？解説よろしくお願いします

No.88780 - 2024/09/07(Sat) 16:47:02

☆ Re: / 黄桃

>1/2XH=XO
は合ってますが、X,O,Hの位置関係を誤解しているようです。

平面上に、XとHの2点だけをとり、
HをXの回りに180度回転し
移動先をYとし(※)、
XYをXからYの方向に半分の地点、つまり、XYの中点がO
という位置関係になっています。

※の部分は、アナログ時計の中心をX
12時の部分をHとすれば、Yは6時の部分になります。

No.88802 - 2024/09/08(Sun) 23:34:27

★ 広島大学　複素数 / Higashino

広島大学複素数　過去問
なにとぞよろしくお願いいたします
以下問題

No.88764 - 2024/09/07(Sat) 07:51:22

☆ Re: 広島大学　複素数 / X

例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
|z[1]|=|z[2]|=1 (A)
|z[1]+z[2]|^2=1 (B)
(B)の左辺を展開し、(A)を代入すると
z[1]\z[2]+\z[1]z[2]=-1
∴z[1]\z[2]=-1/2+it (C)
(tは実数)
(C)の両辺の絶対値を取り、(A)を代入すると
1/4+t^2=1
∴t=±(√3)/2
これを(C)に代入すると
z[1]\z[2]=-1/2±i(√3)/2
(複号同順、以下同じ)
更に(A)より
\z[2]=1/z[2]
∴z[1]/z[2]=-1/2±i(√3)/2
2z[1]/z[2]+1=±i√3
(2z[1]/z[2]+1)^2=-3
(z[1]/z[2])^2+z[1]/z[2]+1=0
z[1]^2+z[1]z[2]+(z[2])^2=0
両辺にz[1]-z[2]をかけて
z[1]^3-z[2]^3=0
∴z[1]^3=z[2]^3

No.88767 - 2024/09/07(Sat) 09:15:17

☆ Re: 広島大学　複素数 / GandB

　　z1 = cosα + i*sinα
　　z2 = cosβ + i*sinβ
とおいて |z1+z2| を計算すると
　　α-β = 2π/3
が得られるから、この結果を
　　z1^3 = cos3α + i*sin3α
　　z2^3 = cos3β + i*sin3β
のどちらかに代入して比較する。
　こちらの方が少しだけ楽な気がするが、どうかな（笑）

No.88769 - 2024/09/07(Sat) 09:25:05

☆ Re: 広島大学　複素数 / X

＞＞GandBさんへ
私も初めは同じ方針で計算したのですが
その方針だと、例えば
0≦α＜2π,0≦β＜2π
というように、最低でも幅2πでα,βの範囲を
設定しなければならず、そうすると
-2π＜α-β＜2π
ここから、α-βの値を4個考えなくてはならなく
なってしまうので止めました。

No.88770 - 2024/09/07(Sat) 09:35:01

☆ Re: 広島大学　複素数 / Higashino

諸先生方
ご回答くださりありがとうございます
複素数平面をまだ勉強していませんので、理解できない部分がたくさんございましたが　これから複素数平命を勉強したらまた読んでみたいと思います
今回の私の答案です
ご指導　ご指摘　アドバイスのほど、何卒よろしくお願いいたします

No.88772 - 2024/09/07(Sat) 10:41:55

☆ Re: 広島大学　複素数 / X

＞＞Higashinoさんへ
その解答で問題ありません。

No.88783 - 2024/09/07(Sat) 20:47:47

★ 数列の解答の書き方 / ヒロ

以下の問題で解答１と解答２でどちらにするほうがいいですか。理由も教えて下さい。
（ a［ｎ＋１］=２a［n］を使えば、すぐにa［n］=3・２^(n-1)ですが、
a［n］=２a［n-1］のときは書き方がわかりませんでした。）

●問題●
時刻ｎのときの細胞の個数をa［n］とする。細胞は１分ごとに２倍に増える。a［1］＝３として
時刻nのときの細胞の個数a［n］をnの式で表せ。

●解答１●
a［1］＝３, a［n］=２a［n-1］より、　a［n］=3・２^(n-1)

●解答２●
a［1］＝３, a［n］=２a［n-1］　（ｎ≧２）より
a［n］=3・２^(n-1)　　（ｎ≧２）　……(1)
(1)はｎ＝１のとき、a［1］=3・２^(1-1)=3だから　ｎ＝１のときも成り立つ。
よって、a［n］=3・２^(n-1)　　　（ｎ≧１）

No.88761 - 2024/09/07(Sat) 00:27:00

☆ Re: 数列の解答の書き方 / X

略解なら解答1でも問題ありませんが、正確に書くなら
解答2になります。

No.88766 - 2024/09/07(Sat) 09:00:19

☆ Re: 数列の解答の書き方 / ヒロ

ちなみに、

等比数列a［n］=r×a［n-1］……(あ)　　（rは公比）
等差数列a［n］=［n-1］＋d……（い）　　（dは公差）
漸化式a［n］=p×a［n-1］+ｑ……（う）　（p,qは定数）

のときは、解答1のようにn≧2を考えずに、以下のことが常に成り立ちますか。
また、大学入試、学校の定期試験では、n≧2を考えずに解答しても減点はないですか。

（αは初項）　(あ)は、　　a［n］=α×r^(n-1)、
　　　　　　　(い)は、　　a［n］=α＋(n-1)×d、
　　　　　　 (う)は、　　a［n］=（α-ｃ)×r＾(n-1)+ｃ　（ｃは特性方程式ｃ＝ｐｃ＋ｑの解）

よろしくお願いします。

No.88771 - 2024/09/07(Sat) 10:14:15