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★ (No Subject) / やり直しマン
問6についてです。

算数です。

解説お願いします
No.88370 - 2024/07/18(Thu) 19:42:27
☆ Re: / ヨッシー
ＡＢとＥＦの交点をＧとし、△ＡＦＧを考えると、
△ＡＦＧの面積は正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の1/6 です。
ここで、△ＧＰＱを考えると、△ＡＦＧに対して
ＧＰはＧＡの 3/2 倍、ＧＱはＧＦの 8/5 倍なので、
△ＧＰＱは△ＡＦＧの 3/2×8/5＝12/5 倍であり、そこから
△ＡＦＧを除いた四角形ＡＰＱＦは 12/5−1＝7/5 (倍)、
正六角形ＡＢＣＤＥＦから見ると、
　7/5÷6＝7/30(倍)
となります。
No.88380 - 2024/07/19(Fri) 08:58:07
★ 数?V・導入付きの積分 / パラジクロロ
置換しようとしても上手くxが消せませんでした。解説よろしくお願いします。
No.88369 - 2024/07/18(Thu) 15:40:20
☆ Re: 数III・導入付きの積分 / ast
> 置換しようとしても
誘導意図は置換積分ではなく部分積分でしょ. つまり, 例えば (sin(x)-xcos(x))^2/x^5 = (sin(x)-xcos(x))/(-2x^2sin(x)) (sin(x)^2/x^2)' だから f(x)=(sin(x)-xcos(x))/(-2x^2sin(x)), g(x)=sin(x)^2/x^2 とでも置くならば
　∫_[π/2,π] (sin(x)-xcos(x))^2/x^5 dx = f(π)g(π)-f(π/2)g(π/2) - ∫_[π/2,π]f'(x)g(x)dx.

まあこれでこの後も計算進めるのならその前に「(1') 函数 y=cos(2x)/x^4 を微分せよ.」あたりを追加したほうがいい気はするが.
No.88371 - 2024/07/18(Thu) 20:54:31
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / パラジクロロ
ありがとうございます。
f'(x)g(x)の積分はどう解くのですか？
No.88375 - 2024/07/18(Thu) 23:21:10
☆ Re: 数III・導入付きの積分 / ast
それは既に書いたつもりですが. 具体的に言えば, f'(x)g(x) の計算結果, および (1') の結果はどうなりましたか?
# 両者は一致はしませんがそれらの差は平易に積分できるものになっているはずです.
# ピンとこないのであればきっと計算間違いでもあるのでしょう.
No.88376 - 2024/07/19(Fri) 01:16:14
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / X
横から失礼します。

(1)は
y'={2(sinx)/x}(xcosx-sinx)/x^2
=2(sinx)(xcosx-sinx)/x^3
として、

(2)の別解)
(与式)=[-(1/5)(1/x^4)(xcosx-sinx)^2][π/2→π]
-(2/5)∫[π/2→π](1/x^4)(xcosx-sinx)・xsinxdx
=(1/5)(16/π^4-1/π^2)-(1/5)∫[π/2→π]{(2sinx)(xcosx-sinx)/x^3}dx
=(1/5)(16/π^4-1/π^2)-(1/5)[{(sinx)/x}^2][π/2→π] (∵)(1)の結果より
=(1/5)(16/π^4-1/π^2)+(1/5)(4/π^2)
=(1/5)(16/π^4+3/π^2)

＞＞astさんへ
そのf(x)の置き方だとf(π)の値は存在しないので、広義積分の扱いになって
高校数学の範囲を外れるのでは？
No.88377 - 2024/07/19(Fri) 02:05:48
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / ast
> f(π)の値は存在しない
f(x)g(x) の x=π における値 f(x)g(x)|_[x=π] を形式的に f(π)g(π) と書いているだけなので, 見かけ上の問題は実際には存在しませんし広義積分ではありません.
No.88378 - 2024/07/19(Fri) 03:39:47
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / X
＞＞astさんへ
失礼しました。その通りですね。
No.88383 - 2024/07/19(Fri) 18:24:15
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / パラジクロロ
なんとかそれっぽいものにはなりました。ありがとうございます。
No.88407 - 2024/07/21(Sun) 20:08:35
★ (No Subject) / 信濃川
この定積分を求めてください
No.88367 - 2024/07/18(Thu) 11:22:25
★ (No Subject) / 有栖川
三次方程式
x^3+ax^2+bx+c=0 が相異なる実数解を3つもち(重解を含む)その全ての解が-1<=x<=1の範囲に含まれる時、(a,b,c)の満たす条件を求めよ。

この問題の解説をお願いします。
No.88365 - 2024/07/17(Wed) 22:25:23
☆ Re: / らすかる
f(x)=x^3+ax^2+bx+cとおく
f'(x)=3x^2+2ax+b
全てが実数解であるためには
少なくともf'(x)=0が解を持つ必要があるので
D/4=a^2-3b≧0 … (1)
f'(x)=0の解はx={-a±√(a^2-3b)}/3
全てが実数解であるためには
f({-a-√(a^2-3b)}/3)≧0 … (2)
かつ
f({-a+√(a^2-3b)}/3)≦0 … (3)
f(x)=f'(x)(3x+a)/9-{2(a^2-3b)x+(ab-9c)}/9
を利用して(2)(3)を解き整理すると
(2a^3-9ab+27c)^2≦4(a^2-3b)^3 … (4)
(4)が成り立つとき(1)も成り立つから、(1)は不要
よって(4)はf(x)=0の解が全て実数であるための必要十分条件
そして全ての解が-1≦x≦1の範囲に含まれるためには
{-a-√(a^2-3b)}/3≧-1 かつ
{-a+√(a^2-3b)}/3≦1 かつ
f(-1)≦0 かつ
f(1)≧0
上2つから
|a|≦3 かつ 2|a|≦b+3
下2つから
|a+c|≦b+1
従って求める条件は
|a|≦3 かつ 2|a|≦b+3 かつ |a+c|≦b+1 かつ
(2a^3-9ab+27c)^2≦4(a^2-3b)^3

# 多分合っていると思いますが、計算はご確認下さい。
No.88366 - 2024/07/18(Thu) 01:05:29
☆ Re: / 有栖川
ありがとうございます！
No.88368 - 2024/07/18(Thu) 13:29:12
★ 数2 2項定理 / アルファ
x＞0のとき　(1+x)^2＞1＋nx+[(n(n-1))x^2)]/2 (nは3以上の自然数)
を2項定理を用いて証明せよ
解き方がわからないです。教えてください
No.88363 - 2024/07/17(Wed) 20:28:45
☆ Re: 数2 2項定理 / らすかる
例えばx=1、n=3のときその式は成り立ちません。
左辺の「^2」は「^n」の間違いではありませんか？
No.88364 - 2024/07/17(Wed) 21:48:44
☆ Re: 数2 2項定理 / アルファ
おっしゃる通り左辺間違えてました
^nでした
No.88386 - 2024/07/19(Fri) 20:55:25
☆ Re: 数2 2項定理 / らすかる
それならば左辺を二項定理で展開して
(1+x)^n=nC0・1^n・x^0+nC1・1^(n-1)・x^1+nC2・1^(n-2)・x^2+…
=1+nx+n(n-1)x^2/2+…
＞1+nx+n(n-1)x^2/2
となります。
No.88388 - 2024/07/20(Sat) 06:05:07
★ (No Subject) / やり直しマン
算数です
大きい2番についてです。

黄色のマークからなぜ分かるのですか？

点P,Qが何回目に回るのが分かるのですか？
No.88360 - 2024/07/16(Tue) 22:34:15
☆ Re: / やり直しマン
文書が変でした訂正します。

黄色のマークからなぜ点pが4週、点qが2週とわかるのですか？
No.88361 - 2024/07/16(Tue) 22:41:02
☆ Re: / ヨッシー
Ｑについては、Ａ→Ｄ→Ｃ→Ｂ→Ａ→Ｄ と
進んだ所からの動きを考えているので、当然２周目です。
Ｑが１周してさらにＤまで来るまでの時間が 39と1/3 秒であるのに対し、
Ｐが３周してＡに戻るまでの時間は
　(13と5/7)×3＝41と1/7
なので、Ｑが２回目にＤに来た 39と1/3 秒には、Ｐは３周出来ていません。
その後、２秒足らずで３周し、その後、ＡＢ上で、Ｑの真横に来ます。
No.88362 - 2024/07/17(Wed) 09:17:38
★ (No Subject) / cavy
実数の大小関係の基本性質を用いて，次のことが成り立つことを証明せよ。
a >0, b>0 ⇒ a+b>0


当たり前の事でこれをどう証明したらいいのかわかりません
No.88356 - 2024/07/16(Tue) 13:57:01
☆ Re: / ヨッシー
こちらの基本性質より
　a＞0
両辺に b を足して
　a＋b＞b
b＞0 より　
　a＋b＞b＞0
よって、
　a＋b＞0
No.88357 - 2024/07/16(Tue) 14:27:04
☆ ありがとうございます / cavy
なるほど。このように証明すれば良いんですね。ありがとうございました。
No.88358 - 2024/07/16(Tue) 15:02:54
★ 期待値 / ボブ
1から6までの整数が1つずつ書かれたカードが6枚ある。この中から3枚のカードを無作為に取り出して得られる3つの整数のうち最大のものをXとする。Xの期待値を求めよ。

解き方がわからないです。
No.88354 - 2024/07/15(Mon) 23:15:52
☆ Re: 期待値 / らすかる
6枚から3枚取り出す全20通りのうち
x=3であるものは1通り(1,2,3)
x=4であるものは3C2=3通り((1,2,4),(1,3,4),(2,3,4))
x=5であるものは4C2=6通り
((1,2,5),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5))
x=6であるものは5C2=10通り
((1,2,6),(1,3,6),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,6),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6))
なので、求める期待値は
(3×1+4×3+5×6+6×10)÷20=21/4
No.88355 - 2024/07/15(Mon) 23:42:59
☆ Re: 期待値 / ボブ
理解できました！ありがとうございました！
No.88359 - 2024/07/16(Tue) 22:33:29
★ 座標 / メロン
一辺の長さが8の正三角形を点線で切って移動させると正方形になります。

(1)OXの長さ
(2)Xの座標
(3)AX＋BY＝XYである。このときのXYの長さ
(4)Yの座標

この4つの解き方を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.88344 - 2024/07/14(Sun) 13:09:30
☆ Re: 座標 / らすかる
正三角形の面積は16√3なので
正方形の一辺の長さは4√√3
OXは正方形の一辺の長さに等しいのでOX=4√√3

Xの座標を(x,y)とすると
x^2+y^2=16√3
y=(-√3)x+4√3
これを解くとx=3-√(4√3-3), y=√3+√(12√3-9)なので
Xの座標は(3-√(4√3-3),√3+√(12√3-9))

AX+BY=XY
AX+XY+BY=8
の2式から
XY=4

Yの座標を(x,y)とすると
{3-√(4√3-3)-x}^2+{√3+√(12√3-9)-y}^2=16
y=(-√3)x+4√3
これを解くとx=5-√(4√3-3), y=-√3+√(12√3-9)なので
Yの座標は(5-√(4√3-3),-√3+√(12√3-9))
No.88349 - 2024/07/14(Sun) 16:38:47
☆ Re: 座標 / メロン
らすかる様
わかりやすい解説ありがとうございます。
一つ解説の中で分からない点があるのですが、どうしてOXも正方形一辺の長さと同じになるのでしょうか？
No.88350 - 2024/07/14(Sun) 18:03:07
☆ Re: 座標 / らすかる
正方形に組み立てる方法はわかっていますよね？
MからOXに下した垂線の足をP
YからOXに下した垂線の足をQ
とすると
四角形OPMCの辺OPと四角形OBYQの辺OQが一直線に並んで正方形の一辺になることから
OP+OQ=(正方形の一辺)
また四角形AMPXの辺PXと三角形QYXの辺QXが一直線に並んで正方形の一辺になることから
PX+QX=(正方形の一辺)
よって
(OP+OQ)+(PX+QX)=(正方形の一辺)×2
となりますが
(OP+OQ)+(PX+QX)=(OP+PX)+(OQ+QX)=OX+OX=2OX
ですから、OX=(正方形の一辺)となります。
No.88351 - 2024/07/14(Sun) 18:10:04
☆ Re: 座標 / メロン
そういうことだったんですね！
組み立て方は分かっていて実際に手元にパズルも印刷して作ったのですが、OXの考え方が思いつきませんでした…
丁寧な説明ありがとうございました！
No.88352 - 2024/07/14(Sun) 18:36:37
☆ Re: 座標 / らすかる
後で気づきましたが、四角形OYXMが平行四辺形であることに気づければ
Yの座標はX-Mで簡単に求められますね。
No.88353 - 2024/07/15(Mon) 22:11:49
☆ Re: 座標 / メロン
らすかる様
Y座標はX-Mでどのように求めれば良いのか具体的に教えていただけませんか？
考えてもわからなかったです…
No.88373 - 2024/07/18(Thu) 22:46:08
☆ Re: 座標 / メロン
もう一度考えたら解けました！
こちらの方が簡単でやりやすかったです！
ありがとうございました！
No.88374 - 2024/07/18(Thu) 23:12:03
★ (No Subject) / 勉強
ある工場では，内容量が １００ g と記載されたポッ
プコーンを製造している。のり子さんが，この工場
で製造されたポップコーン １ 袋を購入して調べたと
ころ，内容量は ９８ g であった。のり子さんは「記載
された内容量は誤っているのではないか」と考え
た。そこで，のり子さんは，この工場で製造された
ポップコーンを １００袋購入して調べたところ，標本平均は １０４g，標本の標準偏差は ２ g であった。
以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて 正規分布表を用いてもよい
ポップコーン １袋の内容量を確率変数 X で表すこととする。のり子さんの調査の結果をもとに，X は平均 １０４ g，標準偏差 ２ g の正規分布に従うものとする
のり子さんがポップコーンを購入した店では，この工場で製造されたポップコーン ２ 袋をテープでまとめて売っている。ポップコーンを入れる袋は １ 袋あたり ５ g であることがわかっている。テープでまとめられたポップコーン ２ 袋分の重さを確率変数 Y で表すとき，Y の平均をmY，標準偏差をvとおく。


mY，v をもとめるにあたりY＝（X＋５）２＝２ｘ＋１０から
mY＝２＊１０４＋１０＝２１８はわかります。
vのほうが解説にテープでまとめられた２袋をひとつの標本とすると、標本の大きさは２であるのでv=２/ルート２とあり、この部分がいまいち理解できません。標準偏差がσである母集団から、ランダムに大きさnの標本を取り出し、標本平均ｘをとする。このとき、σ（ｘ）＝σ/ルートnという公式をつかっていることはわかります。ｘを母集団として2個取り出すから大きさ2の標本を取り出すってこと？でも全体として何個取り出しているかわからないし大きさ2の標本と考えるのもよくわからないみたいな感じで頭がこんがらがっています。最初に思いついたのはσ（ｘ）＝＝２かつY＝２ｘ＋１０なのだからσ（y）＝絶対値２σ（ｘ）というものだったんですがこれが何でダメなのかよくわからず・・・参考書等もさらいなおしてみたんですが同系統の問題もなく途方に暮れています。
よろしくおねがいします
No.88339 - 2024/07/13(Sat) 23:44:49
☆ Re: / 勉強
記載に誤りがありました。v=２/ルート２ではなくテープでまとめられた2袋の内容量の平均を~xとすると~xの標準偏差＝2/ルート２=ルート２。ｖ＝絶対値２＊ルート２でした
No.88340 - 2024/07/13(Sat) 23:56:35
☆ Re: / 勉強
解説に読み逃していた部分があり自己解決しました。質問を取り下げます。申し訳ありません
No.88341 - 2024/07/14(Sun) 00:03:33
★ 三平方の定理 / ゆき
(1)は30度と分かったのですが、(2)が恐らく三平方の定理を使うと思うのですが、解き方がわからないです。
教えて下さい。
No.88326 - 2024/07/11(Thu) 23:03:30
☆ Re: 三平方の定理 / X
求める長さをx[cm]とすると、△APC,△BECにおいて
三平方の定理により
CP=√(x^2+4)[cm] (A)
CE=√(x^2+16)[cm] (B)
一方、(1)の結果から
CP:(CE/2)=2:√3 (C)
(A)(B)(C)から
√(x^2+4):(1/2)√(x^2+16)=2:√3
これをxの方程式として解きます。

こちらの計算では
x=√2
となりました。
No.88329 - 2024/07/12(Fri) 08:52:38
☆ Re: 三平方の定理 / ゆき
わかりやすい解説ありがとうございます！
おかげで理解することができました！
No.88332 - 2024/07/13(Sat) 16:11:51
★ 数珠順列 / カタ
白玉4個、黒玉2個、赤玉2個の合計8個の玉すべてに紐を通して輪を作る方法は何通りあるか。

という問題です。答えも解き方もわかっていません。裏返すと同じになるものの考え方が難しいです。よろしくお願いします。
No.88325 - 2024/07/11(Thu) 15:47:05
☆ Re: 数珠順列 / カタ
自分で考えてみました。

円順列として考えると7！/(4！2！)=105通り。
そのうち添付した画像の並べ方以外の104通りは全て裏返すと同じになるものがある。
だから(105-1)/2+1=53ということで
答えは53通り。

正しいでしょうか?
No.88327 - 2024/07/11(Thu) 23:56:18
☆ Re: 数珠順列 / らすかる
まず円順列が違います。
一列に並べる方法は8!/(4!2!2!)=420通り
このうち180°回転対称であるものは
4!/(2!1!1!)=12通りなので
420-12=408通りは8重複、12通りは4重複となるから
円順列は408/8+12/4=54通り。

そして「裏返して自分自身と同じになるもの」は
対称軸が赤−赤かつ黒−黒
赤白黒白赤白黒白
対称軸が赤−赤
赤白白黒赤黒白白
対称軸が黒−黒
黒白白赤黒赤白白
対称軸が白−白
白白黒赤白赤黒白
白白赤黒白黒赤白
白黒白赤白赤白黒
対称軸が玉の隙間
白白黒赤赤黒白白
白白赤黒黒赤白白
白黒白赤赤白黒白
白赤白黒黒白赤白
白黒赤白白赤黒白
黒白白赤赤白白黒
の12通りですから、数珠順列は
(54-12)/2+12=33通り
となります。
No.88328 - 2024/07/12(Fri) 00:58:06
☆ Re: 数珠順列 / カタ
らすかる様
ご回答ありがとうございます。
理解することができました。
赤玉か黒玉のどちらかが1個だったら、その玉の目線になって円順列を考えられるけど、この問題の場合は8個の玉を１列に並べてみて、４回重複のもの、８回重複のものと分けて考えるのですね。
円順列から数珠順列に考え直すときも対称軸が何になるかで、整理して場合分けするのが重要ですね。
本当にありがとうございました。助かりました。
No.88345 - 2024/07/14(Sun) 13:55:23
☆ Re: 数珠順列 / カタ
８重複はこういうのですね
No.88346 - 2024/07/14(Sun) 13:56:44
☆ Re: 数珠順列 / カタ
裏返すと自分になるもの
No.88347 - 2024/07/14(Sun) 13:58:33
☆ Re: 数珠順列 / らすかる
私の図のない説明だけで理解して頂けたようで、良かったです。
図があるとわかりやすいですね。
No.88348 - 2024/07/14(Sun) 15:39:03
★ 組合せの総数 / てつ
「A」「B」「C」「D」「E」の5つの文字を使って4文字を作成する組み合わせ総数の考え方を教えてください。
5つの文字は何回使ってもよいという条件です。
「AAAA」や「AABB」もOKという事です。

答えは「70」通りになります。
重複を除かない場合は「5x5x5x5」＝625通り、これは理解できます。
そこから重複を除くと「70」通りになる考え方が判りません。
No.88320 - 2024/07/10(Wed) 18:10:52
☆ Re: 組合せの総数 / てつ
追伸です。

「AABB」と「BBAA]、「ABAB」「BABA」は同じとみなします。
順序を入れ替えて同じ文字となるものは重複しているとみなして、組合せから除きます。
No.88321 - 2024/07/10(Wed) 18:50:37
☆ Re: 組合せの総数 / IT
同じ文字の個数のパターンごとに数え上げるのが早いかも知れませんね
(4):AAAAなど 5通り
(3,1):AAABなど 5×4通り
(2,2):AABBなど C(5,2)通り
(2,1,1):AABCなど 5×C(4,2)通り
(1,1,1,1):ABCDなど 5通り
No.88322 - 2024/07/10(Wed) 20:33:23
☆ Re: 組合せの総数 / てつ
IT様、ありがとうございます。

なるほどです。理解できました。
どうもありがとうございました。
No.88323 - 2024/07/10(Wed) 21:12:37
☆ Re: 組合せの総数 / らすかる
別解
○○○○××××を任意に並べて
左から順に○をB,C,D,Eに変えて
左端にAを付けると
例えば
AB××C×DE×
などのように並ぶが
これで4つある×の左にある文字を選ぶと考えればよい
上の例ではBBCE
よって8C4=70通り
No.88324 - 2024/07/11(Thu) 00:33:11
☆ Re: 組合せの総数 / IT
らすかるさんの別解、思いつきませんでした。
下記のように逆に対応させて考えると納得しやすいかも知れませんね。
AABC→A××B×C×DE→A××○×○×○○→××○×○×○○
No.88330 - 2024/07/13(Sat) 14:56:06
☆ Re: 組合せの総数 / らすかる
そうですね。元の発想がそういう順番なので、
その順で説明した方がわかりやすかったですね。
No.88331 - 2024/07/13(Sat) 15:11:33
☆ Re: 組合せの総数 / ast
余談です.
　C[8,4] ……(1)
　= C[6,2]+2C[6,3]+C[6,4] ……(2)
　= C[5,1]+3C[5,2]+3C[5,3]+C[5,4] ……(3)
　= C[4,0]+4C[4,1]+6C[4,2]+4C[4,3]+C[4,4] ……(4)
で, らすかるさんのやり方が (1), IT さんのやり方が (多少見た目が違うが) (3)
ということになりますが, (2) や (4) に (あるいは n 文字並べるように一般化して同様に展開していって (5),(6),… に) 相当する数え方ができるやり方は何かあるでしょうか?

## わたしもらすかるさんのやりかたは思いつかなかったのですが, 知ってから見ると
## No.88301 で自分も同じやり方をしてたことに気付いた……
## (「端をひとつ固定」<->「ちょうど」, 「端を固定しない」<->「以下」の違いくらい)
No.88333 - 2024/07/13(Sat) 16:32:40
☆ Re: 組合せの総数 / IT
別解です。最初に思いつきましたが計算が面倒なので止めました。
文字数が増えると記述や計算は面倒ですが考え方は簡単です。

Σ[a=0,4](Σ[b=0,4-a](Σ[c=0,4-a-b](Σ[d=0,4-a-b-c]1)))
No.88334 - 2024/07/13(Sat) 18:46:48
☆ Re: 組合せの総数 / IT
４個の同じものを５人（ABCDE)に分ける仕方（１つももらえない人がいてもいい）と考えるのが、よくある考え方ですね。

(A)｜(B)｜(C)｜(D)｜(E)

○○○○｜｜｜｜を並べる方法の数なのでC[8,4]
No.88335 - 2024/07/13(Sat) 19:00:11
☆ Re: 組合せの総数 / てつ
皆様、ありがとうございます。
自分には高度すぎる内容だったので静観してましたが、ITさんの
>４個の同じものを５人（ABCDE)に分ける仕方（１つももらえない人がいてもいい）と考えるのが、よくある考え方ですね。
は、非常にわかりやすいです。

一般公式として、
(要素数-1+取り出す数) C (取り出す数)
でいけそうです。
今回の場合だと「要素数＝5」、「取り出す数＝4」で
(5-1+4)C(4)=8C4
No.88336 - 2024/07/13(Sat) 19:22:38
☆ Re: 組合せの総数 / らすかる
その公式をあらためて記号にしたのが
重複組合せのnHrですね。（つまりnHr=(n+r-1)C(r)）
なのでこれを学習済みという前提なら
5H4=70で一発です。
No.88337 - 2024/07/13(Sat) 19:29:26
☆ Re: 組合せの総数 / てつ
らすかる様、ありがとうございます。
やはり、そのような公式が既にあるのですね。
勉強になります。
No.88338 - 2024/07/13(Sat) 19:42:39
☆ Re: 組合せの総数 / ast
IT さんの No.88334 の計算には
　(*) Σ_[j=0,…,n-x] C[n-x-j,k] = C[n-x+1,k+1]
が成り立つので, n=4 のとき 1=C[4-(a+b+c+d),0] からはじめて
> Σ[a=0,4](Σ[b=0,4-a](Σ[c=0,4-a-b](Σ[d=0,4-a-b-c]1)))
は
　Σ_[d=0,…,4-(a+b+c)] C[4-(a+b+c)-d,0] = C[5-(a+b+c),1],
　Σ_[c=0,…,4-(a+b)] C[5-(a+b)-c,1] = C[6-(a+b),2],
　Σ_[b=0,…,4-a] C[6-a-b,2] = C[7-a,3]
　Σ_[a=0,…,4] C[7-a,3] = C[8,4]
という見通しが立てられるので立式の素朴さを思えば案外良い方法かもしれません (もちろん単に計算というだけでなく各式に組合せ論的解釈が与えられてしかるべきですし, それは可能そうな形をした式ではありますが). あるいは
> Σ[a=0,4](Σ[b=0,4-a](Σ[c=0,4-a-b](Σ[d=0,4-a-b-c]1)))
　 =Σ[a=0,4](Σ[b=a,4](Σ[c=b,4](Σ[d=c,4]1)))
と書いても同じですから, (*) を
　(**) Σ_[j=x,…,n] C[n-j,k] = C[n-x+1,k+1]
として用いて
　Σ_[d=c,…,4] C[4-d,0] = C[5-c,1],
　Σ_[c=b,…,4] C[5-c,1] = C[6-b,2],
　Σ_[b=a,…,4] C[6-b,2] = C[7-a,3],
　Σ_[a=0,…,4] C[7-a,3] = C[8,4]
でも同じことですが.

# (*)(**) は基本的には階乗冪 x^n := x(x-1)…(x-n+1) が和分差分に関してよく振る舞うという話:
# 差分 Δx^n = nx^n-1, 和分 Σx^n) = x^n+1/(n+1).

この論法で一般に, 並べる文字数が n 個なら Σ_[d=c,…,n] C[n-d,0] から始めて最後が C[n+4,4] に, さらに選べる文字が m+1 種なら　Σ が m 重になるから C[n+m,m] を得る, でいいかな.
No.88342 - 2024/07/14(Sun) 00:58:04
☆ Re: 組合せの総数 / IT
astさん
>もちろん単に計算というだけでなく各式に組合せ論的解釈が与えられてしかるべきです・・

なるほど、おもしろいですね。
No.88343 - 2024/07/14(Sun) 11:17:28
★ 正四面体の切断 / 喜怒哀楽
正四面体を1つの平面で切った時、切り口に五角形はできないことを中1の知識で説明することはできますか？
No.88317 - 2024/07/08(Mon) 15:24:50
☆ Re: 正四面体の切断 / IT
正四面体の各面と１つの平面との共通部分は、それぞれ高々１本の線分にしかならない。
正四面体には４面しかないので、正四面体を1つの平面で切った時、切り口に五角形はできない。
ぐらいで良いのでは？
No.88318 - 2024/07/08(Mon) 18:57:14
☆ Re: 正四面体の切断 / 喜怒哀楽
回答ありがとうございます。

確かにそれくらいで十分ですね。ありがとうございました。
No.88319 - 2024/07/09(Tue) 08:52:42
★ (No Subject) / Th
ありがとうございます!
No.88316 - 2024/07/07(Sun) 17:41:16
★ 素数 / Th
素数p1とp2がある時、p1p2+1が素数ならばp1+p2またはp1+p2+1のどちらかは素数である
この命題の反例を教えてください
(出典はありません)
No.88314 - 2024/07/07(Sun) 15:17:00
☆ Re: 素数 / IT
素数p1とp2がある時、p1p2+1が素数ならば
　p1とp2の少なくとも一方は２ですね。

順に調べて、p1=2,p2=23 が反例になるのでは？
No.88315 - 2024/07/07(Sun) 16:39:57
★ 施設 / 夏
A地区とB地区は3km 離れています。
A地区には50人、B地区には２０人の小学生が
います。どこに小学校をつくればいいですか。
No.88311 - 2024/07/07(Sun) 09:57:45
☆ Re: 施設 / IT
1つの小学校をつくるのでしょうが、
それだけでは条件不足ですね。
何を最小（最大）にするのか、どこにでも作れるのか？、通学手段（距離や学年にもよると思いますが）は？など

数学（算数）の問題ではなく社会の問題として出題されたのなら、評価指標も自分で考えるってことかも知れません。
No.88312 - 2024/07/07(Sun) 11:05:44
☆ Re: 施設 / 夏
ありがとうございます。
No.88313 - 2024/07/07(Sun) 11:24:46
★ 大学数学 / ボブ
文系大学数学で出された問題なのですが全く意味がわかりません。解説お願いできないでしょうか？
No.88303 - 2024/07/05(Fri) 14:55:58
★ (No Subject) / 有栖川
a^2, b^2, c^2, a+b+cが有理数となるとき、a, b, cが全て無理数となるような組(a,b,c)は存在するか。

この問題の解説お願いします。
No.88298 - 2024/07/04(Thu) 19:07:43
☆ Re: / IT
a=b=√2、c=-2√2 ではどうですか？
No.88299 - 2024/07/04(Thu) 19:54:22
☆ Re: / 有栖川
ありがとうございます！
わざわざ答えて頂き申し訳ないのですが、式変形を完全にミスっていました。。。
正しくは
ab/c, bc/a, ac/b, a+b+c でした。

こちらが有理数の場合についてはどうなるか教えて頂けませんでしょうか？
No.88300 - 2024/07/04(Thu) 22:06:40
☆ Re: / らすかる
まわりくどいかも知れませんが、とりあえず「存在しない」ことを示せました。

a,b,cが無理数
ab/c,bc/a,ca/b,a+b+cが有理数
とすると
a^2=(ab/c)(ca/b), b^2=(ab/c)(bc/a), c^2=(bc/a)(ca/b) はすべて有理数なので
a=±√p, b=±√q, c=±√r（p,q,rは有理数の平方でない有理数）と書ける。

x=a+b=±√p±√qとすると
x^2=p+q±2√(pq)
(x^2-p-q)^2=4pq
x^4-2(p+q)x^2+(p-q)^2=0 … (1)
y=a+b+c=±√p±√q±√rとすると
x=y-c=y±√r
これを(1)に代入して整理すると
y^4+6ry^2+r^2-2(p+q)(y^2+r)+(p-q)^2=干4y(y^2+(r-p-q))√r … (2)
同様に、x=b+c=±√q±√r,x=y-a=y±√pとすると
y^4+6py^2+p^2-2(q+r)(y^2+p)+(q-r)^2=干4y(y^2+(p-q-r))√p … (3)
x=c+a=±√r±√p,x=y-b=y±√qとすると
y^4+6qy^2+q^2-2(r+p)(y^2+q)+(r-p)^2=干4y(y^2+(q-r-p))√q … (4)

(2)(3)(4)の左辺は有理数なので、
(2)が成り立つためには y=0 または y^2=p+q-r
(3)が成り立つためには y=0 または y^2=-p+q+r
(4)が成り立つためには y=0 または y^2=p-q+r
y≠0とするとy^2=p+q-r=-p+q+r=p-q+rとなるのでp=q=r
このときy=±√p,±3√pとなりyが有理数であることと矛盾。
従ってy=0すなわちa+b+c=0
ところで
(ab/c)(bc/a)(ca/b)=abcは0でない有理数、cは無理数なので
abは無理数
よって(a+b)^2=a^2+b^2-2abは無理数だが
(a+b)^2=c^2は有理数なので矛盾。
従って
「a,b,cが無理数でab/c,bc/a,ca/b,a+b+cが有理数」となるようなa,b,cは存在しない。
No.88302 - 2024/07/05(Fri) 10:05:23
☆ 厚顔無恥 / 11235813
大学への数学
締切前の学力コンテストの問題を
おくめんもなく質問ですか。

shame on you.
No.88304 - 2024/07/05(Fri) 21:40:37
☆ Re: / IT
＞式変形を完全にミスっていました。。。
どうやったらこうなるのかと、学力コンテストにしては、らすかるさんの答案が少し複雑なので原題がどんな問題か知りたくて大学への数学を見て来ました。
原題は書きぶりは逆方向ですが、内容はそのままですね。締め切りは７月９日のようです。
No.88308 - 2024/07/06(Sat) 11:07:47
☆ Re: / 有栖川
a) Show that there exist irrational numbers $a$, $b$, and $c$ such that the numbers $a+b\cdot c$, $b+a\cdot c$, and $c+a\cdot b$ are rational numbers.
（無理数a, b, cで a+bc, b+ac, a+ab が有理数となるような
a, b, c が存在することを示せ。）

b) Show that if $a$, $b$, and $c$ are real numbers such that $a+b+c=1$, and the numbers $a+b\cdot c$, $b+a\cdot c$, and $c+a\cdot b$ are rational and non-zero, then $a$, $b$, and $c$ are rational numbers.
（実数a, b, c, a+b+c=1, a+bc, b+ac, c+abが0でない有理数であるとき，これを満たす(a,b,c)は有理数であることを示せ。）

こちらの問題を解いている過程で生じた問題でした。学コンとは知らずに申し訳ありません。削除してもらって構いません。出典はRomania NMO 2023 Grade 7 P4です。
No.88309 - 2024/07/06(Sat) 12:11:09
☆ Re: / IT
偶然の一致のようですね。出題者も同じ問題から着想したのかも知れませんね。
No.88310 - 2024/07/06(Sat) 12:48:58
★ (No Subject) / ソフトクリーム
ゆがみのない金のコインと銀のコインがそれぞれ1枚以上ある。この2枚のコインを同時に投げそれぞれのコインの表，裏の結果に応じて以下のように点数を記録する

金のコインが表銀のコインが表の場合4点
金のコインが表銀のコインが裏の場合3点
金のコインが裏，銀のコインが表の場合2点
金のコインが裏，銀のコインが裏の場合1点

1以上の整数nに対して2枚のコインを同時に投げることをn回行いn回の点数の和の合計点数とする。

(1)n=3の場合を考える。今2枚のコインを同時に投げることを3回行い合計点数が6であった。この時3回のうち1回も4点が記録されない確率を求めよ。一般にｋを0以上の整数mを1以上の整数とする時等式
mCk+mC(k+1)=(m+1)C(k+1)
が成り立つ。必要ならこの等式を用いよ

(2)2枚のコインを同時に投げることをn回行い合計点数がn+3以下になる確率は次のnの式で表される。
{(n+a)(n+b)(n+c)}/(d・4^n)
この時a,b,c,d,の値をそれぞれ求めよ。ただしa,b,c,dは定数でa>b>cを満たすものとする

解答解説よろしくお願いします
No.88296 - 2024/07/04(Thu) 09:17:40
☆ Re: / ast
# 問題文にあちこちへんな表現があって, どうも正確性が疑わしいから直接の回答はするつもりがないが…….

1回の試行の結果は各場合1/4で等しく生じるので, n 回の反復試行で特定の場合が起こる確率は (当てはまる場合の数)/4^n であり, 本問は場合の数を数えることだけ考えればよく, また各場合も (コインの状態を忘れて) 単に各回の点数からなる列とみればよい.
という形で述べるとして, (2) は「単純に書き出せば
　[i] n 回すべてで点数 1 が出る (合計は n で ≤n+3 は自動的に満たす): C[n,0] 通り,
　[ii] n-1 回 1 が出て残りの 1 回は (1 ではなく, かつ n+3-(n-1)=4 以下): 3*C[n,1] 通り,
　[iii] n-2 回 1 が出て残りの 2 回は (いずれも 1 でなく, かつその 2 回の合計が 5 以下): 2 回が (2,2) で 4 点となるのが C[n,2] 通り, (2,3) で 5 点になるのが n(n-1) 通り → 計 3*C[n,2] 通り,
　[iv] n-3 回 1 が出て残りの 3 回は (いずれも 1 でなく, かつ合計 6 以下): 3 回が (2,2,2) になる以外の場合は 1 が要るので C[n,3] 通り
の総計 C[n,0]+3*C[n,1]+3*C[n,2]+C[n,3] 通り」でいいはず

というのを前振りとして, 与えられた等式を使えばこれが =C[n+3,3] 通りであることは容易に出るので, 個人的な興味としては組合せ論的にうまく考えれば「何か n+3 (回? 個? etc.) の中から 3 選ぶ」形で数えられるという答案が書けるかというところ.
# (それを回答としたかった) けれど思いつかなかった.
No.88297 - 2024/07/04(Thu) 14:58:34
☆ Re: / ast
> 個人的な興味としては組合せ論的にうまく考えれば「何か n+3 (回? 個? etc.) の中から 3 選ぶ」形で数えられるという答案が書けるかというところ.
> # (それを回答としたかった) けれど思いつかなかった.

これは「n 個の記号 "1" と 3 個の記号 "+1" からなる n+3 個の記号を並べる並べ方の総数」とすればよいか.

得られた記号列の解釈 (記号列から点数の列を得ること) は, 記号 "1" は数値 1 を表し, 記号 "+1" は「その直前の "1" に対して数値を +1 する操作を表すとすること
# ただし「直前の "1"」というのは,
# [i] もし "+1" が連続するなら連続する直前の "1" に対して "+1" の連続する個数ぶん数値をプラスする
#　　 (例えば …,"1","1","+1","+1","1",… という記号の並びは …1,3,1,… という点数の並びと解釈する),
# [ii] "+1" が左端にある (直前の "1" が無い) ときは「なにもしない」
# という意味です.
No.88301 - 2024/07/05(Fri) 07:50:28
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