ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学A確率 / 愛

アイウエ12/13
オカキク11/13
ケコサ1/22
シスセソ19/26
となるのですが、求め方を教えてほしいです。

No.83220 - 2022/08/21(Sun) 22:28:05

☆ Re: 数学A確率 / X

以下、例えば〇の中に数字1がある記号を
〇1
と書くことにします。

1問目)
この問題の4行上からの内容から
1-1/13=12/13

2問目)
まず表1に従って、各道路を通過する確率(６つですが)
を全て求めて、表1の右側に書き込みましょう。
その上で
(求める確率)=(〇1を通過する確率)(〇2を通過する確率)
+(〇4を通過する確率)(〇5を通過する確率)　　(A)
に従って計算します。

3問目)
求める確率は、Dに到達するという条件で
Eを通過する条件付き確率ですので
(求める確率)=(〇4を通過する確率)(〇5を通過する確率)/(A)
=…

4問目)
(求める確率)={(2/3)・(〇1を通過する確率)}(〇2を通過する確率)
+{1-(2/3)・(〇1を通過する確率)}(〇5を通過する確率)
=…

No.83221 - 2022/08/21(Sun) 23:53:28

★ (No Subject) / メロンパン

正四面体ABCDにおいて辺AB，辺BC，辺CA7を2:1に内分する点をそれぞれE，F，Gとし辺BD，辺CD，辺ADを3;1に内分する点をそれぞれＨ,I,Jとする。線分AHと線分DEの交点をP，線分BIと線分DFの交点をQ，線分CJと線分DGの交点をRとすると

(1)→AQを→AB，→AC，→ADを用いて表せ
(解答→AQ=1/9→AB+2/9→AC+2/3→AD)
(2)PQ/AB＝？(解答(√3)/9)
(3)四面体APQRの体積は正四面体ABCDEの体積の何倍か

(1)三角形PＱRの面積を√{|PＱ|^2|ＰR|^2^-(→PＱ・→ＰR)^2}/2を用いて三角形PＱRは三角形ABCの面積の何倍かを求める
(2)点Ａから点Ｐ，Ｑ，Ｒを通る平面に垂直に交わる垂線を引きその垂線と平面の交点をＬとすると
→ＡＬ=α→ＡＰ+β→ＡＱ+γ―→ＡＲ(α+β+γ=1)
と表せ→ＡＬと→ＰＲ，→ＰＱは垂直に交わることからα，β，γの値をそれぞれ求める
(3)｜→ＡＬ｜の長さが正四面体の高さの何倍かを求める

っていう方法しか思いつかないけどもっと簡単に答え出せる方法ってありませんか？

No.83214 - 2022/08/20(Sat) 16:16:52

☆ Re: / メロンパン

(訂正)
●正四面体ABCDE→(正)正四面体ABCD

●(3)四面体APQRの体積は正四面体ABCDEの体積の何倍か

(1)三角形PＱRの面積を√{|PＱ|^2|ＰR|^2^-(→PＱ・→ＰR)^2}/2を用いて三角形PＱRは三角形ABCの面積の何倍かを求める
→
(3)四面体APQRの体積は正四面体ABCDEの体積の何倍か

(3)の考え方
<1>三角形PＱRの面積を√{|PＱ|^2|ＰR|^2^-(→PＱ・→ＰR)^2}/2を用いて三角形PＱRは三角形ABCの面積の何倍かを求める…

No.83215 - 2022/08/20(Sat) 16:23:03

☆ Re: / ヨッシー

(1)

メネラウスの定理より
　(DQ/QF)(FB/BC)(CI/ID)＝1
よって
　DQ/QF＝1/2
これより
　ＡＱ＝(ＡＦ＋２ＡＤ)/3
一方、
　ＡＦ＝(ＡＢ＋２ＡＣ)/3
以上より
　ＡＱ＝(1/9)ＡＢ＋(4/9)ＡＣ＋(2/3)ＡＤ

(2)

△ＡＢＣを底面とすると、３点Ｐ，Ｑ，Ｒは同じ高さにあります。
この３点を通る平面と、ＤＡ，ＤＢ，ＤＣとの交点をＳ，Ｔ，Ｕとすると
△ＳＴＵの一辺は△ＡＢＣの1/3倍。
△ＰＱＲは、△ＳＴＵから、面積が2/9倍である△ＳＰＲ，ＴＱＰ，ＵＲＱを
取り除いたものなので、△ＰＱＲの面積は△ＳＴＵの1/3倍。辺の長さは √3/3倍。
以上より、
　ＰＱ/ＡＢ＝√3/9

(3)
四面体ＡＰＱＲにおいて、△ＰＱＲを底面とすると
　底面積△ＰＱＲは、△ＡＢＣの1/27倍。
　高さは2/3倍。
よって、四面体ＡＰＱＲの体積は、正四面体ＡＢＣＤの 2/81 倍。

No.83217 - 2022/08/21(Sun) 08:34:40

★ 数A確率 / 三ツ谷

白玉4個と赤玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出し、玉の色を見ないで袋に戻した。続いて取り出した1個の玉が赤玉であるとき、最初に取り出しまた玉が赤玉である確率を求めよ。

指針 2回目に取り出した玉が赤玉であるという事象を A, 最初に取り出した玉が赤玉であるという事象をBとすると, 求める確率はPA (B)である。

答 2回目に取り出した玉が赤玉であるという事象をA, 最初に取り出した玉が赤玉であるという事象をBとする。

2回目に取り出した玉が赤玉であるような出方は,赤赤,白赤の2つの場合があるから
P(A)=2/6×1/5+4/6×2/5=10/30

またP(A∩B)=P(BかつA)=2/6×1/5=2/30
求める確率はPA(B) 2/30÷10/30=1/5

なぜ、玉を戻すのに
P(A)=2/6×1/5+4/6×2/5=10/30と玉を戻さないときと同じ式になるのかがわからないので解説をおねがいします！

No.83210 - 2022/08/20(Sat) 13:23:53

☆ Re: 数A確率 / IT

出典は何ですか？
玉を戻すとAとBは独立事象だと思いますが。

No.83211 - 2022/08/20(Sat) 13:50:09

☆ Re: 数A確率 / 三ツ谷

はい、数研出版の教科書体系数学3論理確率編の準拠問題集の例題です。

No.83212 - 2022/08/20(Sat) 14:36:46

☆ Re: 数A確率 / IT

比較的信頼できる出版社だと思いますが間違いがないとは言えません。
私には間違っているように思えます。
１回目に取り出した玉が赤かどうかと、２回目に取り出した玉が赤かどうかとは　独立なので

１回目に取り出した玉が赤である確率は、2/6=1/3.

勘違いかも知れませんので他の方のご意見をお願いします。

No.83213 - 2022/08/20(Sat) 14:56:02

☆ Re: 数A確率 / けんけんぱ

問題が間違っているのでしょう。
球を戻さず、だと思いますよ。

No.83216 - 2022/08/20(Sat) 20:01:30

☆ Re: 数A確率 / IT

> 問題が間違っているのでしょう。
> 球を戻さず、だと思いますよ。
そうですよね。
条件付確率は、分かりにくいところなので、教科書準拠問題集として責任が大きいですね。

No.83218 - 2022/08/21(Sun) 11:35:40

★ 2変数関数の極限 / ひとで

この問題の解き方が見当つかないので、解説をお願いしたいです。
一応極座標に変換しましたが、あまりきれいな形にはなりませんでした。

No.83205 - 2022/08/19(Fri) 22:03:44

☆ Re: 2変数関数の極限 / IT

lim(x,y)→(0,0) sinx はいくらになりますか？

No.83206 - 2022/08/19(Fri) 22:13:45

☆ Re: 2変数関数の極限 / ひとで

0です

No.83207 - 2022/08/19(Fri) 22:40:36

☆ Re: 2変数関数の極限 / ひとで

あ、わかりました。0に-1から1までの数字をかけるので0でいいですか？

No.83208 - 2022/08/19(Fri) 22:42:35

☆ Re: 2変数関数の極限 / X

No.83209 - 2022/08/20(Sat) 06:35:01

★ z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 / 長水

z=a(変数)でn位の極を持つとき
Res(f(z),a)={1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}
と言われたのですが、
具体例として1/z^nのz=0の時は式の分母が0になるような特異点z=0でn位の極を持つと言われますが、
{1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}に置いてはz=a(変数)で分母が0になるような部分が{1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}には見つからないのですが、
なぜz=a(変数)の時に{1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}はn位の極を持つと言われるのでしょうか？

どうか分かりやすく教えて下さい。

No.83198 - 2022/08/18(Thu) 02:35:50

☆ Re: z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 / ast

最初の二行が正しく引用できていない (何が「n-位の極を持つ」のかという肝心の主語がない) ことが質問者の誤りを如実に表しているように思います. 主張されていることは
× z=a(変数)の時に{1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}はn位の極を持つ
○ z=a が f(z) の n-位の極であるとき {1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)} は Res(f(z),a) に一致する

少なくとも
> {1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}
はただの定数だし, 定数が極を持ったりするわけはない.

No.83199 - 2022/08/18(Thu) 09:48:47

☆ Re: z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 / 長水

ありがとうございます。

分かりにくくてすいません。
Res(f(z),a)={1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}の右辺がz=aでn位の極を持つと言われたのですが、nの極を持つ理由がわかりません。

※f(z)=1/{z+1)(z-1)^(n+2)

>> z=a が f(z) の n-位の極であるとき {1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)} は Res(f(z),a) に一致する

に関してはn-位ではなく、n位でしょうか？
なぜn-位なのでしょうか？

No.83200 - 2022/08/18(Thu) 16:04:47

☆ Re: z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 / ast

持たねぇって言ってんのにダメだなこりゃ
# やっぱ以前いた斜め読みローラン野郎と同一人物だろコイツ

No.83201 - 2022/08/18(Thu) 16:50:51

☆ Re: z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 / 塩キャラメル

>Res(f(z),a)={1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}の右辺がz=aでn位の極を持つと言われたのですが、

これは間違いなく質問者さんの聞き間違いでしょう。
お使いの複素関数論の教科書で「留数」「関数の極（とその位数）」の定義を再度確認してください。
これらの定義が理解できていれば、そもそもこれが質問にすらなっていないことがよくわかるかと思います。

>※f(z)=1/{z+1)(z-1)^(n+2)

>> z=a が f(z) の n-位の極であるとき {1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)} は Res(f(z),a) に一致する

>に関してはn-位ではなく、n位でしょうか？
>なぜn-位なのでしょうか？

こちらも上と同様です。これも極（とその位数）の定義がわかっていれば解決できるはずです。

もし留数定理で何かの積分値を求めたいなら計算ソフトなどに一任してしまうのも手だと思います。

No.83202 - 2022/08/18(Thu) 23:58:52

☆ Re: z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 / GandB

　おお！また現れたのか。もうここには来ないと思っていたがwwwwwwwwwww。
　　https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13092428.html
で、熱心に（というか執拗かつ適当に）回答を付けてくれるまことに奇特な人がいるではないか。
　　https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13100196.html
でもまた同じことが繰り返されるのであろう。質問者はそちらで大いに頑張ったもらいたい。
　ただ、その奇特な人の回答をよく読むと、質問者が理解できようができまいが、もはやどうでもいいという感じを受ける（笑）。

No.83203 - 2022/08/19(Fri) 00:35:30

☆ Re: z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 / 長水

その質問されてる人がどなたかは知りませんが、ローラン展開に関して質問されている方がいるならばその方の質問と解答を見に行きます。

あと、解答でないコメントは周りの回答者様に迷惑がかかるのでやめた方が良いです。

No.83204 - 2022/08/19(Fri) 18:47:39

★ (No Subject) / q

問題

aを実数とする。関数f(x)=x|x-1|のa<=x<=a+1における最大値と最小値を求めよ

画像のように場合分けできるのは何故でしょうか

No.83189 - 2022/08/16(Tue) 15:37:20

☆ Re: / X

問題のxの値の範囲である
a≦x≦a+1 (A)
が幅1の範囲であることに注意します。

次に問題のf(x)が最小、最大となるxの値ですが
(I)(A)においてf(x)が単調増加であるとき
f(x)は
x=aで最小
x=a+1で最大

(II)(A)においてf(x)が単調減少であるとき
f(x)は
x=aで最大
x=a+1で最小

(III)(A)においてy=f(x)のグラフが下に凸であるとき
f(x)は
(A)におけるy=f(x)のグラフの頂点において最小
f(a)、f(a+1)のうち大きい方に対するxの値において最大

(IV)(A)においてy=f(x)のグラフが上に凸であるとき
f(x)は
(A)におけるy=f(x)のグラフの頂点において最大
f(a)、f(a+1)のうち小さい方に対するxの値において最小

注)
グラフが「凸である」とは、頂点付近がV字型(或いは逆V字型)
の場合も含みます。

以上を踏まえて、もう一度模範解答をご覧下さい。

No.83190 - 2022/08/16(Tue) 16:06:14

☆ Re: / q

わかりました
御教授ありがとうございました

No.83191 - 2022/08/16(Tue) 16:54:41

★ (No Subject) / 貓舌洋甘菊茶

aを実数とする
放物線y=x^2-x-a^2とy=-2x^2+2ax+1の二つの交点を通る直線lの方程式を求めよ。また、直線lと放物線y=(1/2)x^2が異なる2点で交わる時、その2線で囲まれる部分の面積の最大値を求めよ。

No.83182 - 2022/08/16(Tue) 02:25:34

☆ Re: / X

前半)
問題の二つの放物線の交点を通る曲線の方程式は
{y-(x^2-x-a^2)}+{y-(-2x^2+2ax+1)}k=0 (A)
(kは定数)
と置くことができます。
(A)より
(k+1)y+(2k-1)x^2+(1-2ak)x+a^2-k=0 (B)
ここで求めるのは直線の方程式なので
(B)のx^2の係数について
2k-1=0
∴k=1/2
これを(B)に代入して
(3/2)y+(1-a)x+a^2-1/2=0
∴
y=(2/3)(a-1)x-(2/3)a^2+1/3 (C)
逆にlは条件から一つしか存在しないので
求める方程式は(C)となります。

後半)
(C)と放物線
y=(1/2)x^2 (D)
との交点のx座標について
(1/2)x^2=(2/3)(a-1)x-(2/3)a^2+1/3
∴
3x^2-4(a-1)x+4a^2-2=0 (E)
(E)の解の判別式をDとすると、条件から
D/4=4(a-1)^2-3(4a^2-2)＞0
これより
-8a^2-8a+10＞0
4a^2+4a-5＜0
∴(-1-√6)/2＜a＜(-1+√6)/2 (F)
一方、(E)の解をα,βとすると解と係数の関係から
α+β=4(a-1)/3 (G)
αβ=(4a^2-2)/3 (H)
更にlと(D)で囲まれた部分の面積をSとすると
S=∫[α→β]{(2/3)(a-1)x-(2/3)a^2+1/3-(1/2)x^2}dx (I)
(I)の積分を計算して整理をし、(G)(H)を用いると
S=(1/6){{4(a-1)/3}^2-4(4a^2-2)/3}^(3/2)
=(2/9){(a-1)^2-3(4a^2-2)/4}^(3/2)
=(2/9){(a^2-2a+1)-(3a^2-3/2)}^(3/2)
=(2/9)(-2a^2-2a+5/2)^(3/2)
=(2/9){-2(a-1/2)^2+3}^(3/2)
∴(F)より求める最大値は(2/3)√3
(このときa=1/2)

No.83185 - 2022/08/16(Tue) 09:35:05

★ (No Subject) / ドーナツ

いつも頼ってしまい申し訳ありません。
赤チャートの数学3の楕円の問題です。

楕円x^2+4y^2=1と放物線4×(2)^(1/2)y=2x^2+aが異なる４点で交わるための定数aの値の範囲を求めよ。

という問題です。
xを消去してyの2次方程式を作り8y^2+4(2)^(1/2)y-(a+2)=0が-1/2<y<1/2の範囲で異なる2つの解をもつ条件を求めます。

楕円と放物線が異なる2つの解をもてば条件がクリアできるように思うのですが、「-1/2<y<1/2の範囲で」っていうのは必要ですか?

No.83171 - 2022/08/14(Sun) 12:02:25

☆ Re: / IT

8y^2+4(2)^(1/2)y-(a+2)=0が異なる2つの実数解を持つ
というだけでは、xが虚数になる場合があり得るのでは？

ある変数を消去するときは、その変数の存在条件などに注意する必要があります。

No.83175 - 2022/08/14(Sun) 13:15:39

☆ Re: / ドーナツ

なるほど!
yの2次方程式の判別式D>0をすればyは実数解をもつけど、それに対するxは虚数解になるかもしれないからですね。
xが実数解を持つようにするために-1/2<y<1/2が必要なんですね。
ITさん、ありがとうございます。

No.83181 - 2022/08/15(Mon) 13:12:53

★ 図形的に / ドーナツ

赤チャートの数学3の双曲線の問題です。
よろしくお願いします。

双曲線x^2-3y^2=3上の点Pと直線y=3^(1/2)xの距離をdとするときdの最小値を求めよ。
という問題です。
解説で急に「直線y=3^(1/2)xに平行な接線の接点においてdは最小となる」と書かれています。
感覚的にはそうかなと思うのですが、確信が持てません。

No.83170 - 2022/08/14(Sun) 11:43:27

☆ Re: 図形的に / IT

直線y=3^(1/2)x との距離が　aである点の集合を考えてみると良いのでは？

直線y=3^(1/2)xに平行な接線を描いて考えるという方法もあると思います。

No.83172 - 2022/08/14(Sun) 12:07:57

☆ Re: 図形的に / ドーナツ

ITさん、ありがとうございます。
なるほど。直線y=3^(1/2)xから距離aの点の集合は、y=3^(1/2)xと平行な直線になって、それで距離を最小にしようとすると「接するとき」ということになりますね。
納得しました。ありがとうございます。

No.83174 - 2022/08/14(Sun) 12:50:37

★ (No Subject) / 霊無

AB=p、AC=4、角BAC=60°の三角形ABCの外心をOとする。
(1)↑AB・↑AOと↑AC・↑AOをpで表す
(2)↑AOを↑AB、↑AC、pで表す
(3)AOとBCの交点をHとする。HがBCを3:1に内分する点となるようなpの値を求める

解説よろしくお願いします。

No.83168 - 2022/08/13(Sat) 23:17:52

☆ Re: / X

(1)
△ABCの外接円の半径をRとすると
△OABにおいて余弦定理により
cos∠OAB=(R^2+AB^2-R^2)/(2R・AB)
=AB/(2R)=p/(2R)
となるので
↑AB・↑AO=Rpcos∠OAB=(1/2)p^2 (A)
同様に△OACにおいて余弦定理により
cos∠OAC=AC/(2R)
=2/R
となるので
↑AC・↑AO=4Rcos∠OAB=8 (B)

(2)
条件から
↑AB//↑ACでなく、かつ↑AB≠↑0かつ↑AC≠↑0
∴↑AO=x↑AB+y↑AC
(x,yは実数)
と置くことができます。
∴
↑AB・↑AO=x|↑AB|^2+y↑AB・↑AC (C)
↑AC・↑AO=x↑AB・↑AC+y|↑AC|^2 (D)
ここで
↑AB・↑AC=2p (E)
(A)(B)(E)を(C)(D)に用いて、整理をすると
2px+4y=p (C)'
px+8y=4 (D)'
(C)'(D)'を連立して解き
(x,y)=((2p-4)/(3p),(8-p)/12) (E)
∴↑AO={(2p-4)/(3p)}↑AB+{(8-p)/12}↑AC

(3)
(2)の↑AOを使うと
↑AH=k↑AO
=kx↑AB+ky↑AC
(kは0でない実数)
と置くことができます。
ここで条件から
kx+ky=1 (F)
又
ky:kx=3:1
∴y=3x (G)
(G)に(E)を代入すると
(8-p)/12=(2p-4)/p
これより
p(8-p)=12(2p-4)
p^2+16p-48=0
∴p=-8±4√7
となるので、p＞0より
p=-8+4√7

No.83169 - 2022/08/14(Sun) 02:12:54

★ 等式の証明 / 真夏

下記問題の解説をお願いできませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

_________________________________________________

次の分数式の値を求めよ。

ab＋bc＋ca＝0のとき、
(bc＋ca)/ab=(ca＋ab)/bc＝(ab＋bc)/ca

No.83159 - 2022/08/12(Fri) 17:55:29

☆ Re: 等式の証明 / ast

明らかにその式の値は -1 だけど, さすがにこれに解説なんて必要か? 問題に間違いはないか?

No.83161 - 2022/08/12(Fri) 18:17:41

☆ Re: 等式の証明 / 真夏

返信ありがとうございます。

ab＋bc＋ca≠0　のとき、というのもこの問題のひとつ前にありまして、その場合は、

分数式を(1)として、(1)＝kとおき、

bc＋ca＝abk　･･･(2)
ca＋ab＝bch　･･･(3)
ab＋bc＝ach　･･･(4)

(2)、(3)、(4)より、

2(ab＋bc＋ca)＝k(ab＋bc＋ca)
ab＋bc＋ca≠0　より、
k＝2
与式＝2

という解答だったのですが、今回のab＋bc＋ca＝0の場合のやり方がどのようになるのか分からなくて困っています。

No.83163 - 2022/08/12(Fri) 18:56:28

☆ Re: 等式の証明 / ast

# それを見て本問に悩むっていうのは, そういう小問に分けた作問者のセンスが悪いせいなのか?
その解答を見てわかる通り, そもそも最初から
> ab＋bc＋ca＝0のとき、
> ab＋bc＋ca≠0　のとき、
と分けるのはほとんど意味が無くて, そういう制約を付けることなく単に
> 「(bc＋ca)/ab=(ca＋ab)/bc＝(ab＋bc)/ca
> の値を求めよ。」
と問われたとして, その解答の通りにして "k=2 または ab+bc+ca=0" を得たところでようやく
　[i] ab+bc+ca=0 のとき
　[ii] k=2 のとき
と分けることが意味を為すので (だから, 本問は後は直ちに結論を述べるだけという最終段階しかそもそも存在していないのであって), もしその解答を「(ab+bc+ca≠0 のときの) やり方」だと思っているなら (発想としてそもそもまちがっているので) 頭の中を白紙に戻して条件式をよく見るべきだと思います (本問である [i] のときは平易な連立方程式のはずです).

----
なお, 前問で ("(確かに) k=2 である" と主張するときに) は実際にそれを実現する a,b,c の存在を述べておくべきなので, 提示された「解答」がそれで全部であるなら (それだけでは「(あるとすれば) k=2 でなければならない」という必要条件を述べたにすぎないので) 模範解答としては不十分というべきでしょう.
# (実際「a=b=c とすれば k=2 は実現できる」と一文入れる程度のこともしないのはかなり手抜きだと思います).

No.83167 - 2022/08/13(Sat) 02:57:31

☆ Re: 等式の証明 / 真夏

ast 様

丁寧なご回答、誠に有難うございました。
大変参考になりました。

No.83196 - 2022/08/17(Wed) 10:02:13

★ (No Subject) / メアリー

座標平面上に点A(7,0)があり原点OとAからの距離が4:3になる点Pの軌跡をCとする

(1)軌跡Cの方程式を求めなさい
(2)軌跡C上には内積→OP1・→AP1=0となる点P1をとる。ただしP1はy座標が正になる位置に取る

｜→AP1|の値を求めなさい
さらに自然数nに対して原点Oと点Pnからの距離の比が4:3である軌跡上の内積→OP(n+1)・→PnP(n+1)=0となるように点Pn+1を順に取る。ただしPn+1は三角形OPn-1Pnと三角形OPnPn+1は辺OPn以外に重ならない位置に取る
(3)→PnPn+1の大きさ|→PnPn+1|を求めなさい

Pn+1=(Xn+1,Yn+1)，Pn=(Xn,Yn)とすると
→PnPn+1=(Xn+1-Xn,Yn+1-Yn)であり
→OPn・→PnPn+1=0から
Xn+1^2-Xn+1Xn+Yn+1^2-Yn+1Yn=0…?@

またPn+１は原点Oから点Pnからの距離の比4:3である軌跡上の点なので
4:3=√(xn+1^2+(Yn+1)^2;√(Xn-Xn+1)^2+(Yn-Yn+1)^2
9{(Xn+1)^2+(Yn+1)^2}=16{(Xn-Xn+1)^2+(Yn-Yn+1)^2}
0=16・Xn^2-32XnXn+1+7(Xn+1)^2+16(Yn)^2-32YnYn+1+7Yn+1…?A

?@からXn+1^2+Yn+1^2=XnXn+1+YnYn+1であるからこれを?Aに代入すると
0=-25XnXn+1-25YnYn+1+16Xn^2+16Yn^2
0=Xn(16Xn-25Xn+1)+Yn(16Yn-25Yn+1)
Xn，Ynは共に0ではないので上の等式が成り立つ条件は
16Xn-25Xn+1=0，16Yn-25Yn+1=0
よってXn+1=16/25Xn,Yn+1=16/25Yn

よって→PnPn+1={(16/25)-1}Xn,{(16/25)-1}Yn=(-9/25Xn,-9/25Yn)と表せるから
|→PnPn+1|=9/25√(Xn^2+Yn^2)=9/25|→OPn｜

…ちなみに答えは(21/5)・(4/5)^nです

No.83154 - 2022/08/12(Fri) 16:35:01

☆ Re: / ast

> Xn，Ynは共に0ではないので上の等式が成り立つ条件は
> 16Xn-25Xn+1=0，16Yn-25Yn+1=0
↑これがおかしい

> ?@からXn+1^2+Yn+1^2=XnXn+1+YnYn+1であるからこれを?Aに代入
のところで左辺の式を消すのではなくて右辺の式を消すように代入して
　　 x[n+1]^2+y[n+1]^2=(4/5)^2(x[n]^2+y[n]^2)
　⇔ x[n]^2+y[n]^2=(4/5)^(2n-2)(x[1]^2+y[1]^2)
　⇔ |OP[n+1]|=7(4/5)^(n+1)
　⇔ |P[n]P[n+1]|=3/4|OP[n+1]|=(21/5)(4/5)^n

でいいのかな……?

No.83158 - 2022/08/12(Fri) 17:44:37

☆ Re: / メアリー

疑問?@
|P[n]P[n+1]|=3/4|OP[n+1]|の3/4ってどうやってだすんですか？

疑問?A
16Xn-25Xn+1=0，16Yn-25Yn+1=0
↑これがおかしい
ってあるのですがどういう意味でおかしいのでしょうか？
そもそもこの等式が成り立たないからおかしいっていってるのかこの等式自体は確かに成り立つけどこのまま計算しても求めたい式の形に変形できないからおかしいっていみなんでしょうか？

No.83162 - 2022/08/12(Fri) 18:27:36

☆ Re: / ast

> 疑問?@
ご自分で
> またPn+１は原点Oから点Pnからの距離の比4:3である軌跡上の点なので
> 4:3=√(xn+1^2+(Yn+1)^2;√(Xn-Xn+1)^2+(Yn-Yn+1)^2
という形で既に用いていることなので, 私から改めて何か言うことは必要ないはずです.

> 疑問?A
強いて言うなら前者になるけれど, そもそもここでは式の話ではなく論理がおかしいという話をしているつもり.
# その式だけじゃなく式を含む2行を引用して, その2行を指して「おかしい」と言ってる.
もしその質問が「式にしか興味がない」ことを無意識に含意しているなら意識的に考え方を改めるよう勧めます.

No.83164 - 2022/08/12(Fri) 19:11:25