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★ (No Subject) / 数学の天才もどき
以下の問題のカッコ1を解いてみたのですがもうもデキマセン

どこが間違っているか指摘してください。

お願いします
No.35298 - 2016/01/24(Sun) 21:31:10
☆ Re: / 数学の天才もどき
これがぼくの回答です
No.35299 - 2016/01/24(Sun) 21:31:49
☆ Re: / IT
半径１の円に外接する正ｎ角形　ですから

２行目から間違っていると思います。（内接するときと勘違いしておられるようです）

sin(π/n)=l[n]/2
S[n]=√(1-(l^2/4))×・・・
などが間違いですね。
No.35300 - 2016/01/24(Sun) 22:44:01
★ フィボナッチ数列 / ｔｙ
a(n)a(n+2)-a(n+1)^2=(-1)^(n+1)(n＝1,2､･･･）a1=a2=1
においてa(n+2)=a(n+1)+a(n)（ｎ＝1,2,･･･）となることをしめせ

解答ではｎ＝１，２で成り立つ事を確認してn≦ｋで成り立つ事を仮定してｎ＝ｋ＋１でも成り立つことを示す方針でやっているのですが、別解として、自分が作った解答は正解でしょうか？添削お願いします

a(n+2)=a(n+1)+a(n)・・?@
が成り立つことを示す

（?T）ｎ＝１のとき
a(n)a(n+2)-a(n+1)^2=(-1)^(n+1)・・?A
でｎ＝１とするとa1a3-a2^2=1よりa3=2
よってa3-(a2+a1)=2-(1+1)=0となるので
ｎ＝１で?@は成立
（?U）ｎ＝ｋ（ｋは一以上の整数）のとき
?@が成り立つと仮定すると
ｎ＝ｋ＋１のとき
a(k+3)-(a(k+2)+a(k+1))
={(-1)^k+a(k+2)^2-a(k+1)a(k+2)-a(k+1)^2}/a(k+1)(ただし?Aでn=k+1として代入）
＝{(-1)^k＋a(k+2)(a(k+2)-a(k+1))-a(k+1)^2}/a(k+1)
={(-1)^k+a(k+2)a(k)-a(k+1)^2}/a(k+1)（ただし仮定より）
={(-1)^k+(-1)^(k+1)}/a(k+1)(ただし?Aでn=kとして代入）
＝０
よってｎ＝ｋ＋１でも?@は成り立つので
（?T）、（?U）より全ての自然数ｎについて?@は成り立つ（終）
No.35294 - 2016/01/24(Sun) 18:44:27
☆ Re: フィボナッチ数列 / IT
途中で分母になっている　a(k+1)が０でないことを示す必要があると思います。
No.35295 - 2016/01/24(Sun) 19:07:42
☆ Re: フィボナッチ数列 / ｔｙ
回答ありがとうございます

ｎ＝ｋ（ｋは一以上の整数）のとき
a(ｋ+2)=a(ｋ+1)+a(ｋ)・・?@が成り立つと仮定する
?@かつa1=a2=1＞０より帰納的にa(k）>0よってa(k+1)>0である

これで問題なく正解ですか？
No.35301 - 2016/01/25(Mon) 00:50:50
☆ Re: フィボナッチ数列 / IT
証明しようとしていることを使っており、ダメなような気がします。

これから出かけるので、詳しい説明が出来ません。
他の回答者のフォロー歓迎します。
No.35302 - 2016/01/25(Mon) 07:26:19
☆ Re: フィボナッチ数列 / 水面に映る月
横から失礼します．
>>tyさん
考えのツメが足りない気がします．
数学的帰納法で示す命題自体に各項が正であるということも含ませる，ということであれば，証明として成立すると思いますので(但し，少し工夫を要するようです)，差し支えなければ，今一度，改訂版を書いてみてください．
No.35303 - 2016/01/25(Mon) 08:41:43
☆ Re: フィボナッチ数列 / ｔｙ
a(n+2)=a(n+1)+a(n)・・?@
が成り立つことを示す

（?T）ｎ＝１のとき
a(n)a(n+2)-a(n+1)^2=(-1)^(n+1)・・?A
でｎ＝１とするとa1a3-a2^2=1よりa3=2
よってa3-(a2+a1)=2-(1+1)=0となるので
ｎ＝１で?@は成立
（?U）ｎ＝ｋ（ｋは一以上の整数）のとき
?@が成り立つと仮定するとa1=a2=1＞０であるから帰納的にa(k）>0
よってa(k+1)>0である・・?B

ｎ＝ｋ＋１のとき
a(k+3)-(a(k+2)+a(k+1))・・?Cとおく

?Bよりa(k+1)≠０であるから
?C＝{(-1)^k+a(k+2)^2-a(k+1)a(k+2)-a(k+1)^2}/a(k+1)(ただし?Aでn=k+1として代入）
＝{(-1)^k＋a(k+2)(a(k+2)-a(k+1))-a(k+1)^2}/a(k+1)
={(-1)^k+a(k+2)a(k)-a(k+1)^2}/a(k+1)（ただし仮定より）
={(-1)^k+(-1)^(k+1)}/a(k+1)(ただし?Aでn=kとして代入）
＝０
よってｎ＝ｋ＋１でも?@は成り立つので
（?T）、（?U）より全ての自然数ｎについて?@は成り立つ（終）
No.35305 - 2016/01/25(Mon) 15:18:49
☆ Re: フィボナッチ数列 / 水面に映る月
改訂版，拝見しましたが，これではダメです．私が言っているのは，部分的に差し込めばよい，ということではありません．
この改訂版では，ITさんの仰るとおり，今から証明しないといけないことを使ってしまっています．

(基本的な)数学的帰納法の証明の流れをキチンと理解されていますか(「分かっているよ」と思わずに，今一度，自分の理解を見つめなおしてください)．次に示すものは，ほかの質問に答えた時と同じもので恐縮ですが，
――――――――
[i]P(1)が真である．
[ii]任意の自然数kに対して命題「P(k)が真である⇒P(k+1)が真である」が真である．

の2つを示し，これを以て任意の自然数nに対して命題P(n)が真である，と結論付けるのが，数学的帰納法の基本的な形です．
――――――――
どうですか? 御自分の「証明」でどこがいけないか，わかりましたか?数学的帰納法であっても，正しいもの，正しいと仮定したものしか使ってはいけません．数学的「帰納」法だからいい加減なことが許されるわけではありません．
具体的には，tyさんの「証明」における，次の部分です．

>?@が成り立つと仮定するとa1=a2=1＞０であるから帰納的にa(k）>0

(以下，「丸の中に数字」は機種依存なので，(1)などとします．)
「(1)が成り立つと仮定すると」というのは，nがいくつのときの(1)の成立を仮定しているのでしょうか?よく考えてください．n=kの時の成立しか仮定していませんよね？

# 私がNo.35303 のレスで「但し，少し工夫を要するようです」と書いたのは，「普通の」数学的帰納法に
# 還元することはできるが，「不細工な」証明になってしまう，ということです．なので，どちらにしても，
# 模範解答の方法のほうが良いとは思います．ですが，間違っているものを間違っていると判ることは
# 極めて重要なことですから，ご自身の「証明」のどこがいけないか，きちんと理解してください．
No.35308 - 2016/01/25(Mon) 16:32:29
☆ Re: フィボナッチ数列 / ｔｙ
ありがとうございます。確かにその通りでした。n=kの時の成立しか仮定していませんね。「不細工な」証明だとどうなるのでしょうか？

よろしくおねがいします
No.35309 - 2016/01/25(Mon) 18:06:55
☆ Re: フィボナッチ数列 / 水面に映る月
ご理解頂けたようで，幸いです．

>「不細工な」証明だとどうなるのでしょうか？
任意の自然数nに対して，次の命題P(n)が真であることを数学的帰納法で示す，と考えるのです．

命題P(n):
自然数nに対して，a[n+2]=a[n+1]+a[n]かつa[n]>0かつa[n+1]>0

こうすると，まず，
[I]P(1)は真である
これは問題なく言えますね．さらに[II]としては次を示すことになりますね．
[II]P(k)が真である⇒P(k+1)が真である
ここで，P(k)，P(k+1)は，それぞれ次のような命題となります．
P(k)：a[k+2]=a[k+1]+a[k]かつa[k]>0かつa[k+1]>0
P(k+1)：a[k+3]=a[k+2]+a[k+1]かつa[k+1]>0かつa[k+2]>0
ですから，[II]も言えますよね．

まあでも，こんなことしなくても…，ってカンジになるわけです(証明としては全く問題のない証明ですが)．それにこれは，直前の2つのnでの成立を仮定する「特殊な」数学的帰納法の考え方を借りていますからね．

# いろいろな数学的帰納法のバリエーションについてまとめてある記事を見つけたので，
# 以下にURLを貼っておきます．これらは知っておくと便利だとは思いますが，
# 単に暗記するのではなくて，「ドミノ倒し」のイメージは常に持ったうえで使ってください．
# そうしないと，オカシイことをやり始めたりしかねないので．

参考URL: http://mathtrain.jp/kinouhou
No.35310 - 2016/01/25(Mon) 18:55:51
☆ Re: フィボナッチ数列 / 水面に映る月
一点補足．
私が上で紹介したサイトの最後に次のような記述がありますが，これはジョークですから，真に受けないでください(笑)．

「数学的帰納法を使えば全ての人がハゲであることを証明できます」

# もし気になるなら，「数学的帰納法 ハゲ」あたりで検索してみてください．
No.35314 - 2016/01/25(Mon) 19:22:44
★ 同値関係 / mako
指針に書かれている性質の１段目と２段目についてです（２段目と３段目でも同じことなのですが）。

→は代入すれば、確かにそうなるので理解できます。

←は、理解しようと考えるときに「aX+bY+c=0でXとYをpとqに変えるとそうなるなあ」と思ったのですが、結局これって、「→」のことですよね…

どう考えると「←」をすんなり理解できますか？
No.35291 - 2016/01/24(Sun) 18:17:13
☆ 単に「同値」「必要十分」と言ったほうが良い / 水面に映る月
直線aX+bY+c=0とは，方程式aX+bY+c=0を満たす点(X,Y)の集合(つまり「集まり」)ですから，これは，証明云々という話ではないですね．
No.35292 - 2016/01/24(Sun) 18:26:59
☆ Re: 同値関係 / mako
ありがとうございました。
No.35296 - 2016/01/24(Sun) 19:13:58
★ １次方程式　中１　文章問題 / れいな
規則性の問題です。意味が分かりません・・。教えてください
No.35289 - 2016/01/24(Sun) 17:53:53
☆ Re: １次方程式　中１　文章問題 / X
ヒントだけ。
階段のような形に惑わされますが、これは
{(下側の横の長さ)+(右側の縦の長さ)}×2
の値に等しくなります。
例えば3番目の図形だと
(下側の横の長さ)=5[cm]
(右側の縦の長さ)=3[cm]
ですので、まわりの長さは
(5[cm]+3[cm])×2=16[cm]
となります。
さて、n番目の図形の
下側の横の長さ
右側の縦の長さ
をそれぞれnの式で表すと…
No.35297 - 2016/01/24(Sun) 20:32:08
★ 記述答案 / mako
基本例題７５のような問題単問なら話は別ですが、大きな大問の中で、道具として最初に求めておかないといけない場合、「検討」にある公式を使って、何の説明もなく
「直線l(エル)は3(x+3)-4(y-2)=0」と記述してもいいですか？
No.35287 - 2016/01/24(Sun) 17:28:52
☆ Re: 記述答案 / IT
いきなりでもいい気もしますし、問題にもよると思いますが、

直線Lは、3x-4y-6=0と平行で、(-3,2)を通るので
Lの方程式は　3(x+3)-4(y-2)=0

ぐらいは書いておいた方が良いかも知れませんね。
No.35288 - 2016/01/24(Sun) 17:50:17
☆ Re: 記述答案 / mako
早くも、お返事ありがとうございましす。

了解しました。
No.35290 - 2016/01/24(Sun) 18:09:28
★ 行列 / Mic
行列の問題です。
答えはXの任意の対角行列らしいのですが導き方が分かりません
よろしくおねがいします
No.35285 - 2016/01/24(Sun) 16:26:38
☆ Re: 行列 / IT
AXとXAを定義にしたがって計算して比較するだけです。

Xのi行j列の成分をx[i,j]として

AXのi行j列の成分、XAのi行j列の成分をa[i],a[j],x[i,j]の式で表すとどうなりますか？


難しかったらｎ=３のときを計算してみてください。
No.35286 - 2016/01/24(Sun) 17:00:03
☆ Re: 行列 / Mic
ありがとうございました。
No.35313 - 2016/01/25(Mon) 19:10:49
★ (No Subject) / い
下線部の計算がわかりません
解説お願いします
No.35280 - 2016/01/24(Sun) 12:43:09
☆ Re: / X
分かりにくければ
x^2=t
と置きましょう。
No.35281 - 2016/01/24(Sun) 13:24:03
★ Cの連続積 / 19^2=361
コンビネーションの連続積は順列になるのですか？


ｎを４以上の奇数とする。正ｎ角形の2つの頂点を無作為に選びそれらを通る直線をｌとする。さらに残りのｎ−２個の頂点から2つの頂点を無作為に選びそれらを通る直線をｍとする。直線ｌ、ｍが平行になる確率を求めよ。

正ｎ角形をPとし、Pの外接円をC,外心をOとする。
Pの2つの頂点を重複を許さず無作為に二回選ぶ方法、つまりｌ、ｍを選ぶ方法はnC2*(n-2)C2通りあり、このうちｌ平行ｍとなるｌ、ｍがan通りあるとする。

an=n*(n-1)/2*[{(n-1)/2}-1]
よって求める確率はan/nC2*(n-2)C2

質問１）この解答で（順列は選ぶ順番は自由に決めてよいらしいのでｌを決めてからｍを決めるとすると）

nC2はｌの選び方、(n-2)C2はｍの選び方

(n-1)/2はｌの選び方、[{(n-1)/2}-1]はｍの選び方

として考えてよいのでしょうか？

質問２）また、順列だとすると順番が関係してくるので
例えば、ｌを上の方に選んで、ｍを下のほうに選んで一通り
ｌを下の方に選んで、ｍを上の方に選ぶ、これもまた一通りですがこれは実際には同じもので重複しちゃってますよね。
これがこの問題を（私の中で）分からなくしています。名でこの解答でよいのか理解できません。　　

教えてください
No.35275 - 2016/01/23(Sat) 23:31:24
☆ Re: Cの連続積 / IT
> 質問１）この解答で（順列は選ぶ順番は自由に決めてよいらしいのでｌを決めてからｍを決めるとすると）
>
> nC2はｌの選び方、(n-2)C2はｍの選び方
>
> (n-1)/2はｌの選び方、[{(n-1)/2}-1]はｍの選び方
「n*(n-1)/2はｌの選び方、」 ですよね。
>
> として考えてよいのでしょうか？
そうですね

>
> 質問２）また、順列だとすると順番が関係してくるので
> 例えば、ｌを上の方に選んで、ｍを下のほうに選んで一通り
> ｌを下の方に選んで、ｍを上の方に選ぶ、これもまた一通りですがこれは実際には同じもので重複しちゃってますよね。
選ぶ順番が違いますから、同じもの（事象)ではありません。
（確率計算の分子側でも分母側でも異なる事象としてカウントしています。）

ｌｍの順に選ぶのもｍｌの順に選ぶのも同じ事象として数えるなら
分子側も1/2、分母側も1/2 しますから計算結果は同じになります。
No.35276 - 2016/01/24(Sun) 01:26:19
☆ Re: Cの連続積 / 19^2=361
回答ありがとうございます。ということはやっぱりCの連続積は順列になるということなのでしょうか？

例えば赤玉3個、青球４個が入った袋から赤玉１個青球2個を選ぶ確率をもとめるのに3C1*4C2/7C3
などとするの場合3C1*4C2を日本語に翻訳すると「‘まず’赤玉を選んで‘次に’青だまを選ぶ（赤玉の次に青玉を選ぶという順番で3個選ぶ組み合わせ」→しかし実際には赤玉から選ぼうが青玉から選ぼうが答えに影響しないからどちらから選んでもよい。

という考えでよいのでしょうか
No.35277 - 2016/01/24(Sun) 10:14:32
☆ Re: Cの連続積 / IT
> 回答ありがとうございます。ということはやっぱりCの連続積は順列になるということなのでしょうか？
「コンビネーション(C)の連続積は順列になる」このような固定観念は必要・有効ではなく有害だと思います。ケースバイケースで考えるべきだと思います。


＞＞　ヨッシーさん他　回答者の皆様へ

＃　質問者19^2=361 さんを　うまく納得させる自信がありません。
どなたか、うまく説明できる方があれば、回答をお願いします。　私の説明に間違いがあればご指摘もお願いします。
No.35278 - 2016/01/24(Sun) 11:11:54
☆ Re: Cの連続積 / 水面に映る月
私の説明もわかりやすいかどうかわかりませんので，このほうがわかりやすい，などというものがありましたら，フォロー大歓迎です．

さて．
いろいろなことが同時に問題になっているように思いますが，解決法としては，「確率」の定義に立ち返ることであるように思います．確率とは(高校数学では)，以下のように定義されているかと思います(http://manapedia.jp/text/722引用)．

(引用開始)

すべての事象Ｕの要素の個数をｎ（Ｕ）、Ｕの中にある特定の事象Ａの要素の個数をｎ（Ａ）とします。
Ｕのどの事象も同様に確からしいとき、事象Ａの起こる確率Ｐ（Ａ）は
Ｐ（Ａ）＝ｎ（Ａ）/ｎ（Ｕ）
で表すことができます。

(引用終わり)

話を簡単にするために，質問者さんの「赤玉3個、青球４個から3つの玉を取り出すとき，赤玉１個，青球2個を選ぶ確率」で説明すると，この確率を計算するときに，まず問題になるのは，何を分母に置くのか，ということです．上の定義によれば，「Ｕのどの事象も同様に確からしい」場合でなければ，確率は計算できないことになっています．本来であれば，純粋に数学の立場から言うと，確率を上のように定義している以上，問題設定の段階で何が「同様に確からしい」のか，明確に書く必要がありますが，それが書かれていない場合は，我々の「日常感覚」で「同様に確からしい」かどうかを決めることになります．

今問題となっているのは，選ぶ順番を考慮するかどうか，ということであると思いますが(質問者さんは同じ色の玉であっても区別するべきであるということには納得されているのですよね？)，同じ色の玉を番号を振って区別するとして，玉を一個ずつ取り出すと考えると，例えば，

(1)赤1→青3→赤3
(2)赤1→赤3→青3
(3)青3→赤1→赤3
(4)青3→赤3→赤1
(5)赤3→赤1→青3
(6)赤3→青3→赤1

これらは取り出した後は同じ結果になりますが，これらを6個として数えるわけです．この場合，(上に挙げた6通りに限らず)どの場合が「起こりやすい」どの場合が「起こりにくい」と考える理由が特段ありませんから，それぞれの場合は「同様に確からしい」と考えてよいでしょう．

次に，上の6つを区別しないで，結果だけを見る場合(ただし，同じ色の玉は区別する)であっても，どの場合が「起こりにくい」と考える理由が特段ありませんから，それぞれの場合は「同様に確からしい」と考えてよいでしょう．この場合は，玉を選ぶ現場には立ち会わず，結果だけ(但し，くどいようではあるが，同じ色の玉であっても区別はしている)を見ているという立場ですから，(確率計算の分子で，)3C1*4C2の順で計算するのは，あくまでも計算上の，というか，赤1個，青2個が選ばれている場合の数を考える上での便宜であって，逆順に，すなわち4C2*3C1と計算してもかまいません(しかし，この掛ける順番が玉を選ぶ順番に対応しているわけではない)．けれども，(確率計算の分子で，)4C2*3C1+3C1*4C2とするのは，オカシイです．じゃあ，何を全事象としているのか？という話になります．

では，先に説明した玉を取り出す順番を考慮する場合であれば，分子は4C2*3C1+3C1*4C2となるのかというと，これも違いますよね．(←納得できますか？)

要するに，
1．何を全事象と考えているのか(これはとりもなおさず，何を根元事象と考えているのか，という問である)
2．根元事象は「同様に確からしく」なければならない
3．任意の事象は，根元事象の和事象として表される
この3つを強く意識する必要があるということです．
No.35279 - 2016/01/24(Sun) 12:07:10
☆ Re: Cの連続積 / 19^2=361
お二方ありがとうございます。

>では，先に説明した玉を取り出す順番を考慮する場合であれば，分子は4C2*3C1+3C1*4C2となるのかというと，これも違いますよね．(←納得できますか？)

納得できます。一個ずつ取り出す順番を考えるのなら赤青青青赤赤赤などの順番で考える制約が出てくるので4C2などが出てくる余地がありませんからね


どこでCが連続積と習ったのか、掘り起こして見つけました。
以下抜粋

ポイント（３）[nCr単独では組合せ、でも複数の積は・・・]
いくつかのnCrの積[連続操作]は連続操作の順番が影響する。つまり「選ぶ順番により生じた順列」になる。
例えば「赤青黄緑紫黒」の6本の色鉛筆を2本ずつ3組に分ける方法を計算すると6C2*4C2*2C2/３！のように３！で割るが、これをすることによって、連続操作によって生じた「選ぶ順番により生じた順列を」組合せに戻している。すなわち余計に生じた枝分かれを1本に戻している

ポイント４[順列を数える]
順列をどこから数えるのかは自由であり、並べる時間の順序にとらわれる必要はない。

抜粋終わり

35276の記事で最後に「ｌｍの順に選ぶのもｍｌの順に選ぶのも同じ事象として数えるなら」ということはｌとｍの順番に順列が発生している事になりますし、（ポイント３に合致）

「ｌｍの順に選ぶのもｍｌの順に選ぶのも同じ事象として数えるなら
分子側も1/2、分母側も1/2 しますから計算結果は同じになります。」も２！で割るということでポイント３に合致しますよね

ポイント３，４が他の問題の答えを出す上で差支えがあるなら簡単な例題でもいいので挙げてほしいです

よろしくおねがいします
No.35283 - 2016/01/24(Sun) 15:04:14
☆ Re: Cの連続積 / 水面に映る月
失礼ですが，これは，ポイント3，4に当てはまる場合は何かの公式や考え方が使えるというような主張なのでしょうか?(つまり，ポイント3，4に合致するから何なのか？ということです．) それがわからないと例を挙げることもできません．(もし何かのサイトの抜粋なのであれば，URLを示していただくと有り難いです．)
確率の問題として考えるならば，既に書きましたが，次の3つに尽きると思います．

1．何を全事象と考えているのか(これはとりもなおさず，何を根元事象と考えているのか，という問である)
2．根元事象は「同様に確からしく」なければならない
3．任意の事象は，根元事象の和事象として表される

また，追加ですが，19^2=361さんは

>3C1*4C2を日本語に翻訳すると「‘まず’赤玉を選んで‘次に’青だまを選ぶ（赤玉の次に
>青玉を選ぶという順番で3個選ぶ組み合わせ」

と書かれていますが，ここでの「選ぶ」という言葉は，実際に赤玉3個，青玉4個から取り出すという意味での，(実際に試行として行った)「選ぶ」こととは全く別のものであることは理解なさっているでしょうか?

<補足(と言っても大事な補足)>
[補足1]
ITさんが仰るように，私も，「コンビネーション(C)の連続積は順列になる」と言った怪しげな「公式」めいたものは有害であると思いますし，有用であるとも思えません(納得しないままで終わるのはよくないと思いますが)．

[補足2]
上の玉を取り出す例でいうと，玉を取り出す順序を考慮している場合は全事象を玉の取り出し方(つまり手順)全体と考えており，玉を取り出す順番を考慮しない場合は取り出した結果全体を全事象と考えていて，いずれの場合であっても根元事象は「同様に確からしい」と考えられるからいずれの考え方もOKだ，というだけです．
No.35284 - 2016/01/24(Sun) 15:57:55
★ 二重積分の計算について / xyz
∬D(√(x^2-y^2))dxdy D={(x,y)|0≦y≦x≦1}の計算方法がわからないので教えてください。答えはπ/12です。
No.35271 - 2016/01/23(Sat) 17:56:24
☆ Re: 二重積分の計算について / X
(与式)=∫[x:0→1]∫[y:0→x](√(x^2-y^2))dydx
ここで
∫[y:0→x](√(x^2-y^2))dy=[y√(x^2-y^2)][y:0→x]+∫[y:0→x]{(y^2)/√(x^2-y^2)}dy
=-∫[y:0→x]{√(x^2-y^2)}dy+(x^2)∫[y:0→x]dy/√(x^2-y^2)
∴∫[y:0→x](√(x^2-y^2))dy=(1/2)(x^2)∫[y:0→x]dy/√(x^2-y^2)
=[(1/2)(x^2)arcsin(y/x)][y:0→x]
=(π/4)x^2
∴(与式)=∫[x:0→1]{(π/4)x^2}dx=π/12

注)
計算途中で広義積分を使っていますが、厳密な計算式を
端折っています。
No.35273 - 2016/01/23(Sat) 19:17:35
☆ Re: 二重積分の計算について / xyz
ありがとうございました。
No.35293 - 2016/01/24(Sun) 18:27:29
★ 証明問題 / まりも
(1)(2)みてください
回答は背理法でやってました。
No.35266 - 2016/01/23(Sat) 15:42:42
☆ Re: 証明問題 / まりも
(1)です。。
No.35267 - 2016/01/23(Sat) 15:43:18
☆ Re: 証明問題 / まりも
(2)です。。
No.35268 - 2016/01/23(Sat) 15:43:47
☆ Re: 証明問題 / ヨッシー
枚数で攻めていく方法も良いですが、カードの数の総和に着目してはどうでしょう？

１〜2n までの数の和Ｓ（＝Ａ＋Ｂ）は
　Ｓ＝n(2n-1)
であるので、
ｎが奇数ならばＳも奇数であり、
　Ａが奇数ならばＢは偶数、Ａが偶数ならばＢは奇数である。
ｎが偶数ならばＳも偶数であり、
　Ａが奇数ならばＢも奇数、Ａが偶数ならばＢも偶数である。
これらから、(1)(2) は即座に示せます。
No.35269 - 2016/01/23(Sat) 16:04:25
☆ Re: 証明問題 / まりも
その回答はだいぶ楽にできそうですね。
私の回答でも点数はもらえますか？
No.35270 - 2016/01/23(Sat) 16:17:12
☆ Re: 証明問題 / IT
横から失礼します。
> 私の回答でも点数はもらえますか？

(1) もちろんもらえると思います。改善すると良いと思う点をいくつか
ア）最初に、奇数の枚数が奇数のとき数字の合計は奇数、偶数のとき偶数になる。ことを明記した方が見通しが良いと思います。

イ）後半部の「枚」と「数」の見分けがつき難いです。文脈から分りますが、答案は採点者への手紙のつもりでていねいに（数は画数が多いので書くのに時間が掛かりますね、そのためには不要なことを書かないことも有効です→ウ）

ウ）奇数の枚数にだけ注目し記述した方が良いと思います。

エ）残された側の奇数の枚数の偶奇も明記した方が良いと思います。

オ）A-B　・・としなくても　（AとBの偶奇が異なる）から　即、A,Bが異なるとして良いと思います。
No.35272 - 2016/01/23(Sat) 18:45:11
☆ Re: 証明問題 / まりも
なるほど。
わかりやすい回答を書くのは難しいですね

改善しています。
No.35282 - 2016/01/24(Sun) 13:29:22
★ 問題１３ / エープリル
問題１３）整式x^2014を整式x^4+x^3+x^2+x+1で割った余りをもとめよ。
解）x^(2010)-1=(x^5-1)(x^2005+x^2004+・・・＋１）・・?@
とあるのですがどういう公式でこうなるのでしょうか？
公式(x^n)-1=(x-1)(x^(n-1)＋・・・＋１）に反してますよね？
?@を導ける公式を教えてor作ってもらえないでしょうか？

よろしくおねがいします
No.35252 - 2016/01/23(Sat) 10:14:54
☆ Re: 問題１３ / IT
x^(2010)-1=(x^5-1)(x^2005+x^2000+・・・＋１）・・?@
ではないのですか？

その後はどうなっていますか？
No.35253 - 2016/01/23(Sat) 10:26:56
☆ Re: 問題１３ / エープリル
ありがとうございます

その後はｘ＾５＝(x-1)(x^4+・・・＋１）となり
公式(x^n)-1=(x-1)(x^(n-1)＋・・・＋１）でｎ＝５として、公式どおりになっているので疑問はないです

しかしx^(2010)-1=(x^5-1)(x^2005+x^2000+・・・＋１）・・?@
は公式(x^n)-1=(x-1)(x^(n-1)＋・・・＋１）ではうまくいかないので、という意図です
No.35258 - 2016/01/23(Sat) 10:55:29
☆ Re: 問題１３ / IT
> 解）x^(2010)-1=(x^5-1)(x^2005+x^2004+・・・＋１）・・?@
x^(2010)-1=(x^5-1)(x^2005+x^2000+・・・＋１）・・?A
ではないのですか？

再度確認します。

解答にあるのは、?@ですか？?Aですか？

?Aなら公式(x^n)-1=(x-1)(x^(n-1)＋・・・＋１）
でxのところをx^5 とすればいいと思いますが。
No.35259 - 2016/01/23(Sat) 11:09:02
☆ Re: 問題１３ / エープリル
すみません。x^(2010)-1=(x^5-1)(x^2005+x^2000+・・・＋１）・・・?Aの方でした！

(x^n)-1=(x-1)(x^(n-1)＋・・・＋１）のｘをｘ＾５にして、

ｎ＝４０２としたら導けました！

ありがとうございました！
No.35262 - 2016/01/23(Sat) 12:35:33
★ 質問１ / エープリル
問題１２）ｎを自然数、A,Bを整数とする。多項式ｘ＾（２ｎ）-4x^2+Ax+Bがx^2-x+1で割り切れるようにA,Bの値を定めよ。

質問１）という問題でｎを３で割ったあまりで場合わけしているのですが、その発想は一体どこから来たのでしょうか？

よろしくおねがいします
No.35251 - 2016/01/23(Sat) 10:08:12
☆ Re: 質問１ / らすかる
「場合分け」は発想するものではありません。
問題を解いていったうえで、
「ここから先は場合分けをしないと解けない」あるいは
「ここから先は場合分けをした方が簡単になりそう」
という時に必要に迫られて場合分けをするものです。
# 途中で場合分けが必要であることがわかったとき、
# 先頭に戻って最初から場合分けする解答に書き直すこともあります。

従って、解答を順に追っていけば、なぜ場合分けしているのかは
自動的にわかると思います。
No.35255 - 2016/01/23(Sat) 10:40:15
☆ Re: 質問１ / エープリル
解答を順に追っても場合わけの理由は正直全く分かりませんでした。ので独自に思考過程を書いてみます。

ｘ＾（２ｎ）-4x^2+Ax+B＝（x^2-x+1）Q(x)とおける
x^2-x+1=0の解をαとすると
α^(2n)-4α^2+Aα+B＝０
なんだこのｎ・・？このｎのせいで解けない。。ｎが分からないからｎ＝１，２，３・・・と調べてみよう
ｎ＝１，２，３，４，５，６、・・・のとき
α^(2n)=α^2、−α、１、α^2、−α、１とα^2、−α、１繰り返しになっている（ことを偶然発見した）！！
ｎ＝３ｍ＋１のときα^(2n)＝α＾２、ｎ＝３ｍ＋２のときα^(2n)＝−α、ｎ＝３ｍのときα^(2n)＝１とおくことでa^(2n)の値は全て網羅される！

こういった感じでよいのでしょうか
No.35263 - 2016/01/23(Sat) 12:55:14
☆ Re: 質問１ / IT
そういうことで良いと思います。

もうお気づきと思いますが,
この問題の場合は,
αはx^6=1の虚根に, α^2はx^3=1の虚根になることが分かります。

x^2-x+1=0の解αを求めて複素平面上に図示してみるという分りやすいかも知れません。

x^6-1=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)の因数分解をやったことがないと気付きにくいので、
試行して確認するのが早道だと思います。
No.35264 - 2016/01/23(Sat) 13:47:15
☆ Re: 質問１ / エープリル
納得できました、ありがとうございました。
No.35274 - 2016/01/23(Sat) 22:10:14
★ (No Subject) / ジョー
ｘの関数ｙに関する微分方程式 xyy'=x²+y²を解く。
y'=2x/y+y/x は同次形である。
y=xuとおけばuに関する変数分離形の微分方程式
uu'=2x/y+y/x　に直すことができる。

○×問題なんですが、回答は×です。
求め方をわかる方教えてください。
よろしくお願いしますm(_ _)m
No.35244 - 2016/01/22(Fri) 23:19:44
☆ Re: / ＿
2行目の変形ですでに破綻しているので×。

---
たとえば「y=x² のとき、（2^x)^2 =2yである。」の正誤が自力で判定できないような段階では微分方程式は尚早なんでないかしら。
No.35247 - 2016/01/23(Sat) 00:55:25
★ 導関数 / きらり
関数f(x)=(x+1)sinx　について
これの導関数、2次導関数、2次の近似式をもとめよ
という問題ですが求め方・途中式を教えてほしいです。
No.35242 - 2016/01/22(Fri) 23:08:50
☆ Re: 導関数 / ＿
導関数を求める段階から手詰まりなのですか？
そうであれば近似式を求めるうえでの前提の知識が決定的に不足しています。もしくは最初から全く考えるつもりがないか。

＃向こうでも書きましたが、名前変えて大量に質問するのやめましょうね。
No.35248 - 2016/01/23(Sat) 01:12:55
★ 定積分 / カメ
1
I=∫　√1-x^2 dx　を計算せよ。
　　0

という問題で、sin0=0, sin(π/2)=1であるから
x=sint(0≦ｔ≦π/2）とおくと、
√1-x^2 =cost, dx/dt=cost となり・・・
とあるのですが
はじめのsinはどこから出てきたのでしょうか？
何か公式を利用したのでしょうか？

よろしくお願いします。　
No.35241 - 2016/01/22(Fri) 22:59:52
☆ Re: 定積分 / カメ
I=∫[1.0] √1-x^2 dx　のことです。
わかりにくかったと思うので追加しました。
よろしくお願いします。
No.35243 - 2016/01/22(Fri) 23:11:35
☆ Re: 定積分 / ＿
公式云々を持ち出そうとせずにとりあえず落ち着いて見てみるとよいです。
√部分を処理するためにx=sintの置換積分をして、それに伴って必要な積分区間の値を調整しているだけです。

＃ただ、その解答例の著者が何を意図してそうしているのかは分かりませんが、単に単位円の第一象限部分とxy両軸で囲む面積と考えれば積分計算持ち出す必要はないですね。
No.35245 - 2016/01/22(Fri) 23:27:01
★ 数学3 / さくら
高3理系です
式変形などは分かるのですが、最後の図にするところが分かりません
どうしてこの形になるのか教えて下さい
よろしくお願いしますm(__)m
No.35235 - 2016/01/22(Fri) 22:00:19
☆ Re: 数学3 / さくら
すみません
一箇所45°を消し忘れて大変なことになってました

正しくはこうです
No.35236 - 2016/01/22(Fri) 22:04:47
☆ Re: 数学3 / さくら
…何度も本当に申し訳ないです
写真横になってしまったので貼り直しますorz
No.35237 - 2016/01/22(Fri) 22:07:41
☆ Re: 数学3 / IT
複素数α,β　（β≠0)について
arg(α/β)=argα-argβ　（２nπの違いは無視）
|α/β|=|α|/|β|
がいえることはいいですか？
No.35238 - 2016/01/22(Fri) 22:48:28
☆ Re: 数学3 / さくら
>ITさん

コメントありがとうございます！

はい、それは分かります
No.35246 - 2016/01/23(Sat) 00:44:56
☆ Re: 数学3 / IT
(β-α)/(γ-α)= 2(cos(π/4)+isin(π/4))
の両辺の絶対値を取ると
|(β-α)/(γ-α)|= |2(cos(π/4)+isin(π/4))|
|β-α|/|γ-α|= 2 なので|β-α|は|γ-α|の２倍
また
　arg{(β-α)/(γ-α)}=arg{2(cos(π/4)+isin(π/4))}
　arg(β-α)-arg(γ-α)=π/4


あるいは
　(β-α)/(γ-α)= 2(cos(π/4)+isin(π/4))　より
　β-α＝2(cos(π/4)+isin(π/4))(γ-α)
　β-αはγ-αを２倍してπ/4回転したもの

＃この辺は、教科書に書いてあるのではないでしょうか？
No.35249 - 2016/01/23(Sat) 02:08:20
☆ Re: 数学3 / さくら
>ITさん

遅れてしまいすみません
丁寧にありがとうございました！
両方ともすごく分かりやすかったです

教科書ではβ-αなどといった引き算の形や、分数の形のものがなかった(はず…)なので混乱してしまいましたが
根本的には同じなんですね

また機会があれば、よろしくお願いします
No.35261 - 2016/01/23(Sat) 11:56:13
★ 対称性 / ざんきまる
一辺の長さが１の正方形ABCDの辺上に異なる二点E,Fをとり、線分EFによって正方形ABCDが面積3/4と面積1/4の２つの図形に分割されるようにする。線分EFの中天をGとするときGの軌跡によって囲まれる部分の面積Sを求めよ。

解答）
A=Oとなるように座標軸をとり、G（X,Y)とおく。
（AB上にx軸、AD上にｙ軸をとっている）
ア）線分EFのたんてんが向かい合う辺上にあるとき図１を参照せよ。EがAB上、FがCD上にあり四角形AEFDの面積が1/4になる時を考えると台形AEFDと長方形AHID（GからAB,ACに下ろした垂線の足をそれぞれH,Iとしている）の面積は等しいからX*1=1/4よりX=1/4
またY=1/2
（イ）
線分EFのたんてんが隣り合う辺上にあるとき、図２を参照せよ。EがAB上、FがAD上にあるときを考えるとE(2X,0),F(0,２Y)であるから?僊EF＝２XY
これが1/4に等しいのでXY=1/8
また０≦２X≦１、０≦２Y≦１とあわせて
０≦X≦１/2、０≦Y≦１/2,XY=1/8
となる。』以上と対称性を考えると、Gの軌跡は図３(1/2,1/2）を中心とした膨らんだダイヤモンドのような形の内部）のようになり、求める面積SはS=∫(1/4~1/2)(1/2-1/8xdx=1/2-1/2log2
(図は言葉で説明しました）

』までは分かるのですが、これと対称性でどのようにしたらそのまま即座にG軌跡が書けるのかが分かりません。

どなたか分かるかた、教えてください
よろしくおねがいします
No.35234 - 2016/01/22(Fri) 21:28:42
☆ Re: 対称性 / 水面に映る月
計算過程は大体でしか読んでいませんが，
1．線分EFが辺ABと辺ADを橋渡ししている場合
の議論と同様の議論が，
2．線分EFが辺BAと辺BCを橋渡ししている場合
3．線分EFが辺CBと辺CDを橋渡ししている場合
4．線分EFが辺DCと辺DAを橋渡ししている場合
についてもできるから，という意味での「対称性」であると思います．
No.35265 - 2016/01/23(Sat) 14:41:22
★ 微分方程式 / カメ
y=e^ax　を2階線形斉次微分方程式
y''-2'-3y=0の解とすると、
a　についての2次方程式(a^2)-2a-3=0 が成り立つ
この2次方程式の解はa=-1,3 だから
y=e^-x　とy=e^3x　は微分方程式の解である。

という丸罰問題があり、正解は丸なのですがどうやって求めればいいのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.35223 - 2016/01/22(Fri) 17:53:31
☆ Re: 微分方程式 / 水面に映る月
y=e^axをy''-2'-3y=0に代入すると，{(a^2)-2a-3}e^ax=0を得ますね．
No.35224 - 2016/01/22(Fri) 18:34:45
☆ Re: 微分方程式 / カメ
ありがとうございます！
理解できました。
No.35239 - 2016/01/22(Fri) 22:55:01
★ 軌跡　書き方 / UA

-2x^2+x+1の軌跡を図示する場合
どのように書けばいいでしょうか？
よろしくお願いします。
No.35221 - 2016/01/22(Fri) 13:37:25
☆ Re: 軌跡　書き方 / ヨッシー
y=-2x^2+x+1 のグラフの描き方でしょうか？

頂点、軸、ｙ切片　は必須です
後は代表的な点（ｘ切片など）を書き込んでおけばＯＫでしょう。
No.35222 - 2016/01/22(Fri) 14:30:51
☆ Re: 軌跡　書き方 / UA
ありがとうございました！

頑張ってみます！
No.35227 - 2016/01/22(Fri) 18:58:58
★ 数珠順列 / おお
以下を数珠順列で並べると何通り出来ますか？ 解き方を教えて下さい

赤玉2個、白玉2個、黒玉2個 (11通り)

赤玉2個、白玉3個、黒玉3個

赤玉4個、白玉4個、黒玉8個

赤玉3個、白玉4個、黒玉5個

赤玉3個、白玉6個 (7通り)
No.35217 - 2016/01/22(Fri) 03:46:28
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
失礼ですが，何を求めたいのか，今ひとつ分かりません．「左右対称のもの」だけを求めたいのでしょうか．
もし，玉の並べ方の総数だけ知りたいなら，素直に一般的な解法(つまり，1つ玉を固定する方法)でやったほうが良いように思います．

# ちなみに，">"の記号は，一般的には，引用するときに使われます．この掲示板でも
# たくさん">"の記号が使われているので，それらを使用例として参考にされると良いと思います．
No.35225 - 2016/01/22(Fri) 18:41:20
☆ Re: 数珠順列 / おお
1つ固定する方法で、赤玉4個、白玉4個、黒玉8個 はどう解けばいいのでしょうか？
No.35226 - 2016/01/22(Fri) 18:54:33
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
ごめんなさい．「数珠順列」ですね．すっかり円順列と勘違いしていました．それならば，左右対称のものを知る必要がありますね．
No.35228 - 2016/01/22(Fri) 19:30:47
☆ Re: 数珠順列 / おお
円順列は、循環の考え方でやれば玉がいくつであろうと簡単に解けるのでいいのですがね。
数珠順列はそこから左右対称は見つけないといけないのですが、回転させると同じになるものかつ左右対称になるものとか出てきて、こんがらがってしまいました。

簡単な例だと、赤2、白2、青2のとき 左右対称になるのは
左右に3個(赤1、白1、青1)ずつ置く方法 3!=6通り ただし3通りは回転すると同じ
と上下に赤(白、青)を固定して残りを2個ずつ左右に置く方法 3×2=6 ただし3通りは回転すると同じ

結果左右対称かつ回転しても同じにならないものは6個

したがって、赤2、白2、青2の円順列は16通りより
(16−6) ÷ 2 + 6 = 11
No.35229 - 2016/01/22(Fri) 19:59:32
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
これ，確かに結構シンドイですね．
順に考えていきたいと思いますが，赤玉2個、白玉3個、黒玉3個の場合に関しては，任意の対称な並べ方に関して，対称の軸上には必ず白玉と黒玉が乗っていますから，対称なものは，3!=6通りとなるように思います．(対称の軸とする白玉と黒玉を固定して，他をこれに対称となるように並べると，回して重なるものはないハズ)

赤玉3個、白玉4個、黒玉5個の場合も，同様にできそうですね．任意の対称な並べ方に関して，対称の軸上には必ず赤玉と黒玉が乗っていますから，対称なものは，5!/(2!*2!)通りとなるように思います．

# どなたか良いアイデアがあったら教えてください．私からもお願いします．
No.35231 - 2016/01/22(Fri) 20:48:52
☆ Re: 数珠順列 / おお
確かに、2、3、3と 3、4、5 の場合はそれで良さそうですね
No.35233 - 2016/01/22(Fri) 21:20:19
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
赤玉4個,白玉4個,黒玉8個が問題ですね…．
これは自作問題ですか?それとも何かの問題集の問題ですか?
私の頭と忍耐力が足りないのかもしれないですが，うまい方法は思いつかず,断念しました…．すみません…．
再度,赤玉4個,白玉4個,黒玉8個の場合に絞って質問しなおしたらどなたか頭の切れる方が回答して下さるかもしれません.(その場合は,もし,自作問題なのであれば,その旨,書かれると良いと思います.)

# いろいろ調べてもみましたが,見つかりませんでした. ただ,「同じものを含む円順列」に関しては,
# 公式があるようですね. 入試の答案などで使うのは宜しくないと思いますが,面白かったので
# URLを載せておきます.(あくまでも参考程度に,ということなので,スルーしていただいても結構です)

http://kyomura.web.fc2.com/math/enjyunretsu.pdf
No.35250 - 2016/01/23(Sat) 04:34:31
☆ Re: 数珠順列 / らすかる
赤玉4個、白玉4個、黒玉8個の場合

円順列で90°回転対称形は3通り（1個の赤を基準にして白の位置を考えればよい）で、
このうち裏返して自分自身になるものは1通りなので、数珠順列で90°回転対称形は2通り
具体的には
赤白黒黒赤白黒黒赤白黒黒赤白黒黒 ← 裏返すと別のパターン
赤黒白黒赤黒白黒赤黒白黒赤黒白黒 ← 裏返すと自分自身

円順列で180°回転対称形は
(8C2×6C2-3×4)÷8=51通り
このうち裏返して自分自身になるものは
赤赤□□□□□□赤赤□□□□□□ 形のとき
白の配置を考えると3通り
赤□赤□□□□□赤□赤□□□□□ 形のとき
白の配置を考えると3通り
赤□□赤□□□□赤□□赤□□□□ 形のとき
白の配置を考えると3通り
赤□□□赤□□□赤□□□赤□□□ 形のとき
白の配置を考えると2通り
※3通り中1通りは90°回転対称形なので除外
計 3+3+3+2=11通り
よって数珠順列では(51+11)÷2=31通り

円順列で回転対称形でないものは
(16C4×12C4-51×8-3×4)÷16=56280通り
このうち裏返して自分自身になるものは
対称軸上に玉がない場合
(8C2×6C2-4P2)÷2=204通り
対称軸上に赤玉2個がある場合
(7C1×6C2-3C1)÷2=51通り
対称軸上に白玉2個がある場合
(7C1×6C2-3C1)÷2=51通り
対称軸上に黒玉2個がある場合
(7C2×5C2-3P2)÷2=102通り
※それぞれの-4P2,-3C1,-3C1,-3P2は対称軸が2つあるものを除外
計 204+51+51+102=408通り
よって数珠順列では
(56280+408)÷2=28344通り

従って全部で
2+31+28344=28377通り
No.35254 - 2016/01/23(Sat) 10:33:30
☆ Re: 数珠順列 / エープリル
横から失礼します

質問なのですが
サイトの円順列の公式のΣkldの意味を教えていただけないでしょうか？項数が分かりません。自分も面白いとおもったので。。。
No.35257 - 2016/01/23(Sat) 10:50:02
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
>>エープリルさん
公式のΣkldの意味は，dのすべての約数kについての数列の和をとる，という意味です．

>>らすかるさん
有難うございます．私もじっくり読ませて頂きます．
No.35260 - 2016/01/23(Sat) 11:21:38
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