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★ 対称性 / ざんきまる
一辺の長さが１の正方形ABCDの辺上に異なる二点E,Fをとり、線分EFによって正方形ABCDが面積3/4と面積1/4の２つの図形に分割されるようにする。線分EFの中天をGとするときGの軌跡によって囲まれる部分の面積Sを求めよ。

解答）
A=Oとなるように座標軸をとり、G（X,Y)とおく。
（AB上にx軸、AD上にｙ軸をとっている）
ア）線分EFのたんてんが向かい合う辺上にあるとき図１を参照せよ。EがAB上、FがCD上にあり四角形AEFDの面積が1/4になる時を考えると台形AEFDと長方形AHID（GからAB,ACに下ろした垂線の足をそれぞれH,Iとしている）の面積は等しいからX*1=1/4よりX=1/4
またY=1/2
（イ）
線分EFのたんてんが隣り合う辺上にあるとき、図２を参照せよ。EがAB上、FがAD上にあるときを考えるとE(2X,0),F(0,２Y)であるから?僊EF＝２XY
これが1/4に等しいのでXY=1/8
また０≦２X≦１、０≦２Y≦１とあわせて
０≦X≦１/2、０≦Y≦１/2,XY=1/8
となる。』以上と対称性を考えると、Gの軌跡は図３(1/2,1/2）を中心とした膨らんだダイヤモンドのような形の内部）のようになり、求める面積SはS=∫(1/4~1/2)(1/2-1/8xdx=1/2-1/2log2
(図は言葉で説明しました）

』までは分かるのですが、これと対称性でどのようにしたらそのまま即座にG軌跡が書けるのかが分かりません。

どなたか分かるかた、教えてください
よろしくおねがいします
No.35234 - 2016/01/22(Fri) 21:28:42
☆ Re: 対称性 / 水面に映る月
計算過程は大体でしか読んでいませんが，
1．線分EFが辺ABと辺ADを橋渡ししている場合
の議論と同様の議論が，
2．線分EFが辺BAと辺BCを橋渡ししている場合
3．線分EFが辺CBと辺CDを橋渡ししている場合
4．線分EFが辺DCと辺DAを橋渡ししている場合
についてもできるから，という意味での「対称性」であると思います．
No.35265 - 2016/01/23(Sat) 14:41:22
★ 微分方程式 / カメ
y=e^ax　を2階線形斉次微分方程式
y''-2'-3y=0の解とすると、
a　についての2次方程式(a^2)-2a-3=0 が成り立つ
この2次方程式の解はa=-1,3 だから
y=e^-x　とy=e^3x　は微分方程式の解である。

という丸罰問題があり、正解は丸なのですがどうやって求めればいいのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.35223 - 2016/01/22(Fri) 17:53:31
☆ Re: 微分方程式 / 水面に映る月
y=e^axをy''-2'-3y=0に代入すると，{(a^2)-2a-3}e^ax=0を得ますね．
No.35224 - 2016/01/22(Fri) 18:34:45
☆ Re: 微分方程式 / カメ
ありがとうございます！
理解できました。
No.35239 - 2016/01/22(Fri) 22:55:01
★ 軌跡　書き方 / UA

-2x^2+x+1の軌跡を図示する場合
どのように書けばいいでしょうか？
よろしくお願いします。
No.35221 - 2016/01/22(Fri) 13:37:25
☆ Re: 軌跡　書き方 / ヨッシー
y=-2x^2+x+1 のグラフの描き方でしょうか？

頂点、軸、ｙ切片　は必須です
後は代表的な点（ｘ切片など）を書き込んでおけばＯＫでしょう。
No.35222 - 2016/01/22(Fri) 14:30:51
☆ Re: 軌跡　書き方 / UA
ありがとうございました！

頑張ってみます！
No.35227 - 2016/01/22(Fri) 18:58:58
★ 数珠順列 / おお
以下を数珠順列で並べると何通り出来ますか？ 解き方を教えて下さい

赤玉2個、白玉2個、黒玉2個 (11通り)

赤玉2個、白玉3個、黒玉3個

赤玉4個、白玉4個、黒玉8個

赤玉3個、白玉4個、黒玉5個

赤玉3個、白玉6個 (7通り)
No.35217 - 2016/01/22(Fri) 03:46:28
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
失礼ですが，何を求めたいのか，今ひとつ分かりません．「左右対称のもの」だけを求めたいのでしょうか．
もし，玉の並べ方の総数だけ知りたいなら，素直に一般的な解法(つまり，1つ玉を固定する方法)でやったほうが良いように思います．

# ちなみに，">"の記号は，一般的には，引用するときに使われます．この掲示板でも
# たくさん">"の記号が使われているので，それらを使用例として参考にされると良いと思います．
No.35225 - 2016/01/22(Fri) 18:41:20
☆ Re: 数珠順列 / おお
1つ固定する方法で、赤玉4個、白玉4個、黒玉8個 はどう解けばいいのでしょうか？
No.35226 - 2016/01/22(Fri) 18:54:33
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
ごめんなさい．「数珠順列」ですね．すっかり円順列と勘違いしていました．それならば，左右対称のものを知る必要がありますね．
No.35228 - 2016/01/22(Fri) 19:30:47
☆ Re: 数珠順列 / おお
円順列は、循環の考え方でやれば玉がいくつであろうと簡単に解けるのでいいのですがね。
数珠順列はそこから左右対称は見つけないといけないのですが、回転させると同じになるものかつ左右対称になるものとか出てきて、こんがらがってしまいました。

簡単な例だと、赤2、白2、青2のとき 左右対称になるのは
左右に3個(赤1、白1、青1)ずつ置く方法 3!=6通り ただし3通りは回転すると同じ
と上下に赤(白、青)を固定して残りを2個ずつ左右に置く方法 3×2=6 ただし3通りは回転すると同じ

結果左右対称かつ回転しても同じにならないものは6個

したがって、赤2、白2、青2の円順列は16通りより
(16−6) ÷ 2 + 6 = 11
No.35229 - 2016/01/22(Fri) 19:59:32
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
これ，確かに結構シンドイですね．
順に考えていきたいと思いますが，赤玉2個、白玉3個、黒玉3個の場合に関しては，任意の対称な並べ方に関して，対称の軸上には必ず白玉と黒玉が乗っていますから，対称なものは，3!=6通りとなるように思います．(対称の軸とする白玉と黒玉を固定して，他をこれに対称となるように並べると，回して重なるものはないハズ)

赤玉3個、白玉4個、黒玉5個の場合も，同様にできそうですね．任意の対称な並べ方に関して，対称の軸上には必ず赤玉と黒玉が乗っていますから，対称なものは，5!/(2!*2!)通りとなるように思います．

# どなたか良いアイデアがあったら教えてください．私からもお願いします．
No.35231 - 2016/01/22(Fri) 20:48:52
☆ Re: 数珠順列 / おお
確かに、2、3、3と 3、4、5 の場合はそれで良さそうですね
No.35233 - 2016/01/22(Fri) 21:20:19
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
赤玉4個,白玉4個,黒玉8個が問題ですね…．
これは自作問題ですか?それとも何かの問題集の問題ですか?
私の頭と忍耐力が足りないのかもしれないですが，うまい方法は思いつかず,断念しました…．すみません…．
再度,赤玉4個,白玉4個,黒玉8個の場合に絞って質問しなおしたらどなたか頭の切れる方が回答して下さるかもしれません.(その場合は,もし,自作問題なのであれば,その旨,書かれると良いと思います.)

# いろいろ調べてもみましたが,見つかりませんでした. ただ,「同じものを含む円順列」に関しては,
# 公式があるようですね. 入試の答案などで使うのは宜しくないと思いますが,面白かったので
# URLを載せておきます.(あくまでも参考程度に,ということなので,スルーしていただいても結構です)

http://kyomura.web.fc2.com/math/enjyunretsu.pdf
No.35250 - 2016/01/23(Sat) 04:34:31
☆ Re: 数珠順列 / らすかる
赤玉4個、白玉4個、黒玉8個の場合

円順列で90°回転対称形は3通り（1個の赤を基準にして白の位置を考えればよい）で、
このうち裏返して自分自身になるものは1通りなので、数珠順列で90°回転対称形は2通り
具体的には
赤白黒黒赤白黒黒赤白黒黒赤白黒黒 ← 裏返すと別のパターン
赤黒白黒赤黒白黒赤黒白黒赤黒白黒 ← 裏返すと自分自身

円順列で180°回転対称形は
(8C2×6C2-3×4)÷8=51通り
このうち裏返して自分自身になるものは
赤赤□□□□□□赤赤□□□□□□ 形のとき
白の配置を考えると3通り
赤□赤□□□□□赤□赤□□□□□ 形のとき
白の配置を考えると3通り
赤□□赤□□□□赤□□赤□□□□ 形のとき
白の配置を考えると3通り
赤□□□赤□□□赤□□□赤□□□ 形のとき
白の配置を考えると2通り
※3通り中1通りは90°回転対称形なので除外
計 3+3+3+2=11通り
よって数珠順列では(51+11)÷2=31通り

円順列で回転対称形でないものは
(16C4×12C4-51×8-3×4)÷16=56280通り
このうち裏返して自分自身になるものは
対称軸上に玉がない場合
(8C2×6C2-4P2)÷2=204通り
対称軸上に赤玉2個がある場合
(7C1×6C2-3C1)÷2=51通り
対称軸上に白玉2個がある場合
(7C1×6C2-3C1)÷2=51通り
対称軸上に黒玉2個がある場合
(7C2×5C2-3P2)÷2=102通り
※それぞれの-4P2,-3C1,-3C1,-3P2は対称軸が2つあるものを除外
計 204+51+51+102=408通り
よって数珠順列では
(56280+408)÷2=28344通り

従って全部で
2+31+28344=28377通り
No.35254 - 2016/01/23(Sat) 10:33:30
☆ Re: 数珠順列 / エープリル
横から失礼します

質問なのですが
サイトの円順列の公式のΣkldの意味を教えていただけないでしょうか？項数が分かりません。自分も面白いとおもったので。。。
No.35257 - 2016/01/23(Sat) 10:50:02
☆ Re: 数珠順列 / 水面に映る月
>>エープリルさん
公式のΣkldの意味は，dのすべての約数kについての数列の和をとる，という意味です．

>>らすかるさん
有難うございます．私もじっくり読ませて頂きます．
No.35260 - 2016/01/23(Sat) 11:21:38
★ 新課程　図形の性質 / ピエールシモンラプラス
正多面体に含まれる面の数をF,辺の数をE,頂点の数をV、正多面体の各面は正ｎ角形であり、各頂点にはｋ枚の面が集まっている。（F-E+V=2)

このときF,E,V,n,kのどれか一つが分かれば残りの４つの変数も分かりますか？

よろしくおねがいします
No.35215 - 2016/01/21(Thu) 23:37:44
☆ Re: 新課程　図形の性質 / らすかる
分かりません。
n=3である正多面体は3つあります。
No.35216 - 2016/01/21(Thu) 23:44:09
☆ Re: 新課程　図形の性質 / ピエールシモンラプラス
ありがとうございました！
No.35232 - 2016/01/22(Fri) 21:10:32
★ (No Subject) / ##
(１)で漸化式の変形から出来ません。教えていただきたいです。
(2)も答えがａn＝2/3^n-1となるのですが、途中式がわからないので、教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.35212 - 2016/01/21(Thu) 22:17:35
☆ Re: / 水面に映る月
(1)
(そこまで求められていないかもしれませんが，)最初に任意の正の整数nに対してa[n]≠0を示しておきましょう．

背理法で示す．
今，仮に，a[n]=0を満たすような正の整数nが存在したとしよう．この時，このようなnのうちで最小のものが存在するので，それをk(k≧2)とすると，漸化式より，
a[k]=a[k-1]/(a[k-1]+3)=0
であるから，a[k-1]が従う．これは，kがa[n]=0となる最小のnであることに矛盾するから，背理法によって，任意の正の整数nに対して，a[n]≠0が言えた．

与えられた漸化式a[n+1]=a[n]/(a[n]+3)について，両辺の逆数をとると，
1/a[n+1]=(a[n]+3)/a[n]=1+3/a[n] であるから， b[n+1]=3b[n]+1・・・(*)

------以下手元計算------
漸化式(*)の特性方程式β=3β+1を解くと，β=-1/2
------手元計算終わり------

ここで，(*)は，次のように変形できる．
b[n+1]+1/2=3(b[n]+1/2)
従って，数列{b[n]+1/2}は初項3/2，公比3の等比数列であるから，
b[n]+1/2=(3^n)/2 すなわち， b[n]=(3^n-1)/2

(2)
a[n]=1/b[n]=2/(3^n-1)

# あら?私の計算でも##さんと同じ結果になりましたね…．答えが間違ってるんかな．
No.35213 - 2016/01/21(Thu) 22:47:13
☆ Re: / 水面に映る月
編集パス入れ忘れたので訂正します・・・．
上の私の回答の7行目です．
>であるから，a[k-1]が従う．
これは，「であるから，a[k-1]=0が従う．」の間違いです．失礼しました．

あと，訂正のついでに1点補足しておきますが，特性方程式は，漸化式においてb[n]とb[n+1]をともにβとしたものです．数列{b[n]-β}を等比数列にしたいがためにこのような方程式を考えています．教科書にも載っている・・・(かな)と思います．

# 答えも私の計算結果と一致しているようですね．失礼しました．
No.35214 - 2016/01/21(Thu) 22:56:07
☆ Re: / ##
ありがとうございます！
参考にさせていただきます！
No.35219 - 2016/01/22(Fri) 07:44:01
☆ Re: / 水面に映る月
もう見ていないかもしれませんが，もし見ていたら，以下の注意も読んでいただけると有り難いです．

漸化式a[n+1]=pa[n]+qに対応した方程式α=pα+qを「特性方程式」と呼んでよいのかどうかということに関しては，議論のあるところですから(その理由はちょっと難しいです)，答案には「特性方程式」といった言葉は書かないほうが良いように思います．
「ん?この式変形，どうやって思いついたかって?いやぁ，思いついたんだよ．すごいっしょ(￣∇￣)v ﾄﾞﾔｯ!」って感じで，しれっと，式変形だけ書いて(上の私の回答でいうと，この部分→「ここで，(*)は，次のように変形できる．b[n+1]+1/2=3(b[n]+1/2)」)，特性方程式については答案には書かないほうが良いと思います．
No.35220 - 2016/01/22(Fri) 12:35:17
★ 最大最小 / UA
2x^2 ＋ax+b　
X=3のとき最小をとりX=-2のとき1になる
定数a,bを求めよ

答えを導き出すと数が異常に大きくなってしまいます。

具体的に説明していただけませんか？
よろしくお願いします。
No.35206 - 2016/01/21(Thu) 14:29:40
☆ Re: 最大最小 / ヨッシー
条件より
　2x^2＋ax＋b＝2(x-3)^2−c
と書けます。これが、(-2,1) を通るように c を調整し、
展開して、係数比較して、a, b を確定します。

a=-12, b=−31 となるはずです。
No.35207 - 2016/01/21(Thu) 15:46:51
☆ Re: 最大最小 / UA
bの値が大きく不安になって難しく考えすぎていました！
これで安心して問題を解けます！

説明ありがとうございました！！
No.35208 - 2016/01/21(Thu) 16:09:37
★ (No Subject) / ドーナツ
(1)と(3)を教えてください。
No.35200 - 2016/01/20(Wed) 23:23:18
☆ Re: / IT
(1)
男女それぞれ順番に並べておいて
順に男G１に２人,女G１に２人,男G２に２人、女G２に２人を入れると考える。

男をa,b,c,d,女を1,2,3,4として
男が(a,b,c,d)、女が(1,2,3,4)の順に並んでいるとき
(a,b)(1,2)(c,d)(3,4) と各グループに入れる
男４人の並べ方は４！＝２４通り
女４人の並べ方は４！＝２４通り

(a,b)と(b,a),(1,2)と(2,1),(c,d)と(d,c),(3,4)と(4,3)は同じとみなされるので２^４で割る。

求める並べ方の数は 24*24/(2^4)=6*6=36
No.35201 - 2016/01/21(Thu) 00:28:08
☆ Re: / IT
(2)
余事象（各グループ男女ペアになる）確率を考える

各グループはABCDと区別する。
グループの作り方
　８人全員を順に並べる。８！通り
　1,2番目をAグループに
　3,4番目をBグループに
　5,6番目をCグループに
　7,8番目をDグループに 入れる
　1番目と2番目,3番目と4番目,5番目と6番目,7番目と8番目は入れ替わっても同じなので　2^4で割る
したがって、グループの作り方は全部で 8!/(2^4)通り
そのうち、各グループ男女ペアになるのは 4!×4!通り
よって、各グループ男女ペアになる確率は
　(4!×4!)/{8!/(2^4)}=8/35

よって、求める確率は　1-(8/35)=27/35
No.35202 - 2016/01/21(Thu) 00:51:08
☆ Re: / IT
(2)の別解
男性aと女性がペアになる確率は4/7
さらに男性bと女性がペアになる確率は3/5
さらに男性cと女性がペアになる確率は2/3
(男性dは残りの女性とペアになる）
なので男女ペア４つになる確率は(4/7)(3/5)(2/3)=8/35

よって求める確率は　1-(8/35)=27/35
No.35209 - 2016/01/21(Thu) 18:09:36
☆ Re: / IT
(1) 別解 (こちらの方が分かり易いかも）
男のグループ分けは aとのペアがb,c,dの３通りなので３通り
女のグループ分けも３通り

男のグループの並べ方は２通り
女のグループの並べ方も２通り

よって求める並べ方は３×３×２×２＝３６通り
No.35211 - 2016/01/21(Thu) 21:18:44
★ (No Subject) / ゆうこママ
小学生の算数ですが、差集め算で解く方法がわかる方いらっしゃいますか？

A,B,C　3種類のノートがあり、それぞれ240円、180円、150円です。A:Cは3：2の割合で購入し、全部で45冊、8700円となりました。Bは何冊買ったか。

宜しくお願いします！
No.35191 - 2016/01/20(Wed) 12:58:38
☆ Re: / ヨッシー
１個の差×個数＝全体の差　が差集め算の要件とすると、
１冊240円のＡノート27冊、1冊150円のＣノート18冊の
計45冊を9180で買うつもりでしたが、Ａノート3冊とＣノート2冊を
１冊180円のＢノート5冊と入れ替えることを何回か行なったところ
合計金額が8700円となりました。
入れ替えは何回行いましたか？
また、Ｂノートは何冊買いましたか？
という問題に無理やり置き換え、
１回の入れ替えで生じる差は　240×3＋150×2−180×5＝120（円）
全体の差は　9180−8700＝480（円）
　480÷120＝4
　4×5＝20
入れ替えは４回、Ｂノートは２０冊
となります。

計算経過はもろに鶴亀算ですが。
No.35194 - 2016/01/20(Wed) 14:55:55
☆ Re: / ゆうこママ
すごくよくわかりました！
ありがとうございます！！
No.35195 - 2016/01/20(Wed) 15:32:41
★ 極限の問題 / あー
再度質問です。
よろしくおねがいします
No.35190 - 2016/01/20(Wed) 12:19:59
☆ Re: 極限の問題 / 水面に映る月
一つ質問ですが(高校生用の回答はまだ用意していないのですが)，あーさんは高校生なのでしょうか?
No.35197 - 2016/01/20(Wed) 18:42:48
☆ Re: 極限の問題 / あー
大学生です
No.35198 - 2016/01/20(Wed) 19:11:45
☆ Re: 極限の問題 / 水面に映る月
失礼しました．それならば，「マクローリンの定理」を用いれば解決すると思います．
マクローリンの定理(やテイラーの定理)についての証明は本を読んでもらうとして，f(x)=e^(-x)とすると，fはC^∞級で，(d^k/dx^k)e^(-x)={(-1)^k}(e^(-x))(k=0,1,2,...)であるから，マクローリンの定理によって，

∃θ∈(0,1) s.t. e^(-x)={Σ[k=0,n](-1)^k(x^k)/k !}+{(-1)^(n+1)}e^(-θx)(x^(n+1))/(n+1) !

従って，
lim[x->0](e^(-x)-(a[0]+a[1]x+…+a[n]x^n))/x^(n+1)
=lim[x->0](Σ[k=0,n][{(((-1)^k)/k !)-a[k]}/x^(n-k+1)]+((-1)^(n+1))e^(-θx)/(n+1) !)…(*)

lim[x->0](((-1)^(n+1))e^(-θx)/(n+1) !)=((-1)^(n+1))/(n+1) !であるから，(*)が有限の値に確定する為には，
lim[x->0](Σ[k=0,n][{(((-1)^k)/k !)-a[k]}/x^(n-k+1)]が有限の値に確定しなければならないが，0≦k≦nのときn-k+1>0であるから，この為には，係数がすべて0でなくてはならない(逆は明らか)．

よって，a[k]=(((-1)^k)/k !)(k=0,1,2,...,n)
また，求める極限値は，((-1)^(n+1))/(n+1) !
No.35199 - 2016/01/20(Wed) 20:24:34
☆ Re: 極限の問題 / あー
ありがとうございます。
No.35210 - 2016/01/21(Thu) 19:52:12
★ 鎖を外す / √
この鎖の外し方を、
教えて頂きたいのですが・・・

よろしく　お願い致します。
No.35185 - 2016/01/20(Wed) 08:22:57
☆ Re: 鎖を外す / らすかる
頭で考えただけで実物で試していませんので
もしかしたら間違っているところがあるかも知れません。
また文字で表現すると通じないかも知れません。

(1)鎖の右端を水平の棒の上側に回して右から2番目の輪に下から通し、
右端の輪の外側を経由して右から2番目の輪から抜く
これで鎖が左端の空間と左から3番目の空間を通るようになります。

(2)鎖の右端を右から3番目の輪に下から通してから、(1)と逆の
ことを行うと鎖が右端まで抜け、その後
右端の輪の外側を経由して右から3番目の輪から抜く
これで鎖が左端の空間と左から2番目の空間を通るようになります。

(3) 鎖の右端を左端の輪に下から通してから、(2)と逆のことを
行うと鎖の右端が3番目の空間に移動し、さらに(1)と逆のことを
行うと鎖が右端まで抜け、右端の輪の外側を経由して左端の輪から抜く
これで外れると思います。
No.35187 - 2016/01/20(Wed) 09:10:31
☆ Re: 鎖を外す / √
らすかるさん　有難うございます。

よーく考えてみます。
No.35188 - 2016/01/20(Wed) 10:47:21
☆ Re: 鎖を外す / √
らすかるさん
やっと理解できました。

私は、読解力が未熟なため（３）の一部がよく分からなかったのですが、
（２）までが強力なヒントとなり、
やっと頭の中だけで外せるようになりました。

本当に有難うございました。
No.35189 - 2016/01/20(Wed) 11:43:26
★ 絶対値と2次不等式 / サトン
x^2+x+a^2-a-2＜│x│の解を求める問題です。

何度やっても答えは-√2＜x＜-1+√3になります。
どうやら違うようなのですが、答えと解法を教えて下さいm(__)m
No.35183 - 2016/01/20(Wed) 01:14:30
☆ Re: 絶対値と2次不等式 / 水面に映る月
失礼ですが，問題文はこれだけなのでしょうか．これでも問題として成立していない訳ではないですが，
>何度やっても答えは-√2＜x＜-1+√3になります。
これ(つまり、aがどこにも入っていない)を考え合わせると，問題文が「x^2+x+a^2-a-2＜│x│の解を求める」だけではないように思います．
No.35184 - 2016/01/20(Wed) 08:11:06
☆ Re: 絶対値と2次不等式 / サトン
すみません。a=0のとき、を書き忘れていました。

それから自己解決しました。絶対値の不等式の解は場合分けしたもの全ての和集合なんですね。てっきり共有部分∩なのだと思っていました。
No.35193 - 2016/01/20(Wed) 14:29:00
☆ Re: 絶対値と2次不等式 / 水面に映る月
>てっきり共有部分∩なのだと思っていました。

これがこの問題に限った単なる勘違いなら以下の私のレスは蛇足となりますが・・・．

場合分けのときに，「x≧0のとき」「x<0のとき」などと書きますが，これは，丁寧に書くと，「x≧0の範囲で条件を満たすものを求めましょう．」次に，「x<0の範囲で条件を満たすものを求めましょう．」ということを意味しています．なので，答は，それらの和集合となります．
No.35196 - 2016/01/20(Wed) 16:50:43
★ (No Subject) / 受験生
〔2〕と〔3〕を教えて下さい

答えは〔2〕がエオ.20 カキ.27
〔3〕がクケ.10 コ.7 サシ.20 スセ.13 です
No.35172 - 2016/01/19(Tue) 19:21:44
☆ Re: / 受験生
写真忘れました
No.35173 - 2016/01/19(Tue) 19:22:59
☆ Re: / X
距離ではなくて、道のりでできる円弧の中心角で
考えましょう。


まず準備。条件からA,Bの速度を分速に直すとそれぞれ
1.5[km/分],1.2[km/分]
よってA,Bがサーキットコースを一周するのにかかる時間は
それぞれ
6/1.5=4[分]
6/1.2=5[分]
ですのでPを出発してからx[分後]の弧PA,PBの中心角を
それぞれa[°]、b[°]とすると
a=(360/4)x=90x (A)
b=(360/5)x=72x (B)


[1]は質問にありませんが、[2][3]を理解する参考にしてもらうため
解いておきます。
[1]
条件のとき、A,Bの進んだ距離の和はサーキットコース一周分となるので
角度に換算すると、a,bの和が360°となります。つまり
a+b=360
これに(A)(B)を代入すると
90x+72x=360
これより
x=360/162=20/9
ということで20/9[分後]です。


[2]
サーキットコースの円の中心をOとすると、
円周角により条件のとき
∠AOB=360[°]-120[°]×2=120[°]
但し∠AOBはA,Bが走った道筋でできる円弧の中心角
の側を取っています。(図を描きましょう。)
よって、条件のとき
a+b=120 (C)
これに(A)(B)を代入して
90x+72x=120
これを解いて
x=20/27
ということで20/27[分後]です。

[3]
円周角により
∠PAB=b/2[°] (C)
∠PBA=a/2[°] (D)
∠APB=(360-a-b)/2[°] (E)
ここで(A)(B)より
a＞b
ですので(C)(D)より
∠PAB＞∠PBA (F)
更に(E)より∠APBはA,Bがすれ違うまで
xに対して単調減少ですので、△APBが初めて二等辺三角形になるのは
∠PBA=∠APB (G)
のとき。
二回目に二等辺三角形になるのは
∠PAB=∠APB (H)
のときとなります。よって

前半)
(G)を使うと(D)(E)より
a/2=(360-a-b)/2
整理して
a=360-a-b
これに(A)(B)を代入すると
90x=360-90x-72x
これを解いて
x=360/252=10/7
ということで10/7[分後]です。

後半)
(H)を使うと(C)(E)より
b/2=(360-a-b)/2
整理して
b=360-a-b
これに(A)(B)を代入すると
72x=360-90x-72x
これより
x=360/234=20/13
ということで20/13[分後]です。
No.35177 - 2016/01/19(Tue) 21:00:59
☆ Re: / 受験生
回答ありがとうございました。
理解できました。
No.35180 - 2016/01/19(Tue) 23:00:42
★ (No Subject) / 受験生
⑵の解き方を教えて下さい
No.35168 - 2016/01/19(Tue) 18:53:19
☆ Re: / 水面に映る月
三角錐P-ABCの展開図を考えてみてください．気づくとハッと感動しますよ．
考えてもよくわからなかったら再度質問して頂ければと思います．
No.35169 - 2016/01/19(Tue) 19:03:22
☆ Re: / 受験生
正三角形の辺の長さを求める方法であっていますか？
余弦定理で計算してみても、答えがあいません
No.35170 - 2016/01/19(Tue) 19:15:16
☆ Re: / 水面に映る月
>正三角形の辺の長さを求める方法であっていますか？

どういう方法か，はっきりしないので何とも言えませんが，少なくとも，もっと効率的な解法があるようです．必要なのは，三平方の定理だけです．
三角錐P-ABCの側面を，辺PCに切れ目を入れて展開した場合の展開図を描くと，CT+TS+SCが最小となるのは，３点C,T,Sが一直線上にある時であることが分かります．
No.35174 - 2016/01/19(Tue) 19:35:38
☆ Re: / 水面に映る月
一点補足です．
辺PCに切れ目を入れて展開した場合，展開図には点Cが2つ現れることに注意してください．2つのCのうち，一方をC'と命名しなおすと，CT+TS+SCが最小となるのは，4点C,T,S,C'が一直線上にあるとき，ということになりますね．また，∠CPC'=90°にも注意して下さい．
No.35176 - 2016/01/19(Tue) 19:52:56
☆ Re: / 受験生
Cが2つ現れる展開図が分かりません。
Pが3つ現れる展開図とは違うのでしょうか？
No.35179 - 2016/01/19(Tue) 23:00:04
☆ Re: / 水面に映る月
>Pが3つ現れる展開図とは違うのでしょうか？

「ハサミをどこに入れるか」によってできる展開図は違ってきますので，勿論「Pが3つ現れる展開図」もあり得ますが，今考えているのは，「Cが2つ現れる展開図」です．また，今は，三角錐の側面だけを考えています．以下に説明を書きました．
1．まず，辺AB，辺BC，辺CAの３辺をハサミで切って，底面(三角形ABC)を切り取ります．
2．次に，辺PCをハサミで切って，広げると，「Cが2つ現れる展開図」が出来上がります．
No.35181 - 2016/01/19(Tue) 23:07:50
☆ Re: / 受験生
展開図自体を間違えていました。
すっきりしました。
本当にありがとうございました。
No.35182 - 2016/01/19(Tue) 23:21:44
★ (No Subject) / さる
この画像のマーカーを引いている部分に関して質問です。
集合Pが空集合の時、Pの要素であるxが存在しないはずなのに
なぜ、あるxが存在するのですか？
No.35165 - 2016/01/19(Tue) 18:25:36
☆ Re: / 水面に映る月
注意深く読んでください．P≠Φと書いています．「ノットイコール」です．
No.35166 - 2016/01/19(Tue) 18:32:54
☆ Re: / さる
ありがとうございます。
早とちりしないように気をつけます。
No.35175 - 2016/01/19(Tue) 19:48:14
★ (No Subject) / 吉野
添付の問題について質問です。
No.35162 - 2016/01/19(Tue) 18:08:27
☆ Re: / 吉野
続きです。
No.35163 - 2016/01/19(Tue) 18:09:22
☆ Re: / 吉野
テ部分について、2通りの図を添付のとおり考えました。
そしてこのように解きましたが、答えがあいません。どこの認識が間違っていますでしょうか...
教えてくださいお願いします。
No.35164 - 2016/01/19(Tue) 18:12:25
☆ Re: / X
右の図が1＜a≦2の場合であるのであれば
左右の図に問題はありません。
ですがS(これはTのことでしょうか？)の計算は
最初の行の積分の式の下端の値が間違えています。
左の図から、積分の下端はaではなく1になります。
No.35167 - 2016/01/19(Tue) 18:33:52
☆ Re: / 吉野
すみません！これはＵを求めて作った式です。
その場合もセキブンクカン下は1ですか...？
No.35205 - 2016/01/21(Thu) 12:57:05
☆ Re: / X
返事が遅れてごめんなさい。
もう見ていないかもしれませんが回答を。

テに対しては
0≦a≦1
となっていますので対応する図はNo.35164に添付された
写真の、左側の図を使う必要があります。
(右側の図では1＜aの場合になってしまいます。)
従って、積分区間の下端はaではなくて1です。
No.35534 - 2016/02/07(Sun) 14:33:25
★ (No Subject) / 吉野
添付の問題について質問です。
ナ、ニ部分の考え方を教えてください、お願いします。
No.35157 - 2016/01/19(Tue) 17:20:53
☆ Re: / X
0＜x＜π/2
より
0＜2x＜π (A)
に注意すると
(i)0＜k＜1/4のとき
(2)より
sin2x=2√k (B)
又は
cos2x=0 (C)
(A)により
(B)を満たすxの値はx≠π/4なる2個
(C)よりx=π/4
よって求めるxの値の個数は3個
(ii)k=1/4のとき
(2)より
sin2x=1 (B)
又は(C)
(A)(B)よりx=π/4
よって求めるxの値の個数は1個
No.35158 - 2016/01/19(Tue) 17:34:29
☆ Re: / 吉野
ありがとうございます！
No.35342 - 2016/01/27(Wed) 14:09:22
★ (No Subject) / 吉野
添付の問題について質問です。
No.35154 - 2016/01/19(Tue) 17:09:50
☆ Re: / 吉野
添付の問題続きです。
No.35155 - 2016/01/19(Tue) 17:12:59
☆ Re: / 吉野
二部分です。
このように解いたのですが、答えがあいません。どこが間違えているか、教えてくださいお願いします。
No.35156 - 2016/01/19(Tue) 17:14:42
☆ Re: / X
「項数」と表題のついた吹き出しがついている式を見る限りだと
({a[n]}の初項から第N[k]項までの項数)×{({a[n]}の初項)+({a[n]}の第N[k]項)} (A)
を計算されているようですが、まずこの式で求める和が計算できる根拠が不明です。
恐らく1〜kまでの連続した自然数の和を求める考え方のアナロジーだと思いますが
もしそうだとすれば、その考え方は誤りです。
(もし、(A)の式を別の根拠で挙げているのであれば、その根拠をアップして下さい。)


で、解法ですがツ,テ,ト,ナで埋めた式を使います。

ツ,テ,ト,ナで埋めた式は、分母がkである分数の群
(第k群とします)に含まれる分数の和を表しています。
このことから、第j群(j=1,2,…,k)に含まれる分数の和は
(1/2)j-1/2
となりますので、求める和は
Σ[j=1〜k]{(1/2)j-1/2}=(1/2){(1/2)k(k+1)}-(1/2)k
=(1/4)k^2-(1/4)k
となります。
No.35161 - 2016/01/19(Tue) 18:07:38
★ (No Subject) / 吉野
添付の問題について質問です。
No.35150 - 2016/01/19(Tue) 16:24:40
☆ Re: / 吉野
回答がこのようになるようです。
まず、＋32は関係ない、というのがなぜかわかりません。
なぜでしょうか、よろしくお願いします。

またトについて、考え方がわかりません。あわせて、教えてください、お願いします。
No.35151 - 2016/01/19(Tue) 16:28:23
☆ Re: / ヨッシー
分散などの計算で出てくる
　ｘ−（ｘの平均）
において、ｘの代わりに Ｘ＝ｘ＋３２ を用いたとしても
　ｘ−（ｘの平均）＝Ｘ−（Ｘの平均）
（なぜなら、Ｘ＝ｘ＋３２ なら、（Ｘの平均）＝（ｘの平均）＋３２ だから）
なので、加減については分散等は変わりありません。
よって、気にするのは倍率だけです。

相関係数は　(ＸとＹの共分散)／{(Ｘの標準偏差)×(Ｙの標準偏差)}
ですが、ここで、Ｙが 9/5 倍のＺになったとして、
　(分子)＝（Ｘ−Ｘの平均)×（Ｚ−Ｚの平均）の平均
なので、元の相関係数の分子の 9/5 倍。
　Ｚの標準偏差はＹの 9/5 倍になるので、
相関関数は、変わりません。
No.35159 - 2016/01/19(Tue) 17:41:15
★ 小学生の問題なのですが… / ゆうこママ
すみません。
どなたか分かりやすく教えて頂けますか。

船が岸に向かって20ｍ/ｓの速さで進んでします。岸から1000ｍの位置で5秒間汽笛を鳴らしたとき、岸で反射した汽笛の音は何秒間聞こえますか。（小数第2位四捨五入）

宜しくお願いします！
No.35147 - 2016/01/19(Tue) 15:38:33
☆ Re: 小学生の問題なのですが… / ヨッシー
音速が不明ですが、こういうダイヤグラムを描くことになると思います。

　
No.35148 - 2016/01/19(Tue) 15:48:23
☆ Re: 小学生の問題なのですが… / ゆうこママ
ヨッシーさん、ありがとうございました！

音速は340m/sだったのですが、音の波の長さを（340-20）*5＝1600ｍと考え、そこから出会い算をして1600/340+20という方法でもいけそうです。

お忙しいところ、ありがとうございました！！
No.35152 - 2016/01/19(Tue) 16:35:21
☆ Re: 小学生の問題なのですが… / ヨッシー
それはどうでしょう？
静止時の音速が340m/s なら、船から発せられた音の
進行方向の速度は 340+20 m/s になるはずです。
ここまで、小学生に求めるのか？という感じですが。
No.35153 - 2016/01/19(Tue) 17:01:21
☆ Re: 小学生の問題なのですが… / ゆうこママ
そうですよね…
ありがとうございました！
素敵な掲示板ですね。
これからも宜しくお願いします！！
No.35192 - 2016/01/20(Wed) 12:59:46
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