[ 掲示板に戻る ]

過去ログ閲覧モード

定積分の値の証明 / まるまん
以下の等式の証明が知りたいです。
よろしくお願いします。

No.35023 - 2016/01/09(Sat) 14:37:40

Re: 定積分の値の証明 / ぺんぎん
考え方のみですが。
特に断りが無い場合、積分区間は[0,1]とします。

∫log(1+x)/x dx + ∫log(1-x)/x dxを考えます・・・?@

-∫log(1-x)/x dxは1-x=e^(-u)と置くと、ゼータ関数ζ(2) = ∫_{0〜∞}u/(e^u-1) duに帰着します・・・?A
これはバーゼル問題として知られており、π^2/6となります。

一方で、?@は
∫log(1-x^2)/x dx=1/2∫log(1-x^2)/x^2・2xdx
と変形できるので、t=x^2と置くと、
1/2∫log(1-t)/t・dtとなります。これは?Aと同じ式なので、ゼータ関数ζ(2)に帰着します。

よって、∫log(1+x)/x dx - ζ(2) = -ζ(2)/2
となり、∫log(1+x)/x dx = ζ(2)/2 = π^2 /12

No.35024 - 2016/01/09(Sat) 17:16:03

Re: 定積分の値の証明 / ast
# バーゼル問題を逆数の平方和 π^2/6 = Σ_[n=1,2,…] 1/n^2 の形で書いただけで
# 本質的にはぺんぎんさんとまったく同じことですが…,
(収束性の検証は自分でしてもらうとして) log(1+x) をテイラー展開して項別積分することにより, 問題の値は S = Σ_[n=1,2,…] (-1)^(n-1)/n^2 と書けます. 一方, 辺々引いて π^2/6 - S = Σ_[m=1,2,…] 2/(2m)^2 = (1/2)Σ_[m=1,2,…] 1/m^2 = π^2/12 なので結論を得ます.

No.35025 - 2016/01/09(Sat) 17:36:17
線形代数とコンビネーション / あ
線形代数とコンビネーションの問題です
(1)と(2)の変形の仕方が思い浮かばなくて困っています。よろしくおねがいします

No.35020 - 2016/01/08(Fri) 19:30:10

Re: 線形代数とコンビネーション / のぼりん
こんにちは。

(1) =n(n−1)…(n−i+1)/{i(i−1)…1}
   ={(n−i)+i}(n−1)…(n−i+1)/{i(i−1)…1}
   =(n−i)(n−1)…(n−i+1)/{i(i−1)…1}
    +i(n−1)…(n−i+1)/{i(i−1)…1}
   =(n−1)…(n−i)/{i(i−1)…1}
    +(n−1)…(n−i+1)/{(i−1)…1}
   =n−1n−1i−1

(2)題意の行列式の七列目から六列目を引き、六列目から五列目を引き、……、二列目から一列目を引くと、新しい行列式の一行目は、一行一列が一、残りが零になり、また、前問で証明した式により、新しい二行目は古い一行目、新しい三行目は古い二行目、……、新しい七行目は古い六行目になります。 これを一行目で展開すれば、元の行列式の一行二列目から六行七列目までを取り出した六次の行列式になります。 帰納的にこれを続ければ、次数を一つずつ減らせ、最後に残るのは一です。

No.35022 - 2016/01/09(Sat) 11:34:33

Re: 線形代数とコンビネーション / あ
わかりやすかったです。
ありがとうございました。

No.35026 - 2016/01/09(Sat) 17:57:21
三角関数 / みき

(1) t=tanx とおくとき、sin2xをtを用いて表せ

(2)-180°<x<180° の範囲で方程式
(√3+1)cos^2・x/2+(√3-1)/2・sinx-1=0
を解け

よろしくお願いします

No.35014 - 2016/01/08(Fri) 01:28:59

Re: 三角関数 / ぷー
sin2x=2sinxcosx/(cos^2x+sin^2x)(cos^2x+sin^2x)=1なので割っても影響ありません)
=2t/(1+t^2)(分母分子をcos^2xで割りました)

2)はcos^2・x/2=(1+cosx)/2にして与えられた方程式に代入してsinxとcosxと定数項で表せるのでsinxとcosxを合成していけばいいと思います。

No.35028 - 2016/01/09(Sat) 19:21:21

Re: 三角関数 / X
横から失礼します。

(2)についてですが、左辺に半角の公式を使った後でも
単に合成しただけでは解けません。
合成を使うのであれば、もう一ひねりする必要が
あります。

問題の方程式から
(√3+1)(1+cosx)/2+{(√3-1)/2}sinx-1=0
(√3+1)(1+cosx)+(√3-1)sinx-2=0
(√3+1)cosx+(√3-1)sinx=1-√3 (A)
両辺を二乗して
{(√3+1)cosx+(√3-1)sinx}^2=4-2√3 (B)
左辺を展開して、半角の公式、二倍角の公式を使うと
(4+2√3)(1+cos2x)/2+2sin2x+(4-2√3)(1-cos2x)/2=4-2√3
これより
(2+√3)(1+cos2x)+2sin2x+(2-√3)(1-cos2x)=4-2√3
2sin2x+(2√3)cos2x=-2√3
sin2x+(√3)cos2x=-√3
ここまで変形した上で左辺を合成すると
2sin(2x+60°)=-√3
sin(2x+60°)=-(√3)/2
ここで
-180°<x<180°
∴-300°<2x+60°<420°
よって
2x+60°=-120°,-60°,240°,300°
となるので
2x=-180°,-120°,180°,240°
x=-90°,-60°,90°,120° (C)
(A)から(B)の変形で同値性が崩れていますので
(A)に(C)を代入して確かめることにより
x=-90°,120°

或いは(A)と公式
(sinx)^2+(cosx)^2=1
とを連立して解き、sinx,cosxの値を求める
という方針もあります。

No.35064 - 2016/01/11(Mon) 16:30:50
円周角 / まーさん
これで以上です
今回出されたところ全くわからないので、多くなりました
説明があると嬉しいです

No.35012 - 2016/01/08(Fri) 00:30:44

Re: 円周角 / 水面に映る月
教科書にも載っていると思いますが,点(a,b)と点(c,d)との距離Lは次のようになりますので.

L=√{(a-c)^2+(b-d)^2}

No.35016 - 2016/01/08(Fri) 02:11:30
円周角 / まーさん
追加です
あともう1枚あります

No.35011 - 2016/01/08(Fri) 00:29:19

Re: 円周角 / 水面に映る月
それぞれ,点A,Dから辺BCに垂線を下ろしましょう.
そしたら直角三角形ができます.その直角三角形に「三平方の定理」を適用することを考えましょう.

なお,台形の面積は,次で求められます.
{(上底)+(下底)}*(高さ)/2

No.35017 - 2016/01/08(Fri) 02:15:25
円周角 / まーさん
まだあります
No.35010 - 2016/01/08(Fri) 00:28:34

Re: 円周角 / 水面に映る月
内角が30°,90°,60°の三角形の辺の比は,1:2:√3
内角が45°,45°,90°の三角形の辺の比は,1:1:√2

これは覚えておきましょう.

それと,(3)は,問題に不備があります.2つの線分が直交しているとして問題を解いてください.

No.35018 - 2016/01/08(Fri) 02:20:54
円周角 / まーさん
追加です
No.35009 - 2016/01/08(Fri) 00:28:02

Re: 円周角 / ぷー
(7)接弦定理より∠BAPを求めればよく、三角形BAPは二等辺三角形より180−56を2で割ったものが答えです
No.35029 - 2016/01/09(Sat) 19:25:46
34988の積分2問ですの画像再送 / じろう
画像がぼやけているとのことなので再送します。
No.35008 - 2016/01/08(Fri) 00:27:52
円周角です / まーさん
空いているところ全てわからないです。
教えてください

No.35007 - 2016/01/08(Fri) 00:27:18

Re: 円周角です / ぷー
(1)ですが「円周角は弧の長さに比例する」というものがあったと思います。ですのでx+38=58よりx=20°が答えです
No.35030 - 2016/01/09(Sat) 19:31:23
マーク模試 / ぷっぽ
この問題の ニヌネノ の部分が分かりません。教えてください
No.35005 - 2016/01/07(Thu) 23:20:56

Re: マーク模試 / ぷっぽ
続きです
No.35006 - 2016/01/07(Thu) 23:21:42
(No Subject) / いちろう

お願いいたします

No.35001 - 2016/01/07(Thu) 20:48:22

Re: / 水面に映る月
うーん,画像が小さくてよくわからないです.

あと,いちろうさんはご自分でこの問題を解かれましたか?
このページ全部分からないということはないと思いますが.

当たり前のことですが,こういうものは,少なくとも1回は自分でやってみないと力になりませんし,自分で解いたので答え合わせをしたい,あるいは解き方がわからないところがあるということなら,解答や解説が問題集についていると思いますけれど?

厳しいことを言うようですが,自分でできるところまではやって,わからないところを明確にして質問して下さい.理解しようという気がなければ,私がここでこのページ全部を解いて見せたとしても意味がないでしょう.

No.35015 - 2016/01/08(Fri) 01:49:02
積分2問です / じろう
追加写真最後です
No.34993 - 2016/01/07(Thu) 00:14:10
積分2問です / じろう
追加写真4です
No.34992 - 2016/01/07(Thu) 00:13:34
積分です / じろう
追加写真3です
No.34991 - 2016/01/07(Thu) 00:11:52
積分です / じろう
追加写真です
No.34990 - 2016/01/07(Thu) 00:08:14
積分2問です / じろう
141.上の❓マークの左辺はxにかわって、右辺はtのままなのは何故ですか。 下の❓の式をどう出すのかわかりません。

144.二行目の「これがtのみで定まり」とはどういうことですか?
「定数と見て」とはどういうことですか?

No.34988 - 2016/01/07(Thu) 00:02:16

Re: 積分2問です / IT
画像がぼやけていて判読できません。
No.35004 - 2016/01/07(Thu) 23:20:10

Re: 積分2問です / IT
> 141.上の❓マークの左辺はxにかわって、右辺はtのままなのは何故ですか。 下の❓の式をどう出すのかわかりません。

単なる 誤植だと思います。右辺のtもxが正しい。

No.35021 - 2016/01/08(Fri) 23:11:16
線形代数 / あ
線形代数の問題です。
よろしくお願いします

No.34987 - 2016/01/06(Wed) 22:35:16

Re: 線形代数 / 水面に映る月
(1)行列Aの階数は,Aの列ベクトルの線形独立なものの最大個数に等しいわけで.

(2)(rank(A),rank(B))=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)の4つについて,(1)も利用しながら,rank(A+B)≠3を示す.

No.35013 - 2016/01/08(Fri) 01:05:34
(No Subject) / マインスター
 y=x^2-4ax-6a+18について、
?@頂点の座標をaを用いて表せ。
?Aこのグラフがx軸と共有点を持つように、定数aの値の範囲を求めよ。
?Bこのグラフがx軸と共有点を持ち、かつ、全ての共有点のx座標が正となるように、定数aの値の範囲を求めよ。

 (答)?@(2a,-4a^2-6a+18)?Aa≦3,3/2≦a?B0≦a≦3/2
これで合っているかどうかお願いします。

No.34979 - 2016/01/06(Wed) 18:59:31

Re: / X
(1)
正解です。
(2)
タイプミスでしょうか。正解は
a≦-3,3/2≦a
(3)
間違っています。
まず、問題のグラフはy軸と正の部分で
交わらないといけないので
-6a+18>0 (A)
次に対称軸がx>0の領域になければならないので
2a>0 (B)
(A)(B)と(2)の結果を連立して解いて
3/2≦a<3
となります。

No.34982 - 2016/01/06(Wed) 19:06:16
(No Subject) / 吉野
連投失礼します。
宜しくお願いします。

No.34974 - 2016/01/06(Wed) 18:35:49

Re: / 吉野
へ部分についてです。
No.34975 - 2016/01/06(Wed) 18:36:35

Re: / 吉野
このようにときました。
f(X)=0のとき、、X=2をとり、最小だと思ったのですが...
なぜ違うのか教えていただけますか...お願い致します!

No.34977 - 2016/01/06(Wed) 18:38:54

Re: / X
f(x)の計算の2行目を間違えています。
(log[2]4)/log[2]x=log[2]4-log[2]x
は一般には成立しません。

No.34980 - 2016/01/06(Wed) 19:00:39

Re: / 吉野
本当ですね!!、とてもありがとうございました...
No.34996 - 2016/01/07(Thu) 14:39:05
(No Subject) / 吉野
対数の問題について質問があります。
No.34970 - 2016/01/06(Wed) 18:00:46

Re: / 吉野
このキ部分に質問です。
A=−Cじゃないと成り立たないらしいのですが、それはなぜでしょうか。
宜しくお願いします。

No.34971 - 2016/01/06(Wed) 18:02:18

Re: / X
A=Cとすると
log[3]k=log[3](k-6)+1
これより
k=3(k-6)
∴k=9
これは6<k<9を満たさず不適です。

No.34978 - 2016/01/06(Wed) 18:56:44

Re: / 吉野
わかりました!!どうもありがとうございました!
No.34997 - 2016/01/07(Thu) 14:48:19
全22695件 [ ページ : << 1 ... 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 ... 1135 >> ]