ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数1の質問です。 / comm

例題30で波線の部分がなぜこうなるのか良く分かりません。よろしくお願いします。

No.34635 - 2015/12/09(Wed) 20:48:06

☆ Re: 数1の質問です。 / X

添付された写真の中で、解答の上にある「指針」
に書かれていることは理解できていますか？

No.34638 - 2015/12/09(Wed) 21:05:00

☆ Re: 数1の質問です。 / comm

はい。僕が理解できなかったのは、なぜf(3)>0になるのかです。すみません。よろしくお願いします。

No.34641 - 2015/12/09(Wed) 21:18:31

☆ Re: 数1の質問です。 / X

y=f(x)のグラフから、f(x)=0の解が
(i)0と1の間にある条件は
f(0)＞0かつf(1)＜0 (A)
(ii)2と3の間にある条件は
f(2)＜0かつf(3)＞0 (B)

f(0)=1によりf(0)＞0は常に
満たされていますから(A)は
f(1)＜0 (A)'
(A)'かつ(B)により
f(1)＜0かつf(2)＜0かつf(3)＞0
となります。

No.34645 - 2015/12/09(Wed) 22:19:22

★ (No Subject) / 高3

座標平面上にy=√x-3 (4≦x≦12)がある

この曲線上のP(x.y)が動くときy/xの取りうる値の範囲を求めよ

また、このとき x-y/x+yの最大値および最小値とPの座標を求めよ

No.34613 - 2015/12/09(Wed) 00:09:29

☆ Re: / 高3

分子がx-y
分母がx+y
の分数です

No.34614 - 2015/12/09(Wed) 00:11:20

☆ Re: / X

>>分子がx-y
>>分母がx+y
>>の分数です
文章で書くのではなくて括弧を使って
(x-y)/(x+y)
と書いた方が簡潔ですよ。

又
>>y=√x-3
についてですが、これは
y=(√x)-3
と解釈されます。
文脈から
y=√(x-3)
の意味だと思われますので
そのように解釈して方針を。

前半)
f(x)=x/y
と置いて
y=√(x-3)
を代入し、f'(x)を計算して
4≦x≦12
におけるf(x)の増減表を
書きましょう。
後半)
g(x)=(x-y)/(x+y)
と置いて前半と同じ方針で
計算してもよいですが
(x-y)/(x+y)=(x/y-1)(x/y+1)
=1-2/(x/y+1)
と変形して前半の結果を
使った方が簡単です。
(注:
>>y=√x-3
が、文字通り
y=(√x)-3
の意味であっても、前半、
後半共に方針に変わりは
ありません。)

次回から数式をアップする場合は
必要な括弧を必ずつける癖を
つけましょう。

No.34620 - 2015/12/09(Wed) 05:20:17

☆ Re: / 高3

ありがとうございます
以後気をつけます

No.34632 - 2015/12/09(Wed) 18:34:48

★ 高1確率 / NERV

高1数学です。

赤玉（R)4個、白玉（W)3個、青玉（B）2個
の中から1個ずつ3回取り出す。ただし、取り出した玉は戻さない。
このとき次の確率を求めよ。
（１）取り出された3つがすべて異なる【解答2/7】
（２）1回目と3回目に取り出される色が違う【解答13/18】

次のように考えました。（１）は解答と合ってました。
間違っている個所やもっと良い解法・考え方があったらぜひ教えて下さい。

「1個ずつ3回取り出す（元に戻さない）」という事象は
「3個の玉を1度に取り出す」という事象と同じなので、

（１）Rから1、Wから1、Bからそれぞれ1個ずつ取り出せばよいので、
4C1*3C1*2C1=4*3*2=24
全ての場合の数は異なる9個の中から3つ選ぶ組合せなので9C3=84
よって、求める確率P1=24/84=2/7

（２）余事象「1回目と3回目に取り出される色が同じ」を考える。

(1回目,2回目,3回目)とすると、
(ア)(R,R,R)のとき4C3=4
(R,W,R)のとき4C2*3C1=18
(R,B,R)のとき4C2*2C1=12
4+18+12=34
(イ)(W,W,W)のとき3C3=1
(W,R,W)のとき3C2*4C1=12
(W,B,W)のとき3C2*2C1=6
1+12+6=19
(ウ)(B,R,B)のとき2C2*4C1=4
(B,W,B)のとき2C2*3C1=3
4+3=7
(ア)～(ウ)は排反だから
34+19+7=60

従って、求める確率P2=1-60/84=24/84=2/7

（２）がよく分かりません。よろしくお願いします。

No.34612 - 2015/12/08(Tue) 23:50:41

☆ Re: 高1確率 / ヨッシー

確率を、組み合わせで考えるか、順列で考えるかという選択がありますが、
(1) では、
すべての取り出し方は、順列では 9Ｐ3＝504、組み合わせでは 9Ｃ3＝84。その比は６倍です。
ある取り出し方 R1,W1,B1 について、組み合わせなら１通りですが、順列だと６通りになります。
この６倍というのは、R1,W1,B2 でも R4,W3,B2 でも変わりません。
よって、順列だと 144/504、組み合わせだと 24/84 になるだけで、約分すればいずれも 2/7 です。
(2) の場合は、
R1,W1,R2 という取り出し方について、順列にすると
(R1,W1,R2), (R2,W1,R1) の２通りは条件を満たしますが、(W1,R1,R2) など４通りは条件を満たしません。
一方、R1,R2,R3 は順番を変えた６通りすべて条件を満たします。
よって、確率を組み合わせで考えることは出来ません。

上の分類方法を借りるなら
すべての取り出し方は 9Ｐ3＝504（通り）
(ア)(R,R,R)となる取り出し方は4Ｐ3=24
(R,W,R)となる取り出し方は4Ｐ2*3Ｐ1=36
(R,B,R)となる取り出し方は4Ｐ2*2Ｐ1=24
24+36+24=84
(イ)(W,W,W)となる取り出し方は3Ｐ3=6
(W,R,W)となる取り出し方は3Ｐ2*4Ｐ1=24
(W,B,W)となる取り出し方は3Ｐ2*2Ｐ1=12
6+24+12=42
(ウ)(B,R,B)となる取り出し方は2Ｐ2*4Ｐ1=8
(B,W,B)となる取り出し方は2Ｐ2*3Ｐ1=6
8+6=14
よって、
　(84+42+14)/504＝140/504＝5/18
よって、その余事象で
　1－5/18＝13/18
となります。

No.34630 - 2015/12/09(Wed) 15:12:08

★ (No Subject) / しの

xy平面において、曲線C:y=x^4-2x^2と直線l:y=kが異なる4点で交わり、Cとlで囲まれた3つの部分の面積が全て等しくなるような実数kを求めよ。

No.34611 - 2015/12/08(Tue) 23:18:40

☆ Re: / X

C,lの交点のx座標について
x^4-2x^2=k
これより
x^4-2x^2-k=0
x^2=1±√(1+k)
∴x=±√{1±√(1+k)}
(複号任意)
ここで
α=√{1-√(1+k)}
β=√{1+√(1+k)}
と置くと
α^2+β^2=2 (A)
αβ=√(-k) (B)
さて、問題の三つの部分の面積を、
C,lのグラフを描いたときの左の
部分から順に
S,T,U
とすると、グラフのy軸に関する
対称性から
U=S=∫[α→β]{k-(x^4-2x^2)}dx (C)
T=2∫[0→α]{(x^4-2x^2)-k}dx (D)
更に条件から
S=T (E)
(C)(D)の積分を計算し、(E)に代入して
k(β-α)-(1/5)(β^5-α^5)+(2/3)(β^3-α^3)=(2/5)(α^5)-(4/3)(α^3)-2kα
これより
k(β+α)-(1/5)(β^5+α^5)+(2/3)(β^3+α^3)=0
(α+β){k-(1/5){(α^4+β^4)-αβ(α^2-αβ+β^2)}-(2/3)(α^2-αβ+β^2)}=0
(α+β){k-(1/5){(α^2+β^2)^2-2(αβ)^2-αβ(α^2-αβ+β^2)}-(2/3)(α^2-αβ+β^2)}=0
α+β≠0なので
k-(1/5){(α^2+β^2)^2-2(αβ)^2-αβ(α^2-αβ+β^2)}-(2/3)(α^2-αβ+β^2)=0
これに(A)を代入して
k-(1/5){4+2k-(2-√(-k))√(-k)}-(2/3)(2-√(-k))=0
∴t=√(-k)
と置くと
-t^2-(1/5){4-2t^2-(2-t)t}-(2/3)(2-t)=0
これをtの二次方程式と見て解きます。
(計算が煩雑なため、途中計算が間違っているかもしれません。)

No.34621 - 2015/12/09(Wed) 06:06:14

☆ Re: / しの

ありがとうございます。

No.34625 - 2015/12/09(Wed) 10:34:58

☆ Re: / IT

横から失礼します。重要部分はXさんのとおりです。
表記や計算を少し簡単にしてみました。

f(x)=x^4-2x^2-k、F(x)=(1/5)x^5-(2/3)x^3-kxとおくと

∫[α→β]{-f(x)}dx=2∫[0→α]f(x)dx
-[F(x)][α→β]=2[F(x)][0→α]
-F(β)+F(α)=2F(α)
F(α)+F(β)=0…(1)

f(α)=α^4-2α^2-k=0なのでF(α)=-(4/15)(α^3+3kα),F(β)も同様

(1)より　α^3+β^3+3k(α+β)=0
(α+β){(α^2-αβ+β^2)+3k}=0
α+β≠0なので　3k-αβ+2=0
αβ=tとおくと　k=-t^2なので
-3t^2-t+2=0
(3t-2)(t+1)=0
t=2/3,-1
k=-4/9,-1
k＞-1なのでk=-4/9

No.34668 - 2015/12/12(Sat) 20:31:32

★ (No Subject) / ちーず

x^2の係数が1である2次関数f(x)が
f(0)≧0かつf(2)=3f(1)を満たしながら変化するとき、y=f(x)のグラフが通り得る領域を図示せよ。

No.34610 - 2015/12/08(Tue) 23:12:06

☆ Re: / 水面に映る月

まず、２次関数f (x)のx^2 の係数は1より、a, bを定数として、f (x) = x^2 + a x + b と書けます。
f(0)≧0かつf(2)=3f(1)の条件を考慮すると、この問題が、次の問題に帰着されることは恐らくもうお気づきだろうと思います。もしちーずさんが次の問題を解くことができるのであれば、以降の私の回答は読み飛ばしていただいて結構です。
「定数bがb≧0の範囲で自由に動くとき、y = x^2 + (-2b+1) x + b …?@のグラフC[b]が通り得る領域Dを図示せよ。」

これは、軌跡の基本的な問題ですので、単に解き方を書くのではなく、本問を材料として、その考え方を以下に書いて私の回答とさせていただきます。

例えば、点(1,2)が領域Dに含まれるかどうかを判定したい場合は、どうしますか？ある点が領域Dに含まれるということは、適当にb[0]≧0なるb[0]をとれば、その点がC[b[0]]上に乗るということと同じことです（ですよね？）。ですので、点(1,2)が領域Dに含まれるかどうかを判定したいのならば、x=1,y=2 を?@に代入して得られるbについての方程式が、少なくとも一つb≧0の範囲に解をもつかどうか調べればよいということがわかります。少なくとも一つb≧0の範囲に解をもつならば、点(1,2)は領域Dに含まれる点ですし、そうでなければ、領域Dに含まれる点ではありません。

では、この考え方を参考に、点(x,y)が領域Dに含まれるための必要十分条件を求めてみましょう。先ほどと同じ考え方によって、次が理解されるでしょう。

点(x,y)が領域Dに含まれる⇔bの方程式y = x^2 + (-2b+1) x + b…?@’ が少なくとも一つb≧0の範囲に解を持つ

ここで、?@'は、bの方程式であるということを強調しておきます。ここでは、x,yを定数としてみているわけです。
「bの方程式っぽく」書くと、?@'は次のようになります。
(2x-1) b = x^2 + x - y…?@''
このbの方程式がb≧0の範囲に少なくとも一つ解を持つためのx,yの条件を求めればいいということになりますね。

というわけで、答えとしては、次を図示すればよいです。
（x<1/2かつy≧x^2 + x）または（x=1/2かつy = 3/4）または（x>1/2かつy≦x^2 + x）

No.34617 - 2015/12/09(Wed) 03:17:18

☆ 訂正 / 水面に映る月

たびたびの訂正申し訳ありません。
上の私の回答で、上から7行目
誤）これは、軌跡の基本的な問題ですので、
正）これは、通過領域を求める基本的な問題ですので、

No.34619 - 2015/12/09(Wed) 03:43:51

☆ Re: / ちーず

ありがとうございます。

No.34626 - 2015/12/09(Wed) 10:35:19

☆ Re: / X

＞＞水面に映る月さんへ
蛇足かもしれませんが一言。
この掲示板ではレス入力時にパスワードを設定しておけば、
掲示板最下部のボックスにレスの番号を入力することで、
レスの修正を直接行うことができます。

No.34639 - 2015/12/09(Wed) 21:10:45

☆ Re: / 水面に映る月

>>Ｘさん
教えていただき、ありがとうございます！
知りませんでした。

No.34643 - 2015/12/09(Wed) 21:56:17

★ (No Subject) / か

m.n(m>n)を正の整数とするとき
(√m^2+1)-(√n^2+1) は整数でないことを示せ。

お願いします。

No.34609 - 2015/12/08(Tue) 23:09:35

☆ Re: / 水面に映る月

以下の私の回答は、質問者さんが関数f(x)={√(1+x^2)}-xを微分することができるということを前提にしています。

まず、√(1+m^2)の整数部分がmであること(*)を示す。
{√(1+m^2)}-m=1/[{√(1+m^2)}+m]
であって、ここで、1<{√(1+m^2)}+m (∵mは整数)より、
0<{√(1+m^2)}-m<1
これで、(*)が示された。

(*)より、√(1+m^2)の小数部分をm'とすると、
m'={√(1+m^2)}-m
同様に、√(1+n^2)の小数部分をn'とすると、
n'={√(1+n^2)}-n
また、
√(1+m^2)-√(1+n^2)=(m+m')-(n+n')=(m-n)+(m'-n')…(1)
m',n'は小数部分なので、ともに、0以上で、かつ1より小さいので、
-1<m'-n'<1…(2)

次にm'-n'が0になり得ないこと(**)を示す。
(1)より、
m'-n'=[{√(1+m^2)}-m]-[√(1+n^2)}-n]…(3)
ここで関数f(x)={√(1+x^2)}-xを考える。
f '(x)=[x/{√(1+x^2)}]-1=[x-{√(1+x^2)}]/√(1+x^2)<0
よって、f(x)は単調減少である。
このことと、m≠nであることより、
f (m)-f (n)≠0
であるが、(4)より、これは、m'-n'≠0を意味する。
これで(**)が示された。

(1)(2)および(**)と、m-nが整数であることから、
√(1+m^2)-√(1+n^2)=(m+m')-(n+n')=(m-n)+(m'-n')は整数とはなり得ない。(証明終了)

No.34615 - 2015/12/09(Wed) 00:54:55

☆ Re: / 水面に映る月

（訂正）
証明の３行目
誤）(∵mは整数)
正）(∵mは正の整数)

No.34616 - 2015/12/09(Wed) 00:59:18

☆ Re: / 水面に映る月

（訂正）
上の私の証明の下から４行目
誤）(4)より、これは、m'-n'≠0を意味する。
正）(3)より、これは、m'-n'≠0を意味する。

失礼しました。

No.34618 - 2015/12/09(Wed) 03:32:55

☆ Re: / しの

わざわざありがとうございます。
お手数ですが
1a2bの範囲でお願いできますか？

No.34623 - 2015/12/09(Wed) 09:24:23

☆ Re: / 水面に映る月

微分を知らなくても、f(x)={√(1+x^2)}-x が単調減少であることを示すことができますね。微分を知っているなら、微分を使ったほうが早いし、簡潔ですが。

x, y を、x>y を満たす任意の実数とする。このとき、
f　(x)　-　f　(y)
=[{√(1+x^2)} - x] - [{√(1+y^2)} - y]
={√(1+x^2) - √(1+y^2)} - (x-y)
=[(x^2 - y^2)/{√(1+x^2) + √(1+y^2)}] - (x-y)
=(x-y) * [{(x + y)/{√(1+x^2) + √(1+y^2)}} - 1]
≦(x-y) * [{(|x| + |y|)/{√(1+x^2) + √(1+y^2)}} - 1]<0

No.34624 - 2015/12/09(Wed) 09:34:43

☆ Re: / IT

(別解)　背理法による（背理法でなくてもできますが）
√(m^2+1)-√(n^2+1)=k,ｋは整数とすると
m＞nよりkは正整数(これは証明なしでいいと思います)

√(m^2+1)=√(n^2+1)+k
両辺を２乗して
m^2+1=n^2+1+2k√(n^2+1)+k^2
kは正整数なので√(n^2+1)は有理数

√(n^2+1)=a/b,(a,bは互いに素な自然数)とおく
両辺を２乗して、n^2+1=(a/b)^2
左辺は整数なのでb=1,すなわちn^2+1=a^2
よってa≧n+1
両辺正なので２乗してa^2≧n^2+2n+1
したがってn^2+1≧n^2+2n+1すなわち0≧n
これは、nが正整数であることに反する。

したがって、√(m^2+1)-√(n^2+1)は整数になることはない。

No.34633 - 2015/12/09(Wed) 19:30:21

☆ Re: / しの

ありがとうございます。

No.34649 - 2015/12/10(Thu) 01:23:07

☆ Re: / IT

（別解２）水面に映る月さんの考え方をお借りして
正整数m,nについて、√(m^2+1)-√(n^2+1)が整数とする。…（１）
m≧1,n≧1なので、0＜√(m^2+1)-m＜1/2、0＜√(n^2+1)-n＜1/2
よって、-1/2＜{√(m^2+1)-m}-{√(n^2+1)-n}＜1/2
(1)より{√(m^2+1)-m}-{√(n^2+1)-n}＝0、
移項して√(m^2+1)-√(n^2+1)＝m-n
両辺２乗して整理,√(m^2+1)√(n^2+1)＝mn+1
両辺２乗して整理,(m-n)^2=0、すなわちm＝n。

したがってm＞nのときは√(m^2+1)-√(n^2+1)は整数でない。

No.34654 - 2015/12/10(Thu) 20:28:36

☆ Re: / 水面に映る月

>>ITさん
（別解２）拝見しました。なるほど。
様々な証明が可能なようで、興味深いですね。

No.34655 - 2015/12/10(Thu) 21:59:27

★ 指数対数 / ゆずこ

指数対数の問題です。
よろしくお願いします>_<

log10 25の小数部分をxとするとき、
10¹-ｘ＝

No.34602 - 2015/12/07(Mon) 23:34:54

☆ Re: 指数対数 / ヨッシー

log10 25 は log[10]25 （底が10, 真数が25) のこととします。
すると、log[10]25 は１より大きく２より小さいので、
log[10]25 の整数部は１，小数部は
　ｘ＝log[10]25－1
となります。

そのあとの 10¹-ｘはどういう意味の式でしょう？
　10^(-x)
だとすると、
　10^(1－log[10]25)＝10×10^(－log[10]25)
で計算できます。

No.34603 - 2015/12/07(Mon) 23:46:25

☆ Re: 指数対数 / ゆずこ

わかりづらくてすみません！
こういう問題です！

No.34604 - 2015/12/08(Tue) 00:09:45

☆ Re: 指数対数 / ゆずこ

画像です

No.34605 - 2015/12/08(Tue) 00:11:33

☆ Re: 指数対数 / ヨッシー

10^(1-x) ですね。
　ｘ＝log[10]25－1
より
　１－ｘ＝２－log[10]25
なので
　10^(2－log[10]25)＝10^2×10^(－log[10]25)
で計算できます。

No.34606 - 2015/12/08(Tue) 05:49:48

★ 大学受験問題 / ぽん

3つの数1,a,bはこの順に等差数列をなし、またb^2,a,1の3数はこの順に等比数列をなすとき、a,bの値を求めよ。

この問題の途中式を教えてください。
お願いします。

答えは(a,b)=(1,1),(1/3,-1/3)です。

No.34598 - 2015/12/07(Mon) 21:34:50

☆ Re: 大学受験問題 / 水面に映る月

「3つの数1,a,bはこの順に等差数列をなし」より、
　　　 2a=1+b..........(1)
「b^2,a,1の3数はこの順に等比数列をなす」より、
　　　　　　　a^2=(b^2)*1......(2)
あとは(1)かつ(2)を解けばＯＫです。

No.34599 - 2015/12/07(Mon) 22:12:18

☆ Re: 大学受験問題 / 水面に映る月

（補足）
上の回答で、(2)の式は、厳密に言うと、b^2,a,1の3数がこの順に等比数列をなすための必要条件に過ぎないので、本当は、出てきたa,bが題意を満たすことを最後に確認する必要があります。
ただし、多くの問題集ではこの確認は省かれているようです。

No.34600 - 2015/12/07(Mon) 22:38:37

★ (No Subject) / マインスター

　○×問題です。　

?@半径がrの半球の形をした容器に水をいっぱい入れ、それを半径がrで高さがrの円柱の形をした容器に移し変えると、水の量の高さはちょうど2r/3になった。
　?A4点A､B､C､Pについて、2点C､Pが直線ABに関して同じ側にある時、∠APB=∠ACBならば４点A､B､C､Pは同じ円周上にある。

　それぞれ、○×解答となぜそうなるのかの解説をお願いします。

No.34596 - 2015/12/07(Mon) 07:28:45

☆ Re: / ヨッシー

(1)
半径ｒの球の体積は (4/3)πｒ^3 なので、半球の容器の
容積は(2/3)πｒ^3。
これを底面積πｒ^2 の円柱の容器に入れたときの高さは
　(2/3)πｒ^3÷πｒ^2＝2r/3　・・・　○

(2)
円周角の性質より明らか　・・・　○

なぜ体積が (4/3)πｒ^3 なのかとか、なぜ同じ弦の上に立つ
円周角は等しいのかということの証明を聞いているようには
見えないので、こういう解答で良いと思います。

No.34597 - 2015/12/07(Mon) 07:46:29

★ 波動関数(大1) / そ

∂^2u/∂t^2=c^2*∂^2u/∂x^2,0＜x＜π,t＞0
境界条件u(x,0)=a,∂u/∂t(x,0)=0,0≦x≦π
初期条件u(0,t)=u(π,t)=0,t＞0
という条件の波動関数があります。
答えは
u(x,t)=(8a/π^2)Σ[m=0~∞]((-1)^m/(2m+1)^2)cos(2m+1)ct*sin(2m+1)x　となっています。

解いた結果が(2a/π)Σ[m=0~∞](1+(-1)^(2m))/(2m+1)cos(2m+1)ct*sin(2m+1)x　になってしまいます。後半部のcos(2m+1)ct*sin(2m+1)xはあっているのですが、前半部がどうしてもあいません。。。
御教授ください。

No.34591 - 2015/12/06(Sun) 07:46:58

☆ Re: 波動関数(大1) / X

質問内容とは直接関係ありませんが用語が変です。
まず
>>波動関数
とありますが、これは波動方程式ですね。
(波動関数では別の意味になってしまいます。)
次に
>>境界条件u(x,0)=a,∂u/∂t(x,0)=0,0≦x≦π
>>初期条件u(0,t)=u(π,t)=0,t＞0
とありますが
>>u(x,0)=a,∂u/∂t(x,0)=0,0≦x≦π
が初期条件
>>u(0,t)=u(π,t)=0,t＞0
が境界条件です。

で回答ですが、少なくとも答えの方
(そさんの計算結果の方ではありません)
は間違えています。
(t=0のとき、横軸にx、縦軸にuを取ったグラフを
パソコンに描かせると、答えの方の場合は三角波に
なってしまい、与えられた初期条件と矛盾します。)

ちなみに私の計算では
u=(4a/π)Σ[m=0～∞]{1/(2m+1)}cos(2m+1)ctsin(2m+1)x
となりました。
(間違えているかもしれません。)

No.34592 - 2015/12/06(Sun) 14:38:14

☆ Re: 波動関数(大1) / そ

用語間違えの指摘ありがとうございます。
与えられた初期条件と矛盾するとは具体的にどういったことでしょうか？

No.34594 - 2015/12/06(Sun) 19:38:12

☆ Re: 波動関数(大1) / X

初期条件の一つである
u(x,0)=a (A)
と矛盾するということです。
横軸にx、縦軸にuを取った
(A)のグラフはx軸に平行な
線分になります。

No.34595 - 2015/12/06(Sun) 20:17:36

☆ Re: 波動関数(大1) / そ

ありがとうございます。
自分で計算してみてわかりました。

No.34631 - 2015/12/09(Wed) 16:44:49

★ 二次関数 / ツネひろ

(1)、(2)は解けたと思っているのですが(もし間違ってたらそれも訂正お願いします)、(3)がわかりません。教えてください

No.34577 - 2015/12/04(Fri) 23:22:00

☆ Re: 二次関数 / X

添付された画像ファイルが途切れていませんか？
(2)の解答がどこにも書かれていません。

(1)
計算自体は正しいですがS(x)はもう少しまとめましょう。
(画像ファイルが途切れている部分にS(x)の
最終的な解答が書かれていますか？)
それとS(x)の計算の2行目において、必要な括弧は
必ず付けましょう。これが記述式問題の解答であれば
計算が正しくても×になります。

(3)
(1)の結果から
S(x)={x-(a+1)/4}^2-(1/16)(a+1)^2+a/2
={x-(a+1)/4}^2-(1/16)(a^2-6a+1)
={x-(a+1)/4}^2-(1/16)(a-3)^2+1/2
ここでa＞1により
(a+1)/4＞1/2
よって
0≦x≦1 (A)
としてy=S(x)のグラフを考えることにより
(i)(a+1)/4＜1、つまり1＜a＜3のとき
y=S(x)の対称軸は(A)に含まれますので
S(x)の最小値は-(1/16)(a^2-6a+1)(このときx=(a+1)/4)
(ii)1≦(a+1)/4、つまり3≦aのとき
y=S(x)の対称軸は(A)の範囲外右側になりますので
S(x)の最小値は1/2(このときx=1)

No.34578 - 2015/12/05(Sat) 00:54:29

★ 積分不等式 / wmj

?甜0→1] e^f(x)dx=?甜0→1]e^g(x) dxが成り立つとき、

?甜0→1]e^f(x) f(x)dx≧?甜0→1]e^f(x) g(x) dx が成り立つことを
証明せよ。

よろしくお願いします。

No.34574 - 2015/12/04(Fri) 16:08:38

☆ Re: 積分不等式 / 水面に映る月

まず、?刀i真ん中に丸がついている）というのは∫（丸のない積分記号）とは用いる場面が異なります。?唐ﾍ所謂周回積分と呼ばれる積分に用いられる記号です。ここでは∫が適切でしょう。
ところで、どこまでかeの肩に持っているのか（）をつけて明示していただけるとありがたいです。また、問題がこれで合っているかどうかのチェックもお願いします。
少なくとも、条件式が今のままで示すべき式が
∫[0→1](e^f(x))f(x)dx≧∫[0→1](e^f(x))g(x) dxであるとは考えにくいです。これだと不等号である必要性がないです。等号が成り立つのかどうかは調べていませんが。

No.34575 - 2015/12/04(Fri) 20:49:10

☆ Re: 積分不等式 / 水面に映る月

（訂正）誤字がありました。以下が正しいです。
どこまでがeの肩に乗っているのか（）をつけて明示していただけるとありがたいです。

No.34576 - 2015/12/04(Fri) 21:12:08

☆ Re: 積分不等式 / IT

wmj さんへ＞
　どのレベル（高校・大学など）の問題でしょうか？(それによってアプローチが違ってきますので。)
また、前後に習われた定義や定理なども教えていただくとヒントになります。

∫[0→1](e^f(x))f(x)dx≧∫[0→1](e^f(x))g(x) dx…(2)だとして

出来ていませんが、ごく単純な例で考えると成り立つような気がします。

たとえばf,gが下記のような階段関数の場合は(2)が言えそうです。
　0≦x≦1/2で　f(x)=log(a),g(x)=log(a-h)
　1/2＜x≦1で　f(x)=log(b),g(x)=log(b+h)
　（a,b,a-h,b+hは正数）

No.34579 - 2015/12/05(Sat) 08:43:00

☆ 取り消しです。 / 水面に映る月

ITさんのレスを読んで私の考えを見直したところ、私の考えの中でおかしいところがありました。以下の部分は取り消します。失礼しました。
> 少なくとも、条件式が今のままで示すべき式が
> ∫[0→1](e^f(x))f(x)dx≧∫[0→1](e^f(x))g(x) dxであるとは考えにくいです。これだと不等号である必要性がないです。

No.34580 - 2015/12/05(Sat) 10:09:14