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★ (No Subject) / ｋ
三角形ABCにおいてＡＢ＝３、ＢＣ＝６、ＣＡ＝５とする。
ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝ア／イ、ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝ウ√エオ／カ
であり、∠ＡＢＣ＝の面積はキ√クケ、外接円の半径は
コサ√シス／セソである。
辺ＢＣの中点をＭとし、直線ＡＭと∠ＡＢＣの外接円の交点のうちＡと異なる点をＤとすると
ＡＭ＝タ／チ、ＣＤ＝ツ√テ／トである。
カタカナの部分がわかりません。
No.34195 - 2015/11/10(Tue) 16:17:08
☆ 三角比 / ｋ
> 三角形ABCにおいてＡＢ＝３、ＢＣ＝６、ＣＡ＝５とする。
> ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝ア／イ、ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝ウ√エオ／カ
> であり、∠ＡＢＣ＝の面積はキ√クケ、外接円の半径は
> コサ√シス／セソである。
> 辺ＢＣの中点をＭとし、直線ＡＭと∠ＡＢＣの外接円の交点のうちＡと異なる点をＤとすると
> ＡＭ＝タ／チ、ＣＤ＝ツ√テ／トである。
> カタカナの部分がわかりません。
No.34196 - 2015/11/10(Tue) 16:17:54
☆ Re: / ヨッシー
ア／イ：△ＡＢＣにおける余弦定理を使う
ウ√エオ／カ：公式 sin^2θ＋cos^2θ＝１　を使う
キ√クケ：三角形の面積の公式を使う
コサ√シス／セソ：正弦定理を使う
タ／チ：△ＡＢＭにおける余弦定理を使う
sin∠ＭＡＣ を求めた上で、△ＡＣＤにおける正弦定理を使う
No.34200 - 2015/11/10(Tue) 17:12:13
☆ Re: / ｋ
ア／イ＝５／９
ウ√エオ／カ＝２√１４／９　キ√クケ＝２√１４
コサ√シス／セソ＝２Ｒ＝ｂ／ｓｉｎｂ＝５／２√１４／９が合いませんが、どこがミスってるのかわかりません。　
No.34218 - 2015/11/10(Tue) 21:06:14
☆ Re: / ヨッシー
５／２√１４／９ という書き方はどうかと思いますが、
どこもミスってませんよ。
　Ｒ＝・・・
の形にして有理化すればコサ√シス／セソの形になります。
No.34226 - 2015/11/10(Tue) 22:53:45
★ 面積の問題 / りん
半径2の円に四角形ABCDが内接している。AD＝2，∠A＝60°，BC：＝2：1，線分BDの中点をMとするとき、以下の問いに答えよ。

（1）BD＝2√3，CD＝2√（3/5）
（2）四角形ABCDの面積（16/5）√3
（3）AM＝√6
（4）△ADMの外接円の面積S1と△BCDの外接円の面積S2の面積比は、
　　　S1：S2＝9：16
（5）辺AB，AD上にそれぞれ点P，Qをとり、線分PQを折り目として△ABDを折ると、頂点AがMに重なるという。このとき、MP/MQ＝（2/3）

それぞれ　解答合っていますでしょうか？
よろしくお願いします。
No.34191 - 2015/11/10(Tue) 09:28:17
☆ Re: 面積の問題 / ヨッシー
>BC：＝2：1
ＢＣと何の比でしょうか？
また、それは、線分（弦）の比か、弧の長さの比か
念の為に明確にして下さい。
No.34192 - 2015/11/10(Tue) 09:57:50
☆ Re: 面積の問題 / りん
すみません。
BC：CD＝2：1
線分の比です。
No.34193 - 2015/11/10(Tue) 10:09:21
☆ Re: 面積の問題 / ヨッシー
BD＝2√3 は正しいですが、CD＝2√(3/5) は誤りです。
それにより、芋づる式に答えが違ってくるでしょう。
AM＝√6 も誤りです。
No.34197 - 2015/11/10(Tue) 16:22:39
☆ Re: 面積の問題 / りん
ありがとうございます。

BC:CD=2:1が
弧の長さの比でもまちがいになりますか？
No.34198 - 2015/11/10(Tue) 16:31:05
☆ Re: 面積の問題 / ヨッシー
弧の長さなら、そんなに綺麗な式で表せない数となります。
No.34199 - 2015/11/10(Tue) 16:40:38
☆ Re: 面積の問題 / りん
ありがとうございます。

2√3以外は全部間違いなんでしょうか？
No.34201 - 2015/11/10(Tue) 17:26:04
☆ Re: 面積の問題 / ヨッシー
(3)までしか見ていません。
(4) で、△ＢＣＤの外接円とありますが、これは、最初の
半径２の円と同一と思って良いでしょうか？
No.34202 - 2015/11/10(Tue) 18:02:28
☆ Re: 面積の問題 / りん
はい。
半径2の円です。

すみません。
よろしくお願いします。
No.34206 - 2015/11/10(Tue) 18:18:56
☆ Re: 面積の問題 / ヨッシー
はい、全部違ってました。
(3) の結果を (4) で使うので、(3) は(4)にとって必須です。

使う手法は合ってるっぽいので、計算違いかと思います。
No.34216 - 2015/11/10(Tue) 20:53:13
☆ Re: 面積の問題 / りん
ありがとうございました。
もう一度 良く見直して頑張ってみます。
No.34219 - 2015/11/10(Tue) 21:09:46
★ (No Subject) / か
お願いします。
No.34186 - 2015/11/09(Mon) 22:11:45
☆ Re: / X
添付写真の下の部分が欠けています。
No.34187 - 2015/11/09(Mon) 22:31:08
☆ Re: / か
が成立するとする。そのときの内積a・bと、x.y.zの値を、それぞれ求めよ。

ってなってます。ごめんなさい。
No.34189 - 2015/11/10(Tue) 00:13:35
☆ Re: / X
まず、各ベクトルのなす角が等しいことから
(↑a・↑b)/(|↑a||↑b|)=(↑b・↑c)/(|↑b||↑c|)=(↑c・↑d)/(|↑c||↑d|)
=(↑d・↑a)/(|↑d||↑a|)=(↑a・↑c)/(|↑a||↑c|)=(↑b・↑d)/(|↑b||↑d|)
これと
|↑a|=1,|↑b|=2,|↑c|=3,|↑d|=4 (A)
により
(↑a・↑b)/2=(↑b・↑c)/6=(↑c・↑d)/12
=(↑d・↑a)/4=(↑a・↑c)/3=(↑b・↑d)/8 (B)
よって(B)=kと置くと
↑a・↑b=2k (C)
↑b・↑c=6k (D)
↑c・↑d=12k (E)
↑d・↑a=4k (F)
↑a・↑c=3k (G)
↑b・↑d=8k (H)
後は
x↑a+y↑b+z↑c+↑d=↑0
の両辺の↑a,↑b,↑c,↑dとの
内積を取って
(A)(C)(D)(E)(F)(G)(H)
を代入し、x,y,z,kについての
連立方程式を立てます。
No.34190 - 2015/11/10(Tue) 06:14:45
☆ Re: / X
こちらの計算では
↑a・↑b=-2/3
(x,y,z)=(4,2,4/3)
となりました。
No.34212 - 2015/11/10(Tue) 20:11:38
★ (No Subject) / か
よろしくお願いします。
No.34185 - 2015/11/09(Mon) 22:10:44
☆ Re: / X
条件から
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
と置くことができるので
{f(x)}^2=x^6+(a^2)x^4+(b^2)x^2+c^2
+2(ax^5+abx^3+bcx+cx^3+acx^2+bx^4)
∴I=2/7+(2/5)a^2+(2/3)b^2+2c^2+(4/3)ac+(4/5)b
=(2/3){b^2+(6/5)b}+(2/5){a^2+(10/3)ac+5c^2}+2/7
=(2/3)(b+3/5)^2-6/25+(2/5){a+(5/3)c}^2+(2/5){5c^2-(25/9)c^2}+2/7
=(2/3)(b+3/5)^2+(2/5){a+(5/3)c}^2+(8/9)c^2+8/175
よってIが最小のとき
b+3/5=0 (A)
a+(5/3)c=0 (B)
c=0 (C)
(A)(B)(C)より
(a,b,c)=(0,-3/5,0)
∴Iを最小にするf(x)は
f(x)=x^3-3x/5
No.34188 - 2015/11/09(Mon) 22:44:28
★ (No Subject) / ぬーん

(1)曲線y=|x(x-2)|とx軸とで囲まれる部分の面積
(2)曲線y=|x(x-2)|と直線y=1/2xとで囲まれる部分の面積

答え (1)4/3 (2)17/16 です。

途中式など詳しく教えていただければ幸いです。
よろしくお願いします。
No.34178 - 2015/11/09(Mon) 20:20:54
☆ Re: / X
既に他の掲示板で同じ質問に対する回答がついています。
No.34183 - 2015/11/09(Mon) 20:58:15
★ 中学校の図形 / たゆ
画像の⑶の問題を教えてください。お願いします。
No.34177 - 2015/11/09(Mon) 20:14:09
☆ Re: 中学校の図形 / X
AB//CEであること
と
OA,OB,OC,OEが同じ円の半径
であることから
△OAC≡△OBE
よってC,EからABに下ろした
垂線の足をG,Hとすると
AG=BH
となるので
BH=(AB-CE)/2=2[cm]
このことと
△CEF∽△BFH
により
CF:FB=CE:BH=2:1
となります。
No.34181 - 2015/11/09(Mon) 20:57:10
☆ Re: 中学校の図形 / たゆ
解くことができました。ありがとうございました。
No.34207 - 2015/11/10(Tue) 18:59:51
★ (No Subject) / ？
確率の問題なんですが、8人を2つの部屋a,bに入れる方法は何通りか？また、8人全員を1つの部屋に入れてはいけない。という問題が分かりません。
No.34168 - 2015/11/09(Mon) 17:57:24
☆ Re: / ヨッシー
A,B,C,D,E,F,G,H の8人とします。
A は a に入るか b に入るかの２通り
B も a に入るか b に入るかの２通り
　　・・・
H も a に入るか b に入るかの２通り
よって、すべての入れ方は
　2×2×・・・×2
であるが、８人全員が１つの部屋にはいる場合が（　　）通りあるので・・・（以下略）
No.34171 - 2015/11/09(Mon) 18:37:06
☆ Re: / ？
256 -2=254ですか？
No.34179 - 2015/11/09(Mon) 20:38:43
☆ Re: / ヨッシー
はい。
No.34182 - 2015/11/09(Mon) 20:57:48
☆ Re: / ？
ありがとうございました。
No.34184 - 2015/11/09(Mon) 20:58:32
★ 定積分 / みぽりん
関数fn(x)を
f1(x)=e^(-x)cosx,fn+1(x)=e^(-x)cosx+?吐n(x)dx[0→Π/4](n=1,2,‥)
によって定義するとき、lim[n→∞]fn(x)を求めよ。

よろしくお願いします。
No.34167 - 2015/11/09(Mon) 17:18:20
☆ Re: 定積分 / X
題意から
f[n](x)={e^(-x)}cosx+a[n] (A)
a[n]=∫[0→π/4]f[n-1](x)dx (n≧2) (B)
a[1]=0 (C)
と置くことができます。
(A)(B)より
a[n]=∫[0→π/4]{{e^(-x)}cosx+a[n-1]}dx
=(π/4)a[n-1]+∫[0→π/4]{e^(-x)}cosxdx (B)'
ここで
I=∫[0→π/4]{e^(-x)}cosxdx
と置くと部分積分により
I=[{e^(-x)}sinx][0→π/4]+∫[0→π/4]{e^(-x)}sinxdx
=1/{(√2)e^(π/4)}+[-{e^(-x)}cosx][0→π/4]-I
=1-I
∴I=1/2
これと(B)'により
a[n]=(π/4)a[n-1]+1/2
∴a[n]-2/(4-π)=(π/4){a[n-1]-2/(4-π)}
=…
={(π/4)^(n-1)}{a[1]-2/(4-π)}
={(π/4)^(n-1)}{-2/(4-π)}
よって(A)より
f[n](x)={e^(-x)}cosx+{1-(π/4)^(n-1)}{2/(4-π)}
(n≧2)
となるので
lim[n→∞]f[n](x)={e^(-x)}cosx+2/(4-π)
No.34173 - 2015/11/09(Mon) 19:06:38
☆ Re: 定積分 / みぽりん
ありがとうございました。
No.34246 - 2015/11/12(Thu) 00:05:55
★ (No Subject) / ？
画像の問題なんですが、（2）が分かりません。答えは10通りなんですが、解き方が良く分かりません。
No.34166 - 2015/11/09(Mon) 17:04:28
☆ Re: / ヨッシー
こちらで回答されています。
No.34172 - 2015/11/09(Mon) 18:41:49
★ (No Subject) / ？
sinπ/12という問題でsinπ/12>0であるから、画像の答えに書いてありますが、なぜですか？理由教えてください
No.34149 - 2015/11/09(Mon) 14:30:41
☆ Re: / X
0＜π/12＜π/2
に注意して、単位円の上に
π/12
の角度を取る
(正確でなくても第1象限に
角度が取れていればいいです)
と
sin(π/12)
が正の値、つまり
sin(π/12)＞0
であることが分かります。
No.34153 - 2015/11/09(Mon) 14:53:20
☆ Re: / ？
π/2って90°ですよね？
90°を超えても、Sinの場合は-にはならないと思うのですが…
π/2を2πにしてはいけないのですか？
No.34158 - 2015/11/09(Mon) 15:30:02
☆ Re: / X
ご質問は
sin(π/12)＞0
となる理由ですので、単位円上に
角度である
π/12
が第1象限の範囲に取れることが
理解できれば問題ありません。
その意味で
π/2
を引っ張り出してきています。
No.34161 - 2015/11/09(Mon) 15:58:31
☆ Re: / ？
そうなんですか！ありがとうございました。あと、一応確認なんですが、90を超えてもSinの場合は-にはなりませんよね？
No.34162 - 2015/11/09(Mon) 16:03:57
☆ Re: / X
π/2＜θ
の場合でも
θ≦π
であれば
sinθ≧0
です。
No.34164 - 2015/11/09(Mon) 16:09:10
★ (No Subject) / 訳わからん
画像の問題なんですが、π/4＜α/2＜π/2であるから、cosα/2>0みたいなことが書いてありますが、π/4とπ/2はどこから出てきましたか？あと、cos
α/2>0になる理由も良く分かりません。分かりやすく教えてくださいおねがいします
No.34148 - 2015/11/09(Mon) 14:27:52
☆ Re: / X
>>π/4とπ/2はどこから出てきましたか？
条件から
π/2＜α＜π
これの各辺を2で割って
π/4＜α/2＜π/2 (A)
です。
>>あと、cosα/2>0になる理由も良く分かりません。
α/2に関する単位円を描いて、(A)のときの
cos(α/2)の値の範囲を求めてみましょう。
No.34152 - 2015/11/09(Mon) 14:52:42
☆ Re: / ？
cosα/2って数字に表すと何ですか？
αってなんの数字がはいるんですか？
No.34159 - 2015/11/09(Mon) 15:37:43
☆ Re: / X
条件からαについて
sinα=4/5
となっていますが、これを満たすαの
厳密な値を有理数で表すことはできません。
(近似的な値を求めることはできますが
この問題ではその必要はありません。)

＞＞cosα/2って数字に表すと何ですか？
ご質問の意味が不明です。
模範解答に
cos(α/2)=1/√5
と書かれていますので、文字通りの
意味ではありませんよね？。
No.34163 - 2015/11/09(Mon) 16:07:58
☆ Re: / ？
そもそもcosα/2>0となる解き方がわからないんですよ
No.34165 - 2015/11/09(Mon) 17:00:16
☆ Re: / X
{cos(α/2)}^2=1/5
においてcos(α/2)の符号に
条件がない場合
cos(α/2)=±1/√5
となるのはよろしいですか？
ここで
π/4＜α/2＜π/2
であることから
cos(α/2)＞0
という符号についての条件が
つきますので
cos(α/2)=1/√5
となるということです。
No.34174 - 2015/11/09(Mon) 19:12:00
☆ Re: / ？
どうしてcos（α/2）>0になるか教えてください。そもそもπ/4＜α/2＜π/2になって、そこからなんで0より大きいみたいな話になるかが分かりません。馬鹿ですみません󾭛
No.34176 - 2015/11/09(Mon) 20:12:15
☆ Re: / X
過去に
？さん(=訳わからんさん)
が質問されている問題を
いくつか拝見しましたが、その殆どが
今回の質問も含めて、三角不等式と
単位円との対応関係に関するもの
でした。
それも一回目の質問後も教科書、参考書で
三角関数の三角不等式の項目に戻って
復習した形跡が見当たらず、質問対象の
問題が変わっているだけでほぼ同じ事項
についての質問をされているようにしか
見えません。

＞＞馬鹿ですみません󾭛
と謝る前に教科書、参考書の三角不等式の
項目を復習し、三角不等式と単位円との
対応関係を頭に叩き込んで下さい。
それで上記の質問内容は解決します。
No.34220 - 2015/11/10(Tue) 21:17:18
★ (No Subject) / 訳わからん
0≦θ＜2πで、sin2θ>sinθの解き方が分かりません。
No.34144 - 2015/11/09(Mon) 13:34:30
☆ Re: / X
sin2θ＞sinθ
より
2sinθcosθ＞sinθ
(2cosθ-1)sinθ＞0
∴
cosθ＞1/2かつsinθ＞0 (A)
又は
cosθ＜1/2かつsinθ＜0 (B)
ここで
0≦θ＜2π (C)
ですので
(i)(A)のとき
{0≦θ＜π/3又は5π/3＜θ＜2π}
かつ
0＜θ＜π
∴0＜θ＜π/3
(ii)(B)のとき
π/3＜θ＜5π/3
かつ
π＜θ＜2π
∴π＜θ＜5π/3

以上から求める解は
0＜θ＜π/3,π＜θ＜5π/3
となります。
No.34146 - 2015/11/09(Mon) 14:06:30
☆ Re: / ？
スミマセン
sin2θ≧sinθだと、答えが変わるのですか？＜を≦にするだけでいいのですか？
No.34150 - 2015/11/09(Mon) 14:42:02
☆ Re: / ？
あと、sin>0って、0≦θ≦πじゃないですか？
No.34151 - 2015/11/09(Mon) 14:44:11
☆ Re: / X
>>sin2θ≧sinθだと、答えが変わるのですか？＜を≦にするだけでいいのですか？
No.34146と同様の方針により
sin2θ≧sinθ
から
cosθ≧1/2かつsinθ≧0 (A)
又は
cosθ≦1/2かつsinθ≦0 (B)
後はNo.34146と同様に
(A)(B)について場合分けして
解いていきます。

ちなみに解ですが単に＜を≦に
したものにはなりません。
(解の形は似てはいますが。)
No.34154 - 2015/11/09(Mon) 14:59:58
☆ Re: / X
>>あと、sin>0って、0≦θ≦πじゃないですか？
θに関する単位円を描いて
sinθ＞0
となるθの値の範囲を求めると
0＜θ＜π
となります。
決して不等号の下に等号はつきません。
No.34155 - 2015/11/09(Mon) 15:01:31
☆ Re: / ？
スミマセン0＜θ＜πでした。
でも、Xさんが計算してくれた式で（A）のとき…かつπ＜θ＜2π
って書いてあるじゃないですか？
もし、あなたはsinθ>0は0＜θ＜πって、上で言ってるじゃないですか
どっちですか？
No.34156 - 2015/11/09(Mon) 15:21:11
☆ Re: / X
ごめんなさい。
No.34146が間違っていました。
直接修正しましたので再度ご覧下さい。

又、これに伴ってですが
sin2θ≧sinθ
の解は
sin2θ＞sinθ
の解の全ての不等号の下に
=がついたものになります。
(但し、解く方針については
No.34154と変わりありません。)
No.34157 - 2015/11/09(Mon) 15:26:13
☆ Re: / ？
すみません、わざわざありがとうございました。
No.34160 - 2015/11/09(Mon) 15:40:51
★ 解けません / ごくう
いつも助かっています。次の２問がどうして解けません。わかりやすい解説お願いします。
No.34142 - 2015/11/09(Mon) 13:22:01
☆ Re: 解けません / X
問題1
p⇔(x-a)(x-2a)≦0 (A)
q⇔(x-2)(x+a^2)＞0
⇔x＜-a^2,2＜x (B)
よって
(i)a＜0のとき
(A)より
p⇔2a≦x≦a (A)'
ですので題意を満たすためには
(B)に(A)'が含まれる必要があります。
よって
a＜-a^2
これより
-1＜a＜0
(ii)a=0のとき
(A)より
p⇔x=0
(B)より
q⇔x＜0,2＜x
∴これは題意を満たしません。
(iii)0＜aのとき
p⇔a≦x≦2a (A)"
ですので題意を満たすためには
(B)に(A)"が含まれる必要があります。
よって
2＜a

以上から求めるaの値の範囲は
-1＜a＜0,2＜a
となります。
No.34147 - 2015/11/09(Mon) 14:16:01
★ 集合の問題 / ひかり
全体集合Ｕを、1から100までの100個の自然数とする。
Ｕの部分集合Ａ，Ｂ，Ｃ，をそれぞれＡ={x｜ｘは2の倍数}、Ｂ={ｘ｜ｘは3の倍数}、
Ｃ={ｘ｜ｘ=5m+1，ｍは自然数}とするとき、以下の問いに答えよ。

（1）Aの要素の数は？
（2）A∩Bの要素の数は？
（3）A∪Bの要素の数は？
（4）A∩B∩Cの要素の数は？

高3です。
よろしくお願いします。
No.34136 - 2015/11/09(Mon) 11:12:49
☆ Re: 集合の問題 / ヨッシー
このように書き直すとどうでしょう？

ここに１００枚のカードがあり、１から１００までの数字が１つずつ書かれています。
(1) ２の倍数の書かれたカードは何枚ありますか？
(2) ２の倍数でもあり、３の倍数でもあるカードは何枚ありますか？
(3) ２の倍数、３の倍数のどちらかに当てはまる数（両方当てはまる数も含む）が書かれたカードは何枚ありますか？
(4) ２の倍数でもあり、３の倍数でもあるカードで、１の位が１か６のカードは何枚ありますか？

せめて(1)(2) その延長で(4)までは解いてみましょう。
No.34137 - 2015/11/09(Mon) 11:46:55
☆ Re: 集合の問題 / ひかり
わかりやすいですね。
ありがとうございます。

（1）50
（2）16
（3）67
（4）4

（3）自信がありませんが…

よろしくお願いします。
No.34139 - 2015/11/09(Mon) 12:16:26
☆ Re: 集合の問題 / ヨッシー
(1)(2)(4) は数え上げか、規則性から割と簡単に出たと思います。
(3) になるといよいよ公式の出番で、
　n(A∪B)＝n(A)＋n(B)−n(A∩B)
　　＝50＋33−16＝67
となります。
No.34141 - 2015/11/09(Mon) 12:42:22
☆ Re: 集合の問題 / ひかり
大変わかりやすかったです。
ありがとうございました。
No.34143 - 2015/11/09(Mon) 13:28:32
☆ Re: 集合の問題 / ひかり
追加でお願いします。

C∩A∩B∩Cの要素の数は10でよろしいですか？
No.34194 - 2015/11/10(Tue) 10:42:10
★ 面積？ / hiroshi
f(x)=px+2はg(x)=e^(2x)と異なる2点(a,g(a)),(b,g(b))で交わっている。ただし,-1<a<0<b<1とする。
(1)da/dp>0,db/dp>0を示せ。
(2)x=±1,f(x),g(x)で囲まれる面積が最小となるときbをaを用いて表せ。

よろしくお願いします。
No.34135 - 2015/11/09(Mon) 04:26:03
☆ Re: 面積？ / X
(1)
条件からy=f(x),y=g(x)の交点のx座標について
e^(2x)=px+2
∴e^(2x)-px-2=0 (A)
さて(A)の解が条件から
x=a,b
なので
e^(2a)-pa-2=0 (B)
e^(2b)-pb-2=0 (C)
(G)の両辺をpで微分して
{2e^(2a)}(da/dp)-a-p(da/dp)=0
∴da/dp=a/{2e^(2a)-p}
更に(B)を用いてpを消去すると
da/dp=a/{2e^(2a)-{e^(2a)-2}/a}
=(a^2)/{(2a-1)e^(2a)+2} (B)'
ここで
h(a)=(2a-1)e^(2a)+2
と置くと
h'(a)=(2+2(2a-1))e^(2a)=4ae^(2a)
よって-1＜a＜0により
h(a)＞h(0)=1＞0
となるので(B)'よりda/dp＞0
同様に(C)より
db/dp=(b^2)/{(2b-1)e^(2a)+2} (C)'
となるので、0＜b＜1における
k(b)=(2b-1)e^(2a)+2
の増減を考えることにより
db/dp＞0

(2)
問題の面積をSとすると
S=∫[-1→a]{e^(2x)-(px+2)}dx+∫[a→b]{(px+2)-e^(2x)}dx+∫[b→1]{e^(2x)-(px+2)}dx
=[(1/2)e^(2x)-(1/2)px^2-2x][-1→a]
+[-(1/2)e^(2x)+(1/2)px^2+2x][a→b]
+[(1/2)e^(2x)-(1/2)px^2-2x][b→1]
=-(1/2)/e^2+(1/2)p-2+e^(2a)-pa^2-4a
-e^(2b)+pb^2+4b+(1/2)e^2-(1/2)p-2
=e^(2a)-pa^2-4a-e^(2b)+pb^2+4b
+(1/2){e^2-1/e^2}-4
∴dS/dp=2{e^(2a)-pa-2}(da/dp)+2{-e^(2b)+pb+2}(db/dp)-a^2+b^2
(B)(C)を代入して
dS/dp=b^2-a^2=(b-a)(b+a)
ここで
-1＜a＜0＜b＜1
ですので、
b-a＞0
∴dS/dp,b+aの符号は一致します。
更に
t(p)=b+a
と置くと(1)の結果により
t'(p)＞0
となるのでb+aはpに関して単調増加。
以上からSはb+a=0、つまり
b=-a
のときに最小になります。
No.34140 - 2015/11/09(Mon) 12:27:55
☆ Re: 面積？ / hiroshi
X　様

たいへんありがとうございます！

考えるときは紙に書き直しましたが、解法や式の変形、記述の仕方などとてもよくわかりました。
No.34175 - 2015/11/09(Mon) 19:17:52
★ 楕円 / 数学大好き
楕円c:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上に2点P(0,-b),Q(acosθ,bsinθ）をとる。ただし、0<θ<π/2である。QにおけるCの接線をlとし、Pを通りlに平行な直線とCとの交点のうちPと異なるものをRとおく。このとき、
（１）θが0<θ<π/2の範囲を動くとき、三角形PQRの面積の最大値とそのときのQの座標を求めよ。

よろしくお願いします。
No.34127 - 2015/11/08(Sun) 19:47:53
☆ Re: 楕円 / X
条件からlの方程式は
(acosθ)x/a^2+(bsinθ)y/b^2=1
整理して
(cosθ)x/a+(sinθ)y/b=1
よってこれと平行で点Pを通る直線の方程式は
(cosθ)x/a+(sinθ)(y+b)/b=0 (A)
(A)とCとを連立して解き
(x,y)=(0,-b),(-asin2θ,bcos2θ)
∴R(-asin2θ,bcos2θ)
となるので
PR=√{(-asin2θ)^2+(bcos2θ+b)^2}
一方、点と直線との間の距離の公式により
PRを底辺としたときの△PQRの高さをHと
すると
H=|(cosθ)^2+(sinθ)(bsinθ+b)/b|/√{{(cosθ)/a}^2+{(sinθ)/b}^2}
=ab(1+sinθ)/√{(bcosθ)^2+(asinθ)^2}
以上から△PQRの面積をSとすると
S=(1/2)PR・H
=(1/2)ab(1+sinθ)√{{(asin2θ)^2+(bcos2θ+b)^2}/{(bcosθ)^2+(asinθ)^2}}
=(1/2)ab(1+sinθ)√{{(2asinθ)^2+(2bcosθ)^2}/{b^2+(atanθ)^2}}
=(1/2)ab(1+sinθ)√{{(4a^2)/{1+1/(tanθ)^2}+(4b^2)/{1+(tanθ)^2}}/{b^2+(atanθ)^2}}
=ab(1+sinθ)√{{(atanθ)^2+b^2}/[{b^2+(atanθ)^2}{1+(tanθ)^2}]}
=ab(1+sinθ)cosθ
∴dS/dθ=ab{(cosθ)^2-(1+sinθ)sinθ}
=ab{-2(sinθ)^2-sinθ+1}
=-ab(2sinθ-1)(sinθ+1)
よって0＜θ＜π/2におけるSの増減表を書くことにより
Sの最大値は(3√3)ab/4(このときθ=π/6)
となるので
△PQRの面積の最大値は(3√3)ab/4
このときQ((a√3)/2,b/2)
No.34131 - 2015/11/08(Sun) 20:59:52
☆ Re: 楕円 / 数学大好き
すごい！ちょっと、ゆっくり見させてください。でも、とりあえず有り難う御座います。よく見てから改めて戻ってきます。
No.34132 - 2015/11/08(Sun) 22:02:09
☆ Re: 楕円 / 数学大好き
　この三角関数の変形式って、制限時間内にできそうにないです。捨て問になってしまうかも。どうも、有り難う御座いました。
No.34138 - 2015/11/09(Mon) 11:54:39
★ (No Subject) / 桃
こんばんは。
関数の極限の分野です。
（2）がわかりません。
どなたか教えて下さい。
（1）,（3）はこのような考え方であっていますか。
No.34120 - 2015/11/08(Sun) 18:54:22
☆ Re: / 桃
すみません
写真が逆になっています
No.34121 - 2015/11/08(Sun) 18:55:15
☆ Re: / IT
画像がさかさまです。
(1)(3)はあっていると思います。
(2) tanをcos,sinで表す。
分母と分子にcos^2を掛ける
分母を因数分解する。
約分する。
でできると思います
No.34123 - 2015/11/08(Sun) 19:02:34
☆ Re: / ヨッシー
(2)
分母に (1−tanｘ)(1＋tanｘ) が見えているので、
分子に (1−tanｘ) を作る方向で変形する方法もあります。
No.34124 - 2015/11/08(Sun) 19:10:52
☆ Re: / 桃
こんな感じでやってみましたが
もっとスマートにできるんですかね？
No.34128 - 2015/11/08(Sun) 19:50:51
☆ Re: / IT
分母=1-(sin^2)/(cos^2) と変形するのが自然では？

あるいはヨッシーさんの方法で

分子=cos(tan-1)
分母=(1-tan)(1+tan) とするか
No.34130 - 2015/11/08(Sun) 19:57:44
☆ Re: / 桃
お二方ありがとうございます。
ヨッシーさんのやり方で
分母のsin−cos=cos（tan−1）となるのは
どうしてでしょうか？
何度も尋ねてすみません。
No.34133 - 2015/11/08(Sun) 22:38:07
☆ Re: / ヨッシー
sinｘ＝cosｘ・tanｘ
ですので。
No.34134 - 2015/11/08(Sun) 22:41:47
☆ Re: / 桃
助かりました。
ありがとうございました。
No.34180 - 2015/11/09(Mon) 20:44:17
★ 解答 / あああ
AP=2、AB＝4よりBP=2√５。
∠BAP＝∠ACS=90°、AB=AC=4、
90°-∠APB＝∠QAP＝∠ABPと∠QAP＝∠ACS=90°より三角形BAPと三角形QAPは相似から辺の比でAQ＝(4√5)/5
またAB=AC=4、角形BAPと三角形QAPは相似と?@より∠ASC=∠APB、∠APB=∠ACS＝90°から三角形BAPと三角形ASCは合同。
対頂角と錯角から三角形BARと三角形CRSは相似で辺の比からAR＝(4√5)/3。
AR-AQ＝(8√5)/(15)＝QR。三平方からBQ=(8√5)/(5)。
よって三角形BRQの面積＝(32)/(15)
No.34118 - 2015/11/08(Sun) 18:34:48
★ 平面図形 / SJC
添付ファイルの問い２の?Aが解き方、答えともにわかりません。詳しく教えてください。ちなみにこの問題は中３レベルの数学で解ける問題だそうです。よろしくお願いします。
No.34113 - 2015/11/08(Sun) 17:22:48
☆ Re: 平面図形 / X
確かに中学数学の範囲ですが、
かなり難度が高いです。

丸2
△ABPにおいて三平方の定理により
BP=√(AB^2+CP^2)=2√5[cm]
一方、BP⊥ASにより
△ABP∽△APQ
となるので
BP:AP=AP:PQ
BP:AP=AB:AQ
よって
2√5:2=2:PQ
2√5:2=4:AQ
となるので
PQ=(2/5)√5[cm] (C)
AQ=(4/5)√5[cm] (D)
BQ=BP-PQ=(8/5)√5[cm] (E)
一方、丸1の結果により
AC:AQ=CS:PQ
となるので(C)(D)により
4:(4/5)√5=CS:(2/5)√5
よって
CS=2[cm] (F)
更にAB//CSにより
△ABR∽△CRS
となるので
AB:CS=BR:CR
=BR:(BC-BR)
△ABCが直角二等辺三角形
であることと(F)により
4:2=BR:(4√2-BR)
これより
BR=(8/3)√2[cm] (G)
よって△BQRにおいて
三平方の定理と
(E)(G)により
QR=√(BR^2-BQ^2)
=√{((8/3)√2[cm])^2-((8/5)√5[cm])^2}
=8√(2/9-1/5)[cm]
=8√(1/45)[cm]
=(8/15)√5[cm] (H)
(E)(H)により求める面積は
(1/2)×QR×BQ=(1/2)×(8/15)√5[cm]×(8/5)√5[cm]
=32/15[cm^2]
(もっと簡単な方法があるかもしれません。
又、かなり回りくどいのでどこかに計算間違いが
あるかもしれません。ありましたらごめんなさい。)
No.34116 - 2015/11/08(Sun) 18:17:02
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー

ＢＱ＝(8/5)√5 を出すところは X さんと同じです。

△ＢＰＨ（△ＢＲＱと相似）を考えて
ＢＨ：ＰＨ＝３：１ より
ＱＲ＝ＢＱ÷３
とする方法もあります。
No.34117 - 2015/11/08(Sun) 18:26:41
★ (No Subject) / アカシロトモ
(1) x,yが正の実数のとき、次の不等式を証明せよ
y/(x+y)<log(x+y)-logx<y/x
(2)lim[x→2] {√(x^2+3)-√(x+5) }/(x^2-3x+2)を計算せよ

よろしくお願いします
No.34111 - 2015/11/08(Sun) 16:52:40
☆ Re: / X
(1)
条件から平均値の定理により
{log(x+y)-logx}/y=1/c (A)
x＜c＜x+y (B)
なるcが存在します。
x＞0,y＞0に注意すると(B)より
1/(x+y)＜1/c＜1/x
これに(A)を代入して、各辺にyを
かけると証明すべき不等式を得ます。

(2)
分母分子に
√(x^2+3)+√(x+5)
をかけて整理してみましょう。
No.34115 - 2015/11/08(Sun) 17:36:37
☆ Re: / アカシロトモ
X さん
　いつもお世話になります。
今からやってみます。
No.34125 - 2015/11/08(Sun) 19:15:37
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