ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 吉野

整数問題です。

ｂ＝４
e＝16
とわかったあとに、a＝２とわかるらしいのですが、
ｂよりaは小さいという条件しかわかっていないので、
a＝1、2、3の三つのパターンが考えられないでしょうか？？
どうぞよろしくお願い致します。

No.34744 - 2015/12/19(Sat) 18:48:22

☆ Re: / X

b=4,e=16
により
B={a^2,16,c^2,d^2,256} (A)
又
A∩B={b,e}={4,16} (B)
更に
a＜b＜c＜d＜e
により
a^2＜b^2=16＜c^2＜d^2＜e^2=256 (C)
(A)(B)(C)から
a^2=4
でなければならず
a=2
となります。

No.34749 - 2015/12/19(Sat) 19:26:16

☆ Re: / 吉野

a＝３
のときも、
示してくださったA B Ｃを満たしませんか？？？よろしくおねがいします。

No.34812 - 2015/12/22(Tue) 18:41:52

☆ Re: / ヨッシー

集合Ａの要素を、判明したものを埋めていくと
　｛ａ，４，ｃ，ｄ，１６｝
です。同様に、集合Ｂの要素を、判明したものを埋めていくとどうなりますか？
ａ＝３である可能性があるでしょうか？

No.34823 - 2015/12/23(Wed) 13:32:33

★ 相反方程式の問題について / qqqqq777jt

よろしくお願いします。
実は相反方程式の問題なのですが実は２つあるのですが、すっかり相反方程式の解き方を度忘れしてしまい
非常に困っています。
どうか解き方と答えを教えてもらえませんでしょうか？
よろしくお願いします。

問題１⇒⇒⇒X^4+X^3+X^2+X+1＝0

問題２⇒⇒⇒6X^4+15X^3+20X^2+15X+6＝0

です。よろしくお願いします。

※自力でやって見たのですがどうしても解けないので
「ヨッシーの八方掲示板」に質問をしました。
よろしくお願いします。

No.34741 - 2015/12/19(Sat) 17:55:52

☆ Re: 相反方程式の問題について / X

相反方程式
でネット検索すれば解法が書かれたサイトがヒットします。
そちらをまずご覧になってみては？。

No.34742 - 2015/12/19(Sat) 18:20:30

☆ Re: 相反方程式の問題について⇒⇒X様へ. / qqqqq777jt

X様へ

わかりました。一度「相反方程式」で検索してみます。

ただし？？「相反方程式の問題について」の内容については
引き続き教えてくれる親切な方を募集しますので
ご了承のほどを。

では「ヨッシーの八方掲示板」の掲示板の自分の
質問内容について教えてくれるかた待っています。

No.34743 - 2015/12/19(Sat) 18:34:49

★ ベクトルセンター形式 / まりも

問題1です

No.34728 - 2015/12/18(Fri) 15:52:41

☆ Re: ベクトルセンター形式 / まりも

問題2です

No.34729 - 2015/12/18(Fri) 15:54:06

☆ Re: ベクトルセンター形式 / まりも

最後の答えは
3/5 3/5 3/10なんです
平面の方程式をつくり距離でやると3/10 3/10 3/20
になってしまいます。
なぜでしょうか？
k=1/3です。

No.34730 - 2015/12/18(Fri) 15:56:34

☆ Re: ベクトルセンター形式 / ヨッシー

3分の10 は 10/3 と書きます。

α＝・・・　の右辺の分母は１８です。

No.34732 - 2015/12/18(Fri) 17:02:16

☆ Re: ベクトルセンター形式 / まりも

あ、計算ミスですね。
ありがとうございます。

No.34733 - 2015/12/18(Fri) 17:06:10

★ 数学1 / るい

よろしくお願いします。
(1)は、(15x+1)(16x-1)あってますか？
(2)は、さっぱりです。

No.34726 - 2015/12/18(Fri) 15:46:39

☆ Re: 数学1 / るい

添付ミスです。
問題こちらです。
すみません。

No.34727 - 2015/12/18(Fri) 15:47:37

☆ Re: 数学1 / ヨッシー

(1) は合っています。
　こういうのは、展開して元の式になればいいので、
　自分でもやってみてください。
　私なども、こういうご質問には、右辺→左辺の確認しかしていません。
(2)
　(与式)＝x^4＋6x^2＋9－4x^2
　　　＝(x^2＋3)^2－(2x)^2
で、２乗－２乗の形になります。
もしくは
　(x^2－ax＋b)(x^2＋cx＋d) とおいて、
　x^4＋(c-a)x^3＋(b+d-ac)x^2＋(bc-ad)x＋bd より
　c-a=0, b+d-ac＝2, bc-ad=0, bd＝9
これを解いて、
　a=c=±2, b=d=3
としても解けます。

No.34731 - 2015/12/18(Fri) 16:41:36

★ (No Subject) / ふ

答えはどうやって1になりますか？
このあとがわかりません。

No.34724 - 2015/12/18(Fri) 13:49:26

☆ Re: / ヨッシー

まず、ｅの定義より、
　ｅ＝lim[x→0](1+x)^(1/x)
であることを押さえておいて、
lim[x→0]{log(1+x)}/{x(1+x)} のどこかに、
　(1+x)^(1/x)
が現れないか考えます。

No.34725 - 2015/12/18(Fri) 15:08:56

☆ Re: / ふ

こういうことですか？

No.34734 - 2015/12/18(Fri) 18:01:55

☆ Re: / ヨッシー

流れとしてはそんな感じです。

２行目の分数の線は log の下まで延びていないといけません。
３行目、分母をｅにして、分母に０を代入したらもう lim は要りません。
（あっても間違いではありませんが、スマートではありません）

No.34735 - 2015/12/18(Fri) 18:29:39

☆ Re: / ふ

ありがとうございました！

No.34736 - 2015/12/18(Fri) 18:37:01

☆ Re: / ヨッシー

あ、分子をｅにして　でした。

No.34740 - 2015/12/18(Fri) 22:27:56

★ (No Subject) / 吉野

ナニ部分に質問です。
ユークリッドです。

No.34718 - 2015/12/17(Thu) 20:26:23

☆ Re: / 吉野

2Ｘー５Ｙ＝1をこのようにときました。
題意を満たすKは、5～20までだと思いましたが、19までだそうです。
20でもＸ＝98となり、満たしませんか？？
どうぞ宜しくお願い致します。

No.34719 - 2015/12/17(Thu) 20:28:58

☆ Re: / ヨッシー

Ｋ＝２０は満たします。
でも、Ｋ＝５は満たしませんね。
結局１５個です。

No.34721 - 2015/12/18(Fri) 01:55:15

☆ Re: / IT

> 題意を満たすKは、5～20までだと思いましたが、19までだそうです。

吉野さんの解法とその解法でx,yとkとの関係式が異なるのではないですか？（いずれも正しくて）

No.34723 - 2015/12/18(Fri) 07:27:17

☆ Re: / 吉野

なるほどです、わかりました、ありがとうございます！

No.34745 - 2015/12/19(Sat) 18:49:44

★ (No Subject) / あいらんど

座標平面において、原点O、点A(4,0)とする。点(p,1)を中心とする半径1の円をCpとするとき、CpがOAを1辺とする三角形の内接円となり得るようなpの範囲を求めよ。

No.34716 - 2015/12/17(Thu) 20:12:03

☆ Re: / X

P(p,1)とすると条件から線分OP,APはCpを内接円とする
三角形(Dとします)の二つの内角の二等分線となります
ので、この２つの内角の和について
0＜2∠AOP+2∠OAP＜π
∴0＜∠AOP+∠OAP＜π/2
よって△OAPに注目して
0＜π-∠OPA＜π/2
となるので
π/2＜∠OPA＜π (A)
一方、△OAPについて余弦定理により
cos∠OPA={(p^2+1)+((p-4)^2+1^2)-4^2}/{2√{(p^2+1)((p-4)^2+1^2)}}
=(p^2-4p+1)/√{(p^2+1)(p^2-8p+17)} (B)
(A)(B)より
-1＜(p^2-4p+1)/√{(p^2+1)(p^2-8p+17)}＜0
これより
-√{(p^2+1)(p^2-8p+17)}＜p^2-4p+1 (C)
p^2-4p+1＜0 (D)
(C)(D)を連立して解きます。
(D)より
2-√3＜p＜2+√3 (D)'
一方(D)より(C)は
√{(p^2+1)(p^2-8p+17)}＞-(p^2-4p+1)＞0
となるので
(p^2+1)(p^2-8p+17)＞(p^2-4p+1)^2
これより
p^4+18p^2-8p^3-8p+17＞p^4+16p^2+1-8p^3-8p+2p^2
∴16＞0
となるので(C)は任意の実数pに対して成立。
以上から求めるpの値の範囲は
2-√3＜p＜2+√3
となります。

No.34720 - 2015/12/17(Thu) 22:54:53

☆ Re: / あいらんど

ありがとうございます！

No.34722 - 2015/12/18(Fri) 07:21:21

★ 数列 / おまる

いつもお世話になっております。
次の問題の解答で、わからないところがあるので教えて欲しいです。
右ページ初めの、a(n)-2/3b(n)はどのように考えて作られたのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.34705 - 2015/12/16(Wed) 09:08:19

☆ Re: 数列 / ヨッシー

丸1, 丸2 の代わりに (1), (2) を使います。

目指すところは、(1)(2)から
　a[n]＋mb[n]＝n(a[n-1]＋mb[n-1])　・・・(3)
の形にすることです。
(1)＋m(2) を計算すると
　a[n]＋mb[n]＝(5+3m)a[n-1]/8＋(1+3m)b[n-1]/4
　a[n]＋mb[n]＝(5+3m)/8・{a[n-1]＋2(1+3m)b[n-1]/(5+3m)}
となり、(3) と比較すると
　m＝2(1+3m)/(5+3m)
これを解いて
　m＝1, -2/3
が得られ、n＝(5+3m)/8 より
　(m,n)＝(1,1), (-2/3, 3/8)
を得ます。(3) に代入して
　a[n]＋b[n]＝a[n-1]＋b[n-1]　
　a[n]－(2/3)b[n]＝(3/8)(a[n-1]－(2/3)b[n-1])　
の２式が得られます。

※２枚目の画像も逆さまで、１枚目より画質も悪かったので消去しました。

No.34708 - 2015/12/16(Wed) 10:51:00

☆ Re: 数列 / おまる

ご回答ありがとうございました。
お手数おかけして申し訳ありませんでした。
よく理解することができました。

No.34710 - 2015/12/16(Wed) 13:51:48

★ (No Subject) / 吉野

ユークリッドのもんだいです。
クケコ部分は、
126kー11l＝1です。
サシスセを求めたいです。

No.34701 - 2015/12/16(Wed) 00:49:52

☆ Re: / 吉野

といたらこのようになり、
右辺が－1
となってしまいました。どこが間違えているのかご指摘いただきたいです、お願い致します。

No.34702 - 2015/12/16(Wed) 00:51:22

☆ Re: / ヨッシー

最後の式
　－２・１２６＋２３・１１＝１
は
　１２６ａ＋１１ｂ＝１
の一つの整数解（自然数解ではない）を示したものです。
a を11増やして、b を126 減らしてもこの式は成り立ちます。
それによって、
　９・１２６-１０３・１１＝１
が得られます。

No.34709 - 2015/12/16(Wed) 11:18:30

☆ Re: / 吉野

できました！！
どうもありがとうございました！

No.34717 - 2015/12/17(Thu) 20:25:27

★ (No Subject) / 吉野

以下の問題の解釈について

mとnが同じ数字という可能性も考慮して解いていくのでしょうか？？それとも別な数字でしょうか...？

No.34698 - 2015/12/15(Tue) 19:14:37

☆ Re: / ヨッシー

普通は、ｍ＝ｎの場合も含んでいいと思います。

画像に写っていない部分の問題を見ないと何とも言えませんが、
ｍ＝ｎを考慮した場合と、しない場合とで、答えが変わるような
微妙な問題ではないと思いますが。

No.34700 - 2015/12/15(Tue) 20:37:31

☆ Re: / 吉野

因みに続きはこれです。いかがでしょうか？？？

No.34703 - 2015/12/16(Wed) 00:54:30

☆ Re: / ヨッシー

ア、イ、ウが何かはわかりませんが、エ、オを見る限りでは
ｍ＝ｎを考慮してもしなくても同じです。
ｐ，ｑ，ｒ，ｓを決定するための
Ｕの要素の属性としては、奇数である、４の倍数でない偶数である
だけであるので、たとえば、
ｐ＝１，ｑ＝１で成り立つものはｐ＝１，ｑ＝３でも成り立ちますし、
ｐ＝２，ｑ＝２で成り立つものはｐ＝２，ｑ＝６でも成り立ちます。

No.34707 - 2015/12/16(Wed) 10:31:14

☆ Re: / 吉野

すみません、ちょっとよくわからないのですが、
このように細かく考えるのではありませんか？？？

No.34711 - 2015/12/16(Wed) 16:28:31

☆ Re: / ヨッシー

まず（エ）ですが、
ｐ→ｑ~ の真偽
ｍが奇数のとき　ｍ＋２ｎは奇数なので４の倍数でない
ｎが偶数のとき　２ｎは４の倍数だが、ｍは４の倍数でないので、
　ｍ＋２ｎは４の倍数でない
よって、ｐ→ｑ~ は真
この場合、ｎが２か６かによらず　２ｎは４の倍数ですし、
ｍがＵのどんな要素でも、４の倍数はないので、ｍ＝ｎか
ｍ≠ｎかを区別する必要はありません。

で、ｐ→ｑ~ の方は「（ア）より」と書いてあるので、
すでに解かれているのかと思いますが、一応。
対偶　ｐ~→ｑの真偽を調べます。
つまり　
「ｍが偶数かつｎが奇数のとき、ｍ＋２ｎは４の倍数」の真偽です。
ｍは４ｓ＋２、ｎは２ｔ＋１で表されるので、
　ｍ＋２ｎ＝４（ｓ＋ｔ＋１）　・・・４の倍数
よって、ｐ→ｑ~ は真であり、（エ）は必要十分条件

次に（オ）は
ｒ→ｓの真偽
偽。反例ｍ＝１，ｎ＝３
ｓ→ｒの真偽
Ｕには４の倍数は含まれていないので、
ｍｎが４の倍数となるのは、ｍ，ｎともに偶数のとき。
このとき、ｍ＋ｎは偶数であるので
ｓ→ｒは真であり、（オ）は必要条件
これも、ｍ、ｎのどちらも２とか、どちらも６とか、
２と６とかにかかわらず言えることですので、
ｍ＝ｎかどうかについて思案する必要はありません。

No.34712 - 2015/12/16(Wed) 22:24:19

★ (No Subject) / 吉野

カキク部分に質問です。

No.34696 - 2015/12/15(Tue) 19:00:38

☆ Re: / 吉野

このようにといたのですが、答えが合いません。解き方がいけないでしょうか？よろしくお願い致します。

No.34697 - 2015/12/15(Tue) 19:03:52

☆ Re: / ヨッシー

ＡＦ＝４ではないです。

でもって、ＡＦを計算し直したら、図をチョー丁寧に描きましょう。
すると、ＥＦは一目瞭然です。

No.34699 - 2015/12/15(Tue) 20:30:18

☆ Re: / 吉野

できました！！！ありがとうございました！

No.34704 - 2015/12/16(Wed) 00:58:39

★ 数学１ / るい

いつもお世話になります。
よろしくお願いします。

No.34694 - 2015/12/15(Tue) 13:27:05

☆ Re: 数学１ / ヨッシー

(2)
△ＡＰＱにおける余弦定理より
　ＰＱ^2＝2^2＋3^2－2・2・3cos60°＝7
よって、　ＰＱ＝√7
ＱＲ，ＲＰも同様にして求められます。

△ＰＱＲにおける余弦定理より
　cos∠ＲＰＱ＝(RP^2＋PQ^2－QR^2)／2RP・PQ
さらに
　sin∠ＲＰＱ＝√(1－cos^2∠ＲＰＱ)
　Ｓ2＝(1/2)RP・PQ・sin∠ＲＰＱ
からそれぞれ求められます。

一方、四面体ＡＢＣＤの体積が 18√2 であることを別途求めておいて、
　Ｖ2＝18√2・(AP/AB)(AQ/AC)(AR/AD)
よりＶ2を求め、求める垂線の長さをｈとすると
　Ｖ2＝Ｓ2×ｈ÷３
であることから逆算して、ｈを求めます。

ｈが 5√3/2 になったら、途中も多分あっているでしょう。

No.34695 - 2015/12/15(Tue) 18:00:04

★ 数学１ / るい

先程はありがとうございました！
再びヨロシクおねがいします。

No.34692 - 2015/12/14(Mon) 11:20:51

☆ Re: 数学１ / X

丸に数字は文字化けする可能性がありますので
x^2-5x+k=0 (A)
と置いておきます。

(A)の解の判別式をDとすると、条件から
D=25-4k＞0
∴k＜25/4 (B)
(1)
(A)に対して解と係数の関係から
α+β=5 (C)
αβ=k (D)
よって題意を満たすためには
k＞0
かつ(B)
∴0＜k＜25/4
(2)
(i)
条件のとき、(A)より
α=(5-√21)/2,β=(5+√21)/2
ここで4＜√21＜5により
(5-5)/2＜α＜(5-4)/2
(5+4)/2＜β＜(5+5)/2
∴
0＜α＜1/2
9/2＜β＜5
よって
m=0,n=4
(ii)
条件から
α=m+a
β=m+10+b
(0≦a＜1,0≦b＜1 (P))
と置くことができます。
これらを(C)(D)に代入して
2m+10+a+b=5 (C)'
(m+a)(m+10+b)=k (D)'
(C)'より
a+b=-2m-5 (C)"
一方(P)より
0≦a+b＜2
(C)"を代入して
0≦-2m-5＜2
これより
-7/2＜m≦-5/2
mは整数なので
m=-3 (E)
これを(C)"(D)'に代入して
a+b=1 (G)
(-3+a)(7+b)=k (H)
(G)(P)より
0＜a＜1,0＜b＜1 (I)
一方(H)より
b=-7+k/(a-3) (H)'
よって横軸にa,縦軸にbを取った
(G)(H)'のグラフが(I)の範囲で
交点を持つ条件を考えて
-7+k/(0-3)＜1 (J)
-7+k/(1-3)＞0 (K)
(B)(J)(K)を連立して解き
-24＜k＜-14

No.34693 - 2015/12/14(Mon) 12:01:30

★ 数学１ / るい

お願いします。

No.34686 - 2015/12/14(Mon) 09:12:48

☆ Re: 数学１ / ヨッシー

(1)
(i)
－２＜ｘ＜４
３＜ｙ＜５
の各辺を足して　１＜ｘ＋ｙ＜９
(ii)
－２＜ｘ＜４
－５＜－ｙ＜－３
の各辺を足します。
(iii)
０≦ｘ^2＜１６
－５＜－ｙ＜－３
の各辺を足します。

(2)
(i)
３ｘ－９＜ｘ^2－２ｘ－３　の解と
ｘ^2－２ｘ－３＜ｘ^2＋ｘ－６の解の共通部分が答えです。
１＜ｘ＜２，　３＜ｘとなるはずです。

(ii)
２ｘ＋２＜０の時はこの不等式を満たすｘは存在しない。
２ｘ＋２≧０のとき
　－２ｘ－２＜ｘ^2－２ｘ－３＜２ｘ＋２
を解きます。
１＜ｘ＜５　となります。

No.34687 - 2015/12/14(Mon) 09:50:05

★ 解けるのか解けないのか。です。どうでしょうか。 / 漸化式Cnについて。

Cn=3／8・An。＋1／2・Bn 。＋1／2・Cn
Cnの初項C1=3／8
An=(1／8)∧n
Bn=3(1／4)∧n。ー3(1／8)∧n

答え(？)のCn=2(1／2)∧n。ー3 (1／4)∧n。＋(1／8)∧n

参考までにCnは…と書いてあるだけで、解けるかは分かりませんでした。自力では解けなかったのですが、もしかしたら何か見落としているのでは、と思い、質問させていただきました。
また、先日の質問に丁寧に答えてくださり、ありがとうございます。

No.34680 - 2015/12/13(Sun) 22:42:38

☆ Re: 解けるのか解けないのか。です。どうでしょうか。 / X

条件式を上から順に(A)(B)(C)(D)とします。
(A)の右辺の第一項、第二項はいずれも定数
であることに注意して
c[n+1]-{(3/4)a[n[0]]+b[n[0]]}=(1/2){c[n]-{(3/4)a[n[0]]+b[n[0]]}}
と変形すると
c[n]={c[1]-{(3/4)a[n[0]]+b[n[0]]}}(1/2)^(n-1)+(3/4)a[n[0]]+b[n[0]] (A)'
ここで(C)(D)より
a[n[0]]=(1/8)^n[0] (C)'
b[n[0]]=3・(1/4)^n[0]-3・(1/8)^n[0] (D)'
(A)'に(B)(C)'(D)'を代入して整理します。

No.34684 - 2015/12/14(Mon) 06:51:15

☆ Re: 解けるのか解けないのか。です。どうでしょうか。 / X

但し、こちらの計算では
>>Cn=2(1／2)∧n。ー3 (1／4)∧n。＋(1／8)∧n
とはなりませんでした。
漸化式(A)からc[n]に(1/8)^nの項は出てくることは
ありえませんので、問題文か答えにタイプミスが
あると思います。

No.34685 - 2015/12/14(Mon) 06:57:33