各面に１〜８の数字が書かれたどの面も同じ確率で出現する８面さいころがあります。このさいころをｎ回ふって出た目の数を円周上に並べるとき、隣り合う数すべてが異なる確率を求めなさい。
よろしくお願いします。
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No.33954 - 2015/11/02(Mon) 17:36:42
| ☆ Re: 確率 / IT | | | （過去に回答した 本問に応用できる類題がありましたので流用しました。そのため色塗りの問題になっています。）
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輪状に並んだ区別の付くn個のものにk色以内の色を隣り合う色は異なるように塗る方法の数（「求める塗り方の数」という）は、{(k-1)^n}+{(-1)^n}(k-1) 通りである。
(証明)
「k色以内の色を隣り合う色は異なるように塗る」を「条件」と書きます。
一列に並んだn個のものを条件を満たすように塗る方法の数をa(n)とおくと、
先頭の塗り方はk通り、その後のn-1個については、それぞれ(k-1)通りなので
a(n)=k(k-1)^(n-1)
このうち先頭と末尾の色が同じものの数をb(n)とおくと、求める塗り方の数は、a(n)-b(n)である。
n+1個の列を条件を満たすように塗る方法のうち先頭と末尾が同じ色であるもの…Aと
n個の列を条件を満たすように塗る方法のうち先頭と末尾が異なる色であるもの…Bと、
は1対1に対応する.(なぜならAの末尾を除くとBになり、Bの末尾に先頭と同じ色を追加するとAになる）
したがって
b(n+1)=a(n)-b(n),そしてb(1)=k,b(2)=0である。
b(n+1)+b(n)=a(n)= k(k-1)^(n-1)
この漸化式を解くと、b(n)=(k-1)^(n-1)+{(-1)^(n-1)}(k-1)
よって、求める塗り方の数a(n)-b(n)={(k-1)^n} +{(-1)^n}(k-1)
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今回はk=8なので (7^n) +{(-1)^n}7とおり
よって求める確率は {(7^n) +7(-1)^n}/(8^n)
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No.33964 - 2015/11/02(Mon) 20:37:00 |
| ☆ Re: 確率 / さとし（高３） | | | ありがとうございます。
色塗りの解説はとてもよくわかりました。
実際の答案では
a(n)=8x7^(n-1),b(n+1)=a(n)-b(n),b(1)=8,b(2)=0
の条件から
b(n+1)+b(n)=a(n)=8x7^(n-1)
の漸化式を解いて
確率P(n)={a(n)-b(n)}/(8^n)
を求めるという手順でいいのでしょうか？
ところで漸化式b(n+1)+b(n)=a(n)=8x7^(n-1)は
どのように解くのですか？
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No.33992 - 2015/11/03(Tue) 21:01:15 |
| ☆ Re: 確率 / IT | | | > 実際の答案では
・・・
> を求めるという手順でいいのでしょうか？
いいと思います。
>
> ところで漸化式b(n+1)+b(n)=a(n)=8x7^(n-1)は
> どのように解くのですか？
他にもあると思いますが
c(n)={(-1)^n}b(n)とおくと
b(1)=-c(1),b(2)=c(2),c(1)=-8,c(2)=0
c(2)-c(1)=b(2)+b(1)=8x7^(1-1)
c(3)-c(2)=-{b(3)+b(2)}=-8x7^(2-1)
c(4)-c(3)=b(4)+b(2)=8x7^(3-1)
・・・
c(n+1)-c(n)は公比-7の等比数列になります。
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No.33994 - 2015/11/03(Tue) 21:12:20 |
| ☆ Re: 確率 / IT | | | b(n+1)+b(n)=8x7^(n-1)…(1)
b(n+2)+b(n+1)=8x7^n…(2)
(2)-(1)
b(n+2)-b(n)=8x7^n-8x7^(n-1)=48x7^(n-1) としても出来ると思います。
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No.33997 - 2015/11/03(Tue) 21:25:18 |
| ☆ Re: 確率 / IT | | | 下記がきれいでしたね。
b(n+1)+b(n)=8x7^(n-1)=7^n+7^(n-1)
b(n+1)-7^n=(-1){b(n)-7^(n-1)}
b(n)-7^(n-1)={(-1)^(n-1)}{b(1)-1}={(-1)^(n-1)}7
b(n)=7^(n-1)+{(-1)^(n-1)}7
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No.33999 - 2015/11/03(Tue) 22:17:27 |
| ☆ Re: 確率 / さとし（高３） | | | ３種類もの解法をありがとうございます。
問題の解き方もとてもよく分かりました。
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No.34015 - 2015/11/04(Wed) 17:02:39 |
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