次の問題が解けなくて困っています。数学の得意そうな方何人かにも聞きましたが、誰も解けませんでした。大学入試（難関大）の問題なので難しいのでしょうか？
〔問題〕
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No.34234 - 2015/11/11(Wed) 08:28:10
| ☆ Re: 再質問 / IT | | | (1) ある自然数kがあって、α≧α[k]+1/10^kとすると
(b)より P[m]≦8となる,kより大きい自然数mがある。
m以上のすべての自然数nについて
α[n]＝α[k]+p[k+1]/10^(k+1)+p[k+2]/10^(k+2)+...+p[m]/10^m+p[m+1]/10^(m+1)+ ...+ p[n]/10^n
≦α[k]+9/10^(k+1)+9/10^(k+2)+...+8/10^m+9/10^(m+1)+ ...+ 9/10^n
≦α[k]+9/10^(k+1)+9/10^(k+2)+...+9/10^m
＝α[k]+1/10^k-1/10^m
≦α-1/10^m
すなわち α[n]≦α-1/10^m
これは lim[n→∞]α[n]＝α に反する。
よって任意の自然数nについてα＜α[n]+1/10^n
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No.34236 - 2015/11/11(Wed) 19:42:34 |
| ☆ Re: 再質問 / IT | | | (2)αの互いに異なる小数展開{p[n]},{q[n]}があるとする。
α[n]=p[1]/10^1+p[2]/10^2+...+p[n]/10^n
β[n]=q[1]/10^1+q[2]/10^2+...+q[n]/10^n とおく
lim[n→∞]α[n]＝α,lim[n→∞]β[n]＝αである。
p[k]≠q[k]となる最小の自然数をkとする。p[k]≧q[k]+１としても一般性を失わない。
(1)より α＜β[k]+1/10^k
α[k]≧β[k]+1/10^k＞αなので
α[k]-α＝dとおくと d＞0
k以上の任意の自然数nについて α[n]≧α[k]≧α+d
これは lim[n→∞]α[n]＝α に反する。
よってαの小数展開は、唯一つに限る。
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No.34238 - 2015/11/11(Wed) 20:18:08 |
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