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方程式、不等式への応用 / ぽん
方程式27^x-3^(2x+1)+a=0が異なる2つの実数解をもつような定数aの値の範囲を求めよ、という問題がわかりません。
宜しければ解説をお願いします。

ちなみな答えは0<a<4です。

No.34301 - 2015/11/16(Mon) 18:17:24

Re: 方程式、不等式への応用 / ヨッシー
27=3^3 であるので、上の式は
 3^3x−3・3^2x+a=0
と書けます。X=3^x とおくと、
 X^3−3X^2+a=0
という3次関数になります。(ただし X>0)
 f(X)=X^3−3X^2+a
とおくと
 f'(X)=3X^2−6X
よって、X=0 で極大値、X=2 で極小値となります。
よって、異なる2つの実数解を持つには
 f(0)>0 かつ f(2)<0
 f(0)=a>0
 f(2)=a−4<0
以上より 0<a<4 となります。

※もう1つ X<0 の範囲にXの実数解がありますが、対応するxの実数解がないので、xの実数解としては2つです。

No.34302 - 2015/11/16(Mon) 19:17:24

Re: 方程式、不等式への応用 / ぽん
とても流れがわかりやすかったです!
ありがとうございます。

ちなみに、f'(x)を出したあと、よってx=0で極大値x=2で極小値とあるのですが、それらはどのようにわかったのでしょうか?

お手数ですが教えていただけませんか。
宜しくお願いします

No.34303 - 2015/11/16(Mon) 19:28:18

Re: 方程式、不等式への応用 / ヨッシー
f'(X)=3X^2−6X=0 の解が
 X=0, 2
であることはおわかりですね?

元の3次関数のx^3 の係数が正なので、xがマイナスで
ずっと小さい(絶対値が大きい)とき、f(x) も、マイナスで
ずっと小さい値を取ります。
プラスで大きいときは、f(x) もずっと大きくなります。

すると、グラフの形は左下から上がって下がって上がって右上に
抜けていく形になります。
よって、X=0, 2 のうち、X の小さい方が極大で、大きい方が極小になります。

No.34304 - 2015/11/16(Mon) 20:32:10

Re: 方程式、不等式への応用 / ぽん
理解できました!
ありがとうございました!

No.34305 - 2015/11/16(Mon) 21:23:14
最大値最小値 / K
この関数の最大値と最小値を出したいのですが、わかりません、
範囲はxの範囲は0以上π/2以下です
ご教授お願いします。

No.34298 - 2015/11/16(Mon) 17:24:58

Re: 最大値最小値 / ヨッシー
 y=2sin^2x−cosxsinx+3cos^2x
  =2(sin^2x+cos^2x)+cos^2x−cosxsinx
cos^2x=(cos(2x)+1)/2, sin(2x)=2sinxcosx より
 y=2+(cos(2x)+1)/2+sin(2x)/2
  =5/2+(sin(2x)+cos(2x))/2
  =5/2+√2sin(2x+π/4)/2
と変形できます。

No.34299 - 2015/11/16(Mon) 17:47:21
高校生のベクトルの問題です / 元太郎
平面上の異なる3点O.A,Bは同一直線上にないものとする。この平面上のPが2|OP|^2-OA•OP+2OB•OP-OA•OBを満たすとき、Pの軌跡が円となることを示しなさい。

よろしければ、解説をお願いします。。

No.34297 - 2015/11/16(Mon) 17:10:14

Re: 高校生のベクトルの問題です / ヨッシー
 2|OP|^2−OAOP+2OBOPOAOB=0
とします。

点A()、点B() を直径とする円上の点P()のベクトル方程式は
 ()・()=0
と表せます。この形を目指します。

OAOBOP とおくと、
 2||^2−+2=0
 2・()−・()=0
 (2)・()=0
 (/2)・(−(−))=0
よって、点Pは、/2、− を表す点を直径とする円上にあります。


No.34300 - 2015/11/16(Mon) 17:50:10
(No Subject) / 数学大好き
1/n+1)+1/(n+2)+・・・+1/(n+n)=1/1・2+1/3・4+・・・+1/(2n-1)2n の証明

 帰納法らしいのですが、n=k+1 の式変形がうまくいきません。よろしくお願いします。

No.34289 - 2015/11/15(Sun) 19:09:44

Re: / ヨッシー
帰納法必須なのでしょうか?
帰納法でなければ、
A=1/1+1/2+1/3+・・・1/n+1/(n+1)+・・・+1/2n
B=1/2+1/4+・・・+1/2n
C=A−B=1/1+1/3+1/5+・・・+1/(2n-1)
とおくと、
(右辺)=1/1−1/2+1/3−1/4+・・・+1/(2n-1)−1/2n
  =C−B
  =A−2B
一方、
 2B=2(1/2+1/4+・・・+1/2n)
  =1/1+1/2+1/3+・・・+1/n
よって、
 A−2B=(1/1+1/2+1/3+・・・1/n+1/(n+1)+・・・+1/2n)−(1/1+1/2+1/3+・・・+1/n)
  =(左辺)
のように証明できます。

No.34290 - 2015/11/15(Sun) 19:26:15

Re: / 数学大好き
 これは、すごいです。でも、経験値なのでしょうか。自力でこの証明は思いつかないので覚えておくようにします。どうも、有り難う御座いました。
No.34291 - 2015/11/15(Sun) 19:55:07

Re: / ヨッシー
帰納法でやるなら、
 1/(k+1)+・・・+1/2k=1/1・2+1/3・4+・・・+1/(2k-1)2k ・・・(i)
が成り立っているとき、
 1/(k+2)+・・・+1/(2k+2)=1/1・2+1/3・4+・・・+1/(2k-1)2k+1/(2k+1)(2k+2) ・・・(ii)
が成り立つことを証明するわけですが、
(i) の式をSとおくと、
 (ii)の左辺=S−1/(k+1)+1/(2k+1)+1/(2k+2)
  =S+1/(2k+1)−1/(2k+2)
  =S+1/(2k+1)(2k+2)
  =(ii)の右辺
のように示すことが出来ます。

上の方の証明は、経験値といえば経験値ですかね。
知ってはいました。

No.34292 - 2015/11/15(Sun) 20:15:23

Re: / 数学大好き
ご丁寧に有り難う御座います。でも、こっちの方が私には難しいです。最初の方がスッキリしていると思います。自力でできるように復習しておきます。どうも、有り難う御座いました。
No.34295 - 2015/11/16(Mon) 10:36:44
高校数学の大学受験問題です! / ななみ
よろしければ解答や解説をお願いします!(>_<)
No.34286 - 2015/11/15(Sun) 15:18:43

Re: 高校数学の大学受験問題です! / ヨッシー
(1)
省略
(2)
A(a, 0), B(0,k-a) (0≦a<k) を一辺とする正方形が
考えられるので k 個。
(3)
q[1]=1, q[2]=6, q[3]=20
(4)
 q[n]=Σ[k=1〜n](n-k+1)^2・k=n(n+1)^2(n+2)/12

(3) は、例えば、n=3 のとき、
1辺1の正方形の辺上の点で出来る1個((2) のk=1 の場合) が9個
1辺2の正方形の辺上の点で出来る2個((2) のk=2 の場合) が4個
1辺3の正方形の辺上の点で出来る3個((2) のk=3 の場合) が1個 で
 9・1+4・2+1・3=20
これを一般的にしたのが(4)です。

No.34288 - 2015/11/15(Sun) 16:24:24
テスト / サキ
(2)このやり方でも解けるとは思うのですが
計算がよくわからなくて先に進みません…

No.34284 - 2015/11/15(Sun) 14:58:34

Re: テスト / IT
a,bは実数ですか? そうであれば
与式:(|a+b|+|b|)^2-|a|^2 を展開して整理すると

2(a+b)b+|2(a+b)b|になりますから
任意の実数xについてx+|x|≧0、を認めれば 与式≧0が言えますね。

No.34287 - 2015/11/15(Sun) 16:20:49
(No Subject) / ぬーん
三行三列目の8を1にすると計算がややこしくて
わからないので、教えてください。
途中まではあってると思います。

No.34282 - 2015/11/15(Sun) 09:37:01

Re: / ヨッシー
8で割るところを、8掛けているところがあります。
No.34283 - 2015/11/15(Sun) 10:27:16
場合の数 / ふぇるまー
解き方があっているか心配なので、合っているかetc.御教授くださいませ。

問:男の先生が1人、女の先生が1人、男子生徒と女子生徒がそれぞれ2人ずつの計6人が円卓に着席する。
先生2人、男子生徒2人、女子生徒2人がそれぞれ隣り合う方法は□通りある。

<解> 先生2人、男子生徒2人、女子生徒2人をそれぞれ1人ずつとみなして計3人の円順列を考えると、(3-1)!=2通り。
先生、男女の生徒はそれぞれ2人ずつであり、2人の座り方は、2!×2!×2!=8通り。
∴ 2×8=16通り 

どうでしょうか?

No.34280 - 2015/11/15(Sun) 08:33:43

Re: 場合の数 / ヨッシー
正解です。

解き方も良いと思います。

No.34281 - 2015/11/15(Sun) 09:07:58

Re: 場合の数 / ふぇるまー
有難う御座いました
No.34285 - 2015/11/15(Sun) 15:03:14
数学的帰納法 / まき
⑵からわかりません。
No.34275 - 2015/11/14(Sat) 21:10:22

Re: 数学的帰納法 / IT
(1)はどうなりましたか?
a[5]も求めて見てください。 分子・分母の規則性が見えてきませんか?

No.34276 - 2015/11/14(Sat) 21:52:57

Re: 数学的帰納法 / まき
⑵の、a[n]を推測まではできました。
No.34277 - 2015/11/14(Sat) 23:32:35

Re: 数学的帰納法 / IT
> ⑵の、a[n]を推測まではできました。
どうなりましたか?


数学的帰納法の第一段階、仮定、示すべき次のステップ、結論は、それぞれどう書けますか? できるところまで書いてください。

No.34278 - 2015/11/15(Sun) 00:24:30

Re: 数学的帰納法 / まき
⑵までできました。
しかし、⑶が、わかりません。

No.34293 - 2015/11/15(Sun) 21:32:17

Re: 数学的帰納法 / IT
b[n]=(2n+1)/{(2^n)a[n]}に(2)で求めたa[n]を代入すると
b[n]=2n/(2^n) - 1/(2^n) になると思います。

1/(2^k)の和は等比数列の和です

k/(2^k)の和は
T =1/(2^1)+2/(2^2)+3/(2^3)+.....+n/(2^n)
2T=1/(2^0)+2/(2^1)+3/(2^2)+.....+n/(2^(n-1))
として2T-Tを各項を斜めに対応させて引くことによって
2T-T=1/(2^0)+1/(2^1)+1/(2^2)+...+1/(2^(n-1))-n/(2^n)
とすると、中に等比数列の和が出来ます。

No.34294 - 2015/11/15(Sun) 22:41:17
(No Subject) / ぬーん
(4)と(5)の行列の計算方法がわかりません。
(4)は3乗をどのように計算しますか?
(5)は行列を簡単にするために、はきだしたのですが、
うまく計算できませんでした。
教えてください。

No.34271 - 2015/11/14(Sat) 14:23:46

Re: / ヨッシー
A^3=AA^2=A^2A であり、AとA^2 の掛ける順はどちらでも構いません。


No.34272 - 2015/11/14(Sat) 16:42:33

Re: / ぬーん
ありがとうございました!
No.34273 - 2015/11/14(Sat) 18:11:52
(No Subject) / 数学大好き
2つの複素数zとwとの間に w=(z+i)/(z+1) z≠0 の関係がある。
zが複素数平面上の虚軸を動くとき、wの軌跡を求めよ。

 この問題は、「虚軸上にある」ので共役複素数との和が0になる式に
与式をZについて解いた式を代入してみたのですが、解答と合いません。
 
 途中の式を教えて頂けたら嬉しいです。

No.34270 - 2015/11/14(Sat) 13:13:01

Re: / X
例えば、zの共役複素数を\zと書くことにします。

w=(z+i)/(z+1) (A)
から
w(z+1)=z+i
(w-1)z=-w+i
z=(-w+i)/(w-1) (B)
一方、題意から
z+\z=0 (C)
z≠0 (D)
(B)(C)より
(-w+i)/(w-1)+(-\w-i)/(\w-1)=0
これより
(-w+i)(\w-1)+(-\w-i)(w-1)=0
(-w\w+w+\wi-i)+(-w\w-iw+\w+i)=0
(w\w-w-\wi+i)+(w\w+iw-\w-i)=0
2w\w-(1-i)w-(1+i)\w=0
w\w-{(1-i)/2}w-{(1+i)/2}\w=0
{w-(1+i)/2}{\w-(1-i)/2}=1
{w-(1+i)/2}\{w-(1+i)/2}=1
|w-(1+i)/2|^2=1
|w-(1+i)/2|=1 (C)'
一方(A)(D)より
w≠i
よって求める軌跡は
(1+i)/2に対応する点を中心とする半径1の円
(但し、iに対応する点を除く)
となります。

No.34274 - 2015/11/14(Sat) 18:17:50
(No Subject) / ちぬわ
abcの面積を使ってBHを求めるのですが、S=2/1*AC+BH の意味が分かりません。
No.34268 - 2015/11/14(Sat) 08:17:18

Re: / X
ACを△ABCの底辺と見ると、BHは高さとなります。
No.34269 - 2015/11/14(Sat) 12:29:01
/ 納豆菌
図において、2円O、O'の半径はそれぞれ2、5で、中心間の距離OO'=9とする。共通接線の接点をA、A'、B、B'とするとき、線分BB'の長さを求めよ。
この問題がわかりません。直線OO'と接線BB'の交点をEとして点OからB'に、O'からBに垂線をおろし、△OB'Eと△O'BEの相似な三角形の比から求められるかなーと考えたのですが、自信はなく、もっとスッキリ解ける解法があるか知りたいです。お願いします。

No.34262 - 2015/11/14(Sat) 00:03:03

Re: 円 / 納豆菌
写真が見にくくてすいません。
No.34263 - 2015/11/14(Sat) 00:04:21

Re: 円 / ヨッシー

OB,O’B’ はBB’に垂直なので、図のように
長方形OBB’Cを作れば、OCがBB’に等しくなります。

No.34264 - 2015/11/14(Sat) 01:40:37

Re: 円 / 納豆菌
なるほど‼︎ありがとうございました
No.34267 - 2015/11/14(Sat) 07:46:04
(No Subject) / か
n個のサイコロを振ったとき、どの2つの目の数の和が7にならない確率を求めよ。ただし、n≧3とする。
No.34261 - 2015/11/13(Fri) 23:24:03

Re: / ヨッシー
出る目が1種類の場合、2種類の場合、3種類の場合に分けて目の出方を調べます。
No.34266 - 2015/11/14(Sat) 01:49:05
(No Subject) / か
数列
an=c^n/n!(nは0.1.2.3....)で定義された数列[an]がある。このanを最大にするようなnを求めよ。ただしcはnに無関係な正の定数とする。

お願いします。

No.34260 - 2015/11/13(Fri) 23:19:14

Re: / ヨッシー
a[n] は正なので、a[n+1]/a[n] を調べ、これが
1より大きい間は増加、1未満になったら減少に転じます。
その変わり目が最大です。

No.34265 - 2015/11/14(Sat) 01:45:10
平行四辺形のベクトルについて / むっく
閲覧いただき、ありがとうございます。

平行四辺形であるABCDがあり、AB = 1、AD = x、
また、角A = 120°である。
さらに、点 E , Fを直線 BC , BD 上にAEとBCが垂直、AFとABが垂直となるようにとる。
ABベクトルをaベクトル、ADベクトルをbベクトルとします。

1.AEベクトル AFベクトル をaベクトル、bベクトル、xで表しなさい。
2.三角形 AEF が直角三角形となる、xの値を求めなさい。

という問題です。
ベクトルが苦手で私にとって、少し難度が高いです。
どなたかご教示お願いします。

No.34254 - 2015/11/13(Fri) 18:07:09

Re: 平行四辺形のベクトルについて / ヨッシー
 AEAB+sAD
と書けるので、
 AEBC
  =(+s)・
  =+s||^2
=ーx/2 であるので、
 AEBC=-x/2+sx^2=0
x>0 より s=1/2x
よって、
 AE/2x
同様に
 AF=(x/2)

∠FAEは60°なので、直角になるとしたら
∠AFEか∠AEFです。
それぞれについて、
 AFEF=0
 AEEF=0
からxを求めます。

No.34255 - 2015/11/13(Fri) 19:06:00

Re: 平行四辺形のベクトルについて / むっく
ヨッシー様、迅速な対応ありがとうございます。
無事に解決することが出来ました。
垂直条件を多用することは完全に抜けていました。

貴重なお時間を割いていただき、ありがとうございました。

No.34259 - 2015/11/13(Fri) 21:01:37
極限 / みぽりん
a,b,cを実数の定数とし、a>0とする。2次関数f(x)=ax^2+bx+cが
lim f(x)/(x-1)=1 [x→1] をみたすとき、b,cをそれぞれaで表せ。

bは、帯分数に直して、おそらく、b=-2a+1だと思うのですが、
cの求め方が分かりません。

No.34252 - 2015/11/13(Fri) 15:56:31

Re: 極限 / ヨッシー
解答の最初の方に
 f(1)=0
より a+b+c=0
よって、c=-a-b
 ・・・
というくだりがあったはずです。
c=-a-b なので、
 c=a-1
です。

No.34253 - 2015/11/13(Fri) 16:51:59
中学校の図形 / たゆ
画像の(3)の問題を教えてください。お願いします。
No.34250 - 2015/11/12(Thu) 19:32:55

Re: 中学校の図形 / ヨッシー
AD=4,BD=6 なので、△BCDは△ABCの3/5倍です。
ACの中点をMとすると、BMはACの垂直二等分線なので、
ACを底辺とするとBMが高さになります。
BMは△BMCにおける三平方の定理で求められます。

No.34251 - 2015/11/12(Thu) 21:23:31

Re: 中学校の図形 / たゆ
解くことができました。ありがとうございました。
No.34256 - 2015/11/13(Fri) 19:15:10
(No Subject) / ?
2^x=1はx=1じゃないですか。
それってなぜですか?右辺の1って1^1じゃないのですか?もし、2^0だったとしてもどう見破るのですか?

No.34241 - 2015/11/11(Wed) 20:55:20

Re: / ヨッシー
>2^x=1はx=1じゃないですか。
x=1じゃないですよ。
x=1だと2^x=2になります。

2^x=1⇔x=0 です。
見破るも何もありません。
6÷3を見て2と答えを出すことを見破るとは言わないのと同じです。

No.34242 - 2015/11/11(Wed) 22:14:48
(No Subject) / ?
画像の(1)と(2)の問題の解き方が分かりません。
No.34240 - 2015/11/11(Wed) 20:48:37

Re: / ヨッシー
(1)
4^(x-1) は2の何乗ですか?
3√2 は2の何乗ですか?
(2)
まず、0.2^(-1)=5、0.2^3=0.008 であることを理解しましょう。
あとは、0<a<1 である数aに対して
 a^x<a^y ⇔ x>y
であることから、解答のようになります。

y=2^x と y=0.5^x のグラフをそれぞれ描いてみましょう。

No.34243 - 2015/11/11(Wed) 22:18:44
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