ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / グーチョコラン

楕円の曲率半径を求めたいです。
楕円のパラメーターは長軸半径a=213568、短軸半径b=43432として、中心からの距離がS=213525の点の曲率半径を求めようとしています。添付ファイルのような計算で求めて、パソコンで計算したのですが、10e10くらいになります。桁落ちとかでは考えられないくらい違います。
計算間違いが自分では見つけられなかったのでどうかよろしくお願いします。
また、プログラミングの間違いの可能性もありますがそれも見つけられなかったので、自分がやるとこんな値になったよ、というのもお待ちしています。

No.83490 - 2022/09/26(Mon) 20:50:20

☆ Re: / グーチョコランタン

例えば、a=1,b=1.2,S=1.001のような値で考えると
曲率半径は1前後になりそうなものなのに、0.11などと出ます。

No.83494 - 2022/09/26(Mon) 22:29:39

☆ Re: / らすかる

a=213568
b=43432
S=213525
cosμ=0.99999131128294258772…
μ=0.00416862798525896561…
x=Scosμ=213523.14474169031604413199…
y=Ssinμ=890.10371259035747382227…
検算 √(x^2+y^2)=213525=S
検算 x^2/a^2+y^2/b^2=1
y'=-b/{a^2*√(1/x^2-1/a^2)}=-9.92091298728757716152…
y''=-(b/a^2)(1/x^2-1/a^2)^(-3/2)*x^(-3)=-0.11062291949087114956…
R=(1+y'^2)^(3/2)/|y''|=8961.79700738226672578702…
グラフを描いてみると、この値で正しそうです。

No.83495 - 2022/09/27(Tue) 02:27:02

☆ Re: / GandB

十進Basicの例

LET a = 213568
LET b = 43432
LET S = 213525
LET dmyD = s^2*(b^2-a^2)
LET dmyM = a^2*b^2-S^2*a^2
LET cs_u = SQR(dmyM/dmyD)
PRINT "cosμ = ";cs_u
LET x = S*cs_u
LET dmyD = a^2*SQR((1/x^2-1/a^2))
LET d_y = -b/dmyD
PRINT "y' = ";d_y
LET dmy = 1/x^2-1/a^2
LET dd_y = -(b/a^2)*dmy^(-3/2)*x^(-3)
PRINT "y'' = ";dd_y
LET dmyD = abs(dd_y)
LET dmyM = (1+d_y^2)^(3/2)
LET R = dmyM/dmyD
PRINT "R = ";R
END
-------------------------
結果
cosμ = .999991311282941
y' = -9.92091298725262
y'' = -.110622919489702
R = 8961.7970073832

No.83496 - 2022/09/27(Tue) 06:44:30

☆ Re: / グーチョコランタン

ラスカルさん、GrandBさん
大変助かりました。
間違ってたのはプログラミングで、-3/2乗が整数型で1になってたところでした。
お二人の回答でプログラミング間違いの確信＆間違い個所の特定ができたので感謝します。

No.83514 - 2022/09/29(Thu) 00:44:58

★ (No Subject) / μ

θの方程式√2(sinθ-cosθ)-sin2θ+a=0が
0≦θ≦πの範囲に異なる2個の解を持つような実数aの範囲を求めよ
解説お願いします

No.83489 - 2022/09/26(Mon) 18:26:31

☆ Re: / X

方針を。

問題の方程式から
(√2)(sinθ-cosθ)-sin2θ=-a
そこで
f(θ)=(√2)(sinθ-cosθ)-sin2θ
と置き、横軸にθ、縦軸にyを取った
y=f(θ)のグラフ
を
0≦θ≦π (A)
の範囲で描き、これと
直線y=-a
との交点が2つとなるような
aの値の範囲を求めることとなります。

そこで(A)の範囲のf(θ)の増減表を
書くことになるのですが
f'(θ)=(√2)(cosθ+sinθ)-2cos2θ
から、極値を与えるθの値に対し
(√2)(cosθ+sinθ)-2cos2θ=0 (B)
を解くことになります。

(B)より
(√2)(cosθ+sinθ)-2{(cosθ)^2-(sinθ)^2}=0
(√2)(cosθ+sinθ)-2(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=0
(√2)(cosθ+sinθ){1-(√2)(cosθ-sinθ)}=0
更に三角関数の合成を使うと
2{1+2sin(θ-π/4)}sin(θ+π/4)=0
∴(A)から
θ=π/12,3π/4

以上を使って件の増減表を書いていきます。

こちらの計算では求めるaの値の範囲は
-3＜a≦-√2,√2≦a＜3/2
となりました。

No.83492 - 2022/09/26(Mon) 21:57:36

☆ Re: / X

補足を。
f(π/12)の値を計算するため、f(θ)の
sinθ-cosθ
の部分は三角関数の合成を適用して整理しておきましょう。

No.83493 - 2022/09/26(Mon) 22:08:00

☆ Re: / μ

> 方針を。
>
> 問題の方程式から
> (√2)(sinθ-cosθ)-sin2θ=-a
> そこで
> f(θ)=(√2)(sinθ-cosθ)-sin2θ
> と置き、横軸にθ、縦軸にyを取った
> y=f(θ)のグラフ
> を
> 0≦θ≦π (A)
> の範囲で描き、これと
> 直線y=-a
> との交点が2つとなるような
> aの値の範囲を求めることとなります。
>
> そこで(A)の範囲のf(θ)の増減表を
> 書くことになるのですが
> f'(θ)=(√2)(cosθ+sinθ)-2cos2θ
> から、極値を与えるθの値に対し
> (√2)(cosθ+sinθ)-2cos2θ=0 (B)
> を解くことになります。
>
> (B)より
> (√2)(cosθ+sinθ)-2{(cosθ)^2-(sinθ)^2}=0
> (√2)(cosθ+sinθ)-2(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=0
> (√2)(cosθ+sinθ){1-(√2)(cosθ-sinθ)}=0
> 更に三角関数の合成を使うと
> 2{1+2sin(θ-π/4)}sin(θ+π/4)=0
> ∴(A)から
> θ=π/12,3π/4
>
> 以上を使って件の増減表を書いていきます。
>
>
> こちらの計算では求めるaの値の範囲は
> -3＜a≦-√2,√2≦a＜3/2
> となりました。

すいません。多分習っておらずf(θ)の増減表のところからわかりません。

No.83497 - 2022/09/27(Tue) 13:03:57

☆ Re: / X

それでは別解を。

問題の方程式から
2sin(θ-π/4)-cos(π/2-2θ)+a=0
2sin(θ-π/4)-{1-2{sin(π/4-θ)}^2}+a=0 (A)
ここで
sin(θ-π/4)=t
と置くと(A)は
2t^2+2t+a-1=0 (A)'
又
0≦θ≦π
により
-π/4≦θ-π/4≦3π/4
∴
-1/√2≦t≦1
であり、
-1/√2≦t＜1/√2,t=1のとき、tの値1つに対しθの値は1つ対応し
1/√2≦t＜1のとき、tの値1つに対しθの値は2つ対応。

更に(A)'がt=1に解を持つとき
4+a-1=0
∴a=-3
このとき(A)'は
2t^2+2t-4=0
(t-1)(t+2)=0
∴t=1,-2
となり、条件を満たしません。

よって求める条件は
(i)(A)'が-1/√2≦t＜1/√2の範囲に異なる2つの解を持つ
(ii)(A)'が1/√2≦t＜1の範囲に1つの解を持ち、かつ-1/√2≦t＜1/√2の範囲に解を持たない
のいずれかになります。

ここで
f(t)=2t^2+2t+a-1
と置くと、横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフは
軸がt=-1/2である下に凸の放物線。
よって
(i)のとき
求める条件は
f(-1/2)=a-3/2＜0 (B)
f(-1/√2)=a-√2≧0 (C)
f(1/√2)=a+√2＞0 (D)
(B)(C)(D)より
√2≦a＜3/2
(ii)のとき
求める条件は
f(1/√2)=a+√2≦0 (E)
f(1)=a+3＞0 (F)
f(-1/√2)=a-√2＜0 (G)
(E)(F)(G)から
-3＜a≦-√2

以上から求めるaの値の範囲は
-3＜a≦-√2,√2≦a＜3/2
となります。

No.83498 - 2022/09/27(Tue) 18:41:52

☆ Re: / X

上記の別解のポイントは
√2(sinθ-cosθ)-sin2θ+a=0
を置き換えにより、三角関数を含まない方程式に変形して、
数学Iの範囲の問題に置き換えるという
スタートラインに持っていくという点です。
(三角関数の方程式の問題を解く上での基本的な方針の一つですが。)

ここで左辺の
√2(sinθ-cosθ)
は三角関数の合成により
√2(sinθ-cosθ)=2sin(θ-π/4)
となりますので、もし
sin2θをsin(θ-π/4)の式で表す
ことができれば、ということになります。

後は
sin2θ=cos(π/2-2θ)
と変形した上で２倍角の公式を使うことに
気付けるか、ということになります。

No.83499 - 2022/09/27(Tue) 19:07:35

★ ベクトル / わーお

この問題そもそも問題が何を説明しているのかわかりません。図示して説明していただけると助かります。そして、どうやって解いていくのか教えてほしいです。

No.83484 - 2022/09/26(Mon) 01:37:38

☆ Re: ベクトル / わーお

向きなおしました。

No.83485 - 2022/09/26(Mon) 01:39:06

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

立体的な図では、余計わからなくなるので、
平面αが直線に見える方向から見た図を描きます。

(1)
点Ａ(1,2,-1) を通り、ベクトル(1,2,-1) に垂直な平面の式は
　(x-1)＋2(y-2)－(z+1)＝0
　x＋2y－z＝6　　・・・α
点Ｂ(-3,-2,-1) を通り、ベクトル(1,1,1) に平行な直線の式は、
ｔを実数として、
　ｘ＝ｔ－３、ｙ＝ｔ－２、ｚ＝ｔ－１　・・・(i)
と書けます。これと、αとの交点Ｐを求めるために、αの式に代入して、
　(t-3)＋2(t-2)－(t-1)＝6
　2t＝12
　ｔ＝6
これを(i)に代入すると、点Ｐの座標は
　Ｐ (3,4,5)　・・・答え

(2)
図において、ＢＰの方向に点Ｃを取り、点Ｃと平面αに関して
対称な点をＤとすると、ＰＤの方向が求めるベクトルの方向となります。
ここでは、計算しやすいように、ＢＰ＝ＣＰとします。
点Ｃの座標は
　2(3,4,5)－(-3,-2,-1)＝(9, 10, 11)
Ｃを通り平面αに垂直な直線の式は
　ｘ＝ｔ＋９、ｙ＝２ｔ＋10、ｚ＝－ｔ＋11
αの式に代入して、
　(t+9)＋2(2t+10)－(-t+11)＝6
　6t＝－12
　t＝－2
よって、ＣＤの中点（α上の点）の座標は
　(7, 6, 13)
よって、点Ｄの座標は
　2(7, 6, 13)－(9, 10, 11)＝(5, 2, 15)
ベクトル
　ＰＤ＝(2, -2, 10)
の大きさは
　√(4+4+100)＝6√3
よって求める単位ベクトルは
　±(1/3√3, －1/3√3, 5/3√3）・・・答え

No.83486 - 2022/09/26(Mon) 11:28:18

★ 整数問題 / ぺろり

・ lmn + 1 = lm + mn + nl + l + m + n
・ l ≦ m ≦ n
を満たす自然数の組(l, m, n)を全て求めよ。

という問題です。答えは(2, 4, 13), (2, 5, 8), (3, ,3, 7)です。模範解答では、両辺をlmnで割り、分数の大小関係から l≦3と絞り込んでいました。

この解法以外の解法が何かないか考えているのですが、思いつきません。何かないでしょうか。

No.83469 - 2022/09/25(Sun) 12:48:45

☆ Re: 整数問題 / IT

簡単かどうかは分かりませんが、下記のように置き換えると２次の項がなくなります。

L=x+1,m=y+1,n=z+1とおくと,x,y,z は0以上の整数でx≦y≦z

与式(x+1)(y+1)(z+1)+1=(x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)+(x+1)+(y+1)+(z+1)
展開して整理すると
　xyz=2x+2y+2z+4≦6z+4
　よってx,y,zは1以上
　よって左辺≧10∴z≧3
　xy≦6+(4/z)＜8　∴x=1,2
x=1のとき
　yz=2y+2z+6
∴(y-2)(z-2)=10　∴(y,z)=(3,12),(4,7)
x=2のとき
　2yz=2y+2z+8
∴(y-1)(z-1)=5　∴(y,z)=(2,6)

よって（L,m,n)= ・・・

No.83470 - 2022/09/25(Sun) 13:56:37

☆ Re: 整数問題 / らすかる

lmn+1=lm+mn+nl+l+m+n
4≦l≦m≦nのとき
(左辺)
＝lmn+1
≧4mn+1
＝mn+mn+mn+mn+1
≧lm+mn+nl+4n+1
＝lm+mn+nl+n+n+n+n+1
≧lm+mn+nl+l+m+n+4+1
＞lm+mn+nl+l+m+n
＝(右辺)
となって成り立たないのでl≦3
l=1のときm+n=0となって成り立たない
l=2のとき(m-3)(n-3)=10となるので(m,n)=(4,13),(5,8)
l=3のとき(m-2)(n-2)=5となるので(m,n)=(3,7)
∴(l,m,n)=(2,4,13),(2,5,8),(3,3,7)

No.83471 - 2022/09/25(Sun) 14:29:32

★ 不等式の問題 / protagonist

（1）についてです。方針はわかるのですが、黄色線で示した「一般に〜」の式の表し方がどうしても理解できません。
このように、一般の式で表す際の考え方やコツがあれば教えていただきたいです。

No.83461 - 2022/09/24(Sat) 14:24:47

☆ Re: 不等式の問題 / IT

「一般的に」とありますが、あくまでも　
2≦k≦n-2 すなわち　2≦k かつ　k+2≦n である自然数k,nについて言えることが書いてあるので、「一般的に」という表現はどうかなと思います。

そもそも目的は
　(n-1)/k＞1、(n-2)/(k-1)＞1、...、(n-k+1)/2＞1を示すことであり、

(n-1-L)/(k-L) は、
　L=0のとき,(n-1)/k
　L=1のとき,(n-2)/(k-1)
　L=k-2のとき,(n-k+1)/2 になるので

0≦L≦k-2 なる自然数Lについて
　(n-1-L)/(k-L)　-　1　＞　0　を示せば、目的の各不等式が示せる。ということですが、

(n-1)/k＞1、(n-2)/(k-1)＞1、...、(n-k+1)/2＞1を示すには
2≦k かつ　k+2≦n から　分子＞分母＞0を示す方が簡単だと思います。

No.83463 - 2022/09/24(Sat) 14:44:24

☆ Re: 不等式の問題 / aaa

理解しました。ありがとうございます。

No.83473 - 2022/09/25(Sun) 15:29:29

★ 同値関係 / math1

「集合 A から集合 B への全射がある時，B は
ある商集合 A/∼ と対等となることを示せ．」
何時間も考えたのですが、どうしてもこの問題が分かりません。well-definedを使った方法ならわかるのですが、well-defined以外の方法で解かなければいけないので、教えていただけると嬉しいです。

No.83453 - 2022/09/24(Sat) 12:55:25

☆ Re: 同値関係 / IT

> well-definedを使った方法
ではどんな証明になりますか？
なぜ、well-defined以外の方法で解かなければいけないのですか？　問題文に書いてあるのですか？（問題文をそのまま書かれた方が話が早いです）

No.83454 - 2022/09/24(Sat) 13:21:39

☆ Re: 同値関係 / math1

「」の中が問題文です。well-definedがこの問題で使えない理由としましては、この問題の後のページでwell-definedが定義されていまして、問題よりも後ろで定義されていることは循環論法になる危険性があるため、使ってはいけないと言われています。そのため、現段階では写像:A/∼→B と考えることができないのです。B→A/∼ の状況で証明する方法を教えてください。

No.83455 - 2022/09/24(Sat) 13:29:49

☆ Re: 同値関係 / IT

「well-defined」　という「言葉」を使わずに書けば良いのでは？
・・の　well-defined　を示さなくても良い気がしますが？
（きちんと書くのが面倒なので・・としました）

No.83456 - 2022/09/24(Sat) 13:42:21

☆ Re: 同値関係 / math1

解答考えてみました。とりあえず、対等を示すために全単射を示せばよいと考えて、ｇの単射性だけ思いつきました。この解答はでたらめでしょうか。よろしくお願いします。

それぞれの写像をf：A→B　ｇ：B→C　とする。

まず、ｇの単射性を示す。
任意のb１、b２はBの部分集合とする。
このとき、ｆが全射であるため（問題分より）、ｂ１＝ｆ（a1）、ｂ２＝f(a2)を使って、ｇ（ｆ（a1））=g(f(a2))と表すことができる。これは、C（ｆ(a1)）=C(f(a2))となる。同値類の定義よりｆ（a1）=f(a2)
よって b１＝b２　以上よりｇが単射であることが言えた。

No.83457 - 2022/09/24(Sat) 14:08:28

☆ Re: 同値関係 / math1

すいません。ｇ：Ｂ→A/∼ です。

No.83458 - 2022/09/24(Sat) 14:09:57

☆ Re: 同値関係 / math1

再び訂正します。任意のｂ１，ｂ２は集合Ｂの元です。また、a1,a2は集合Ａの元です。すみません

No.83459 - 2022/09/24(Sat) 14:12:03

☆ Re: 同値関係 / IT

まず、A/∼ は何ですか？　
「ある商集合 A/∼」を採ること、すなわち「∼」を決めること、から話が始まるのではないですか？

つぎに、写像gは、どう決めますか？

No.83460 - 2022/09/24(Sat) 14:20:53

☆ Re: 同値関係 / math1

そうですA/∼は商集合のことです。
A/∼＝｛C（a)|aは集合Aの元｝としてます。

No.83462 - 2022/09/24(Sat) 14:31:33

☆ Re: 同値関係 / IT

> A/∼＝｛C（a)|aは集合Aの元｝としてます。

∼ は具体的にどんな同値関係ですか？

No.83464 - 2022/09/24(Sat) 14:50:31

★ 必要条件の示し方 / 高校三年生

「相異なる三つの素数 p、q、r　において、
　
　p^2+q^2+r^2

　の値が素数となるための必要条件を一つ示せ。」

という問題の回答で、パッと思いつくのは、

１、三つの素数のいずれも「2」でないこと。

２、三つの素数が6の倍数を公差にもつ等差数列の３連項でないこと。

３、p^2+q^2+r^2の値が合成数でないこと。

などありますが、いずれの「必要条件」も回答として有効でしょうか？
たとえば、３、とか採点者に「お前は舐めてるの？」と思われそうですが・・・。

No.83447 - 2022/09/24(Sat) 08:02:08

☆ Re: 必要条件の示し方 / らすかる

3は「同値な条件」なのでダメでしょう。
もちろん必要条件ではありますが、それをOKにしてしまうと、例えば
「p^2+q^2+r^2が素数」という問題文と全く同じ文言でも
OKになってしまいます。これは「x^2+2x-3=0を満たすxを求めよ」という問題で
「解答：x^2+2x-3=0を満たすx」と書くのと同じことです。
1と2は問題ないと思います。

No.83448 - 2022/09/24(Sat) 08:23:33

☆ Re: 必要条件の示し方 / 高校三年生

らすかるさん、返信ありがとうございます。

なるほど、「何の捻りもない表現」は回答として不適ということですね。
自然数の「1」は素数でも合成数でもないので、かろうじて、
アリなのかなとか思ってしまいました。

No.83452 - 2022/09/24(Sat) 11:00:13

★ (No Subject) / 安定陸塊

今から問題も送らせていただきます。2番を自分なりに頑張って解いたのですが答えが合いません。

No.83443 - 2022/09/23(Fri) 17:50:15

☆ Re: / ast

方針は合っていて, 「よって」の行までは良いのですが, その後の k^2 の計算がデタラメすぎますね. きちんと丁寧に計算し直してください.

[1] 「よって」の次の次の等号の後の式の分母がおかしいです. (たぶん (x-a)^2 の展開自体を間違えているのだと思います. が, 本問においてこれは展開しないでそのまま扱った方がよいです.)
[2] 「よって」の次の次の次の等号の前後でなぜ分数式が多項式に変わっているのでしょうか? 仮に, 多項式の割り算をして分子の次数を下げることを試みたのだとしても, その分数式は割り切れませんので, 少なくとも分母が無くなってしまうのはおかしいです.

あと, (1) の結果の式を用いていることを「与式より」とは言いませんので, それは直すのが解答として適当だと思います.

No.83445 - 2022/09/23(Fri) 18:51:49

★ 場合の数 / 洋子　

失礼致します。高校1年生です。中間テストの問題で解けなかったので、質問させてください。

【問題】
原点をOとする座標平面上において、点P(4,4)まで、次のルールに基づいて移動する時、経路の総数を求めなさい。

ルール

(ア)
Oを出発し、全部で12回移動する。

(イ)
1回の移動で、x座標またはy座標が1増加するように移動する。

(ウ)
1回だけx座標が1減少するように移動し、1回だけy座標が1減少するように移動する。

(エ)
ただし、第2象限と第4象限に移動してはならない。

例えば、x座標が1増加することを→、x座標が1減少することを←、y座標が1増加することを↑、y座標が1減少することを↓と表すとして、←↓→↑→→→→↑↑↑↑の移動はよいが、←↑→↓→→→→↑↑↑↑の移動は(-1,1)に移動しているので、これはルール違反である。

No.83438 - 2022/09/22(Thu) 14:04:42

☆ Re: 場合の数 / けんけんぱ

移動を「上」「右」で表すものとします。
「上」「右」をそれぞれ６つ並べた後で、それぞれ１つを反転（「上」を「下」に、「右」を「左」に変える）ものとします。
「上」「右」をそれぞれ６つを一列に並べるのは、12C6通りあります。
「上」「右」を一つずつ反転させるとその6×6倍あります。(どれを反転させるかで「上」で6通り、「右」で6通り)

「上」を反転させる中で、６個中一番左を反転させるのは(「右」が反転するのは６か所あるので)6倍・
同様に、「右」を反転させるのも6倍あります。
「上」「右」ともに一番左を反転させるのは1倍あります。

以上をまとめると
12C6×(6×6-6-6+1)通りとなります

No.83439 - 2022/09/22(Thu) 22:39:16

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

12回のうち、ｘ軸方向に動く回を６個選ぶのは
　12Ｃ6＝924(通り)
このそれぞれにおいて、ｘ軸方向の１回目、ｙ軸方向の１回目をプラスから始める
右左右右右右
右右左右右右
右右右左右右
右右右右左右
右右右右右左
と
上下上上上上　
上上下上上上　
上上上下上上　
上上上上下上　
上上上上上下　
を掛け合わせた　5×5＝25 (通り)
は、すべて条件を満たすので、
　924×25＝23100　・・・(i)
それ以外、つまり、ｘ軸方向またはｙ軸方向の少なくとも一方を
マイナスから始めても、条件を満たす場合を考えます。
以下、１手目は必ずｘ軸方向からとし、結果を２倍します。
1) ｘ軸、ｙ軸ともマイナスから始める場合
　左下右上　から始まり残り８個は任意
　左下上右　　　　〃
　左右下上　　　　〃
　3×8Ｃ4＝210　・・・(ii)
2) ｘ軸のみマイナスから始める場合
　左右　から始まり残り10個は任意
　10Ｃ4×5＝1050　・・・(iii)
3) ｙ軸のみマイナスから始める場合
　右左下上　から始まり残り８個は任意
　8Ｃ4＝70　・・・(iv)

(i)～(iv) より
　23100＋(210＋1050＋70)×2＝25760(通り)　・・・答え

No.83468 - 2022/09/24(Sat) 23:19:33

★ 場合の数 / 洋子　

失礼致します。高校1年生です。中間テストの問題で解けなかったので、質問させてください。

【問題】
m個の〇とm個の×を次のルールに基づいて並べる時、並べ方の総数をmを使って表しなさい。

ルール

(ア)
〇または×を左から順に一つずつ並べていく。

(イ)
すでに並んでいるどの〇に対しても、それより左に並んでいる〇と×の個数を比べると、必ず〇の個数の方が多い。

例えば、2個の〇と2個の×を並べる場合、〇〇××はよいが、〇×〇×のように並べてしまうと、2番目の〇に対し、左に並んでいる〇と×の個数が等しいので、これはルール違反である。

ちょっとしたコツがあるらしく、気づけば簡単らしいのですが、全然わからないです。

No.83437 - 2022/09/22(Thu) 13:37:49

☆ Re: 場合の数 / IT

中間試験としては、難問ですね。
大学入試でも　一般のｍ個の場合についての出題はなくて
せいぜい、特定のｍ個についての出題だと思います。

授業で「カタラン数」が出てきたのなら、その応用で出来ます（左端は○、右端は×で、２番目から２ｍ-１番目までの並べ方の数は、カタラン数）　が、

カタラン数の前提知識なしに「ちょっとしたコツがあるらしく、気づけば簡単」とは言えないと思います。

「カタラン数」を習ってないのに出題されたのなら、自分で進んだ勉強をしている人の得点を高くしようということかも知れません。
青チャートには、「参考事項」として「カタラン数」の定義や説明、証明なしに公式が載ってます。
公式の証明は検索すると出て来ます。

No.83440 - 2022/09/22(Thu) 22:58:24

☆ Re: 場合の数 / 洋子　

回答してくださってありがとうございます。

すみません、カタラン数はならっていません。調べてみても意味不明な感じです。経路を使って説明しているようですが、テストの問題と何か関係があるんでしょうか。青チャートは参考書のようですが持っていません。

できればわかりやすく教えて欲しいです。

No.83441 - 2022/09/23(Fri) 00:07:54

☆ Re: 場合の数 / IT

https://examist.jp/mathematics/baainokazu/catalan/
上記などに「カタラン数」とテストの「玉入れ問題」の関係も含んだ解説があります。
そこには「非常に高級な発想を必要とする」とあります。
「ちょっとしたコツがあるらしく、気づけば簡単」と言われたのなら、その先生に指導を受けられるのが早道かと思います。

No.83442 - 2022/09/23(Fri) 07:25:02

★ 整数問題 / 名もなき男

問題と自分の答案を以下に載せます。（1）は合っていましたが、（2）はどこで誤りが生じているのか分かりませんでした。ご指摘お願いいたします。

No.83426 - 2022/09/20(Tue) 13:09:01

☆ Re: 整数問題 / 名もなき男

答案です。

No.83427 - 2022/09/20(Tue) 13:10:02

☆ Re: 整数問題 / 名もなき男

（2）の答えです。

No.83428 - 2022/09/20(Tue) 13:11:21

☆ Re: 整数問題 / IT

f(1)＝2a+b がまちがいでは？

No.83430 - 2022/09/20(Tue) 18:12:40

☆ Re: 整数問題 / IT

その後、f(1) は正しいようですね？

１つめのa,2a の表に間違いがあります。
表より・・・a≡5も間違いだと思います。←これが決定的ミス。
「表より、2a≡5をみたすaは　a≡5」(なおこれは間違い）と書くよりは
表のa:6,2a:5の欄を囲んで印をつけ、「∴a≡6」（これが正しい）と書く程度で良いかなと思います。

ケアレスミスがあるようなので、ご自分でもう一度添削されると効果的だと思います。

細かいことですが"b" の書き方が２通り（筆記体と活字体）混在していますが、統一された方が間違いが少ないと思います。

No.83431 - 2022/09/20(Tue) 18:40:46

☆ Re: 整数問題 / 名もなき男

ご回答ありがとうございます。ミスを直して計算したところ、答えの値と一致しました。
その他のご指摘もありがとうございます。

No.83434 - 2022/09/21(Wed) 11:58:20