ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ サイコロの目の最大値・最小値 / Smith

数学IAの確率の問題です。
(3)で、P(A) -{P(B) + P(C) -P(B ∩C)} がどうして求める確率になるのか教えてください。

No.83539 - 2022/10/04(Tue) 09:07:18

☆ Re: サイコロの目の最大値・最小値 / ヨッシー

確率ではなく、場合の数で理解しようとすると、
上図の全組み合わせ（81個）がＡ
赤で囲まれた16個がＢ、青の16個がＣで、
ＢとＣの重なった　(3,3,3,3) がＢ∩Ｃ　です。
赤でも青でも囲まれていない50個が条件を満たす場合で、
2,3,4 の 3つの数で出来ているか、2, 4 の2つの数で出来ている場合です。
この場合の数を、すべての場合６⁴ で割ると、確率になります。

No.83540 - 2022/10/04(Tue) 09:47:05

☆ Re: サイコロの目の最大値・最小値 / Smith

ありがとうございます。
理解出来ました。
とても分かりやすかったです。

No.83541 - 2022/10/05(Wed) 10:20:07

★ ベクトル / あれれのれ

三角形OABにおいてある点HがsOA+tOBと表され、s+t>1が成り立つ時、どうしてHは三角形OABの外部にあると言えるのでしょうか。

No.83534 - 2022/10/03(Mon) 21:39:32

☆ Re: ベクトル / IT

対偶を考えると良いと思います。

H=sOA+tOBが三角形OABの内部（辺を含む）にあるとき
s+t がどうなるか図を描いて確認してみると良いです。

（H≠OのときはOHとABとの交点をPとします。）

No.83535 - 2022/10/03(Mon) 21:55:29

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

こういう考え方も出来ます。
ＯＡ＝(1,0)、ＯＢ＝(0,1) とすると、
　ｓＯＡ＋ｔＯＢ
は、点（ｓ，ｔ）を表し、ｓ＋ｔ＞１は、ｘ＋ｙ＞１に対応します。
ＯＡとＯＢが直行していなくても、また、
ＯＡ、ＯＢの大きさが１でなくても、
座標としての相対的な位置関係は変わらないので、
左と右の図は同じことを表していると言えます。

No.83536 - 2022/10/03(Mon) 22:12:11

☆ Re: ベクトル / けんけんぱ

とりあえず、内分を理解し、s+t=1のときは直線AB上の点になることを理解することが先決だと思います。
そのあとで、s+t<1のときやs+t>1のときを考えるのが良いと思います。

No.83537 - 2022/10/03(Mon) 22:51:49

☆ Re: ベクトル / ast

> Hは三角形OABの外部にあると言える
というのは少し不正確で, ヨッシーさんの提示された図を見るとわかると思いますが, 点 H は "(3点 O,A,B を含む) 平面を直線 AB で二つに分割したときの点 O を含まない側の領域" 上にあります.
# 三角形 OAB の外部よりも限定的な領域にあるということです.
# (まあ, "少なくとも三角形 OAB の内部にない" ことを言うのに十分な条件ではありますが.)

より具体的に: s+t=a (a>0, a≠1) のとき, 点 A', B' を OA'=aOA, OB'=aOB で定める (つまり, 三角形 OA'B' は三角形 OAB に対して相似比 a の相似三角形) と, s'=s/a, t'=t/a とすれば

　OH=sOA+tOB=(s/a)(aOA)=(t/a)(aOB)=s'OA'+t'OB' (s'+t'=1)

となり, けんけんばさんがすでにご指摘のように「s+t=1 ⇔ 直線上にある」という話に帰着されます.
# s+t=1 のとき, s=1-t と書けて, t に依存して動く動点 P[t] を
# 　OP[t]=(1-t)OA + tOB = OA + tAB
# ととると, その軌跡は二点 P[0]=A, P[1]=B を通り, 方向ベクトルが AB で与えられる直線になります.
# とくに 0≤t≤1 の範囲は線分 AB になります.

そうすると
　[i] 点 H が直線 A'B' 上にあること,
　[ii] 直線 A'B' が直線 AB に平行であること
　　　(直線 A'B' のある場所は,
　　　　a<1 のとき直線 AB に対して点 O のある側,
　　　　a>1 のとき AB に対して点 O と反対側)
なので, a>1 の範囲で a を任意に動かすとき直線 A'B' の掃く範囲が H の存在領域であるということができます.

No.83538 - 2022/10/04(Tue) 02:10:23

★ 図形問題　２問お願いします。 / こう(中３）

　（中３）問題です。
　図のように、平行四辺形ABCDの辺BC、CDを１辺とする正三角形BECと正三角形CFDをつくる。また、点Aと点E、点Fをそれぞれ結び、AEとBC、AFとCDの交点をそれぞれG、Hとする。
(1)　∠EAFの大きさを求めよ。
(2)　AG=FHで、平行四辺形ABCDの面積が24のとき、△ABEの面積を求めよ。

　解説よろしくお願いします(^_^)

No.83530 - 2022/10/02(Sun) 16:04:53

☆ Re: 図形問題　２問お願いします。 / X

(1)
条件から
∠ABC=∠ADC
∠CBE=∠CDF=60°
よって
∠ABE=∠ABC+∠CBE
=∠ADC+∠CDF
=∠ADF (A)
又
AB=CD=DF (B)
BE=BC=AD (C)
(A)(B)(C)から
△ABE≡△ADF (P)
となるので
∠AEB=∠DAF (D)
又、△ABEにおいて
∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°
∠ABC+∠EBC+∠AEB+∠BAE=180°
∠ABC+60°+∠AEB+∠BAE=180°
となるので
∠ABC+∠AEB+∠BAE=120°(E)
一方、ADのDとは反対側の延長線と辺ABとの
なす角をxとすると
x+∠BAE+∠EAF+∠DAF=180°(F)
で錯角により
x=∠ABC (G)
(D)(G)により(F)は
∠ABC+∠BAE+∠EAF+∠AEB=180° (F)'
(F)'-(E)より
∠EAF=60°

(2)
(P)により
AB=DF (G)
∠BAE=∠DFA (H)
更に条件から
AG=FH (I)
(G)(H)(I)より
△ABG≡△DFH
なので
∠ABC=∠CDF=60°(J)
よって
∠ABE=∠ABC+∠CBE=120° (K)
更に(J)と平行四辺形ABCDに注目すると
∠BAD=180°-∠ABC=120° (L)
(K)(L)と条件から
△ABE≡△BAD
よって△ABEの面積は
平行四辺形ABCDの面積の1/2
なので、求める面積は
24/2=12

No.83531 - 2022/10/02(Sun) 17:10:11

☆ Re: 図形問題　２問お願いします。 / ヨッシー

(1)
△ＡＢＥ≡△ＦＤＡ　は自明とします。
さらに、△ＦＣＥを考えると、
　∠ＦＣＥ＝360°－∠ＤＣＢ－2×60°＝240°－∠ＤＣＢ
一方
　∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ＋60°＝(180°－∠ＤＣＢ)＋60°＝240°－∠ＤＣＢ
よって、
　∠ＥＣＦ＝∠ＡＢＥ
これと、
　ＡＢ＝ＤＣ＝ＦＣ、ＢＥ＝ＣＥ
から
　△ＦＣＥ≡△ＡＢＥ
よって、△ＡＥＦは正三角形となり
　∠ＥＡＦ＝60°

(2)

△ＡＢＥを線分ＢＧとともに、△ＦＤＡに重ねると、
　∠ＥＢＧ＝∠ＦＤＨ＝60°
であり、ＧとＨは一般には重なりません。
これが重なると言うことは、
　∠ＡＤＣ＝60°
であるということです。
このとき、この図は、

このように、Ｄ－Ｃ－Ｅが一直線になります。
△ＡＢＥは等積変形で△ＡＢＣに重なるので、
その面積は平行四辺形ＡＢＣＤの半分で、12 となります。

No.83532 - 2022/10/02(Sun) 22:06:38

☆ Re: 図形問題　２問お願いします。 / こう(中３）

ありがとうございました(^_^)

No.83533 - 2022/10/02(Sun) 22:54:40

★ (No Subject) / たまご

中学3年

(問題)
4つの箱の中にそれぞれ異なる価格のお金が入っている。
下記条件において、一番多くお金が入っている箱を選ぶ
方法及び、その確率を回答して下さい。

条件

箱を一つ選び開けその中のお金をもらう事が出来る。もしくは、そのお金をもらうことをやめて2つ目の箱を開けることが出来る。しかし一度もらう事をやめたお金は二度ともらえる権利がない。2つ目をあきらめれば、3つ目の箱を開けられる。3つ目の箱のお金をあきらめれば、4つ目もトライできる。

一番お金をもらう為にはどのように行動すべきか。
また一番お金がもらえる確率は何か？

もし一つルールを追加できる場合、どのようなルールを追加しその場合、一番お金がもらえる確率はいくつになるか？

よろしくお願いします。

No.83519 - 2022/09/29(Thu) 22:28:36

☆ Re: / たまご

追加）

私の考えは、普通に選べば一番お金を得られる確率は1/4.
3つ目までは全て開けて、その価格が一つ目と2つ目より大きければもらう。そうでなければ、4つ目をもらうとすれば、
11/24になる？

これであっていると思いますか？

No.83520 - 2022/09/29(Thu) 22:45:22

☆ Re: / IT

それで合っていると思います。
{1,2,3,4}を並べる順列24通りについて、考えられる判断基準を当てはめてみて、たまごさんの判断基準が最良となりました。
たまごさんの判断基準以外の
a.１個目を取る。(2,3,4 個めでも同じ)
b. 初めて増加したとき取る。
c. ２回増加したとき取る。

いずれも「一番多くお金が入っている箱を選ぶ」確率は11/24 より低くなりますね。

No.83521 - 2022/09/30(Fri) 02:51:43

☆ Re: / らすかる

たまごさんのもらい方では確率は11/24でなく10/24=5/12になります。
そしてそのもらい方は確率最大ではありません。
以下のようにした方が大きくなります。
・最初の2つを開けて2つ目の方が大きければそれをもらう
・そうでないとき、3つ目を開けて3つ目が前の2つより大きければそれをもらう
・上記に該当しなければ4つ目をもらう
このようにすれば、確率は11/24になります。

No.83522 - 2022/09/30(Fri) 03:19:39

☆ Re: / IT

あっ、一つ数え間違えていました。らすかるさんのが正しいようです。

そもそも「初めて増加」だと、(3,1,2) などで明らかに最大でない２を選ぶことになってダメですね。

らすかるさんのように、
２つ以上開けたとき,最後に開けた方が開けた中で最大であったとき、それにする。４つ開けたときは４つめを取る（しかない）ということですね。

１つ目が最大の場合を拾うのは、明らかにベストではないので、それ以外の18通りのうちいくつ拾えるかを考えると良いですね。

No.83523 - 2022/09/30(Fri) 03:31:45

☆ Re: / たまご

IT さん、ラスカルさん

ご説明ありがとうございます。おかげさまで確率の問題がすっきりしました。
今後とも是非ともよろしくお願いします。

No.83526 - 2022/10/01(Sat) 07:02:07

☆ Re: / IT

箱の個数について一般化した問題は、「秘書問題」、「結婚問題」、「お見合い問題」などと呼ばれるようです。高校数学以上だと思いますが興味があれば読んでみてください。
http://www.iba.t.u-tokyo.ac.jp/iba/SE/Secretary.pdf
https://manabitimes.jp/math/1226

No.83529 - 2022/10/02(Sun) 11:42:19

★ 漸化式 / U

a(1)=√3,a(n+1)={a(n)+1}/{1-a(n)}の求め方は分かるのですが、最終的な答えが代入して確かめると正しくありませんでした。計算過程と答えを書いてくれると嬉しいです

No.83508 - 2022/09/28(Wed) 20:04:46

☆ Re: 漸化式 / IT

＞求め方は分かる
どんな方法で、
＞最終的な答え
どんな答えになりましたか？
途中の要所も含めて書いてみてください。

b(n)=1/(a(n)+i) ,すなわち a(n)=(1/b(n))-i とおくと
元の漸化式は、簡単な形になりますのでそれから一般項が求められますが、

具体的に計算すると周期４であることが分かるので,地道にa(2),a(3),a(4),a(5) を計算するのが早いかも知れません。

No.83510 - 2022/09/28(Wed) 22:21:10

☆ Re: 漸化式 / ast

二成分の縦ベクトル (x;y) を 2×2 行列 A:=((1,1);(-1,1)) (行ベクトルを縦に並べた表示) を用いて
　(x;y) = A^(n-1).(√3;1)　(A の (n-1)-乗と縦ベクトル (√3;1) との行列の積)
で定めると, a[n]=x/y. また, A^4=-2^2E がちょうど単位行列の定数倍なので, {a[n]} は周期 4 で a[1],a[2],a[3],a[4] を繰り返す. a[1],a[2],a[3],a[4] は好きに計算すればいい.

No.83511 - 2022/09/28(Wed) 23:06:31

☆ Re: 漸化式 / IT

a(n+2)をa(n) で表してみると、見通しが良いかも知れません。

No.83513 - 2022/09/29(Thu) 00:24:24

★ (No Subject) / help!

手も足もでません。解き方教えてください。途中式とか知りたいです！

No.83503 - 2022/09/27(Tue) 23:31:29

☆ Re: / ヨッシー

ｎ＝１　のとき
　a[1]a[2]＝2a[1]a[1]
ｎ＝２　のとき
　a[1]a[2]＋a[2]a[3]＝2(a[1]a[2]＋a[2]a[1])
ｎ＝３　のとき
　a[1]a[2]＋a[2]a[3]＋a[3]a[4]＝2(a[1]a[3]＋a[2]a[2]＋a[3]a[1])
・・・
のようなことが成り立つと書いてあります。

最初の数項を調べてみると、
　a[1]＝1, a[2]＝2, a[3]＝3, a[4]＝4
であり、a[n]＝n ではないかと推測できます。
これを数学的帰納法で証明します。

ここまでが解答の前段です。

普通なら、このあと、
n=1 のとき成り立つ
n=k のとき成り立つとしてn=k+1 を調べると・・・
となるのですが、この問題の場合はこうです。

n=1 のときは明らかに　a[n]＝n である。
自然数ｍについて、ｍ以下のすべての自然数ｎについて　a[n]＝n が成り立っているとき
a[m+1] を調べると・・・

No.83504 - 2022/09/28(Wed) 08:52:54

★ (No Subject) / グーチョコラン

楕円の曲率半径を求めたいです。
楕円のパラメーターは長軸半径a=213568、短軸半径b=43432として、中心からの距離がS=213525の点の曲率半径を求めようとしています。添付ファイルのような計算で求めて、パソコンで計算したのですが、10e10くらいになります。桁落ちとかでは考えられないくらい違います。
計算間違いが自分では見つけられなかったのでどうかよろしくお願いします。
また、プログラミングの間違いの可能性もありますがそれも見つけられなかったので、自分がやるとこんな値になったよ、というのもお待ちしています。

No.83490 - 2022/09/26(Mon) 20:50:20

☆ Re: / グーチョコランタン

例えば、a=1,b=1.2,S=1.001のような値で考えると
曲率半径は1前後になりそうなものなのに、0.11などと出ます。

No.83494 - 2022/09/26(Mon) 22:29:39

☆ Re: / らすかる

a=213568
b=43432
S=213525
cosμ=0.99999131128294258772…
μ=0.00416862798525896561…
x=Scosμ=213523.14474169031604413199…
y=Ssinμ=890.10371259035747382227…
検算 √(x^2+y^2)=213525=S
検算 x^2/a^2+y^2/b^2=1
y'=-b/{a^2*√(1/x^2-1/a^2)}=-9.92091298728757716152…
y''=-(b/a^2)(1/x^2-1/a^2)^(-3/2)*x^(-3)=-0.11062291949087114956…
R=(1+y'^2)^(3/2)/|y''|=8961.79700738226672578702…
グラフを描いてみると、この値で正しそうです。

No.83495 - 2022/09/27(Tue) 02:27:02

☆ Re: / GandB

十進Basicの例

LET a = 213568
LET b = 43432
LET S = 213525
LET dmyD = s^2*(b^2-a^2)
LET dmyM = a^2*b^2-S^2*a^2
LET cs_u = SQR(dmyM/dmyD)
PRINT "cosμ = ";cs_u
LET x = S*cs_u
LET dmyD = a^2*SQR((1/x^2-1/a^2))
LET d_y = -b/dmyD
PRINT "y' = ";d_y
LET dmy = 1/x^2-1/a^2
LET dd_y = -(b/a^2)*dmy^(-3/2)*x^(-3)
PRINT "y'' = ";dd_y
LET dmyD = abs(dd_y)
LET dmyM = (1+d_y^2)^(3/2)
LET R = dmyM/dmyD
PRINT "R = ";R
END
-------------------------
結果
cosμ = .999991311282941
y' = -9.92091298725262
y'' = -.110622919489702
R = 8961.7970073832

No.83496 - 2022/09/27(Tue) 06:44:30

☆ Re: / グーチョコランタン

ラスカルさん、GrandBさん
大変助かりました。
間違ってたのはプログラミングで、-3/2乗が整数型で1になってたところでした。
お二人の回答でプログラミング間違いの確信＆間違い個所の特定ができたので感謝します。

No.83514 - 2022/09/29(Thu) 00:44:58

★ (No Subject) / μ

θの方程式√2(sinθ-cosθ)-sin2θ+a=0が
0≦θ≦πの範囲に異なる2個の解を持つような実数aの範囲を求めよ
解説お願いします

No.83489 - 2022/09/26(Mon) 18:26:31

☆ Re: / X

方針を。

問題の方程式から
(√2)(sinθ-cosθ)-sin2θ=-a
そこで
f(θ)=(√2)(sinθ-cosθ)-sin2θ
と置き、横軸にθ、縦軸にyを取った
y=f(θ)のグラフ
を
0≦θ≦π (A)
の範囲で描き、これと
直線y=-a
との交点が2つとなるような
aの値の範囲を求めることとなります。

そこで(A)の範囲のf(θ)の増減表を
書くことになるのですが
f'(θ)=(√2)(cosθ+sinθ)-2cos2θ
から、極値を与えるθの値に対し
(√2)(cosθ+sinθ)-2cos2θ=0 (B)
を解くことになります。

(B)より
(√2)(cosθ+sinθ)-2{(cosθ)^2-(sinθ)^2}=0
(√2)(cosθ+sinθ)-2(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=0
(√2)(cosθ+sinθ){1-(√2)(cosθ-sinθ)}=0
更に三角関数の合成を使うと
2{1+2sin(θ-π/4)}sin(θ+π/4)=0
∴(A)から
θ=π/12,3π/4

以上を使って件の増減表を書いていきます。

こちらの計算では求めるaの値の範囲は
-3＜a≦-√2,√2≦a＜3/2
となりました。

No.83492 - 2022/09/26(Mon) 21:57:36

☆ Re: / X

補足を。
f(π/12)の値を計算するため、f(θ)の
sinθ-cosθ
の部分は三角関数の合成を適用して整理しておきましょう。

No.83493 - 2022/09/26(Mon) 22:08:00

☆ Re: / μ

> 方針を。
>
> 問題の方程式から
> (√2)(sinθ-cosθ)-sin2θ=-a
> そこで
> f(θ)=(√2)(sinθ-cosθ)-sin2θ
> と置き、横軸にθ、縦軸にyを取った
> y=f(θ)のグラフ
> を
> 0≦θ≦π (A)
> の範囲で描き、これと
> 直線y=-a
> との交点が2つとなるような
> aの値の範囲を求めることとなります。
>
> そこで(A)の範囲のf(θ)の増減表を
> 書くことになるのですが
> f'(θ)=(√2)(cosθ+sinθ)-2cos2θ
> から、極値を与えるθの値に対し
> (√2)(cosθ+sinθ)-2cos2θ=0 (B)
> を解くことになります。
>
> (B)より
> (√2)(cosθ+sinθ)-2{(cosθ)^2-(sinθ)^2}=0
> (√2)(cosθ+sinθ)-2(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=0
> (√2)(cosθ+sinθ){1-(√2)(cosθ-sinθ)}=0
> 更に三角関数の合成を使うと
> 2{1+2sin(θ-π/4)}sin(θ+π/4)=0
> ∴(A)から
> θ=π/12,3π/4
>
> 以上を使って件の増減表を書いていきます。
>
>
> こちらの計算では求めるaの値の範囲は
> -3＜a≦-√2,√2≦a＜3/2
> となりました。

すいません。多分習っておらずf(θ)の増減表のところからわかりません。

No.83497 - 2022/09/27(Tue) 13:03:57

☆ Re: / X

それでは別解を。

問題の方程式から
2sin(θ-π/4)-cos(π/2-2θ)+a=0
2sin(θ-π/4)-{1-2{sin(π/4-θ)}^2}+a=0 (A)
ここで
sin(θ-π/4)=t
と置くと(A)は
2t^2+2t+a-1=0 (A)'
又
0≦θ≦π
により
-π/4≦θ-π/4≦3π/4
∴
-1/√2≦t≦1
であり、
-1/√2≦t＜1/√2,t=1のとき、tの値1つに対しθの値は1つ対応し
1/√2≦t＜1のとき、tの値1つに対しθの値は2つ対応。

更に(A)'がt=1に解を持つとき
4+a-1=0
∴a=-3
このとき(A)'は
2t^2+2t-4=0
(t-1)(t+2)=0
∴t=1,-2
となり、条件を満たしません。

よって求める条件は
(i)(A)'が-1/√2≦t＜1/√2の範囲に異なる2つの解を持つ
(ii)(A)'が1/√2≦t＜1の範囲に1つの解を持ち、かつ-1/√2≦t＜1/√2の範囲に解を持たない
のいずれかになります。

ここで
f(t)=2t^2+2t+a-1
と置くと、横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフは
軸がt=-1/2である下に凸の放物線。
よって
(i)のとき
求める条件は
f(-1/2)=a-3/2＜0 (B)
f(-1/√2)=a-√2≧0 (C)
f(1/√2)=a+√2＞0 (D)
(B)(C)(D)より
√2≦a＜3/2
(ii)のとき
求める条件は
f(1/√2)=a+√2≦0 (E)
f(1)=a+3＞0 (F)
f(-1/√2)=a-√2＜0 (G)
(E)(F)(G)から
-3＜a≦-√2

以上から求めるaの値の範囲は
-3＜a≦-√2,√2≦a＜3/2
となります。

No.83498 - 2022/09/27(Tue) 18:41:52

☆ Re: / X

上記の別解のポイントは
√2(sinθ-cosθ)-sin2θ+a=0
を置き換えにより、三角関数を含まない方程式に変形して、
数学Iの範囲の問題に置き換えるという
スタートラインに持っていくという点です。
(三角関数の方程式の問題を解く上での基本的な方針の一つですが。)

ここで左辺の
√2(sinθ-cosθ)
は三角関数の合成により
√2(sinθ-cosθ)=2sin(θ-π/4)
となりますので、もし
sin2θをsin(θ-π/4)の式で表す
ことができれば、ということになります。

後は
sin2θ=cos(π/2-2θ)
と変形した上で２倍角の公式を使うことに
気付けるか、ということになります。

No.83499 - 2022/09/27(Tue) 19:07:35

★ ベクトル / わーお

この問題そもそも問題が何を説明しているのかわかりません。図示して説明していただけると助かります。そして、どうやって解いていくのか教えてほしいです。

No.83484 - 2022/09/26(Mon) 01:37:38

☆ Re: ベクトル / わーお

向きなおしました。

No.83485 - 2022/09/26(Mon) 01:39:06

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

立体的な図では、余計わからなくなるので、
平面αが直線に見える方向から見た図を描きます。

(1)
点Ａ(1,2,-1) を通り、ベクトル(1,2,-1) に垂直な平面の式は
　(x-1)＋2(y-2)－(z+1)＝0
　x＋2y－z＝6　　・・・α
点Ｂ(-3,-2,-1) を通り、ベクトル(1,1,1) に平行な直線の式は、
ｔを実数として、
　ｘ＝ｔ－３、ｙ＝ｔ－２、ｚ＝ｔ－１　・・・(i)
と書けます。これと、αとの交点Ｐを求めるために、αの式に代入して、
　(t-3)＋2(t-2)－(t-1)＝6
　2t＝12
　ｔ＝6
これを(i)に代入すると、点Ｐの座標は
　Ｐ (3,4,5)　・・・答え

(2)
図において、ＢＰの方向に点Ｃを取り、点Ｃと平面αに関して
対称な点をＤとすると、ＰＤの方向が求めるベクトルの方向となります。
ここでは、計算しやすいように、ＢＰ＝ＣＰとします。
点Ｃの座標は
　2(3,4,5)－(-3,-2,-1)＝(9, 10, 11)
Ｃを通り平面αに垂直な直線の式は
　ｘ＝ｔ＋９、ｙ＝２ｔ＋10、ｚ＝－ｔ＋11
αの式に代入して、
　(t+9)＋2(2t+10)－(-t+11)＝6
　6t＝－12
　t＝－2
よって、ＣＤの中点（α上の点）の座標は
　(7, 6, 13)
よって、点Ｄの座標は
　2(7, 6, 13)－(9, 10, 11)＝(5, 2, 15)
ベクトル
　ＰＤ＝(2, -2, 10)
の大きさは
　√(4+4+100)＝6√3
よって求める単位ベクトルは
　±(1/3√3, －1/3√3, 5/3√3）・・・答え

No.83486 - 2022/09/26(Mon) 11:28:18

★ 整数問題 / ぺろり

・ lmn + 1 = lm + mn + nl + l + m + n
・ l ≦ m ≦ n
を満たす自然数の組(l, m, n)を全て求めよ。

という問題です。答えは(2, 4, 13), (2, 5, 8), (3, ,3, 7)です。模範解答では、両辺をlmnで割り、分数の大小関係から l≦3と絞り込んでいました。

この解法以外の解法が何かないか考えているのですが、思いつきません。何かないでしょうか。

No.83469 - 2022/09/25(Sun) 12:48:45

☆ Re: 整数問題 / IT

簡単かどうかは分かりませんが、下記のように置き換えると２次の項がなくなります。

L=x+1,m=y+1,n=z+1とおくと,x,y,z は0以上の整数でx≦y≦z

与式(x+1)(y+1)(z+1)+1=(x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)+(x+1)+(y+1)+(z+1)
展開して整理すると
　xyz=2x+2y+2z+4≦6z+4
　よってx,y,zは1以上
　よって左辺≧10∴z≧3
　xy≦6+(4/z)＜8　∴x=1,2
x=1のとき
　yz=2y+2z+6
∴(y-2)(z-2)=10　∴(y,z)=(3,12),(4,7)
x=2のとき
　2yz=2y+2z+8
∴(y-1)(z-1)=5　∴(y,z)=(2,6)

よって（L,m,n)= ・・・

No.83470 - 2022/09/25(Sun) 13:56:37

☆ Re: 整数問題 / らすかる

lmn+1=lm+mn+nl+l+m+n
4≦l≦m≦nのとき
(左辺)
＝lmn+1
≧4mn+1
＝mn+mn+mn+mn+1
≧lm+mn+nl+4n+1
＝lm+mn+nl+n+n+n+n+1
≧lm+mn+nl+l+m+n+4+1
＞lm+mn+nl+l+m+n
＝(右辺)
となって成り立たないのでl≦3
l=1のときm+n=0となって成り立たない
l=2のとき(m-3)(n-3)=10となるので(m,n)=(4,13),(5,8)
l=3のとき(m-2)(n-2)=5となるので(m,n)=(3,7)
∴(l,m,n)=(2,4,13),(2,5,8),(3,3,7)

No.83471 - 2022/09/25(Sun) 14:29:32