[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ (No Subject) / 訳わからん
0≦x＜2πで、sinx-√3cos>1という問題で、π/6＜x-π/3＜5π/6が解いてる時に出てくると思うのですが、どうやったら出てくるのですか？教えてください
No.33834 - 2015/10/29(Thu) 18:29:16
☆ Re: / X
No.33833についても同様ですが三角関数の合成を
使いましょう。
No.33835 - 2015/10/29(Thu) 19:24:30
☆ Re: / 訳わからん
使った上でわからないのです
No.33836 - 2015/10/29(Thu) 19:28:56
☆ Re: / X
sinx-√3cosx＞1
に三角関数の合成を使うと
2sin(x-π/3)＞1
∴sin(x-π/3)＞1/2 (A)
ここで
0≦x＜2π
より
-π/3≦x-π/3＜5π/3
となりますので、x-π/3についての
単位円を考えると(A)より
π/6＜x-π/3＜5π/6
となります。
No.33838 - 2015/10/29(Thu) 19:34:55
★ ？ / 訳わからん
画像の（3）の≦が≧になってる問題の答えってわかりますか？あと、（3）を途中で解いてる時にπ/6≦θ+π/6≦π/4、3π/4≦θ＜13π/6が出てくると思うのですが、どこから出てくるのですか？
No.33833 - 2015/10/29(Thu) 18:23:06
☆ Re: ？ / X
＞＞画像の（3）の≦が≧になってる問題の答えってわかりますか？

条件のとき、三角関数の合成を使うと
2sin(θ+π/6)≧√2
∴sin(θ+π/6)≧1/√2 (A)
ここで
0≦θ＜2π
より
π/6≦θ+π/6＜13π/6 (B)
∴θ+π/6についての単位円を
考えることにより、(A)から
π/4≦θ+π/6≦3π/4
∴π/12≦θ≦7π/12
となります。

＞＞（3）を途中で解いてる時に〜
条件のとき、三角関数の合成を使い
整理すると
sin(θ+π/6)≦1/√2 (A)'
(B)に注意してθ+π/6についての
単位円を考えることにより
(A)'から
π/6≦θ+π/6≦π/4,3π/4≦θ+π/6＜13π/6
となります。
No.33839 - 2015/10/29(Thu) 19:41:45
☆ Re: ？ / 訳わからん
なんで≧だと2つ答えを書かなくていいんですか？
No.33840 - 2015/10/29(Thu) 21:49:38
☆ Re: ？ / X
θ+π/6についての単位円を描いて、(A)を満たす
θ+π/6の値の範囲がどの部分の角度になるか
考えてみて下さい。
No.33842 - 2015/10/29(Thu) 21:58:05
★ うまく説明できない / ごくう
以下の問題、うまく説明できません。言葉が出てきません。
どう説明すればいいでしょうか？わかりやすく解説してもらえるとありがたいです。（解答なし）
No.33831 - 2015/10/29(Thu) 11:30:46
☆ Re: うまく説明できない / IT
(1) 点sとtがPについて点対称であるとはどういうことか説明できますか？

(2) f(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおく

y=f(x)のグラフが点P(p,q)に関して点対称
⇔　任意の実数tについて {f(p-t)+f(p+t)}/2=q　
　{f(p-t)+f(p+t)}/2=(3ap+b)t^2+ap^3+bp^2+cp+d=q定数なので
　3ap+b=0,すなわちp=-b/(3a),q=f(-b/(3a))

このようなP(p,q)は唯一存在する。
No.33841 - 2015/10/29(Thu) 21:54:15
★ (No Subject) / か
f(x)=x^4+ax^3+bx^2+c b<0について、次の問に応えよ。
ただし、a>0

(1)b<0のとき、f(x)が相異なる3つのxの値において極値をとることを示せ。

(2) f(x)が極値をとるxの値のうちで最小のものをα、最大のものをβとするとき。f(α)とf(β)の大小を比べよ。

お願いします。
No.33827 - 2015/10/29(Thu) 10:39:22
☆ Re: / ヨッシー
(1)
f'(x)＝０ が異なる３つの実数解を持つことを示せばいいので
　f'(x)＝4x^3＋3ax^2＋2bx
　　　＝x(4x^2＋3ax＋2b)
であるので、１つの実数解はｘ＝０
　4x^2＋3ax＋2b＝0　・・・(i)
において、判別式をとって
　Ｄ＝9a^2−32b＞０　∵ｂ＜０
また、ｘ＝０ は (i) の解となり得ないので、
f'(x)＝０は異なる３つの実数解を持ち題意を満たす。

(2)
(i) の解は
　ｘ＝{−3a±√(9a^2−32b)}／8
ｂ＜０ より √(9a^2−32b)＞3a であるので、
(i) の解は正負１個ずつとなります。つまり
　α＝{−3a−√(9a^2−32b)}／8、β＝{−3a＋√(9a^2−32b)}／8
です。
　f(β)−f(α)＝(β^4−α^4)＋a(β^3−α^3)＋b(β^2−α^2)　・・・(ii)
(i) における解と係数の関係より
　α＋β＝−3a/4，αβ＝b/2
　α^2＋β^2＝(α＋β)^2−２αβ＝9a^2/16−b
　(β−α)^2＝(α＋β)^2−４αβ＝9a^2/16−2b
　β−α＝√(9a^2/16−2b)
これらより
　β^4−α^4＝(α^2＋β^2)(α＋β)(β−α)＝(9a^2/16−b)(-3a/4)√(9a^2/16−2b)
　a(β^3−α^3)＝a(β−α)(α^2＋β^2＋αβ)＝a(9a^2/16−b/2)√(9a^2/16−2b)
　b(β^2−α^2)＝b(β−α)(α＋β)＝b(−3a/4)√(9a^2/16−2b)
よって、
　f(β)−f(α)＝(9a^2/16)(-3a/4)√(9a^2/16−2b)＋a(9a^2/16−b/2)√(9a^2/16−2b)
　　＝(9a^3/64−ab/2)√(9a^2/16−2b)＞０
よって、
　f(α)＜f(β)
No.33830 - 2015/10/29(Thu) 11:18:01
☆ Re: / か
ありがとうございます。
No.33851 - 2015/10/30(Fri) 14:46:59
★ 数列 / ちぬわ
数列初学です。
K=iがk=1になる所と、i-1がどうやってなるか分かりません。
No.33820 - 2015/10/28(Wed) 17:41:00
☆ Re: 数列 / X
Σ[k=i〜n]4k=4i+…+4n
=(4i+…+4n)+{4・1+…+4(i-1)}-{4・1+…+4(i-1)}
={4・1+…+4(i-1)+4i+…+4n}-{4・1+…+4(i-1)}
=Σ[k=1〜n]4k-Σ[k=1〜i-1]4k
ということです。
No.33822 - 2015/10/28(Wed) 18:49:25
☆ Re: 数列 / ちぬわ
ご回答ありがとうございます。
No.33829 - 2015/10/29(Thu) 10:52:08
★ 数列 / ちぬわ
(4)で、○で割った数の余り△の一般公式が、○（k-1)＋△なのでしょうか？
また、ｋはどのような意味があるのですか？
それと、6k-5ではなく6k-1だと思うのですが、気のせいでしょうか。
No.33818 - 2015/10/28(Wed) 17:38:21
☆ Re: 数列 / ちぬわ
つけたしで、A=BQ+R　の公式はからみますか？
No.33819 - 2015/10/28(Wed) 17:39:06
☆ Re: 数列 / ヨッシー
6k+1 (k は０以上の整数) とするのがわかりやすかろうと思いますが、
k を自然数とした場合、6k+1 では 7,13,19・・・ということになり
１が表せないので、ｋをｋ−１に置き換えて、
　6(k-1)＋１＝6k-1
です。これで、ｋに１，２，３・・・と当てはめていくと、
１，７，１３・・・ というふうに１も含んだ数列が出来ます。
ちなみに、6k-1 だと ５，１１，１７・・・になり６で割って５余る数になります。

Ａ＝ＢＱ＋Ｒ
Ｂ＝６、Ｑ＝ｋ−１、Ｒ＝１ に対応します。
No.33824 - 2015/10/28(Wed) 20:19:38
☆ Re: 数列 / ちぬわ
回答ありがとうございます。
No.33828 - 2015/10/29(Thu) 10:51:35
★ 不等式 / ふぇるまー
問:a=正の整数
　　2次方程式　2x^2-2x-15=0…(1)
　　不等式 lx-1l<a…(2)を考える。
このとき、
　　　xが(2)を満たすことが、xが(1)を満たすための必要条件であるが、十分条件ではないようなaの最小値は=?

答えを所持しておらず、出来れば詳しい御教授が頂きたいです。
No.33815 - 2015/10/28(Wed) 00:11:11
☆ Re: 不等式 / X
条件から
xは(1)を満たす⇒xは(2)を満たす
が成立し、かつ
xは(2)を満たす⇒xは(1)を満たす
が成立しないようなaの値の範囲を
求めればよいことになります。
よって(1)の解が全て(2)の範囲に
含まれるaの値を求めることに
なります。

さて(1)(2)より
x=(1±√31)/2 (1)'
1-a＜x＜1+a (2)'
0≦a (3)
(1)'(2)'から題意を満たすためには
1-a＜(1+√31)/2＜1+a (4)
1-a＜(1-√31)/2＜1+a (5)
(3)(4)(5)を連立してaの値の範囲を
求めます。

但し、計算してもらえれば分かりますが
問題の条件ではaの最小値は存在しません。
問題文にタイプミスはありませんか？
No.33817 - 2015/10/28(Wed) 05:01:02
☆ Re: 不等式 / IT
横から失礼します。
>問題の条件ではaの最小値は存在しません。
a=4では?
No.33823 - 2015/10/28(Wed) 20:10:15
☆ Re: 不等式 / ふぇるまー
友人に答えを聞いたところ、最小値は4でありました。Ｘ様、IT様有り難うございます。
No.33826 - 2015/10/28(Wed) 22:45:24
☆ Re: 不等式 / X
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ふぇるまーさんへ
ごめんなさい。aが正の整数であるという条件
を見落としていました。
(3)(4)(5)を連立して解き、その解を満たす
最小の正の整数aを求めると
4
に確かになります。
No.33837 - 2015/10/29(Thu) 19:30:31
★ 大学受験数学です。 / ゆきり
授業で当てられて、次の授業でみんなのまえで解かなければならないのですが、わかりません。解説お願いします。
No.33813 - 2015/10/27(Tue) 23:40:22
☆ Re: 大学受験数学です。 / IT
x=p+qで,p≧0,q≧0よりx≧0,またr≧0,p+q+r≦1よりx≦1
すなわち0≦x≦1,同様に0≦y≦1（必要条件）
q,rをx,yで表す
　q=x-p=x-{xy+k√(x(1-x))√(y(1-y))}≧0
　r=y-p=y-{xy+k√(x(1-x))√(y(1-y))}≧0
移項して
　x(1-y)≧k√(x(1-x))√(y(1-y))…?@
　y(1-x)≧k√(x(1-x))√(y(1-y))…?A

p+q+r=x+y-p=x+y-xy-k√(x(1-x))√(y(1-y))≦1
x+y-xy-1≦k√(x(1-x))√(y(1-y))
(1-x)(1-y)≦k√(x(1-x))√(y(1-y))…?B

(1) k=1のとき

不等式?@?Aは両辺0以上で、左辺同士の積＝x(1-x)y(1-y)＝右辺同士の積
よって　x(1-y)＝√(x(1-x))√(y(1-y))＝y(1-x)
したがって　x＝y　（必要条件）

逆にx＝yかつ0≦x≦1のとき
　p＝xy+√(x(1-x))√(y(1-y))＝x^2+x(1-x)＝x≧0
　q=x-p=0≧0,r=y-p=0≧0,p+q+r＝x≦1

よって,求める領域は（x＝yかつ0≦x≦1）

(2) k=1/2のとき
x(1-y)≧(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?@
y(1-x)≧(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?A
(1-x)(1-y)≦(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?B

x=0またはx=1またはy=0またはy=1のとき、
　 ?@?Aともに成立．
　?Bが成立するのはx=1またはy=1のとき

0＜x＜1かつ0＜y＜1のとき
　　?@?A?Bの両辺は正
　　?@の両辺を2乗すると
　　(x^2)(1-y)^2≧(1/4)x(1-x)y(1-y)
x(1-y)＞0なので、x(1-y)≧(1/4)(1-x)y
　　展開・移項し整理 x-xy≧(1/4)y-(1/4)xy
4x≧(3x+1)y
　 同様に?Aより、 4y≧(3y+1)x
　　?Bの両辺を２乗すると
　　((1-x)(1-y))^2≦(1/4)x(1-x)y(1-y)
(1-x)(1-y)＞0なので、(1-x)(1-y)≦(1/4)xy

　　よって求める領域は
　　(x=１かつ0≦y≦1)と(y=1かつ0≦x≦1)と
　　（0＜x＜1かつ0＜y＜1かつ4x≧(3x+1)yかつ4y≧(3y+1)xかつ(1-x)(1-y)≦(1/4)xy）
　　　式は適当に変形してください。　

(3) k=-1/2のとき
　x(1-y)≧-(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?@
　y(1-x)≧-(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?A
　(1-x)(1-y)≦-(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?B

　0≦x≦1かつ0≦y≦1で
　　?@?Aは成立
　　?Bが成立するのは両辺＝0のとき、すなわちx=1またはy=1のとき

　よって求める領域は(x=１かつ0≦y≦1)と(y=1かつ0≦x≦1)

答案は、必要十分条件の確認などもう少し明示する必要があるかも。
No.33816 - 2015/10/28(Wed) 01:26:41
★ 東北大 過去問 / もぞ
東北大学の過去問です。

(4)番なんですが、平均値の定理を用いて解くことは、分かったのですが、解答が作れません。
詳しい解説と解答をよろしくお願いします。
No.33806 - 2015/10/27(Tue) 21:55:35
☆ Re: 東北大 過去問 / IT
時間がないのでヒントだけ

f(x)=√{(3x+4)/(2x+3)}とおくと

(α-a[n+1])/(α-a[n])
=(f(α)-f(a[n]))/(α-a[n])
平均値の定理より
=f'(c), a[n]＜c＜α
f'(x)を計算して評価すると出来ると思います。
No.33811 - 2015/10/27(Tue) 23:30:40
★ 中学校の問題 / たゆ
画像の問題の(3)の解き方を教えてください。お願いします。
No.33799 - 2015/10/27(Tue) 20:08:59
☆ Re: 中学校の問題 / X
まず底面は長方形CGNMですのでこの面積を求めます。
条件から
CG=6[cm]
又△CDMにおいて三平方の定理から
CM=…
よって長方形CGNMの面積をSとすると
S=CG×CM=…
次に高さですが、条件から
△MBC⊥長方形CGNM
ですので点Bから辺CMに下ろした垂線の
足をIとすると、線分BHの長さがこの
四角錐の高さとなります。
そこで
△CDM∽△BCH
であることから、相似比を使って
BHについての方程式を立てると…
No.33802 - 2015/10/27(Tue) 21:33:00
☆ Re: 中学校の問題 / たゆ
ありがとうございます。
三角形CDMと三角形BCHがなんで相似なのか教えてください。お願いします。
No.33821 - 2015/10/28(Wed) 18:37:05
☆ Re: 中学校の問題 / X
まず仮定から
∠CDM=∠BHC(=90°) (A)
次に
∠BCH=∠BCD-∠DCM
=90°-∠DCM=180°-90°-∠DCM
=180°-(90°+∠DCM)
=180°-(∠CDM+∠DCM)
=∠CMD (B)
(A)(B)より
△CDM∽△BCH
となります。
No.33855 - 2015/10/30(Fri) 19:37:45
☆ Re: 中学校の問題 / たゆ
解くことができました。
ありがとうございました。
No.33860 - 2015/10/30(Fri) 20:29:21
★ ベクトルです / まりも
問題です。
No.33797 - 2015/10/27(Tue) 19:12:50
☆ Re: ベクトルです / まりも
解いているのですが、tの値を出そうとすると虚数になりよくわからなくなりました。
まちがっているのでしょうか？
なにか良い方法はないですか？
No.33798 - 2015/10/27(Tue) 19:14:00
☆ Re: ベクトルです / IT
３行目の
PH→＝の右辺が間違っていると思います。
ベクトルの矢印図を描いて考えてみてください。
PH→＝t(1,1,1)では？

右辺の第1項の(-p,-3p+2,2p+1)も意味不明ですが(x成分だけ-が付いている理由が分らない）
No.33800 - 2015/10/27(Tue) 20:18:25
☆ Re: ベクトルです / まりも
PH➡︎=OP➡︎+(法線ベクトル)のように考えました。

x成分だけマイナスはミスです。
No.33801 - 2015/10/27(Tue) 21:15:47
☆ Re: ベクトルです / IT
PH↑自体が法線ベクトルの実数倍なのでは？
PH↑=OH↑ - OP↑＝t(法線ベクトル)=t(1,1,1)
まりもさんが計算されたようにPH=1/√3なので PH↑=(1/3,1/3,1/3)
No.33803 - 2015/10/27(Tue) 21:36:19
☆ Re: ベクトルです / まりも
あ、そうですね。
PH⬆︎と法線ベクトルのt倍
は成分が同じですね。

ベクトルでつかう直線の方程式と勘違いしていました。
No.33807 - 2015/10/27(Tue) 21:55:53
☆ Re: ベクトルです / IT
PH⬆︎　の後ろの２文字（記号）が文字化けします。

PH↑=±(1/3,1/3,1/3)　でしたね。
No.33808 - 2015/10/27(Tue) 22:11:52
☆ Re: ベクトル / まりも

あ、そうですね。
PHベクトルと法線ベクトルのt倍
は成分が同じですね。

ベクトルでつかう直線の方程式と勘違いしていまた。

直線の方程式を使う場合は、平面の方程式にx,y,zを代入すればtがpで表せてる感じでしょうか？
No.33812 - 2015/10/27(Tue) 23:34:13
☆ Re: ベクトルです / IT
> 直線の方程式を使う場合は、平面の方程式にx,y,zを代入すればtがpで表せてる感じでしょうか？

意味が良く分かりません。
元の答案の間違いを直してやって見てください。
No.33814 - 2015/10/28(Wed) 00:09:31
☆ Re: ベクトルです / まりも
時直してみました。
答えはでました。
ただtを±1/3のどちらにすればよいか迷いました。
図からtは正とすれば良いのでしょうか？
No.33843 - 2015/10/29(Thu) 23:13:16
☆ Re: ベクトルです / まりも
直線の「方程式」
を使ってといてみました。
こちらはtはしっかりでました。
No.33844 - 2015/10/29(Thu) 23:14:38
☆ Re: ベクトルです / IT
そうですね。Hが平面ABCにあることを使わないと難しそうですね。
No.33845 - 2015/10/30(Fri) 07:38:18
★ (No Subject) / か
お願いします。
No.33790 - 2015/10/26(Mon) 21:58:37
☆ Re: / ヨッシー
n回の試行後にＢが赤を持っている確率をq[n]、Ｃが赤を持っている確率をr[n] とします。
ｎ回目にＡが赤を持っている状態から
　3の倍数が出て3の倍数が出る
　3の倍数が出ず3の倍数が出ない
ｎ回目にＢが赤を持っている状態から
　3の倍数が出ず3の倍数が出る
ｎ回目にＣが赤を持っている状態から
　3の倍数が出て3の倍数が出ない
の場合に、ｎ＋２回目にＡが赤を持っています。
よって、
　p[n+2]＝(1/9＋4/9)p[n]＋(2/9)q[n]＋(2/9)r[n]
q[n]+r[n]＝1−p[n] より
　p[n+2]＝(5/9)p[n]＋(2/9)(1−p[n])＝2/9＋(1/3)p[n]

　p[n+2]−1/3＝(1/3)(p[n]−1/3)
および p[0]＝1, p[1]＝0 より
　p[2k]＝(2/3)(1/3)^k＋1/3　　(k=0,1,2・・・)
　p[2k+1]＝(-1/3)(1/3)^k＋1/3　(k=0,1,2・・・)
以上より
ｎが偶数のとき
　p[n]＝(2/3)(1/3)^(n/2)＋1/3
ｎが奇数のとき
　p[n]＝(-1/3)(1/3)^((n-1)/2)＋1/3
No.33795 - 2015/10/27(Tue) 09:49:55
☆ Re: / か
ありがとうございます。
No.33810 - 2015/10/27(Tue) 22:38:08
★ (No Subject) / か
お願いします。
No.33787 - 2015/10/26(Mon) 19:28:09
☆ Re: / X
(1)
白色の箱が区別がつく場合のカードの入れ方の数は
4^n[通り]
条件の場合、白色の箱を入れ替えても同じカードの
入れ方とみなせるので
a[n]=(1/2)4^n

(2)
(1)の結果から
(1/2)4^n≦10^20
両辺の常用対数を取って整理をし、
与えられた近似値を使います。
No.33788 - 2015/10/26(Mon) 20:08:57
☆ Re: / か
ありがとうございます。
No.33791 - 2015/10/26(Mon) 22:00:18
☆ Re: / か
答えはn=32で合ってますか？
No.33792 - 2015/10/26(Mon) 22:45:52
☆ Re: / X
こちらの計算では最大のnは34になりました。
No.33794 - 2015/10/27(Tue) 05:49:11
☆ Re: / IT
(1/2)4^34＞10^20　のようです
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F2%294%5E34
No.33804 - 2015/10/27(Tue) 21:39:10
☆ Re: / か
33.722…<20+log(10)2/2log(10)2<33.7110

となったのですが間違ってますか？
No.33809 - 2015/10/27(Tue) 22:37:51
☆ Re: / IT
> 33.722…<20+log(10)2/2log(10)2<33.7110
>
> となったのですが間違ってますか？

33.722…<{20+log(10)2}/{2log(10)2}<33.7110
33.722…< 33.7110 ではないので少し間違っていると思います。（左右が逆？）

No.33825 - 2015/10/28(Wed) 21:57:19
★ 応用問題 / ごくう
次の問題が解けなく困っています。解答もありません。
詳しい解説お願いします。
No.33782 - 2015/10/26(Mon) 11:23:16
☆ Re: 応用問題 / ヨッシー
半径ｒの球から、図の青の部分をＰＱ周りに回転させた立体を２個分引けば求められます。

Ｐを原点、Ｑを（d,0,0) とすると、積分範囲は、
d/2 から r までとなります。
No.33783 - 2015/10/26(Mon) 12:13:30
★ 双曲線 / まりも
この問題を方べきの定理を利用してとこうとしているのですが、うまくいきません。
できないのでしょうか？
No.33779 - 2015/10/26(Mon) 09:13:46
☆ Re: 双曲線 / まりも
なんか間違ってますか？
No.33780 - 2015/10/26(Mon) 09:14:33
☆ Re: 双曲線 / ヨッシー
ＭＡに傾きをかけてＭＱを出そうとしているところがありますが、
これで出るのはＭＱのｙ方向の差分なので、それとＭＡとで、
ＭＱ（斜め）を出す必要があります。
No.33784 - 2015/10/26(Mon) 13:55:25
☆ Re: 双曲線 / まりも
あ、なるほど！！
解決しました！！
ありがとうございました。orz
No.33789 - 2015/10/26(Mon) 21:58:24
★ 極限の問題 / みかん
極限の
lim n→∞(1^2+2^2+3^2+……+n^2)/n^3
という問題についてです。

1^2+2^2+3^2+……+n^2をΣk^2=1/6n(n+1)(2n+1)として解くと1/3と答えられることはわかるのですが、
初めに分母と分子をn^3で割ってから考えると答えが0になってしまいます。

分母の最高次で割るという方法を使ってみたのですが、
この方法の何がいけないのか、教えてください。
No.33774 - 2015/10/25(Sun) 19:59:31
☆ Re: 極限の問題 / X
問題の式は
lim[n→∞]Σ[k=1〜n](k^2)/n^3 (A)
ですが、みかんさんはこれを
Σ[k=1〜n]lim[n→∞](k^2)/n^3 (B)
又は
lim[n→∞]Σ[k=1〜n]lim[n→∞](k^2)/n^3 (C)
に等しいと見て計算しているのでしょうか？。
いずれにしてもこの計算は誤りです。

(B)の場合はnのうち、Σのパラメータにおいて
n→∞を考えていない点からこれは誤り
です。
(C)の場合は、何の条件もなしに勝手に
limを二重にしている点が誤りです。
No.33778 - 2015/10/26(Mon) 05:28:32
☆ Re: 極限の問題 / みかん
Xさん、回答ありがとうございます！

たしかに(B)のように考えてもいい気がしていました。

ただ改めて考えてみたのですが、
(1^2+2^2+3^2+……+n^2)/n^3=1^2/n^3+2^/n^3+3^2/n^3+……+n^2/n^3となり、
このとき1^2/n^3,2^2/n^3など各項が0に収束するから、
lim[n→∞](1^2+2^2+3^2+……+n^2)/n^3
=lim[n→∞]1^2/n^3+lim[n→∞]2^/n^3+lim[n→∞]3^2/n^3+……+lim[n→∞]n^2/n^3
=Σ[k=1〜n]lim[n→∞](k^2)/n^3
つまり(B)としてもいいのではないでしょうか。
おそらく、Xさんの
>(B)の場合はnのうち、Σのパラメータにおいて
n→∞を考えていない点からこれは誤り
です。
という部分がよく分かっていないのだと思います。


そして結局、この問題の前に解いた
lim[n→∞](2n^2+3n+1)/n^2という問題では、分母分子をn^2で割るという手順が取れたのに、
lim[n→∞](1^2+2^2+3^2+……+n^2)/n^3という問題だと、
なぜ先に分子をΣで考えないといけないのかが
わかりません。

例えば今後他の問題を解くときは、
「○＋○＋……＋○」という表記のものは先にΣで変形すると考えればいいのでしょうか？


くり返しになりますが、回答お願いします。
No.33781 - 2015/10/26(Mon) 09:49:03
☆ Re: 極限の問題 / ast
おそらく話を横道に逸らすことになると思うので話半分で捉えて頂いて構いません.

この問題で分母分子を n^3 で割るという手法が使えないわけではありませんが, それをやるには区分求積法によって
　(1^2+2^2+3^2+……+n^2)/n^3 → ∫_[0,1] x^2 dx = 1/3
としなければなりません.

こうなる理由を感覚的に言えば 1^2+2^2+3^2+……+n^2 の「項数 (=n)」が n→∞ とするときに同時に∞へ行くため, 結果としてn(=項数)分の寄与があると考えて良いと思います (例えば項数が n^2 だったら n^2 と同程度の寄与がある).
# もう少し定量的に言えば,
# n に近い n-1 や n-2 などは n→∞ の極限で (n-1)/n→1, (n-2)/n→1 というように n とほとんど変わりません.
# n が十分大きければほとんどすべての k が 1 よりも n の近くにあるので,
# それはほとんど n 個のほぼ n^2 があるのと同じことですから,
# 求める極限値はn*n^2/n^3 = 1 に比例した値になることが予想できます.
No.33785 - 2015/10/26(Mon) 18:06:23
☆ Re: 極限の問題 / X
＞＞そして結局、〜
既にastさんが回答されているので補足の形になって
しまいますが
n→∞
にしたときに項数が一定なのか
変化するかの違いになります。

lim[n→∞](2n^2+3n+1)/n^2
の場合は
lim[n→∞](2n^2+3n+1)/n^2
=lim[n→∞](2+3/n+1/n^2)
ですがn→∞としても項数が3個であることに
変化はありません。従って
=lim[n→∞]2+lim[n→∞](3/n)+lim[n→∞](1/n^2)
と分割して計算できます。

しかし
lim[n→∞](1^2+2^2+3^2+……+n^2)/n^3
=lim[n→∞]{(1^2)/n^3+(2^2)/n^3+(3^2)/n^3+……+(n^2)/n^3}
の場合はn→∞のとき、項数が変化します
(無限に大きくなります)ので
=Σ[k=1〜n]lim[n→∞](k^2)/n^3
の変形は誤りです。
(項数が変化することが考慮されていない)
No.33786 - 2015/10/26(Mon) 19:01:38
☆ Re: 極限の問題 / みかん
>astさん
追記ありがとうございます。
なるほど！たしかに区分求積法でもできますね！
1/3になることもわかりました。

>Xさん
項数の変化がポイントなんですね！
項数が変化すると
Σ[k=1〜n]lim[n→∞](k^2)/n^3と考えたときに
∞がΣの意味する項数に対して働かなくなるから…
と解釈しました。

お二方とも、丁寧な解説ありがとうございました！
No.33793 - 2015/10/27(Tue) 00:30:53
★ 複素数平面 / 北風
よろしくお願いします。

複素数平面上で点zがzの絶対値＝√２を満たしながら動くとき、w=1/(z-i) で定まる ｗ　が描く図形を求めよ。
No.33773 - 2015/10/25(Sun) 19:49:27
☆ Re: 複素数平面 / GM
ｗ＝１／（ｚ−ｉ）
１／ｗ＝ｚ−ｉ
１／ｗ＋ｉ＝ｚ
１＋ｗｉ＝ｗｚ
両辺の絶対値の２乗をとって
（１＋ｗｉ）（１−ωｉ）＝２ｗω
ここでωはｗの共役の複素数を表す。
ｗω−ｗｉ＋ωｉ−１＝０
（ｗ＋ｉ）（ω−ｉ）＝２
ω−ｉはｗ＋ｉの共役の複素数なので左辺はｗ＋ｉの絶対値の２乗を表す。
よってｗは−ｉを中心とする半径√２の円を描く。
No.33990 - 2015/11/03(Tue) 19:41:31
★ 高1数A / ぴーの
1辺の長さ2の正三角形ABCがある。半直線AB,AC上にBD=3,CE=1となる点D,Eをそれぞれとり、直線DEとBCの交点をFとするとき、DE:EFの長さを求めよ。
図にかいてもわからなかったので解けません。教えてください！
(できれば早めに…)
No.33772 - 2015/10/25(Sun) 19:40:39
☆ Re: 高1数A / ヨッシー
△ＡＤＥにおける余弦定理より
　ＤＥ^2＝3^2＋5^2−2・3・5cos∠ＤＡＥ
　　　＝19
よって、ＤＥ＝√19

メネラウスの定理より
　(AC/CE)(EF/FD)(DB/BA)＝１
　EF/FD＝(CE/AC)(BA/DB)＝(1/2)(2/3)＝1/3
よって、ＥＦ＝ＤＥ／２＝√19/2
No.33776 - 2015/10/25(Sun) 22:22:58
☆ Re: 高1数A / ぴーの
解説ありがとうございますー‼︎
No.33777 - 2015/10/25(Sun) 22:42:54
★ 高2 / まき
解く過程とかも確認したいので、書いていただけるとありがたいです。
No.33770 - 2015/10/25(Sun) 17:23:42
☆ Re: 高2 / IT
これと同じ問題では？
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=33609
No.33771 - 2015/10/25(Sun) 18:58:26
★ 平面図形 / 納豆菌
△ABCにおいて、辺AB,BC上にそれぞれ点D,EをAD/DB=1/2,BE/EC=2/3となるようにとり、直線DEとCAの延長との交点をFとする。このとき、△ABCと△BDFの面積の比を求めよ。
メネラウスの定理っぽいとは思ったのですが、定理もよくわかっていません。図に描いてみましたが、これで良いのでしょうか？
教えてください。
No.33767 - 2015/10/25(Sun) 15:29:49
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
底辺比から面積比を次々と出すと、図のように各部の面積比が出ます。
　△ＡＢＣ：△ＢＤＦ＝(2＋4)：2＝3：1
となります。
No.33768 - 2015/10/25(Sun) 16:18:56
☆ Re: 平面図形 / 納豆菌
定理は関係ないですね…
わかりやすい説明をありがとうございました！
No.33769 - 2015/10/25(Sun) 16:39:38
全22553件 [ ページ : << 1 ... 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 ... 1128 >> ]