f(x)=px+2はg(x)=e^(2x)と異なる2点(a,g(a)),(b,g(b))で交わっている。ただし,-1<a<0<b<1とする。
(1)da/dp>0,db/dp>0を示せ。
(2)x=±1,f(x),g(x)で囲まれる面積が最小となるときbをaを用いて表せ。
よろしくお願いします。
|
No.34135 - 2015/11/09(Mon) 04:26:03
| ☆ Re: 面積？ / X | | | (1)
条件からy=f(x),y=g(x)の交点のx座標について
e^(2x)=px+2
∴e^(2x)-px-2=0 (A)
さて(A)の解が条件から
x=a,b
なので
e^(2a)-pa-2=0 (B)
e^(2b)-pb-2=0 (C)
(G)の両辺をpで微分して
{2e^(2a)}(da/dp)-a-p(da/dp)=0
∴da/dp=a/{2e^(2a)-p}
更に(B)を用いてpを消去すると
da/dp=a/{2e^(2a)-{e^(2a)-2}/a}
=(a^2)/{(2a-1)e^(2a)+2} (B)'
ここで
h(a)=(2a-1)e^(2a)+2
と置くと
h'(a)=(2+2(2a-1))e^(2a)=4ae^(2a)
よって-1＜a＜0により
h(a)＞h(0)=1＞0
となるので(B)'よりda/dp＞0
同様に(C)より
db/dp=(b^2)/{(2b-1)e^(2a)+2} (C)'
となるので、0＜b＜1における
k(b)=(2b-1)e^(2a)+2
の増減を考えることにより
db/dp＞0
(2)
問題の面積をSとすると
S=∫[-1→a]{e^(2x)-(px+2)}dx+∫[a→b]{(px+2)-e^(2x)}dx+∫[b→1]{e^(2x)-(px+2)}dx
=[(1/2)e^(2x)-(1/2)px^2-2x][-1→a]
+[-(1/2)e^(2x)+(1/2)px^2+2x][a→b]
+[(1/2)e^(2x)-(1/2)px^2-2x][b→1]
=-(1/2)/e^2+(1/2)p-2+e^(2a)-pa^2-4a
-e^(2b)+pb^2+4b+(1/2)e^2-(1/2)p-2
=e^(2a)-pa^2-4a-e^(2b)+pb^2+4b
+(1/2){e^2-1/e^2}-4
∴dS/dp=2{e^(2a)-pa-2}(da/dp)+2{-e^(2b)+pb+2}(db/dp)-a^2+b^2
(B)(C)を代入して
dS/dp=b^2-a^2=(b-a)(b+a)
ここで
-1＜a＜0＜b＜1
ですので、
b-a＞0
∴dS/dp,b+aの符号は一致します。
更に
t(p)=b+a
と置くと(1)の結果により
t'(p)＞0
となるのでb+aはpに関して単調増加。
以上からSはb+a=0、つまり
b=-a
のときに最小になります。
|
No.34140 - 2015/11/09(Mon) 12:27:55 |
| ☆ Re: 面積？ / hiroshi | | | X 様
たいへんありがとうございます！
考えるときは紙に書き直しましたが、解法や式の変形、記述の仕方などとてもよくわかりました。
|
No.34175 - 2015/11/09(Mon) 19:17:52 |
|
