複素平面上に3点a,1/a,a~があり、これらはどの2点も一致せず、さらに3点は一直線上にないものとする。このとき3点a,1/a,a~を頂点とする三角形の内部（辺を含む）に点2が含まれるような点aの存在領域を複素平面上に図示しなさい。
よろしくお願いします。
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No.34036 - 2015/11/05(Thu) 16:02:35
| ☆ Re: 領域 / X | | | 複素数zの共役複素数を\zと表すことにします。
1/a=\a/(a\a)=(1/|a|^2)\a (P)
に注意して、a,\a,1/aを複素平面上に
図示することを考えてみます。
今、a,\a,1/aに対応する複素平面上の
点をA,B,Cすると、(P)より
点B,Cは実軸に関して同じ側にあり
点A,Bは実軸に関して対称
であることが分かります。
そこで、辺AB,CAと実軸との交点を考える
ことにします。
これらに対応する実数をそれぞれt,uとすると
t=(a+\a)/2 (A)
u=a+(a-1/a)v (B)
(vは実数)
又、vについて
(uの虚数部)
={a+(a-1/a)v-\{a+(a-1/a)v}}/(2i)=0 (C)
(C)より
v=(a-\a)/{\(a-1/a)-(a-1/a)}
=(a-\a)/(\a-1/\a-a+1/a)
=(a-\a)(|a|^2)/(\a|a|^2-a-a|a|^2+\a)
=(a-\a)(|a|^2)/(\a-a)(1+|a|^2)
=-(|a|^2)/(1+|a|^2)
(B)に代入して
u=a-(a-1/a)(|a|^2)/(1+|a|^2)
=a/(1+|a|^2)+(|a|^2)/{a(1+|a|^2)}
=(a+\a)/(1+|a|^2)
よって題意を満たすためには
(aの虚数部)≠0 (D)
かつ
{(a+\a)/(1+|a|^2)≦2≦(a+\a)/2 (E)
又は
(a+\a)/2≦2≦(a+\a)/(1+|a|^2) (F)}
(E)の左辺と中辺について
(a+\a)/(1+|a|^2)≦2
(a+\a)≦2(1+|a|^2)
|a|^2-(1/2)(a+\a)+1≧0
|a-1/2|^2+3/4≧0
これは任意の複素数aについて成立します。
逆に(F)の中辺と右辺について
|a-1/2|^2+3/4≦0
となりますが、これを満たす複素数aは存在しません。
以上から求める条件は
2≦(a+\a)/2かつ(D)
つまり
2≦(aの実部)かつ(D)
となります。
図示をすると、
z=2に対応する点を通る虚軸に平行な直線を
境界とする右側(但し実軸上の点は含まず、
z=2以外の境界上の点は含む)
が求める領域となります。
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No.34038 - 2015/11/05(Thu) 18:48:44 |
| ☆ Re: 領域 / hiroshi | | | X 様
たいへん詳しい解答をありがとうございます。
「(uの虚数部)
={a+(a-1/a)v-\{a+(a-1/a)v}}/(2i)=0 (C)」
はどうやって導くのですか？
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No.34050 - 2015/11/05(Thu) 22:02:47 |
| ☆ Re: 領域 / IT | | | （別解）
α=a+bi,a,bは実数とおく,α~=a-bi,1/α=a/(a^2+b^2)-bi/(a^2+b^2)
どの２点も一致しないこと３点が一直線上にないことからa≠0,b≠0
r=a^2+b^2とおくと,r＞0で 1/α=(a/r) - (b/r)i
A(a,b),B(a,-b),C(a/r,-b/r)としてxy座標で考える
B,Cはx軸を挟んでAと反対側にあるので
△ABCが点(2,0)を含む. ⇔ 線分ABとx軸の交点と線分ACとx軸の交点の間に(2,0)がある.
⇔線分ACとx軸との交点をP(d,0)とすると,a≦2≦dまたはd≦2≦a
直線ACの方程式は,x=-[a(1-r)/{b(1+r)}](y-b)+a
y=0として d=2a/(1+r)
a≦1のとき, r＞0なので d＜2となり 不適.
a＞1のとき, r＞aなので d＜2a/(1+a)＜2である.
1＜a＜2のとき,不適.
a≧2のとき,d＜2≦aとなり条件を満たす.(ただしb≠0)
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No.34056 - 2015/11/06(Fri) 00:00:09 |
| ☆ Re: 領域 / X | | | ＞＞「(uの虚数部)〜
uは実数ですので
(uの虚数部)=0
となります。
ここで
(uの虚数部)=(u-\u)/(2i)
これに(B)を代入します。
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No.34057 - 2015/11/06(Fri) 04:34:29 |
| ☆ Re: 領域 / hiroshi | | | X様
IT様
どうもありがとうございます。
図を描きながら考えてようやく理解できました。
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No.34074 - 2015/11/06(Fri) 23:03:47 |
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