よろしくです。
![]() |
No.34326 - 2015/11/18(Wed) 22:43:41
| ☆ Re: / X | | | 大問1問目)
P(x,y,z)
と置くと、まず点Pは平面ABE上にあるので
x+y+z=1 (A)
次にPB=PC=PE=aにより
x^2+(y-1)^2+z^2=a^2 (B)
x^2+(y+1)^2+z^2=a^2 (C)
x^2+y^2+(z-1)^2=a^2 (D)
(A)(B)(C)(D)をx,y,z,aについての
連立方程式と見て解きます。
(まずは(B)-(C)よりyの値を求めます。)
|
No.34343 - 2015/11/20(Fri) 12:37:03 |
| ☆ Re: / X | | | 大問2問目)
(1)
P(X,Y,Z)
と置きます。
点Pを通り↑APに垂直な平面上の点を
Q(x,y,z)と置くと
↑AP・↑PQ=0
∴
(X-a[1])(x-X)+(Y-a[2])(y-Y)+(Z-a[3])(z-Z)=0
よって題意を満たすためには
{(X-a[1])(a[1]-X)+(Y-a[2])(a[2]-Y)+(Z-a[3])(a[3]-Z)}{(X-a[1])(b[1]-X)+(Y-a[2])(b[2]-Y)+(Z-a[3])(b[3]-Z)}＜0 (A)
これより
{(X-a[1])^2+(Y-a[2])^2+(Z-a[3])^2}{(X-a[1])(X-b[1])+(Y-a[2])(Y-b[2])+(Z-a[3])(Z-b[3])}＜0
A,Pは異なる点ですので
(X-a[1])(X-b[1])+(Y-a[2])(Y-b[2])+(Z-a[3])(Z-b[3])＜0
更に整理して
{X-(a[1]+b[1])/2}^2+{Y-(a[2]+b[2])/2}^2+{Z-(a[3]+b[3])/2}^2＜(1/4)(a[1]-b[1])^2+(1/4)(a[2]-b[2])^2+(1/4)(a[3]-b[3])^2
よって求める点Pの存在範囲は
点((a[1]+b[1])/2,(a[2]+b[2])/2,(a[3]+b[3])/2)を中心とする
半径(1/2)√{(a[1]-b[1])^2+(a[2]-b[2])^2+(a[3]-b[3])^2}
の球の内部(境界を含まず)
となります。
注)
(A)について補足しておきます。
例えば平面上の直線
y=x
つまり
y-x=0 (A)
に関して点(1,0),(0,1)は反対側にありますが
この点の座標を(A)の左辺の式に代入した値、
つまり
1-0,0-1
の積について
(1-0)(0-1)＜0
が成立しています。
(これは(A)に関して上側の領域、下側の領域を表す
不等式がどのような式になるかを考えれば納得できる
と思います)
もっと一般的に、平面上の直線
ax+by+c=0
に関して反対側にある2つの点(t,u),(v,w)
について
(at+bu+c)(av+bw+c)＜0
が成立します。
以上のことを3次元での平面に関して反対側にある
二つの点の場合に拡張して考えます。
(2)
(1)の結果を使うとtについての不等式が
二つできますので、それらを連立して
解きます。
|
No.34344 - 2015/11/20(Fri) 12:49:28 |
| ☆ Re: / か | | | No.34358 - 2015/11/20(Fri) 21:22:11 |
|
