0＜a＜3、0＜b＜3、0＜ｃ＜3、a+b+c=6 のするとき
１/(a-b+c)+1/(a+b-c)+1/(-a+b+c)の最大値とそのときの
a,b,cの値を求めよ。
よろしくお願いします。
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No.33575 - 2015/10/12(Mon) 23:04:05
| ☆ Re: 整数 / IT | | | 最大値は存在しないと思います。（いくらでも大きくできる）
例えば、a=2+t,b=3-t,c=1,0<t<1とすると条件を満たす。
与式=１/(2t)+1/4+1/(2-2t)はtを0に近づけるといくらでも大きくなる。
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No.33576 - 2015/10/12(Mon) 23:26:17 |
| ☆ Re: 整数 / IT | | | 最小値 なら
(1)bを固定したとき
a=cのとき最小値 1/(6-2b)+2/b をとる。
(2)bを動かして、最小値をとるときを調べるとb=2のときで 最小値は3/2です。
(1)は相加相乗平均の関係か微分、(2)は微分でやりました。
# 高校程度ですか？大学程度ですか？ それによって使う解法が少しちがって来ると思います。
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No.33578 - 2015/10/13(Tue) 07:40:15 |
| ☆ Re: 整数 / llk | | | 高校程度 でお願いします。
最小値でした。お手数おかけしました。
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No.33579 - 2015/10/13(Tue) 10:54:01 |
| ☆ Re: 整数 / IT | | | a+b+c=6を使って変換し
与式=1/(6-2b)+1/{b+(a-c)}+1/{b-(a-c)}, 各分母＞0に注意。
=1/(6-2b)+2b/{b^2-(a-c)^2}
2b＞0,b^2-(a-c)^2＞0なので
bをある値に固定したとき、与式が最小となるのはa-c=0のときで
最小値=1/(6-2b)+2/bである.これをf(b)とおく.
微分して増減を調べる
f'(b)=2/{(6-2b)^2} - 2/(b^2)=-6(b-2)(b-6)/[{(6-2b)^2}{b^2}}
f'(b)は 0＜b＜2で負, b=2で0, 2＜b＜3で正
よってf(b)はb=2で最小。
したがって与式はa=b=c=2のとき最小値3/2をとる。
#微分を使わない方法、
f(b)は0＜b＜3において連続で常に正でlim[b→0]f(b)=∞,lim[b→3]f(b)=∞,なので最小値がある。
したがって与式には最小値がある。
（前半の議論と同様に）最小値をとるのはa=b=c=2のときである。
#「整数」の問題ではないですよね？
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No.33586 - 2015/10/13(Tue) 19:43:46 |
| ☆ Re: 整数 / IT | | | 33578で (1)は相加相乗平均の関係 としたのは下記の解答を考えていました。
与式=1/(6-2b)+1/(6-2c)+1/(6-2a)
=1/(6-2b)+{(6-2a)+(6-2c)}/{(6-2c)(6-2a)}
=1/(6-2b)+{12-2(a+c)}/{(6-2c)(6-2a)}
=1/(6-2b)+2b/{(6-2c)(6-2a)}
bをある値に固定したとき
(6-2c)>0,(6-2a)>0,(6-2c)+(6-2a)=2bなので
相加相乗平均の関係から
(6-2c)(6-2a)が最大になるのはa=cのときで
このとき与式は最小値 1/(6-2b)+2b/(b^2)をとる
(以下同じ)
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No.33595 - 2015/10/13(Tue) 21:22:34 |
| ☆ Re: 整数 / IT | | | 相加相乗平均の関係だけで出来ますね
0＜a＜3,0＜b＜3,0＜ｃ＜3,a+b+c=6 より,a-b+c＝a+b+c-2c=6-2c＞0,同様にa+b-c＞0,-a+b+c＞0
x=a-b+c,y=a+b-c,z=-a+b+cとおくとx+y+z=a+b+c=6
相加相乗平均の関係から,与式=(1/x)+(1/y)+(1/z)≧3{(1/x)(1/y)(1/z)}^(1/3), 等号はx=y=zのとき
相加相乗平均の関係から,(xyz)^(1/3)≦(x+y+z)/3=2 , 等号はx=y=zのとき
よって与式≧3/2,等号はx=y=zのとき
x=y=zとなるのはa=b=c=2のときで与式は最小値3/2となる。
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No.33606 - 2015/10/14(Wed) 19:01:53 |
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