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★ 積分 / ダル
この問題を区分求積で求めることで来ますか？
グラフは単調増加でないから無理でしょうか！？
どのように解けばいいか教えてください
No.33437 - 2015/10/06(Tue) 00:54:15
☆ Re: 積分 / ヨッシー
無理でしょう。

普通、区分求積法は、グラフが固定されていて、それの
ある区間をｎ等分して、その分割数ｎを無限大に飛ばす
方法ですが、上の問題の場合、ｎとともにグラフも動くので、
通常の区分求積法は適用できません。

※「通常の」と書いたのは、もしかしたら別の求積法があるのかもしれません。
が、私は知りません。
No.33439 - 2015/10/06(Tue) 11:23:40
☆ Re: 積分 / ダル
これが使えるのではないかと思いまして
No.33445 - 2015/10/06(Tue) 16:27:58
☆ Re: 積分 / ダル
問題です
No.33446 - 2015/10/06(Tue) 16:29:07
☆ Re: 積分 / ヨッシー
なるほど、使えそうですね。

単調増加かどうかがポイントなら、
0〜π/2 と π/2〜π
に分けて積分すればどうでしょう？
No.33447 - 2015/10/06(Tue) 16:41:46
☆ Re: 積分 / ダル
場合わけすれば確かにいけそうな気がします 一度やってみます
No.33503 - 2015/10/09(Fri) 11:06:03
★ ベクトルと平面図形 / 木の葉
高校3年生です。

【問題】
※ベクトルOAを↑OAのように表します。
平面上の三角形OABがOA=OB=1を満たしている。このとき、↑OA=↑a、↑OB=↑bとし、↑aと↑bの内積を↑a・↑b=kとおいて、辺OAの垂直二等分線の方程式を媒介変数tと↑a、↑b、kを用いて表すと、(1/2)↑a+（ア）となる。また、三角形OAの外接円の中心をPとおく時、位置ベクトル↑OPを↑a、↑b、kを用いて表すと、（イ）となる。

クラスメイトが答えていたものですが、

点Bから辺OAへ下ろした垂線をBHとし、θ=∠AOBとすると、
k=↑a・↑b=|↑a||↑b|cosθ=cosθ（∵OA=OB=1）
∴↑OH=↑a・cosθ=k↑a
∴↑HB=↑OB-↑OH=↑b-k↑a
辺OAの中点をM、辺OAの垂直二等分線上の点をPとすると、
↑OP=↑OM+↑MP=(1/2)↑a+t↑HB=(1/2)↑a+t(↑b-k↑a)…?@
　（ア）　t(↑b-k↑a)

三角形OABの外心Pは辺ABの垂直二等分線上にあるので
↑OP=s(↑a+↑b)
?@より↑OP=(1/2 -k↑b)↑a+t↑b
↑aと↑bは一次独立より、
s=1/2 -kt
……
　（イ）(↑a+↑b)/2(k+1)

この3行目の「↑OH=↑a・cosθ」とはどうやって求めたのでしょうか？
また、（イ）の答えまで含めて、もう少しわかりやすく書く方法があればそれもお願いしたいです。
No.33432 - 2015/10/05(Mon) 17:34:39
☆ Re: ベクトルと平面図形 / ヨッシー
△ＯＨＢにおいて、ＯＢ＝１に対し
　ＯＨ＝ＯＢcosθ＝cosθ
一方、ＯＡ＝１ なので、
　↑ＯＨ=↑a・cosθ
となります。

>?@より↑OP=(1/2 -k↑b)↑a+t↑b
は、
?@より↑OP=(1/2 -kt)↑a+t↑b
の書き間違いだとして、
ＯＰはＡＢの中点を通るので、
　(1/2 -kt)：ｔ＝１：１
よって、
　1/2−kt＝t
　ｔ＝1/2(k+1)
から、
　↑ＯＰ＝ｔ(↑ａ＋↑ｂ)＝・・・
とする方法もありますが、手間は余り変わりませんね。
No.33433 - 2015/10/05(Mon) 18:01:11
★ 数列 / ターサイ
(1)はできましたが(2)と(3)がわかりません
ちなみに(1)の解答はa1=4.7,a2=4.23です
宜しくお願い致します
No.33428 - 2015/10/05(Mon) 15:09:02
☆ Re: 数列 / IT
(2)数学的帰納法によればいいと思います。
メイン部分の概要だけ

n＝2kのとき　4＜a[2k]＜4.5 と仮定
n＝2k+1のとき　a[2k+1]＝a[2k]+0.5なので　
　　　　　4.5＜a[2k+1]＜5
n＝2k+2のとき　a[2k+2]＝(0.9)a[2k+1]なので　
　　　　 4.05＜a[2k+2]＜4.5
(3)
(2)より
a[2k+1]＝a[2k]+0.5＝(0.9)a[2k-1]+0.5＞(0.9)a[2k-1]+(0.1)a[2k-1]
a[2k+2]＝(0.9)a[2k+1]＝(0.9)(a[2k]+0.5)＞(0.9)a[2k]+(0.1)a[2k]
No.33435 - 2015/10/05(Mon) 19:09:39
☆ Re: 数列 / ターサイ
ありがとうございます
わかりました！
No.33438 - 2015/10/06(Tue) 11:22:35
★ 体積 / llk
xyz空間において、｜x｜+｜y｜≦｜z｜をみたす点のうち、
x軸との距離が1以下であるもの全体からなる立体の体積を
求めよ。

z=k(定数)とおいて、-1から1まで、積分する感じでいいのでしょうか。
No.33427 - 2015/10/05(Mon) 14:02:01
☆ Re: 体積 / X
まともに計算するのであればその通りです。
ですが、問題の立体の対称性を使い
平面z=kによる断面の第1象限の部分の断面積
を
k:0→1
で積分をした結果を8倍する、
という方針の方が計算は簡単です。
No.33436 - 2015/10/05(Mon) 19:21:44
★ 対数 / ゆ
数?U

よろしくお願いします。
No.33418 - 2015/10/04(Sun) 23:03:30
☆ Re: 対数 / X
log[x]y=t
と置くと条件から
1+t=3log[x]2 (A)
a=(2log[x]2-t)(2log[x]2+t) (B)
(A)より
t=3log[x]2-1
=3/log[2]x-1
∴x＞1により
t＞-1 (A)'
更に(A)を用いて(B)からxを消去して
a=… (B)'
(A)'における(B)'の値の範囲を求めます。
No.33419 - 2015/10/05(Mon) 05:18:50
☆ Re: 対数 / ゆ
ありがとうございます。
No.33429 - 2015/10/05(Mon) 15:23:33
★ 二項定理 / ｓｄ
(ｘ−２/x)^4(１+ax)＾５．．．☆の展開式における?]＾４の係数が４１となるような負の時数aの値を求めよう。このときの☆の展開式における定数項も求めよう。
(ｘ−２/x)^4の一般コウはアＣｒｘ＾アーｒ(−２／ｘ)＾ｒであり、(１+ax)＾５の展開式の一般コウは
イＣs１＾イーｓ(ａｘ)＾ｓである。
ただし、ｒ、ｓはそれぞれウ≦ｒア、ウ≦ｓ≦イを満たす整数である。よって、☆の展開式の一般コウは
アＣｒ・イＣｓ(エオ)＾ｒａ＾ｓｘ＾カ―キ＾ｒ+ｓである。

詳しい解説お願いします。
No.33417 - 2015/10/04(Sun) 21:38:45
☆ Re: 二項定理 / ヨッシー
二項定理により
　(x+y)^n＝(nＣ0)x^n・y^0＋(nＣ1)x^(n-1)・y^1＋(nＣ2)x^(n-2)・y^2＋・・・
　　　　＋(nＣ[n-1])x^1・y^(n-1)＋(nＣn])x^0・y^n
つまり、一般項は　0≦ｒ≦ｎ である整数ｒにおいて
　(nＣr)x^(n-r)・y^r
と書けます。

これを、(ｘ−２/x)^4 に適用すると、一般項は
　(4Ｃr)x^(4-r)・(-2/x)^r　0≦ｒ≦4
同様に、(１+ax)^5 の一般項は
　(5Ｃs)1^(5-s)・(ax)^s　0≦ｓ≦5

あとはこれらを掛け合わせるだけです。
No.33420 - 2015/10/05(Mon) 06:25:42
★ (No Subject) / tdj48
y=sinx/(1+2(sinx)^2)（０＜＝ｘ＜＝２π）の増減表をかくと、次のようになりますが、これを作るときは、ｘ＝π／４、π／２、３π／４……をY’、Yに代入して、一個ずつ求めていかないとダメですか。

何か時間短縮できるような方法があればご教授下さい。
No.33414 - 2015/10/04(Sun) 20:49:59
☆ Re: / ヨッシー
ｙに一個ずつ代入することは避けられないでしょう。
ただし、ｙ’の方は、ｙ’＝０ になるｘの値を境に
多くは正負が入れ替わります。

注意しないといけないのは、
　cosｘ(1−2sin^2ｘ)＝0
において、cosｘ＝0 も 1−2sin^2ｘ＝0 も両方満たすｘが
存在する場合や、
　ｙ’＝1−sin^2ｘ
のように、ｙ’＝０ を満たすｘを境に正負が入れ替わらない
因数を含んでいる場合は、そのｘの値前後では、ｙ’の正負がどうなるかを
代入して調べないといけません。
No.33421 - 2015/10/05(Mon) 09:11:00
☆ Re: / tdj48
丁寧なご解説ありがとうございました。

安直に＋０ー０＋０ーとしないほうがいいこともあることが、よくわかりました。
No.33430 - 2015/10/05(Mon) 17:11:08
★ (No Subject) / tdj48
以下の写真の☆の下の２つのグラフでa,b]のとき、limx→a+hはできても、limx→a-hはできないのでｂｂ微分係数は存在しないのですか？

それだとすると、問いの解説で「0<x<4」と＝がついていないのはなぜですか
No.33413 - 2015/10/04(Sun) 20:16:09
☆ Re: / ヨッシー
こちらの記事が参考になるかも。
微分可能でなくても、値が確定できれば、最小値になり得ます。
No.33422 - 2015/10/05(Mon) 09:29:49
☆ Re: / tdj48
では、この場合「０＜＝ｘ＜＝４」で微分しても問題ないですよね？
No.33431 - 2015/10/05(Mon) 17:14:54
★ (No Subject) / teraoka
aを実数とし、次数が３以下の整式Ｐ(ｘ)が
Ｐ(１)＝１２、Ｐ(２)＝４、Ｐ(３)＝ａ，Ｐ(４)＝０を満たすとする。
Ｐ(４)＝０より、因数定理から、Ｐ(ｘ)はｘ−アで割り切れ、
次数が２以下の整式Ｑ(ｘ)でＰ(ｘ)＝(ｘ−ア)Ｑ(ｘ)を満たすものがある。
Ｑ(ｘ)を求めるため、
Ｑ(ｘ)＝ｒ(ｘ−２)(ｘ−３)＋ｓ(ｘ−３)＋ｔとおいて、
定数ｒ、ｓ、ｔ、をａを用いて表そう。
Ｐ(３)＝ａからｔ＝イウとなり、Ｐ(２)＝４から、
ｓ＝ーａ＋エとなる。さらに、Ｐ(１)＝１２から、
ｒ＝−オ／カａとなる。よって、Ｑ(ｘ)は
−１／カ{ａｘ＾２−(キａ＋ク)ｘ＋ケａ＋コサ}である。
Ｐ(ｘ)＝０が虚数解を持つようなａの範囲は
シス―セ√ソ＜ａ＜シス＋セ√ソである。
この範囲にある最小の整数はタで、ａ＝タのとき、Ｐ(ｘ)＝０
の虚数解はチ±√ツｉ／テである。

カタカナの部分がわかりません。解説も交えてお願いします。
No.33408 - 2015/10/04(Sun) 19:30:04
☆ Re: / ヨッシー
[ア] は、因数定理そのものですので、
　P(4)＝0 ⇔ P(x) が x-4 で割り切れる　より　[ア]＝４

Ｑ(ｘ)＝ｒ(ｘ−２)(ｘ−３)＋ｓ(ｘ−３)＋ｔ
と置くのは、Ｑ(x) が２次以下であることと、P(2)＝4, P(3)＝a を
使いやすくするためです。
別に Q(x)＝rx^2＋sx＋t と置いても構いませんが、式が複雑になります。

P(x)＝(x-4)Q(x) にｘ＝３を代入して、
　P(3)＝−Q(3)
　ａ＝−ｔ
より　ｔ＝−ａ　　・・・[イウ]

同じく、ｘ＝２ を代入して
　P(2)＝-2Q(2)
　4＝-2(-s+t)
　-s+t＝-2
　ｓ＝ｔ＋２＝−ａ＋２　　・・・[エ]

同じく、ｘ＝１ を代入して
　P(1)＝-3Q(1)
　12＝-3(2r−2s＋t)
　2r−2s＋t＝-4
　2r＝-4+2s-t＝-4＋2(-a+2)+a＝−ａ
　ｒ＝(-1/2)a　　・・・[オカ]
よって、
　Ｑ(ｘ)＝ｒ(ｘ−２)(ｘ−３)＋ｓ(ｘ−３)＋ｔ
　　＝(-a/2)(x^2−5x＋6)＋(-a+2)(x-3)−a
　　＝(-1/2){ax^2−(3a+4)ｘ＋2a＋12}　・・・[カキクケコサ]

P(x)＝(x-4)Q(x)＝0 が虚数解を持つことと、Q(x)＝0 が虚数解を持つことは同値であるので、
ax^2−(3a+4)ｘ＋2a＋12 の判別式をとって、
　(3a+4)^2−4a(2a+12)＝a^2−24a＋16＜0
これを解いて、
　12−8√2＜ａ＜12＋8√2　　・・・[シスセソ]
8√2≒11.2 最小の整数は　 ａ＝１　・・・[タ]
このとき、
　ax^2−(3a+4)ｘ＋2a＋12＝x^2−7x＋14
x^2−7x＋14＝0 を解いて、
　ｘ＝(7±√7ｉ)/2　　・・・[チツテ]
No.33423 - 2015/10/05(Mon) 11:05:52
★ (No Subject) / tdj48
以下の問題の回答の一部を抜粋しています。

なぜ、「X<0,3<X」は「X<=0,3<=X」ではないのですか？

微分係数はグラフの端では求められないのですか？
No.33403 - 2015/10/04(Sun) 18:21:26
☆ Re: / tdj48
忘れてました。
No.33404 - 2015/10/04(Sun) 18:21:58
☆ Re: / X
右極限、左極限を既に学習されているという
前提で回答します。

例えば
f(x)=|x|
について
f(x)=x(x≧0)
f(x)=-x(x＜0)
となるので
lim[h→+0]{f(h)-f(0)}/h=1 (A)
lim[h→-0]{f(h)-f(0)}/h=-1 (B)
つまり
(A)≠(B)
となっていますのでf'(0)は定義できません。
ご質問の問題についても、これと同様の理由で
x＜0,3＜x
となっています。
No.33407 - 2015/10/04(Sun) 19:29:54
☆ Re: / tdj48
なるほど、わかりました。

ありがとうごさいました。
No.33409 - 2015/10/04(Sun) 19:37:24
★ (No Subject) / だーすー
こちらの問題の解法を教えてください、お願いします！
数学?UBの知識で解けるとのことなのですが、歯がたたないです…(>_<)
No.33402 - 2015/10/04(Sun) 18:20:33
☆ Re: / IT
Aはf(x)=(x^3)/26+100-x^2 を微分して、f(x)が極小になるxを求め。
その前後の整数nについてf(n)を調べれば良いのでは？
No.33406 - 2015/10/04(Sun) 19:06:52
☆ Re: / IT
命題B
f=10nm+3mL+3nLとおきます。

仮定から　3L＝1-5n-5m
これを代入すると
f=10nm+m(1-5n-5m)+n(1-5n-5m)
=10nm+m-5mn-5m^2+n-5n^2-5nm
=m-5m^2+n-5n^2
=m(1-5m)+n(1-5n)
　m(1-5m)はm=0のとき0、m≦-1のとき負,m≧1のとき負、n(1-5n)も同様
よってf≦0、等号はn=m=0のとき

ところがn=m=0のとき,仮定から3L=1となるが、このような整数Ｌは存在しない。
よってn≠0またはm≠0であり、f＜0　である。
No.33410 - 2015/10/04(Sun) 19:40:31
★ (No Subject) / tdj48
解答と方針が違ったので、不安になりました。
No.33393 - 2015/10/04(Sun) 16:29:55
☆ Re: / tdj48
私の解答です。
No.33395 - 2015/10/04(Sun) 16:30:34
☆ Re: / IT
x=1でf'(x)の分子＝0とした方が見通しは良いと思います。

tdj48 さんの解答の場合
a=5のときf'(x)の分子がどうなるか明記する必要があると思います。
また、「このとき　x^2+2x+5　＞0」としたところは
x^2+2x+5が何者なのか明記する必要があると思います。
No.33398 - 2015/10/04(Sun) 17:29:48
☆ Re: / tdj48
ご丁寧にありがとうございます。これから、参考にさせていただきます。

なお、「 a=5のときf'(x)の分子がどうなるか明記する必要があると思います。 」とはどういうことですか？
No.33399 - 2015/10/04(Sun) 17:34:13
☆ Re: / IT
a=5 のとき　f'(x)の分子＝(x-1)P(x)であることは言えてますが
f'(x)の分子＝(x-1)(x-1)などでは、ダメです。
そうなってなくて　x=1の前後で符号が変わることを明示する必要があるということです。
No.33401 - 2015/10/04(Sun) 18:01:42
☆ Re: / tdj48
なるほど！理解できました。ありがとうございました。
No.33405 - 2015/10/04(Sun) 18:23:30
★ (No Subject) / かぶるまん（高校２）
□１「開区間(a.b)で微分可能であるとする」のところは「閉区間[a.b]で微分可能であるとする」ではダメなのですか？
No.33392 - 2015/10/04(Sun) 16:03:21
☆ Re: / IT
閉区間[a.b]で微分可能である ならば
開区間(a.b)で微分可能ですから、同様に１、２、３が言えますが

１の条件のときf(x)が[a,b]で単調に増加する。が言えるためには
f(x)がx=aで微分可能である必要はありません。
例えばf(x)=|x-1|はx=1で微分可能ではないですが[1,2]で単調に増加します。
No.33397 - 2015/10/04(Sun) 16:48:56
☆ Re: / tdj48
ご丁寧にありがとうございます。

たしかにその通りですね。
No.33400 - 2015/10/04(Sun) 17:36:32
★ 絶対値の関数のグラフ / 大原
y=|x^2-4|+x (-3≦x≦2)のグラフの求め方と最大値・最小値の導きかたを教えてください。

お願いします
No.33391 - 2015/10/04(Sun) 15:59:31
☆ Re: 絶対値の関数のグラフ / X
場合分けをして絶対値を外します。

y=|(x+2)(x-2)|+x
となることから
(i)-3≦x≦-2のとき
y=(x+2)(x-2)+x
=x^2-x-4
(ii)-2≦x≦2のとき
y=-(x+2)(x-2)+x
=-x^2-x+4
後は(i)(ii)のグラフを描いてつなぎます。
No.33412 - 2015/10/04(Sun) 19:58:29
★ 続き / みか
方程式Ｑ(ｘ)＝０の解をα、β、γとする。
α＋β＋γ＝３のときｂ＝クケａ＋コ。。。Ⓐ
このときＱ(ｘ)＝０が虚数解を持たないようなａの取りうる値の範囲は
ａ≦サ―シ√ス／セまたはａ≧サ＋シ√ス／セである。
一方αβγ＝３のときｂ＝ーソａ＋タ／ａ＾チ。。。Ⓑ
ⒶとⒷがともになりたつとき、
ツａ＾３−テａ＾２−２ａ＋ト＝０．．．Ⓒであり、
Ⓒを満たすａの値はナニ、ヌ、ネ／ノである。
このうちＱ(ｘ)が虚数解を持たないようなａの値はハ個ある。



カタカナのところを求めるのですが、よくわかりません。
解説もお願いします。
No.33385 - 2015/10/04(Sun) 11:45:42
☆ Re: 続き / IT
Ｑ(ｘ)とa,bの関係は？
No.33386 - 2015/10/04(Sun) 11:56:50
☆ Re: 続き / ヨッシー
おそらく下の記事の続きと思われますが、その場合は、
[返信]ボタンを押した上で、続きを書いてください。
No.33387 - 2015/10/04(Sun) 12:27:28
☆ Re: 続き / みか
ａが因数定理で多分Ｑｘ＝(ｘ−ａ)Pｘで
ｂが剰余の定理で(ｘ−ｂ)Qｘ＋２ｐｘで
{ｐ(ｘ)}＾２＝(ｘ−ｂ)(ｘ−ａ)Pｘ＋２ｐｘ？このへんからどうすればいいのかわからない。。。
現在中３なんですが、調べてもぴんときません。
No.33388 - 2015/10/04(Sun) 12:30:50
☆ Re: 続き / みか
> おそらく下の記事の続きと思われますが、その場合は、
> [返信]ボタンを押した上で、続きを書いてください。

わかりました。
No.33389 - 2015/10/04(Sun) 12:35:29
☆ Re: 続き / みか
わかったというのは、ヨッシーさんの指摘についてです。
No.33396 - 2015/10/04(Sun) 16:44:41
☆ Re: 続き / ヨッシー
こちらの記事の問題は、こちらに移しました。
No.33425 - 2015/10/05(Mon) 11:08:53
★ 数学?U / みか
a、ｂは実数でP（ｘ）とQ(ｘ)はそれぞれ
２次と３次の整式であるとする。Q（ｘ）はP(ｘ)で割り切れ、商がｘ−aであるとする。
このときQ(ｘ)＝(ｘ−ア)P（ｘ）が成立。
{P(ｘ)}＾２をQ(ｘ)で割ると、商がｘ−ｂ、あまりが２P(ｘ
)であるとする。このとき
{ｐ(ｘ)}＾２＝(ｘ−イ)Q(ｘ)＋ウP(ｘ)が成立。
上の２つの等式より、
{ｐ(ｘ)}＾２＝{(ｘ−ア)(ｘ−イ)＋エ}P(ｘ)となる。
したがって、P(ｘ)＝ｘ＾２ー(ａ＋オ)ｘ＋カｂ＋キである。
No.33384 - 2015/10/04(Sun) 11:34:37
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
続きも貼っておきます。（上の記事は無効とします）

方程式Ｑ(ｘ)＝０の解をα、β、γとする。
α＋β＋γ＝３のときｂ＝クケａ＋コ。。。Ⓐ
このときＱ(ｘ)＝０が虚数解を持たないようなａの取りうる値の範囲は
ａ≦サ―シ√ス／セまたはａ≧サ＋シ√ス／セである。
一方αβγ＝３のときｂ＝ーソａ＋タ／ａ＾チ。。。Ⓑ
ⒶとⒷがともになりたつとき、
ツａ＾３−テａ＾２−２ａ＋ト＝０．．．Ⓒであり、
Ⓒを満たすａの値はナニ、ヌ、ネ／ノである。
このうちＱ(ｘ)が虚数解を持たないようなａの値はハ個ある。
No.33424 - 2015/10/05(Mon) 11:07:22
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
[ア][イ][ウ] は、問題文にある通りを式にするだけです。
　Q(x)＝(x-a)P(x)　　　・・・(1)
　{P(x)}^2＝(x-b)Q(x)＋2P(x)　　　・・・(2)
A(x) を B(x) で割った時の商がC(x)、余りがD(x) のとき
　A(x)＝B(x)C(x)＋D(x)
と書けます。
43を7で割った時、商が6、余りが1 であることを
　43＝7・6＋1
と書けるのと同じです。

(1)を(2)に代入して、
　{P(x)}^2＝(x-b)(x-a)P(x)＋2P(x)
　　　　＝{(x-b)(x-a)＋2}P(x)　　・・・[エ]
P(x) は恒等的に０ではないので、両辺 P(x) で割って、
　P(x)＝(x-b)(x-a)＋2
　　　＝x^2−(b+a)x＋ab＋2　　・・・[オカキ]

Q(x)＝(x-a)P(x)＝0 の解は、１つはｘ＝ａであり、残りの２つは
P(x)＝0 の解です。P(x)＝0 の解を ｘ＝α、β、γ＝ａ とすると、
解と係数の関係より
　α＋β＝ａ＋ｂ＝(α＋β＋γ)−γ＝３−ａ
よって、　ｂ＝−２ａ＋３　　・・・[クケコ]
ａが実数であるので、Q(x) が虚数解を持たないことと、P(x) が虚数解を持たないこととは
同値であるので、P(x)＝0 について考えます。
　x^2−(b+a)x＋ab＋2＝0
は
　x^2＋(a-3)x−2a^2＋3a＋2＝0
と書けます。これの判別式をとって、
　(a-3)^2−4(−2a^2＋3a＋2)＝9a^2−18a＋1≧0
これを解いて、
　a≦(3−2√2)/3　、a≧(3＋2√2)/3　　・・・・[サシスセ]

解と係数の関係より
　αβ＝ab＋2＝(αβγ)/γ＝3/a　（ただしａ≠0)
よって、ｂ＝(-2a+3)/a^2　　・・・[ソタチ]
これと、ｂ＝−２ａ＋３ とから
　-2a+3＝-2a^3＋3a^2
　2a^3−3a^2−2a＋3＝0　　・・・[ツテト]
a=1,a=-1 はこの方程式の解なので、(a-1)(a+1)＝a^2−1 でくくって、
　2a^3−3a^2−2a＋3＝(a-1)(a+1)(2a-3)＝0
これを解いて
　a＝-1, 1, 3/2
この内、a≦(3−2√2)/3　、a≧(3＋2√2)/3 を満たすのは、
　ａ＝−１　のみです。
No.33426 - 2015/10/05(Mon) 11:55:45
★ 軌跡 / llk
Oを原点とする座標平面上に円Ｃ：ｘ＾2＋ｙ＾2＝１と、
定点（２，0）がある。点Ａを通る直線がＣと２点Ｐ１，
Ｐ２で交わり，ＡＰ１の垂直二等分線とＯＰ１の交点を
Ｑ１，ＡＰ２の垂直二等分線とＯＰ２の交点をＱ２とする。
Ｑ１，Ｑ２の軌跡は双曲線であることを示し、その方程式を
求めよ。

よろしくお願いします。
No.33379 - 2015/10/04(Sun) 00:16:08
☆ Re: 軌跡 / ヨッシー
たぶん、点(2,0) が点Ａなのでしょう。

点Ａを通る直線と円Ｃが異なる２点で交わるとき、
その交点を、Ａに近い方からＰ1、Ｐ2 とします。


図は、Ｐ1とＱ1 の様子を描いたものです。

Ｐ1Ｑ1＝ＡＱ1 であるので、
　ＯＱ1−ＡＱ1＝ＯＰ1＝１
の関係があります。同様に、Ｐ2、Ｑ2 においては
　ＡＱ2−ＯＱ2＝１
の関係があります。

つまり、２定点からの距離の差が一定となるので、
Ｑ1、Ｑ2 は、２点Ｏ，Ａを焦点とする双曲線となります。

また、点Ａを通る直線が円Ｃに接するときの、ＡＰ1(＝ＡＰ2) の垂直二等分線が
漸近線となります。
その式は　ｙ＝±√3ｘ であり、双曲線の式は、
　ｘ^2−ｙ^2/(√3)^2＝ａ
のグラフを、ｘ軸方向に１移動したものなので、
　(x-1)^2−ｙ^2/(√3)^2＝ａ
これが、(3/2, 0) を通るようにａを決めると、ａ＝1/4
よって、求める式は
　4x^2−4y^2/3＝1
No.33381 - 2015/10/04(Sun) 10:43:07
☆ Re: 軌跡 / llk
動画まで、つけていただきありがとうございます。
No.33394 - 2015/10/04(Sun) 16:30:16
★ 等差数列 / からす
高2です。

等差数列｛a[n]｝があり、a[2]＝−53、a[3]−2a[4]＝41を満たしている。また、数列｛b[n]｝の初項から第n項までの和をS[n]とするとき、S[n]＝n^2−12n(n＝1、2、3、・・・)を満たしている。
⑴数列｛a[n]｝の一般項a[n]をnを用いて表せ。また、a[n]<0となる最大のnを求めよ。
⑵数列｛b[n]｝の一般項b[n]をnを用いて表せ。
⑶Σ[k＝1、20]|a[k]|≦nb[n]を満たす最小の自然数nの値を求めよ。

⑴は、a[n]＝4n−61、⑵は、2n−13になりましたがあっていますか？
⑶は解き方がわからず、停滞中です。お願い致します🙇
No.33377 - 2015/10/03(Sat) 21:42:21
☆ Re: 等差数列 / ヨッシー
(1)(2) は合っています。あと、(1) の後半も(3)で使うので
求めておきます。

(3)
(1) の後半の結果より、k=1〜15 で、a(k)＜0、k≧16 で a(k)＞0 なので、
　(左辺)＝Σ[k＝1〜15](61-4n)＋Σ[k＝16〜20](4n-61)
　　＝490
n・b[n]＝2n^2−13≧490
これを解いて
　ｎ＝(13±√4089)/4
63^2＝3869, 64^2＝4096 より、ｎ＞０ の解は
　19＝(13+63)/4＜ｎ＜(13+64)/4＝19.25
の範囲にあるので、
求める最小の自然数ｎは２０。
No.33380 - 2015/10/04(Sun) 00:43:06
★ 確率 / セメント
12本のくじの中に4本の当たりくじが入っている。A,B,Cの3人がこの順番でくじを引くとき、
(?@)A,B,Cの3人全員が当たりくじを引く確率
(?A)Bが当たりくじを引く確率 を求めよ。
上記の問題の(?@)の自分の答えは1/5になったのですが、確信が持てません。また、(?A)は、Aが当たった場合、はずれた場合に場合分けするのですか？基本的な問題ではありますが、どうか教えていただきたいです。
No.33375 - 2015/10/03(Sat) 20:42:00
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(i) 1/5 ではありません。
どのようにして計算したか書いてもらえると、どこで間違ったか
言うことが出来ます。
おそらくですが、1/5 というのは、Ａが当たって、Ｂが当たった
上での、Ｃが当たる確率を求めているような気がします。

(ii)
この問題は、場合分けをさせたい（今後場合分けをしなくて良いための）
問題だと思いますので、場合分けをするのが良いでしょう。
No.33376 - 2015/10/03(Sat) 21:14:25
☆ Re: 確率 / セメント
ご返答ありがとうございます。
(?@)→考え方は、Aが当たる確率は12本から4本のいずれかなので4/12=1/3、Bが当たる確率はAの分を引いて3/11、Cが当たる確率はA,Bの分を引いて2/10=1/5、1/3＊3/11＊1/5で1/55(すみません1/5でないです)だと単純に考えてたのですが…。さっぱりです…
No.33378 - 2015/10/03(Sat) 21:50:01
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(i) の 1/55 はそれで正しいです。

(ii) は
Ａが当たって、Ｂも当たる確率
Ａが外れて、Ｂが当たる確率
をそれぞれ求めて、合計します。
No.33382 - 2015/10/04(Sun) 10:45:31
☆ Re: 確率 / IT
横から失礼します。
この問題については、セメント さんの解法、ヨッシーさんの解説が分かりやすいですが
他の考え方を（場合によってはこちらが役にたつこともあると思います）

１２本のくじをすべて区別して考え、左から一列に並べて、
Ａ，Ｂ，Ｃが順に左端からくじを引いていくと考えます。

１２本のくじの並べ方は全部で１２！とおり

（?@）そのうち１、２、３番目に当たりくじが並ぶのは（４×３×２）×９！とおり
　　よってＡ,Ｂ,Ｃの3人全員が当たりくじを引く確率は
　　（４×３×２×９！）/１２！＝（４×３×２）/(１２×１１×１０)＝１／５５

（?A）２番目に当たりくじが並ぶのは、４×１１！とおり
　　よってＢが当たりくじを引く確率は　、（４×１１！）／１２！＝４／１２＝１／３

１２人がどんな順番でくじをいても、当たりくじを引く確率はそれぞれ１／３で平等であることが分かります。
No.33383 - 2015/10/04(Sun) 11:34:01
☆ Re: 確率 / セメント
ヨッシーさん→すみません、計算ミスでしたね。(?A)の考え方まで、ありがとうございます。
ITさん→他の解法まで教えていただきありがとうございます。参考にさせていただきます。
お二人ともありがとうございました！
No.33390 - 2015/10/04(Sun) 12:36:53
★ 整数 大学入試 / 吉野
添付の問題について質問があります。
No.33368 - 2015/10/03(Sat) 16:24:42
☆ Re: 整数 大学入試 / 吉野
続きです。
このナ部分について。
下のようにときました。
a′c′＝9とし、a′＝3と出ているのでcは一つにしか決まらず、1組だと思いましたが、こたえは９組だそうです。
どうしてそうなるのでしょうか…
宜しくお願いします。
No.33370 - 2015/10/03(Sat) 16:28:20
☆ Re: 整数 大学入試 / ヨッシー
ｇはａとｂの最大公約数ですが、ａとｃの最大公約数ではないので、
　ｇａ’ｃ’＝２７００
とはなりません。

与えられている条件は、
　ａ（＝９００）とｃとの最小公倍数が２７００
ということだけです。
　ａ＝2^2×3^2×5^2
　2700＝2^2×2^3×5^2
なので、ｃの条件は
　2 は最大２個まで掛けて良い
　3 は３個掛けてないといけない（４個以上もダメ）
　5 は最大２個まで掛けて良い
なので、２について０個、１個、２個の３通り、５についても３通りで、
合計　３×３＝９(通り)　です。
No.33371 - 2015/10/03(Sat) 16:56:54
☆ Re: 整数 大学入試 / 吉野
遅くなりすみません！

ｇが共通しないという話はわかりました。しかし、形式的にga´c´＝2700と考えられ、a＝ga´＝900より、c´＝3まで出ると思います。
そこから考えることは出来ないでしょうか…？

何度もすみませんがお願いします。
No.33704 - 2015/10/21(Wed) 00:29:56
☆ Re: 整数 大学入試 / ヨッシー
それまで使っていた a', g とは違う数 a', g に対して
　ga'c'＝2700
と書くことは可能で、c'＝3 とすることも可能です。そして、
　a＝ga'＝900
を、g と a' (ただし、a' は c' と互いに素)の形に分解出来れば、
その g と c'（3に等しい）を掛ければ、c が作れます。

では、そのような分解の仕方は何通りあるでしょうか？
という問題に置き換えることは可能です。
No.33708 - 2015/10/21(Wed) 08:49:50
☆ Re: 整数 大学入試 / 吉野
はい、そのように定義し直して解きたいです、
gc´＝cとし、C´＝3
としたあと、どのように考えたら良いか教えてもらえないでしょうか
お願いします。
No.33712 - 2015/10/21(Wed) 12:21:41
☆ Re: 整数 大学入試 / ヨッシー
あれ？
>そのような分解の仕方は何通りあるでしょうか？
を解いてもらえば、この問題は終わりのはずですが。
No.33714 - 2015/10/21(Wed) 13:29:07
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