ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 複素数平面 / 高校生です

zを絶対値1の複素数で、z≠1，z≠-1とする。1，z，2z^2が複素数平面上で一直線上にあるときのzを求めよ。
解答（3±√7i)/4
複素数zをa+biとおいたのですが2z^2がどうなるのかわかりません…

No.34310 - 2015/11/17(Tue) 05:33:59

☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー

ｚ＝ａ＋ｂｉとおくと
　ｚ^2＝ａ^2－ｂ^2＋2abｉ　
なので
　２ｚ^2＝２ａ^2－２ｂ^2＋4abｉ
よって、１からｚまでのｘ座標の差：ｙ座標の差
　ａ－１：ｂ
１から2z^2までのｘ座標の差：ｙ座標の差
　２ａ^2－２ｂ^2－１：４ａｂ
これらが同じ比になるので、
　ｂ(２ａ^2－２ｂ^2－１)＝４ａｂ(ａ－１)
整理して
　２ｂ(ａ^2＋ｂ^2)－４ａｂ＋ｂ＝０
ａ^2＋ｂ^2＝１を考慮すると
　３ｂ＝４ａｂ
ｂ≠０より　ａ＝3/4
ａ^2＋ｂ^2＝１　より　ｂ^2＝7/16
　ｂ＝±√7/４

No.34311 - 2015/11/17(Tue) 06:59:19

★ 再質問です / ぷっぽ高校三年生

同じ問題なのですがもう一度質問します。平方完成する時になぜ最初tで平方完成したのですか？kで自分はしたため答えが出ませんでした。教えてください

No.34306 - 2015/11/16(Mon) 22:16:59

☆ Re: 再質問です / ぷっぽ高校三年生

解説です

No.34307 - 2015/11/16(Mon) 22:17:23

☆ Re: 再質問です / ぷっぽ高校三年生

続きです

No.34308 - 2015/11/16(Mon) 22:17:52

☆ Re: 再質問です / X

No.34307の図を見ていただければ分かりますが
kを座標として持つ点Pは定点です。
ですのでkも定数(=変数ではない)として考える
必要があるのでkについての平方完成では
全く意味がありません。

No.34309 - 2015/11/16(Mon) 22:25:27

☆ Re: 再質問です / ぷっぽ高校三年生

Xさんありがとうございます！解決しました！

No.34328 - 2015/11/18(Wed) 23:03:07

★ 方程式、不等式への応用 / ぽん

方程式27^x-3^(2x+1)+a=0が異なる2つの実数解をもつような定数aの値の範囲を求めよ、という問題がわかりません。
宜しければ解説をお願いします。

ちなみな答えは0<a<4です。

No.34301 - 2015/11/16(Mon) 18:17:24

☆ Re: 方程式、不等式への応用 / ヨッシー

27＝3^3 であるので、上の式は
　3^3x－3・3^2x＋a＝0
と書けます。X＝3^x とおくと、
　X^3－3X^2＋a＝0
という３次関数になります。（ただし X＞0)
　f(X)＝X^3－3X^2＋a
とおくと
　f'(X)＝3X^2－6X
よって、X＝0 で極大値、X＝2 で極小値となります。
よって、異なる２つの実数解を持つには
　f(0)＞0 かつ f(2)＜0
　f(0)＝a＞0
　f(2)＝ａ－４＜０
以上より　０＜ａ＜４　となります。

※もう１つ　Ｘ＜０の範囲にＸの実数解がありますが、対応するｘの実数解がないので、ｘの実数解としては２つです。

No.34302 - 2015/11/16(Mon) 19:17:24

☆ Re: 方程式、不等式への応用 / ぽん

とても流れがわかりやすかったです！
ありがとうございます。

ちなみに、f'(x)を出したあと、よってx=0で極大値x=2で極小値とあるのですが、それらはどのようにわかったのでしょうか？

お手数ですが教えていただけませんか。
宜しくお願いします

No.34303 - 2015/11/16(Mon) 19:28:18

☆ Re: 方程式、不等式への応用 / ヨッシー

f'(X)＝3X^2－6X＝0 の解が
　X＝0, 2
であることはおわかりですね？

元の３次関数のｘ^3 の係数が正なので、ｘがマイナスで
ずっと小さい(絶対値が大きい)とき、f(x) も、マイナスで
ずっと小さい値を取ります。
プラスで大きいときは、f(x) もずっと大きくなります。

すると、グラフの形は左下から上がって下がって上がって右上に
抜けていく形になります。
よって、X＝0, 2 のうち、X の小さい方が極大で、大きい方が極小になります。

No.34304 - 2015/11/16(Mon) 20:32:10

☆ Re: 方程式、不等式への応用 / ぽん

理解できました！
ありがとうございました！

No.34305 - 2015/11/16(Mon) 21:23:14

★ 最大値最小値 / K

この関数の最大値と最小値を出したいのですが、わかりません、
範囲はxの範囲は0以上π/2以下です
ご教授お願いします。

No.34298 - 2015/11/16(Mon) 17:24:58

☆ Re: 最大値最小値 / ヨッシー

　y＝2sin^2x－cosxsinx＋3cos^2x
　　＝2(sin^2x＋cos^2x)＋cos^2x－cosxsinx
cos^2x＝(cos(2x)＋1)/2, sin(2x)＝2sinxcosx より
　y＝2＋(cos(2x)＋1)/2＋sin(2x)/2
　　＝5/2＋(sin(2x)＋cos(2x))/2
　　＝5/2＋√2sin(2x＋π/4)/2
と変形できます。

No.34299 - 2015/11/16(Mon) 17:47:21

★ 高校生のベクトルの問題です / 元太郎

平面上の異なる3点O.A,Bは同一直線上にないものとする。この平面上のPが2|OP|^2-OA•OP+2OB•OP-OA•OBを満たすとき、Pの軌跡が円となることを示しなさい。

よろしければ、解説をお願いします。。

No.34297 - 2015/11/16(Mon) 17:10:14

☆ Re: 高校生のベクトルの問題です / ヨッシー

　２|ＯＰ|^2－ＯＡ・ＯＰ＋２ＯＢ・ＯＰ－ＯＡ・ＯＢ＝０
とします。

点Ａ(ａ)、点Ｂ(ｂ) を直径とする円上の点Ｐ(ｐ)のベクトル方程式は
　(ｐ－ａ)・(ｐ－ｂ)＝０
と表せます。この形を目指します。

ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂ、ＯＰ＝ｐとおくと、
　２|ｐ|^2－ａ・ｐ＋２ｂ・ｐ－ａ・ｂ＝０
　２ｐ・（ｐ＋ｂ）－ａ・（ｂ＋ｐ）＝０
　(２ｐ－ａ)・（ｐ＋ｂ）＝０
　(ｐ－ａ／２)・（ｐ－（－ｂ））＝０
よって、点Ｐは、ａ／２、－ｂを表す点を直径とする円上にあります。

No.34300 - 2015/11/16(Mon) 17:50:10

★ (No Subject) / 数学大好き

1/n+1)+1/(n+2)+・・・+1/(n+n)=1/1・2+1/3・4+・・・＋1/(2n-1)2n の証明

　帰納法らしいのですが、n=k+1 の式変形がうまくいきません。よろしくお願いします。

No.34289 - 2015/11/15(Sun) 19:09:44

☆ Re: / ヨッシー

帰納法必須なのでしょうか？
帰納法でなければ、
Ａ＝1/1＋1/2＋1/3＋・・・1/n＋1/(n+1)＋・・・＋1/2n
Ｂ＝1/2＋1/4＋・・・＋1/2n
Ｃ＝Ａ－Ｂ＝1/1＋1/3＋1/5＋・・・＋1/(2n-1)
とおくと、
(右辺)＝1/1－1/2＋1/3－1/4＋・・・＋1/(2n-1)－1/2n
　　＝Ｃ－Ｂ
　　＝Ａ－２Ｂ
一方、
　２Ｂ＝2(1/2＋1/4＋・・・＋1/2n)
　　＝1/1＋1/2＋1/3＋・・・＋1/n
よって、
　Ａ－２Ｂ＝(1/1＋1/2＋1/3＋・・・1/n＋1/(n+1)＋・・・＋1/2n)－(1/1＋1/2＋1/3＋・・・＋1/n)
　　＝(左辺)
のように証明できます。

No.34290 - 2015/11/15(Sun) 19:26:15

☆ Re: / 数学大好き

　これは、すごいです。でも、経験値なのでしょうか。自力でこの証明は思いつかないので覚えておくようにします。どうも、有り難う御座いました。

No.34291 - 2015/11/15(Sun) 19:55:07

☆ Re: / ヨッシー

帰納法でやるなら、
　1/(k+1)＋・・・＋1/2k＝1/1・2+1/3・4+・・・＋1/(2k-1)2k　・・・(i)
が成り立っているとき、
　1/(k+2)＋・・・＋1/(2k+2)＝1/1・2+1/3・4+・・・＋1/(2k-1)2k＋1/(2k+1)(2k+2)　・・・(ii)
が成り立つことを証明するわけですが、
(i) の式をＳとおくと、
　(ii)の左辺＝Ｓ－1/(k+1)＋1/(2k+1)＋1/(2k+2)
　　＝Ｓ＋1/(2k+1)－1/(2k+2)
　　＝Ｓ＋1/(2k+1)(2k+2)
　　＝(ii)の右辺
のように示すことが出来ます。

上の方の証明は、経験値といえば経験値ですかね。
知ってはいました。

No.34292 - 2015/11/15(Sun) 20:15:23

☆ Re: / 数学大好き

ご丁寧に有り難う御座います。でも、こっちの方が私には難しいです。最初の方がスッキリしていると思います。自力でできるように復習しておきます。どうも、有り難う御座いました。

No.34295 - 2015/11/16(Mon) 10:36:44

★ 高校数学の大学受験問題です！ / ななみ

よろしければ解答や解説をお願いします！(>_<)

No.34286 - 2015/11/15(Sun) 15:18:43

☆ Re: 高校数学の大学受験問題です！ / ヨッシー

(1)
省略
(2)
Ａ(a, 0), Ｂ(0,k-a) (0≦a＜k) を一辺とする正方形が
考えられるので k 個。
(3)
q[1]＝1, q[2]＝6, q[3]＝20
(4)
　q[n]＝Σ[k=1～n](n-k+1)^2・k＝n(n+1)^2(n+2)/12

(3) は、例えば、n=3 のとき、
１辺１の正方形の辺上の点で出来る１個（(2) のk=1 の場合) が９個
１辺２の正方形の辺上の点で出来る２個（(2) のk=2 の場合) が４個
１辺３の正方形の辺上の点で出来る３個（(2) のk=3 の場合) が１個　で
　9・1＋4・2＋1・3＝20
これを一般的にしたのが(4)です。

No.34288 - 2015/11/15(Sun) 16:24:24

★ テスト / サキ

(2)このやり方でも解けるとは思うのですが
計算がよくわからなくて先に進みません…

No.34284 - 2015/11/15(Sun) 14:58:34

☆ Re: テスト / IT

a,bは実数ですか？　そうであれば
与式：(|a+b|+|b|)^2-|a|^2 を展開して整理すると

2(a+b)b+|2(a+b)b|になりますから
任意の実数xについてx+|x|≧0、を認めれば　与式≧0が言えますね。

No.34287 - 2015/11/15(Sun) 16:20:49

★ 場合の数 / ふぇるまー

解き方があっているか心配なので、合っているかetc.御教授くださいませ。

問:男の先生が1人、女の先生が1人、男子生徒と女子生徒がそれぞれ2人ずつの計6人が円卓に着席する。
先生2人、男子生徒2人、女子生徒2人がそれぞれ隣り合う方法は□通りある。

<解>　先生2人、男子生徒2人、女子生徒2人をそれぞれ1人ずつとみなして計3人の円順列を考えると、(3-1)!=2通り。
先生、男女の生徒はそれぞれ2人ずつであり、2人の座り方は、2!×2!×2!=8通り。
∴　2×8=16通り　

どうでしょうか?

No.34280 - 2015/11/15(Sun) 08:33:43

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

正解です。

解き方も良いと思います。

No.34281 - 2015/11/15(Sun) 09:07:58

☆ Re: 場合の数 / ふぇるまー

有難う御座いました

No.34285 - 2015/11/15(Sun) 15:03:14

★ 数学的帰納法 / まき

⑵からわかりません。

No.34275 - 2015/11/14(Sat) 21:10:22

☆ Re: 数学的帰納法 / IT

(1)はどうなりましたか？
a[5]も求めて見てください。　分子・分母の規則性が見えてきませんか？

No.34276 - 2015/11/14(Sat) 21:52:57

☆ Re: 数学的帰納法 / まき

⑵の、a[n]を推測まではできました。

No.34277 - 2015/11/14(Sat) 23:32:35

☆ Re: 数学的帰納法 / IT

> ⑵の、a[n]を推測まではできました。
どうなりましたか？

数学的帰納法の第一段階、仮定、示すべき次のステップ、結論は、それぞれどう書けますか？　できるところまで書いてください。

No.34278 - 2015/11/15(Sun) 00:24:30

☆ Re: 数学的帰納法 / まき

⑵までできました。
しかし、⑶が、わかりません。

No.34293 - 2015/11/15(Sun) 21:32:17

☆ Re: 数学的帰納法 / IT

b[n]=(2n+1)/{(2^n)a[n]}に(2)で求めたa[n]を代入すると
b[n]=2n/(2^n) - 1/(2^n) になると思います。

1/(2^k)の和は等比数列の和です

k/(2^k)の和は
T =1/(2^1)+2/(2^2)+3/(2^3)+.....+n/(2^n)
2T=1/(2^0)+2/(2^1)+3/(2^2)+.....+n/(2^(n-1))
として2T-Tを各項を斜めに対応させて引くことによって
2T-T=1/(2^0)+1/(2^1)+1/(2^2)+...+1/(2^(n-1))-n/(2^n)
とすると、中に等比数列の和が出来ます。

No.34294 - 2015/11/15(Sun) 22:41:17

★ (No Subject) / ぬーん

(4)と(5)の行列の計算方法がわかりません。
(4)は３乗をどのように計算しますか?
(5)は行列を簡単にするために、はきだしたのですが、
うまく計算できませんでした。
教えてください。

No.34271 - 2015/11/14(Sat) 14:23:46

☆ Re: / ヨッシー

Ａ^3＝ＡＡ^2＝Ａ^2Ａであり、ＡとＡ^2 の掛ける順はどちらでも構いません。

No.34272 - 2015/11/14(Sat) 16:42:33

☆ Re: / ぬーん

ありがとうございました！

No.34273 - 2015/11/14(Sat) 18:11:52

★ (No Subject) / 数学大好き

2つの複素数zとwとの間に w=(z+i)/(z+1) z≠0 の関係がある。
zが複素数平面上の虚軸を動くとき、wの軌跡を求めよ。

　この問題は、「虚軸上にある」ので共役複素数との和が０になる式に
与式をＺについて解いた式を代入してみたのですが、解答と合いません。
　
　途中の式を教えて頂けたら嬉しいです。

No.34270 - 2015/11/14(Sat) 13:13:01

☆ Re: / X

例えば、zの共役複素数を\zと書くことにします。

w=(z+i)/(z+1) (A)
から
w(z+1)=z+i
(w-1)z=-w+i
z=(-w+i)/(w-1) (B)
一方、題意から
z+\z=0 (C)
z≠0 (D)
(B)(C)より
(-w+i)/(w-1)+(-\w-i)/(\w-1)=0
これより
(-w+i)(\w-1)+(-\w-i)(w-1)=0
(-w\w+w+\wi-i)+(-w\w-iw+\w+i)=0
(w\w-w-\wi+i)+(w\w+iw-\w-i)=0
2w\w-(1-i)w-(1+i)\w=0
w\w-{(1-i)/2}w-{(1+i)/2}\w=0
{w-(1+i)/2}{\w-(1-i)/2}=1
{w-(1+i)/2}\{w-(1+i)/2}=1
|w-(1+i)/2|^2=1
|w-(1+i)/2|=1 (C)'
一方(A)(D)より
w≠i
よって求める軌跡は
(1+i)/2に対応する点を中心とする半径1の円
(但し、iに対応する点を除く)
となります。

No.34274 - 2015/11/14(Sat) 18:17:50

★ 円 / 納豆菌

図において、2円O、O'の半径はそれぞれ2、5で、中心間の距離OO'=9とする。共通接線の接点をA、A'、B、B'とするとき、線分BB'の長さを求めよ。
この問題がわかりません。直線OO'と接線BB'の交点をEとして点OからB'に、O'からBに垂線をおろし、△OB'Eと△O'BEの相似な三角形の比から求められるかなーと考えたのですが、自信はなく、もっとスッキリ解ける解法があるか知りたいです。お願いします。

No.34262 - 2015/11/14(Sat) 00:03:03

☆ Re: 円 / 納豆菌

写真が見にくくてすいません。

No.34263 - 2015/11/14(Sat) 00:04:21

☆ Re: 円 / ヨッシー

ＯＢ，Ｏ’Ｂ’ はＢＢ’に垂直なので、図のように
長方形ＯＢＢ’Ｃを作れば、ＯＣがＢＢ’に等しくなります。

No.34264 - 2015/11/14(Sat) 01:40:37

☆ Re: 円 / 納豆菌

なるほど‼︎ありがとうございました

No.34267 - 2015/11/14(Sat) 07:46:04

★ (No Subject) / か

数列
an=c^n/n!(nは0.1.2.3....)で定義された数列［an]がある。このanを最大にするようなnを求めよ。ただしcはnに無関係な正の定数とする。

お願いします。

No.34260 - 2015/11/13(Fri) 23:19:14

☆ Re: / ヨッシー

a[n] は正なので、a[n+1]/a[n] を調べ、これが
１より大きい間は増加、１未満になったら減少に転じます。
その変わり目が最大です。

No.34265 - 2015/11/14(Sat) 01:45:10

★ 平行四辺形のベクトルについて / むっく

閲覧いただき、ありがとうございます。

平行四辺形であるABCDがあり、AB = 1、AD = x、
また、角A = 120°である。
さらに、点 E , Fを直線 BC , BD 上にAEとBCが垂直、AFとABが垂直となるようにとる。
ABベクトルをaベクトル、ADベクトルをbベクトルとします。

1.AEベクトル AFベクトルをaベクトル、bベクトル、xで表しなさい。
2.三角形 AEF が直角三角形となる、xの値を求めなさい。

という問題です。
ベクトルが苦手で私にとって、少し難度が高いです。
どなたかご教示お願いします。

No.34254 - 2015/11/13(Fri) 18:07:09

☆ Re: 平行四辺形のベクトルについて / ヨッシー

　ＡＥ＝ＡＢ＋ｓＡＤ
と書けるので、
　ＡＥ・ＢＣ
　　＝(ａ＋ｓｂ)・
　　＝ａ・ｂ＋ｓ|ｂ|^2
ａ・ｂ＝ｰx/2 であるので、
　ＡＥ・ＢＣ＝-x/2＋ｓx^2＝０
ｘ＞０より　ｓ＝1/2x
よって、
　ＡＥ＝ａ＋ｂ/2x
同様に
　ＡＦ＝(x/2)ａ＋ｂ

∠ＦＡＥは60°なので、直角になるとしたら
∠ＡＦＥか∠ＡＥＦです。
それぞれについて、
　ＡＦ・ＥＦ＝０
　ＡＥ・ＥＦ＝０
からｘを求めます。

No.34255 - 2015/11/13(Fri) 19:06:00

☆ Re: 平行四辺形のベクトルについて / むっく

ヨッシー様、迅速な対応ありがとうございます。
無事に解決することが出来ました。
垂直条件を多用することは完全に抜けていました。

貴重なお時間を割いていただき、ありがとうございました。

No.34259 - 2015/11/13(Fri) 21:01:37

★ 極限 / みぽりん

a,b,cを実数の定数とし、a>0とする。2次関数f(x)=ax^2+bx+cが
lim f(x)/(x-1)=1 [x→1] をみたすとき、b，cをそれぞれaで表せ。

bは、帯分数に直して、おそらく、b=-2a+1だと思うのですが、
cの求め方が分かりません。

No.34252 - 2015/11/13(Fri) 15:56:31

☆ Re: 極限 / ヨッシー

解答の最初の方に
　f(1)＝0
より a+b+c=0
よって、c=-a-b
　・・・
というくだりがあったはずです。
c=-a-b なので、
　c＝a-1
です。

No.34253 - 2015/11/13(Fri) 16:51:59

★ 中学校の図形 / たゆ

画像の(3)の問題を教えてください。お願いします。

No.34250 - 2015/11/12(Thu) 19:32:55

☆ Re: 中学校の図形 / ヨッシー

ＡＤ＝４，ＢＤ＝６なので、△ＢＣＤは△ＡＢＣの3/5倍です。
ＡＣの中点をＭとすると、ＢＭはＡＣの垂直二等分線なので、
ＡＣを底辺とするとＢＭが高さになります。
ＢＭは△ＢＭＣにおける三平方の定理で求められます。

No.34251 - 2015/11/12(Thu) 21:23:31

☆ Re: 中学校の図形 / たゆ

解くことができました。ありがとうございました。

No.34256 - 2015/11/13(Fri) 19:15:10