a_k = ∫［0→1］(1-x^(1/k))^(n-k)dxとする。
このとき、Σ［k=1〜n］(1/a_k)=2^n - 1を示せ。
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No.33263 - 2015/09/26(Sat) 18:25:48
| ☆ Re: / 横横 | | | 元の問題はこれです
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No.33272 - 2015/09/26(Sat) 21:53:40 |
| ☆ Re: / 黄桃 | | | まず、k=n の時、a[n]=∫［0→1］1 dx＝１です。
x^(1/k)=t とおけば、xが0〜１の時tも0〜1で、x=t^k だから、dx/dt=kt^(k-1)
よって、
a[k]=∫［0→1］(1-x^(1/k))^(n-k)dx
=∫[0,1] k(1-t)^(n-k) t^(k-1) dt
です。
a[k]＝∫[0,1] (1-t)^(n-k) (t^k)’ dtだから、部分積分して
a[k]=∫[0,1] (n-k)(1-t)^(n-k-1) (t^k) dt
=(n-k)/(k+1)∫[0,1] (k+1) (1-t)^(n-(k+1)) (t^(k+1-1)) dt
=(n-k)/(k+1)a[k+1]
となります。
よって、k<n について、
a[k]=(n-k)/(k+1)a[k+1]=(n-k)/(k+1)*(n-(k+1))/(k+2)*a[k+2]=....
=(n-k)(n-k-1)...(n-(n-1))/{(k+1)(k+2)...(n-1+1)} *a[n]
=(n-k)!/nP(n-k)
です。これは k=n でも成立します。
したがって、1/a[k]=nC(n-k)=nCk (k=1,2,...,n)とわかります。
2項定理から 2^n=Σ_[k=0,n] nCk=1+Σ_[k=1,n] 1/a[k] だから、
Σ_[k=1,n] 1/a[k]=2^n-1
です。
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No.33297 - 2015/09/27(Sun) 13:06:57 |
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