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★ 最大公約数 / ぴー
５４と自然数ｍの最大公約数が６のとき、ｍ＋５６が４４のばいすうになるような
ｍについて考える。ｋ、ｎを自然数とし、ｍ＝６ｋ、ｍ＋５６＝４４ｎ
とすると、ｋ、ｎについて１次方程式アが成り立つ。
これを満たすｋ、ｎのうち、ｎの値が最小の組のｎはイであり、
ｍのうち小さいものから二つは、ウエオ、カキクである。

解法がわかりません。解説お願いします
No.33175 - 2015/09/23(Wed) 08:09:13
☆ Re: 最大公約数 / ヨッシー
まず押さえておくべきことは、ｋには３が約数に含まれてはいけないということ。
（１８が公約数になるので)

ア
普通にｍを消去して
　６ｋ＋５６＝４４ｎ
より
　３ｋ＋２８＝２２ｎ

イ
変形して
　３ｋ＝２２ｎ−２８
右辺が９の倍数でない３の倍数である場合をｎが小さい方から探すと
　ｎ＝４，１０，１３・・・
が見つかります。最小のものは４

ウ〜ク
ｍ＝４４ｎ−５６　に、ｎ＝４，１０を代入して
順に　ｍ＝１２０，ｍ＝３８４
No.33177 - 2015/09/23(Wed) 08:24:40
★ 漸化式 / tds
曲線C：y=x^3上に,次の(i),(ii) のようにして点P(1),P(2),P(3),…をとる。
(i)P(1)は点(2,8)とする。
(ii)P(n)(n=1,2,3,…)を通り,P(n)とは異なる点でCと接する直線をl(n)とし,l(n)とCの接点をP(n+1)とする。P(n)のx座標をx(n)とするとき,x(n+1)をx(n)を用いて表せ。

よろしくお願いします。
No.33173 - 2015/09/23(Wed) 05:34:43
☆ Re: 漸化式 / X
y=x^3より
y'=3x^2
∴点P[n+1]におけるCの接線の方程式は
y={3x[n+1]^2}(x-x[n+1])+x[n+1]^3
条件からこれが点P[n]を通るので
x[n]^3={3x[n+1]^2}(x[n]-x[n+1])+x[n+1]^3 (A)
点P[n],P[n+1]が異なる点であることから
x[n]-x[n+1]≠0
に注意して(A)を整理します。
No.33174 - 2015/09/23(Wed) 06:29:10
★ (No Subject) / かぶるまん（高校２）
学校の先生から次のような話がありました。

皆さんのご意見を聞かせてください。
No.33171 - 2015/09/22(Tue) 21:49:17
☆ Re: / ヨッシー
１対１対応　は本当です。
個数は同じ　はウソっぽいです。
「個数」が正しく定義しきれないと思います。
No.33229 - 2015/09/24(Thu) 10:16:28
☆ Re: 返信 / かぶるまん（高校２）
すいません。どういうことですか？理解不足ですいません。
No.33231 - 2015/09/24(Thu) 19:23:00
☆ Re: / ヨッシー
ここでいう「個数」とは何ですか？
ということです。
私はその答えを持ち合わせません。

こういうのをスラスラと理解できる高２生は、そうはいないでしょう。
No.33233 - 2015/09/24(Thu) 20:19:44
☆ Re: / かぶるまん（高校２）
わざわざお付き合いいただきありがとうございました。
No.33235 - 2015/09/24(Thu) 21:24:38
★ 中間値の定理-ただ一つの実数解をもつ / そらまめ
問1、
x^2=2sinxはπ/4<x<π/2の範囲にただ一つの実数解を持つ事を示せ。

解答、
f(x)=x^2-2sinxとおく。
f(π/4)=(π^2/16)-√2<0,
f(π/2)=(π^2/4)-2>0

ここで、f(x)がπ/4<x<π/2で単調増加している事を示す。

f'(x)=2x-2cosx
f"(x)=2+2sinx…?@

π/4<x<π/2より、f"(x)>0
∴f'(x)は単調増加。

又、
f'(π/4)=(π/2)-√2>0
よって、f'(x)>f'(π/4)>0…?A
∴f'(x)>0
ゆえに、f(x)はπ/4<x<π/2で単調増加である。

以上より、f(x)=0つまり
x^2=2sinxは、π/4<x<π/2の間にただ一つの実数解を持つ。


問2、
関数f(x)=5x^3-2x^2+3x-4が区間0<x<1にただ一つの零点をもつ事を示せ。



＜ここから質問内容＞
問１について
質問1.なぜ?@で二回微分する必要があるのですか？
　一回微分、三回微分などではないのですか？
質問2.?Aはどういう意味ですか？

問２について
質問3.解いて下さい。


内容が多いですので一部の質問の回答だけでも構いません。
もちろん全て回答頂けたら幸いです。

以上、宜しくお願い致します。
No.33169 - 2015/09/22(Tue) 14:10:00
☆ Re: 中間値の定理-ただ一つの実数解をもつ / X
>>質問1,2について
>>f(x)がπ/4<x<π/2で単調増加している事を示す
必要がありますので証明すべきことは
π/4＜x＜π/2においてf'(x)＞0
です。
しかしながら
f'(x)=2x-2cosx
ですのでこれだけでは上記の判定は
できません。
そこで
π/4＜x＜π/2におけるf'(x)の増減
を調べるために
π/4＜x＜π/2における(f'(x))'の符号
つまり
π/4＜x＜π/2におけるf"(x)の符号
を調べます。
f"(x)を求めているのはそのような意味です。

>>質問3について
問題は
xの方程式f(x)=0が区間0＜x＜1において
ただ一つの実数解を持つことを示す
ことと同値です。
ということで方針は問1と同じです。
上記の質問1,2に対する回答が理解できる
のであれば自力で解けます。
No.33170 - 2015/09/22(Tue) 17:11:03
☆ Re: 中間値の定理-ただ一つの実数解をもつ / そらまめ
X様、回答大変ありがとうございました。
なるほど、だから二回微分したのですね。
そこがよく分かっていなかったので大変納得しました。
おかげさまで理解できました。
回答大変ありがとうございました。
No.33190 - 2015/09/23(Wed) 13:53:00
★ やり方がわかりません / tds
実数x,yに対して,θの方程式cos2θ-4xcosθ+2y+1=0が0≦θ＜2πの範囲に4つの解を持つためのx,yの条件を求め,xy平面に図示せよ。

やり方を教えてください。
No.33164 - 2015/09/22(Tue) 12:33:59
☆ Re: やり方がわかりません / ヨッシー
cos(2θ)＝2cos^2θ−1 なので、
cos2θ-4xcosθ+2y+1=0 は、
　2cos^2θ-4xcosθ+2y＝0
　cos^2θ−2xcosθ＋y＝0
と書けます。X＝cosθ とおくと
　X^2−2xX＋y＝0　
0≦θ＜2π なので、X が -1＜X＜1
の範囲に、異なる２つの実数解を持てば、θは４つの解を
持つことになります。
No.33167 - 2015/09/22(Tue) 13:26:51
★ 指数関数 / ちぬわ
√a＝a＾1/2　ですか？
No.33163 - 2015/09/22(Tue) 12:14:50
☆ Re: 指数関数 / ヨッシー
両辺正の数である前提で、両辺を２乗してみましょう。

ちなみに、ａが正の数のとき
　(a^m)^n＝a^(mn)
という公式があります。
　
No.33166 - 2015/09/22(Tue) 13:16:25
★ 数学ヘルプ / 中3男子
平成24年度北海道学力テストBの過去問(数学)を現在やっているのですが3〜7に手こずっています。解答はありますが解説がないので解き方がわかりません、教えてくださると助かります、宜しくお願いします。
No.33162 - 2015/09/22(Tue) 12:12:42
☆ Re: 数学ヘルプ / ヨッシー
それは、ネット上で公開されているものなのでしょうか？
No.33165 - 2015/09/22(Tue) 13:12:09
☆ Re: 数学ヘルプ / 中3男子
公開されておりません、ですので問題の写真を貼ろうとしたのですが此方の機械の不都合により貼る事が出来ません。
なので申し訳ないのですが質問はなかった事にさせて頂きます、すみません。
No.33168 - 2015/09/22(Tue) 14:00:41
★ 等号性 / Juria
こんにちは。

[問]a,bを正の実数とし,nを自然数とする。
a^n=b^nの時,aとbの関係を調べよ。
[解]
(i) a=0の時,a=b,
(ii) a>0でnが奇数の時,a=b,
(iii) a>0でnが偶数の時,a=±b,
(iv) a<0の時,a=b.

で正解でしょうか?
No.33150 - 2015/09/22(Tue) 02:20:18
☆ Re: 等号性 / IT
(iv) a<0の時,a=b
a<0でnが偶数の時の,a=±b,が抜けてます。
nが偶数のときと、nが奇数のとき　で分けるほうがいいと思います。
No.33151 - 2015/09/22(Tue) 03:03:08
☆ Re: 等号性 / Juria
そうでした。どうも有難うございます。
No.33152 - 2015/09/22(Tue) 04:20:45
☆ Re: 等号性 / Juria
おっと,

a,bを正の実数とし
↓
a,bを実数とし

でした。失礼致しました。
No.33153 - 2015/09/22(Tue) 04:21:52
★ 数列 / 数学頑張る！
途中まで書きました。教えてください。
数学的帰納法で示すので大丈夫ですか？
No.33142 - 2015/09/21(Mon) 23:23:17
☆ Re: 数列 / 数学頑張る！
途中まで書きました。
ここまでは大丈夫ですか？
No.33143 - 2015/09/21(Mon) 23:24:07
☆ Re: 数列 / IT
(1)は概ねいいと思います。（答案とすると改善の余地はあると思いますが）
　例えば、
　・主要な式に番号を付け引用する。
　　a[n]/3^n=b[n]…?@とおく
　　・・・・
　　?@よりa[n]=(3^n)b[n]=・・・
　　b[n]=・・・から　a[n]=・・・に転換するので
　　少なくとも「よって」「したがって」などと接続のことばを入れた方が読みやすいと思います。
　　
　・b[n]=0+(1/3)(n-1),　こうなる理由を書く
　
　・ (3^n)(1/3)は3^(n-1)と書く

(2)nが大きいときn!はa[n]={3^(n-1)}(n-1)より大きくなるのが速いので,
　nがある数より大きいと an＜n! になると思います。
　n=3,4,5,6,7,8 で確認してみてください。

　例えば7!=1*2*3*4*5*6*7をa[7]=3*3*3*3*3*3*6 で割ると
　7!/{(3^6)*6}=(2*4*5*7)/(3^5)=280/243＞1　です。2*5=10＞3^2,4*7=28＞3^3　としても分かります。

　答案の書き方として、n=1のとき、n=2のとき　成立が不明な不等式を書くのは良くないと思います。
　書くとしても
　n=2のとき
　　(3^2)(1/3)(2-1)＜2!　は、左辺=3＞右辺=2 なので 不成立。　などとすべきだと思います。

＃このへんの答案の細かい記述法は、プロの添削者がきちんと指導されるのだとは思いますが
No.33146 - 2015/09/22(Tue) 00:01:29
☆ Re: 数列 / 数学頑張る！
これから先どうすればよいか分かりません。
数学的帰納法で示せばよいですか？
No.33214 - 2015/09/23(Wed) 23:19:22
☆ Re: 数列 / IT
> 数学的帰納法で示せばよいですか？
それでいいと思います。n=7も含めたほうがいいと思います。
n≧7のとき　a[n]＜n!が　成立する。
数学的帰納法で示す
n=7のとき成立。
n=k(kは7以上の任意の自然数)のとき成立すると仮定し、n=k+1のとき成立することを示す
・・・
こんな感じでできると思います。
No.33219 - 2015/09/24(Thu) 00:07:44
☆ Re: 数列 / 数学頑張る！
分かりました。ありがとうございました。
No.33227 - 2015/09/24(Thu) 07:07:02
★ ベクトル / 数学頑張る！
教えてください。（1）の方針あってますか？
No.33140 - 2015/09/21(Mon) 23:17:19
☆ Re: ベクトル / 数学頑張る！
考えたところまでです。
No.33141 - 2015/09/21(Mon) 23:17:58
☆ Re: ベクトル / X
記号の使い方が滅茶苦茶です。

まずベクトルであるならきちんと矢印を
上に付けましょう。
次に
|↑Al|=|↑Bl|=|↑Cl|
より
|↑Al|^2=|↑Bl|^2=|↑Cl|^2
であることは理解できているようですが
例えば
|↑Al|^2
を
(x-2,y,z)^2
などという表記はしません。
(このような表記は定義されていません。)
|↑Al|^2=(x-2)^2+y^2+z^2
です。
No.33147 - 2015/09/22(Tue) 00:09:34
☆ Re: ベクトル / 数学頑張る！
これから先分かりません。出てきた文字をどう処理したらLの方程式が求められますか？
No.33217 - 2015/09/23(Wed) 23:28:43
☆ Re: ベクトル / IT
空間における直線の方程式についてはテキストか下記などで確認してください。
http://mathtrain.jp/spaceline

数学頑張る！さんが求めた(?@)(?A)(?B)はそれぞれ平面の方程式で、うち２つを満たす点(x,y,z)が求める直線L（２つの平面の交線）を表します。(２つを満たすと残りの１つも満たすと思います）
4x=-2y+3=-2z+3

直線L上の２点をどこでもいいですから適当にとると、直線Lのベクトル方程式も作れると思います。
No.33234 - 2015/09/24(Thu) 20:58:24
☆ Re: ベクトル / 数学頑張る！
丁寧にありがとうございました。助かりました。
No.33289 - 2015/09/27(Sun) 06:28:45
★ (No Subject) / ヒトヒト
次の微分方程式を置き換えを利用して解け。

dy/dx=y/x +x/y y/x=u とおく。
No.33131 - 2015/09/21(Mon) 19:13:01
★ 確率について / 1456
この問題を解いていて答えが何度やっても1/5になってしまいます。本当の答えは1/6なのですが、どちらが正しいかお指摘よろしくお願いします。
問題
1から6までの目が出る大小1つずつのさいころを同時に1回投げる。大きいサイコロの出た目の数をa,小さいサイコロのでた目の数をbとするとき、3a+2bの値が6の倍数になる確率を求めよ。　
ただし、大小2つのさいころはともに、1から6までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
No.33126 - 2015/09/21(Mon) 17:32:29
☆ Re: 確率について / IT
1/6が正解

6×6の表を書くのが確実。
No.33127 - 2015/09/21(Mon) 18:09:03
☆ Re: 確率について / X
全ての目の出方は
6・6=36
ここで
3a+2b
において2bが偶数であることと
6の倍数が偶数であることに注意すると
aは少なくとも偶数でなければなりません。
すると3aは6の倍数となりますので2bも
6の倍数でなければならず、結局
bは3の倍数
となりますので
(a,b)=(2,3),(2,6),(4,3),(4,6),(6,3),(6,6)
つまり条件を満たすa,bの組は
6通り
となりますので求める確率は
6/36=1/6
となります。
No.33128 - 2015/09/21(Mon) 18:11:33
☆ Re: 確率について / X
仮に求める確率が1/5であると仮定し
3a+2bが6の倍数であるようなa,bの組が
n通りあるとすると
n/36=1/5
これより
n=36/5
となりnが自然数にならないので
少なくとも1/5は誤りであることが分かります。
No.33129 - 2015/09/21(Mon) 18:16:14
☆ Re: 確率について / 1456
今まちがいに気付きました。
ご丁寧に解説ありがとうございます！
No.33130 - 2015/09/21(Mon) 18:33:15
★ 軌跡　、2次関数 / ふぇるまー
問?@　k=定数、円C:x^2+y^2-kx-2ky+5k-25=0がある。
　　　　円Cの中心の軌跡の方程式=?

問?A　xが1≦x≦8の範囲を動く時、　　　　　　　　　　　　　　f(x)=(log2x)^2-4log2x^2+1の最小値=?

問?B　a=正の定数　直線y=xが放物線y=ax^2によって切り取られる線分の長さが√10のとき、a=?

以上、お願いいたします。
No.33124 - 2015/09/21(Mon) 15:54:07
☆ Re: 軌跡　、2次関数 / X
問1
Cの中心の座標を(X,Y)としてX,Yをkの式で表し、
この二つの式からkを消去します。
但し、円の半径が正であることからkに対して
条件がつきます。
その条件式からもkを消去してXに対する
条件式を導きましょう。

問2
log[2]x=t
と置いてf(x)をtの式で表しましょう。
但し
1≦x≦8
からtの値の範囲について条件がつくことに
注意しましょう。

問3
問題の二つのグラフの交点のx座標について
ax^2=x
a＞0に注意してこれを解くと
x=0,1/a
よって交点の座標は
(0,0),(1/a,1/a)
条件からこの二点を結ぶ線分の長さが√10
ですのでaについての方程式を立てると…。
No.33125 - 2015/09/21(Mon) 17:25:17
☆ Re: 軌跡　、2次関数 / ふぇるまー
ご丁寧に有難うございます
No.33134 - 2015/09/21(Mon) 21:06:54
★ (No Subject) / 吉野
データの分析について、質問があります。
以下の問題です。
No.33122 - 2015/09/21(Mon) 15:40:12
☆ Re: / 吉野
斜めになってしまってごめんなさい…
ヒフヘ部分です。
転出したふたりの数学の点数はどちらも、平均より高いとみなし、上の表に書き込んだ○4つのみに絞り、さらに英語の分散より○2つに絞りました。

一応答えの数値としては合っていましたが、二人の合計が平均点以上であれば良いので、片方が平均点以下である可能性もあると思い、このやり方は間違っていたのかなと思っています。

以上の考え方についてご指摘願います。宜しくお願いします。
No.33123 - 2015/09/21(Mon) 15:44:33
☆ Re: / IT
おっしゃるとおり、数学での絞り込みは不正確だと思います。
転出した２人の英語の得点は
英語の平均が不変なので７点の上下対称な得点で
かつ、英語の分散が減少したので７点より２点以上離れた得点。が必要条件で絞れると思います。
No.33132 - 2015/09/21(Mon) 19:36:48
☆ Re: / 吉野
よくわかりました！ご助言ありがとうございます！
No.33193 - 2015/09/23(Wed) 15:15:06
★ 中２の問題です / doryoku
白玉３個と赤玉２個が袋にあり、ここから１個ずつ、２回とりだす。１回目にとりだしたのが白玉のときは袋に戻さず、赤玉のときは、袋に戻してから２回目を取り出すとき、２回とも白玉の確率はいくらか。という問題なのですが、答えが１０分の３か、１１分の３なのかわかりません。また、確率の掛け算とかわからないので、書いてやるやり方で教えてもらえまさんか。お願いします。
No.33117 - 2015/09/21(Mon) 00:33:08
☆ Re: 中２の問題です / 農場長
doryokuさん，初めまして。

取り出す玉を（１回目，２回目）という座標形式で表します。
また，白玉を白１〜白３，赤玉を赤１，赤２とします。

取り出し方は，
（１）　１回目に白１を取り出すとき
（白１，白２），（白１，白３），（白１，赤１），（白１，赤２）の４通り

（２）　１回目に白２　ｏｒ　白３を取り出すときもそれぞれ４通り

（３）　１回目に赤１を取り出すとき
（赤１，白１），（赤１，白２），（赤１，白３），（赤１，赤１），（赤１，赤２）の５通り

（４）　１回目に赤２を取り出すときも５通り

以上より，全部で４×３＋５×２＝２２通りある中で，
２回とも白玉を取り出すのは６通りあるから，
求める確率は３／１１…（答）
No.33118 - 2015/09/21(Mon) 08:33:01
☆ Re: 中２の問題です / doryoku
農場長さん、ありがとうございます。ということは、３／１０はまちがいということですよね。
No.33135 - 2015/09/21(Mon) 21:08:22
☆ Re: 中２の問題です / 農場長
ハイ、３／１０は誤りです。
No.33136 - 2015/09/21(Mon) 21:50:19
★ (No Subject) / アカシロトモ
問題　a(n)=(n)√n(n=1,2,3,・・・）の最大値・最小値を求めよ.
　a(n)は数列の一般項、(n)√nはn^(1/n)の意味です.
いつもお世話になりますがよろしくおねがいします.
微分法の問題として出題されています.
No.33104 - 2015/09/20(Sun) 21:26:10
☆ Re: / X
問題の{a[n]}のnを実数に拡張するようなイメージで
まず
f(x)=x^(1/x)
と置き、x≧1におけるy=f(x)の
グラフを描くことを考えましょう。

方針としては微分して増減表、と
なるのですが、その後にグラフを
描く際に問題となるのが
lim[x→∞]f(x)
の値の計算です。
これを計算するため
lim[x→∞]logf(x)
(=lim[x→∞](logx)/x)
をはさみうちの原理を使って
求める必要がありますが、
どのような関数ではさみうつ
のかは少し考えてみて下さい。
ヒントは
y=e^x,y=x^2
のグラフの位置関係
と
逆関数の考え方
です。
No.33106 - 2015/09/20(Sun) 21:38:21
☆ Re: / アカシロトモ
X　さん　早速ありがとうございます.
できるかどうかわかりませんが、トライしてみます。
No.33107 - 2015/09/20(Sun) 21:42:22
☆ Re: / Halt0
本問の場合は増減表だけかければ lim_[x→∞]f(x) は求めなくても差し支えないのではないでしょうか。>Xさん
No.33119 - 2015/09/21(Mon) 09:56:19
☆ Re: / X
＞＞Halt0さんへ
計算するとa[n]の最小値は
a[1]=1
となることが分かりますが、このことを示すには
f(x)＞1 (x＞1)
を示す必要がありますので
lim[x→∞]f(x)
の計算は必要です。
No.33120 - 2015/09/21(Mon) 10:39:38
☆ Re: / Halt0
＞Xさん
すみません, 先入観で最大値のみを求める問題だと勘違いしておりました……. 大変失礼致しました.
一応 a>1 のとき a^t は t について単調増加であることを利用して x>1 のとき f(x)=x^(1/x)>x^0=1 とする手もありますね.
No.33121 - 2015/09/21(Mon) 11:14:23
☆ Re: / アカシロトモ
昨日から考えていましたが、私にはy'=0よりx=e,
0<x<eでy'>0,e<xでy'<0が限界のようです.
この後を教えていただけないでしょか.いつもご迷惑おかけします.
No.33133 - 2015/09/21(Mon) 20:58:09
☆ Re: / X
そこまででf(x)の最大値は
f(e)=e^(1/e)
であることが分かりますので
2＜e＜3
により{a[n]}の最大値は
a[2]=√2
a[3]=3^(1/3)
のうちの大きい方になります。
ということで
a[2]とa[3]の大小比較をして
(これはご自分でもう少し考えて
みて下さい)
{a[n]}の最大値は
a[3]=3^(1/3)
となります。

又
f(1)=1 (A)
であり
lim[x→∞]f(x)=1 (B)
ですのでf(x)の最小値は
(A)
∴{a[n]}の最小値は
a[1]=1
となります。
No.33157 - 2015/09/22(Tue) 08:25:52
☆ Re: / X
(B)の(∵)
(B)
⇔lim[x→∞]logf(x)=0 (B)'
∴(B)'、つまり
lim[x→∞](logx)/x=0
を証明します。
まずx→∞を考えるので
x≧1
としてもよく、このとき
g(x)=√x-logx
とすると
g'(x)=1/(2√x)-1/x
=(2√x-1)/(2x)＞0
によりg(x)は単調増加
∴g(x)≧g(1)=1＞0
となるので
logx＜√x
よって
0＜(logx)/x＜1/√x
となるので、はさみうちの原理
より(B)'は成立します。



注)
このことはx≧1において
y=√xのグラフが
y=logxのグラフの
上側にあることが分かります。
しかし、これらの位置関係は
分かりにくいのでこれらの
逆関数である
y=x^2のグラフと
y=e^xのグラフの位置関係を
先に考えることをヒントと
して出しました。
No.33158 - 2015/09/22(Tue) 08:50:30
☆ Re: / X
参考までにy=x^(1/x)のグラフを
アップしておきます。
(但し、特徴を強調するため
意図的にx軸、y軸の比率を
変えているので注意して
下さい。)
No.33159 - 2015/09/22(Tue) 09:23:00
☆ Re: / アカシロトモ
Xさん

何回もしかも詳細な解説ありがとうございました.
力がなくていつもご迷惑おかけしております.
本当にとても助かりました.
No.33161 - 2015/09/22(Tue) 10:54:18
★ (No Subject) / 受験生
Oを原点とする座標平面において、y軸に平行な直線lが円C1：x^2+y^2＝1と交わっている。C1とlの交点をP,Qとし、線分PQを直径とする円をC2とする。C1の外部にあり、C2の内部にある部分の面積をSとし、θ＝1/2∠POQ(0＜θ＜π/2)とする。
(1)Sをθで表せ
(2)Sが最大になるとき、tanθの値を求めよ

解答
(1)π/2sin^2θ−θ+1/2sin2θ
(2)tanθ＝π/2

一応問題は解けたのですが、(2)を三角関数の合成で解くやり方がわかりません。
回答おねがいします
No.33100 - 2015/09/20(Sun) 15:50:34
☆ Re: / X
これは(dS/dθに対してではなくて)Sに対して
三角関数の合成を用いて、ということでしょうか。
もしそうであるなら、そのような方針では
解けません。
No.33108 - 2015/09/20(Sun) 21:52:12
☆ Re: / 受験生
ds/dθに対してです
言葉足らずですみません
No.33111 - 2015/09/20(Sun) 22:18:33
☆ Re: / X
dS/dθ=(π/2)sin2θ+cos2θ-1 (A)
となりますので
dS/dθ=0 (B)
となるとき、
(π/2)sin2θ+cos2θ-1=0 (C)
これより三角関数の合成から
sin(2θ+α)=4/√(π^2+4) (D)
(但しαは
tanα=2/π,0＜α＜π/2
なる角)
となるので(D)を満たすθを求めて
tanθ
の値を求める、としたいところですが
この場合はその方針では解けません。
飽くまで(C)をtanθについての方程式
に変形して解く必要があります。

三角関数の合成は、以下のように
(B)を満たすθの値の前後で
dS/dθの符号が変化することを
確かめるために使います。

三角関数の合成により
dS/dθ=(1/2){√(π^2+4)}sin(2θ+α)-1
(但しαは
tanα=2/π,0＜α＜π/2
なる角)
=(1/2){√(π^2+4)}{sin(2θ+α)-2/√(π^2+4)}
ここで
0＜2/√(π^2+4)＜1
ですので(B)のようなθは存在し、そのθの値の
前後で(A)の符号は変化します。
No.33116 - 2015/09/20(Sun) 23:22:21
★ 二次曲線 / おまる
いつもお世話になっております。
参考書の記述でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の2次曲線の記述で、右ページの一番上に2組の極と極線は互いに相対的な関係になるとあるのですが、これは(α,β)と(p,q)が入れ替えても同じであるということが言いたいのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.33098 - 2015/09/20(Sun) 11:56:11
☆ Re: 二次曲線 / おまる
左ページが見にくかったので貼り直しました。
No.33099 - 2015/09/20(Sun) 11:59:40
★ ベクトル / ARY
高校2年、ベクトルの大きさの問題です
ベクトルの大きさの二乗の最小値とtの値は分かります
ですが、二乗をのけるとき、tの値が変わらず、最小値だけにルートがつくことがよく分かりません

微分したり、ベクトルの大きさをyとおいて解いてみたりとしましたが、全く理解できません
そしてベクトルの大きさのグラフもわかりません(二乗のグラフはわかりました)

どうか解説していただけませんか？よろしくお願いします
No.33094 - 2015/09/20(Sun) 09:59:35
☆ Re: ベクトル / ARY
画像が添付されていなかったようなので！！
No.33095 - 2015/09/20(Sun) 10:00:58
☆ Re: ベクトル / IT
問題集の解答をもういちど良く読まれるといいと思います。

いろいろ書くとかえって混乱すると思いますが、あえて書くとすると

|P↑|^2=20(t-1/2)^2+9 ここまではいいですね？

任意のベクトルの大きさは０以上なので、|P↑|≧0
よって|P↑|=√(|P↑|^2)=√{20(t-1/2)^2+9}
したがって|P↑|はt=1/2のとき最小値√9=3となる。
No.33097 - 2015/09/20(Sun) 10:50:21
★ 図形 / S
AB=BC=CD=1の凸四角形ABCDの面積の最大値を求めよ。
座標をとってやろうとしたんですが、よくわからなくなりました。教えて下さい。
No.33092 - 2015/09/20(Sun) 09:15:19
☆ Re: 図形 / X
ヒントだけ。

凸四角形ABCDを△ABCと△ACDに分割して考えます。
さて、辺ACの長さを固定したとき△ACDの面積は
∠ACD=π/2 (A)
のときに最大になることが分かります。
(辺ACを底辺と見て考えましょう)
一方、△ABCはAB=BCの二等辺三角形ですので
(A)のときに四角形ABCDが凸四角形でなくなる
ことはありません。
そこで
∠ABC=θ
と取り、(A)のときの四角形ABCDの面積の
最大値を求めれば、それが求める最大値
となります。
No.33093 - 2015/09/20(Sun) 09:50:58
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