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No.33763 - 2015/10/24(Sat) 13:23:41
| ☆ Re: / IT | | | X[k]^2を3で割った余りが0となる確率は1/3(=aとおく),1となる確率は2/3(=bとおく)
X[1]^2+X[2]^2+...+X[n]が3の倍数となる確率をP(n)とおくと
P(n)=C(n,0)(a^n)(b^0)+C(n,3){a^(n-3)}b^3+...+C(n,3m){a^(n-3m)}b^(3m)+....
# 少し技巧的かも知れませんが#
1の3乗根のうち1でないものをとる。
v=(-1+√3i)/2,w=(-1-√3i)/2とおくと v^3=w^3=1,v+w+1=0,w^2=v,v^2=wなどの性質があります。
一般に
(x+y)^n+(x+yv)^n+(x+yw)^n=3{C(n,0)(x^n)(y^0)+C(n,3){x^(n-3)}y^3+...+C(n,3m){x^(n-3m)}y^(3m)+....}
x=a,y=bとおくと
3P(n)=(a+b)^n+(a+bv)^n+(a+bw)^n=1+{(1/3)+(2/3)(-1+√3i)/2}^n+{(1/3)+(2/3)(-1-√3i)/2}^n
=1+(i/√3)^n+(-i/√3)^n
よって、P(n)={1+(i/√3)^n+(-i/√3)^n}/3
# ここまででもいいような気もしますが、nの偶奇で分けるとiは消せます。#
自然数mについて、P(2m-1)=1/3、P(2m)=(1/3){1+2(-1/3)^m}
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No.33764 - 2015/10/24(Sat) 21:47:40 |
| ☆ Re: / IT | | | 漸化式での解法（概略）
X[1]^2+X[2]^2+...+X[n]を3で割った余りが
0となる確率をA(n),1となる確率をB(n),2となる確率をC(n)とおくと
A(n)+B(n)+C(n)=1…(1)
A(n+1)=(1/3)A(n)+(2/3)C(n)
B(n+1)=(1/3)B(n)+(2/3)A(n)
C(n+1)=(1/3)C(n)+(2/3)B(n)
A(n+2)=(1/3){(1/3)A(n)+(2/3)C(n)}+(2/3){(1/3)C(n)+(2/3)B(n)}
=(1/9)A(n)+(4/9)B(n)+(4/9)C(n)
(1)より
=-(1/3)A(n)+4/9
整理してA(n+2)-(1/3)=(-1/3){A(n)-(1/3)}
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No.33765 - 2015/10/24(Sat) 22:54:39 |
| ☆ Re: / IT | | | 下記のようにしたほうが少し簡単です。
X[n+1]^2+X[n+2]^2 を３で割った余りが
０となる確率は (1/3)^2=1/9,
２となる確率は (2/3)^2=4/9
１となる確率は 1-(1/9)-(4/9)=4/9 ＃=(1/3)(2/3)2としてもいいです。＃
＃１となる確率と２となる確率が等しいので、この後うまくいきます。＃
よって
A(n+2)=(1/9)A(n)+(4/9)(B(n)+C(n))
(1)より
=(1/9)A(n)+(4/9)(1-A(n))
=-(1/3)A(n)+(4/9)
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No.33766 - 2015/10/25(Sun) 01:29:07 |
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