下の問題について教えてほしいです。
直線ℓ1：（2 0 -1）+t(2 3 -1) 直線ℓ2：{2x-y+z+15=0 2y-z-3=0 とする
（1）直線ℓ3と原点の距離が√6、ℓ2とℓ3の距離が2√6でℓ1、ℓ2、ℓ3は共通の垂線を持つとき直線ℓ3のパラメータ表示を求めよ。該当する直線が複数ある場合はすべて求めること。
(2) ℓ1とℓ3の距離を求めよ。ℓ3に該当する直線が複数ある場合は各々について求めること。
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No.82441 - 2022/06/16(Thu) 22:53:54
| ☆ Re: ３次元空間のベクトル / GM | | | 直線ℓ2は(-6 0 -3)+s(1 -2 -4)と表すことができる（sは実数）
ℓ1とℓ2に垂直な方向ベクトルのひとつを求めると(2 -1 1)
ℓ1と垂線との交点の座標を(2t+2,3t,-t-1)
ℓ2と垂線との交点の座標を(s-6,-2s,-4s-3)とすると
ベクトル(s-2t-8 -2s-3t -4s+t-2)とベクトル(2 -1 1)が並行で
これを解いてs=0,t=-1
よってℓ2上の交点の座標は(-6,0,-3)
この点から垂線方向に2√6離れた点の座標は垂線の方向ベクトルより
(-6,0,-3)+(4,-2,2)=(-2,-2,-1)
または
(-6,0,-3)-(4,-2,2)=(-10,2,-5)
(-2,-2,-1)を通りベクトル(2 -1 1)に垂直な直線はa,bを実数として
(-2 -2 -1)+s(a b b-2a)と表すことができ原点との距離が√6であることより
(sa-2)^2+(sb-2)^2+(sb-2sa-1)^2の最小値が6となるようなa,bの関係を求めればよい
もうひとつの(-10,2,-5)の方はこの点を通りベクトル(2 -1 1)を法線とする
平面の方程式を求めると原点との距離が√6より大きいので不適
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No.82493 - 2022/06/22(Wed) 17:40:29 |
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