ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数列 / ふぇるまー

問:　1/1,3/2,2/2,1/2,5/3,4/3,3/3,2/3,1/3,7/4,6/4,……
　　　…1/4,9/5,8/5,7/5,……1/5,……がある。

但し、分母がnと書かれた分数は(2n-1)個ある。
?@　分母が8と書かれた項の最初から3番目の数は=?
?A　第160項=?
?B　初項から第160項までの和=?

以上です。解説なしの問題の為詳しい過程が知りたいです。
(分数が多く⋀見にくくて申し訳ないです。)

No.33008 - 2015/09/12(Sat) 18:54:00

☆ Re: 数列 / X

群数列の問題ですね。

(1)
条件から求める値は
{(2・8-1)-(3-1)}/8=13/8
(2)
分母がnで書かれた分数の列を第n群とします。
このとき第160項が第n群に属しているとすると
Σ[k=1～n-1](2k-1)+1≦160≦Σ[k=1～n](2k-1)-1
これより
{n(n-1)-(n-1)}+1≦160≦{n(n+1)-n}-1
(n-1)^2+1≦160≦n^2-1
∴√161≦n≦1+√159
ここで
12＜√159＜√161＜13
に注意すると
n=13
で問題の分数の列の初項から第12群の末項
までの項数が
Σ[k=1～12](2k-1)=12・13-12=144
となることから、第160項は第13群の
160-144=16[項]
になるので求める値は
{(2・13-1)-(16-1)}/13=10/13
(3)
(2)の過程を使うと求める和は
Σ[k=1～12]{Σ[j=1～k](2j-1)/k}+Σ[k=1～16]{(2・13-1)-(k-1)}/13
=Σ[k=1～12]{k(k+1)-k}/k+Σ[k=1～16](26-k)/13
=Σ[k=1～12]k+Σ[k=1～16](2-k/13)
=…

No.33009 - 2015/09/12(Sat) 19:45:43

☆ Re: 数列 / ふぇるまー

ｘ様いつもありがとうございます、自分で解き直してみます。

No.33011 - 2015/09/12(Sat) 21:56:01

★ 数1の質問です。 / komura

【7-3】の問題がわかりません。よろしくお願いします。

No.33004 - 2015/09/11(Fri) 22:10:00

☆ Re: 数1の質問です。 / ヨッシー

　y=a(x-3)^2+4
ｘ軸方向に２移動：ｘをｘ－２に置き換える
　y=a(x-2-3)^2+4
　y=a(x-5)^2+4
ｙ軸方向に３移動：ｙをｙ－３に置き換える
　y-3=a(x-5)^2+4
　y=a(x-5)^2+7
ｘ軸対称：ｙを－ｙに置き換える
　-y=a(x-5)^2+7
整理して
　y=-ax^2＋10ax－32
これと、
　y=2x^2－bx＋c
を比較して・・・

No.33005 - 2015/09/11(Fri) 23:34:35

★ 三角関数 / tds

座標平面上に2点P(2cos(t),2sin(t)),Q(cos(2t),sin(2t))がある。tが0≦t≦2πの範囲を動くとき,線分PQの長さの最大値を求めよ。

線分PQの長さがきれいに整理できません。
宜しくお願いします。

No.32997 - 2015/09/11(Fri) 11:31:29

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

ＰＱ^2 を計算する過程で、
　cos(t)cos(2t)－sin(t)sin(2t)
というのが出てくると思いますが、加法定理より
　cos(t＋2t)
と変形できます。

また、図形的に考えると、Ｐは原点中心半径２の円を、
Ｑは半径１の円をそれぞれｘ軸からスタートして、
Ｐは１周、Ｑは２周するので、
最小は１、最大は３と見当がつきます。

No.32998 - 2015/09/11(Fri) 11:53:28

☆ Re: 三角関数 / tds

ありがとうございます。

No.33003 - 2015/09/11(Fri) 21:48:31

★ (No Subject) / タマ

合成してもうまくいきませんでした。

解法をよろしくお願いします

No.32991 - 2015/09/10(Thu) 23:24:37

☆ Re: / IT

三角関数の微分を使っていいのなら。

f(x)=asinx+cosxとおく
a＜0、0≦a＜1、1≦aのときに分けて
0≦x≦π/2におけるf(x)の最小値と最大値を考える（f'(x)からf(x)の増減を調べる）

1≦aのとき　の部分の略解だけ書きます。あとはやってみてください。
　f(x)の最小値は1,よって最大値は3
　f(x)が最大となるのはf’(x)=0のときでf(x)=3
　すなわちacosx-sinx=0,asinx+cosx=3
これを解くとcosx=1/3,sinx=2√2/3,a=2√2

>合成してもうまくいきませんでした。
＃合成でもできると思います。どうやられましたか？
　

No.32993 - 2015/09/11(Fri) 00:40:22

☆ Re: / 歌声喫茶

cosx+asinxを2つのベクトル(cosx,sinx),(1,a)の内積と見るという手もありますね。

No.32994 - 2015/09/11(Fri) 01:29:00

☆ Re: / タマ

ITさん、歌声喫茶さん、ありがとうごさいます。
三角関数を微分する方法は知らなかったので覚えようと思います。Cosで合成してみると解くことができました。
ベクトルの解法もかんがえてみます。

No.32995 - 2015/09/11(Fri) 06:33:19

★ (No Subject) / ノブ

座標平面上で、3つの不等式x≧0,y≧0,x+y≦2を満たす領域をDとし、点(x,y)が領域Dを動くものとする。
(1) 2x+yと取り得る値の範囲を求めよ。
(2) (x-2)^2+(y-3/2)^2の最大値、最小値を求めよ。

(2)の最小値の求め方と解答おねがいします。

No.32984 - 2015/09/10(Thu) 18:16:25

☆ Re: / X

(x-2)^2+(y-3/2)^2=k (A)
と置くとこれは
点(2,3/2)を中心とした半径√kの円
又は
点(2,3/2)(k=0のとき)
を表します。
そこで下の図のようにDと(A)を図示して
kが最大、最小となるときの条件を
考えてみましょう。

No.32987 - 2015/09/10(Thu) 20:48:31

☆ Re: / ノブ

最小値の値を教えてください。

お願いします。

No.32992 - 2015/09/11(Fri) 00:24:08

☆ Re: / X

こちらの計算では最小値は
9/8
になりました。

No.33000 - 2015/09/11(Fri) 19:35:22

☆ Re: / ノブ

ありがとうございます！

No.33002 - 2015/09/11(Fri) 20:51:06

★ 同値変形 / かぶるまん

詳しくおねがいいたします。

No.32978 - 2015/09/09(Wed) 23:37:38

☆ Re: 同値変形 / X

範囲が変わっているのではなくて
xに対する条件が更に加わっただけ
です。
つまり求める条件は
x≦6かつx≦3
で
x≦3
ということです。

No.32980 - 2015/09/10(Thu) 04:21:59

☆ Re: 同値変形 / かぶるまん

ありがとうございます。

No.32989 - 2015/09/10(Thu) 23:08:44

★ 面積の求め方について / 匿名

左上は面取りR150されています。
その部分の面積の求め方についてよろしくお願いいたします。

No.32977 - 2015/09/09(Wed) 23:20:04

☆ Re: 面積の求め方について / X

求める面積をS[mm^2]として
S=150^2-(π・150^2)/4
=22500(1-π/4)

No.32981 - 2015/09/10(Thu) 04:24:22

☆ Re: 面積の求め方について / 匿名

助かりました！ありがとうございました！

No.32986 - 2015/09/10(Thu) 18:55:31

★ 数学?V 微分 / てつ

すべての正の数x,yに対して,不等式x(logx-logy)≧x-yが成り立つことを証明せよ。また,等号が成り立つのはx＝yの場合に限ることをしめせ。

解法が思いつきません…
お願いします！

No.32976 - 2015/09/09(Wed) 22:20:07

☆ Re: 数学?V 微分 / 歌声喫茶

適当に変形して、
log(x/y) + (y/x) - 1 ≧ 0
ここでx/y=tとでもすると
logt + 1/t - 1 ≧ 0
これで一変数になるので処理しやすいでしょう。

No.32979 - 2015/09/10(Thu) 02:30:25

☆ Re: 数学?V 微分 / てつ

≧0を示したいのに
いきなり≧0としていいのですか？？

No.32983 - 2015/09/10(Thu) 17:36:07

☆ Re: 数学?V 微分 / てつ

解いてみました

こんな感じでOKでしょうか？？

No.32985 - 2015/09/10(Thu) 18:19:20

☆ Re: 数学?V 微分 / 歌声喫茶

多分そんな感じです。写真を貼るときは方向に留意すると良いかと。

＃tlogt - t + 1 ≧ 0と変形したほうが楽だったかも。

No.32988 - 2015/09/10(Thu) 20:56:45

☆ Re: 数学?V 微分 / てつ

ごめんなさい。これから気をつけます！
ところで最初f(x)と表記してますがf(x,y)でも問題ありませんか？

No.32999 - 2015/09/11(Fri) 18:43:29

☆ Re: 数学?V 微分 / 歌声喫茶

本質的でない末節部にあれこれ言うつもりもなかったのですが、細かいことを言い出したら、問題あります。

というかf(x)と置く時点で問題ありますね。
もしその問題の通りにf(x)を置いたとしたらf(t)=log(t/y) + y/t - 1となりますよね。

この問題ではx,yの式をわざわざf()云々と置く意味はないと思います。

No.33007 - 2015/09/12(Sat) 11:32:43

★ (No Subject) / アカシロトモ

問題　
ｒが0<r<1を満たす定数のとき、lim[n→∞]nr^n=0を利用して次を求めよ
(1）正しいさいころを何回か投げてa(1≦a≦5)種類の目が出たとする.
この後、新たな目(a+1種類目)が出るまで投げる時、
投げる回数の期待値を求めよ。
(2) 正しいさいころを繰り返し投げるとき、
６種類の目が全て出るまでに投げる回数の期待値を求めよ

よろしくお願いします。

No.32975 - 2015/09/09(Wed) 21:50:26

☆ Re: / ヨッシー

(1)
１回につきａ種類以外の目が出る確率は、
　(6-a)/6＝1－a/6
なので、それが出るまで投げる回数が
１回の確率：1－a/6
２回の確率：(a/6)(1－a/6)
３回の確率：(a/6)^2(1－a/6)
　・・・
ｎ回の確率：(a/6)^(n-1)(1－a/6)
なので、求める期待値は、
　Σ[n=1～∞]n(a/6)^(n-1)(1－a/6)
　　＝1/(1-a/6)
　　＝6/(6-a)

(2)
a=0 の場合も、(1)は成り立つので、
求める期待値は
　Σ[n=0～5]6/(6-a)
　　＝1＋6/5＋6/4＋6/3＋6/2＋6/1
　　＝14.7(回)

No.33016 - 2015/09/14(Mon) 10:59:28

★ 内積 / おまる

いつもお世話になっております。
わからないところがあるので教えて欲しいです。
次の(3)の問題で、平方完成を行っているところで-a・pが絶対値の中に入れられているのですが、なぜこのようにできるのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.32968 - 2015/09/08(Tue) 15:53:57

☆ Re: 内積 / 歌声喫茶

とりあえず展開してみて納得はできませんか？

No.32969 - 2015/09/08(Tue) 16:35:58

☆ Re: 内積 / ヨッシー

質問の方は、歌声喫茶さんが答えてくださったので、
主旨とは違いますが、別解を。
　ｐ・(ｐ－ａ)＝０
は
　ＯＰ・ＡＰ＝０
を意味し、点Ｐが点Ｏでも点Ａでもない時∠ＡＰＯ＝90°
点Ｐが点Ｏまたは点Ａに重なる時も含めて、点Ｐは
ＯＡを直径とする円上にあります。

No.32970 - 2015/09/08(Tue) 16:43:18

☆ Re: 内積 / おまる

みなさん、どうもありがとうございました。
理解することができました。

No.32971 - 2015/09/08(Tue) 18:49:52

★ 複素数？ / tds

a,b,cは実数の定数とし,iを虚数単位とする。2つのxの方程式
x^3+ax^2+bx+c=0…?@
2x^2-bx+4=0…?A
がある。?@はx=1+√3iを解に持ち,?@と?Aはただ1つの解を共有するとき,a,b,cの値を求めよ。

宜しくお願いします。

No.32961 - 2015/09/07(Mon) 22:04:15

☆ Re: 複素数？ / X

条件より(1)は1+i√3の共役複素数である
1-i√3
も解に持ちます。
ここで(1)(2)は只一つの解を共有するので
1-i√3,1+i√3
のいずれか一方がその解だとすると
他方も(2)の解となってしまい、矛盾。
よって(1)(2)の共通解をtとすると
(1)からtは実数であるので、(2)は
実数解を持つことになります。
従って(2)の解の判別式をDとすると
D=b^2-32≧0 (P)
又(1)において解と係数の関係から
(1+i√3)+(1-i√3)+t=-a (A)
(1+i√3)(1-i√3)+t(1+i√3)+t(1-i√3)=b (B)
(1+i√3)(1-i√3)t=-c (C)
更に(2)において
2t^2-bt+4=0 (D)
(P)に注意して(A)(B)(C)(D)をa,b,c,tについての
連立方程式として解きます。
(まずは(B)(D)からbを消去しましょう。)

No.32964 - 2015/09/07(Mon) 22:35:12

☆ Re: 複素数？ / tds

わかりました。
ありがとうございました。

No.32965 - 2015/09/07(Mon) 23:05:14

★ 広義積分 / ニクス

∫[o→π/2]√(tanx)dxを求めよ

答えはπ/√2
どうしても出ません
よろしくお願いします

No.32955 - 2015/09/07(Mon) 00:18:34

☆ Re: 広義積分 / ニクス

私の質問に不備でもあったでしょうか？
答えはπ/√2とわかっているんですが計算の途中がわかりません
√(tanx)の積分の計算がそもそもわかりません
tanxなら簡単に積分できるんですが・・・

No.32972 - 2015/09/08(Tue) 19:57:43

☆ Re: 広義積分 / ast

提示いただいてる情報だけだと, どの分野での問題なのかというような文脈が無く, 前提として使える道具がはっきりしないので, 不適切な回答である可能性がありますが, ご容赦ください.

とりあえず何も考えずに t=√(tan(x)) と置換して見れば t の有理函数の積分 ∫_[0,+∞]2t^2dt/(t^4+1) に直ります. そこから被積分函数を部分分数に展開することを考えるのだとするとだいぶ汚い形になるようなので, 複素解析の道具を使ってよい場合は留数定理を適用することになるのではないかと.

参考: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB2t^2dt%2F%28t^4%2B1%29
　　　http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB2t^2dt%2F%28t^4%2B1%29+from+t%3D0+to+infinity

No.32973 - 2015/09/09(Wed) 16:22:38

☆ Re: 広義積分 / ニクス

そうでしたか
私の質問が回答される方々を困惑させてしまったこと深く謝罪します

この問題は高専3年の夏休みの課題での計算問題です(次の広義積分を求めよ)といった
教科書は新微分積分1(大日本図書)が終わった程度
留数定理は聞いたことありません

要するにかなり難解ということがわかったことだけでも感謝です
ありがとうございました

No.32974 - 2015/09/09(Wed) 17:30:19

★ (No Subject) / アカシロトモ

問題　0<a<b である実数a,bに対してMn={(a^n+b^n)/2}^1/nとし、M0=lim[n→0]Mnとする。
(1) M0を求めよ
(2) lim[n→∞]Mn, lim[n→-∞]Mn　を求めよ　
(3) M-1, M0,M1,M2　を小さい順にならべよ

よろしくお願いします

No.32954 - 2015/09/06(Sun) 22:47:21

☆ Re: / X

(1)
M[0]=lim[n→0]{{1+{(a^n+b^n)/2-1}}^[1/{(a^n+b^n)/2-1}]}^{{(a^n+b^n)/2-1}/n}
∴f(x)=(a^x+b^x)/2
とすると
M[0]=e^f'(0)=e^{(loga+logb)/2}
=√(ab)

(2)
0＜a＜b
に注意すると
lim[n→∞]M[n]=lim[n→∞]{(1/2)^(1/n)}b{1+(a/b)^n}^(1/n)
=b
lim[n→-∞]M[n]=lim[n→∞]M[-n] (∵)-nを改めてnと置いた
=lim[n→∞]1/{(1/a^n+1/b^n)/2}^(1/n)
=lim[n→∞]a{2^(1/n)}/{(1+(a/b)^n)}^(1/n)
=a

(3)
条件から
M[-1]=2/(1/a+1/b)
M[1]=(a+b)/2
M[2]=√{(a^2+b^2)/2}
∴相加平均と相乗平均の関係と(1)の結果から
M[1]＞M[0] (A)
又
(M[1])^2-(M[2])^2=(1/4)(a+b)^2-(a^2+b^2)/2
=-(1/4)(a-b)^2＜0
これと0＜a＜bにより
M[1]＜M[2] (B)
更に相加平均と相乗平均の関係から
(1/a+1/b)/2＞1/√ab
∴M[-1]＜M[0] (C)
(A)(B)(C)より
M[-1]＜M[0]＜M[1]＜M[2]

No.32962 - 2015/09/07(Mon) 22:26:33

☆ Re: / アカシロトモ

X　さん
詳しい解答解説ありがとうございました。
今から、しっかりと読ませていただいて理解できるよう頑張ります.

No.32963 - 2015/09/07(Mon) 22:33:29

★ (No Subject) / ヒトヒト

　cos(3x)tan(5x) の極限値（x→π/2) をお願いします。
答えは -3/5　らしいのですがマイナスがつかない答えがでます。

No.32945 - 2015/09/06(Sun) 19:19:20

☆ Re: / X

π/2-x=t
と置くと
lim[x→π/2]cos3xtan5x=lim[t→0]cos{3(π/2-t)}tan{5(π/2-t)}
=lim[t→0](-sin3t)/tan5t
=…
となります。
答えですがマイナスの符号はつきます。

No.32948 - 2015/09/06(Sun) 19:42:13

☆ Re: / ヒトヒト

x-π/2=tとおいて計算したらマイナスが付かなくなってしまいました。この置き方ではマズイ数学的根拠は何でしょうか？

No.32949 - 2015/09/06(Sun) 19:48:22

☆ Re: / ヒトヒト

あ！書いて頂いた続きをやったらマイナスになりました。スミマセン。有り難う御座いました。助かりました。

No.32951 - 2015/09/06(Sun) 20:28:38

☆ Re: / X

>>ヒトヒトさんへ
ごめんなさい。No.32948で計算に誤りがありました。
修正しておきましたので再度ご覧下さい。

No.32952 - 2015/09/06(Sun) 20:31:41

★ 数列 / 吉野

添付の問題⑵についてです。

No.32942 - 2015/09/06(Sun) 18:56:05

☆ Re: 数列 / 吉野

ごめんなさいこちらです。

No.32943 - 2015/09/06(Sun) 18:57:00

☆ Re: 数列 / 吉野

このように解きまして、答えが合いません…どこが間違っているのか教えてください。お願い申し上げます！

No.32944 - 2015/09/06(Sun) 18:58:02

☆ Re: 数列 / ヨッシー

×の付いている式の１行下の 20z^21 の分母(1-z) が抜けています。

No.32953 - 2015/09/06(Sun) 21:28:45

★ 命題 / かぶるまん

よろしくお願いいたします。

（○２に関しては、表記が正しいのか質問しています）

No.32933 - 2015/09/06(Sun) 00:10:17

☆ Re: 命題 / かぶるまん

続きです。

No.32934 - 2015/09/06(Sun) 00:10:58

☆ Re: 命題 / ヨッシー

○１
同じｎという文字を使っても構いません。
２直線　ｙ＝２ｘ、ｙ＝ｘ－１と書いたとき、
両者を連立させて交点を求めるような場合でなければ、
(0,0)と(0,-1)、(1,2)と(1,0) といった対応は気にしないですよね？

○２
だいたい良いですが、
Ａの任意の要素　４ｎ＋１　（ｎ∈Ｚ）に対して・・・
のように、「任意の」という言葉を入れた方がいいでしょう。
また　(整数) という表記よりも
　４ｎ＋１＝２(2n)＋１∈Ｂ　（∵2n∈Ｚ)
の方がいいでしょう。

No.32937 - 2015/09/06(Sun) 17:34:36

☆ Re: 命題 / かぶるまん

ご丁寧にありがとうございます。
これからもよろしくおねがいします！

No.32938 - 2015/09/06(Sun) 18:50:39

★ 不等式の証明 / qkm

0<x<1において、関数f(x)=2-x^2/√(1-x^2)が、
?甜0→x] f(t)dt <1/2xf(x)+x を満たすことを示せ。

よろしくお願いします。

No.32931 - 2015/09/05(Sat) 14:29:20

☆ Re: 不等式の証明 / X

>>f(x)=2-x^2/√(1-x^2)
を
f(x)=2-(x^2)/√(1-x^2)
>>?甜0→x] f(t)dt <1/2xf(x)+x
を
∫[0→x] f(t)dt＜(1/2)xf(x)+x
とそれぞれ解釈して回答します。

g(x)=(1/2)xf(x)+x-∫[0→x]f(t)dt
と置くと
g'(x)=(1/2)f(x)+(1/2)xf'(x)+1-f(x)
=-(1/2)f(x)+(1/2)xf'(x)+1
=-(1/2){2-(x^2)/√(1-x^2)}+(1/2)x{{2x√(1-x^2)+(x^3)/√(1-x^2)}/(1-x^2)}+1
=(1/2)(x^2)/√(1-x^2)+(1/2)(x^2){{2(1-x^2)+x^2}/(1-x^2)^(3/2)}
=(1/2)(x^2)/√(1-x^2)+(1/2)(x^2){(2-x^2)/(1-x^2)^(3/2)}
=(1/2)(x^2)(3-2x^2)/(1-x^2)^(3/2)
∴0＜x＜1においてg'(x)＞0ゆえ、g(x)は単調増加。
更に
g(0)=0
となるので
0＜x＜1においてg(x)＞0
よって命題は成立します。

No.32936 - 2015/09/06(Sun) 11:40:20

☆ Re: 不等式の証明 / qkm

ありがとうございます。

No.32966 - 2015/09/08(Tue) 00:16:55

☆ 円周率 / qkm

f(x)=(2-x^2)/√(1-x^2) として、上記の不等式を用いて、
円周率が3.16より小さいことを示すときの、着眼を教えてください。

No.32982 - 2015/09/10(Thu) 10:41:39

★ 場合わけイコール / かぶるまん

例えば「|x|」の場合わけで「x>=0」「x<=0」で場合わけしますが、イコールを重ねて用いてもいい理由をわかりやすく、詳しくお願いいたします。

No.32927 - 2015/09/04(Fri) 22:10:47

☆ Re: 場合わけイコール / X

=を重ねてもよい場合は、例として挙げられた
x=0のときの|x|のように、境界のどちら側と
解釈しても値が等しくなる場合に限られます。
どのような場合でも重ねていい訳ではないので
注意しましょう。

No.32928 - 2015/09/04(Fri) 22:23:29

☆ Re: 場合わけイコール / かぶるまん

りょうかいしました。

No.32929 - 2015/09/04(Fri) 23:03:40

★ (No Subject) / 琴

2x-3y+z=4 および 3x-2y-z=1を同時に満たすすべての実数x,y,zについて
ax^2+by^2+cz^2=yz+zx+xy
が成り立つとき、定数a,b,cの値を求めよ。

お願いします

No.32915 - 2015/09/04(Fri) 08:22:34

☆ Re: / X

2x-3y+z=4
3x-2y-z=1
をx,yについての連立方程式として
解き、x,yをzの式で表します。
得られた結果を
ax^2+by^2+cz^2=yz+zx+xy
に代入して整理し、その等式を
zについての恒等式と見て
両辺を比較し、a,b,cについての
連立方程式を立てます。

No.32916 - 2015/09/04(Fri) 08:43:06