初項1の等差数列。
初項からn項までの和とn+1から3n項までの和との比がどんなnでも等しい。
このときの比と公差を求めなさい。
数列で初めてこのような問題を見たので戸惑っています。
n+1から3nまでの和は、S(3n)-S(n)で求められるのはわかりますが、比が等しいというのはどういうことでしょうか？
ご教示お願いします。
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No.33450 - 2015/10/06(Tue) 19:48:30
| ☆ Re: 等差数列の比について / IT | | | {S(3n)-S(n)}/S(n)がnによらず一定ということですね。
すなわちS(3n)/S(n)が一定
具体的に書くと、S(3)/S(1)=S(6)/S(2)=S(9)/S(3)=S(12)/S(4)=...=k
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No.33451 - 2015/10/06(Tue) 19:58:17 |
| ☆ Re: 等差数列の比について / ぽむ | | | IT様、迅速な返答ありがとうございます。
比というと、どうしても1:5などの式を思い浮かべていました。
そのように表すのですね。
IT様が表して頂けた通りにS(3n)-S(n)/S(n)=…=kとすると、kが求める比ということですか。
S(3n)-S(n)/S(n)を公差dとして表して、具体的な数字を入れていくのでしょうか？
無知なもので、公差ともに求め方がよくわかりません。
ご教示して頂けると有難いです。
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No.33452 - 2015/10/06(Tue) 20:28:47 |
| ☆ Re: 等差数列の比について / IT | | | S(3n)-S(n)/S(n)={S(3n)/S(n)} - 1 ですから
S(3n)/S(n)＝ｋ（一定）として公差dを求めるほうが簡単です。
等差数列の和の公式を使って
S(n),S(3n)をd,nで表すとどうなりますか？
S(3n)/S(n)はどうなりますか？
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No.33453 - 2015/10/06(Tue) 20:35:45 |
| ☆ Re: 等差数列の比について / ぽむ | | | S(n)=1/2*n{2+(n-1)d}
S(3n)=3/2*n{2+(3n-1)d}
S(3n)/S(n)=3{2+(3n-1)d}/{2+(n-1)d}
となりました。
展開すると複雑になるかと思い、行いませんでした。
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No.33455 - 2015/10/06(Tue) 20:54:13 |
| ☆ Re: 等差数列の比について / IT | | | 合っていると思います。
もっと簡単な方法があるかも知れませんが
3{2+(3n-1)d}/{2+(n-1)d}=k とおいて
3(3dn+2-d)/(dn+2-d)=k
分母をはらって、移項して、
○n+□＝0 の形にします。
これが任意の自然数nについて成り立つので
○=0,かつ□=0から、k,dが求められます。
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No.33456 - 2015/10/06(Tue) 21:05:28 |
| ☆ Re: 等差数列の比について / ぽむ | | | 丁寧な解説ありがとうございます。
計算すると、k=3,d=0となったのですが、よろしいのでしょうか。
d=0となり、どこか計算間違いしたのかなと心配しています。
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No.33458 - 2015/10/06(Tue) 21:25:29 |
| ☆ Re: 等差数列の比について / IT | | | 他にも答えがあります。k=3,d=0だけだと計算間違いだと思います。
○n+□＝0 の形の式はどうなりましたか？
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No.33461 - 2015/10/06(Tue) 21:40:29 |
| ☆ Re: 等差数列の比について / ぽむ | | | 先程、間違いに気づき、(9d-kd)n+(kd-3d-2k+6)=0となりました。
k=9,d=0 k=3,d=2 が出てきました。
d=0は良いのでしょうか？
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No.33463 - 2015/10/06(Tue) 22:06:41 |
| ☆ Re: 等差数列の比について / IT | | | > 先程、間違いに気づき、(9d-kd)n+(kd-3d-2k+6)=0となりました。
>
> k=9,d=0 k=3,d=2 が出てきました。
組み合わせが違うのでは？
>
> d=0は良いのでしょうか？
公差0でも良いと思います。
念のため
「初項からn項までの和とn+1から3n項までの和との比がどんなnでも等しい。」
を満たすかn=1,2,3で確認してみてください。
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No.33465 - 2015/10/06(Tue) 22:22:12 |
| ☆ Re: 等差数列の比について / ぽむ | | | 最終的な比はk-1で求められるということですね。
最終に行うのはやはり検算ですね。
この度は本当にありがとうございました。
IT様のご厚意により、私の中でストンと納得する事が出来ました。
今後、数学での疑問点がありましたらアドバイス頂けると幸いです。
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No.33469 - 2015/10/06(Tue) 22:38:16 |
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