下記の問題が、解けません。解答もありません。
どう解けばいいでしょうか？詳しい解説お願いします。
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No.33738 - 2015/10/22(Thu) 09:27:00
| ☆ Re: 発展問題 / ヨッシー  | | | ３次方程式の少なくとも１つの解は実数なので、
ｚ＝１またはｚ＝−１を解に持つことは確実です。
(i) ｚ＝１ （３重解)の場合
(ｚ−１)^3＝０ は、ｃ＜０ となり不適
(ii) ｚ＝−１（３重解)の場合
(ｚ＋１)^3＝０ より z^3＋3z^2＋3z＋1＝０
ａ＝ｂ＝３，ｃ＝１
(iii) ｚ＝１，ｚ＝−１(重解)の場合
(z-1)(z+1)^2＝０ は、ｃ＜０となり不適
(vi) ｚ＝1(重解)、ｚ＝−１ の場合
(z-1)^2(z+1)＝０ より z^3−z^2−z＋１＝０
ａ＝ｂ＝−１，ｃ＝１
(v) ｚ＝１ と異なる虚数解の場合
ｚ＝１ を代入して
１＋ａ＋ｂ＋ｃ＝０ よって ａ＝−１−ｂ−ｃ
z^3−(1+b+c)z^2＋bz＋c＝(z-1){z^2-(b+c)z−c}＝０
|z|＝１ より、z^2-(b+c)z−c＝０ の解は
ｚ＝cosθ±ｉsinθ sinθ≠0 と書け
解と係数の関係より
b＋c＝２cosθ
−ｃ＝１ より ｃ＜０ となり不適
(vi) ｚ＝−１ と異なる虚数解の場合
ｚ＝−１ を代入して
−１＋ａ−ｂ＋ｃ＝０ よって ａ＝１＋ｂ−ｃ
z^3＋(1+b-c)z^2＋bz＋c＝(z+1){z^2+(b-c)z+c}＝０
同様に
ｚ＝cosθ±ｉsinθ sinθ≠0 とおくと
解と係数の関係より
ｃ−ｂ＝２cosθ
ｃ＝１ より
ｂ＝１−２cosθ
ｂが整数になるためには、cosθ＝0, ±1/2
これらより
(a,b,c)＝(1,1,1), (0,0,1), (2,2,1)
これと(ii)(vi) で求めた
(a,b,c)＝(3,3,1),(-1,-1,1)
の５通りとなります。
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No.33739 - 2015/10/22(Thu) 11:43:49 |
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