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★ 角度の問題(中3） / ももたろう
しかく4番の?@の問題についてです
答えは180-aなのですがそうなる理由が分かりません。
詳しく教えてください。
No.33555 - 2015/10/11(Sun) 18:13:34
☆ Re: 角度の問題(中3） / 農場長
△ＢＮＭと△ＥＮＣにおいて、
仮定からＢＮ＝ＥＮ
△ＮＢＥは二等辺三角形で、底角が等しいから
∠ＮＢＭ＝∠ＮＥＣ
（１）の結果から、ＢＭ＝ＥＣ
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△ＢＮＭ≡△ＥＮＣ
これより、ＮＭ＝ＮＣ

ここで、ＡＢ＝ＮＭ、ＮＣ＝ＤＥより、ＡＢ＝ＤＥ
仮定よりＡＮ＝ＤＮ、ＢＮ＝ＥＮ
３組の辺がそれぞれ等しいから
△ＡＢＮ≡△ＤＥＮ
∠ＢＡＮ＝１８０°−ａより、
∠ＡＤＥ＝１８０°−ａ　…（答）
No.33557 - 2015/10/11(Sun) 20:21:21
★ ベクトル / ＨＶＥ
四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝2√2、ＡＤ＝3√2
→　→　　　→　→　　→　→　
AB・BC＝-2、CD・DA＝1、DA・AB＝-2が成り立つとき
→　→　→
ACをAB、ADを用いて表せ。

余条件の生かし方がよく分かりません。
お願いします。
No.33550 - 2015/10/11(Sun) 16:13:47
☆ Re: ベクトル / X
↑AC・↑AB=x
↑AC・↑AD=y
と置くと、条件から
x-(2√2)^2=-2 (A)
y-(3√2)^2=1 (B)
これより
x=↑AC・↑AB=6 (C)
y=↑AC・↑AD=19 (D)
ここで
↑DA・↑AB=-2
AB=2√2,AD=3√2
により
cos∠BAD=2/{(2√2)(3√2)}
=1/6
∴cos∠BAD≠1かつcos∠BAD≠-1
よって
↑AB//↑ADでなく、かつ
↑AB≠↑0かつ↑AD≠↑0
ですので
↑AC=a↑AB+b↑AD (E)
と表すことができます。
後は(E)と↑AB,↑ADとの内積を
考えて(C)(D)などを用いること
により、a,bについての
連立方程式を立てます。
No.33558 - 2015/10/11(Sun) 20:51:11
☆ Re: ベクトル / llk
ありがとうございます。 やってみます。
No.33559 - 2015/10/11(Sun) 22:29:05
★ 体積 / SATO
半径１の球S0と、S0に内接する正四面体Tがある。
Tの各面を含む平面をπ1、π2、π3、π4とする。
また、S0をπ1で切断してできる２つの立体のうち、
Tを含む方をＳ1、Ｔを含まない方をs1とする。
以下同様に、i＝1,2,3に対しＳiをπi+1で切断してできる
立体のうち、Ｔを含む方をＳi+1、Ｔを含まない方をs i+1
とするとき、s4の体積を求めよ。

よろしくお願いします。
No.33549 - 2015/10/11(Sun) 15:21:38
★ (No Subject) / アカシロトモ
二項定理についての質問です。
問題は、Σ[k=0〜n]nCk/(k+1)の計算です。

Σ[k=0〜n]nCk/(k+1)
= Σ[k=0〜n]n!/(n-k)!k!(k+1)
= Σ[k=0〜n](n+1)!/{(n+1)-(k+1)}!(k+1)!(n+1)
= ｛1/(n+1)｝・Σ[k=0〜n] n+1Ck+1
= ｛1/(n+1)｝・{(1+1)^(n+1)-n+1Ck0}
= ｛1/(n+1)｝・{2^(n+1)-1}
になると思うのですが、
答は、｛1/(n+1)｝・2^(n+1)　です。
また、積分で解いた場合も答えと同じです。
疑問点は、Σ[k=0〜n] n+1Ck+1＝(1+1)^(n+1)
なる点です。
この二項展開にはn+1Ck0が含まれていないので、
この項を(1+1)^(n+1)から引くべきではないのでしょうか?
No.33547 - 2015/10/10(Sat) 22:39:05
☆ Re: / 黄桃
n=1 を代入してもわかるように、｛1/(n+1)｝・2^(n+1)は誤りです。
この程度のことは自分で判断できるようにするべきでしょう。
No.33551 - 2015/10/11(Sun) 16:26:59
☆ Re: / アカシロトモ
黄桃 さん
ありがとうございました,
プリントの答えが誤っているとは全く考えもしませんでした.
ご指摘の通り、自分の力不足です。お手数おかけしました.
No.33552 - 2015/10/11(Sun) 17:18:40
☆ Re: / IT
>プリントの答えが誤っているとは全く考えもしませんでした.

参考書・問題集などの出版物でも誤りはあり得ます。
ましてや（教師作成の）プリントの場合は、校正などもないので、誤りがあると思った方がいいと思います。
No.33554 - 2015/10/11(Sun) 17:43:46
☆ Re: / アカシロトモ
IT さん
いつもお世話になってます。
実力、自信共になかったのが
答えに疑問を持てなかった1番の理由です。
このサイトには、何度もお世話になっています。
頑張りますので、また、よろしくお願いします.
No.33556 - 2015/10/11(Sun) 18:54:55
★ 数列 / イオ(高3・文系)
いつも本当にお世話になっています。
一日に何度もすみません…。

下の問題の解答の、色を付けた部分が分かりません。
またよろしくお願いします。
No.33541 - 2015/10/10(Sat) 19:15:26
☆ Re: 数列 / イオ(高3・文系)
これが解答です。
No.33542 - 2015/10/10(Sat) 19:16:12
☆ Re: 数列 / IT
「よって」の後ろなら

3^n＜2^n+3^n ですから　2^n+3^n＜10^10 とから
3^n＜10^10

2^(n+1)+3^(n+1)＜3^(n+1)+3^(n+1)＝2・3^(n+1)ですから10^10≦2^(n+1)+3^(n+1) とから
10^10＜2・3^(n+1)
No.33545 - 2015/10/10(Sat) 19:53:38
☆ Re: 数列 / イオ(高3・文系)
遅くなってすみません。
分からなかったのが「よって」の前後の繋がりだったので後ろですね。

分かりやすい説明、ありがとうございました。
No.33553 - 2015/10/11(Sun) 17:28:36
★ (No Subject) / か
お願いします。
No.33538 - 2015/10/10(Sat) 18:09:23
☆ Re: / IT
(１ｓｔｅｐ)
直角三角形であることを　aとbの関係式で表す。
aをbの式で表す。
三角形の面積をbの式で表す。
No.33540 - 2015/10/10(Sat) 19:10:56
★ (No Subject) / ゆ
よろしくです。
No.33537 - 2015/10/10(Sat) 18:08:42
☆ Re: / IT
(1)は簡単だと思います
6=5+1であることを使います。

(2)
(1)より　(a[1]-1)6^4+(a[2]-1)6^3+(a[3]-1)6^2+(a[4]-1)6^1+(a[5]-1)6^0が５の倍数である確率を求めればよい。

各a[i]が1から6までの整数値をとると,a[i]-1は0から5までの整数値をとるので
(a[1]-1)6^4+(a[2]-1)6^3+(a[3]-1)6^2+(a[4]-1)6^1+(a[5]-1)6^0は、6進法で00000から55555までのすべての整数値,すなわち10進法で0から(6^5)-1までの6^5個の整数値をとり、どの値になる確率も等しい

0,(6^5)-1は５の倍数。
0から(6^5)-1までの整数のうち5の倍数は{(6^5)-1}/5 + 1個なので
求める確率は[{((6^5) - 1)/5} + 1]/(6^5)
No.33546 - 2015/10/10(Sat) 20:20:22
★ あー / ちくわぶ
Σ(k=1~n)((N+2-m)/N){((m-2)/N)^k-1((m-1)/N)^n-k}

1992京大理系後期確率のもんだいを解いていたらこの和が出てきて
解けなくなってしまいました。
答えは(N+2-m){((m-1)/N)^n-((m-2)/N)^n}です。よろしくお願いします。
No.33534 - 2015/10/10(Sat) 16:56:16
☆ Re: あー / X
{(N+2-m)/N}{((m-2)/N)^(k-1)}{((m-1)/N)^(n-k)}
={(N+2-m)/N}{((m-1)/N)^(n-1)}{((m-2)/N)^(k-1)}{((m-1)/N)^(-k+1)}
=[{(N+2-m)/N}{((m-1)/N)^(n-1)}]{(m-2)/(m-1)}^(k-1)
と変形すると…
No.33535 - 2015/10/10(Sat) 17:44:28
☆ Re: あー / ちくわぶ
(m-2/m-1)^k-1が等比数列になることがわかりましたがそこから先が
わかりません。またよろしくお願いします。
No.33539 - 2015/10/10(Sat) 18:15:00
☆ Re: あー / X
等比数列の和の公式を適用します。
No.33544 - 2015/10/10(Sat) 19:28:18
☆ Re: あー / ちくわぶ
わかってスッキリしました！
月曜までまたないといけないかと思いきもち悪かったので、本当に感謝です。ありがとうございました！
No.33548 - 2015/10/10(Sat) 22:46:21
★ 整数問題 / llk
８＾ｐ+７＾ｐがｐの倍数であるようなｐの値を求めよ。

着眼からよろしくお願いします。
No.33530 - 2015/10/10(Sat) 13:36:32
☆ Re: 整数問題 / IT
pは素数に限っているわけではないですか？

オイラーの定理やフェルマーの小定理は使っていいのですか？
No.33531 - 2015/10/10(Sat) 14:09:09
☆ Re: 整数問題 / llk
pは素数でした。
大丈夫です。
No.33532 - 2015/10/10(Sat) 15:42:09
☆ Re: 整数問題 / IT
以下≡は(mod p)とする。

pは素数なので、フェルマーの小定理より　8^(p-1)≡1,7^(p-1)≡1よって 8^p+7^p≡15　
からできると思います。
No.33536 - 2015/10/10(Sat) 17:44:56
★ ベクトル / イオ(高3・文系)
添付の問題で、

↑OP=↑OA+x↑AB+y↑ACとおくと、
　↑OP=↑OA+x(↑OB-↑OA)+y(↑OC-↑OA)=(1-x-y)↑OA+x↑OB+y↑OC　…?@
(1-x-y)+x+y=1より、Pは平面ABC上にあるから、
↑OP⊥(平面ABC)　∴↑OP⊥↑AB かつ ↑OP⊥↑AC

ここで、
↑OP=(1-2x+y,-1+3x,1+x-2y)　(∵?@)　…?A
↑AB=(-2,3,1)　↑AC=(1,0,-2)

よって、
↑OP・↑AB=-2(1-2x+y)+3(-1+3x)+(1+x-2y)=0
↑OP・↑AC=(1-2x+y)-2(1+x-2y)=0

すなわち
-4+14x-4y=0
-1-4x+5y=0

これを解いて、x=4/9　y=5/9

?Aに代入して、↑OP=(2/3,1/3,1/3)
∴|↑OP|=√(4/9+1/9+1/9)=√(6/9)=(√6)/3

という別解を教わったのですが、この別解では最小値を求めているという感じが薄い気がします。
どこにどのような説明を付け加えたらより良い答案になりますか？
よろしくお願いします。
No.33526 - 2015/10/10(Sat) 10:38:03
☆ Re: ベクトル / IT
(1-x-y)+x+y=1より、Pは平面ABC上にある。
よって|↑OP|が最小になるのは↑OP⊥(平面ABC)　のとき
すなわち↑OP⊥↑AB かつ ↑OP⊥↑AC　のときである。
No.33527 - 2015/10/10(Sat) 10:43:04
☆ Re: ベクトル / イオ(高3・文系)
とても早い返信をありがとうございます。
なるほど、確かにそうですね！

納得しました。本当にありがとうございました。
No.33528 - 2015/10/10(Sat) 10:57:25
☆ Re: ベクトル / IT
# 厳密には|↑OP|≠0であることを示すか、|↑OP|＝0のときも含めて考えないといけないかもしれませんが、大きな問題ではないと思います。
No.33529 - 2015/10/10(Sat) 11:07:27
★ 複素数平面の計算 / ダリア
こんばんは。

複素数平面の問題を解いていて、計算部分で分からないところがありました。

argW=arg(-iZ^2/2)
=arg(-i)+2argZ
=-90°+2argZ

このようになっていたのですが、arg(-i)はどこから
出てきたのでしょうか。
No.33522 - 2015/10/10(Sat) 01:44:29
☆ Re: 複素数平面の計算 / ヨッシー
一般に、２つの複素数ａ，ｂにおいて
　arg(ａｂ)＝arg(ａ)＋arg(ｂ)
なので、
　Ｗ＝−ｉＺ^2/２＝−ｉ×Ｚ×Ｚ×(1/2)
なのであれば、
　arg(Ｗ)＝arg(−ｉ)＋arg(Ｚ)＋arg(Ｚ)＋arg(1/2)
arg(1/2)＝０　なので、
　arg(Ｗ)＝arg(−ｉ)＋２arg(Ｚ)
となります。
Ｗ がなぜ、−ｉＺ^2/２ になるかは問題を見ないとわかりません。
No.33524 - 2015/10/10(Sat) 05:59:26
★ 数Aの質問です。 / komura
大問116(1)〜(3)の解説をおねがいします。
No.33521 - 2015/10/09(Fri) 21:26:55
☆ Re: 数Aの質問です。 / ヨッシー
たとえば、(1) はＡが起こった条件下でＢが起こる確率なので、
Ａ：最初に白を引いた、つまり、白７個赤４個の状態から
赤を引く確率なので、4/11 です。
(2)(3) も同様です。
No.33523 - 2015/10/10(Sat) 05:51:59
☆ Re: 数Aの質問です。 / komura
ありがとうございます。
No.33560 - 2015/10/12(Mon) 10:42:04
★ 漸化式 / 匿名希望
数直線上の点Aの座標を0、点Bの座標を1とし、点A点Bの間に点Q(0)をとり,Q(0)の座標をq(0)とする。
　線分Q(0)Aの中点をP(1)とし、線分P(1)Bの中点をQ(1)とする。
　線分Q(1)Aの中点をP(2)とし、線分P(2)Bの中点をQ(2)とする。
　以下、同様にしてP(n) Q(n)を定める。

一般項　P(n) Q(n) を求めよ。

　
No.33517 - 2015/10/09(Fri) 18:46:56
☆ Re: 漸化式 / 匿名希望
　よろしくお願いします。
No.33518 - 2015/10/09(Fri) 18:47:28
☆ Re: 漸化式 / X
条件から
p[n+1]=q[n]/2 (A)
q[n]=(p[n]+1)/2(n≧1) (B)
p[1]=q[0]/2 (C)
(A)(B)より
p[n+1]=(p[n]+1)/4
これより
p[n+1]-1/3=(p[n]-1/3)/4
∴p[n]=(p[1]-1/3)(1/4)^(n-1)+1/3
(C)を代入して
p[n]=(q[0]/2-1/3)(1/4)^(n-1)+1/3
更にこれを(B)に代入して
q[n]=(q[0]-2/3)(1/4)^n+2/3 (n≧1)
これはn=0のときも成立。

以上から
p[n]=(q[0]/2-1/3)(1/4)^(n-1)+1/3
q[n]=(q[0]-2/3)(1/4)^n+2/3
No.33519 - 2015/10/09(Fri) 19:27:08
☆ Re: 漸化式 / 匿名希望
　　なるほど！！助かりました。ありがとうございます。
No.33520 - 2015/10/09(Fri) 20:13:30
★ 証明ができない / たいよう
初めて質問させていただきます。
以下の問題が解けません。

0＜θ＜π/6である。四角形ABCDにおいて∠ABD=2θ,
∠BDA=π/3-θ,∠CAD=π/3-2θ,∠CBD=π/2-3θであるとき∠DCA=θを示せ。

補助線に平行線や角度をずらした線などを引いてみたのですが,うまくいかないです。また,円を使ってやるのかと思ったのですができませんでした。
答えはないので,お願いします。
No.33515 - 2015/10/09(Fri) 17:13:53
☆ Re: 証明ができない / たいよう
∠CAB=π/3+θが仮定から抜けていました。
すみません。
No.33525 - 2015/10/10(Sat) 06:44:21
★ (No Subject) / 吉野
添付の問題⑵について
これはD＝０で解くと思います。
No.33512 - 2015/10/09(Fri) 16:17:09
☆ Re: / 吉野
対してこの⑵は、y＝y、y´＝y´でとくようです。こちらの⑵はD＝０では解けないのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.33513 - 2015/10/09(Fri) 16:19:25
☆ Re: / ヨッシー
前者は、ｙを消去して２乗すれば、２次式になりますが、
後者は３次式になりますので、２次式の判別式は使えません。
No.33514 - 2015/10/09(Fri) 16:35:39
☆ Re: / 吉野
遅くなってごめんなさい。
どうもありがとうございました！
No.33689 - 2015/10/20(Tue) 18:53:05
★ 答えです。 / ダル
わたしは★のようにベクトルを無限個足さないといけない気がします。
しかし答えはただ無限大にもっていくだけでいい理由がわかりません。
No.33505 - 2015/10/09(Fri) 11:17:37
☆ Re: 答えです。 / ヨッシー
関連記事は、[返信]ボタンを押してから、書いて下さい。

この記事への回答は、下の記事に書きます。
No.33507 - 2015/10/09(Fri) 11:23:10
☆ Re: 答えです。 / ダル
すいませんでした。
No.33510 - 2015/10/09(Fri) 13:48:43
★ 複素数平面 / ダル
この問題がよくわかりません。
No.33504 - 2015/10/09(Fri) 11:14:25
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー
Ｚ[n]が↑Ｐ[n]Ｐ[n-1] に相当する複素数を表すのであれば、
全部足さないといけませんが、ここで定義したＺ[n]は
↑ＯＰ[n] に相当する複素数ですので、Ｚ[n] の飛び先を
求めるだけで良いのです。
（むしろ足してはいけません）
No.33508 - 2015/10/09(Fri) 11:26:45
☆ Re: 複素数平面 / ダル
図のようにpn-1を支点にベクトルの大きさを1/√2倍して、45度回しただけでは、ベクトルの支点が動かず、ただ回ってるだけな気がします。
No.33509 - 2015/10/09(Fri) 13:32:32
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー
Z[n] の最初の数項を計算すればわかります。
Z[0]＝(0,0), Z[1]＝(1,0) で、↑Z[0]Z[1]＝(1,0)−(0,0)＝(1,0)
これを、45°回し1/√2倍すると
↑Z[1]Z[2]＝(1/2,1/2)＝(x2,y2)−(1,0) より Z[2]＝(1/2,1/2)＋(1,0)＝(3/2,1/2)

↑Z[1]Z[2]＝・・・ と書いた時点で、始点は Z[1] に移っているので、
差分ベクトルは縮小・回転するだけで良いのです。
No.33511 - 2015/10/09(Fri) 14:21:00
☆ Re: 複素数平面 / ダル
このような解釈でよろしいでしょうか？
いままでやったことある問題は
↗︎AC=を3/π回転すると↗︎APなどで支点が同じでした。
でもこのような時も
↗︎AP=(cos3/π+isin3/π)↗︎AC
↗︎OP-↗︎OA=(cos3/π+isin3/π)(↗︎OC-↗︎OA)
↗︎OP=(cos3/π+isin3/π)(↗︎OC-↗︎OA) + ↗︎OA

となり支点が同じであってもOからAまでのベクトルは足されているといことだから… 支点がことなっても大丈夫？？？
No.33533 - 2015/10/10(Sat) 16:18:56
★ 平面図形 / ちぬわ
毎度お世話になってます。

(1)のア・イの問題で
<cfd=<cdf=<bde<bed
から
<cfa=<bda , <adc=<aeb
また
　<abd=<cad

の部分がどうしてそうなるのか分かりません。
No.33501 - 2015/10/09(Fri) 10:53:29
☆ Re: 平面図形 / ちぬわ
解説です。
No.33502 - 2015/10/09(Fri) 10:53:59
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
∠ＣＦＤ＝∠ＣＤＦ＝∠ＢＤＥ＝∠ＢＥＤ
は、二等辺三角形の底角とか、対頂角で説明がつきます。
これら４つの角に、▲印などをつけて、∠ＣＦＡや∠ＢＤＡとの関係を調べましょう。
また、
　∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ
　∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ（∠ＡＢＤ＝∠ＣＡＤ は書き間違い）
は、説明するまでもないでしょう。
No.33506 - 2015/10/09(Fri) 11:17:50
★ (No Subject) / ゆ
よろしくお願いします。
No.33495 - 2015/10/08(Thu) 22:05:06
☆ Re: / ヨッシー
f(x)＝x(x-1)(x-a)
g(x)＝(b-a)x(x-1)　とおきます。

f(x)を微分して
　f'(x)＝3x^2−2(1+a)x＋a
よって、原点におけるy=f(x) の接線の傾きはａ
g(x)を微分して
　g'(x)＝(b-a)(2x-1)
よって、原点における y=g(x) 接線の傾きは　a-b
(イ) より
　a(a-b)＝ー１
ａ＞ａ−ｂ より　ａ＞０＞ａ−ｂ
これより　０＜ａ＜ｂ の関係がわかります。

一方、
Ｃ1 とＣ2 の交点は
　x(x-1)(x-a)＝(b-a)x(x-1)
より
　ｘ＝０，１，ｂ
これより、
　Ｓ1＝∫[0〜1]{f(x)−g(x)}dx
　　＝b/6−1/12
　Ｓ2＝∫[1〜b]{g(x)−f(x)}dx
　　　＝b^4/12−b^3/6＋b/6−1/12
(ロ) より
　b^4/12−b^3/6＋b/6−1/12＝(b/6−1/12)(b-1)^2
これを解いて
　ｂ＝０，１，２　（ｂ＝１は重解)
以上より、ｂ＝２、ａ＝１
No.33499 - 2015/10/09(Fri) 07:07:57
☆ Re: / ゆ
ありがとうございます。
No.33500 - 2015/10/09(Fri) 08:24:41
★ (No Subject) / tdj48
（２）は次のような記述答案でよろしいですか？

よろしくお願いします。
No.33492 - 2015/10/08(Thu) 20:35:38
☆ Re: / tdj48
問題です。
No.33493 - 2015/10/08(Thu) 20:36:06
☆ Re: / X
2行目で(1)の結果を使っていることを
明記しましょう。
その点だけ補えば、後は問題ありません。
No.33494 - 2015/10/08(Thu) 20:46:46
☆ Re: / tdj48
僕もこれでいいと思ったのですが、解答には次のように書いてあったので不安になって投稿させていただきました。

（２）において、ずーっと同値変形で続いているので、実際のx,y,zの値を出して、確かめることって必要じゃないですよね？
No.33496 - 2015/10/08(Thu) 22:17:59
☆ Re: / IT
等号が成り立つことがあることを明示する必要がある思います。
No.33497 - 2015/10/08(Thu) 23:51:28
☆ Re: / tdj48
わかりやすいご説明ありがとうございました。
No.33516 - 2015/10/09(Fri) 17:22:07
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