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★ 軌跡 / llk
Oを原点とする座標平面上に円Ｃ：ｘ＾2＋ｙ＾2＝１と、
定点（２，0）がある。点Ａを通る直線がＣと２点Ｐ１，
Ｐ２で交わり，ＡＰ１の垂直二等分線とＯＰ１の交点を
Ｑ１，ＡＰ２の垂直二等分線とＯＰ２の交点をＱ２とする。
Ｑ１，Ｑ２の軌跡は双曲線であることを示し、その方程式を
求めよ。

よろしくお願いします。
No.33379 - 2015/10/04(Sun) 00:16:08
☆ Re: 軌跡 / ヨッシー
たぶん、点(2,0) が点Ａなのでしょう。

点Ａを通る直線と円Ｃが異なる２点で交わるとき、
その交点を、Ａに近い方からＰ1、Ｐ2 とします。


図は、Ｐ1とＱ1 の様子を描いたものです。

Ｐ1Ｑ1＝ＡＱ1 であるので、
　ＯＱ1−ＡＱ1＝ＯＰ1＝１
の関係があります。同様に、Ｐ2、Ｑ2 においては
　ＡＱ2−ＯＱ2＝１
の関係があります。

つまり、２定点からの距離の差が一定となるので、
Ｑ1、Ｑ2 は、２点Ｏ，Ａを焦点とする双曲線となります。

また、点Ａを通る直線が円Ｃに接するときの、ＡＰ1(＝ＡＰ2) の垂直二等分線が
漸近線となります。
その式は　ｙ＝±√3ｘ であり、双曲線の式は、
　ｘ^2−ｙ^2/(√3)^2＝ａ
のグラフを、ｘ軸方向に１移動したものなので、
　(x-1)^2−ｙ^2/(√3)^2＝ａ
これが、(3/2, 0) を通るようにａを決めると、ａ＝1/4
よって、求める式は
　4x^2−4y^2/3＝1
No.33381 - 2015/10/04(Sun) 10:43:07
☆ Re: 軌跡 / llk
動画まで、つけていただきありがとうございます。
No.33394 - 2015/10/04(Sun) 16:30:16
★ 等差数列 / からす
高2です。

等差数列｛a[n]｝があり、a[2]＝−53、a[3]−2a[4]＝41を満たしている。また、数列｛b[n]｝の初項から第n項までの和をS[n]とするとき、S[n]＝n^2−12n(n＝1、2、3、・・・)を満たしている。
⑴数列｛a[n]｝の一般項a[n]をnを用いて表せ。また、a[n]<0となる最大のnを求めよ。
⑵数列｛b[n]｝の一般項b[n]をnを用いて表せ。
⑶Σ[k＝1、20]|a[k]|≦nb[n]を満たす最小の自然数nの値を求めよ。

⑴は、a[n]＝4n−61、⑵は、2n−13になりましたがあっていますか？
⑶は解き方がわからず、停滞中です。お願い致します🙇
No.33377 - 2015/10/03(Sat) 21:42:21
☆ Re: 等差数列 / ヨッシー
(1)(2) は合っています。あと、(1) の後半も(3)で使うので
求めておきます。

(3)
(1) の後半の結果より、k=1〜15 で、a(k)＜0、k≧16 で a(k)＞0 なので、
　(左辺)＝Σ[k＝1〜15](61-4n)＋Σ[k＝16〜20](4n-61)
　　＝490
n・b[n]＝2n^2−13≧490
これを解いて
　ｎ＝(13±√4089)/4
63^2＝3869, 64^2＝4096 より、ｎ＞０ の解は
　19＝(13+63)/4＜ｎ＜(13+64)/4＝19.25
の範囲にあるので、
求める最小の自然数ｎは２０。
No.33380 - 2015/10/04(Sun) 00:43:06
★ 確率 / セメント
12本のくじの中に4本の当たりくじが入っている。A,B,Cの3人がこの順番でくじを引くとき、
(?@)A,B,Cの3人全員が当たりくじを引く確率
(?A)Bが当たりくじを引く確率 を求めよ。
上記の問題の(?@)の自分の答えは1/5になったのですが、確信が持てません。また、(?A)は、Aが当たった場合、はずれた場合に場合分けするのですか？基本的な問題ではありますが、どうか教えていただきたいです。
No.33375 - 2015/10/03(Sat) 20:42:00
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(i) 1/5 ではありません。
どのようにして計算したか書いてもらえると、どこで間違ったか
言うことが出来ます。
おそらくですが、1/5 というのは、Ａが当たって、Ｂが当たった
上での、Ｃが当たる確率を求めているような気がします。

(ii)
この問題は、場合分けをさせたい（今後場合分けをしなくて良いための）
問題だと思いますので、場合分けをするのが良いでしょう。
No.33376 - 2015/10/03(Sat) 21:14:25
☆ Re: 確率 / セメント
ご返答ありがとうございます。
(?@)→考え方は、Aが当たる確率は12本から4本のいずれかなので4/12=1/3、Bが当たる確率はAの分を引いて3/11、Cが当たる確率はA,Bの分を引いて2/10=1/5、1/3＊3/11＊1/5で1/55(すみません1/5でないです)だと単純に考えてたのですが…。さっぱりです…
No.33378 - 2015/10/03(Sat) 21:50:01
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(i) の 1/55 はそれで正しいです。

(ii) は
Ａが当たって、Ｂも当たる確率
Ａが外れて、Ｂが当たる確率
をそれぞれ求めて、合計します。
No.33382 - 2015/10/04(Sun) 10:45:31
☆ Re: 確率 / IT
横から失礼します。
この問題については、セメント さんの解法、ヨッシーさんの解説が分かりやすいですが
他の考え方を（場合によってはこちらが役にたつこともあると思います）

１２本のくじをすべて区別して考え、左から一列に並べて、
Ａ，Ｂ，Ｃが順に左端からくじを引いていくと考えます。

１２本のくじの並べ方は全部で１２！とおり

（?@）そのうち１、２、３番目に当たりくじが並ぶのは（４×３×２）×９！とおり
　　よってＡ,Ｂ,Ｃの3人全員が当たりくじを引く確率は
　　（４×３×２×９！）/１２！＝（４×３×２）/(１２×１１×１０)＝１／５５

（?A）２番目に当たりくじが並ぶのは、４×１１！とおり
　　よってＢが当たりくじを引く確率は　、（４×１１！）／１２！＝４／１２＝１／３

１２人がどんな順番でくじをいても、当たりくじを引く確率はそれぞれ１／３で平等であることが分かります。
No.33383 - 2015/10/04(Sun) 11:34:01
☆ Re: 確率 / セメント
ヨッシーさん→すみません、計算ミスでしたね。(?A)の考え方まで、ありがとうございます。
ITさん→他の解法まで教えていただきありがとうございます。参考にさせていただきます。
お二人ともありがとうございました！
No.33390 - 2015/10/04(Sun) 12:36:53
★ 整数 大学入試 / 吉野
添付の問題について質問があります。
No.33368 - 2015/10/03(Sat) 16:24:42
☆ Re: 整数 大学入試 / 吉野
続きです。
このナ部分について。
下のようにときました。
a′c′＝9とし、a′＝3と出ているのでcは一つにしか決まらず、1組だと思いましたが、こたえは９組だそうです。
どうしてそうなるのでしょうか…
宜しくお願いします。
No.33370 - 2015/10/03(Sat) 16:28:20
☆ Re: 整数 大学入試 / ヨッシー
ｇはａとｂの最大公約数ですが、ａとｃの最大公約数ではないので、
　ｇａ’ｃ’＝２７００
とはなりません。

与えられている条件は、
　ａ（＝９００）とｃとの最小公倍数が２７００
ということだけです。
　ａ＝2^2×3^2×5^2
　2700＝2^2×2^3×5^2
なので、ｃの条件は
　2 は最大２個まで掛けて良い
　3 は３個掛けてないといけない（４個以上もダメ）
　5 は最大２個まで掛けて良い
なので、２について０個、１個、２個の３通り、５についても３通りで、
合計　３×３＝９(通り)　です。
No.33371 - 2015/10/03(Sat) 16:56:54
☆ Re: 整数 大学入試 / 吉野
遅くなりすみません！

ｇが共通しないという話はわかりました。しかし、形式的にga´c´＝2700と考えられ、a＝ga´＝900より、c´＝3まで出ると思います。
そこから考えることは出来ないでしょうか…？

何度もすみませんがお願いします。
No.33704 - 2015/10/21(Wed) 00:29:56
☆ Re: 整数 大学入試 / ヨッシー
それまで使っていた a', g とは違う数 a', g に対して
　ga'c'＝2700
と書くことは可能で、c'＝3 とすることも可能です。そして、
　a＝ga'＝900
を、g と a' (ただし、a' は c' と互いに素)の形に分解出来れば、
その g と c'（3に等しい）を掛ければ、c が作れます。

では、そのような分解の仕方は何通りあるでしょうか？
という問題に置き換えることは可能です。
No.33708 - 2015/10/21(Wed) 08:49:50
☆ Re: 整数 大学入試 / 吉野
はい、そのように定義し直して解きたいです、
gc´＝cとし、C´＝3
としたあと、どのように考えたら良いか教えてもらえないでしょうか
お願いします。
No.33712 - 2015/10/21(Wed) 12:21:41
☆ Re: 整数 大学入試 / ヨッシー
あれ？
>そのような分解の仕方は何通りあるでしょうか？
を解いてもらえば、この問題は終わりのはずですが。
No.33714 - 2015/10/21(Wed) 13:29:07
★ 複素数平面の問題 / ダル
いつも複素数平面の問題はベクトルのようにつかって解いています。どのようにすればこの問題とけますか？(できればベクトルのようにやる方法教えてください。
No.33358 - 2015/10/02(Fri) 10:48:59
☆ Re: 複素数平面の問題 / ヨッシー
このあと、図が載るのでしょうか？

お待ちしてます。
No.33360 - 2015/10/02(Fri) 17:08:15
☆ Re: 複素数平面の問題 / ダル
忘れてましたorz
No.33361 - 2015/10/02(Fri) 20:14:30
☆ Re: 複素数平面の問題 / IT
「４つの辺の長さがすべて等しい」という「ひし形の条件（定義）」をa,zの式で表せば出来ると思います。

(流れ）
・|z|=1となるので、z,z^2,z^3は単位円上にある。
・実数aはzとz^3から等距離にあるのでzとz^3を結ぶ弦の垂直二等分線上にある。
・zとz^3が実軸に関して対称な位置にある場合と、そうでない場合に分けてaとz^2の位置を考える
（zとz^3が実軸に関して対称な位置にある ⇔ zとz^3を結ぶ弦の垂直二等分線は実軸）
No.33362 - 2015/10/02(Fri) 22:50:02
☆ Re: 複素数平面の問題 / ダル
一様やって見ましたが、答えが違います。どうすればいいですか？
(複素数の解がでない。)
あと直角条件とかでもいけますか？
(ベクトルっぽくいきたいので。)
No.33365 - 2015/10/03(Sat) 13:54:34
☆ Re: 複素数平面の問題 / IT
基礎的なミスは
(イ)で両辺を２乗したとき、絶対値記号を外すのは、間違いです。
＃実数のときと、複素数のときで確認してみてください
　|a|=|b|,|z|=|w|

２乗せず、絶対値記号の中を因数分解すると整理できると思います。
No.33366 - 2015/10/03(Sat) 14:09:44
☆ Re: 複素数平面の問題 / ダル
計算過程がわかりません。
No.33369 - 2015/10/03(Sat) 16:25:45
☆ Re: 複素数平面の問題 / IT
２乗は不要です。ていねいに書くと
|z^2-z|=|z^3-z^2|
|z(z-1)|=|(z^2)(z-1)|
|z||z-1|=|z||z||z-1|
移項して
|z||z-1|-|z||z||z-1|=0
|z||z-1|(1-|z|)=0
z≠0,1なので|z|=1かつz≠1

z=0,1のとき題意を満たさないことを確認してください。
No.33372 - 2015/10/03(Sat) 18:09:20
☆ Re: 複素数平面の問題 / IT
ダルさんの最後の式はまちがっています。
正しくは　　|z|^4 - (|z|^2-1)(z+z~) = 1
整理すると　(|z|^2-1)|z-1|^2 = 0 となります。
No.33373 - 2015/10/03(Sat) 18:23:23
☆ Re: 複素数平面の問題 / IT
性質としての?Aを使ってもいいですが、
「ひし形の条件（定義）」は「４つの辺の長さがすべて等しい」ですから、
単に　|z^2-z|=|z^3-z^2|=|z^3-a|=|z-a|≠0 だけでいいと思います。
No.33374 - 2015/10/03(Sat) 18:29:48
☆ Re: 複素数平面 / ダル
|z||z-1|-|z||z||z-1|=0
|z||z-1|(1-|z|)=0
z≠0,1なので|z|=1かつz≠1
これがよくわかりません。
zとz^2とz^3が一致する時、ひし形にならないため、z=1,-1,0でないことはわかります。そのため|z|=0,|z-1|=0となる複素数zはz=0.1のみなので不適。
よって等式を満たすのは、(1-|z|)=0であるため|z|=1 -❶がみたされる条件である。
ここから微妙です。
zが実数であれば、❶は不適になります。しかしzがふくそすうなのでz=i,-iがなどが満たされるということでしょうか？？
複素数て難しいです。
No.33415 - 2015/10/04(Sun) 21:20:40
☆ Re: 複素数平面の問題 / IT
> zとz^2とz^3が一致する時、ひし形にならないため、z=1,-1,0でないことはわかります。そのため|z|=0,|z-1|=0となる複素数zはz=0.1のみなので不適。
> よって等式を満たすのは、(1-|z|)=0であるため|z|=1 -❶がみたされる条件である。
|z|=1は必要条件です。

> ここから微妙です。
最初に示した(流れ）に沿って考えてみてください。
・|z|=1となるので、z,z^2,z^3は単位円上にある。
今ここまで言えたわけです。

・実数aはzとz^3から等距離にあるのでzとz^3を結ぶ弦の垂直二等分線上にある。
・zとz^3が実軸に関して対称な位置にある場合と、そうでない場合に分けてaとz^2の位置を考える
（zとz^3が実軸に関して対称な位置にある ⇔ zとz^3を結ぶ弦の垂直二等分線は実軸）
No.33434 - 2015/10/05(Mon) 18:43:01
★ 図形の形質 / ちぬわ
（１）
Ap:pb=ac:cb
ゆえに
Ap=2/2+1ab
になぜなるのかわかりません。

（２）
Ad=bc-2x. なのですが、なぜ２ｘなのですか？
No.33356 - 2015/10/02(Fri) 09:00:30
☆ Re: 図形の形質 / ヨッシー
(1)
AP:PB＝AC:CB ゆえに・・・ではなく
AP:PB＝２：１ ゆえに AP＝(2/3)AB です。
間にもう一行入れるなら、
　AP:AB=２：３
です。

(2)
その直前にある「等脚台形である」を踏まえて、
ＤからＢＣに垂線をおろし、ＢＨ＝ｘと等しい部分を
ＢＨ以外に見つけましょう。
No.33357 - 2015/10/02(Fri) 09:26:57
☆ Re: 図形の形質 / ちぬわ
回答ありがとうございます。
解説がはぶられていると難しく感じます。。。
No.33364 - 2015/10/03(Sat) 10:05:32
★ 数Aの質問です / komura
大問112の解説をお願いします。
No.33352 - 2015/10/01(Thu) 23:15:46
☆ Re: 数Aの質問です / ヨッシー
３、４，５，６ のいずれかが出る場合をＸとすると、
１１１２２ＸＸ の順に目が出るのは１つの例で、その確率は
　(1/6)×(1/6)×(1/6)×(1/6)×(1/6)×(2/3)×(2/3)＝1/17496
です。
１１１２Ｘ２Ｘ の順に出るのも、１つの例で確率は 1/17496 です。

１１１２２ＸＸ の並べ替えがｋ通りとすると、
求める確率は k/17496 となります。

答えは、35/2916 となります。
No.33354 - 2015/10/02(Fri) 06:24:45
★ 数Aの質問です / komura
大問111(2)でなぜBが勝つ確率から求めるのかわかりません。お願いします。
No.33351 - 2015/10/01(Thu) 23:13:28
☆ Re: 数Aの質問です / IT
Ａが勝つ確率から求めてもＯＫです。
No.33353 - 2015/10/01(Thu) 23:39:07
★ 弦 / 北陸新幹線
半径1の円に内接する正ｎ角形の異なる二つの頂点を結ぶ線分（辺と対角線）の総数をMn、それらの長さの総和をLnとするとき、lim(ｎ→∞）Ln/Mnを求めよ。

中心角2kπ/n（k=1,2,・・・,n-1)に対する弦はｎ本あり、それらの長さは２sin(kπ/n)
『kが１，２、・・・、ｎ−１を動く時、全ての弦が２回ずつ現れるから、Ln=(1/2)Σ(k=1~n-1)2nsin(kπ/n)』

の『』の部分が分かりません。全ての弦が二回ずつ現れるというのも意味分かりません。困っているのでどなたか教えてください、よろしくおねがいします
No.33346 - 2015/10/01(Thu) 21:35:59
☆ Re: 弦 / IT
例えばn=3のとき、正３角形ＡＢＣを考えると
ＡＢの中心角は2π/3と2π-(2π/3)の２つが対応しますから
２回カウントされるということだと思います。
No.33349 - 2015/10/01(Thu) 22:52:52
☆ Re: 弦 / IT
nが偶数のとき、
二つの頂点を結ぶ線分が直径のときは１回しか出てこないような気もします。　もう少し考えて見ます。

直径はn/2本なので、計算結果は合うようですね。
No.33350 - 2015/10/01(Thu) 23:02:40
☆ Re: 弦 / 北陸新幹線
ありがとうございます。答えが間違っているという可能性もあります。訂正案や、こちらの解法の方が分かりやすいというのでも大歓迎です、よろしくおねがいします
No.33355 - 2015/10/02(Fri) 07:51:32
☆ Re: 弦 / 黄桃
ITさんのおっしゃる通りです。もっといえば、角度の動く方向を固定している（例えば右回り）ので、
直径であってもXYという弦を Xから円周に沿って右回りでYに行く場合とYから右回りでXに行く場合とで別に（2回）数えている、
ということです。

以下のように頂点を先に固定する方法もありますが、いいたいことは同じでしょう。

１つの頂点Xを固定する。Xを端点とする弦は(n-1)本あり、それらの長さの合計はΣ_[k=1,n-1] 2sin(kπ/n)
Xがすべての頂点を動くと、その和は n(Σ_[k=1,n-1] 2sin(kπ/n)) となる。
すべての弦は2回ずつ（弦XYは頂点Xと頂点Yの場合に）重複して数えられているから、Ln=(1/2)Σ(k=1~n-1)2nsin(kπ/n)
No.33363 - 2015/10/03(Sat) 09:22:43
☆ Re: 弦 / 北陸新幹線
2回づつとはそういうことだったのですね！よくわかりました、お二方ありがとうございます！
No.33416 - 2015/10/04(Sun) 21:28:58
★ グラフを平行移動すると…の証明 / イオ(高3・文系)
【問題】
3次関数f(x)=x^3+3ax^2+bx+cに関して、
(中略)
y=f(x)のグラフは平行移動によってy=x^3+(3/2)mxのグラフに移ることを示せ。
※中略の部分で、m=(2/3)b-2a^2という値が出ています。

解答・解説では画像のように証明していたのですが、いまいち証明されていると感じられません…。
適当なp、qの値が出たから、y-q=f(x-p)はy=x^3-2a^2に一致する、すなわちy=f(x)のグラフは平行移動によってy=x^3+(3/2)mxのグラフに移る、ということですか？
また、他に証明方法はありますか？
No.33343 - 2015/10/01(Thu) 20:01:32
☆ Re: グラフを平行移動すると…の証明 / X
>>適当なp、qの値が出たから、〜ということですか？
p,qの値は決して適当な(つまりたまたま得られた)値
ではありません。
平行移動後の曲線の方程式が
y=f(x-p)+q
となることから
f(x-p)+q=x^3+(3/2)mx
が恒等的に成立することを使って、
係数比較によりp,qについての
方程式を導き、解いて得られる値です。
No.33344 - 2015/10/01(Thu) 20:59:28
☆ Re: グラフを平行移動すると…の証明 / イオ(高3・文系)
早速の回答ありがとうございます。
紛らわしい言い方をしてすみません…いわゆる「テキトー」ではなく、「条件に当てはまっている、ふさわしい」という意味で「適当」という言葉を使っていたつもりでした…。
No.33348 - 2015/10/01(Thu) 22:22:07
☆ Re: グラフを平行移動すると…の証明 / 歌声喫茶
>他に証明方法は

本質的には同じ(というか単に書き方が違うだけ)ですが、
その解答と同じ計算を計算用紙で済ませておいて、解答用紙にはさも一目で見抜いたかのように

「y=f(x)のグラフをx軸方向にa,y軸方向に-2a^3+ab-c移動させたグラフは、y-(-2a^3+ab-c)=f(x-a)であるから―」

とか書き始めて適当に整理したふりをして最終的にy=x^3+(3/2)mxを得る、というような書き方をしてもよいでしょう。こういう流れであっても釈然としませんか？

＃試験の答案として重要なのは、問われているように、移動させれば一致するという事実を示すことで、a,-2a^3+ab-cをどのように得たかということは重要ではありません(途中で計算ミスがあった場合の部分点はもらえるかもしれませんが)。なので、式を見ただけで一目でa,-2a^3+ab-cを見抜ける慧眼の持ち主ならもとの答案のような作業は不要です。私には無理ですが。
No.33359 - 2015/10/02(Fri) 16:21:29
★ (No Subject) / アカシロトモ
問題
3次方程式ax^3+bx^2-1=0(a,bは整数で、b＞a＞2)について、
(1) 異なる3つの実数解を持つことを証明せよ.
(2）3つの実数解をα,β,γ（α＜β＜γ)とするとき、
｜α｜＞｜β｜＞｜γ｜
が成立することを証明せよ.

お世話になりますが、よろしくお願いします.
No.33333 - 2015/09/30(Wed) 21:18:37
☆ Re: / IT
f(x)=ax^3+bx^2-1とおく
(1) f(-1)=-a+b-1≧0
　　・f(-1)=0のときb=a+1で f'(-1)=3a-2b=3a-2a-2=a-2＞0
(2) f(0)=-1＜0
(3) f(1)=a+b-1＞0
(4) x＞0において
　　　f(x)-f(-x)=2ax^3＞0なので
　　　f(x)≦0のときf(-x)＜0

これらをもとにグラフを描いてみると出きそうです。
No.33335 - 2015/10/01(Thu) 00:16:51
☆ Re: / アカシロトモ
ITさん

いつもお世話になります。
学校で考えてみます.
ありがとうございました.
No.33338 - 2015/10/01(Thu) 07:56:22
☆ Re: / IT
極値を求めてもできますが、極大値の評価が少しめんどう。

f(x)=ax^3+bx^2-1とおく
f'(x)=x(3ax+2b)
f(x)はx=-2b/(3a)で極大,x=0で極小

極大値
f(-2b/(3a))
=-(8b^3)/(27a^2)+(4b^3)/(9a^2)-1
=(4/27)(b^3)/(a^2)-1
≧(4/27){(a+1)^3}/(a^2)-1　（∵bはaより大きい整数）
＝(4/27){a+3+3/a+1/(a^2)}-1
＞(4/27)7-1＞0　（∵aは３以上の整数）

極小値
f(0)=-1＜0

後は同じです。
No.33345 - 2015/10/01(Thu) 21:07:15
☆ Re: / アカシロトモ
IT さん

今塾帰りで拝見しました.
しっかり勉強させていただきます.
ありがとうございました.
No.33347 - 2015/10/01(Thu) 22:15:56
★ 合同式 / かぶるまん（高校２）
続けて投稿して申し訳ありません。

１、（１）（２）の内容は、この問題に限らず、一般にどんな問題でも、証明なしに用いてもいい事実ですか？

２（３）の記述答案に不備があればお申しつけください。

３、（☆）の段階で「6｜n^3-n」なので、(mod4)で「n^3-n」を調べるだけでもいいのですか？
No.33331 - 2015/09/30(Wed) 20:09:33
☆ Re: 合同式 / かぶるまん（高校２）
以下、問題です。
No.33332 - 2015/09/30(Wed) 20:10:21
☆ Re: 合同式 / ヨッシー
ここ最近の記事で気になったのですが、
　6｜n^3-n
という書き方は、一般には認知されていないと思います。
ｍがｎの約数であることを　ｍ｜ｎ で表す、とことわりがいるはずです。

さて、本題ですが、
１．「どんな問題でも」というと語弊があります。
問題で求めている内容が、(1)(2) は当たり前として見なせる
レベルであれば「連続する３つの整数の積は６の倍数なので」
で済ませられる場合もあります。

２．とくに問題はありませんが、
　4k(2k+1)(k+1)
において、k(k+1) は連続した２個の整数なので、即座に
２の倍数と結論付けられます。

３．それは　n^3−n が６の倍数かつ４の倍数であることを
示せば十分か？ということでしょうか？
そういう意味でしたら、もちろんダメです。
１２，３６など。
No.33336 - 2015/10/01(Thu) 07:22:16
☆ Re: 合同式 / かぶるまん（高校２）
ご丁寧に分かりやすく回答していただきありがとうございます。

２、３について、確かにそうですね。

これからもよろしくお願いいたします。
No.33341 - 2015/10/01(Thu) 17:13:12
★ 合同式 記述 / かぶるまん（高校２）
１、赤い丸で囲ってある部分は、「＝」でいいですか？「合同マーク」でないとダメですか？

２、１番はじめの宣言は３つのうちどれでも問題ありませんか？（この場合、青色の（mod10）は答案には書かない）

３、宣言がない場合、（mod10)と書くことになりますが、その場合、合同マークが出てくると逐一（mod10）と書かないとダメですか？それとも、二重下線部分のように、１番最後に書くだけでいいですか？

よろしくお願いいたします。（本題に関係ありませんが、問題は「47^2011の1の位の数」です）
No.33329 - 2015/09/30(Wed) 19:57:22
☆ Re: 合同式 記述 / ヨッシー
いずれも、確信を持っては答えられません。
参考書なり問題集なりの解答に書かれている書き方を真似るのが無難です。

特に、１，は、「≡」を使えば全く問題ないところを、なぜ
リスクを負って「＝」を使いたいのでしょうか？
No.33337 - 2015/10/01(Thu) 07:28:21
☆ Re: 合同式 記述 / かぶるまん（高校２）
僕の中では、合同マークは例えば「7と1(mod6)」のように、余りが同じの違う２数で使うイメージが強かったので…（もちろん、定義にあてはめると、「７と７」でも問題ないことは明らかですが）

「＝」を使うことはリスクを負うことなのですか？
No.33342 - 2015/10/01(Thu) 17:16:24
★ 複素数 / おまる
いつもお世話になっております。
問題の解答でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題の解答の波線部の論理がいまいち理解できません。
何故このようにしたのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.33327 - 2015/09/30(Wed) 17:13:57
☆ Re: 複素数 / ヨッシー

図は、ｎ＝５，ｎ＝６の時の、ω、ω^2・・・および、
それらを２乗した　ω^2、ω^4・・・を複素数平面上に表したものです。

ｎが奇数の場合は、２乗しても最初のｎ個の数を満たす、ｎ次方程式を作る必要がありますが、
ｎが偶数の時は、２乗すると、点が半分になり、n/2 次方程式を作るだけで良くなるのです。
No.33328 - 2015/09/30(Wed) 17:30:37
☆ Re: 複素数 / おまる
ご回答ありがとうございました。
丁寧な説明をしてくださったのでとても楽に理解することができ大変助かりました。
No.33330 - 2015/09/30(Wed) 20:04:04
★ 整数 / かぶるまん（高校２）
例題１０９ の解答は以下のとおりでいいですか？
No.33322 - 2015/09/29(Tue) 21:15:35
☆ Re: 整数 / かぶるまん（高校２）
続き。
No.33323 - 2015/09/29(Tue) 21:16:05
☆ Re: 整数 / ヨッシー
入試レベルの問題で、もしこういう問題が出たら、その解答で問題ありません。

が、この例題は、互いに素とは？公約数とは？を根本の
所から示す問題ですので、この解答のような手順も押さえておいた方が
後々のためになると思います。
No.33325 - 2015/09/30(Wed) 07:19:31
☆ Re: 整数 / かぶるまん（高校２）
朝早くからありがとうございます。
No.33326 - 2015/09/30(Wed) 17:11:08
★ かいとうおねがいします / ダル
(2)が分かりません。
No.33317 - 2015/09/29(Tue) 11:06:47
☆ Re: かいとうおねがいします / X
(1)の結果を代入し、区分求積法を適用します。
No.33318 - 2015/09/29(Tue) 13:18:26
☆ Re: かいとうおねがいします / ダル
できました！！
No.33319 - 2015/09/29(Tue) 18:46:54
☆ すこし気になることが / ダル
最後の方で1行目のようなかたちになったのですが、そのあとどのようにすればよいか迷ってます。2行目のようにlimを2使えばいいのでしょうか？
どうすれば減点されなくなりますか？
No.33320 - 2015/09/29(Tue) 20:37:27
☆ Re: かいとうおねがいします / X
書かれているように二つに分けても問題ありません。
只、特に分けなくても
1/(2n)→0(n→∞)
ですので、一行目からいきなり三行目に行っても
書き方としては問題ありません。
No.33324 - 2015/09/30(Wed) 06:04:46
☆ Re: かいとうおねがいします / ダル
ありがとうございます！
No.33339 - 2015/10/01(Thu) 10:04:26
★ 、 / 川上
なぜx>eなのでしょうか？
No.33311 - 2015/09/27(Sun) 23:24:13
☆ Re: 、 / ヨッシー
ｅより大きいａ，ｂについて論じているからです。
ただし、最初に言っておく必要はなく、
>ここで、ｘ＞ｅより
　のところを
ここで、ｘ＞ｅのとき
　としても良いでしょう。
No.33312 - 2015/09/27(Sun) 23:37:36
★ (No Subject) / 吉野
添付した画像について、二進法のところに質問があります。
最後1、2と出ていますが、2部分が０になるまで計算するのだと思っていました。違うのでしょうか？？
どうぞ宜しくお願いします。
No.33305 - 2015/09/27(Sun) 18:24:25
☆ Re: / X
1/5を2進法で表した結果がもし有限桁の小数で
あればその通りで0で終わります。
ですが、解答枠の上に・がついていることからも
分かるとおり、1/5を2進法で表した結果は
循環小数となり、0では終わらず無限に続きます。
実際に計算しても0にならないのはそういうわけ
です。
No.33306 - 2015/09/27(Sun) 18:34:35
☆ Re: / 吉野
よくわかりました！どうもありがとうございました！
No.33690 - 2015/10/20(Tue) 19:02:42
★ 回答教えてください / 初見です
積分の質問です。添付画像の問題を解いているのですがうまく答えが出せません。定数部分を文字でおいて計算しているのですが。
どのようにすればいいか教えてください。
No.33301 - 2015/09/27(Sun) 16:39:47
☆ Re: 回答教えてください / X
(i)より
{3xe^(-x)}∫[0→2](e^t)f(t)dt+{e^(-x)}∫[0→2](te^t)f(t)dt=af(t) (A)
∴
∫[0→2](e^t)f(t)dt=ab (B)
∫[0→2](te^t)f(t)dt=ac (C)
(b,cは定数)
と置くと(A)より
f(x)=3bxe^(-x)+ce^(-x) (D)
(D)を(B)(C)に代入すると
∫[0→2](3bt+c)dt=ab (B)'
∫[0→2](3bt^2+ct)dt=ac (C)'
左辺の積分を計算して整理すると
(6-a)b+2c=0 (B)"
8b+(2-a)c=0 (C)"
∴
A=M{(6-a,2),(8,2-a)}
↑u=(b,c)(縦ベクトル)
とすると(B)"(C)"はまとめて
A↑u=↑0 (E)
となります。

(ii)より↑u≠↑0に注意すると
(E)より
|A|=a^2-8a-4=0
a＞0に注意してこれを解いて
a=4+2√5 (F)

後は(F)を(B)"に代入してcを
bで表し、更に結果を(D)に
代入します。
更にその結果を(ii)に代入して
bについての方程式を立てます。
No.33304 - 2015/09/27(Sun) 18:10:32
☆ Re: 回答教えてください / 初見です
回答ありがとうございます。
定数の置き方うまいなーと思いました。私はあなたのようにうまくおくことができず、(a^2-8a-4)A=0 (Aはabとおかないせいで出てきたものです。) A=0のかいは(?A)に反するでけせばいいのでしょうか？

それともあなたのように置かないとだめでしょうか？
No.33310 - 2015/09/27(Sun) 20:37:32
☆ Re: 回答教えてください / X
回答をする前にこちらから質問しますが
初見ですさんは
∫[0→2](e^t)f(t)dt=b
∫[0→2](te^t)f(t)dt=c
というような定数の置き方をしたのですか？
それともこれとは異なる置き方をしたので
しょうか？
もし異なる置き方をされているのであれば
置いた等式をアップして下さい。
(No.33310の内容のみではAの中身が分からない
ので、正しいかどうか判断しかねます。)
No.33313 - 2015/09/27(Sun) 23:48:17
☆ Re: 回答教えてください / 初見です
こんな感じです。
No.33314 - 2015/09/28(Mon) 22:52:55
☆ Re: 回答教えてください / X
そうすると
f(x)=3(A/a)xe^(-x)+(B/a)e^(-x)
となりますので(1)(2)は
(1/a)∫[0→2](3At+B)dt=A
(1/a)∫[0→2](3At^2+Bt)dt=B
ですがこれらは
∫[0→2](3At+B)dt=Aa (1)'
∫[0→2](3At^2+Bt)dt=Ba (2)'
となりますので得られる方程式の形は
(B)"(C)"と同じになります。

ということでNo.33310の
>>(a^2-8a-4)A=0
とは(1)'(2)'からBを消去したもの
ということになるのでしょうか？
でしたら、A=0のときに(ii)に反する
理由、つまり
(1)'よりB=0となる
ということを明記しておけばそれで
問題ありません。
No.33315 - 2015/09/29(Tue) 04:57:16
☆ Re: 回答教えてください / 初見です
わかりました。ありがとうございます(°_°)
No.33316 - 2015/09/29(Tue) 09:10:10
★ 順列組合せ / セメント
(1)2種類の記号⚫︎,ーを6個並べてできる信号は何種類あるか。
(2)2種類の記号⚫︎,ーを最大6個まで並べてできる信号は何種類あるか。
この２つの問題の違いと、考え方の過程がわかりません。
お願いします。
No.33293 - 2015/09/27(Sun) 10:48:20
☆ Re: 順列組合せ / X
(1)
求める信号の数は異なる2つから6個を選ぶ
重複順列の数に等しく
2^6=64[種類]

(2)
「最大」6個という条件がついているので
k個(k=1,2,3,4,5,6)の場合を考えて
和を取る必要があります。
ということで求める信号の数は
Σ[k=1〜6]2^k=2(1-2^6)/(1-2)
=126[種類]
No.33294 - 2015/09/27(Sun) 11:10:47
☆ Re: 順列組合せ / セメント
場合分けですね、ありがとうございました
No.33296 - 2015/09/27(Sun) 11:45:50
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