前回はありがとうございました。
今回の問題は、(1)は問題なく分かるのですが、(2)(3)の方は解答を読んでも何が何なのかさっぱりなのです。
分かりやすく解説して頂けると嬉しいです…。
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No.33482 - 2015/10/07(Wed) 19:27:33
| ☆ Re: 数列 / イオ(高3・文系) | | | 以下解答です。
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No.33483 - 2015/10/07(Wed) 19:28:09 |
| ☆ Re: 数列 / イオ(高3・文系) | | | 続きです。
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No.33484 - 2015/10/07(Wed) 19:28:43 |
| ☆ Re: 数列 / ヨッシー  | | | (1) を解く間に、どれだけ考察できるかに(2)(3)の取り組め方が変わってきます。
ある連続した２つ以上の自然数を考えると、
２つの連続した数：
３＋４，６＋７ などは、片方が奇数で、片方が偶数で、和は奇数です。
逆に奇数はこのような差が１の奇数と偶数に分けることが出来ます。
（元の数の半分に、1/2 を足したものと引いたもの)
３つの連続した数：
３＋４＋５，１２＋１３＋１４ などは、中央の数の３倍になります。
逆に、３の倍数は、３で割った数と、その前後の数とに分ければ、連続した
３つの数に分けられます。
同様に５つの連続した数なら、中央の数の５倍、７つなら７倍が数列の和になります。
４つの連続した数：
１＋２＋３＋４、４＋５＋６＋７ などは中央付近の２つの数の和の２倍になっています。
２＋３＝５ の２倍の１０。５＋６＝１１ の２倍の２２ がそれぞれの４数の和。
同様に６つの連続した数なら、中央付近の２数の和の３倍、８つなら４倍となります。
つまり、和が奇数×Ｎというふうに分解できる数であれば、奇数を２つの連続した数にして、
その前後にＮ−１個の数列を付け加えればいいことになります。
例) １１×４＝４４ の場合 １１から ５，６ を作り、その前後に３つずつ数列を付けて
２，３，４，５，６，７，８，９
を作ることが出来ます。もしこれが、１１×８＝８８ の場合だと、
−２，−１，０，１，２，３・・・１１，１２，１３
のように、マイナスが出てきてしまいます。こういうときは、１１の倍数であることを利用して
８８÷１１＝８ を中心に、前後５つずつの数を付けて
３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３
を作ります。これは、前に作った
−２，−１，０，１，２，３・・・１１，１２，１３
の −２，−１，０，１，２ の部分を相殺させて消したものと同じです。
これらを踏まえて
１０：５×２ なので、５から ２，３ を作り前後に１個ずつ付ける → １，２，３，４
１１：奇数なので、即座に ５，６
１２：３×４ より４を中央値として、前後に１個ずつ，計３個の数列にする→３，４，５
１３：奇数なので即座に ６，７
１４：７×２なので、７から３，４を作り → ２，３，４，５
１５：奇数なので即座に ７，８。他にも３の倍数なので、５を中央値とした→４，５，６
５の倍異数なので、３を中央値とした→１，２，３，４，５ もあり得ます。
これらを踏まえて、もう一度解答を見てみてください。
(3) は、解答のように数列の和の公式を使わなくても、
もし、2^m が連続したｐ個の連続した自然数の和で表されると仮定した場合、
ｐが奇数の場合、中央値（(p+1)/2 番目の数) が存在して、それをｓとすると
数列の和は ｓ×ｐ となり、奇数を含んだ積になるので、2^m とはなり得ない。
ｐが偶数の場合、p/2 番目とp/2＋1 番目の数は奇数と偶数なので、その和ｔは奇数。
数列の和は (p/2)×ｔ となり，奇数を含んだ積になるので、2^m とはなり得ない。
というふうにも示せます。
ただし、この裏にあるのは、数列の和の公式の考え方ですので、根本は同じです。
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No.33487 - 2015/10/07(Wed) 23:08:34 |
| ☆ Re: 数列 / イオ(高3・文系) | | | ありがとうございます。
解放メモのところと(3)は理解することが出来ました。(少なくともそういうつもりです)
しかし、(2)はどうして「2^m＞l」「2^m≦l」という分け方にできるのかがまだよく分かりません…。
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No.33489 - 2015/10/08(Thu) 06:53:59 |
| ☆ Re: 数列 / ヨッシー | | | >分け方にできるのか
ではなく、「分けなければいけない」のです。
その理由が上で書いた
>もしこれが、１１×８＝８８ の場合だと、
> −２，−１，０，１，２，３・・・１１，１２，１３
>のように、マイナスが出てきてしまいます。
の部分です。
上の記事では、
2^m・(2l+1)
を数列に分ける方法を、２つ紹介しました。
１つは、奇数である 2l+1 を l,l+1 という連続した２数に分けて、
その前後に 2^m−1 個の数列を
・・・l-3,l-2,l-1,l, l+1,l+2,l+3,l+4・・・・
のようにつなぐ方法です。l の左には、2^m−1 個の数が
並ぶ(l は 2^m番目)わけですが、l＞2^m でないと、左の端で
マイナスが出てしまうので、 l＜2^m の時はこの方法は使えません。
そこで２つめの方法として、2l+1 が奇数なのを利用して、
中央値に 2^m を置き、その前後に l個ずつの数列を
・・・2^m−2, 2^m−1, 2^m , 2^m＋1, 2^m＋2 ・・・
のようにつなぐ方法を考えます。
2^m の左には l個の数が並ぶ（2^m は l＋1番目）わけですが、
2^m＞l でないと、左の端でマイナスが出てしまうので、
2^m＜l の時は使えません。
このように、2^m＞l と 2^m＜l とで、数列の作り方が違うのです。
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No.33490 - 2015/10/08(Thu) 07:21:41 |
| ☆ Re: 数列 / イオ(高3・文系) | | | ありがとうございました。
理解することが出来ました。
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No.33498 - 2015/10/09(Fri) 06:15:09 |
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